מספרים הפוכים, הגדרה, דוגמאות. מספרים שליליים

נושא

סוג שיעור

• לימוד והטמעה ראשונית של חומר חדש

מטרות השיעור

למד את ההגדרות של מספרים חיוביים, שליליים והפוכים.

מצא מספרים מנוגדים בעת פתרון תרגילים, בעת פתרון משוואות

התפתחותית - לפתח את תשומת הלב, ההתמדה, ההתמדה של התלמידים, חשיבה לוגית, דיבור מתמטי.

חינוכי - לחנך באמצעות שיעור יחס קשובזה לזה, להקנות את היכולת להקשיב לחברים, עזרה הדדית, עצמאות.

מטרות השיעור

גלה מהם המספרים ההפוכים

למד להשתמש במושג זה בעת פתרון בעיות

בדוק את כישורי פתרון הבעיות של התלמידים.

מערך שיעור

1. הקדמה.

2. חלק תיאורטי

3. חלק מעשי.

4. שיעורי בית.

5. עובדות מעניינות

מבוא

התבונן בתמונות ותאר במילה אחת מה שונה בהן.

התמונות מציגות הפכים.

– אלו שני מספרים שווים בערכם המוחלט, אך בעלי סימנים שונים, למשל. 5 ו-5.

חלק תיאורטי

ראשית, בואו נזכור מה זה מספרים שליליים. תראה וִידֵאוֹ:

נקודות עם קואורדינטות 5 ו-5 מרוחקות באותה מידה מנקודה O וממוקמות בצדדים מנוגדים שלה. כדי להגיע מנקודה O לנקודות אלו צריך לנסוע באותם מרחקים, אבל בכיוונים מנוגדים. המספרים 5 ו-5 נקראים מספרים הפוכים: 5 הוא ההפך מ-5, ו-5 הוא ההפך מ-5.

שני מספרים הנבדלים זה מזה רק בסימנים נקראים מספרים הפוכים.

לדוגמה, מספרים מנוגדים יהיו 35 ו-35, שכן המספר 35 = +35, כלומר המספרים 35 ו-35 נבדלים רק בסימנים. המספרים המנוגדים יהיו גם 0.8 ו-0.8, ¾ ו-¾.

מאפיינים של מספרים מנוגדים

1). לכל מספר יש רק מספר אחד הפוך.

2). המספר 0 הוא ההפך מעצמו.

3). המספר ההפוך של a מסומן -a. אם a = -7.8, אז -a = 7.8; אם a = 8.3, אז -a = -8.3; אם a = 0, אז -a = 0.

4). הסימון "-(-15)" פירושו המספר ההפוך של -15. מכיוון שההיפך מ-15 הוא 15, אז -(-15) = 15. באופן כללי -(-א) = א.

המספרים הטבעיים, ההפכים שלהם ואפס נקראים מספרים שלמים.

מספר הפוך n" ביחס למספר n הוא מספר שהוספתו ל-n נותן אפס.

n + n" = 0

ניתן לשכתב את השוויון הזה באופן הבא:

n + n" − n = 0 − nאוֹ n" = − n

לכן, מספרים הפוכיםיש אותם מודולים, אבל סימנים הפוכים.

בהתאם לכך, המספר ההפוך של n מסומן − n. כאשר מספר חיובי, המספר ההפוך שלו יהיה שלילי, ולהיפך.

1. תן דוגמאות למספרים מנוגדים.

2. צייר אותם על קו קואורדינטות.

3. שם את המספר שממול -3.6; 7; 0; 8/9; -1/2

חלק מעשי

דוגמא

1) סמן על קו הקואורדינטות נקודות A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) בין הנקודות הללו, מצא וציין את אלה שהן סימטריות ביחס לנקודה O(0). מה ניתן לומר על הקואורדינטות של נקודות סימטריות?

נקודות סימטריות ביחס לנקודה O(0): A(2) ו-B(-2), E(- 5.2) ו-F(5.2)

קואורדינטות של נקודות סימטריותהם מספרים שנבדלים רק בסימן. מספרים כאלה נקראים מול.

סמן את הנקודות A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) על קו הקואורדינטות. מה אתה יכול לומר על המספרים הללו ??

מבין המספרים 15; 2.5; – 2.5; - 18; 0; 45; – 45 בחרו: א) מספרים טבעיים; ב) מספרים שלמים; ג) מספרים שליליים; ד) מספרים חיוביים; ה) מספרים מנוגדים.

1) רשום את המספר שממול למספר א'.

2) ציין את המספר שממול למספר a אם:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3.4.

1) זכור מה משמעות הערך: - (- א).

2) הצב מספר במקום * כדי לקבל את השוויון הנכון: א) - (- 5) = *; ב) 3 = – *.

שיעורי בית

1). מלא את הטבלה:

2). מצא: א) -מ,

אם m = -8,

אם m = -16

אם -k = 27

אם -k = -35

אם c = 41

אם c = -3.6

3). כמה זוגות של מספרים מנוגדים נמצאים בין המספרים -7.2 ו-3.6. סמן על קו הקואורדינטות.

4). גלה את שמו של המדען הצרפתי המצטיין:

אתה יודע איפה ב חיי היום - יוםהאם אנו נתקלים במספרים חיוביים ושליליים?

רשימת מקורות בשימוש

1. אנציקלופדיה מתמטית (ב-5 כרכים). - M.: אנציקלופדיה סובייטית, 2002. - ת' 1.
2." המדריך האחרוןילד בית ספר" "בית המאה ה-XXI" 2008
3. סיכום שיעור בנושא " מספרים הפוכיםמחבר: Petrova V.P., מורה למתמטיקה (כיתות ה'-ט'), קייב
4. נ.יא.וילנקין, א.ש. צ'סנוקוב, ש.י. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, מתמטיקה לכיתה ו', ספר לימוד לתיכון

הבה נשקול את הדוגמה הזו. אתה צריך לספור ברצף: .

אתה יכול לסדר מחדש את המספרים שיש להוסיף, ולאחר מכן להחסיר את הנותרים: .

אבל זה לא תמיד נוח. למשל, אנחנו יכולים לחשב את איזון הדברים במחסן כלשהו וצריך לדעת את תוצאת הביניים.

אתה יכול לבצע פעולות ברצף: .

אנו יודעים, אם כן, התוצאה תהיה חיסור מהמספר. זה אומר שאנחנו צריכים להחסיר, אבל לא מכלום עדיין. כשיש לנו משהו להחסיר ממנו, אנחנו מפחיתים:

אבל אנחנו יכולים "לרמות" ולהגדיר . אז נציג אובייקט חדש - מספרים שליליים.

כבר ביצענו פעולה כזו - בטבע, למשל, גם המספר "" לא היה קיים, אבל הצגנו אובייקט כזה כדי להקל על הקלטת פעולות.

תארו לעצמכם שבמחסן ספורט הוטל עלינו להנפיק ולקבל כדורים. אנחנו צריכים לשמור תיעוד. אתה יכול לכתוב במילים:

הונפק, התקבל, הונפק, התקבל, … (ראה איור 1.)

אורז. 1. הנהלת חשבונות

מסכים, אם אתה צריך להנפיק ולקבל הרבה פעמים ביום, אז ההקלטה לא מאוד נוחה.

אתה יכול לחלק את הגיליון לשתי עמודות, האחת - מקובלת, השנייה - הוצאה. (ראה איור 2.)

אורז. 2. הקלטה פשוטה

ההקלטה התקצרה. אבל הנה הבעיה: איך להבין כמה כדורים נלקחו (או נמסרו) בכל רגע מסוים בזמן?

ניתן להיעזר בשיקול הבא לרישום: כאשר אנו מוציאים כדורים מהמחסן, הכמות שלהם במחסן יורדת, וכאשר אנו מקבלים אותם היא עולה.

אבל איך לכתוב "נתן את הכדור"? אתה יכול להזין את האובייקט הבא: .

אובייקט זה מאפשר לנו לערוך תיעוד מתמטי של תנועת הכדורים לפי סדר התרחשותם:

בואו נסתכל על דוגמה נוספת.

יש רובל בחשבון הטלפון שלך. נכנסת לאינטרנט וזה עלה רובל. התוצאה הייתה חוב של רובל. המפעיל יכול היה לרשום: "הלקוח חייב רובל". אתה שם רובל. המפעיל קיזז את החוב. התברר על חשבון רובל.

אבל זה נוח לתעד הן עסקאות והן כסף בחשבון באמצעות הסימנים "" ו"". (ראה איור 3.)

אורז. 3. הקלטה נוחה

נזין מספר שלילי כדי לכתוב את התוצאה של הפחתת מספר גדול ממספר קטן יותר: .

הוספת מספר שלילי שווה ערך להפחתת: .

כדי להבחין בין מספרים שליליים למספרים החיוביים שבהם עסקנו קודם, הסכמנו לשים לפניו סימן מינוס: .

הייתם יכולים בלעדיהם? כן אתה יכול. בכל מצב נתון, היינו משתמשים במילים "חזרה", "להשאיל" וכן הלאה. אבל הם, המילים האלה, יהיו שונות.

וכך יש לנו כלי אוניברסלי ונוח. אחד לכל המקרים האלה.

אנחנו יכולים לצייר אנלוגיה עם מכונית. זה מורכב מ כמות גדולהחלקים, שרבים מהם אינם נחוצים בנפרד, אך כולם יחד מאפשרים לך לנהוג. כמו כן, מספרים שליליים הם כלי שיחד עם כלים מתמטיים אחרים, מקל על חישוב ופשטות הפתרון והכתיבה של בעיות רבות.

אז, הצגנו אובייקט חדש - מספרים שליליים. למה הם משמשים בחיים?

ראשית, בואו נזכור את התפקידים של מספרים חיוביים:

כמות: למשל עץ, ליטר חלב. (ראה איור 4.)

אורז. 4. כמות

הזמנה: לדוגמה, בתים ממוספרים במספרים חיוביים. (ראה איור 5.)

אורז. 5. התארגנו

שם: לדוגמה, מספר שחקן כדורגל. (ראה איור 6.)

אורז. 6. מספר כשם

כעת נסתכל על הפונקציות של מספרים שליליים:

ציון הכמות החסרה. הכמות לעולם אינה שלילית. אבל מספר שלילי משמש כדי להראות שכמות מופחתת. לדוגמה, אנחנו יכולים למזוג מבקבוק ולכתוב את זה בתור . (ראה איור 7.)

אורז. 7. ציון כמות חסרה

עֲרִיכָה. לפעמים, בעת מספור, אפס נבחר וצריך למספר אובייקטים משני צידי האפס. לדוגמה, הקומות הממוקמות מתחת ל-th, במרתף. (ראה איור 8.) או טמפרטורה שהיא מתחת לאפס שנבחר. (ראה איור 9.)

אורז. 8. קומה ממוקמת מתחת ל-th, במרתף

אורז. 9. מספרים שלילייםבסולם מדחום

אבל עדיין, המטרה העיקרית של מספרים שליליים היא ככלי לפשט חישובים מתמטיים.

אבל כדי שמספרים שליליים יהפכו לכלי כל כך נוח, אתה צריך:

טמפרטורה שלילית היא טמפרטורה מתחת לאפס, מתחת לאפס. אבל מהי טמפרטורה אפסית? כדי למדוד ולתעד טמפרטורה, עליך לבחור יחידת מדידה ונקודת ייחוס. שניהם הסכמים. אנו משתמשים בסולם צלזיוס אחרי המדען שהציע זאת. (ראה איור 10.)

אורז. 10. אנדרס צלסיוס

נקודת הקיפאון של המים נבחרת כאן כנקודת הייחוס. כל מה למטה מצוין ערך שלילי. (ראה איור 11.)

אורז. אחד עשר.

אבל ברור שאם ניקח עוד נקודת התייחסות, עוד אפס, אז טמפרטורה שליליתצלזיוס יכול להיות חיובי בקנה מידה אחר זה. זה מה שקורה. סולם קלווין נמצא בשימוש נרחב בפיזיקה. זה דומה לסולם צלזיוס, רק הערך הנמוך ביותר נבחר כאפס טמפרטורה אפשרית(לא יכול להיות נמוך יותר). ערך זה נקרא "אפס מוחלט". בצלזיוס זה בערך . (ראה איור 12.)

אורז. 12. שני סולמות

כלומר, אין ערכים שליליים בסולם קלווין בכלל.

אז הקיץ שלנו .

והקפואים .

כלומר, טמפרטורה שלילית היא מוסכמה, הסכמה בין אנשים לקרוא לזה כך.

בואו נתחיל מאפס. אפס תופס מקום מיוחד בין מספרים.

כפי שכבר דנו, לנוחיותנו נוכל לסמן את חיסור שבע כמספר שלילי. מכיוון שזה אומר חיסור, אנו משאירים את הסימן "" כסימן שלו. בוא נציין מספר חדש.

כלומר, "" הוא מספר שמצטבר לאפס: . ובכל סדר. זוהי ההגדרה של מספר שלילי (או הפוך).

לכל מספר שלמדנו קודם לכן נציג מספר חדש, שלילי, שסימן המינוס שלפניו. כלומר, עבור כל מספר קודם הופיע התאום השלילי שלו. אנו קוראים לתאומים כאלה מספרים הפוכים. (ראה איור 13.)

אורז. 13. מספרים הפוכים

אז, ההגדרה: מספרים מנוגדים הם שני מספרים שסכומם שווה לאפס.

חיצונית, הם נבדלים רק בסימן "".

אם לפני משתנה יש סימן "", למשל, מה זה אומר? זה לא אומר שהערך הזה שלילי. סימן המינוס אומר שהערך הזה הוא ההפך מהמספר: . אנחנו לא יודעים איזה מהמספרים האלה חיובי ואיזה שלילי.

אם, אז.

אם (מספר שלילי), אז (מספר חיובי).

איזה מספר מנוגד לאפס? אנחנו כבר יודעים את זה.

אם יתווסף אפס למספר כלשהו, ​​כולל אפס, אז המספר המקורי לא ישתנה. כלומר, סכום שני אפסים הוא אפס:. אבל מספרים שסכומם אפס הם הפכים. לפיכך, אפס מנוגד לעצמו.

אז, נתנו את ההגדרה של מספרים שליליים וגילינו מדוע הם נחוצים.

עכשיו בואו נקדיש מעט זמן לטכנולוגיה. לעת עתה, עלינו ללמוד כיצד למצוא את ההיפך שלו עבור כל מספר:

בחלק האחרון של השיעור נדבר על שמות וסימונים חדשים לקבוצות המופיעות לאחר הכנסת מספרים שליליים.

במאמר זה ננסה להבין מהם מספרים מנוגדים. נסביר מה הם באופן כללי, נראה אילו ייעודים ספציפיים משמשים עבורם, ונסתכל על כמה דוגמאות. בחלק האחרון של החומר נפרט את התכונות העיקריות של מספרים מנוגדים.

כדי להסביר את עצם הרעיון של ניגודים, ראשית עלינו לתאר קו קואורדינטות. בואו ניקח את נקודה M עליה (אבל לא ממש בתחילת הספירה לאחור). המרחק שלו לאפס יהיה שווה למספר מסוים של מקטעי יחידה, שניתן, בתורו, להיות מחולק לעשיריות ומאיות. אם נמדוד את אותו המרחק מהמוצא בכיוון ההפוך לזה שבו M נמצא, אז נוכל להגיע לנקודה דומה נוספת. בואו נקרא לזה נ. לדוגמה, מ-M לאפס הוא מרחק של 2.4 מקטעי יחידה, ומ-N לאפס זהה. תסתכל על התמונה:

הבה נזכור שכל נקודה על קו קואורדינטות יכולה להיות קשורה למספר ממשי אחד בלבד. במקרה זה, הנקודות M ו-N שלנו מתאימות למספרים מסוימים, הנקראים מול. לכל מספר יש מספר הפוך, מלבד אפס. מכיוון שזו תחילתה של הספירה לאחור, היא נחשבת להיפך מעצמו.

נרשום את ההגדרה של מספרים מנוגדים:

הגדרה 1

מולנקראים מספרים שמתואמים לנקודות כאלה על קו הקואורדינטות שאליהן נגיע אם נסמן את אותו המרחק מהמוצא בכיוונים שונים (חיובי ושלילי). אפס נמצא במקור והוא מנוגד לעצמו.

כיצד מסומנים מספרים מנוגדים?

בחלק זה נציג סימון בסיסי עבור מספרים כאלה. אם יש לנו מספר מסוים ואנחנו צריכים לרשום את ההפך ממנו, אז אנחנו משתמשים במינוס בשביל זה.

דוגמה 1

נניח שהמספר שלנו הוא a, ולכן ההיפך שלו הוא a (מינוס a). בדיוק באותו אופן, עבור 0.26 ההיפך הוא - 0.26, ועבור 145 זה יהיה - 145. אם המספר המקורי עצמו שלילי, למשל, - 9, נכתוב את ההפך כ- (- 9).

אילו עוד דוגמאות למספרים מנוגדים אתה יכול לתת? ניקח את המספרים השלמים: 12 ו- 12. מול מספר רציונלי– אלו הם 3 2 11 ו- 3 2 11, וכן 8, 128 ו- 8, 128, 0, (18901) ו- 0, (18901), וכו'. מספרים אי-רציונליים יכולים להיות גם מנוגדים, למשל, ערכים ביטויים מספריים 2 + 1 ו - 2 + 1.

המספרים האי-רציונליים ההפוכים יהיו גם e ו- e.

תכונות בסיסיות של מספרים מנוגדים

למספרים כאלה יש תכונות מסוימות. להלן נביא רשימה שלהם עם הסברים.

הגדרה 2

1. אם המספר המקורי חיובי, אז ההיפך שלו יהיה שלילי.

הצהרה זו ברורה ונובעת מהגרף לעיל: מספרים כאלה ממוקמים בצדדים מנוגדים של קו הייחוס. אם שכחת את המושגים של מספרים חיוביים ושליליים, עיין בחומר שפרסמנו קודם לכן.

מהכלל הזה ניתן להסיק אמירה חשובה מאוד נוספת. בצורה מילולית, הסימון שלו נראה כך: עבור כל a חיובי הוא יהיה נכון − (− a) = a. בואו נראה עם דוגמה למה זה חשוב.

ניקח את המספר 5. באמצעות קו הקואורדינטות ניתן לראות שהמספר הנגדי הוא 5, ולהיפך. בעזרת הסימון שציינו למעלה, נכתוב את המספר שממול - 5 בתור – (- 5) . מסתבר ש- (- 5) = 5. מכאן המסקנה: מספרים מנוגדים נבדלים זה מזה רק בנוכחות סימן מינוס.

2. הנכס הבאנקרא בדרך כלל תכונת הסימטריה. זה יכול להיגזר גם מעצם ההגדרה של מספרים מנוגדים. זה נשמע כך:

הגדרה 3

אם מספר כלשהו a הוא ההפך מ-b, אז b הוא ההפך מ-a.

ברור שאין להצהרה זו צורך בראיות נוספות.

3. המאפיין השלישי של מספרים מנוגדים אומר:

הגדרה 4

לכל מספר אמיתי יש רק מספר אחד הפוך.

הצהרה זו נובעת מהעובדה שנקודות על קו קואורדינטות אינן יכולות להתאים למספרים רבים בבת אחת.

הגדרה 5

4. המודולים של מספרים מנוגדים שווים.

זה נובע מהגדרת המודול. זה הגיוני שנקודות על קו התואם לכל מספרים מנוגדים נמצאות באותו מרחק מנקודת הייחוס.

הגדרה 6

5. אם נוסיף מספרים מנוגדים, נקבל 0.

פשוטו כמשמעו, משפט זה נראה כמו + (− a) = 0.

דוגמה 2

להלן דוגמאות לחישובים כאלה:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

כפי שאתה יכול לראות, כלל זה עובד עבור כל המספרים - מספרים שלמים, רציונליים, אי-רציונליים וכו'.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

מושג מעניין מתכנית הלימודים בבית הספר הוא מספרים הפוכים, שניתן להתייחס אליהם הן מבחינה מתמטית והן מבחינה גיאומטרית. הבנת נושא זה מפשטת את לימודי המתמטיקה ומאפשרת לך להתמודד במהירות עם כמה בעיות - אז נבחן אילו מספרים נקראים הפכים, ואילו כללים עובדים עבורם.

מהי מהות המונח?

כדי להבין את המשמעות של מספרים מנוגדים, נפנה לרגע לגיאומטריה. בואו נצייר קו קואורדינטות ונסמן בו את נקודת האפס, ולאחר מכן נשים שני סימנים נוספים על הקו - לדוגמה, "2" עם צד ימיןו-"-2" משמאל לאפס. כמובן שמשתי הנקודות המרחק למוצא יהיה זהה לחלוטין - וניתן לאמת זאת בקלות על ידי מדידות. "2" ו- "-2" הם באותו מרחק מאפס, אבל בכיוונים שונים - בהתאם, הם מנוגדים לחלוטין זה לזה.

זו הנקודה. מספרים יכולים להיות גדולים או קטנים ככל הרצוי, שלמים או שברים. עם זאת, לכל אחד מהם יש מספר מסוים שהוא בדיוק ההפך שלו. ניתן לתת את ההגדרה כך - אם על קו הקואורדינטות משתי נקודות הממוקמות משני צדי האפס, ניתן לייחד מרחק שווה למוצא - נקודות אלו, או ליתר דיוק, המספרים התואמים להן, יהיו מנוגדים. .

אילו כללים ניתן לגזור מההגדרה?

כדאי לזכור כמה הצהרות מוחלטות לגבי הנושא הנדון:

• עקרון ההפכים לשני מספרים פועל לשני הכיוונים. לדוגמה, המספר 3 מנוגד למספר -3 - ולכן רק המספר 3 מנוגד למספר -3, ולא כל אחר.
• למספר לא יכול להיות שני הפכים - תמיד יש רק אחד.
• מספרים יכולים להיות מנוגדים זה לזה סימנים שונים. אם מספר חיובי, אז למספר הנגדי שלו יהיה סימן מינוס - למשל, 5 ו-5. אותו דבר עובד ב צד הפוך- עבור מספר עם סימן מינוס, ההפך תמיד יהיה זה עם סימן פלוס - למשל, -6 ו-6.
• לשני מספרים מנוגדים יש אותו ערך מוחלט, או מודולוס. במילים אחרות, אם עבור המספר 4

הבה נשקול את הדוגמה הזו. אתה צריך לספור ברצף: .

אתה יכול לסדר מחדש את המספרים שיש להוסיף, ולאחר מכן להחסיר את הנותרים: .

אבל זה לא תמיד נוח. למשל, אנחנו יכולים לחשב את איזון הדברים במחסן כלשהו וצריך לדעת את תוצאת הביניים.

אתה יכול לבצע פעולות ברצף: .

אנו יודעים, אם כן, התוצאה תהיה חיסור מהמספר. זה אומר שאנחנו צריכים להחסיר, אבל לא מכלום עדיין. כשיש לנו משהו להחסיר ממנו, אנחנו מפחיתים:

אבל אנחנו יכולים "לרמות" ולהגדיר . אז נציג אובייקט חדש - מספרים שליליים.

כבר ביצענו פעולה כזו - בטבע, למשל, גם המספר "" לא היה קיים, אבל הצגנו אובייקט כזה כדי להקל על הקלטת פעולות.

תארו לעצמכם שבמחסן ספורט הוטל עלינו להנפיק ולקבל כדורים. אנחנו צריכים לשמור תיעוד. אתה יכול לכתוב במילים:

הונפק, התקבל, הונפק, התקבל, … (ראה איור 1.)

אורז. 1. הנהלת חשבונות

מסכים, אם אתה צריך להנפיק ולקבל הרבה פעמים ביום, אז ההקלטה לא מאוד נוחה.

אתה יכול לחלק את הגיליון לשתי עמודות, האחת - מקובלת, השנייה - הוצאה. (ראה איור 2.)

אורז. 2. הקלטה פשוטה

ההקלטה התקצרה. אבל הנה הבעיה: איך להבין כמה כדורים נלקחו (או נמסרו) בכל רגע מסוים בזמן?

ניתן להיעזר בשיקול הבא לרישום: כאשר אנו מוציאים כדורים מהמחסן, הכמות שלהם במחסן יורדת, וכאשר אנו מקבלים אותם היא עולה.

אבל איך לכתוב "נתן את הכדור"? אתה יכול להזין את האובייקט הבא: .

אובייקט זה מאפשר לנו לערוך תיעוד מתמטי של תנועת הכדורים לפי סדר התרחשותם:

בואו נסתכל על דוגמה נוספת.

יש רובל בחשבון הטלפון שלך. נכנסת לאינטרנט וזה עלה רובל. התוצאה הייתה חוב של רובל. המפעיל יכול היה לרשום: "הלקוח חייב רובל". אתה שם רובל. המפעיל קיזז את החוב. התברר על חשבון רובל.

אבל זה נוח לתעד הן עסקאות והן כסף בחשבון באמצעות הסימנים "" ו"". (ראה איור 3.)

אורז. 3. הקלטה נוחה

נזין מספר שלילי כדי לכתוב את התוצאה של הפחתת מספר גדול ממספר קטן יותר: .

הוספת מספר שלילי שווה ערך להפחתת: .

כדי להבחין בין מספרים שליליים למספרים החיוביים שבהם עסקנו קודם, הסכמנו לשים לפניו סימן מינוס: .

הייתם יכולים בלעדיהם? כן אתה יכול. בכל מצב נתון, היינו משתמשים במילים "חזרה", "להשאיל" וכן הלאה. אבל הם, המילים האלה, יהיו שונות.

וכך יש לנו כלי אוניברסלי ונוח. אחד לכל המקרים האלה.

אנחנו יכולים לצייר אנלוגיה עם מכונית. הוא מורכב ממספר רב של חלקים, שרבים מהם אינם נחוצים בנפרד, אך יחד הם מאפשרים לך לנהוג. כמו כן, מספרים שליליים הם כלי שיחד עם כלים מתמטיים אחרים, מקל על חישוב ופשטות הפתרון והכתיבה של בעיות רבות.

אז, הצגנו אובייקט חדש - מספרים שליליים. למה הם משמשים בחיים?

ראשית, בואו נזכור את התפקידים של מספרים חיוביים:

כמות: למשל עץ, ליטר חלב. (ראה איור 4.)

אורז. 4. כמות

הזמנה: לדוגמה, בתים ממוספרים במספרים חיוביים. (ראה איור 5.)

אורז. 5. התארגנו

שם: לדוגמה, מספר שחקן כדורגל. (ראה איור 6.)

אורז. 6. מספר כשם

כעת נסתכל על הפונקציות של מספרים שליליים:

ציון הכמות החסרה. הכמות לעולם אינה שלילית. אבל מספר שלילי משמש כדי להראות שכמות מופחתת. לדוגמה, אנחנו יכולים למזוג מבקבוק ולכתוב את זה בתור . (ראה איור 7.)

אורז. 7. ציון כמות חסרה

עֲרִיכָה. לפעמים, בעת מספור, אפס נבחר וצריך למספר אובייקטים משני צידי האפס. לדוגמה, הקומות הממוקמות מתחת ל-th, במרתף. (ראה איור 8.) או טמפרטורה שהיא מתחת לאפס שנבחר. (ראה איור 9.)

אורז. 8. קומה ממוקמת מתחת ל-th, במרתף

אורז. 9. מספרים שליליים בסולם מדחום

אבל עדיין, המטרה העיקרית של מספרים שליליים היא ככלי לפשט חישובים מתמטיים.

אבל כדי שמספרים שליליים יהפכו לכלי כל כך נוח, אתה צריך:

טמפרטורה שלילית היא טמפרטורה מתחת לאפס, מתחת לאפס. אבל מהי טמפרטורה אפסית? כדי למדוד ולתעד טמפרטורה, עליך לבחור יחידת מדידה ונקודת ייחוס. שניהם הסכמים. אנו משתמשים בסולם צלזיוס אחרי המדען שהציע זאת. (ראה איור 10.)

אורז. 10. אנדרס צלסיוס

נקודת הקיפאון של המים נבחרת כאן כנקודת הייחוס. כל דבר למטה מסומן על ידי ערך שלילי. (ראה איור 11.)

אורז. אחד עשר.

אבל ברור שאם ניקח נקודת התייחסות נוספת, עוד אפס, אז טמפרטורה שלילית בצלזיוס יכולה להיות חיובית בקנה מידה אחר זה. זה מה שקורה. סולם קלווין נמצא בשימוש נרחב בפיזיקה. זה דומה לסולם צלזיוס, רק הערך של הטמפרטורה הנמוכה ביותר האפשרית נבחר כאפס (לא יכול להיות נמוך יותר). ערך זה נקרא "אפס מוחלט". בצלזיוס זה בערך . (ראה איור 12.)

אורז. 12. שני סולמות

כלומר, אין ערכים שליליים בסולם קלווין בכלל.

אז הקיץ שלנו .

והקפואים .

כלומר, טמפרטורה שלילית היא מוסכמה, הסכמה בין אנשים לקרוא לזה כך.

בואו נתחיל מאפס. אפס תופס מקום מיוחד בין מספרים.

כפי שכבר דנו, לנוחיותנו נוכל לסמן את חיסור שבע כמספר שלילי. מכיוון שזה אומר חיסור, אנו משאירים את הסימן "" כסימן שלו. בוא נציין מספר חדש.

כלומר, "" הוא מספר שמצטבר לאפס: . ובכל סדר. זוהי ההגדרה של מספר שלילי (או הפוך).

לכל מספר שלמדנו קודם לכן נציג מספר חדש, שלילי, שסימן המינוס שלפניו. כלומר, עבור כל מספר קודם הופיע התאום השלילי שלו. אנו קוראים לתאומים כאלה מספרים הפוכים. (ראה איור 13.)

אורז. 13. מספרים הפוכים

אז, ההגדרה: מספרים מנוגדים הם שני מספרים שסכומם שווה לאפס.

חיצונית, הם נבדלים רק בסימן "".

אם לפני משתנה יש סימן "", למשל, מה זה אומר? זה לא אומר שהערך הזה שלילי. סימן המינוס אומר שהערך הזה הוא ההפך מהמספר: . אנחנו לא יודעים איזה מהמספרים האלה חיובי ואיזה שלילי.

אם, אז.

אם (מספר שלילי), אז (מספר חיובי).

איזה מספר מנוגד לאפס? אנחנו כבר יודעים את זה.

אם יתווסף אפס למספר כלשהו, ​​כולל אפס, אז המספר המקורי לא ישתנה. כלומר, סכום שני אפסים הוא אפס:. אבל מספרים שסכומם אפס הם הפכים. לפיכך, אפס מנוגד לעצמו.

אז, נתנו את ההגדרה של מספרים שליליים וגילינו מדוע הם נחוצים.

עכשיו בואו נקדיש מעט זמן לטכנולוגיה. לעת עתה, עלינו ללמוד כיצד למצוא את ההיפך שלו עבור כל מספר:

בחלק האחרון של השיעור נדבר על שמות וסימונים חדשים לקבוצות המופיעות לאחר הכנסת מספרים שליליים.