כיצד להוסיף ולחסור עם סימנים שונים. הוספת מספרים עם סימנים שונים, כללים, דוגמאות
חיבור מספרים שליליים.
סכום המספרים השליליים הוא מספר שלילי. מודול סכום שווה לסכוםמודולים של מונחים.
בואו נבין מדוע סכום המספרים השליליים יהיה גם מספר שלילי. קו הקואורדינטות יעזור לנו בכך, עליו נוסיף את המספרים -3 ו-5. נסמן נקודה על קו הקואורדינטות המקביל למספר -3.
למספר -3 עלינו להוסיף את המספר -5. לאן נלך מהנקודה המתאימה למספר -3? נכון, שמאל! עבור 5 מקטעי יחידות. אנו מסמנים נקודה וכותבים את המספר המתאים לה. המספר הזה הוא -8.
לכן, כשמוסיפים מספרים שליליים באמצעות קו קואורדינטות, אנחנו תמיד משמאל למקור, לכן ברור שהתוצאה של הוספת מספרים שליליים היא גם מספר שלילי.
הערה.הוספנו את המספרים -3 ו-5, כלומר. מצא את הערך של הביטוי -3+(-5). בדרך כלל, כשמוסיפים מספרים רציונליים, הם פשוט רושמים את המספרים האלה עם הסימנים שלהם, כאילו רשומים את כל המספרים שצריך להוסיף. שיא כזה נקרא סכום אלגברי. החל (בדוגמה שלנו) את הערך: -3-5=-8.
דוגמא.מצא את סכום המספרים השליליים: -23-42-54. (האם אתה מסכים שהערך הזה קצר ונוח יותר כך: -23+(-42)+(-54))?
בואו נחליטלפי הכלל להוספת מספרים שליליים: נוסיף את המודולים של המונחים: 23+42+54=119. לתוצאה יהיה סימן מינוס.
בדרך כלל הם כותבים את זה כך: -23-42-54=-119.
הוספת מספרים עם סימנים שונים.
לסכום של שני מספרים עם סימנים שונים יש סימן של איבר בעל ערך מוחלט גדול. כדי למצוא את המודולוס של סכום, עליך להחסיר את המודולוס הקטן מהמודלוס הגדול יותר..
בואו נבצע חיבור של מספרים עם סימנים שונים באמצעות קו קואורדינטות.
1) -4+6. אתה צריך להוסיף את המספר 6 למספר -4 בוא נסמן את המספר -4 עם נקודה על קו הקואורדינטות. המספר 6 הוא חיובי, כלומר מהנקודה עם קואורדינטה -4 אנחנו צריכים ללכת ימינה ב-6 קטעי יחידות. מצאנו את עצמנו מימין למקור (מאפס) ב-2 מקטעי יחידה.
התוצאה של סכום המספרים -4 ו-6 היא המספר החיובי 2:
- 4+6=2. איך יכולת להשיג את המספר 2? הורידו 4 מ-6, כלומר. להחסיר את הקטן מהמודול הגדול יותר. לתוצאה יש סימן זהה למונח בעל מודולוס גדול.
2) בוא נחשב: -7+3 באמצעות קו הקואורדינטות. סמן את הנקודה המתאימה למספר -7. אנחנו הולכים ימינה ל-3 מקטעי יחידות ומקבלים נקודה עם קואורדינטה -4. היינו ונשארנו משמאל למקור: התשובה היא מספר שלילי.
— 7+3=-4. נוכל לקבל את התוצאה הזו כך: מהמודול הגדול יותר הורדנו את הקטן יותר, כלומר. 7-3=4. כתוצאה מכך, אנו שמים את הסימן של המונח עם המודולוס הגדול יותר: |-7|>|3|.
דוגמאות.לחשב: א) -4+5-9+2-6-3; ב) -10-20+15-25.
הוספה וחיסור
מספרים עם סימנים שונים
כדי להבטיח שהתלמיד, בפחות זמן מבעבר, שולט בכמות גדולה של ידע, יסודי ויעיל - זו אחת המשימות העיקריות של הפדגוגיה המודרנית. בהקשר זה, יש צורך להתחיל ללמוד דברים חדשים על ידי חזרה על חומר ישן, נלמד, ידוע בנושא נתון. על מנת שהחזרה תתקדם במהירות ועל מנת לקבל את הקשר הברור ביותר בין החדש לישן, יש צורך לארגן את הקלטת החומר הנלמד בצורה מיוחדת בעת ההסבר.
כדוגמה, אספר לכם כיצד אני מלמד תלמידים להוסיף ולחסור מספרים עם סימנים שונים באמצעות קו קואורדינטות. לפני לימוד הנושא באופן ישיר ובמהלך שיעורים בכיתות ה'-ו' אני מקדיש תשומת לב רבה למבנה קו הקואורדינטות. לפני שמתחילים ללמוד את הנושא "חיבור וחיסור של מספרים עם סימנים שונים", יש צורך שכל תלמיד ידע היטב ויוכל לענות על השאלות הבאות:
1) כיצד בנוי קו הקואורדינטות?
2) איך ממוקמים המספרים עליו?
3) מה המרחק מהמספר 0 למספר כלשהו?
על התלמידים להבין שתנועה לאורך קו ישר ימינה מביאה לעלייה במספר, כלומר. מבוצעת פעולת ההוספה, ומשמאל - לירידה שלה, כלומר. מתבצעת פעולת חיסור המספרים. כדי להבטיח שעבודה עם קו קואורדינטות לא תגרום לשעמום, יש הרבה בעיות משחק לא סטנדרטיות. למשל, זה.
קו ישר נמתח לאורך הכביש המהיר. אורכו של קטע יחידה אחד הוא 2 מ' כולם נעים רק בקו ישר. על מספר 3 נמצאים ג'נה וצ'בורשקה. הם הלכו לכיוונים שונים בו-זמנית ועצרו בו-זמנית. ג'נה הלך פעמיים עד צ'בורשקה והגיע למספר 11. על איזה מספר הגיע צ'בורשקה? כמה מטרים הלכה צ'בורשקה? מי מהם הלך לאט יותר ובכמה?(מתמטיקה לא סטנדרטית בבית הספר. - מ', לאידה, 1993, מס' 62).
כשאני משוכנע בתוקף שכל התלמידים יכולים להתמודד עם תנועות בקו ישר, וזה חשוב מאוד, אני עובר ישירות ללמד חיבור וחיסור מספרים בו זמנית.
כל תלמיד מקבל הערת התייחסות. על ידי ניתוח הוראות ההערות והסתמכות על תמונות חזותיות גיאומטריות קיימות של קו הקואורדינטות, התלמידים צוברים ידע חדש. (המתאר מוצג באיור). לימוד נושא מתחיל ברישום במחברת את השאלות שיידונו.
1 . כיצד לבצע חיבור באמצעות קו קואורדינטות? איך למצוא מונח לא ידוע? בואו נסתכל על החלק הרלוונטי של המתווה??. בואו נזכור את זה אלְהוֹסִיף ב- זה אומר להגדיל אעַל בותנועה לאורך קו הקואורדינטות מתרחשת ימינה. אנו זוכרים כיצד נקראים ומחושבים מרכיבי החיבור וחוקי החיבור, כמו גם תכונות האפס במהלך החיבור. האם אלו חלקים?? ו?? הערות. לכן, השאלות הבאות הכתובות במחברת הן:
1). תוספת היא תנועה ימינה.
SL. + SL. = C; SL. = C - SL.
2). חוקי הוספה:
1) חוק העקירה: א+ ב= ב+ א;
2) חוק השילוב: (א+ ב) + ג= א+ (ב+ ג) = (א+ ג) + ב
3). מאפיינים של אפס במהלך ההוספה: א+ 0= א; 0+ א= א; א+ (- א) = 0.
4). חיסור היא תנועה שמאלה.
U. - V. = R.; U. = V. + R.; V. = U. - R.
5). ניתן להחליף חיבור בחיסור, וחיסור ניתן להחליף בחיבור.
4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1
4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1
לפי חוק החיבור הקומוטטיבי
6). כך נפתחים הסוגריים:
+ (א+ ב+ ג) = + א+ ב+ ג
"ג'ֶנטֶלמֶן"
- (a + b + c) = - a - b - c
"שׁוֹדֵד"
2 . דיני תוספת.
3 . רשום את המאפיינים של אפס במהלך ההוספה.
4 . כיצד להחסיר מספרים באמצעות קו קואורדינטות? כללים למציאת תחתונים ומיניודים לא ידועים.
5 . איך עוברים מחיבור לחיסור ומחיסור לחיבור?
6 . כיצד לפתוח סוגריים שלפניהם: א) סימן פלוס; ב) סימן מינוס?
החומר התיאורטי הוא די נפחי, אבל מכיוון שכל חלק שלו מחובר וכביכול "זורם" אחד מהשני, השינון מתרחש בהצלחה. העבודה עם הערות לא מסתיימת בזה. כל חלק במתווה קשור לטקסט של ספר הלימוד, הנקרא בכיתה. אם לאחר מכן התלמיד מאמין שהחלק המנותח ברור לו לחלוטין, אז הוא מצייר בקלילות את טקסט הסיכום במסגרת המתאימה, כאילו אומר: "אני מבין את זה". אם יש משהו לא ברור, לא צובעים את המסגרת עד שהכל מתבהר. החלק הלבן של התווים הוא האות "תבין את זה!"
מטרת המורה, שאמורה להיות מושגת עד סוף השיעור, היא זו: תלמידים ביציאה מהשיעור צריכים לזכור שחיבור הוא תנועה לאורך קו קואורדינטות ימינה, וחיסור הוא שמאלה. כל התלמידים למדו לפתוח סוגריים. שאר הזמן של השיעור מוקדש לפתיחת הסוגריים. אנו פותחים סוגריים בעל פה ובכתב במשימות כמו:
|
); - 20 + (- 7 + (- 5)). |
||||
שיעורי בית. ענו על השאלות הכתובות במחברת על ידי קריאת פסקאות ספר הלימוד המצוינות בהערות.
בשיעור הבא נתרגל את האלגוריתם לחיבור והפחתה של מספרים. לכל תלמיד יש כרטיס על שולחנו עם הוראות:
1) רשום דוגמה.
2) פתח את הסוגריים, אם יש.
3) צייר קו קואורדינטות.
4) סמן בו את המספר הראשון ללא קנה מידה.
5) אם יש סימן "+" אחרי המספר, אז זז ימינה, ואם יש סימן "-", אז זז שמאלה בכמה מקטעי יחידה שמכיל האיבר השני. צייר אותו בצורה דיאגרמטית ושם סימן ליד המספר שאתה מחפש?
6) שאל את השאלה "איפה אפס?"
7) קבע את הסימן של המספר שיש לו סימן שאלה, שהוא פתרון, כך: אם? נמצא מימין ל-0, אז לתשובה יש סימן +, אבל מה אם? נמצא משמאל ל-0, אז לתשובה יש סימן -. כתוב את הסימן שנמצא בתשובה אחרי הסימן =.
8) סמן שלושה קטעים בציור.
9) למצוא את אורך הקטע מאפס לסימן?
דוגמה 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.
1. אני מעתיק את הדוגמה ופותח את הסוגריים.
2. אני מצייר ציור ומסביר כך:
א) אני מסמן - 35 ועובר שמאלה ב-9 מקטעי יחידות; שמתי סימן ליד המספר הרצוי?;
ב) אני שואל את עצמי: "איפה אפס?" אני עונה: "אפס הוא מימין - 35 על 35 מקטעים של יחידות, מה שאומר שהסימן של התשובה הוא -, אז? משמאל לאפס";
ג) מחפשים את המרחק מ-0 לשלט?. כדי לעשות זאת, אני מחשב 35 + 9 = 44 ומקצה את המספר המתקבל בתגובה לסימן -.
דוגמה 2.- 35 + 9.
דוגמה 3. 9 - 35.
אנו פותרים את הדוגמאות הללו תוך שימוש בהיגיון דומה לדוגמא 1. לא יכולים להיות מקרים אחרים של סידור מספרים, וכל תמונה מתאימה לאחד הכללים המופיעים בספר הלימוד ודורשים שינון. אומת (ושוב ושוב) ששיטת הוספה זו רציונלית יותר. בנוסף, הוא מאפשר להוסיף מספרים גם כשהתלמיד חושב שהוא לא זוכר כלל אחד. השיטה הזאתעובד כשעובדים עם שברים, אתה רק צריך להביא אותם מכנה משותףואז לצייר ציור. לדוגמה,
כולם משתמשים בכרטיס "ההוראות" כל עוד יש צורך בכך.
עבודה כזו מחליפה את הפעולה המייגעת והמונוטונית של ספירה לפי כללי מחשבה חיה ופועלת. ישנם יתרונות רבים: אין צורך לדחוס ולהבין בקדחתנות איזה כלל ליישם; קל לזכור את המבנה של קו הקואורדינטות, וזה גם באלגברה וגם בגיאומטריה כאשר מחשבים את הערך של קטע כאשר נקודה על קו נמצאת בין שתי נקודות אחרות. טכניקה זו יעילה הן בשיעורים עם מחקר מעמיקמתמטיקה, ובשיעורי תקן גיל ואפילו בשיעורי תיקון.
בשיעור זה נלמד חיבור והפחתה של מספרים שלמים, וכן כללים לחיבור וחיסור שלהם.
זכור שמספרים שלמים הם כולם מספרים חיוביים ושליליים, כמו גם המספר 0. לדוגמה, המספרים הבאיםהם מספרים שלמים:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
מספרים חיוביים הם קלים, ו. למרבה הצער, לא ניתן לומר את אותו הדבר על מספרים שליליים, שמבלבלים מתחילים רבים עם המינוסים שלהם מול כל מספר. כפי שמראה בפועל, טעויות שנעשו עקב מספרים שליליים מתסכלות את התלמידים ביותר.
תוכן השיעורדוגמאות לחיבור והפחתה של מספרים שלמים
הדבר הראשון שכדאי ללמוד הוא להוסיף ולהחסיר מספרים שלמים באמצעות קו קואורדינטות. אין צורך בכלל לצייר קו קואורדינטות. מספיק לדמיין את זה במחשבותיך ולראות היכן ממוקמים המספרים השליליים ואיפה החיוביים.
הבה נבחן את הביטוי הפשוט ביותר: 1 + 3. הערך של ביטוי זה הוא 4:
ניתן להבין דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר 4 באיור ניתן לראות כיצד זה קורה:
סימן הפלוס בביטוי 1 + 3 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של הגדלת מספרים.
דוגמה 2.בוא נמצא את הערך של הביטוי 1 − 3.
הערך של ביטוי זה הוא −2
ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, עליך לעבור לשלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר השלילי −2. בתמונה אפשר לראות איך זה קורה:
סימן המינוס בביטוי 1 − 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.
באופן כללי, אתה צריך לזכור שאם הוספה מתבצעת, אז אתה צריך לנוע ימינה לכיוון הגידול. אם מתבצעת חיסור, אז אתה צריך לנוע שמאלה לכיוון הירידה.
דוגמה 3.מצא את הערך של הביטוי −2 + 4
הערך של ביטוי זה הוא 2
ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2, אתה צריך לזוז ארבעה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר החיובי 2.
ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −2 צד ימיןארבעה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר החיובי 2.
סימן הפלוס בביטוי −2 + 4 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של מספרים הולכים וגדלים.
דוגמה 4.מצא את הערך של הביטוי −1 − 3
הערך של ביטוי זה הוא −4
ניתן לפתור את הדוגמה הזו שוב באמצעות קו קואורדינטות. לשם כך, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −1, עליך לעבור לשלושה השלבים השמאלי. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר השלילי −4
ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −1 צד שמאלשלושה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר השלילי −4.
סימן המינוס בביטוי −1 − 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.
דוגמה 5.מצא את הערך של הביטוי −2 + 2
הערך של ביטוי זה הוא 0
ניתן לפתור דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. לשם כך, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2, עליך לעבור לשני השלבים הנכונים. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר 0
ניתן לראות שעברנו מהנקודה בה נמצא המספר השלילי −2 לצד ימין בשתי מדרגות והגענו לנקודה בה נמצא המספר 0.
סימן הפלוס בביטוי −2 + 2 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של עלייה במספרים.
כללים לחיבור והפחתה של מספרים שלמים
כדי להוסיף או להחסיר מספרים שלמים, אין בכלל צורך לדמיין קו קואורדינטות בכל פעם, על אחת כמה וכמה לצייר אותו. יותר נוח להשתמש בכללים מוכנים.
בעת יישום הכללים, יש לשים לב לסימן הפעולה ולסימני המספרים שיש להוסיף או לגרוע. זה יקבע איזה כלל ליישם.
דוגמה 1.מצא את הערך של הביטוי −2 + 5
כאן מתווסף מספר חיובי למספר שלילי. במילים אחרות, מוסיפים מספרים עם סימנים שונים. −2 הוא מספר שלילי, ו-5 הוא מספר חיובי. במקרים כאלה חל הכלל הבא:
כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, צריך להחסיר את המודול הקטן מהמודול הגדול, ולפני התשובה המתקבלת לשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר.
אז בואו נראה איזה מודול גדול יותר:
המודולוס של המספר 5 גדול מהמודלוס של המספר -2. הכלל מחייב להחסיר את הקטן מהמודול הגדול יותר. לכן, עלינו להחסיר 2 מ-5, ולפני התשובה המתקבלת לשים את הסימן של המספר שהמודלוס שלו גדול יותר.
למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן הסימן של המספר הזה יהיה בתשובה. כלומר, התשובה תהיה חיובית:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
בדרך כלל נכתב קצר יותר: −2 + 5 = 3
דוגמה 2.מצא את הערך של הביטוי 3 + (-2)
כאן, כמו בדוגמה הקודמת, מוסיפים מספרים עם סימנים שונים. 3 הוא מספר חיובי, ו-2 הוא מספר שלילי. שימו לב ש-2 מוקף בסוגריים כדי להבהיר את הביטוי. ביטוי זה הרבה יותר קל להבנה מאשר הביטוי 3+−2.
אז בואו נחיל את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים. כמו בדוגמה הקודמת, מחסירים את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר ולפני התשובה שמים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
המודולוס של המספר 3 גדול מהמודלוס של המספר −2, לכן הורדנו 2 מ-3 והקדמנו לתשובה המתקבלת את הסימן של המספר שהמודלוס שלו גדול יותר. למספר 3 יש מודולוס גדול יותר, ולכן הסימן של המספר הזה נכלל בתשובה. כלומר, התשובה חיובית.
בדרך כלל נכתב קצר יותר 3 + (−2) = 1
דוגמה 3.מצא את הערך של הביטוי 3 - 7
בביטוי זה, מספר גדול יותר מופחת ממספר קטן יותר. במקרה כזה חל הכלל הבא:
כדי להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר, צריך להחסיר את המספר הקטן מהמספר הגדול, ולשים מינוס לפני התשובה המתקבלת.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
יש מלכוד קל לביטוי הזה. נזכור שסימן השוויון (=) ממוקם בין כמויות וביטויים כאשר הם שווים זה לזה.
הערך של הביטוי 3 − 7, כפי שלמדנו, שווה ל- −4. המשמעות היא שכל הטרנספורמציות שנבצע בביטוי הזה חייבות להיות שווה ל-4
אבל אנחנו רואים שבשלב השני יש ביטוי 7 − 3, שאינו שווה ל- 4.
כדי לתקן מצב זה, אתה צריך לשים את הביטוי 7 - 3 בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים זה:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
במקרה זה, יישמר שוויון בכל שלב:
לאחר חישוב הביטוי, ניתן להסיר את הסוגריים, וזה מה שעשינו.
אז ליתר דיוק הפתרון צריך להיראות כך:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
ניתן לכתוב כלל זה באמצעות משתנים. זה ייראה כך:
a − b = − (b − a)
מספר רב של סוגריים וסימני פעולה יכולים לסבך את הפתרון של בעיה שנראית פשוטה, ולכן כדאי יותר ללמוד כיצד לכתוב דוגמאות כאלה בקצרה, למשל 3 − 7 = − 4.
למעשה, הוספה והפחתה של מספרים שלמים מסתכמת בלא יותר מחיבור. זה אומר שאם צריך להחסיר מספרים, ניתן להחליף את הפעולה הזו בחיבור.
אז בואו נכיר את הכלל החדש:
הפחתת מספר אחד ממספר אחר משמעה הוספת למינואנד מספר מנוגד לזה הנגרע.
לדוגמה, שקול את הביטוי הפשוט ביותר 5 − 3. On בשלבים הראשוניםלומדים מתמטיקה, שמנו סימן שוויון ורשמנו את התשובה:
אבל עכשיו אנחנו מתקדמים במחקר שלנו, אז אנחנו צריכים להסתגל לכללים החדשים. הכלל החדש אומר שהפחתת מספר אחד ממספר אחר פירושו הוספת למיניאנד את אותו המספר כמו ה-subtrahend.
בואו ננסה להבין את הכלל הזה באמצעות הדוגמה של ביטוי 5 - 3. המינואנד בביטוי זה הוא 5, והסיכוי הוא 3. הכלל אומר שכדי להחסיר 3 מ-5, צריך להוסיף ל-5 מספר שהוא ההפך מ-3. ההיפך של המספר 3 הוא −3 . בוא נכתוב ביטוי חדש:
ואנחנו כבר יודעים למצוא משמעויות לביטויים כאלה. זוהי תוספת של מספרים עם סימנים שונים, שעליה הסתכלנו קודם. כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול, ולפני התשובה המתקבלת שמים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
המודולוס של המספר 5 גדול מהמודלוס של המספר −3. לכן, הורדנו 3 מ-5 וקיבלנו 2. למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, אז שמים את הסימן של המספר הזה בתשובה. כלומר, התשובה חיובית.
בהתחלה, לא כולם מסוגלים להחליף במהירות חיסור בחיבור. זאת בשל העובדה שמספרים חיוביים נכתבים ללא סימן פלוס.
לדוגמה, בביטוי 3 − 1, סימן המינוס המציין חיסור הוא סימן פעולה ואינו מתייחס לאחת. יחידה ב במקרה הזההוא מספר חיובי, ויש לו סימן פלוס משלו, אבל אנחנו לא רואים אותו, שכן פלוס לא נכתב לפני מספרים חיוביים.
לכן, למען הבהירות, ניתן לכתוב את הביטוי הזה באופן הבא:
(+3) − (+1)
מטעמי נוחות, מספרים עם שלטים משלהם ממוקמים בסוגריים. במקרה זה, החלפת חיסור בחיבור היא הרבה יותר קלה.
בביטוי (+3) − (+1), המספר הנגרע הוא (+1), והמספר הנגדי הוא (−1).
בוא נחליף חיסור בחיבור ובמקום ה-subtrahend (+1) נכתוב את המספר ההפוך (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
חישובים נוספים לא יהיו קשים.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
במבט ראשון, אולי נראה מה הטעם בתנועות הנוספות האלה אם אתה יכול להשתמש בשיטה הישנה והטובה לשים סימן שוויון ולרשום מיד את התשובה 2. למעשה, כלל זה יעזור לנו יותר מפעם אחת.
בואו נפתור את הדוגמה הקודמת 3 − 7 באמצעות כלל החיסור. ראשית, נביא את הביטוי לצורה ברורה, ונקצה לכל מספר סימנים משלו.
לשלוש יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי. סימן המינוס המציין חיסור אינו חל על שבע. לשבע יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי:
בואו נחליף חיסור בחיבור:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
חישוב נוסף לא קשה:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
דוגמה 7.מצא את הערך של הביטוי −4 − 5
שוב יש לנו פעולת חיסור. יש להחליף פעולה זו בתוספת. למינואנד (-4) נוסיף את המספר שממול ל-subtrahend (+5). המספר ההפוך ל-subtrahend (+5) הוא המספר (-5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
הגענו למצב שצריך להוסיף מספרים שליליים. במקרים כאלה חל הכלל הבא:
כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה המתקבלת.
אז בואו נחבר את המודולים של המספרים, כפי שהכלל מחייב אותנו לעשות, ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
הערך עם המודולים חייב להיות מוקף בסוגריים ויש להציב סימן מינוס לפני סוגריים אלו. כך נספק מינוס שאמור להופיע לפני התשובה:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
ניתן לכתוב בקצרה את הפתרון לדוגמא זו:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
או אפילו קצר יותר:
−4 − 5 = −9
דוגמה 8.מצא את הערך של הביטוי −3 − 5 − 7 − 9
בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה. כאן, כל המספרים פרט ל-3 הם חיוביים, אז יהיו להם סימני פלוס:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
בואו נחליף חיסורים בתוספות. כל המינוסים, מלבד המינוס שלפני השלושה, ישתנו לפלוסים, וכל המספרים החיוביים ישתנו להפך:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
כעת נחיל את הכלל להוספת מספרים שליליים. כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
ניתן לכתוב בקצרה את הפתרון לדוגמא זו:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
או אפילו קצר יותר:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
דוגמה 9.מצא את הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7
בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
יש כאן שתי פעולות: חיבור וחיסור. נשאיר את החיבור ללא שינוי, ונחליף חיסור בחיבור:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
בהתבוננות, נבצע כל פעולה בתורה, בהתבסס על הכללים שנלמדו קודם לכן. ניתן לדלג על ערכים עם מודולים:
פעולה ראשונה:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
פעולה שנייה:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
פעולה שלישית:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
פעולה רביעית:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
לפיכך, הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7 הוא −15
הערה. אין צורך כלל להביא את הביטוי לצורה מובנת על ידי הוספת מספרים בסוגריים. כאשר מתרחשת התרגלות למספרים שליליים, ניתן לדלג על שלב זה מכיוון שהוא גוזל זמן ועלול להיות מבלבל.
לכן, כדי להוסיף ולהחסיר מספרים שלמים, עליך לזכור את הכללים הבאים:
הצטרף אלינו קבוצה חדשה VKontakte והתחל לקבל התראות על שיעורים חדשים
בשיעור זה נלמד מהו מספר שלילי ואיזה מספרים נקראים הפכים. נלמד גם כיצד להוסיף מספרים שליליים וחיוביים (מספרים בעלי סימנים שונים) ונסתכל על מספר דוגמאות להוספת מספרים עם סימנים שונים.
תסתכל על הציוד הזה (ראה איור 1).
אורז. 1. ציוד שעון
לא מדובר במחוג שמראה ישירות את השעה ולא בחוגה (ראה איור 2). אבל בלי החלק הזה השעון לא עובד.
אורז. 2. ציוד בתוך השעון
מה מסמלת האות Y? שום דבר מלבד הצליל Y. אבל בלעדיו, מילים רבות לא "יעבדו". לדוגמה, המילה "עכבר". כך גם מספרים שליליים: הם לא מראים שום כמות, אבל בלעדיהם מנגנון החישוב יהיה הרבה יותר קשה.
אנו יודעים שחיבור וחיסור הן פעולות שוות ערך וניתן לבצע אותן בכל סדר. בסדר ישיר, אנחנו יכולים לחשב: , אבל אנחנו לא יכולים להתחיל עם חיסור, מכיוון שעדיין לא הסכמנו על מה.
ברור שהגדלת המספר לפי ואז ירידה באמצעים בסופו של דבר ירידה בשלוש. למה לא לייעד את האובייקט הזה ולספור ככה: הוספה פירושה חיסור. לאחר מכן .
המספר יכול להיות, למשל, תפוח. המספר החדש אינו מייצג שום כמות אמיתית. כשלעצמו, זה לא אומר שום דבר כמו האות Y. זה רק כלי חדש כדי להקל על החישובים.
בואו נציין מספרים חדשים שלילי. כעת נוכל להחסיר את המספר הגדול מהמספר הקטן יותר. מבחינה טכנית, אתה עדיין צריך להחסיר את המספר הקטן מהמספר הגדול, אבל שים סימן מינוס בתשובתך: .
בואו נסתכל על דוגמה נוספת: 
. אתה יכול לעשות את כל הפעולות ברצף: .
עם זאת, קל יותר להחסיר את המספר השלישי מהמספר הראשון ואז להוסיף את המספר השני:
ניתן להגדיר מספרים שליליים בדרך אחרת.
עבור כל מספר טבעי, למשל, אנו מציגים מספר חדש, אותו נסמן, וקובעים שיש לו הנכס הבא: סכום המספר ושווה ל: .
נקרא למספר שלילי, ולמספרים ול- ממול. לפיכך, קיבלנו מספר אינסופי של מספרים חדשים, למשל:
ההפך ממספר;
ההפך ממספר;
ההפך ממספר; 
ההפך ממספר;
הורידו את המספר הגדול מהמספר הקטן: . בואו נוסיף לביטוי הזה: . קיבלנו אפס. אולם לפי המאפיין: המספר המוסיף אפס לחמש מסומן מינוס חמש: . לכן, ניתן לציין את הביטוי כ.
לכל מספר חיובי יש מספר תאום, אשר שונה רק בכך שקודם לו סימן מינוס נקראים מספרים כאלה מול(ראה איור 3).
אורז. 3. דוגמאות מספרים הפוכים
מאפיינים של מספרים מנוגדים
1. סכום המספרים ההפוכים הוא אפס: .
2. אם מחסירים מספר חיובי מאפס, התוצאה תהיה המספר השלילי ההפוך: .
1. שני המספרים יכולים להיות חיוביים, ואנחנו כבר יודעים להוסיף אותם: .
2. שני המספרים יכולים להיות שליליים.
כבר כיסינו הוספת מספרים כאלה בשיעור הקודם, אבל בואו נוודא שנבין מה לעשות איתם. לדוגמה: .
כדי למצוא את הסכום הזה, הוסף את המספרים החיוביים ההפוכים ושם סימן מינוס.
3. מספר אחד יכול להיות חיובי והשני שלילי.
אם זה נוח לנו, נוכל להחליף חיבור של מספר שלילי בחיסור של חיובי: .
עוד דוגמה אחת: . שוב נכתוב את הסכום כהפרש. הורידו מפחות מספר גדול יותראתה יכול להחסיר את הקטן מהגדול, אבל לשים סימן מינוס.
אנחנו יכולים להחליף את התנאים: .
עוד דוגמה דומה: .
בכל המקרים, התוצאה היא חיסור.
כדי לנסח בקצרה את הכללים הללו, בואו נזכור עוד מונח אחד. מספרים מנוגדים, כמובן, אינם שווים זה לזה. אבל זה יהיה מוזר לא לשים לב למה המשותף ביניהם. קראנו לזה נפוץ מספר מודולו. המודולוס של מספרים מנוגדים זהה: עבור מספר חיובי הוא שווה למספר עצמו, ועבור מספר שלילי הוא שווה להפך, חיובי. לדוגמה: , .
כדי להוסיף שני מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים סימן מינוס:
כדי להוסיף מספר שלילי ומספר חיובי, עליך להחסיר את המודול הקטן מהמודול הגדול ולשים את הסימן של המספר עם המודול הגדול:
שני המספרים הם שליליים, לכן, נוסיף את המודולים שלהם ונשים סימן מינוס:
שני מספרים עם סימנים שונים, לפיכך, ממודלוס המספר (המודלוס הגדול יותר), נחסר את מודול המספר ונשים סימן מינוס (סימן המספר בעל המודולוס הגדול):
שני מספרים בעלי סימנים שונים, אם כן, ממודלוס המספר (המודלוס הגדול יותר), נחסר את מודול המספר ונשים סימן מינוס (סימן המספר בעל המודולוס הגדול):.
שני מספרים בעלי סימנים שונים, לפיכך, ממודלוס המספר (המודלוס הגדול יותר), נחסר את מודול המספר ונשים סימן פלוס (סימן המספר בעל המודולוס הגדול): .
למספרים חיוביים ושליליים היו באופן היסטורי תפקידים שונים.
ראשית הצגנו מספרים טבעיים לספירת עצמים:
אחר כך הצגנו מספרים חיוביים אחרים - שברים, לספירת כמויות לא שלמות, חלקים: .
מספרים שליליים הופיעו ככלי לפשט חישובים. זה לא היה שיש כמויות בחיים שלא יכולנו לספור, והמצאנו מספרים שליליים.
כלומר, מספרים שליליים לא נבעו עולם אמיתי. הם פשוט התבררו כל כך נוחים שבמקומות מסוימים הם מצאו יישום בחיים. לדוגמה, אנו שומעים לעתים קרובות על טמפרטורה שלילית. עם זאת, אנחנו אף פעם לא נתקלים במספר שלילי של תפוחים. מה ההבדל?
ההבדל הוא שבחיים משתמשים בכמויות שליליות רק לשם השוואה, אבל לא לכמויות. אם למלון יש מרתף ומותקנת בו מעלית, אז כדי לשמור על המספור הרגיל של הקומות הרגילות, עלולה להופיע קומה ראשונה מינוס. המינוס הראשון הזה אומר רק קומה אחת מתחת לפני הקרקע (ראה איור 1).
אורז. 4. מינוס הקומה הראשונה ומינוס הקומה השנייה
טמפרטורה שלילית היא שלילית רק בהשוואה לאפס, אשר נבחר על ידי מחבר הסולם, אנדרס צלסיוס. יש קשקשים אחרים, ואולי אותה טמפרטורה כבר לא תהיה שלילית שם.
יחד עם זאת, אנו מבינים שאי אפשר לשנות את נקודת המוצא כך שלא יהיו חמישה תפוחים, אלא שישה. כך, בחיים משתמשים במספרים חיוביים לקביעת כמויות (תפוחים, עוגה).
אנחנו גם משתמשים בהם במקום בשמות. ניתן לתת לכל טלפון שם משלו, אך מספר השמות מוגבל ואין מספרים. זו הסיבה שאנו משתמשים במספרי טלפון. גם להזמנה (מאה אחרי מאה).
מספרים שליליים בחיים משמשים במובן האחרון (מינוס הקומה הראשונה מתחת לקומה האפס והקומה הראשונה)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. מתמטיקה 6. M.: Mnemosyne, 2012.
- מרזליאק א.ג., פולונסקי V.V., יקיר מ.ס. מתמטיקה כיתה ו'. "גימנסיה", 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. מאחורי דפי ספר מתמטיקה. מ': חינוך, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. מטלות לקורס מתמטיקה כיתות ה'-ו'. מ.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. מתמטיקה 5-6. מדריך לתלמידי כיתה ו' בבית הספר להתכתבות MEPhI. מ.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shvrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. מתמטיקה: ספר לימוד-איש שיח לכיתות ה'-ו' של תיכון. מ.: חינוך, ספריית מורים למתמטיקה, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
שיעורי בית
שיעור זה עוסק בחיבור וחיסור של מספרים רציונליים. הנושא מסווג כמורכב. כאן יש צורך להשתמש בכל ארסנל הידע שנרכש בעבר.
הכללים לחיבור והפחתה של מספרים שלמים חלים גם על מספרים רציונליים. נזכיר שמספרים רציונליים הם מספרים שניתן לייצג כשבר, שם א –זה המונה של השבר, בהוא המכנה של השבר. שבו, בלא צריך להיות אפס.
בשיעור זה, נכנה יותר ויותר שברים ומספרים מעורבים על ידי ביטוי נפוץ אחד - מספר רציונלי.
ניווט שיעור:דוגמה 1.מצא את משמעות הביטוי:
בואו נסיים כל אחד מספר ראציונאליבסוגריים יחד עם הסימנים שלהם. אנו לוקחים בחשבון שהפלוס שניתן בביטוי הוא סימן לפעולה ואינו חל על השבר. לשבר זה יש סימן פלוס משלו, שאינו נראה בשל העובדה שהוא לא כתוב. אבל נכתוב את זה למען הבהירות:
זוהי תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. כדי להוסיף מספרים רציונליים עם סימנים שונים, צריך להחסיר את המודול הקטן מהמודול הגדול, ולפני התשובה המתקבלת לשים את הסימן של המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר. וכדי להבין איזה מודול גדול יותר ואיזה קטן יותר, אתה צריך להיות מסוגל להשוות את המודולים של השברים האלה לפני חישובם:
המודולוס של מספר רציונלי גדול מהמודלוס של מספר רציונלי. לכן, הורדנו מ-. קיבלנו תשובה. ואז, בהפחתת השבר הזה ב-2, קיבלנו את התשובה הסופית.
ניתן לדלג על פעולות פרימיטיביות מסוימות, כגון הצבת מספרים בסוגריים והוספת מודולים. ניתן לכתוב דוגמה זו בקצרה:
דוגמה 2.מצא את משמעות הביטוי:
נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו. אנו לוקחים בחשבון שהמינוס העומד בין מספרים רציונליים הוא סימן לפעולה ואינו חל על השבר. לשבר זה יש סימן פלוס משלו, שאינו נראה בשל העובדה שהוא לא כתוב. אבל נכתוב את זה למען הבהירות:
בואו נחליף חיסור בחיבור. הבה נזכיר לך שכדי לעשות זאת עליך להוסיף למינונד את המספר שממול ל-subtrahend:
השגנו חיבור של מספרים רציונליים שליליים. כדי להוסיף מספרים רציונליים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
הערה.אין צורך להקיף כל מספר רציונלי בסוגריים. זה נעשה מטעמי נוחות, על מנת לראות בבירור אילו סימנים יש למספרים הרציונליים.
דוגמה 3.מצא את משמעות הביטוי:
בביטוי זה, השברים מכנים שונים. כדי להקל על המשימה שלנו, בואו נצמצם את השברים האלה למכנה משותף. לא נתעכב בפירוט כיצד לעשות זאת. אם אתה נתקל בקשיים, הקפד לחזור על השיעור.
לאחר הפחתת השברים למכנה משותף, הביטוי יקבל את הצורה הבאה:
זוהי תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול, ולפני התשובה המתקבלת שמים את הסימן של המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר:
נרשום בקצרה את הפתרון לדוגמה:
דוגמה 4.מצא את הערך של ביטוי
הבה נחשב את הביטוי הזה באופן הבא: נוסיף את המספרים הרציונליים ולאחר מכן נחסר את המספר הרציונלי מהתוצאה המתקבלת. 
פעולה ראשונה:
פעולה שנייה:
דוגמה 5. מצא את משמעות הביטוי:
נציג את המספר השלם −1 כשבר, ונמיר את המספר המעורב ל שבר לא תקין:
הבה נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו:
השגנו תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. אנו מפחיתים את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר, ולפני התשובה המתקבלת שמים את הסימן של המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר:
קיבלנו תשובה.
יש פתרון שני. זה מורכב מחיבור של חלקים שלמים בנפרד.
אז בואו נחזור לביטוי המקורי:
בוא נסגור כל מספר בסוגריים. לשם כך, המספר המעורב הוא זמני:
בוא נחשב את החלקים השלמים:
(−1) + (+2) = 1
בביטוי הראשי, במקום (−1) + (+2), נכתוב את היחידה המתקבלת:
הביטוי המתקבל הוא . כדי לעשות זאת, כתוב את היחידה ואת השבר יחד:
בוא נכתוב את הפתרון בצורה קצרה יותר:
דוגמה 6.מצא את הערך של ביטוי
בואו נמיר את המספר המעורב לשבר לא תקין. בוא נשכתב את השאר מבלי לשנות:
הבה נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו:
בואו נחליף חיסור בחיבור:
נרשום בקצרה את הפתרון לדוגמה:
דוגמה 7.מצא את הערך של ביטוי
בואו נציג את המספר השלם −5 כשבר, ונמיר את המספר המעורב לשבר לא תקין:
בואו נביא את השברים הללו למכנה משותף. לאחר שהם יצטמצמו למכנה משותף, הם יעשו את הצורה הבאה:
הבה נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו:
בואו נחליף חיסור בחיבור:
השגנו חיבור של מספרים רציונליים שליליים. בואו נוסיף את המודולים של המספרים האלה ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
לפיכך, הערך של הביטוי הוא .
בואו נפתור את הדוגמה הזו בדרך השנייה. נחזור לביטוי המקורי:
בוא נכתוב את המספר המעורב בצורה מורחבת. בואו נשכתב את השאר ללא שינויים:
אנו מקיפים כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו:
בוא נחשב את החלקים השלמים:
בביטוי הראשי, במקום לכתוב את המספר המתקבל −7
הביטוי הוא צורה מורחבת של כתיבת מספר מעורב. נכתוב את המספר −7 ואת השבר יחד כדי ליצור את התשובה הסופית:
בוא נכתוב את הפתרון הזה בקצרה:
דוגמה 8.מצא את הערך של ביטוי
אנו מקיפים כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו:
בואו נחליף חיסור בחיבור:
השגנו חיבור של מספרים רציונליים שליליים. בואו נוסיף את המודולים של המספרים האלה ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
אז הערך של הביטוי הוא
ניתן לפתור את הדוגמה הזו בדרך השנייה. זה מורכב מהוספת חלקים שלמים ושברים בנפרד. נחזור לביטוי המקורי:
הבה נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו:
בואו נחליף חיסור בחיבור:
השגנו חיבור של מספרים רציונליים שליליים. בואו נוסיף את המודולים של המספרים הללו ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת. אבל הפעם נוסיף את החלקים השלמים (-1 ו-2), גם שברים וגם
בוא נכתוב את הפתרון הזה בקצרה:
דוגמה 9.מצא ביטויי ביטוי 
בואו נמיר מספרים מעורבים לשברים לא תקינים:
נכניס מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימן שלו. אין צורך לשים מספר רציונלי בסוגריים, מכיוון שהוא כבר בסוגריים:
השגנו חיבור של מספרים רציונליים שליליים. בואו נוסיף את המודולים של המספרים האלה ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
אז הערך של הביטוי הוא
כעת ננסה לפתור את אותה דוגמה בדרך השנייה, כלומר על ידי הוספת חלקים שלמים ושברים בנפרד.
הפעם, על מנת לקבל פתרון קצר, ננסה לדלג על כמה שלבים, כמו כתיבת מספר מעורב בצורה מורחבת והחלפת חיסור בחיבור:
שים לב שחלקים שברים צומצמו למכנה משותף.
דוגמה 10.מצא את הערך של ביטוי 
בואו נחליף חיסור בחיבור:
הביטוי המתקבל אינו מכיל מספרים שליליים, שהם הסיבה העיקרית לשגיאות. ומכיוון שאין מספרים שליליים, נוכל להסיר את הפלוס לפני ה-subtrahend וגם להסיר את הסוגריים:
התוצאה היא ביטוי פשוט שקל לחשב אותו. בואו לחשב את זה בכל דרך שנוחה לנו:
דוגמה 11.מצא את הערך של ביטוי
זוהי תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. הבה נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר, ולפני התשובה המתקבלת נשים את הסימן של המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר:
דוגמה 12.מצא את הערך של ביטוי 
הביטוי מורכב ממספר מספרים רציונליים. לפי, קודם כל צריך לבצע את השלבים בסוגריים.
ראשית, אנו מחשבים את הביטוי, ואז נוסיף את התוצאות שהתקבלו.
פעולה ראשונה:
פעולה שנייה:
פעולה שלישית:
תשובה:ערך ביטוי שווים
דוגמה 13.מצא את הערך של ביטוי 
בואו נמיר מספרים מעורבים לשברים לא תקינים:
בואו נשים את המספר הרציונלי בסוגריים יחד עם הסימן שלו. אין צורך לשים את המספר הרציונלי בסוגריים, מכיוון שהוא כבר בסוגריים:
בואו נביא את השברים הללו למכנה משותף. לאחר שהם יצטמצמו למכנה משותף, הם יעשו את הצורה הבאה:
בואו נחליף חיסור בחיבור:
השגנו תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. הבה נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר, ולפני התשובה המתקבלת נשים את הסימן של המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר:
לפיכך, משמעות הביטוי שווים
בואו נסתכל על חיבור והפחתה של עשרונים, שהם גם מספרים רציונליים ויכולים להיות חיוביים או שליליים.
דוגמה 14.מצא את הערך של הביטוי −3.2 + 4.3
נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו. אנו לוקחים בחשבון שהפלוס שניתן בביטוי הוא סימן פעולה ואינו חל על השבר העשרוני 4.3. לשבר עשרוני זה יש סימן פלוס משלו, שאינו נראה בשל העובדה שהוא לא כתוב. אבל נכתוב את זה למען הבהירות:
(−3,2) + (+4,3)
זוהי תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. כדי להוסיף מספרים רציונליים עם סימנים שונים, צריך להחסיר את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר, ולפני התשובה המתקבלת לשים את המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר. וכדי להבין איזה מודול גדול יותר ואיזה קטן יותר, אתה צריך להיות מסוגל להשוות בין המודולים של השברים העשרוניים האלה לפני חישובם:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
המודולוס של המספר 4.3 גדול מהמודלוס של המספר -3.2, אז הורדנו 3.2 מ-4.3. קיבלנו את התשובה 1.1. התשובה חיובית, שכן יש להקדים את התשובה בסימן המספר הרציונלי שהמודלוס שלו גדול יותר. והמודלוס של המספר 4.3 גדול מהמודלוס של המספר −3.2
לפיכך, הערך של הביטוי −3.2 + (+4.3) הוא 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
דוגמה 15.מצא את הערך של הביטוי 3.5 + (-8.3)
זוהי תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. כמו בדוגמה הקודמת, נחסר את הקטן מהמודול הגדול ולפני התשובה שמים את הסימן של המספר הרציונלי שהמודול שלו גדול יותר:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
לפיכך, הערך של הביטוי 3.5 + (-8.3) הוא -4.8
ניתן לכתוב דוגמה זו בקצרה:
3,5 + (−8,3) = −4,8
דוגמה 16.מצא את הערך של הביטוי -7.2 + (-3.11)
זוהי תוספת של מספרים רציונליים שליליים. כדי להוסיף מספרים רציונליים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה המתקבלת.
אתה יכול לדלג על הערך עם מודולים כדי לא לבלבל את הביטוי:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
לפיכך, הערך של הביטוי −7.2 + (−3.11) הוא −10.31
ניתן לכתוב דוגמה זו בקצרה:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
דוגמה 17.מצא את הערך של הביטוי -0.48 + (-2.7)
זוהי תוספת של מספרים רציונליים שליליים. בואו נוסיף את המודולים שלהם ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת. אתה יכול לדלג על הערך עם מודולים כדי לא לבלבל את הביטוי:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
דוגמה 18.מצא את הערך של הביטוי −4.9 − 5.9
נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו. אנו לוקחים בחשבון שהמינוס, שנמצא בין המספרים הרציונליים −4.9 ו-5.9, הוא סימן פעולה ואינו שייך למספר 5.9. למספר רציונלי זה יש סימן פלוס משלו, שאינו נראה בשל העובדה שהוא לא כתוב. אבל נכתוב את זה למען הבהירות:
(−4,9) − (+5,9)
בואו נחליף חיסור בחיבור:
(−4,9) + (−5,9)
השגנו חיבור של מספרים רציונליים שליליים. בואו נוסיף את המודולים שלהם ונשים מינוס לפני התשובה המתקבלת:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
לפיכך, הערך של הביטוי −4.9 − 5.9 הוא −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
דוגמה 19.מצא את הערך של הביטוי 7 - 9.3
בואו נשים כל מספר בסוגריים יחד עם הסימנים שלו.
(+7) − (+9,3)
בואו נחליף חיסור בחיבור
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
לפיכך, הערך של הביטוי 7 - 9.3 הוא -2.3
נרשום בקצרה את הפתרון לדוגמה:
7 − 9,3 = −2,3
דוגמה 20.מצא את הערך של הביטוי −0.25 − (−1.2)
בואו נחליף חיסור בחיבור:
−0,25 + (+1,2)
השגנו תוספת של מספרים רציונליים עם סימנים שונים. הבה נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול, ולפני התשובה שמים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
נרשום בקצרה את הפתרון לדוגמה:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
דוגמה 21.מצא את הערך של הביטוי -3.5 + (4.1 - 7.1)
הבה נבצע את הפעולות בסוגריים, ולאחר מכן נוסיף את התשובה המתקבלת עם המספר −3.5
פעולה ראשונה:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
פעולה שנייה:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
תשובה:הערך של הביטוי -3.5 + (4.1 - 7.1) הוא -6.5.
דוגמה 22.מצא את הערך של הביטוי (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1)
בוא נעשה את השלבים בסוגריים. לאחר מכן, מהמספר שהתקבל כתוצאה מביצוע הסוגריים הראשונים, הפחיתו את המספר שהתקבל כתוצאה מביצוע הסוגריים השניים:
פעולה ראשונה:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
פעולה שנייה:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
מערכה שלישית
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
תשובה:הערך של הביטוי (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) הוא 6.
דוגמה 23.מצא את הערך של ביטוי −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
הבה נסגור כל מספר רציונלי בסוגריים יחד עם הסימנים שלו
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
בואו נחליף חיסור בחיבור במידת האפשר:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
הביטוי מורכב ממספר מונחים. לפי חוק החיבור המשלב, אם ביטוי מורכב ממספר מונחים, אזי הסכום לא יהיה תלוי בסדר הפעולות. המשמעות היא שניתן להוסיף את התנאים בכל סדר.
בואו לא נמציא את הגלגל מחדש, אלא נוסיף את כל המונחים משמאל לימין לפי סדר הופעתם:
פעולה ראשונה:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
פעולה שנייה:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
פעולה שלישית:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
תשובה:הערך של הביטוי −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 הוא 1.
דוגמה 24.מצא את הערך של ביטוי
בואו נתרגם נקודה−1.8 במספר מעורב. בוא נשכתב את השאר מבלי לשנות:
