פתרון משוואות 1. פתרון משוואות ליניאריות פשוטות

מטרת השירות. מחשבון מטריקס נועד לפתור מערכות משוואות ליניאריותשיטת מטריצה ​​(ראה דוגמה לפתרון בעיות דומות).

הוראות. ל פתרונות מקווניםיש צורך לבחור את סוג המשוואה ולהגדיר את הממד של המטריצות המתאימות.

סוג המשוואה: A·X = B X A = B A·X·B = C
מימד של מטריצה ​​A
מימד של מטריצה ​​B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

מימד של מטריצה ​​C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

כאשר A, B, C הם המטריצות שצוינו, X היא המטריצה ​​הרצויה. משוואות מטריצה ​​של הצורה (1), (2) ו-(3) נפתרות באמצעות המטריצה ​​ההפוכה A -1. אם ניתן הביטוי A·X - B = C, אז יש צורך להוסיף תחילה את המטריצות C + B ולמצוא פתרון לביטוי A·X = D, כאשר D = C + B(). אם ניתן הביטוי A*X = B 2, אז תחילה יש לריבוע את המטריצה ​​B. מומלץ גם להכיר את הפעולות הבסיסיות במטריצות.

דוגמה מס' 1. תרגיל. מצא את הפתרון למשוואת המטריצה
פִּתָרוֹן. בואו נסמן:
ואז משוואת המטריצה ​​תיכתב בצורה: A·X·B = C.
הקובע של מטריצה ​​A שווה ל-detA=-1
מכיוון ש-A היא מטריצה ​​לא-סינגולרית, קיימת מטריצה ​​הפוכה A -1. הכפל את שני הצדדים של המשוואה משמאל ב-A -1: הכפל את שני הצדדים של המשוואה הזו משמאל ב-A -1 ומימין ב-B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . מאז A A -1 = B B -1 = E ו- E X = X E = X, אז X = A -1 C B -1

מטריצה ​​הפוכה A -1:
בוא נמצא את המטריצה ​​ההפוכה B -1.
מטריצה ​​שעברה טרנספוזיציה B T:
מטריצה ​​הפוכה B -1:
אנו מחפשים את המטריצה ​​X באמצעות הנוסחה: X = A -1 ·C·B -1

תשובה:

דוגמה מס' 2. תרגיל.פתור משוואת מטריצה
פִּתָרוֹן. בואו נסמן:
ואז משוואת המטריצה ​​תיכתב בצורה: A·X = B.
הקובע של מטריצה ​​A הוא detA=0
מכיוון ש-A היא מטריצה ​​יחידה (הדטרמיננטה היא 0), לכן אין למשוואה פתרון.

דוגמה מס' 3. תרגיל. מצא את הפתרון למשוואת המטריצה
פִּתָרוֹן. בואו נסמן:
ואז משוואת המטריצה ​​תיכתב בצורה: X A = B.
הקובע של מטריצה ​​A הוא detA=-60
מכיוון ש-A היא מטריצה ​​לא-סינגולרית, קיימת מטריצה ​​הפוכה A -1. בוא נכפיל את שני הצדדים של המשוואה מימין ב-A -1: X A A -1 = B A -1, משם נמצא ש-X = B A -1
בוא נמצא את המטריצה ​​ההפוכה A -1 .
מטריצה ​​שעברה טרנספוזיציה A T:
מטריצה ​​הפוכה A -1:
אנו מחפשים את המטריצה ​​X באמצעות הנוסחה: X = B A -1


תשובה: >

שירות פתרון המשוואות המקוון יעזור לכם לפתור כל משוואה. באמצעות האתר שלנו, לא רק תקבלו את התשובה למשוואה, אלא גם תראו פתרון מפורט, כלומר, הצגה שלב אחר שלב של תהליך השגת התוצאה. השירות שלנו יהיה שימושי לתלמידי תיכון ולהוריהם. התלמידים יוכלו להתכונן למבחנים ולבחינות, לבחון את הידע שלהם, והורים יוכלו לעקוב אחר פתרון משוואות מתמטיות על ידי ילדיהם. היכולת לפתור משוואות היא דרישה חובה לתלמידי בית ספר. השירות יעזור לך לחנך את עצמך ולשפר את הידע שלך בתחום המשוואות המתמטיות. בעזרתו ניתן לפתור כל משוואה: ריבועית, מעוקבת, אי רציונלית, טריגונומטרית וכו'. שירות מקווןולא יסולא בפז, כי בנוסף לתשובה הנכונה, מקבלים פתרון מפורט לכל משוואה. היתרונות של פתרון משוואות באינטרנט. אתה יכול לפתור כל משוואה באינטרנט באתר שלנו בחינם לחלוטין. השירות הוא אוטומטי לחלוטין, אתה לא צריך להתקין שום דבר במחשב, אתה רק צריך להזין את הנתונים והתוכנית תיתן לך פתרון. כל שגיאה בחישובים או שגיאות הקלדה אינן נכללות. איתנו, פתרון כל משוואה באינטרנט הוא קל מאוד, אז הקפד להשתמש באתר שלנו כדי לפתור כל סוג של משוואות. אתה רק צריך להזין את הנתונים והחישוב יסתיים תוך שניות. התכנית פועלת באופן עצמאי, ללא התערבות אנושית, ואתם מקבלים מענה מדויק ומפורט. פותרים את המשוואה ב השקפה כללית. במשוואה כזו, המקדמים המשתנים והשורשים הרצויים קשורים זה בזה. העוצמה הגבוהה ביותר של משתנה קובעת את הסדר של משוואה כזו. בהתבסס על זה, עבור המשוואות להשתמש שיטות שונותומשפטים למציאת פתרונות. פתרון משוואות מסוג זה פירושו למצוא את השורשים הנדרשים בצורה כללית. השירות שלנו מאפשר לך לפתור אפילו את המשוואה האלגברית המורכבת ביותר באינטרנט. אתה יכול לקבל גם פתרון כללי למשוואה וגם פתרון מסוים לאלו שציינת ערכים מספרייםמקדמים כדי לפתור משוואה אלגברית באתר, מספיק למלא נכון רק שני שדות: הצד השמאלי והימני של המשוואה הנתונה. U משוואות אלגבריותעם מקדמים משתנים יש אינסוף פתרונות, ועל ידי קביעת תנאים מסוימים, בוחרים פרטיים ממכלול הפתרונות. משוואה ריבועית. למשוואה הריבועית יש את הצורה ax^2+bx+c=0 עבור a>0. פתרון משוואות מראה מרובעמרמז על מציאת הערכים של x שבהם מתקיים השוויון ax^2+bx+c=0. כדי לעשות זאת, מצא את הערך המבחין באמצעות הנוסחה D=b^2-4ac. אם המפלה פחות מאפס, אז למשוואה אין שורשים ממשיים (השורשים הם משדה המספרים המרוכבים), אם שווה לאפס, אז למשוואה יש שורש ממשי אחד, ואם המבחין גדול מאפס, אז למשוואה יש שני שורשים ממשיים, שנמצאים לפי הנוסחה: D= -b+- sqrt/2a. כדי לפתור משוואה ריבועית באינטרנט, אתה רק צריך להזין את המקדמים של המשוואה (מספרים שלמים, שברים או עשרונים). אם יש סימני חיסור במשוואה, יש לשים סימן מינוס לפני האיברים המתאימים של המשוואה. ניתן לפתור משוואה ריבועית באינטרנט בהתאם לפרמטר, כלומר המשתנים במקדמי המשוואה. השירות המקוון שלנו לאיתור פתרונות כלליים. משוואות לינאריות. כדי לפתור משוואות ליניאריות (או מערכות משוואות), ארבע שיטות עיקריות משמשות בפועל. נתאר כל שיטה בפירוט. שיטת החלפה. פתרון משוואות בשיטת ההחלפה מחייב ביטוי של משתנה אחד במונחים של האחרים. לאחר מכן, הביטוי מוחלף למשוואות אחרות של המערכת. מכאן שמה של שיטת הפתרון, כלומר במקום משתנה, הביטוי שלה מוחלף דרך המשתנים הנותרים. בפועל, השיטה דורשת חישובים מורכבים, אם כי היא קלה להבנה, ולכן פתרון משוואה כזו באינטרנט יעזור לחסוך זמן ולהקל על החישובים. אתה רק צריך לציין את מספר הלא ידועים במשוואה ולמלא את הנתונים מהמשוואות הליניאריות, ואז השירות יבצע את החישוב. שיטת גאוס. השיטה מבוססת על התמורות הפשוטות ביותר של המערכת על מנת להגיע למערכת משולשת שווה ערך. מתוכו נקבעים הלא ידועים בזה אחר זה. בפועל, נדרש לפתור משוואה כזו באינטרנט עם תיאור מפורט, שבזכותה תהיה לך הבנה טובה של שיטת גאוס לפתרון מערכות של משוואות לינאריות. רשמו את מערכת המשוואות הליניאריות בפורמט הנכון וקחו בחשבון את מספר הלא ידועים על מנת לפתור את המערכת במדויק. השיטה של ​​קריימר. שיטה זו פותרת מערכות משוואות במקרים בהם למערכת יש פתרון ייחודי. הפעולה המתמטית העיקרית כאן היא חישוב של דטרמיננטים מטריצות. פתרון משוואות בשיטת Cramer מתבצע באינטרנט, אתה מקבל את התוצאה באופן מיידי עם תיאור מלא ומפורט. זה מספיק רק למלא את המערכת במקדמים ולבחור את מספר המשתנים הלא ידועים. שיטת מטריקס. שיטה זו מורכבת מאיסוף המקדמים של הלא ידועים במטריצה ​​A, הלא ידועים בעמודה X והאיברים החופשיים בעמודה B. כך, מערכת המשוואות הליניאריות מצטמצמת ל- משוואת מטריצהסוג AxX=B. למשוואה זו יש פתרון ייחודי רק אם הקובע של מטריצה ​​A שונה מאפס, אחרת למערכת אין פתרונות, או מספר אינסופי של פתרונות. פתרון משוואות שיטת מטריצההוא למצוא מטריצה ​​הפוכהא.

הבה ננתח שני סוגי פתרונות למערכות משוואות:

1. פתרון המערכת בשיטת ההחלפה.
2. פתרון המערכת על ידי חיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות המערכת.

על מנת לפתור את מערכת המשוואות לפי שיטת החלפהאתה צריך לעקוב אחר אלגוריתם פשוט:
1. אקספרס. מכל משוואה אנו מבטאים משתנה אחד.
2. מחליף. אנו מחליפים את הערך המתקבל במשוואה אחרת במקום המשתנה המובע.
3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד. אנחנו מוצאים פתרון למערכת.

לפתור מערכת לפי שיטת חיבור (חיסור) מונח אחר מונחצריך ל:
1. בחר משתנה שעבורו נכין מקדמים זהים.
2. אנו מוסיפים או מפחיתים משוואות, וכתוצאה מכך נוצרת משוואה עם משתנה אחד.
3. פתרו את המשוואה הליניארית שהתקבלה. אנחנו מוצאים פתרון למערכת.

הפתרון למערכת הוא נקודות החיתוך של גרפי הפונקציות.

הבה נבחן בפירוט את הפתרון של מערכות באמצעות דוגמאות.

דוגמה מס' 1:

בואו נפתור בשיטת החלפה

פתרון מערכת משוואות בשיטת ההחלפה

2x+5y=1 (משוואה אחת)
x-10y=3 (משוואה שנייה)

1. אקספרס
ניתן לראות שבמשוואה השנייה יש משתנה x עם מקדם 1, כלומר הכי קל לבטא את המשתנה x מהמשוואה השנייה.
x=3+10y

2.לאחר שהבענו את זה, נחליף את 3+10y במשוואה הראשונה במקום המשתנה x.
2(3+10y)+5y=1

3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד.
2(3+10y)+5y=1 (פתח את הסוגריים)
6+20Y+5y=1
25 שנים=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

הפתרון למערכת המשוואות הוא נקודות החיתוך של הגרפים, לכן צריך למצוא את x ו-y, כי נקודת החיתוך מורכבת מ-x ו-y. בוא נמצא את x, בנקודה הראשונה שבה ביטאנו אותה נחליף את y.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

נהוג לכתוב נקודות מלכתחילה אנו כותבים את המשתנה x, ובמקום השני את המשתנה y.
תשובה: (1; -0.2)

דוגמה מס' 2:

בואו נפתור בשיטת חיבור (חיסור) מונח אחר מונח.

פתרון מערכת משוואות בשיטת החיבור

3x-2y=1 (משוואה אחת)
2x-3y=-10 (משוואה שנייה)

1. אנו בוחרים משתנה, נניח שאנו בוחרים ב-x. במשוואה הראשונה, למשתנה x יש מקדם של 3, בשני - 2. אנחנו צריכים להפוך את המקדמים זהים, בשביל זה יש לנו את הזכות להכפיל את המשוואות או לחלק בכל מספר. נכפיל את המשוואה הראשונה ב-2, ואת השנייה ב-3 ונקבל מקדם כולל של 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. הורידו את השני מהמשוואה הראשונה כדי להיפטר מהמשתנה x. פתרו את המשוואה הליניארית.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. מצא את x. אנחנו מחליפים את ה-y שנמצא בכל אחת מהמשוואות, נניח למשוואה הראשונה.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

נקודת החיתוך תהיה x=4.6; y=6.4
תשובה: (4.6; 6.4)

רוצים להתכונן למבחנים בחינם? מורה באינטרנט בחינם. בלי צחוק.

השימוש במשוואות נפוץ בחיינו. הם משמשים בחישובים רבים, בניית מבנים ואפילו ספורט. האדם השתמש במשוואות בימי קדם, ומאז השימוש בהן רק גדל. משוואות חזקות או מעריכיות הן משוואות שבהן המשתנים נמצאים בחזקות והבסיס הוא מספר. לדוגמה:

הפתרון למשוואה המעריכית מצטמצם ל-2 למדי פעולות פשוטות:

1. צריך לבדוק האם הבסיסים של המשוואה מימין ומשמאל זהים. אם הסיבות אינן זהות, אנו מחפשים אפשרויות לפתור דוגמה זו.

2. לאחר שהבסיסים הופכים להיות זהים, נשווה את המעלות ונפתור את המשוואה החדשה שנוצרה.

נגיד נתון משוואה אקספוננציאליתמהטופס הבא:

כדאי להתחיל את הפתרון של משוואה זו בניתוח הבסיס. הבסיסים שונים - 2 ו-4, אבל כדי לפתור אנחנו צריכים שהם יהיו זהים, אז נמיר את 4 באמצעות הנוסחה הבאה -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

נוסיף למשוואה המקורית:

בוא נוציא את זה מהסוגריים \

בואו להביע \

מכיוון שהתארים זהים, אנו פוסלים אותם:

תשובה: \

היכן אוכל לפתור משוואה מעריכית באמצעות פותר מקוון?

אתה יכול לפתור את המשוואה באתר שלנו https://site. הפותר המקוון החינמי יאפשר לך לפתור משוואות מקוונות בכל מורכבות תוך שניות. כל מה שאתה צריך לעשות הוא פשוט להזין את הנתונים שלך לתוך הפותר. תוכלו גם לצפות בהוראות וידאו וללמוד כיצד לפתור את המשוואה באתר שלנו. ואם עדיין יש לך שאלות, אתה יכול לשאול אותן בקבוצת VKontakte שלנו http://vk.com/pocketteacher. הצטרפו לקבוצה שלנו, אנחנו תמיד שמחים לעזור לכם.

משוואות ריבועיות לומדים בכיתה ח', אז אין כאן שום דבר מסובך. היכולת לפתור אותם היא הכרחית לחלוטין.

משוואה ריבועית היא משוואה בצורת ax 2 + bx + c = 0, כאשר המקדמים a, b ו-c הם מספרים שרירותיים, ו- a ≠ 0.

לפני לימוד שיטות פתרון ספציפיות, שים לב שניתן לחלק את כל המשוואות הריבועיות לשלוש מחלקות:

1. אין שורשים;
2. יש בדיוק שורש אחד;
3. יש להם שני שורשים שונים.

זהו הבדל חשוב בין משוואות ריבועיות ללינאריות, שבהן השורש תמיד קיים והוא ייחודי. כיצד לקבוע כמה שורשים יש למשוואה? יש דבר נפלא לזה - מפלה.

מפלה

תינתן את המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c = 0. אז המבחין הוא פשוט המספר D = b 2 − 4ac.

אתה צריך לדעת את הנוסחה הזו בעל פה. מאיפה זה בא זה לא חשוב עכשיו. דבר נוסף חשוב: לפי הסימן של המבחין אפשר לקבוע כמה שורשים יש למשוואה ריבועית. כלומר:

1. אם ד< 0, корней нет;
2. אם D = 0, יש בדיוק שורש אחד;
3. אם D > 0, יהיו שני שורשים.

שימו לב: המבדיל מציין את מספר השורשים, וכלל לא את הסימנים שלהם, כפי שמשום מה סבורים רבים. תסתכל על הדוגמאות ותבין הכל בעצמך:

מְשִׁימָה. כמה שורשים יש למשוואות ריבועיות:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

הבה נכתוב את המקדמים עבור המשוואה הראשונה ונמצא את המבחין:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

אז המבחין חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים שונים. אנו מנתחים את המשוואה השנייה באופן דומה:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

המפלה היא שלילית, אין שורשים. המשוואה האחרונה שנותרה היא:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

המבחין הוא אפס - השורש יהיה אחד.

שימו לב שנכתבו מקדמים לכל משוואה. כן, זה ארוך, כן, זה מייגע, אבל אתה לא תערבב את הסיכויים ותעשה טעויות מטופשות. בחרו בעצמכם: מהירות או איכות.

אגב, אם אתה מבין, לאחר זמן מה לא תצטרך לרשום את כל המקדמים. אתה תבצע פעולות כאלה בראש שלך. רוב האנשים מתחילים לעשות את זה איפשהו אחרי 50-70 משוואות שנפתרו - באופן כללי, לא כל כך.

שורשים של משוואה ריבועית

כעת נעבור לפתרון עצמו. אם המבחין D > 0, ניתן למצוא את השורשים באמצעות הנוסחאות:

נוסחה בסיסית לשורשים של משוואה ריבועית

כאשר D = 0, אתה יכול להשתמש בכל אחת מהנוסחאות האלה - תקבל את אותו מספר, וזה יהיה התשובה. לבסוף, אם ד< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

המשוואה הראשונה:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ למשוואה יש שני שורשים. בוא נמצא אותם:

משוואה שנייה:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ למשוואה שוב יש שני שורשים. בואו נמצא אותם

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

לבסוף, המשוואה השלישית:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ למשוואה יש שורש אחד. ניתן להשתמש בכל נוסחה. לדוגמה, הראשון:

כפי שניתן לראות מהדוגמאות, הכל מאוד פשוט. אם אתה יודע את הנוסחאות ויכול לספור, לא יהיו בעיות. לרוב, שגיאות מתרחשות בעת החלפת מקדמים שליליים בנוסחה. גם כאן, הטכניקה שתוארה לעיל תעזור: תסתכל על הנוסחה פשוטו כמשמעו, רשום כל שלב - ובקרוב מאוד תיפטר משגיאות.

משוואות ריבועיות לא שלמות

קורה שמשוואה ריבועית שונה במקצת ממה שניתן בהגדרה. לדוגמה:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

קל להבחין שבמשוואות הללו חסר אחד המונחים. משוואות ריבועיות כאלה קלות אפילו יותר לפתרון מאשר משוואות סטנדרטיות: הן אפילו לא דורשות חישוב של המבחין. אז בואו נציג קונספט חדש:

המשוואה ax 2 + bx + c = 0 נקראת משוואה ריבועית לא שלמה אם b = 0 או c = 0, כלומר. המקדם של המשתנה x או האלמנט החופשי שווה לאפס.

כמובן, זה אפשרי לחלוטין מקרה קשה, כאשר שני המקדמים הללו שווים לאפס: b = c = 0. במקרה זה, המשוואה מקבלת את הצורה ax 2 = 0. ברור שלמשוואה כזו יש שורש בודד: x = 0.

הבה נשקול את המקרים הנותרים. נניח b = 0, ואז נקבל משוואה ריבועית לא שלמה בצורת ax 2 + c = 0. הבה נמיר אותה מעט:

מאז החשבון שורש ריבועיקיים רק ממספר לא שלילי, השוויון האחרון הגיוני רק עבור (-c /a) ≥ 0. מסקנה:

1. אם במשוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 + c = 0 מתקיים אי השוויון (−c /a) ≥ 0, יהיו שני שורשים. הנוסחה ניתנת לעיל;
2. אם (-c /a)< 0, корней нет.

כפי שניתן לראות, המפלה לא נדרשה - בחסר משוואות ריבועיותאין חישובים מורכבים בכלל. למעשה, אפילו אין צורך לזכור את אי השוויון (−c /a) ≥ 0. מספיק לבטא את הערך x 2 ולראות מה נמצא בצד השני של סימן השוויון. אם יש מספר חיובי, יהיו שני שורשים. אם זה שלילי, לא יהיו שורשים בכלל.

כעת נסתכל על משוואות בצורה ax 2 + bx = 0, שבהן האלמנט החופשי שווה לאפס. הכל פשוט כאן: תמיד יהיו שני שורשים. די לפקח את הפולינום:

הוצאת הגורם המשותף מסוגריים

התוצר הוא אפס כאשר לפחות אחד מהגורמים הוא אפס. מכאן מגיעים השורשים. לסיכום, בואו נסתכל על כמה מהמשוואות האלה:

מְשִׁימָה. לפתור משוואות ריבועיות:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. אין שורשים, כי ריבוע אינו יכול להיות שווה למספר שלילי.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.