كاتيتوف يساوي مربع الوتر. طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس

27.09.2019

تعتبر نظرية فيثاغورس أهم بيان في الهندسة. وتصاغ النظرية على النحو التالي: مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعات المبنية على ساقيه.

يُنسب اكتشاف هذا البيان عادةً إلى الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد). لكن دراسة الألواح المسمارية البابلية والمخطوطات الصينية القديمة (نسخ من المخطوطات الأقدم) أظهرت أن هذا البيان كان معروفًا قبل فيثاغورس بوقت طويل، وربما قبله بألف عام. وكانت ميزة فيثاغورس أنه اكتشف إثبات هذه النظرية.

ومن المحتمل أن الحقيقة المذكورة في نظرية فيثاغورس قد تم إثباتها لأول مرة بالنسبة للمثلثات متساوية الساقين. ما عليك سوى إلقاء نظرة على فسيفساء المثلثات السوداء والخفيفة الموضحة في الشكل. 1، للتحقق من صحة نظرية المثلث: مربع مبني على الوتر يحتوي على 4 مثلثات، ومربع يحتوي على مثلثين مبني على كل ضلع. لإثبات الحالة العامة في الهند القديمة، استخدموا طريقتين: في مربع ذو جانب، قاموا بتصوير أربعة مثلثات قائمة ذات أطوال أطوال و (الشكل 2، أ و 2، ب)، وبعد ذلك كتبوا كلمة واحدة " ينظر!" وبالفعل وبالنظر إلى هذه الرسومات نرى أنه على اليسار يوجد شكل خالي من المثلثات، يتكون من مربعين لهما أضلاع، وبالتالي فإن مساحته تساوي، وعلى اليمين يوجد مربع ذو ضلع - مساحتها تساوي . وهذا يعني أن هذا يشكل بيان نظرية فيثاغورس.

ومع ذلك، لمدة ألفي عام، لم يكن هذا الدليل البصري هو الذي تم استخدامه، بل دليل أكثر تعقيدًا اخترعه إقليدس، وهو موجود في كتابه الشهير “العناصر” (انظر إقليدس وكتابه “العناصر”)، خفض إقليدس الارتفاع من الأعلى زاوية مستقيمةعلى الوتر وأثبت أن استمراره يقسم المربع المبني على الوتر إلى مستطيلين مساحاتهما تساوي مساحات المربعين المقابلين المبنيين على الأرجل (شكل 3). الرسم المستخدم لإثبات هذه النظرية يُسمى على سبيل المزاح "سراويل فيثاغورس". لفترة طويلة كان يعتبر أحد رموز العلوم الرياضية.

اليوم، هناك عشرات من البراهين المختلفة لنظرية فيثاغورس معروفة. ومنها ما يقوم على تقسيم المربعات، حيث يتكون المربع المبني على الوتر من أجزاء تدخل في أقسام المربعات المبنية على الأرجل؛ الآخرين - على تكملة الأرقام المتساوية؛ الثالث - على أن الارتفاع المنخفض من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر يقسم المثلث القائم إلى مثلثين متشابهين.

تشكل نظرية فيثاغورس أساس معظم الحسابات الهندسية. وحتى في بابل القديمة، تم استخدامه لحساب طول ارتفاع المثلث متساوي الساقين من أطوال القاعدة والضلع، وسهم القطعة من قطر الدائرة وطول الوتر، وإقامة العلاقات بين عناصر بعض المضلعات المنتظمة. باستخدام نظرية فيثاغورس، نثبت تعميمها، مما يسمح لنا بحساب طول الجانب الذي يقع مقابل زاوية حادة أو منفرجة:

ويترتب على هذا التعميم أن وجود زاوية قائمة ليس كافيا فحسب، بل هو أيضا شرط ضروري لتحقيق المساواة. من الصيغة (1) تتبع العلاقة بين أطوال الأقطار وأضلاع متوازي الأضلاع، مما يسهل من خلاله إيجاد طول متوسط المثلث من أطوال أضلاعه.

بناءً على نظرية فيثاغورس، تم اشتقاق صيغة تعبر عن مساحة أي مثلث من خلال أطوال أضلاعه (انظر صيغة هيرون). وبطبيعة الحال، تم استخدام نظرية فيثاغورس أيضا لحل المسائل العملية المختلفة.

بدلاً من المربعات، يمكنك بناء أي أشكال متشابهة (مثلثات متساوية الأضلاع، أنصاف دوائر، وما إلى ذلك) على جوانب المثلث القائم الزاوية. في هذه الحالة، مساحة الشكل المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات الشكل المبني على الساقين. هناك تعميم آخر يرتبط بالانتقال من المستوى إلى الفضاء. وتتم صياغته على النحو التالي: مربع الطول القطري لمتوازي السطوح المستطيل يساوي مجموع مربعات أبعاده (الطول والعرض والارتفاع). هناك نظرية مماثلة صحيحة في الحالات متعددة الأبعاد وحتى غير المحدودة الأبعاد.

نظرية فيثاغورس موجودة فقط في الهندسة الإقليدية. ولا يحدث ذلك في هندسة لوباشيفسكي أو في غيرها من الأشكال الهندسية غير الإقليدية. لا يوجد نظير لنظرية فيثاغورس على الكرة. خطا طول يشكلان زاوية قياسها 90 درجة، وخط الاستواء محاطًا على كرة بمثلث كروي متساوي الأضلاع، وزواياه الثلاث جميعها زوايا قائمة. بالنسبة له، وليس كما هو الحال على متن الطائرة.

باستخدام نظرية فيثاغورس، احسب المسافة بين النقاط و خطة تنسيقوفقا للصيغة

بعد اكتشاف نظرية فيثاغورس، نشأ السؤال حول كيفية العثور على جميع ثلاثة توائم من الأعداد الطبيعية التي يمكن أن تكون أضلاع مثلثات قائمة (انظر نظرية فيرما الأخيرة). تم اكتشافها من قبل الفيثاغوريين، لكن بعض الطرق العامة للعثور على مثل هذه الأرقام الثلاثية كانت معروفة بالفعل لدى البابليين. يحتوي أحد الألواح المسمارية على 15 ثلاثية. من بينها ثلاثة توائم تتكون من أرقام كبيرة جدًا بحيث لا يمكن أن يكون هناك شك في العثور عليها عن طريق الاختيار.

الحفرة أبقراط

لونات أبقراط هي أشكال محددة بأقواس من دائرتين، علاوة على ذلك، باستخدام نصف قطر وطول الوتر المشترك لهذه الدوائر، باستخدام بوصلة ومسطرة، يمكن للمرء بناء مربعات متساوية الحجم لهما.

ومن تعميم نظرية فيثاغورس على أنصاف الدوائر، يترتب على ذلك أن مجموع مساحات الكتل الوردية الموضحة في الشكل على اليسار يساوي مساحة المثلث الأزرق. لذلك، إذا أخذت مثلثًا متساوي الساقين قائمًا، فستحصل على ثقبين، مساحة كل منهما ستكون مساوية لنصف مساحة المثلث. في محاولة لحل مشكلة تربيع الدائرة (انظر المشاكل الكلاسيكية في العصور القديمة)، وجد عالم الرياضيات اليوناني القديم أبقراط (القرن الخامس قبل الميلاد) عدة ثقوب أخرى، يتم التعبير عن مناطقها من حيث مساحات الأشكال المستقيمة.

تم الحصول على قائمة كاملة بالهلالات الهامشية الوركية فقط في القرنين التاسع عشر والعشرين. وذلك بفضل استخدام أساليب نظرية جالوا.

نظرية فيثاغورس: مجموع مساحات المربعات المرتكزة على الأرجل ( أو ب)، تساوي مساحة المربع المبني على الوتر ( ج).

صياغة هندسية:

تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:

الصيغة الجبرية:

أي أنه يدل على طول وتر المثلث ج، وأطوال الساقين من خلال أو ب :

أ 2 + ب 2 = ج 2

كلتا صيغتي النظرية متكافئتان، لكن الصيغة الثانية أكثر أولية، فهي لا تتطلب مفهوم المساحة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة، وبقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.

نظرية فيثاغورس العكسية:

دليل

في الوقت الحالي، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الهائل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية للنظرية في الهندسة.

وبطبيعة الحال، من الناحية النظرية يمكن تقسيم كل منهم إلى عدد صغير من الطبقات. وأشهرها: البراهين بطريقة المساحة، والبراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات مماثلة

البرهان التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين، وقد تم إنشاؤه مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص، فإنه لا يستخدم مفهوم مساحة الشكل.

يترك اي بي سيهناك مثلث قائم الزاوية ج. دعونا نرسم الارتفاع من جوالدلالة على قاعدته ب ح. مثلث أشيشبه المثلث اي بي سيفي زاويتين. وكذلك المثلث CBHمشابه اي بي سي. من خلال إدخال التدوين

نحن نحصل

ما يعادل

بإضافة ذلك، نحصل على

البراهين باستخدام طريقة المنطقة

البراهين أدناه، على الرغم من بساطتها الظاهرة، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. جميعهم يستخدمون خصائص المساحة، والتي يكون إثباتها أكثر تعقيدًا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات عن طريق التكامل

لنرتب أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية كما هو موضح في الشكل 1.
رباعية الجوانب جهو مربع، لأن مجموع اثنين زوايا حادة 90 درجة، والزاوية المكشوفة هي 180 درجة.
مساحة الشكل بأكمله تساوي من ناحية مساحة المربع الذي ضلعه (أ + ب) ومن ناحية أخرى مجموع مساحات أربعة مثلثات ومثلثين داخليين مربعات.

Q.E.D.

البراهين من خلال التكافؤ

دليل أنيق باستخدام التقليب

يظهر مثال على أحد هذه الأدلة في الرسم الموجود على اليمين، حيث يتم إعادة ترتيب المربع المبني على الوتر إلى مربعين مبنيين على الساقين.

برهان اقليدس

الرسم لإثبات إقليدس

رسم توضيحي لإثبات إقليدس

فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول أن نثبت أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ثم مساحات المربعان الكبيران والمربعان الصغيران متساويان.

دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها.

دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK، وللقيام بذلك سنستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة المستطيل المعطى يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. وهذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح في الشكل)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK.

لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة، فالمثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK,AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة).

إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا.

وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر يتكون من مساحات المربعات المبنية على الساقين. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر من خلال الرسوم المتحركة أعلاه.

إثبات ليوناردو دافنشي

العناصر الرئيسية للإثبات هي التماثل والحركة.

دعونا ننظر في الرسم، كما يتبين من التماثل، قطعة جأنايقطع المربع أبحج إلى جزأين متطابقين (بما في ذلك المثلثات أبجو جحأنامتساوون في البناء). وبتدوير 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، نرى تساوي الأشكال المظللة جأجأنا و زدأب . الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. وفي المقابل، فهو يساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر، بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات تُترك للقارئ.

الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر

غالبًا ما يُنسب الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.

النظر إلى الرسم الموضح في الشكل وملاحظة التغير في جانبه أيمكننا كتابة العلاقة التالية للزيادات الجانبية المتناهية الصغر معو أ(باستخدام تشابه المثلث):

الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر

وباستخدام طريقة الفصل بين المتغيرات نجد

تعبير أكثر عمومية عن تغير الوتر في حالة الزيادات على الجانبين

من خلال دمج هذه المعادلة واستخدام الشروط الأولية، نحن نحصل

ج 2 = أ 2 + ب 2 + ثابت.

وبذلك نصل إلى الإجابة المطلوبة

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

كما هو واضح، يظهر الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية بسبب التناسب الخطيبين أضلاع المثلث والزيادات، في حين يرتبط المجموع بمساهمات مستقلة من زيادة الأرجل المختلفة.

يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن أحد الساقين لا يعاني من زيادة (في في هذه الحالةرجل ب). ثم للحصول على ثابت التكامل نحصل عليه

الاختلافات والتعميمات

إذا قمنا بدلاً من المربعات ببناء أشكال أخرى مماثلة على الجوانب، فإن التعميم التالي لنظرية فيثاغورس يكون صحيحًا: في المثلث القائم الزاوية، مجموع مساحات الأشكال المتشابهة المبنية على الجوانب يساوي مساحة الشكل المبني على الوتر.بخاصة:
- مجموع مساحات المثلثات المنتظمة المبنية على الأرجل يساوي مساحة المثلث المنتظم المبني على الوتر.
- مجموع مساحات نصف الدائرة المبنية على الأرجل (كما هو الحال على القطر) يساوي مساحة نصف الدائرة المبنية على الوتر. يستخدم هذا المثال لإثبات خواص الأشكال المحصورة بين أقواس دائرتين وتسمى هلال أبقراط.

قصة

تشو باي 500-200 ق.م. على اليسار يوجد نقش: مجموع مربعي طولي الارتفاع والقاعدة هو مربع طول الوتر.

يتحدث الكتاب الصيني القديم Chu-pei عن مثلث فيثاغورس ذو أضلاع 3 و4 و5: ويقدم الكتاب نفسه رسمًا يتطابق مع إحدى رسومات الهندسة الهندوسية لبشارة.

يعتقد كانتور (أعظم مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة 3² + 4² = 5² كانت معروفة لدى المصريين حوالي عام 2300 قبل الميلاد. أي في عهد الملك أمنمحات الأول (طبقا للبردية رقم 6619 بمتحف برلين). وفقًا كانتور، فإن الـ harpedonaptes، أو "ساحبي الحبال"، قاموا ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة بأضلاع 3 و4 و5.

من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقة البناء الخاصة بهم. لنأخذ حبلًا طوله 12 مترًا ونربط به شريطًا ملونًا على مسافة 3 أمتار. من أحد الطرفين و 4 أمتار من الطرف الآخر. سيتم وضع الزاوية القائمة بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. يمكن الاعتراض على Harpedonaptians بأن أسلوبهم في البناء يصبح غير ضروري إذا استخدمنا، على سبيل المثال، مربعًا خشبيًا يستخدمه جميع النجارين. وبالفعل فإن الرسومات المصرية معروفة حيث توجد مثل هذه الأداة، على سبيل المثال الرسومات التي تصور ورشة نجارة.

يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. وفي أحد النصوص يعود تاريخه إلى زمن حمورابي، أي إلى عام 2000 قبل الميلاد. على سبيل المثال، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم الزاوية. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء العمليات الحسابية باستخدام المثلثات القائمة، على الأقل في بعض الحالات. واستنادًا، من ناحية، إلى المستوى الحالي للمعرفة بالرياضيات المصرية والبابلية، ومن ناحية أخرى، إلى دراسة نقدية للمصادر اليونانية، توصل فان دير وايردن (عالم الرياضيات الهولندي) إلى النتيجة التالية:

الأدب

بالروسية

سكوبيتس ز.أ.المنمنمات الهندسية. م، 1990
إلينسكي ش.على خطى فيثاغورس. م، 1961
فان دير وايردن بي.إل.علم الصحوة. رياضيات مصر القديمة وبابل واليونان. م، 1959
جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة. م، 1982
و. ليتسمان، “نظرية فيثاغورس” م، 1960.
- موقع عن نظرية فيثاغورس يحتوي على عدد كبير من البراهين، مادة مأخوذة من كتاب ف. ليتسمان، رقم ضخميتم تقديم الرسومات في شكل ملفات رسومية منفصلة.
نظرية فيثاغورس وثلاثيات فيثاغورس فصل من كتاب د.ف. أنوسوف "نظرة على الرياضيات وشيء منها"
حول نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ج. جلاسر، أكاديمي أكاديمية التربية الروسية، موسكو

باللغة الإنجليزية

نظرية فيثاغورس في WolframMathWorld
قطع العقدة، قسم حول نظرية فيثاغورس، حوالي 70 برهانًا ومعلومات إضافية واسعة النطاق (الإنجليزية)

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

(حسب البردية رقم 6619 من متحف برلين). وفقًا كانتور، قامت harpedonaptes، أو "ساحبات الحبال"، ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة بأضلاع 3 و4 و5.

من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقة البناء الخاصة بهم. لنأخذ حبلًا طوله 12 مترًا ونربط به شريطًا ملونًا على مسافة 3 أمتار من أحد الطرفين و4 أمتار من الطرف الآخر. ستكون الزاوية القائمة بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. يمكن الاعتراض على Harpedonaptians بأن أسلوبهم في البناء يصبح غير ضروري إذا استخدمنا، على سبيل المثال، مربعًا خشبيًا يستخدمه جميع النجارين. وبالفعل فإن الرسومات المصرية معروفة حيث توجد مثل هذه الأداة، على سبيل المثال، رسومات تصور ورشة نجارة.

يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. وفي أحد النصوص يعود تاريخه إلى زمن حمورابي، أي إلى عام 2000 قبل الميلاد. ه. ، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم الزاوية. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء العمليات الحسابية باستخدام المثلثات القائمة، على الأقل في بعض الحالات. واستنادا، من ناحية، على المستوى الحالي للمعرفة بالرياضيات المصرية والبابلية، ومن ناحية أخرى، وعلى دراسة نقدية للمصادر اليونانية، خلص فان دير وايردن (عالم رياضيات هولندي) إلى أن هناك احتمالا كبيرا بأن كانت نظرية مربع الوتر معروفة في الهند في حوالي القرن الثامن عشر قبل الميلاد. ه.

حوالي 400 قبل الميلاد. قبل الميلاد، وفقا لبروكلس، أعطى أفلاطون طريقة للعثور على ثلاثة توائم فيثاغورس، والجمع بين الجبر والهندسة. حوالي 300 قبل الميلاد. ه. ظهر أقدم دليل بديهي لنظرية فيثاغورس في كتاب العناصر لإقليدس.

تركيبات

صياغة هندسية:

تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:

الصيغة الجبرية:

وهذا يعني أن طول وتر المثلث بـ و أطوال الأرجل بـ و :

نظرية فيثاغورس العكسية:

دليل

من خلال مثلثات مماثلة

نحن نحصل

ما يعادل

بإضافة ذلك، نحصل على

، وهو ما يحتاج إلى إثبات

البراهين باستخدام طريقة المنطقة

إثبات عن طريق التكامل

لنرتب أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية كما هو موضح في الشكل 1.
رباعية الجوانب جهو مربع، لأن مجموع الزاويتين الحادتين هو 90 درجة، والزاوية المستقيمة هي 180 درجة.
مساحة الشكل بأكمله تساوي من ناحية مساحة المربع الذي ضلعه (أ + ب) ومن ناحية أخرى مجموع مساحات المثلثات الأربعة والضلع (أ + ب) مساحة المربع الداخلي .

Q.E.D.

برهان اقليدس

لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة: المثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK، AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة).

إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا.

إثبات ليوناردو دافنشي

العناصر الرئيسية للإثبات هي التماثل والحركة.

دعونا نفكر في الرسم، كما يتبين من التماثل، فإن القطعة تقطع المربع إلى جزأين متطابقين (نظرًا لأن المثلثين متساويان في البناء).

وباستخدام الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة حول النقطة، نرى تساوي الأشكال المظللة و.

الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات الصغيرة (المبنية على الأرجل) ومساحة المثلث الأصلي. ومن ناحية أخرى، فهو يساوي نصف مساحة المربع الكبير (المبني على الوتر) بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. وبذلك فإن نصف مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي نصف مساحة المربع الكبير، وبالتالي فإن مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل يساوي مساحة المربع المبني على الأرجل الوتر.

الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر

وباستخدام طريقة الفصل بين المتغيرات نجد

تعبير أكثر عمومية عن تغير الوتر في حالة الزيادات على الجانبين

بدمج هذه المعادلة وباستخدام الشروط الأولية نحصل على

وبذلك نصل إلى الإجابة المطلوبة

وكما هو واضح فإن الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية يظهر بسبب التناسب الخطي بين أضلاع المثلث والزيادات، في حين أن المجموع يرتبط بمساهمات مستقلة من زيادة الأضلاع المختلفة.

يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن أحد الساقين لا يعاني من زيادة (في هذه الحالة الساق). ثم للحصول على ثابت التكامل نحصل عليه

الاختلافات والتعميمات

أشكال هندسية متشابهة من ثلاث جهات

تعميم للمثلثات المتشابهة مساحة الأشكال الخضراء A + B = مساحة الأشكال الزرقاء C

نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات القائمة المتشابهة

قام إقليدس بتعميم نظرية فيثاغورس في عمله البداياتتوسيع مساحات المربعات من الجوانب إلى مساحات الأشكال الهندسية المتشابهة:

إذا قمنا ببناء أشكال هندسية متشابهة (انظر الهندسة الإقليدية) على جوانب مثلث قائم الزاوية، فإن مجموع الشكلين الأصغر سيكون مساوياً لمساحة الشكل الأكبر.

الفكرة الرئيسية لهذا التعميم هي أن مساحة هذا الشكل الهندسي تتناسب مع مربع أي من أبعاده الخطية، وعلى وجه الخصوص، مع مربع طول أي ضلع. لذلك، لشخصيات مماثلة مع المناطق أ, بو جمبنية على جوانب ذات طول أ, بو ج، لدينا:

ولكن حسب نظرية فيثاغورس أ 2 + ب 2 = ج 2 ثم أ + ب = ج.

على العكس من ذلك، إذا تمكنا من إثبات ذلك أ + ب = جلثلاثة أشكال هندسية متشابهة دون استخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إثبات النظرية نفسها، والتحرك في الاتجاه المعاكس. على سبيل المثال، يمكن إعادة استخدام مثلث مركز البداية كمثلث جعلى الوتر، واثنين من المثلثات القائمة مماثلة ( أو ب) ، مبنية على الجانبين الآخرين، والتي تتكون من قسمة المثلث المركزي على ارتفاعه. ومن الواضح أن مجموع مساحتي المثلثين الأصغر يساوي مساحة المثلث الثالث، وبالتالي أ + ب = جوبإجراء البرهان السابق بترتيب عكسي، نحصل على نظرية فيثاغورس a 2 + b 2 = c 2 .

نظرية جيب التمام

نظرية فيثاغورس هي حالة خاصةأكثر النظرية العامةجيب التمام، الذي يربط أطوال الجوانب في مثلث تعسفي:

حيث θ هي الزاوية بين الجانبين أو ب.

إذا كانت θ تساوي 90 درجة، فإن cos θ = 0 ويتم تبسيط الصيغة إلى نظرية فيثاغورس المعتادة.

المثلث الحر

إلى أي زاوية محددة لمثلث عشوائي ذو جوانب أ، ب، جأدرج مثلث متساوي الساقين بهذه الطريقة زوايا متساويةعند قاعدتها θ كانت مساوية للزاوية المحددة. لنفترض أن الزاوية المحددة θ تقع مقابل الجانب المحدد ج. ونتيجة لذلك، حصلنا على مثلث ABD ذو الزاوية θ، والذي يقع مقابل الجانب أوالحفلات ص. يتكون المثلث الثاني من الزاوية θ التي تقع مقابل الجانب بوالحفلات معطول س، كما هو موضح في الصورة. وذهب ثابت بن قرة إلى أن أضلاع هذه المثلثات الثلاثة مرتبطة على النحو التالي:

عندما تقترب الزاوية θ من π/2، تصبح قاعدة المثلث متساوي الساقين أصغر ويتداخل الجانبان r وs مع بعضهما البعض بشكل أقل فأقل. عندما θ = π/2، يصبح ADB مثلثًا قائمًا، ص + س = جونحصل على نظرية فيثاغورس الأولية.

دعونا نفكر في إحدى الحجج. المثلث ABC له نفس زوايا المثلث ABD، ولكن بترتيب عكسي. (المثلثان لهما زاوية مشتركة عند الرأس B، وكلاهما لهما زاوية θ ولهما أيضًا نفس الزاوية الثالثة، بناءً على مجموع زوايا المثلث) وبناءً على ذلك، فإن ABC يشبه الانعكاس ABD للمثلث DBA، كما يظهر في الشكل السفلي. دعونا نكتب العلاقة بين الأضلاع المتقابلة وتلك المجاورة للزاوية θ،

وأيضا انعكاس لمثلث آخر،

دعونا نضرب الكسور ونضيف هاتين النسبتين:

Q.E.D.

تعميم المثلثات التعسفية عبر متوازي الأضلاع

تعميم للمثلثات التعسفية،
المنطقة الخضراء قطعة الأرض = المنطقةأزرق

دليل على الأطروحة التي في الشكل أعلاه

لنقم بتعميم إضافي للمثلثات غير القائمة باستخدام متوازيات الأضلاع على ثلاثة جوانب بدلاً من المربعات. (المربعات حالة خاصة.) يوضح الشكل العلوي أنه بالنسبة للمثلث الحاد، فإن مساحة متوازي الأضلاع على الضلع الطويل تساوي مجموع متوازيي الأضلاع على الضلعين الآخرين، بشرط أن يكون متوازي الأضلاع على الضلع الطويل تم إنشاء الجانب كما هو موضح في الشكل (الأبعاد المشار إليها بواسطة الأسهم هي نفسها وتحدد جوانب متوازي الأضلاع السفلي). هذا الاستبدال للمربعات بمتوازيات الأضلاع يحمل تشابهًا واضحًا مع نظرية فيثاغورس الأولية، التي يُعتقد أن بابوس السكندري صاغها في عام 4 بعد الميلاد. ه.

ويبين الشكل السفلي التقدم المحرز في الإثبات. دعونا ننظر إلى الجانب الأيسر من المثلث. متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس مساحة الجانب الأيسر من متوازي الأضلاع الأزرق لأن لهما نفس القاعدة بوالارتفاع ح. بالإضافة إلى ذلك، فإن متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس مساحة متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر في الصورة العلوية لأنهما يشتركان في قاعدة مشتركة (الجانب الأيسر العلوي من المثلث) وارتفاع مشترك متعامد على هذا الجانب من المثلث. باستخدام منطق مماثل للجانب الأيمن من المثلث، سنثبت أن متوازي الأضلاع السفلي له نفس مساحة متوازيي الأضلاع الأخضرين.

ارقام مركبة

تستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات الديكارتية، وهذه النظرية صالحة لجميع الإحداثيات الحقيقية: المسافة سبين نقطتين ( أ، ب) و ( ج، د) يساوي

لا توجد مشاكل في الصيغة إذا تم التعامل مع الأعداد المركبة على أنها متجهات ذات مكونات حقيقية س + أنا ذ = (س, ذ). . على سبيل المثال، المسافة سبين 0+1 أناو1 + 0 أناتحسب كمعامل المتجه (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), أو

ومع ذلك، بالنسبة للعمليات مع المتجهات ذات الإحداثيات المعقدة، فمن الضروري إجراء بعض التحسينات على صيغة فيثاغورس. المسافة بين النقاط ذات الأعداد المركبة ( أ, ب) و ( ج, د); أ, ب, ج، و دكل شيء معقد، نقوم بصياغته باستخدام القيم المطلقة. مسافة سعلى أساس الفرق المتجهات (أ − ج, ب − د) على الشكل التالي : دع الفرق أ − ج = ص+ أنا س، أين ص- الجزء الحقيقي من الفرق، سهو الجزء التخيلي، وi = √(−1). وبالمثل، دعونا ب − د = ص+ أنا س. ثم:

أين هو الرقم المرافق المعقد ل . على سبيل المثال، المسافة بين النقاط (أ, ب) = (0, 1) و (ج, د) = (أنا, 0) ، دعونا نحسب الفرق (أ − ج, ب − د) = (−أنا, 1) وستكون النتيجة 0 إذا لم يتم استخدام الاقترانات المعقدة. لذلك، باستخدام الصيغة المحسنة، نحصل على

يتم تعريف الوحدة على النحو التالي:

القياس المجسم

من التعميمات الهامة لنظرية فيثاغورس للفضاء ثلاثي الأبعاد هي نظرية دي غوي، التي سميت على اسم جيه بي. دي غويس: إذا كان لرباعي الوجوه زاوية قائمة (كما في المكعب)، فإن مربع مساحة الوجه المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعات مساحات الوجوه الثلاثة الأخرى. ويمكن تلخيص هذا الاستنتاج بما يلي: " ننظرية فيثاغورس ذات الأبعاد:

تربط نظرية فيثاغورس في الفضاء ثلاثي الأبعاد القطر AD بثلاثة جوانب.

تعميم آخر: يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على القياس الفراغي بالشكل التالي. خذ بعين الاعتبار متوازي السطوح المستطيل كما هو موضح في الشكل. دعنا نوجد طول القطر BD باستخدام نظرية فيثاغورس:

حيث تشكل الجوانب الثلاثة مثلثًا قائمًا. نستخدم القطر الأفقي BD والحافة الرأسية AB لإيجاد طول القطر AD، ولهذا نستخدم مرة أخرى نظرية فيثاغورس:

أو إذا كتبنا كل شيء في معادلة واحدة:

هذه النتيجة عبارة عن تعبير ثلاثي الأبعاد لتحديد حجم المتجه الخامس(قطري AD) ، معبراً عنه من حيث مكوناته المتعامدة ( الخامسك ) (ثلاثة جوانب متعامدة بشكل متبادل):

يمكن اعتبار هذه المعادلة بمثابة تعميم لنظرية فيثاغورس للفضاء متعدد الأبعاد. ومع ذلك، فإن النتيجة في الواقع ليست أكثر من تطبيق متكرر لنظرية فيثاغورس على سلسلة من المثلثات القائمة في مستويات متعامدة على التوالي.

مساحة المتجهات

في حالة وجود نظام متعامد من المتجهات، هناك مساواة، والتي تسمى أيضًا نظرية فيثاغورس:

إذا كانت هذه إسقاطات للمتجه على محاور الإحداثيات، فإن هذه الصيغة تتزامن مع المسافة الإقليدية - وتعني أن طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوناته.

إن نظير هذه المساواة في حالة وجود نظام لا نهائي من المتجهات يسمى مساواة بارسيفال.

الهندسة غير الإقليدية

نظرية فيثاغورس مشتقة من بديهيات الهندسة الإقليدية، وهي في الواقع غير صالحة للهندسة غير الإقليدية، بالشكل الذي كتبت به أعلاه. (أي أن نظرية فيثاغورس تبين أنها نوع من المكافئ لمسلمة إقليدس للتوازي). وبعبارة أخرى، في الهندسة غير الإقليدية، ستكون العلاقة بين أضلاع المثلث بالضرورة في شكل مختلف عن نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، في الهندسة الكروية، جميع الجوانب الثلاثة للمثلث القائم الزاوية (على سبيل المثال أ, بو ج)، التي تحدد الثماني (الجزء الثامن) من وحدة الكرة، يبلغ طولها π/2، وهو ما يتعارض مع نظرية فيثاغورس، لأن أ 2 + ب 2 ≠ ج 2 .

دعونا نفكر هنا في حالتين من الهندسة غير الإقليدية - الهندسة الكروية والزائدية؛ وفي كلتا الحالتين، أما بالنسبة للمساحة الإقليدية للمثلثات القائمة، فإن النتيجة التي تحل محل نظرية فيثاغورس، تتبع نظرية جيب التمام.

ومع ذلك، تظل نظرية فيثاغورس صالحة للهندسة الزائدية والإهليلجية إذا تم استبدال شرط أن يكون المثلث مستطيلًا بشرط أن مجموع زاويتين للمثلث يجب أن يكون مساويًا للثالثة، على سبيل المثال أ+ب = ج. فتبدو العلاقة بين الجوانب كما يلي: مجموع مساحات الدوائر التي لها أقطار أو بيساوي مساحة الدائرة التي يبلغ قطرها ج.

الهندسة الكروية

لأي مثلث قائم الزاوية على كرة نصف قطرها ر(على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية γ في المثلث قائمة) مع الجوانب أ, ب, جوستكون العلاقة بين الطرفين على النحو التالي:

ويمكن استخلاص هذه المساواة كما حالة خاصةنظرية جيب التمام الكروية، والتي تنطبق على جميع المثلثات الكروية:

حيث cosh هو جيب التمام الزائدي. هذه الصيغة هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام الزائدي، وهي صالحة لجميع المثلثات:

حيث γ هي الزاوية التي رأسها مقابل الجانب ج.

أين ز اي جاييسمى الموتر المتري. قد تكون وظيفة الموقف. تتضمن هذه المساحات المنحنية الهندسة الريمانية كمثال عام. هذه الصيغة مناسبة أيضًا للفضاء الإقليدي عند استخدام الإحداثيات المنحنية. على سبيل المثال، للإحداثيات القطبية:

ناقلات العمل الفني

تربط نظرية فيثاغورس بين تعبيرين لحجم منتج متجه. يتطلب أحد الأساليب لتحديد المنتج المتقاطع أن يفي بالمعادلة:

تستخدم هذه الصيغة المنتج النقطي. الجانب الأيمنالمعادلة تسمى محدد الجرام أو بوهي تساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يتكون من هذين المتجهين. وبناء على هذا الشرط، وكذلك اشتراط أن يكون المنتج المتجه متعامدا مع مكوناته أو بويترتب على ذلك أنه، باستثناء الحالات التافهة من الفضاء ذي البعدين 0 و1، يتم تعريف المنتج المتقاطع فقط في ثلاثة وسبعة أبعاد. نستخدم تعريف الزاوية في ن-مساحة الأبعاد:

هذه الخاصية للمنتج المتقاطع تعطي حجمها كما يلي:

من خلال الأساسية الهوية المثلثيةفيثاغورس حصلنا على شكل آخر لكتابة قيمته:

هناك طريقة بديلة لتحديد حاصل الضرب الاتجاهي وهي استخدام تعبير يعبر عن حجمه. ثم، بالتفكير بترتيب عكسي، نحصل على اتصال مع المنتج القياسي:

أنظر أيضا

ملحوظات

موضوع التاريخ: نظرية فيثاغورس في الرياضيات البابلية
( ، ص351) ص351
(، المجلد الأول، ص 144)
وقد تقدم الحديث عن الحقائق التاريخية في (، ص351) ص351
كيرت فون فريتز (أبريل 1945). “اكتشاف عدم القابلية للقياس بواسطة هيباسوس من ميتابونتوم”. حوليات الرياضيات، السلسلة الثانية(حوليات الرياضيات) 46 (2): 242–264.
لويس كارول، "القصة ذات العقد"، م. مير، 1985، ص. 7
اصغر عبويحلقات من التاريخ المبكر للرياضيات. - الجمعية الرياضية الأمريكية، 1997. - ص 51. - ISBN 0883856131
اقتراح بايثونبواسطة إليشا سكوت لوميس
إقليدس عناصر: الكتاب السادس، الاقتراح السادس 31: “في المثلثات القائمة الزاوية، يكون الشكل الموجود على الجانب الذي يقابل الزاوية القائمة مساويا للأشكال المماثلة والموصوفة بشكل مماثل على الجوانب التي تحتوي على الزاوية القائمة.”
لورانس س. ليف العمل المذكور. - سلسلة بارون التعليمية - ص 326. - ISBN 0764128922
هوارد وايتلي إيفز§4.8:...تعميم نظرية فيثاغورس // لحظات عظيمة في الرياضيات (قبل 1650). - الجمعية الرياضية الأمريكية، 1983. - ص 41. - ISBN 0883853108
ثابت بن قرة (الاسم الكامل: ثابت بن قرة بن مروان السبع الحراني) (826-901 م) كان طبيبًا يعيش في بغداد وكتب على نطاق واسع عن عناصر إقليدس ومواضيع رياضية أخرى.
أيدين سايلي (مارس 1960). "تعميم ثابت بن قرة لنظرية فيثاغورس". مشاكل 51 (١): ٣٥-٣٧. دوى:10.1086/348837.
جوديث د. سالي، بول ساليالتمرين 2.10 (ii) // العمل المستشهد به. - ص 62. - ISBN 0821844032
للحصول على تفاصيل مثل هذا البناء، انظر جورج جينينغزالشكل 1.32: نظرية فيثاغورس المعممة // الهندسة الحديثة مع التطبيقات: مع 150 رقمًا. - الثالث. - سبرينغر، 1997. - ص 23. - ISBN 038794222X
ارلين براون، كارل م. بيرسيغرض ج: القاعدة التعسفية ن-tuple ... // مقدمة في التحليل . - سبرينغر، 1995. - ص 124. - ISBN 0387943692انظر أيضاً الصفحات 47-50.
ألفريد جراي، إلسا أبينا، سيمون سالامونالهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام Mathematica. - الثالث. - مطبعة اتفاقية حقوق الطفل، 2006. - ص 194. - ISBN 1584884487
راجيندرا بهاتياتحليل المصفوفة. - سبرينغر، 1997. - ص 21. - ISBN 0387948465
ستيفن دبليو هوكينج العمل المذكور. - 2005. - ص 4. - ISBN 0762419229
إريك دبليو فايستين CRC موسوعة موجزة للرياضيات. - الثاني. - 2003. - ص 2147. - ISBN 1584883472
ألكسندر ر. بروس

الهندسة ليست علمًا بسيطًا. يمكن أن يكون مفيدًا للمناهج المدرسية وللأغراض التعليمية الحياه الحقيقيه. معرفة العديد من الصيغ والنظريات سوف تبسط الحسابات الهندسية. واحدة من أكثر أرقام بسيطةفي الهندسة هو مثلث. أحد أنواع المثلثات متساوي الأضلاع له خصائصه الخاصة.

مميزات المثلث متساوي الأضلاع

بحكم التعريف، المثلث هو متعدد السطوح له ثلاث زوايا وثلاثة جوانب. هذا شكل مسطح ثنائي الأبعاد، تمت دراسة خصائصه في المدرسة الثانوية. بناءً على نوع الزاوية، هناك مثلثات حادة ومنفرجة وقائممة. المثلث القائم هو شكل هندسي حيث إحدى زواياه 90 درجة. يحتوي هذا المثلث على ساقين (يشكلان زاوية قائمة) ووتر واحد (وهو مقابل الزاوية القائمة). اعتمادا على الكميات المعروفة، هناك ثلاثة طرق بسيطةاحسب الوتر في المثلث القائم الزاوية.

الطريقة الأولى هي إيجاد وتر المثلث القائم الزاوية. نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس هي أقدم طريقة لحساب أي من أضلاع المثلث القائم الزاوية. يبدو الأمر كالتالي: "في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين." وبالتالي، لحساب الوتر، ينبغي للمرء أن يشتق الجذر التربيعيمن مجموع ساقين تربيع. من أجل الوضوح، يتم إعطاء الصيغ والرسم التخطيطي.

الطريقة الثانية. حساب الوتر باستخدام كميتين معروفتين: الساق والزاوية المجاورة

تنص إحدى خصائص المثلث القائم الزاوية على أن نسبة طول الساق إلى طول الوتر تعادل جيب تمام الزاوية بين هذه الساق والوتر. دعنا نسمي الزاوية المعروفة لنا α. الآن، بفضل التعريف المعروف، يمكنك بسهولة صياغة صيغة لحساب الوتر: الوتر = الساق/cos(α)

الطريق الثالث. حساب الوتر باستخدام كميتين معروفتين: الساق والزاوية المقابلة

إذا كانت الزاوية المقابلة معروفة، فمن الممكن مرة أخرى استخدام خصائص المثلث القائم الزاوية. النسبة بين طول الساق والوتر تعادل جيب الزاوية المقابلة. دعونا نسمي الزاوية المعروفة α مرة أخرى. الآن بالنسبة للحسابات سوف نستخدم صيغة مختلفة قليلاً:
الوتر = الساق/الخطيئة (α)

أمثلة لمساعدتك على فهم الصيغ

للحصول على فهم أعمق لكل من الصيغ، يجب عليك أن تأخذ في الاعتبار أمثلة توضيحية. لذا، لنفترض أنك حصلت على مثلث قائم الزاوية، حيث توجد البيانات التالية:

الساق – 8 سم.
الزاوية المجاورة cosα1 هي 0.8.
الزاوية المقابلة sinα2 هي 0.8.

وبحسب نظرية فيثاغورس: الوتر = الجذر التربيعي لـ (36+64) = 10 سم.
حسب حجم الساق والزاوية المجاورة: 8/0.8 = 10 سم.
حسب حجم الساق والزاوية المقابلة: 8/0.8 = 10 سم.

بمجرد فهم الصيغة، يمكنك بسهولة حساب الوتر باستخدام أي بيانات.

فيديو: نظرية فيثاغورس

عادةً ما تُعزى إمكانات الإبداع إلى العلوم الإنسانية، تاركة العلوم الطبيعية للتحليل والنهج العملي واللغة الجافة للصيغ والأرقام. لا يمكن تصنيف الرياضيات على أنها مادة إنسانية. لكن بدون الإبداع لن تذهب بعيداً في "ملكة كل العلوم" - لقد عرف الناس ذلك منذ زمن طويل. منذ زمن فيثاغورس مثلا.

لسوء الحظ، لا توضح الكتب المدرسية عادة أنه في الرياضيات من المهم ليس فقط حشر النظريات والبديهيات والصيغ. من المهم أن نفهم ونشعر بمبادئها الأساسية. وفي نفس الوقت حاول تحرير عقلك من الكليشيهات و الحقائق الأولية- فقط في مثل هذه الظروف تولد كل الاكتشافات العظيمة.

وتشمل هذه الاكتشافات ما نعرفه اليوم بنظرية فيثاغورس. وبمساعدتها، سنحاول أن نظهر أن الرياضيات لا يمكن أن تكون مثيرة فحسب، بل يجب أن تكون مثيرة أيضًا. وأن هذه المغامرة مناسبة ليس فقط للمهووسين ذوي النظارات السميكة، بل لكل شخص قوي العقل وقوي الروح.

من تاريخ القضية

بالمعنى الدقيق للكلمة، على الرغم من أن النظرية تسمى "نظرية فيثاغورس"، إلا أن فيثاغورس نفسه لم يكتشفها. تمت دراسة المثلث القائم الزاوية وخصائصه الخاصة قبل ذلك بوقت طويل. هناك وجهتا نظر قطبيتين حول هذه القضية. وفقًا لإحدى الإصدارات، كان فيثاغورس أول من وجد دليلاً كاملاً على النظرية. ووفقا لآخر، فإن الدليل لا ينتمي إلى تأليف فيثاغورس.

اليوم لم يعد بإمكانك التحقق من هو على حق ومن هو على خطأ. والمعروف أن إثبات فيثاغورس، إن كان موجودًا، لم يبق. ومع ذلك، هناك اقتراحات بأن الدليل الشهير من كتاب العناصر لإقليدس قد ينتمي إلى فيثاغورس، وقد سجله إقليدس فقط.

ومن المعروف اليوم أيضًا أن المسائل المتعلقة بالمثلث قائم الزاوية موجودة في المصادر المصرية من زمن الفرعون أمنمحات الأول، وعلى الألواح الطينية البابلية من عهد الملك حمورابي، وفي الرسالة الهندية القديمة “سولفا سوترا” والعمل الصيني القديم “. تشو بي سوان جين”.

كما ترون فإن نظرية فيثاغورس شغلت عقول علماء الرياضيات منذ القدم. وهذا ما تؤكده حوالي 367 قطعة مختلفة من الأدلة الموجودة اليوم. وفي هذا لا يمكن لأي نظرية أخرى أن تنافسها. من بين مؤلفي البراهين المشهورين يمكننا أن نتذكر ليوناردو دافنشي والرئيس الأمريكي العشرين جيمس جارفيلد. كل هذا يتحدث عن الأهمية البالغة لهذه النظرية بالنسبة للرياضيات: فمعظم نظريات الهندسة مشتقة منها أو مرتبطة بها بطريقة ما.

البراهين على نظرية فيثاغورس

تقدم الكتب المدرسية في الغالب أدلة جبرية. لكن جوهر النظرية يكمن في الهندسة، لذلك دعونا نفكر أولاً في براهين النظرية الشهيرة المبنية على هذا العلم.

الدليل 1

للحصول على أبسط دليل على نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية، تحتاج إلى تحديد الظروف المثالية: دع المثلث لا يكون قائم الزاوية فحسب، بل متساوي الساقين أيضًا. هناك سبب للاعتقاد بأن هذا النوع من المثلث هو بالضبط ما فكر فيه علماء الرياضيات القدماء في البداية.

إفادة "المربع المبني على وتر المثلث القائم يساوي مجموع المربعات المبنية على قائميه"ويمكن توضيح ذلك بالرسم التالي:

انظر إلى المثلث القائم متساوي الساقين ABC: على الوتر AC، يمكنك بناء مربع يتكون من أربعة مثلثات تساوي ABC الأصلي. ويبنى على الضلعين AB وBC مربع، يحتوي كل منهما على مثلثين متشابهين.

بالمناسبة، شكل هذا الرسم أساس العديد من النكات والرسوم الكاريكاتورية المخصصة لنظرية فيثاغورس. الأكثر شهرة هو على الأرجح "سراويل فيثاغورس متساوية في كل الاتجاهات":

الدليل 2

تجمع هذه الطريقة بين الجبر والهندسة ويمكن اعتبارها نوعًا مختلفًا من البرهان الهندي القديم لعالم الرياضيات بهاسكاري.

بناء مثلث قائم الزاوية مع الجانبين أ، ب، ج(رسم بياني 1). ثم قم ببناء مربعين أضلاعهما تساوي مجموع طولي الرجلين - (أ+ب). في كل مربع، قم بعمل الإنشاءات كما في الشكلين 2 و3.

في المربع الأول، قم ببناء أربعة مثلثات مشابهة لتلك الموجودة في الشكل 1. والنتيجة هي مربعين: واحد مع الجانب أ، والثاني مع الجانب ب.

في المربع الثاني، تم إنشاء أربعة مثلثات متشابهة لتشكل مربعًا طول ضلعه يساوي الوتر ج.

مجموع مساحات المربعات المبنية في الشكل 2 يساوي مساحة المربع الذي أنشأناه مع الضلع c في الشكل 3. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق حساب مساحة المربعات في الشكل. 2 حسب الصيغة. ومساحة المربع المندرج في الشكل 3. وذلك بطرح مساحات أربعة مثلثات متساوية قائمة الزاوية مدرجة في المربع من مساحة مربع كبير ذو ضلع (أ+ب).

وكتابة كل هذا، لدينا: أ 2 + ب 2 =(أ+ب) 2 – 2أ. افتح الأقواس، وقم بإجراء جميع الحسابات الجبرية اللازمة واحصل على ذلك أ 2 + ب 2 = أ 2 + ب 2. في هذه الحالة، المنطقة المبينة في الشكل 3. يمكن أيضًا حساب المربع باستخدام الصيغة التقليدية ق = ج 2. أولئك. أ 2 + ب 2 = ج 2– لقد أثبتت نظرية فيثاغورس.

الدليل 3

تم وصف الدليل الهندي القديم نفسه في القرن الثاني عشر في أطروحة “تاج المعرفة” (“Siddhanta Shiromani”) وباعتباره الحجة الرئيسية يستخدم المؤلف نداء موجهًا إلى المواهب الرياضية ومهارات الملاحظة للطلاب والأتباع: “ ينظر!"

لكننا سنقوم بتحليل هذا الدليل بمزيد من التفصيل:

داخل المربع، قم ببناء أربعة مثلثات قائمة كما هو موضح في الرسم. دعونا نشير إلى جانب المربع الكبير، المعروف أيضًا باسم الوتر، مع. دعونا نسمي أرجل المثلث أو ب. وفقا للرسم، فإن جانب المربع الداخلي هو (أ-ب).

استخدم الصيغة الخاصة بمساحة المربع ق = ج 2لحساب مساحة المربع الخارجي. وفي نفس الوقت احسب نفس القيمة عن طريق إضافة مساحة المربع الداخلي ومساحة المثلثات الأربعة القائمة: (أ-ب) 2 2+4*1\2*أ*ب.

يمكنك استخدام كلا الخيارين لحساب مساحة المربع للتأكد من أنهما يعطيان نفس النتيجة. وهذا يمنحك الحق في تدوين ذلك ج 2 =(أ-ب) 2 +4*1\2*أ*ب. ونتيجة للحل، سوف تحصل على صيغة نظرية فيثاغورس ج 2 = أ 2 + ب 2. لقد تم إثبات النظرية.

الدليل 4

هذا الدليل الصيني القديم الغريب كان يسمى "كرسي العروس" - بسبب الشكل الذي يشبه الكرسي الناتج عن جميع الإنشاءات:

ويستخدم الرسم الذي رأيناه بالفعل في الشكل 3 في البرهان الثاني. والمربع الداخلي ذو الضلع C مبني بنفس الطريقة كما في الدليل الهندي القديم المذكور أعلاه.

إذا قمت بقطع مثلثين مستطيلين أخضر اللون من الرسم في الشكل 1، وحركهما إلى جوانب متقابلة من المربع مع الجانب C وقم بإرفاق الوتر إلى وتر المثلثات الأرجوانية، فستحصل على شكل يسمى "كرسي العروس" (الصورة 2). من أجل الوضوح، يمكنك أن تفعل الشيء نفسه مع المربعات الورقية والمثلثات. سوف تتأكد من أن "كرسي العروس" يتكون من مربعين: مربعان صغيران ذو جانب بوكبيرة مع الجانب أ.

سمحت هذه الإنشاءات لعلماء الرياضيات الصينيين القدماء ولنا، بعدهم، بالتوصل إلى استنتاج مفاده أن ج 2 = أ 2 + ب 2.

الدليل 5

هذه طريقة أخرى لإيجاد حل لنظرية فيثاغورس باستخدام الهندسة. إنها تسمى طريقة غارفيلد.

بناء مثلث قائم الزاوية اي بي سي. نحن بحاجة إلى إثبات ذلك ق 2 = أ 2 + أ ب 2.

للقيام بذلك، استمر في الساق تكييفوبناء شريحة قرص مضغوط، أيّ يساوي الساق أ.ب. خفض عمودي إعلانالقطعة المستقيمة الضعف الجنسي. شرائح الضعف الجنسيو تكييفمتساوون. الربط بين النقاط هو في، و هو معواحصل على رسم مثل الصورة أدناه:

لإثبات البرج، نلجأ مرة أخرى إلى الطريقة التي جربناها بالفعل: نجد مساحة الشكل الناتج بطريقتين ومساواة التعبيرات مع بعضها البعض.

أوجد مساحة المضلع سريريمكن القيام بذلك عن طريق جمع مساحات المثلثات الثلاثة التي تشكلها. وواحد منهم، وحدة معالجة الطوارئ، ليس مستطيلًا فحسب، بل متساوي الساقين أيضًا. دعونا لا ننسى ذلك أيضًا أب = مؤتمر نزع السلاح, التيار المتردد = الضعف الجنسيو قبل الميلاد = جنوب شرق- سيسمح لنا ذلك بتبسيط التسجيل وعدم التحميل الزائد عليه. لذا، S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

وفي الوقت نفسه، فمن الواضح أن سرير- هذا شبه منحرف. ولذلك، فإننا نحسب مساحتها باستخدام الصيغة: S عابد =(DE+AB)*1/2م. بالنسبة لحساباتنا، يكون تمثيل القطاع أكثر ملاءمة ووضوحًا إعلانكمجموع الأجزاء تكييفو قرص مضغوط.

لنكتب الطريقتين لحساب مساحة الشكل، مع وضع إشارة المساواة بينهما: أب*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). نحن نستخدم مساواة الشرائح المعروفة لنا والموصوفة أعلاه للتبسيط الجانب الأيمنالإدخالات: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. الآن دعونا نفتح الأقواس ونحول المساواة: أب*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. بعد الانتهاء من جميع التحولات، نحصل على ما نحتاجه بالضبط: ق 2 = أ 2 + أ ب 2. لقد أثبتنا النظرية.

وبطبيعة الحال، فإن قائمة الأدلة هذه بعيدة عن الاكتمال. يمكن أيضًا إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام المتجهات والأعداد المركبة، المعادلات التفاضلية، القياس المجسم، الخ. وحتى الفيزيائيون: على سبيل المثال، إذا تم سكب السائل في أحجام مربعة ومثلثة مماثلة لتلك الموضحة في الرسومات. من خلال صب السائل، يمكنك إثبات تساوي المناطق والنظرية نفسها نتيجة لذلك.

بضع كلمات عن ثلاثة توائم فيثاغورس

هذه القضية قليلة أو لم تتم دراستها على الإطلاق في المناهج المدرسية. وفي الوقت نفسه، فهو مثير للاهتمام للغاية ولديه أهمية عظيمةفي الهندسة. تُستخدم ثلاثية فيثاغورس في حل العديد من المسائل الرياضية. قد يكون فهمها مفيدًا لك في التعليم الإضافي.

إذن ما هي ثلاثة توائم فيثاغورس؟ هذا هو اسم الأعداد الطبيعية المجمعة في مجموعات مكونة من ثلاثة، مجموع مربعي اثنين منها يساوي مربع العدد الثالث.

يمكن أن تكون ثلاثية فيثاغورس:

بدائية (جميع الأرقام الثلاثة أولية نسبيًا) ؛
ليست بدائية (إذا تم ضرب كل رقم ثلاثي بنفس الرقم، فستحصل على ثلاثية جديدة، وهي ليست بدائية).

حتى قبل عصرنا، كان المصريون القدماء مفتونين بهوس أعداد التوائم الفيثاغورية الثلاثية: ففي المسائل كانوا يعتبرون مثلثًا قائمًا بأضلاعه 3 و4 و5 وحدات. وبالمناسبة، أي مثلث تساوي أضلاعه الأعداد الموجودة في ثلاثية فيثاغورس هو مستطيل افتراضيًا.

أمثلة على ثلاثية فيثاغورس: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20)، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) ، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، ( 14، 48، 50)، (30، 40، 50)، إلخ.

التطبيق العملي للنظرية

لا تُستخدم نظرية فيثاغورس في الرياضيات فحسب، بل تُستخدم أيضًا في الهندسة المعمارية والبناء وعلم الفلك وحتى الأدب.

أولاً عن البناء: نجد فيه نظرية فيثاغورس تطبيق واسعفي مهام ذات مستويات مختلفة من التعقيد. على سبيل المثال، انظر إلى النافذة الرومانية:

دعونا نشير إلى عرض النافذة كما ب، فيمكن الإشارة إلى نصف قطر نصف الدائرة الرئيسية على أنه روالتعبير من خلال ب: ص=ب/2. يمكن أيضًا التعبير عن نصف قطر الدوائر النصفية الأصغر من خلال ب: ص=ب/4. في هذه المشكلة نحن مهتمون بنصف قطر الدائرة الداخلية للنافذة (دعنا نسميها ص).

نظرية فيثاغورس مفيدة فقط للحساب ر. للقيام بذلك، نستخدم المثلث القائم، والذي يشار إليه بخط منقط في الشكل. يتكون الوتر في المثلث من نصفي قطر: ب/4+ص. تمثل إحدى الساقين نصف القطر ب/4، آخر ب/2-ص. وباستخدام نظرية فيثاغورس نكتب: (ب/4+ع) 2 =(ب/4) 2 +(ب/2-ع) 2. بعد ذلك، نفتح الأقواس ونحصل على ب 2 /16+ ب/2+ص 2 = ب 2 /16+ب 2 /4-ب+ب 2. دعونا نحول هذا التعبير إلى bp/2=b 2 /4-bp. ثم نقسم جميع الحدود على ب، نقدم مماثلة للحصول عليها 3/2*ع=ب/4. وفي النهاية نجد ذلك ع=ب/6- وهو ما كنا بحاجة إليه.

باستخدام النظرية، يمكنك حساب طول العوارض الخشبية لسقف الجملون. تحديد مدى ارتفاع البرج الاتصالات المتنقلةمن الضروري أن تصل الإشارة إلى منطقة مأهولة معينة. وحتى تركيب شجرة عيد الميلاد بشكل مستدام في ساحة البلدة. كما ترون، هذه النظرية لا تعيش فقط على صفحات الكتب المدرسية، ولكنها غالبا ما تكون مفيدة في الحياة الحقيقية.

في الأدب، ألهمت نظرية فيثاغورس الكتّاب منذ العصور القديمة، وما زالت تفعل ذلك حتى يومنا هذا. على سبيل المثال، استلهم الكاتب الألماني أدلبرت فون شاميسو من القرن التاسع عشر فكرة كتابة السوناتة:

ونور الحق لن ينطفئ قريبا
ولكن بعد أن أشرق، فمن غير المرجح أن يتبدد
وكما كان الحال منذ آلاف السنين،
لن يسبب الشكوك أو النزاعات.

الأكثر حكمة عندما يمس بصرك
نور الحق، الحمد للآلهة؛
ومائة ثور مذبوح يكذبون -
هدية عودة من فيثاغورس المحظوظ.

منذ ذلك الحين والثيران يزأرون بشدة:
انزعجت قبيلة الثور إلى الأبد
الحدث المذكور هنا

ويبدو لهم أن الوقت قد اقترب،
وسيتم التضحية بهم مرة أخرى
بعض النظرية العظيمة.

(ترجمة فيكتور توبوروف)

وفي القرن العشرين، خصص الكاتب السوفييتي إيفجيني فيلتيستوف، في كتابه «مغامرات الإلكترونيات»، فصلاً كاملاً لإثباتات نظرية فيثاغورس. ونصف فصل آخر لقصة العالم ثنائي الأبعاد الذي يمكن أن يوجد إذا أصبحت نظرية فيثاغورس قانونًا أساسيًا وحتى دينًا لعالم واحد. سيكون العيش هناك أسهل بكثير، ولكنه أيضًا أكثر مللًا: على سبيل المثال، لا أحد هناك يفهم معنى الكلمتين "مستديرة" و"رقيق".

وفي كتاب «مغامرات الإلكترونيات» يقول المؤلف على لسان مدرس الرياضيات تارتار: «الشيء الأساسي في الرياضيات هو حركة الفكر، الأفكار الجديدة». إن هذه الرحلة الفكرية الإبداعية هي التي أدت إلى ظهور نظرية فيثاغورس - فليس من قبيل الصدفة أن تحتوي على الكثير من البراهين المتنوعة. يساعدك على تجاوز حدود المألوف والنظر إلى الأشياء المألوفة بطريقة جديدة.

خاتمة

تم إنشاء هذه المقالة بحيث يمكنك النظر إلى ما هو أبعد من المناهج المدرسية في الرياضيات وتعلم ليس فقط تلك البراهين على نظرية فيثاغورس الواردة في الكتب المدرسية "الهندسة 7-9" (L.S. Atanasyan، V.N. Rudenko) و "الهندسة 7" - 11" (A.V. Pogorelov)، ولكن أيضًا طرق أخرى مثيرة للاهتمام لإثبات النظرية الشهيرة. وشاهد أيضًا أمثلة على كيفية تطبيق نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية.

أولاً، ستسمح لك هذه المعلومات بالتأهل للحصول على درجات أعلى في دروس الرياضيات - فالمعلومات حول هذا الموضوع من مصادر إضافية تحظى دائمًا بتقدير كبير.

ثانيًا، أردنا مساعدتك في التعرف على كيفية استخدام الرياضيات علم مثير للاهتمام. تأكد أمثلة محددةأن هناك دائمًا مكانًا للإبداع فيه. نأمل أن تلهمك نظرية فيثاغورس وهذه المقالة للاستكشاف بشكل مستقل وإجراء اكتشافات مثيرة في الرياضيات والعلوم الأخرى.

أخبرنا في التعليقات إذا وجدت الأدلة المقدمة في المقال مثيرة للاهتمام. هل وجدت هذه المعلومات مفيدة في دراستك؟ اكتب لنا رأيك في نظرية فيثاغورس وهذا المقال - وسنكون سعداء بمناقشة كل هذا معك.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

مقالات مماثلة: