الجذر التربيعي. نظرية مفصلة مع الأمثلة

العنوان: العمل المستقل والاختباري في الجبر والهندسة للصف الثامن.

يحتوي الدليل على أعمال مستقلة واختبارية حول جميع المواضيع الأكثر أهمية في دورة الجبر والهندسة للصف الثامن.

تتكون الأعمال من 6 خيارات من ثلاثة مستويات من الصعوبة. تهدف المواد التعليمية إلى تنظيم العمل المستقل المتنوع للطلاب.

محتوى
الجبر 4
ج-1 التعابير الكسرية. تقليل الكسور 4
ج-2 جمع وطرح الكسور 5
K-1 الكسور العقلانية. جمع وطرح الكسور 7
ج-3 ضرب وقسمة الكسور. رفع الكسر إلى قوة 10
ج-4 تحويل التعبيرات العقلانية 12
ج-5 التناسب العكسي ورسمه البياني 14
ك-2 الكسور المنطقية 16
ج-6 الجذر التربيعي الحسابي 18
المعادلة C-7 x2 = أ. الدالة ص = ص[س 20
C-8 الجذر التربيعي للمنتج، الكسر، قوة 22
ك-3 الجذر التربيعي الحسابي وخصائصه 24
ج-9 جمع وطرح مضاعف الجذور التربيعية 27
ج-10 تحويل العبارات التي تحتوي على جذور تربيعية 28
K-4 تطبيق على خصائص الجذر التربيعي الحسابي 30
S-11 المعادلات التربيعية غير المكتملة 32
صيغة S-12 لجذور المعادلة التربيعية 33
ج-13 حل المسائل باستخدام المعادلات التربيعية. نظرية فييتا 34
المعادلات التربيعية K-5 36
S-14 المعادلات الكسرية 38
P-15 تطبيق المعادلات الكسرية. حل المشكلات 39
ك-6 المعادلات الكسرية 40
ج-16 خواص المتباينات العددية 43
K-7 المتباينات العددية وخصائصها 44
S-17 المتباينات الخطية بمتغير واحد 47
S-18 أنظمة المتباينات الخطية 48
K-8 المتباينات الخطية وأنظمة المتباينات بمتغير واحد 50
C-19 درجة بمؤشر سلبي 52
K-9 درجة مع درجة متكاملة من 54
الاختبار السنوي K-10 56
الهندسة (حسب بوجوريلوف) 58
ج-1 خصائص وخصائص متوازي الأضلاع." 58
مستطيل ج-2. المعين. مربع 60
K-1 متوازي الأضلاع 62
C-3 نظرية طاليس. الخط الأوسط للمثلث 63
S-4 شبه منحرف. خط الوسط شبه المنحرف 66
K-2 شبه منحرف. خطوط المنتصف للمثلث وشبه المنحرف....68
ج-5 نظرية فيثاغورس 70
نظرية C-6 معكوسة لنظرية فيثاغورس. عمودي ومائل 71
ج-7 عدم المساواة المثلثية 73
K-3 نظرية فيثاغورس 74
ج-8 حل المثلثات القائمة 76
ج-9 خواص الدوال المثلثية 78
K-4 المثلث القائم (اختبار عام) 80
C-10 إحداثيات منتصف القطعة. المسافة بين النقاط. معادلة الدائرة 82
S-11 معادلة الخط المستقيم 84
K-5 الإحداثيات الديكارتية 86
حركة S-12 وخصائصها. التماثل المركزي والمحوري. بدوره 88
د-13. النقل الموازي 90
S-14 مفهوم المتجه. المساواة في المتجهات 92
C-15 الإجراءات مع المتجهات في شكل إحداثي. المتجهات الخطية 94
S-16 الإجراءات مع المتجهات في الشكل الهندسي 95
C-17 المنتج النقطي 98
ناقلات K-6 99
الاختبار السنوي K-7 102
الهندسة (حسب أتاناسيان) 104
ج-1 خصائص وخصائص متوازي الأضلاع 104
مستطيل ج-2. المعين. ساحة 106
K-1 الرباعيات 108
ج-3 مساحة المستطيل المربع 109
ج-4 مساحة متوازي الأضلاع، المعين، المثلث 111
S-5 منطقة شبه منحرف 113
ج-6 نظرية فيثاغورس 114
مربعات K-2. نظرية فيثاغورس 116
ج-7 تحديد المثلثات المتشابهة. خاصية منصف زاوية المثلث 118
ق-8 علامات تشابه المثلثات 120
ك-3 تشابه المثلثات 122
ج-9 تطبيق التشابه في حل المشكلات 124
ج-10 العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية 126
K-4 تطبيق التشابه في حل المشكلات. العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية 128
ج-11 مماس للدائرة 130
ج-12 الزوايا المركزية والمحيطية 132
نظرية C-13 على منتج قطع الأوتار المتقاطعة. نقاط ملحوظة في المثلث 134
ج-14 الدوائر المنقوشة والمحدودة 136
دائرة K-5 137
S-15 جمع وطرح المتجهات 139
ج-16 ضرب المتجه بالرقم 141
S-17 الخط المركزي لشبه المنحرف 142
ناقلات K-6. تطبيق المتجهات في حل المشكلات 144
الاختبار السنوي K-7 146
الإجابات 148
الأدب 157

مقدمة .
1. يحتوي كتاب واحد صغير نسبيًا على مجموعة كاملة من الاختبارات (بما في ذلك الاختبارات النهائية) لمقرر الجبر والهندسة للصف الثامن بأكمله، مما يكفي لشراء مجموعة واحدة من الكتب لكل فصل.
تم تصميم الاختبارات لدرس عمل مستقل - لمدة 20-35 دقيقة حسب الموضوع. لسهولة استخدام الكتاب، يعكس عنوان كل عمل مستقل واختبار موضوعه.

2. تسمح المجموعة بالتحكم المتباين في المعرفة، حيث يتم توزيع المهام إلى ثلاثة مستويات من التعقيد A وB وC. المستوى A يتوافق مع متطلبات البرنامج الإلزامية، B - مستوى متوسط ​​من التعقيد، والمهام من المستوى C مقصودة للطلاب الذين يظهرون اهتمامًا متزايدًا بالرياضيات، وأيضًا للاستخدام في الفصول الدراسية والمدارس والصالات الرياضية والمدارس الثانوية مع دراسة متعمقة للرياضيات. يوجد لكل مستوى خياران متكافئان يقعان بجوار بعضهما البعض (كما هو مكتوب عادة على السبورة)، لذا فإن كتابًا واحدًا على المكتب يكفي للدرس.

قم بتنزيل الكتاب الإلكتروني مجانًا بتنسيق مناسب وشاهده واقرأه:
قم بتنزيل كتاب العمل المستقل والاختباري في الجبر والهندسة للصف الثامن. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com، تنزيل سريع ومجاني.

• عمل مستقل واختبار في الهندسة للصف الحادي عشر. جولوبورودكو في.ف.، إرشوفا أ.ب.، 2004
• عمل مستقل واختبار في الجبر والهندسة للصف التاسع. إرشوفا إيه بي، جولوبورودكو في، 2004
• عمل مستقل واختباري في الجبر والهندسة، الصف الثامن، Ershova A.P.، Goloborodko V.V.، Ershova A.S، 2013

نظرت مرة أخرى إلى اللافتة... ودعنا نذهب!

لنبدأ بشيء بسيط:

دقيقة فقط. هذا، مما يعني أنه يمكننا كتابتها بهذه الطريقة:

فهمتها؟ إليك التالي لك:

هل جذور الأعداد الناتجة لم يتم استخراجها بالضبط؟ لا مشكلة - إليك بعض الأمثلة:

ماذا لو لم يكن هناك اثنان، بل المزيد من المضاعفات؟ نفس الشيء! تعمل صيغة ضرب الجذور مع أي عدد من العوامل:

الآن بمفردك تمامًا:

الإجابات:أحسنت! أوافق، كل شيء سهل للغاية، والشيء الرئيسي هو معرفة جدول الضرب!

تقسيم الجذر

لقد قمنا بفرز الجذور، والآن دعونا ننتقل إلى خاصية القسمة.

دعني أذكرك أن الصيغة العامة تبدو كما يلي:

مما يعنى جذر حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الجذور.

حسنًا، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

هذا هو كل العلم. هنا مثال:

كل شيء ليس سلسا كما في المثال الأول، ولكن، كما ترون، لا يوجد شيء معقد.

ماذا لو صادفتك هذا التعبير:

كل ما عليك فعله هو تطبيق الصيغة في الاتجاه المعاكس:

وهذا مثال:

قد تجد أيضًا هذا التعبير:

كل شيء هو نفسه، هنا فقط عليك أن تتذكر كيفية ترجمة الكسور (إذا كنت لا تتذكر، انظر إلى الموضوع والعودة!). هل تذكر؟ الآن دعونا نقرر!

أنا متأكد من أنك قد تعاملت مع كل شيء، والآن دعونا نحاول رفع الجذور إلى درجات.

الأس

ماذا يحدث إذا كان الجذر التربيعي تربيعيا؟ الأمر بسيط، تذكر معنى الجذر التربيعي للرقم - هذا رقم يساوي جذره التربيعي.

إذن، إذا قمنا بتربيع عدد جذره التربيعي يساوي، فماذا نحصل؟

حسنا بالطبع، !

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

انها بسيطة، أليس كذلك؟ وماذا لو كان الجذر بدرجة مختلفة؟ لا بأس!

اتبع نفس المنطق وتذكر الخصائص والإجراءات الممكنة بدرجات.

اقرأ النظرية حول الموضوع "" وسيصبح كل شيء واضحًا للغاية بالنسبة لك.

على سبيل المثال، هنا تعبير:

في هذا المثال، الدرجة زوجية، لكن ماذا لو كانت فردية؟ مرة أخرى، قم بتطبيق خصائص الأسس وقم بتحليل كل شيء:

يبدو كل شيء واضحًا في هذا، ولكن كيف يمكن استخراج جذر الرقم للقوة؟ وهنا، على سبيل المثال، هذا:

بسيطة جدا، أليس كذلك؟ وماذا لو كانت الدرجة أكبر من اثنتين؟ نحن نتبع نفس المنطق باستخدام خصائص الدرجات:

حسنًا، هل كل شيء واضح؟ ثم قم بحل الأمثلة بنفسك:

وهنا الإجابات:

الدخول تحت علامة الجذر

ما الذي لم نتعلم فعله بالجذور! كل ما تبقى هو التدرب على إدخال الرقم تحت علامة الجذر!

انها حقا سهلة!

لنفترض أن لدينا رقمًا مكتوبًا

ماذا يمكننا أن نفعل حيال ذلك؟ حسنًا، بالطبع، قم بإخفاء الثلاثة تحت الجذر، وتذكر أن الثلاثة هو الجذر التربيعي لـ!

لماذا نحتاج هذا؟ نعم فقط لتوسيع قدراتنا عند حل الأمثلة:

كيف تحب خاصية الجذور هذه؟ هل يجعل الحياة أسهل بكثير؟ بالنسبة لي، هذا صحيح تمامًا! فقط يجب أن نتذكر أنه لا يمكننا إدخال سوى أرقام موجبة تحت علامة الجذر التربيعي.

حل هذا المثال بنفسك -
هل تستطيع فعلها؟ دعونا نرى ما يجب أن تحصل عليه:

أحسنت! لقد تمكنت من إدخال الرقم تحت علامة الجذر! دعنا ننتقل إلى شيء لا يقل أهمية - دعونا نلقي نظرة على كيفية مقارنة الأرقام التي تحتوي على جذر تربيعي!

مقارنة الجذور

لماذا نحتاج أن نتعلم مقارنة الأعداد التي تحتوي على جذر تربيعي؟

بسيط جدا. في كثير من الأحيان، في التعبيرات الكبيرة والطويلة التي نواجهها في الامتحان، نتلقى إجابة غير منطقية (تذكر ما هذا؟ لقد تحدثنا بالفعل عن هذا اليوم!)

نحتاج إلى وضع الإجابات المستلمة على خط الإحداثيات، على سبيل المثال، لتحديد الفاصل الزمني المناسب لحل المعادلة. وهنا تظهر المشكلة: لا توجد آلة حاسبة في الامتحان، وبدونها كيف تتخيل أي رقم أكبر وأي رقم أقل؟ هذا كل شيء!

على سبيل المثال، حدد أيهما أكبر: أو؟

لا يمكنك معرفة ذلك على الفور. حسنًا، دعنا نستخدم الخاصية المفككة لإدخال رقم تحت علامة الجذر؟

إذن إمض قدما:

حسنًا، من الواضح أنه كلما زاد الرقم الموجود أسفل علامة الجذر، زاد حجم الجذر نفسه!

أولئك. اذا ثم، .

ومن هذا نستنتج ذلك بقوة. ولن يقنعنا أحد بغير ذلك!

استخراج الجذور من الأعداد الكبيرة

قبل هذا أدخلنا المضاعف تحت إشارة الجذر، لكن كيف نزيله؟ كل ما عليك فعله هو تحليلها إلى عوامل واستخراج ما تستخرجه!

وكان من الممكن اتخاذ مسار مختلف والتوسع في عوامل أخرى:

ليس سيئا، أليس كذلك؟ أي من هذه الأساليب صحيح، قرر كما يحلو لك.

يعد التخصيم مفيدًا جدًا عند حل المشكلات غير القياسية مثل:

دعونا لا نخاف، بل نتصرف! دعونا نحلل كل عامل تحت الجذر إلى عوامل منفصلة:

الآن جرب ذلك بنفسك (بدون آلة حاسبة! لن يكون ذلك في الامتحان):

هل هذه النهاية؟ دعونا لا نتوقف في منتصف الطريق!

هذا كل شيء، ليس مخيفا جدا، أليس كذلك؟

حدث؟ أحسنت، هذا صحيح!

الآن جرب هذا المثال:

لكن المثال صعب الكسر، لذلك لا يمكنك معرفة كيفية التعامل معه على الفور. لكن بالطبع يمكننا التعامل مع الأمر.

حسنا، دعونا نبدأ التخصيم؟ دعونا نلاحظ على الفور أنه يمكنك قسمة عدد على (تذكر علامات القسمة):

الآن، جرب ذلك بنفسك (مرة أخرى، بدون آلة حاسبة!):

حسنا، هل نجحت؟ أحسنت، هذا صحيح!

دعونا نلخص ذلك

1. الجذر التربيعي (الجذر التربيعي الحسابي) لعدد غير سالب هو رقم غير سالب مربعه يساوي.
   .
2. إذا أخذنا الجذر التربيعي لشيء ما، فسنحصل دائمًا على نتيجة واحدة غير سلبية.
3. خصائص الجذر الحسابي:
4. عند مقارنة الجذور التربيعية، من الضروري أن نتذكر أنه كلما زاد الرقم تحت علامة الجذر، كلما زاد حجم الجذر نفسه.

كيف هو الجذر التربيعي؟ كله واضح؟

حاولنا أن نشرح لك دون أي ضجة كل ما تحتاج إلى معرفته في الامتحان حول الجذر التربيعي.

إنه دورك. اكتب لنا هل هذا الموضوع صعب عليك أم لا.

هل تعلمت شيئًا جديدًا أم أن كل شيء كان واضحًا بالفعل؟

اكتب في التعليقات ونتمنى لك حظا سعيدا في امتحاناتك!

\(\sqrt(a)=b\)، إذا \(b^2=a\)، حيث \(a≥0,b≥0\)

أمثلة:

\(\sqrt(49)=7\)، بما أن \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\)، منذ \(0.2^2=0.04\)

كيفية استخراج الجذر التربيعي لعدد؟

لاستخراج الجذر التربيعي لرقم ما، عليك أن تسأل نفسك السؤال: ما هو الرقم المربع الذي سيعطي التعبير الموجود تحت الجذر؟

على سبيل المثال. استخراج الجذر: a)\(\sqrt(2500)\); ب) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); ج) \(\sqrt(0.001)\); د) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

أ) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(2500\)؟

\(\sqrt(2500)=50\)

ب) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(\frac(4)(9)\) ؟

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

ج) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(0.0001\)؟

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

د) ما هو الرقم المربع الذي سيعطيه \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)؟ للإجابة على السؤال، تحتاج إلى تحويله إلى السؤال الخطأ.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

تعليق: على الرغم من أن \(-50\)، \(-\frac(2)(3)\)، \(-0.01\)،\(- \frac(7)(6)\)، أجب أيضًا عن أسئلة الأسئلة، لكنها لا تؤخذ في الاعتبار، لأن الجذر التربيعي يكون موجبًا دائمًا.

الخاصية الرئيسية للجذر

كما تعلمون، في الرياضيات، أي إجراء له معكوس. الجمع له طرح، والضرب له قسمة. معكوس التربيع هو أخذ الجذر التربيعي. ولذلك فإن هذه الإجراءات تعوض بعضها البعض:

\((\sqrt(a))^2=a\)

هذه هي الخاصية الرئيسية للجذر، والتي يتم استخدامها غالبًا (بما في ذلك في OGE)

مثال . (مهمة من OGE). أوجد قيمة التعبير \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

حل :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36) )=\فارك(4)(6)=\فارك(2)(3)\)

مثال . (مهمة من OGE). أوجد قيمة التعبير \((\sqrt(85)-1)^2\)

حل:

بالطبع، عند العمل مع الجذور التربيعية، تحتاج إلى استخدام الآخرين.

مثال . (مهمة من OGE). أوجد قيمة التعبير \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
حل:

إجابة: \(220\)

4 قواعد ينساها الناس دائمًا

لا يتم استخراج الجذر دائمًا

مثال: \(\sqrt(2)\)،\(\sqrt(53)\)،\(\sqrt(200)\)،\(\sqrt(0,1)\)، إلخ. – استخراج جذر الرقم ليس ممكنًا دائمًا وهذا طبيعي!

جذر الرقم، وهو أيضًا رقم

ليست هناك حاجة للتعامل مع \(\sqrt(2)\)، \(\sqrt(53)\)، بأي طريقة خاصة. هذه أرقام، ولكنها ليست أعدادا صحيحة، نعم، ولكن ليس كل شيء في عالمنا يقاس بالأعداد الصحيحة.

يتم أخذ الجذر فقط من الأرقام غير السالبة

ولذلك، في الكتب المدرسية لن ترى مثل هذه الإدخالات \(\sqrt(-23)\)،\(\sqrt(-1)\)، وما إلى ذلك.

في هذه المقالة سوف ننظر إلى الرئيسي خصائص الجذور. لنبدأ بخصائص الجذر التربيعي الحسابي، ونعطي صيغها ونقدم البراهين. وبعد ذلك سنتناول خواص الجذر الحسابي للدرجة n.

التنقل في الصفحة.

خصائص الجذر التربيعي

في هذه الفقرة سوف نتعامل مع الأساسية التالية خصائص الجذر التربيعي الحسابي:

في كل من المعادلات المكتوبة، يمكن تبديل الجانبين الأيسر والأيمن، على سبيل المثال، يمكن إعادة كتابة المساواة بالشكل . في هذا النموذج "العكسي"، يتم تطبيق خصائص الجذر التربيعي الحسابي عندما تبسيط التعبيراتتمامًا كما هو الحال في النموذج "المباشر".

يعتمد إثبات الخاصيتين الأوليين على تعريف الجذر التربيعي الحسابي وعلى . ولتبرير الخاصية الأخيرة للجذر التربيعي الحسابي، عليك أن تتذكر.

لذلك دعونا نبدأ مع إثبات خاصية الجذر التربيعي الحسابي لمنتج عددين غير سالبين: . للقيام بذلك، وفقًا لتعريف الجذر التربيعي الحسابي، يكفي إظهار أنه رقم غير سالب ومربعه يساوي ab.b. دعنا نقوم به. قيمة التعبير غير سالبة كمنتج لأرقام غير سالبة. تسمح لنا خاصية قوة حاصل ضرب رقمين بكتابة المساواة ، ومنذ تعريف الجذر التربيعي الحسابي و، ثم.

وثبت بالمثل أن الجذر التربيعي الحسابي لحاصل ضرب العوامل غير السالبة k a 1 , a 2 , ..., a k يساوي حاصل ضرب الجذور التربيعية الحسابية لهذه العوامل. حقًا، . ومن هذه المساواة يترتب على ذلك.

دعونا نعطي أمثلة: و.

الآن دعونا نثبت خاصية الجذر التربيعي الحسابي للحاصل: . خاصية حاصل القسمة على الدرجة الطبيعية تسمح لنا بكتابة المساواة ، أ ، وهناك رقم غير سالب. هذا هو الدليل.

على سبيل المثال، و .

حان الوقت لفرزها خاصية الجذر التربيعي الحسابي لمربع العدد، في شكل مساواة يتم كتابته كـ . لإثبات ذلك، فكر في حالتين: لـ a≥0 و لـ a<0 .

من الواضح أنه بالنسبة لـ a≥0 فإن المساواة صحيحة. ومن السهل أيضًا رؤية ذلك بالنسبة لـ a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 و (−a) 2 =a 2 . هكذا، ، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

وهنا بعض الأمثلة: و .

الخاصية المثبتة للجذر التربيعي تسمح لنا بتبرير النتيجة التالية، حيث a هو أي رقم حقيقي، وm هو أي. في الواقع، خاصية رفع قوة إلى قوة تسمح لنا باستبدال القوة a 2 m بالتعبير (a m) 2، إذن .

على سبيل المثال، و .

خصائص الجذر n

أولا، دعونا قائمة الرئيسية خصائص الجذور n:

تظل جميع المعادلات المكتوبة صحيحة إذا تم تبديل الجانبين الأيسر والأيمن. كما يتم استخدامها غالبًا بهذا الشكل، خاصة عند تبسيط التعبيرات وتحويلها.

يعتمد إثبات جميع الخصائص المعلنة للجذر على تعريف الجذر الحسابي للدرجة n، وعلى خصائص الدرجة وعلى تعريف معامل الرقم. وسوف نثبتهم حسب الأولوية.

لنبدأ بالدليل خصائص الجذر النوني للمنتج . بالنسبة للقيمتين a وb غير السالبتين، تكون قيمة التعبير أيضًا غير سالبة، مثل حاصل ضرب الأرقام غير السالبة. خاصية المنتج للقوة الطبيعية تسمح لنا بكتابة المساواة . من خلال تعريف الجذر الحسابي من الدرجة n، وبالتالي، . وهذا يثبت خاصية الجذر قيد النظر.

تم إثبات هذه الخاصية بشكل مشابه بالنسبة لحاصل ضرب العوامل k: بالنسبة للأعداد غير السالبة a 1، a 2، …، a n، و .

فيما يلي أمثلة على استخدام خاصية الجذر n للمنتج: و .

دعونا نثبت خاصية جذر حاصل القسمة. عندما يكون a≥0 وb>0 يتم استيفاء الشرط، و .

دعونا نعرض الأمثلة: و .

هيا لنذهب. دعونا نثبت خاصية الجذر النوني لعدد مرفوع للقوة نية. أي أننا سنثبت ذلك لأي حقيقي وطبيعي م. بالنسبة لـ a≥0 لدينا و، مما يثبت المساواة والمساواة بوضوح. عندما<0 имеем и (الانتقال الأخير صحيح بسبب خاصية الدرجة ذات الأس الزوجي)، مما يثبت المساواة، و هذا صحيح لأننا عندما تحدثنا عن جذر الدرجة الفردية قبلنا لأي رقم غير سالب ج.

فيما يلي أمثلة على استخدام خاصية الجذر التي تم تحليلها: و .

ننتقل إلى إثبات خاصية جذر الجذر. فلنبدل الجانبين الأيمن والأيسر، أي سنثبت صحة المساواة، وهو ما يعني صحة المساواة الأصلية. بالنسبة للرقم غير السالب a، جذر النموذج هو رقم غير سالب. باستدعاء خاصية رفع درجة إلى قوة، وباستخدام تعريف الجذر، يمكننا كتابة سلسلة من التساويات بالشكل . وهذا يثبت خاصية جذر الجذر قيد النظر.

تم إثبات خاصية جذر جذر الجذر، وما إلى ذلك بطريقة مماثلة. حقًا، .

على سبيل المثال، و .

دعونا نثبت ما يلي خاصية الانكماش الجذري. للقيام بذلك، بحكم تعريف الجذر، يكفي إظهار أن هناك عددًا غير سالب والذي، عند رفعه إلى القوة n ·m، يساوي m. دعنا نقوم به. من الواضح أنه إذا كان الرقم a غير سالب، فإن الجذر النوني للرقم a هو رقم غير سالب. حيث ، الذي يكمل البرهان.

فيما يلي مثال على استخدام خاصية الجذر التي تم تحليلها: .

دعونا نثبت الخاصية التالية – خاصية جذر درجة النموذج . من الواضح أنه عندما a≥0 تكون الدرجة رقمًا غير سالب. علاوة على ذلك، فإن قوتها n تساوي m، في الواقع. وهذا يثبت خاصية الدرجة قيد النظر.

على سبيل المثال، .

هيا لنذهب. دعونا نثبت أنه بالنسبة لأي رقمين موجبين a وb يكون الشرط a متحققًا ، أي أ≥ب. وهذا يخالف شرط أ

على سبيل المثال، دعونا نعطي المتباينة الصحيحة .

أخيرًا، يبقى إثبات الخاصية الأخيرة للجذر n. دعونا أولا نثبت الجزء الأول من هذه الخاصية، أي نثبت ذلك بالنسبة لـ m>n و0 . ومن ثم، بسبب خصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي، فإن المتباينة ، وهذا هو، ن ≥a م . والتباين الناتج عن m>n و0

وبالمثل، بالتناقض ثبت أن الشرط بالنسبة لـ m>n وa>1 قد تحقق.

دعونا نعطي أمثلة على تطبيق خاصية الجذر المثبتة بأعداد محددة. على سبيل المثال، عدم المساواة وصحيحة.

فهرس.