إيجاد حل عام للمعادلة التفاضلية، أمثلة على الحلول. المعادلات التفاضلية على الانترنت

دعونا نتذكر المهمة التي واجهتنا عند إيجاد تكاملات محددة:

أو دى = و(س)دكس. الحل لها:

ويتعلق الأمر بالحساب تكامل غير محدد. في الممارسة العملية، غالبًا ما تتم مواجهة مهمة أكثر تعقيدًا: العثور على الوظيفة ذ، إذا علم أنه يفي بعلاقة من الشكل

ترتبط هذه العلاقة بالمتغير المستقل س، وظيفة غير معروفة ذومشتقاته حتى الأمر نشاملة، تسمى .

في المعادلة التفاضليةيتضمن وظيفة تحت علامة المشتقات (أو التفاضلات) بترتيب أو بآخر. أعلى ترتيب يسمى الترتيب (9.1) .

المعادلات التفاضلية:

- الطلب الأول،

الدرجة الثانية

- الترتيب الخامس، الخ.

تسمى الدالة التي تحقق معادلة تفاضلية معينة بحلها , أو لا يتجزأ . وحلها يعني إيجاد كل حلولها. إذا للوظيفة المطلوبة ذتمكنا من الحصول على صيغة تعطي جميع الحلول، ثم نقول أننا وجدناها قرار مشترك, أو التكامل العام .

قرار مشترك يتضمن نالثوابت التعسفية ويبدو

إذا تم الحصول على العلاقة التي تتعلق س، صو نالثوابت التعسفية، في شكل غير مسموح به فيما يتعلق ذ -

فإن هذه العلاقة تسمى التكامل العام للمعادلة (9.1).

مشكلة كوشي

كل حل محدد، أي كل دالة محددة تحقق معادلة تفاضلية معينة ولا تعتمد على ثوابت اعتباطية، يسمى حلاً معينًا , أو تكامل جزئي. للحصول على حلول معينة (تكاملات) من الحلول العامة، من الضروري إعطاء ثوابت محددة القيم الرقمية.

يسمى الرسم البياني لحل معين منحنى متكامل. الحل العام، الذي يحتوي على جميع الحلول الجزئية، هو عائلة منحنيات متكاملة. بالنسبة للمعادلة من الدرجة الأولى، تعتمد هذه العائلة على ثابت اعتباطي واحد للمعادلة ن- الترتيب - من نالثوابت التعسفية.

مسألة كوشي هي إيجاد حل محدد للمعادلة ن-الأمر مرضية ن الشروط الأولية:

والتي من خلالها يتم تحديد الثوابت n c 1, c 2,..., c n.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

بالنسبة للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى التي لم يتم حلها فيما يتعلق بالمشتقة، فإن لها الشكل

أو المسموح به نسبيا

مثال 3.46. أوجد الحل العام للمعادلة

حل.التكامل، نحصل عليه

حيث C هو ثابت تعسفي. إذا خصصنا قيم عددية محددة لـ C نحصل على حلول معينة، على سبيل المثال،

مثال 3.47. النظر في زيادة مبلغ الأموال المودعة في البنك مع مراعاة الاستحقاق 100 ص الفائدة المركبة سنويا. دع Yo يكون المبلغ الأولي من المال، وYx - في النهاية سسنين. إذا تم احتساب الفائدة مرة واحدة في السنة، نحصل على

حيث x = 0، 1، 2، 3،.... عندما يتم حساب الفائدة مرتين في السنة، نحصل على

حيث x = 0، 1/2، 1، 3/2،.... عند حساب الفائدة نمرة واحدة في السنة و إذا سيأخذ القيم المتسلسلة 0، 1/n، 2/n، 3/n،...، ثم

قم بتعيين 1/n = h، فستبدو المساواة السابقة كما يلي:

مع التكبير غير محدود ن(في ) في الحد نأتي إلى عملية زيادة مبلغ المال مع الاستحقاق المستمر للفائدة:

ومن هنا يتضح أنه مع التغيير المستمر سيتم التعبير عن قانون التغير في عرض النقود بمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى. حيث Y x دالة غير معروفة س- متغير مستقل، ص- ثابت. دعونا نحل هذه المعادلة، وللقيام بذلك نعيد كتابتها على النحو التالي:

أين ، أو حيث تشير P إلى C .

من الشروط الأولية Y(0) = Yo، نجد P: Yo = Pe o، ومن حيث Yo = P. لذلك، يكون الحل على الصورة:

دعونا ننظر في المشكلة الاقتصادية الثانية. يتم وصف نماذج الاقتصاد الكلي أيضًا بواسطة معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الأولى، تصف التغيرات في الدخل أو الإنتاج Y كوظائف للوقت.

مثال 3.48. دع الدخل القومي Y يزداد بمعدل يتناسب مع قيمته:

وليكن العجز في الإنفاق الحكومي متناسبًا بشكل مباشر مع الدخل Y مع معامل التناسب س. يؤدي العجز في الإنفاق إلى زيادة الدين القومي د:

الشروط الأولية Y = Yo و D = Do عند t = 0. من المعادلة الأولى Y= Yoe kt. استبدال Y نحصل على dD/dt = qYoe kt . الحل العام له الشكل
D = (q/ k) Yoe kt +С، حيث С = const، والتي يتم تحديدها من الشروط الأولية. باستبدال الشروط الأولية، نحصل على Do = (q/ k)Yo + C. أخيرًا،

D = فعل +(q/ k)Yo (e kt -1)،

وهذا يدل على أن الدين الوطني يتزايد بنفس المعدل النسبي ك، نفس الدخل القومي.

دعونا نفكر في أبسط المعادلات التفاضلية نالترتيب الرابع، هذه هي معادلات النموذج

ويمكن الحصول على الحل العام باستخدام نمرات التكامل.

مثال 3.49.خذ بعين الاعتبار المثال y """ = cos x.

حل.التكامل نجد

الحل العام له الشكل

المعادلات التفاضلية الخطية

في الاقتصاد تطبيق عظيملديك، والنظر في حل مثل هذه المعادلات. إذا كان (9.1) يحتوي على النموذج:

ثم يطلق عليه اسم خطي، حيث يتم إعطاء وظائف χ(x)، σ1(x)،...، χ(x)، f(x). إذا كانت f(x) = 0، فإن (9.2) تسمى متجانسة، وإلا فإنها تسمى غير متجانسة. الحل العام للمعادلة (9.2) يساوي مجموع أي من الحلول الخاصة بها ص (خ)والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة لها:

إذا كانت المعاملات Р o (x)، п 1 (x)،...، п n (x) ثابتة، إذن (9.2)

(9.4) تسمى معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ترتيب ثابتة ن .

لـ (9.4) له الشكل:

وبدون فقدان العمومية، يمكننا ضبط p o = 1 وكتابة (9.5) في الصورة

سوف نبحث عن الحل (9.6) بالصيغة y = e kx، حيث k ثابت. لدينا: ؛ y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . باستبدال التعبيرات الناتجة في (9.6)، سيكون لدينا:

(9.7) نعم معادلة جبرية، فهو غير معروف ك، ويسمى مميزة. المعادلة المميزة لها درجة نو نالجذور، من بينها يمكن أن تكون متعددة ومعقدة. دع k 1 , k 2 ,..., k n يكون حقيقيا ومتميزا، إذن - الحلول الخاصة (9.7)، والعامة

خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة:

معادلتها المميزة لها الشكل

(9.9)

تمييزه D = p 2 - 4q، اعتمادًا على إشارة D، ثلاث حالات ممكنة.

1. إذا كانت D>0، فإن الجذور k 1 وk 2 (9.9) حقيقية ومختلفة، ويكون الحل العام بالشكل:

حل.المعادلة المميزة: k 2 + 9 = 0، حيث k = ± 3i، a = 0، b = 3، الحل العام له الصيغة:

ص = ج 1 كوس 3س + ج 2 خطيئة 3س.

يتم استخدام المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية عند دراسة نموذج اقتصادي من نوع الويب مع مخزونات السلع، حيث يعتمد معدل التغير في السعر P على حجم المخزون (انظر الفقرة 10). في حالة العرض والطلب وظائف خطيةالأسعار، وهذا هو

a هو ثابت يحدد معدل التفاعل، ثم يتم وصف عملية تغير السعر بالمعادلة التفاضلية:

لحل معين يمكننا أن نأخذ ثابتا

سعر التوازن ذو معنى. انحراف يحقق المعادلة المتجانسة

(9.10)

المعادلة المميزة ستكون كما يلي:

في حال كان المصطلح إيجابيا. دعونا نشير . جذور المعادلة المميزة k 1,2 = ± i w، وبالتالي فإن الحل العام (9.10) له الشكل:

حيث C و ثوابت اعتباطية، يتم تحديدها من الشروط الأولية. حصلنا على قانون تغير الأسعار مع مرور الوقت:

أدخل المعادلة التفاضلية الخاصة بك، يتم استخدام الفاصلة العليا "" لإدخال المشتق، اضغط إرسال للحصول على الحل

المعادلة التفاضلية (DE) - هذه هي المعادلة
أين هي المتغيرات المستقلة، y هي الدالة وهي المشتقات الجزئية.

المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تفاضلية لها متغير مستقل واحد فقط.

المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغيرين مستقلين أو أكثر.

يمكن حذف الكلمتين "العادية" و"المشتقات الجزئية" إذا كان من الواضح المعادلة التي يتم النظر فيها. وفيما يلي النظر في المعادلات التفاضلية العادية.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى.

فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الأولى:

فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الرابعة:

في بعض الأحيان تتم كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بدلالة التفاضلات:

في هذه الحالة، المتغيران x وy متساويان. أي أن المتغير المستقل يمكن أن يكون إما x أو y. في الحالة الأولى، y هي دالة لـ x. في الحالة الثانية، x هي دالة لـ y. إذا لزم الأمر، يمكننا تقليل هذه المعادلة إلى شكل يتضمن بشكل صريح المشتقة y'.
وبقسمة هذه المعادلة على dx نحصل على:
.
منذ و، يتبع ذلك
.

حل المعادلات التفاضلية

يتم التعبير عن مشتقات الوظائف الأولية من خلال الوظائف الأولية. غالبًا لا يتم التعبير عن تكاملات الوظائف الأولية من حيث الوظائف الأولية. مع المعادلات التفاضلية الوضع أسوأ. نتيجة للحل يمكنك الحصول على:

• الاعتماد الصريح للدالة على المتغير؛

  حل المعادلة التفاضلية هي الدالة ذ = ش (خ)، والتي تم تعريفها، مرات n قابلة للتمييز، و .

• الاعتماد الضمني في شكل معادلة من النوع Φ (س، ص) = 0أو أنظمة المعادلات.

  تكامل المعادلة التفاضلية هو حل لمعادلة تفاضلية لها شكل ضمني.

• يتم التعبير عن الاعتماد من خلال الوظائف الأولية والتكاملات منها؛

  حل المعادلة التفاضلية في التربيعات - وهذا هو إيجاد الحل في شكل مجموعة من الوظائف الأولية وتكاملاتها.

• لا يجوز التعبير عن الحل من خلال الوظائف الأولية.

نظرًا لأن حل المعادلات التفاضلية يقتصر على حساب التكاملات، فإن الحل يتضمن مجموعة من الثوابت C 1، C 2، C 3، ... C n. عدد الثوابت يساوي ترتيب المعادلة. التكامل الجزئي للمعادلة التفاضلية هو التكامل العام لقيم معينة من الثوابت C 1، C 2، C 3، ...، C n.

مراجع:
في. ستيبانوف، دورة المعادلات التفاضلية، "LKI"، 2015.
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تربط بين متغير مستقل، دالة غير معروفة لهذا المتغير ومشتقاته (أو تفاضلاته) ذات الرتب المختلفة.

ترتيب المعادلة التفاضلية ويسمى ترتيب المشتق الأعلى الموجود فيه.

بالإضافة إلى المعادلات العادية، يتم أيضًا دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. هي معادلات تتعلق بمتغيرات مستقلة، دالة غير معروفة لهذه المتغيرات ومشتقاتها الجزئية بالنسبة لنفس المتغيرات. لكننا سوف ننظر فقط المعادلات التفاضلية العادية ولذلك، ومن باب الاختصار، سنحذف كلمة "عادي".

أمثلة على المعادلات التفاضلية:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

المعادلة (1) من الدرجة الرابعة، المعادلة (2) من الدرجة الثالثة، المعادلتان (3) و (4) من الدرجة الثانية، المعادلة (5) من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية نليس من الضروري أن يحتوي الترتيب الرابع على دالة صريحة، جميع مشتقاتها من الأول إلى ن-الترتيب والمتغير المستقل. قد لا تحتوي بشكل صريح على مشتقات لأوامر معينة أو دالة أو متغير مستقل.

على سبيل المثال، في المعادلة (1) من الواضح أنه لا توجد مشتقات من الدرجة الثالثة والثانية، وكذلك دالة؛ في المعادلة (2) - المشتقة من الدرجة الثانية والدالة؛ في المعادلة (4) - المتغير المستقل؛ في المعادلة (5) - الدوال. فقط المعادلة (3) تحتوي بشكل صريح على جميع المشتقات والدالة والمتغير المستقل.

حل المعادلة التفاضلية يتم استدعاء كل وظيفة ص = و(س)، عند استبدالها في المعادلة تتحول إلى هوية.

تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية اندماج.

مثال 1.أوجد حل المعادلة التفاضلية.

حل. لنكتب هذه المعادلة في الشكل . الحل هو إيجاد الدالة من مشتقتها. الدالة الأصلية، كما هو معروف من حساب التكامل، هي مشتق عكسي لـ، أي.

هذا ما هو عليه حل هذه المعادلة التفاضلية . تغير فيه ج، سوف نتلقى حلول مختلفة. لقد اكتشفنا أن هناك عدد لا نهائي من الحلول لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

الحل العام للمعادلة التفاضلية نالترتيب الرابع هو حلها، معبرا عنه صراحة فيما يتعلق بالدالة المجهولة والاحتواء نالثوابت التعسفية المستقلة، أي.

حل المعادلة التفاضلية في المثال 1 هو حل عام.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية يسمى الحل الذي يتم فيه إعطاء الثوابت التعسفية قيم عددية محددة.

مثال 2.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية والحل الخاص لـ .

حل. دعونا ندمج طرفي المعادلة عدة مرات يساوي ترتيب المعادلة التفاضلية.

,

.

ونتيجة لذلك، حصلنا على حل عام -

لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثالثة.

الآن دعونا نجد حلاً معينًا في ظل الظروف المحددة. للقيام بذلك، استبدل قيمها بدلا من المعاملات التعسفية واحصل على

.

إذا، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية، تم إعطاء الشرط الأولي في النموذج، ثم تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي . استبدل القيم في الحل العام للمعادلة وأوجد قيمة ثابت اعتباطي ج، ثم حل معين للمعادلة للقيمة التي تم العثور عليها ج. هذا هو الحل لمشكلة كوشي.

مثال 3.حل مشكلة كوشي للمعادلة التفاضلية من المثال 1 مع مراعاة .

حل. دعونا نستبدل القيم من الشرط الأولي في الحل العام ذ = 3, س= 1. نحصل على

نكتب حل مشكلة كوشي لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى:

يتطلب حل المعادلات التفاضلية، حتى أبسطها، مهارات تكامل واشتقاق جيدة، بما في ذلك الدوال المعقدة. ويمكن ملاحظة ذلك في المثال التالي.

مثال 4.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل. المعادلة مكتوبة بشكل يمكنك من دمج الطرفين على الفور.

.

نطبق طريقة التكامل بتغيير المتغير (الاستبدال). فليكن بعد ذلك.

مطلوب أن تأخذ dxوالآن - انتبه - نحن نفعل ذلك وفقًا لقواعد تمايز دالة معقدة، منذ ذلك الحين سوهناك وظيفة معقدة ("تفاحة" - استخراج الجذر التربيعيأو ما هو نفس الشيء - الرفع إلى القوة "النصف" و "اللحم المفروم" هو التعبير نفسه الموجود تحت الجذر):

نجد التكامل :

العودة إلى المتغير س، نحن نحصل:

.

هذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

ليس فقط المهارات من الأقسام السابقةسوف تكون هناك حاجة إلى الرياضيات العليا في حل المعادلات التفاضلية، ولكن أيضًا مهارات من المرحلة الابتدائية، أي الرياضيات المدرسية. كما ذكرنا سابقًا، في معادلة تفاضلية من أي ترتيب قد لا يكون هناك متغير مستقل، أي متغير س. المعرفة حول النسب من المدرسة التي لم يتم نسيانها (ومع ذلك، اعتمادا على من) من المدرسة ستساعد في حل هذه المشكلة. هذا هو المثال التالي.

تعتبر هذه المقالة نقطة انطلاق في دراسة نظرية المعادلات التفاضلية. فيما يلي التعريفات والمفاهيم الأساسية التي ستظهر باستمرار في النص. ل امتصاص أفضلويتم توفير فهم التعريف مع الأمثلة.

المعادلة التفاضلية (DE)هي معادلة تتضمن دالة مجهولة تحت علامة المشتقة أو التفاضلية.

إذا كانت الدالة المجهولة دالة لمتغير واحد، تسمى المعادلة التفاضلية عادي(مختصر ODE - المعادلة التفاضلية العادية). إذا كانت الدالة المجهولة دالة لعدة متغيرات، تسمى المعادلة التفاضلية المعادلة التفاضلية الجزئية.

يسمى الحد الأقصى لمشتقة دالة مجهولة تدخل في معادلة تفاضلية ترتيب المعادلة التفاضلية.

فيما يلي أمثلة على ODEs من الرتب الأولى والثانية والخامسة على التوالي

كأمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية، نعطي

علاوة على ذلك، سننظر فقط في المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة n للنموذج أو ، حيث Ф(x, y) = 0 هي دالة غير معروفة محددة ضمنيًا (عندما يكون ذلك ممكنًا، سنكتبها بتمثيل صريح y = f(x) ).

تسمى عملية إيجاد حلول للمعادلة التفاضلية عن طريق دمج المعادلة التفاضلية.

حل المعادلة التفاضليةهي دالة محددة ضمنيًا Ф(x, y) = 0 (في بعض الحالات، يمكن التعبير عن الدالة y بشكل صريح من خلال الوسيطة x)، والتي تحول المعادلة التفاضلية إلى هوية.

ملحوظة.

يتم دائمًا البحث عن حل المعادلة التفاضلية على فترة محددة مسبقًا X.

لماذا نتحدث عن هذا بشكل منفصل؟ نعم، لأنه في العديد من المسائل لا يتم ذكر الفاصل الزمني X. وهذا يعني أنه عادة ما تتم صياغة حالة المشكلات على النحو التالي: "إيجاد حل للمعادلة التفاضلية العادية " في هذه الحالة، يعني ضمنيًا أنه يجب البحث عن الحل لجميع x التي تكون فيها كل من الوظيفة المطلوبة y والمعادلة الأصلية منطقية.

غالبا ما يسمى حل المعادلة التفاضلية تكامل المعادلة التفاضلية.

وظائف أو يمكن أن يسمى حل المعادلة التفاضلية.

أحد حلول المعادلة التفاضلية هو الدالة. في الواقع، باستبدال هذه الدالة في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية . من السهل أن نرى أن الحل الآخر لهذه ODE هو، على سبيل المثال، . وبالتالي، يمكن أن يكون للمعادلات التفاضلية العديد من الحلول.

الحل العام للمعادلة التفاضليةهي مجموعة الحلول التي تحتوي على جميع حلول هذه المعادلة التفاضلية دون استثناء.

ويسمى أيضا الحل العام للمعادلة التفاضلية التكامل العام للمعادلة التفاضلية.

دعنا نعود إلى المثال. الحل العام للمعادلة التفاضلية له الشكل أو حيث C هو ثابت اعتباطي. أعلاه أشرنا إلى حلين لهذا ODE، والتي تم الحصول عليها من التكامل العام للمعادلة التفاضلية عن طريق استبدال C = 0 و C = 1، على التوالي.

إذا كان حل المعادلة التفاضلية يحقق ما تم تحديده في البداية شروط إضافية، ثم يطلق عليه الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط y(1)=1 هو . حقًا، و .

المشاكل الرئيسية لنظرية المعادلات التفاضلية هي مشاكل كوشي، مشاكل القيمة الحدودية ومشاكل إيجاد حل عام للمعادلة التفاضلية في أي فترة معينة X.

مشكلة كوشيهي مشكلة إيجاد حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق المعطى الشروط الأولية، أين الأرقام.

مشكلة قيمة الحدودهي مشكلة إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تحقق شروطًا إضافية عند النقطتين الحدوديتين x 0 و x 1:
f (x 0) = f 0، f (x 1) = f 1، حيث يتم إعطاء أرقام f 0 و f 1.

غالبًا ما تسمى مشكلة القيمة الحدودية مشكلة الحدود.

تسمى المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة n خطي، إذا كان له الشكل، والمعاملات هي دوال مستمرة للوسيطة x على فترة التكامل.

I. المعادلات التفاضلية العادية

1.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين متغير مستقل س، الوظيفة المطلوبة ذومشتقاته أو تفاضلاته.

رمزياً، تتم كتابة المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

تسمى المعادلة التفاضلية عادية إذا كانت الدالة المطلوبة تعتمد على متغير مستقل واحد.

حل المعادلة التفاضليةتسمى دالة تحول هذه المعادلة إلى هوية.

ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب أعلى مشتق مدرج في هذه المعادلة

أمثلة.

1. النظر في معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

حل هذه المعادلة هو الدالة y = 5 ln x. في الواقع، استبدال ذ"في المعادلة نحصل على الهوية.

وهذا يعني أن الدالة y = 5 ln x– هي حل لهذه المعادلة التفاضلية.

2. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ص" - 5ص" +6ص = 0. الدالة هي الحل لهذه المعادلة

حقًا، .

باستبدال هذه التعبيرات في المعادلة نحصل على: - الهوية.

وهذا يعني أن الدالة هي حل هذه المعادلة التفاضلية.

تكامل المعادلات التفاضليةهي عملية إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية.

الحل العام للمعادلة التفاضليةتسمى وظيفة النموذج ، والذي يتضمن العديد من الثوابت التعسفية المستقلة مثل ترتيب المعادلة.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضليةهو الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام للقيم العددية المختلفة للثوابت التعسفية. تم العثور على قيم الثوابت التعسفية عند قيم أولية معينة للوسيطة والوظيفة.

يسمى الرسم البياني لحل معين لمعادلة تفاضلية منحنى متكامل.

أمثلة

1. أوجد حلاً محددًا لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

xdx + ydy = 0، لو ذ= 4 في س = 3.

حل. بتكامل طرفي المعادلة، نحصل على

تعليق. يمكن تمثيل الثابت التعسفي C الذي تم الحصول عليه نتيجة للتكامل بأي شكل مناسب لمزيد من التحويلات. في هذه الحالة، مع الأخذ في الاعتبار المعادلة القانونية للدائرة، من المناسب تمثيل ثابت تعسفي C في النموذج .

- الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل خاص للمعادلة يستوفي الشروط الأولية ذ = 4 في س = 3 يمكن إيجاده من العام عن طريق استبدال الشروط الأولية في الحل العام: 3 2 + 4 2 = C 2 ; ج = 5.

بالتعويض بـ C=5 في الحل العام، نحصل على × 2 + ص 2 = 5 2 .

هذا حل خاص لمعادلة تفاضلية تم الحصول عليها من حل عام في ظل ظروف أولية معينة.

2. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

حل هذه المعادلة هو أي دالة من الشكل حيث C ثابت اختياري. وبالتعويض في المعادلات نحصل على: , .

وبالتالي، فإن هذه المعادلة التفاضلية لها عدد لا نهائي من الحلول، لأنه بالنسبة لقيم مختلفة للثابت C، فإن المساواة تحدد حلولاً مختلفة للمعادلة.

على سبيل المثال، عن طريق الاستبدال المباشر يمكنك التحقق من أن الوظائف هي حلول للمعادلة.

مشكلة تحتاج فيها إلى إيجاد حل معين للمعادلة ص" = و(س، ص)استيفاء الشرط الأولي ص(س 0) = ص 0تسمى مشكلة كوشي.

حل المعادلة ص" = و(س، ص)، استيفاء الشرط الأولي، ص(س 0) = ص 0، ويسمى حل لمشكلة كوشي.

حل مشكلة كوشي له معنى هندسي بسيط. وبالفعل، وبحسب هذه التعريفات، لحل مشكلة كوشي ص" = و(س، ص)بشرط ص(س 0) = ص 0يعني إيجاد المنحنى التكاملي للمعادلة ص" = و(س، ص)الذي يمر عبر نقطة معينة م 0 (× 0,ص 0).

ثانيا. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

2.1. مفاهيم أساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل F(x,y,y") = 0.

تتضمن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المشتق الأول ولا تتضمن مشتقات من الدرجة الأعلى.

المعادلة ص" = و(س، ص)تسمى معادلة من الدرجة الأولى تم حلها بالنسبة للمشتقة.

الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هو دالة من النموذج الذي يحتوي على ثابت اختياري واحد.

مثال.خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

حل هذه المعادلة هو الدالة.

وبالفعل، نستبدل هذه المعادلة بقيمتها

إنه 3س=3س

ولذلك، فإن الدالة هي حل عام للمعادلة لأي ثابت C.

أوجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي ص(1)=1استبدال الشروط الأولية س = 1، ص =1في الحل العام للمعادلة، نصل من أين ج = 0.

وهكذا نحصل على حل خاص من الحل العام عن طريق استبدال القيمة الناتجة في هذه المعادلة ج = 0– الحل الخاص .

2.2. المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل

المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة هي معادلة من الشكل: ذ"=و(س)ز(ذ)أو من خلال الفروق، حيث و (خ)و ز (ص)- وظائف محددة.

لأولئك ذ، والتي المعادلة ذ"=و(س)ز(ذ)يعادل المعادلة، فيها المتغير ذيوجد فقط على الجانب الأيسر، والمتغير x موجود فقط على الجانب الأيمن. يقولون: "في المعادلة. y"=f(x)g(yدعونا نفصل بين المتغيرات."

معادلة النموذج تسمى معادلة متغيرة منفصلة.

دمج طرفي المعادلة بواسطة س، نحن نحصل ز(ص) = و(خ) + جهو الحل العام للمعادلة حيث ز(ص)و و(خ)- بعض المشتقات العكسية للوظائف و و (خ), جثابت تعسفي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ذات متغيرات قابلة للفصل

مثال 1

حل المعادلة ص" = س ص

حل. مشتق من وظيفة ذ"استبدله ب

دعونا نفصل بين المتغيرات

دعونا ندمج طرفي المساواة:

مثال 2

2yy" = 1- 3x2، لو ص 0 = 3في × 0 = 1

هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعونا نتخيل ذلك في الفروق. للقيام بذلك، نعيد كتابة هذه المعادلة في الصورة من هنا

ونجد تكامل طرفي المساواة الأخيرة

استبدال القيم الأولية س 0 = 1، ص 0 = 3سوف نجد مع 9=1-1+ج، أي. ج = 9.

وبالتالي فإن التكامل الجزئي المطلوب هو أو

مثال 3

اكتب معادلة منحنى يمر بنقطة م(2;-3)ولها مماس مع معامل الزاوي

حل. حسب الحالة

هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. وبتقسيم المتغيرات نحصل على:

وبتكامل طرفي المعادلة نحصل على:

باستخدام الشروط الأولية س = 2و ص = - 3سوف نجد ج:

وبالتالي فإن المعادلة المطلوبة لها الشكل

2.3. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل ص" = و(س)ص + ز(س)

أين و (خ)و ز (خ)- بعض الوظائف المحددة.

لو ز(س)=0تسمى المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة ولها الشكل: ذ" = و(س)ص

إذا كانت المعادلة ص" = و(س)ص + ز(س)يسمى غير متجانسة.

الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذ" = و(س)صيتم إعطاؤه بالصيغة: أين مع- ثابت تعسفي.

على وجه الخصوص، إذا ج = 0،فالحل هو ص = 0إذا كانت المعادلة الخطية المتجانسة لها الشكل ص" = كيأين كبعض الثوابت، فإن حلها العام يكون على الصورة: .

الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة ص" = و(س)ص + ز(س)تعطى بواسطة الصيغة ,

أولئك. يساوي مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة الخطية المقابلة والحل الخاص لهذه المعادلة.

للحصول على معادلة خطية غير متجانسة من النموذج ص" = ك س + ب,

أين كو ب- بعض الأرقام وحل معين سيكون دالة ثابتة. ولذلك فإن الحل العام له الشكل .

مثال. حل المعادلة ص" + 2ص +3 = 0

حل. دعونا نمثل المعادلة في النموذج ص" = -2ص - 3أين ك = -2، ب= -3يتم إعطاء الحل العام بواسطة الصيغة.

لذلك، حيث C هو ثابت تعسفي.

2.4. حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بطريقة برنولي

إيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى ص" = و(س)ص + ز(س)يقلل من حل معادلتين تفاضليتين بمتغيرات منفصلة باستخدام الاستبدال ذ = الأشعة فوق البنفسجية، أين شو الخامس- وظائف غير معروفة من س. طريقة الحل هذه تسمى طريقة برنولي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

ص" = و(س)ص + ز(س)

1. أدخل الاستبدال ذ = الأشعة فوق البنفسجية.

2. التمييز بين هذه المساواة ص" = ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية"

3. البديل ذو ذ"في هذه المعادلة: ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية" =و(خ)الأشعة فوق البنفسجية + ز(خ)أو u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. قم بتجميع شروط المعادلة بحيث شأخرجه من بين قوسين:

5. من القوس الذي يساوي الصفر، ابحث عن الدالة

هذه معادلة قابلة للفصل:

نقسم المتغيرات ونحصل على:

أين . .

6. استبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة (من الخطوة 4):

وإيجاد الدالة هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل:

7. اكتب الحل العام على الصورة: ، أي. .

مثال 1

أوجد حلًا محددًا للمعادلة ص" = -2ص +3 = 0لو ص =1في س = 0

حل. دعونا نحلها باستخدام الاستبدال ص = الأشعة فوق البنفسجية،.ص" = ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية"

أستعاض ذو ذ"في هذه المعادلة نحصل على

ومن خلال تجميع الحدين الثاني والثالث في الجانب الأيسر من المعادلة، نخرج العامل المشترك ش خارج الأقواس

نحن نساوي التعبير بين قوسين بالصفر، وبعد حل المعادلة الناتجة، نجد الدالة ت = ت(خ)

نحصل على معادلة ذات متغيرات منفصلة. دعونا ندمج طرفي هذه المعادلة: أوجد الدالة الخامس:

دعونا نستبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة نحصل على:

هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعونا ندمج طرفي المعادلة: دعونا نجد الوظيفة ش = ش (س، ج) دعونا نجد الحل العام: دعونا نجد حلاً معينًا للمعادلة يحقق الشروط الأولية ص = 1في س = 0:

ثالثا. المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى

3.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على مشتقات لا تزيد عن الدرجة الثانية. في الحالة العامة، يتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي: F(x,y,y",y") = 0

الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هو دالة من النموذج الذي يتضمن ثابتين اعتباطيين ج1و ج2.

الحل الخاص لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو الحل الذي يتم الحصول عليه من الحل العام لقيم معينة من الثوابت التعسفية ج1و ج2.

3.2. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة.

معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةتسمى معادلة النموذج ص" + الحمر" +qy = 0، أين صو س- القيم الثابتة.

خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

1. اكتب المعادلة التفاضلية بالصيغة: ص" + الحمر" +qy = 0.

2. قم بإنشاء معادلتها المميزة بالدلالة ذ"خلال ص 2, ذ"خلال ص, ذفي 1: ص 2 + العلاقات العامة + ف = 0