المعادلة العامة للخط المستقيم:

حالات خاصة المعادلة العامةمستقيم:

و إذا ج= 0، المعادلة (2) سيكون لها الشكل

فأس + بواسطة = 0,

والخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يمر بنقطة الأصل، لأن إحداثيات نقطة الأصل هي س = 0, ذ= 0 حقق هذه المعادلة.

ب) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) ب= 0 فتأخذ المعادلة الشكل

فأس + مع= 0، أو .

المعادلة لا تحتوي على متغير ذوالخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يوازي المحور أوي.

ج) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) أ= 0 فتأخذ هذه المعادلة الشكل

بواسطة + مع= 0، أو؛

المعادلة لا تحتوي على متغير س، والخط المستقيم الذي يحدده موازي للمحور ثور.

يجب أن نتذكر: إذا كان الخط المستقيم موازيًا لبعض محاور الإحداثيات، فلا يوجد في معادلته مصطلح يحتوي على إحداثيات تحمل نفس اسم هذا المحور.

د) متى ج= 0 و أ= 0 المعادلة (2) تأخذ الشكل بواسطة= 0، أو ذ = 0.

هذه هي معادلة المحور ثور.

د) متى ج= 0 و ب= 0 المعادلة (2) ستكتب بالشكل فأس= 0 أو س = 0.

هذه هي معادلة المحور أوي.

الموقع النسبي للخطوط على المستوى. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى. حالة الخطوط المتوازية. حالة عمودي الخطوط.

ل 1 ل 2 ل 1: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0
ل 2: أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0

يُطلق على المتجهات S 2 S 1 S 1 و S 2 أدلة لخطوطها.

يتم تحديد الزاوية بين الخطوط المستقيمة l 1 و l 2 بواسطة الزاوية بين متجهات الاتجاه.
النظرية 1: cos الزاوية بين l 1 و l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

النظرية 2:لكي يكون الخطان متساويين فمن الضروري والكافي:

النظرية 3:لكي يكون الخطان المستقيمان متعامدين فمن الضروري والكافي:

ل 1 ل 2 ó أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0

معادلة المستوى العام وحالاتها الخاصة. معادلة الطائرة في قطاعات.

معادلة المستوى العام:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

حالات خاصة:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – يمر المستوى عبر نقطة الأصل

2. С=0 الفأس+ب+د = 0 – المستوى || أوقية

3. ب=0 الفأس+Cz+d = 0 – المستوى || أوي

4. أ=0 بواسطة+Cz+D = 0 – مستوى || ثور

5. A=0 و D=0 By+Cz = 0 – تمر الطائرة عبر OX

6. B=0 و D=0 Ax+Cz = 0 – تمر الطائرة عبر OY

7. C=0 و D=0 Ax+By = 0 – تمر الطائرة عبر OZ

الموقع النسبي للطائرات والخطوط المستقيمة في الفضاء:

1. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء هي الزاوية المحصورة بين متجهات اتجاهها.

كوس (ل 1 ; ل 2) = كوس(س 1 ; ق 2) = =

2. يتم تحديد الزاوية بين المستويات من خلال الزاوية بين متجهاتها العادية.

كوس (ل 1 ; ل 2) = كوس(ن 1 ; ن 2) = =

3. يمكن العثور على جيب تمام الزاوية بين الخط والمستوى من خلال جيب الزاوية بين متجه اتجاه الخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

4. 2 مستقيم || في الفضاء عندما || أدلة ناقلات

5. طائرتان || متى || ناقلات عادية

6. يتم تقديم مفاهيم عمودي الخطوط والطائرات بالمثل.

السؤال رقم 14

أنواع مختلفة من معادلة الخط المستقيم على المستوى (معادلة الخط المستقيم في المقاطع، مع معامل الزاوية، وما إلى ذلك)

معادلة الخط المستقيم في القطاعات:
لنفترض أنه في المعادلة العامة للخط المستقيم:

1. C = 0 Аh + Ву = 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل.

2. أ = 0 Vu + C = 0 ص =

3. ب = 0 الفأس + C = 0 س =

4. ب=ج=0 الفأس = 0 × = 0

5. أ=ج=0 Ву = 0 у = 0

معادلة الخط المستقيم مع الميل:

يمكن كتابة أي خط مستقيم لا يساوي محور المرجع (B not = 0) في السطر التالي. استمارة:

k = tanα α – الزاوية بين الخط المستقيم والخط الموجب OX

ب – نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور المرجع أمبير

وثيقة:

الفأس + بواسطة + C = 0

وو= -آه-S |:ب

معادلة الخط المستقيم بناءً على نقطتين:

السؤال رقم 16

الحد المحدود للدالة عند نقطة ما و x→∞

حد النهاية عند x0:

يُطلق على الرقم A حد الدالة y = f(x) لـ x→x 0 إذا كان لأي E > 0 يوجد b > 0 بحيث يكون x ≠x 0 يفي بالمتباينة |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

يشار إلى الحد بواسطة: = أ

نهاية النهاية عند النقطة +∞:

الرقم A يسمى نهاية الدالة y = f(x) عند x → + ∞ ، إذا كان لأي E > 0 يوجد C > 0 بحيث يكون عدم المساواة لـ x > C |f(x) - A|< Е

يشار إلى الحد بواسطة: = أ

نهاية النهاية عند النقطة -∞:

الرقم A يسمى نهاية الدالة y = f(x) لـ س→-∞،إذا لأي E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

معادلة الخط المستقيم على المستوى.
ناقل الاتجاه مستقيم. ناقلات الطبيعي

يعد الخط المستقيم على المستوى أحد أبسط الخطوط الأشكال الهندسيةمألوفة لديك منذ المرحلة الابتدائية، واليوم سنتعلم كيفية التعامل معها باستخدام أساليب الهندسة التحليلية. لإتقان المادة، يجب أن تكون قادرًا على بناء خط مستقيم؛ تعرف على المعادلة التي تحدد الخط المستقيم، على وجه الخصوص، الخط المستقيم الذي يمر عبر أصل الإحداثيات والخطوط المستقيمة الموازية لمحاور الإحداثيات. هذه المعلومةيمكن العثور عليها في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية، لقد قمت بإنشائه من أجل ماتان، ولكن القسم عنه دالة خطيةاتضح أنها ناجحة للغاية ومفصلة. لذلك، عزيزي أباريق الشاي، الاحماء هناك أولا. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون لديك معرفة أساسيةيا ثلاثة أبعادوإلا فإن فهم المادة سيكون ناقصا.

سنتناول في هذا الدرس الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء معادلة خط مستقيم على المستوى. أوصي بعدم إهمال الأمثلة العملية (حتى لو كانت تبدو بسيطة للغاية)، لأنني سأقدم لهم الابتدائية و حقائق مهمة, الأساليب التقنيةوالتي ستكون مطلوبة في المستقبل، بما في ذلك أقسام أخرى من الرياضيات العليا.

• كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟
• كيف ؟
• كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟
• كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

ونبدأ:

معادلة الخط المستقيم مع الميل

تسمى الصيغة "المدرسة" المعروفة لمعادلة الخط المستقيم معادلة الخط المستقيم مع الميل. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة تعطي خطًا مستقيمًا، فإن ميله يكون: . دعونا نفكر في المعنى الهندسي لهذا المعامل وكيف تؤثر قيمته على موقع الخط:

وقد ثبت ذلك في دورة الهندسة ميل الخط المستقيم يساوي ظل الزاويةبين اتجاه المحور الإيجابيوهذا الخط: والزاوية "تفك" عكس اتجاه عقارب الساعة.

لكي لا تشوش الرسم، قمت برسم زوايا لخطين مستقيمين فقط. دعونا نفكر في الخط "الأحمر" وانحداره. ووفقاً لما سبق: (يُشار إلى زاوية "ألفا" بقوس أخضر). بالنسبة للخط المستقيم "الأزرق" مع معامل الزاوية، تكون المساواة صحيحة (يُشار إلى زاوية "بيتا" بقوس بني). وإذا كان ظل الزاوية معروفا، فمن السهل العثور عليه إذا لزم الأمر والزاوية نفسهاباستخدام وظيفة عكسية- ظل قوسي. كما يقولون، جدول مثلثي أو آلة حاسبة صغيرة بين يديك. هكذا، يميز المعامل الزاوي درجة ميل الخط المستقيم إلى محور الإحداثي السيني.

الحالات التالية ممكنة:

1) إذا كان الميل سالبًا: فإن الخط، بشكل تقريبي، ينتقل من الأعلى إلى الأسفل. ومن الأمثلة على ذلك الخطوط المستقيمة "الزرقاء" و"التوتية" في الرسم.

2) إذا كان الميل موجباً: فإن الخط يمتد من الأسفل إلى الأعلى. أمثلة - الخطوط المستقيمة "السوداء" و"الحمراء" في الرسم.

3) إذا كان الميل صفراً فإن المعادلة تأخذ الصورة ويكون المستقيم المقابل موازياً للمحور. مثال على ذلك الخط المستقيم "الأصفر".

4) بالنسبة لعائلة الخطوط الموازية للمحور (لا يوجد مثال في الرسم باستثناء المحور نفسه) فإن المعامل الزاوي غير موجود (لم يتم تعريف ظل 90 درجة).

كلما زاد معامل الميل في القيمة المطلقة، زاد انحدار الرسم البياني للخط المستقيم..

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. ومن ثم، فإن الخط المستقيم هنا له ميل أكثر انحدارًا. اسمحوا لي أن أذكرك أن الوحدة تسمح لك بتجاهل الإشارة التي نحن مهتمون بها فقط القيم المطلقةالمعاملات الزاوية.

وفي المقابل، الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطوط المستقيمة .

وعلى العكس من ذلك: كلما كان معامل الميل أصغر في القيمة المطلقة، كلما كان الخط المستقيم أكثر استواءً.

للخطوط المستقيمة المتباينة صحيحة، وبالتالي فإن الخط المستقيم أكثر استواءً. شريحة الأطفال حتى لا تسبب لك كدمات وصدمات.

لماذا هذا ضروري؟

إطالة عذابك تتيح لك معرفة الحقائق المذكورة أعلاه أن ترى على الفور أخطائك، على وجه الخصوص، الأخطاء عند إنشاء الرسوم البيانية - إذا تبين أن الرسم "خطأ بشكل واضح". من المستحسن أن تقوم بذلك حالاكان من الواضح، على سبيل المثال، أن الخط المستقيم شديد الانحدار ويمتد من الأسفل إلى الأعلى، والخط المستقيم مسطح للغاية، مضغوط بالقرب من المحور ويتجه من الأعلى إلى الأسفل.

في المسائل الهندسية، غالبا ما تظهر عدة خطوط مستقيمة، لذلك من المناسب تعيينها بطريقة أو بأخرى.

التسميات: الخطوط المستقيمة محددة بأحرف لاتينية صغيرة: . أحد الخيارات الشائعة هو تعيينها باستخدام نفس الحرف مع نصوص طبيعية. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى الأسطر الخمسة التي نظرنا إليها للتو .

بما أن أي خط مستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين، فيمكن الإشارة إليه بالنقاط التالية: إلخ. يشير التعيين بوضوح إلى أن النقاط تنتمي إلى الخط.

حان الوقت للإحماء قليلاً:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟

إذا كانت نقطة تنتمي إلى خط معين معروفة والمعامل الزاوي لهذا الخط، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

مثال 1

اكتب معادلة خط مستقيم بمعامل زاوية إذا علم أن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة . في في هذه الحالة:

إجابة:

فحصيتم ببساطة. أولًا، ننظر إلى المعادلة الناتجة ونتأكد من أن الميل في مكانه. ثانياً، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة هذه المعادلة. دعنا نعوضهم في المعادلة:

ويتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أن النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

خاتمة: تم العثور على المعادلة بشكل صحيح.

مثال أكثر صعوبة لحله بنفسك:

مثال 2

اكتب معادلة للخط المستقيم إذا علم أن زاوية ميله إلى الاتجاه الموجب للمحور هي ، وأن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

إذا واجهت أي صعوبات، أعد قراءة المادة النظرية. بتعبير أدق، وأكثر عملية، أتخطى الكثير من الأدلة.

رن آخر مكالمةلقد مر حفل التخرج، وخارج أبواب مدرستنا الأصلية، تنتظرنا الهندسة التحليلية نفسها. انتهت النكتة... أو ربما بدأوا للتو =)

نلوح بقلمنا بحنين للمألوف ونتعرف على المعادلة العامة للخط المستقيم. لأنه في الهندسة التحليلية هذا هو بالضبط ما يستخدم:

المعادلة العامة للخط المستقيم لها الشكل: ، أين بعض الأرقام. وفي الوقت نفسه، المعاملات معًالا تساوي الصفر، لأن المعادلة تفقد معناها.

دعونا نرتدي بدلة ونربط المعادلة بمعامل الميل. أولاً، دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجهه اليسرى:

يجب وضع المصطلح الذي يحمل علامة "X" في المقام الأول:

من حيث المبدأ، فإن المعادلة لها الشكل بالفعل، ولكن وفقًا لقواعد الآداب الرياضية، يجب أن يكون معامل الحد الأول (في هذه الحالة) موجبًا. علامات التغيير:

تذكر هذه الميزة التقنية!نجعل المعامل الأول (في أغلب الأحيان) إيجابيًا!

في الهندسة التحليلية، يتم تقديم معادلة الخط المستقيم دائمًا تقريبًا الشكل العام. حسنًا، إذا لزم الأمر، يمكن اختزاله بسهولة إلى النموذج "المدرسة" بمعامل زاوي (باستثناء الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الإحداثي).

دعونا نسأل أنفسنا ماذا كافٍتعرف على بناء خط مستقيم؟ نقطتان. ولكن المزيد عن حادثة الطفولة هذه، هي الآن قاعدة العصي بالسهام. كل خط مستقيم له ميل محدد للغاية يسهل "التكيف" معه. المتجه.

يسمى المتجه الموازي لخط ما بمتجه الاتجاه لهذا الخط. من الواضح أن أي خط مستقيم لديه عدد لا حصر له من متجهات الاتجاه، وجميعها ستكون على خط مستقيم (سواء كانت في اتجاه مشترك أم لا - لا يهم).

سأشير إلى متجه الاتجاه كما يلي: .

لكن متجهًا واحدًا لا يكفي لبناء خط مستقيم، فالمتجه حر وغير مرتبط بأي نقطة على المستوى. لذلك، من الضروري أيضًا معرفة بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه؟

إذا كانت نقطة معينة تابعة لخط ومتجه الاتجاه لهذا الخط معروفين، فيمكن تجميع معادلة هذا الخط باستخدام الصيغة:

في بعض الأحيان يطلق عليه المعادلة الكنسية للخط .

ماذا تفعل متى أحد الإحداثياتيساوي صفرًا، سنفهمه في الأمثلة العملية أدناه. بالمناسبة، يرجى ملاحظة - كلاهما في وقت واحدلا يمكن أن تكون الإحداثيات تساوي الصفر، لأن المتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا محددًا.

مثال 3

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة. في هذه الحالة:

باستخدام خصائص النسبة نتخلص من الكسور:

ونأتي بالمعادلة إلى المظهر العام:

إجابة:

كقاعدة عامة، ليست هناك حاجة للرسم في مثل هذه الأمثلة، ولكن من أجل الفهم:

نرى في الرسم نقطة البداية ومتجه الاتجاه الأصلي (يمكن رسمه من أي نقطة على المستوى) والخط المستقيم المبني. بالمناسبة، في كثير من الحالات يكون من الملائم أكثر بناء خط مستقيم باستخدام معادلة ذات معامل زاوي. من السهل تحويل المعادلة إلى صورة وتحديد نقطة أخرى بسهولة لإنشاء خط مستقيم.

كما ذكرنا في بداية الفقرة، يحتوي الخط المستقيم على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه، وكلها على خط واحد. على سبيل المثال، رسمت ثلاثة ناقلات من هذا القبيل: . أيًا كان متجه الاتجاه الذي نختاره، فستكون النتيجة دائمًا هي معادلة الخط المستقيم نفسها.

لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

حل النسبة:

اقسم كلا الطرفين على -2 واحصل على المعادلة المألوفة:

يمكن للمهتمين اختبار المتجهات بنفس الطريقة أو أي ناقل خطي آخر.

الآن دعونا نحل المشكلة العكسية:

كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟

بسيط جدا:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل، فإن المتجه هو متجه الاتجاه لهذا الخط.

أمثلة لإيجاد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

تسمح لنا العبارة بإيجاد متجه اتجاه واحد فقط من عدد لا نهائي، لكننا لا نحتاج إلى المزيد. على الرغم من أنه من المستحسن في بعض الحالات تقليل إحداثيات متجهات الاتجاه:

وبالتالي، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور ويتم تقسيم إحداثيات متجه الاتجاه الناتج بسهولة على –2، للحصول على المتجه الأساسي تمامًا كمتجه الاتجاه. منطقي.

وبالمثل، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، وبقسمة إحداثيات المتجه على 5، نحصل على متجه الوحدة باعتباره متجه الاتجاه.

الآن دعونا نفعل ذلك التحقق من المثال 3. المثال صعد، لذا أذكرك أننا قمنا فيه بتجميع معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه الاتجاه

أولاًباستخدام معادلة الخط المستقيم نعيد بناء متجه اتجاهه: - كل شيء على ما يرام، لقد تلقينا المتجه الأصلي (في بعض الحالات قد تكون النتيجة متجهًا خطيًا واحدًا إلى المتجه الأصلي، وعادة ما يكون من السهل ملاحظة ذلك من خلال تناسب الإحداثيات المقابلة).

ثانيًا، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة المعادلة. نعوضهم في المعادلة:

لقد تم الحصول على المساواة الصحيحة، وهو ما نحن سعداء به للغاية.

خاتمة: تم إكمال المهمة بشكل صحيح.

مثال 4

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل والجواب في نهاية الدرس . يُنصح بشدة بالتحقق من استخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها للتو. حاول دائمًا (إن أمكن) التحقق من المسودة. من الغباء ارتكاب أخطاء يمكن تجنبها بنسبة 100%.

في حالة كون أحد إحداثيات متجه الاتجاه صفرًا، تابع بكل بساطة:

مثال 5

حل: الصيغة غير مناسبة لأن المقام على الجانب الأيمن هو صفر. هناك مخرج! باستخدام خصائص التناسب، نعيد كتابة الصيغة في النموذج، ويتم تمرير الباقي على طول مسار عميق:

إجابة:

فحص:

1) استعادة المتجه الموجه للخط المستقيم:
- المتجه الناتج على خط واحد مع متجه الاتجاه الأصلي.

2) عوّض بإحداثيات النقطة في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة

خاتمة: المهمة اكتملت بشكل صحيح

السؤال الذي يطرح نفسه هو لماذا تهتم بالصيغة إذا كانت هناك نسخة عالمية ستعمل على أي حال؟ هناك سببان. أولا، الصيغة في شكل كسر تذكر أفضل بكثير. وثانيًا، عيب الصيغة الشاملة هو ذلك يزداد خطر الخلط بشكل كبيرعند استبدال الإحداثيات.

مثال 6

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه.

هذا مثال لك لحله بنفسك.

ولنعد إلى النقطتين الشائعتين:

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطتين؟

إذا عرفت نقطتان، فيمكن تجميع معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقاط باستخدام الصيغة:

في الواقع، هذا نوع من الصيغة، وهذا هو السبب: إذا كانت نقطتان معروفتين، فسيكون المتجه هو متجه الاتجاه للخط المحدد. في الدرس ناقلات للدمىاعتبرنا أبسط مهمة– كيفية العثور على إحداثيات المتجه من نقطتين. وفقا لهذه المشكلة، فإن إحداثيات متجه الاتجاه هي:

ملحوظة : يمكن "تبديل" النقاط واستخدام الصيغة . مثل هذا الحل سيكون معادلاً.

مثال 7

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطتين .

حل: نستخدم الصيغة:

تمشيط القواسم:

وخلط سطح السفينة:

لقد حان الوقت للتخلص من الأعداد الكسرية. في هذه الحالة، عليك أن تضرب كلا الطرفين في 6:

افتح القوسين وتذكر المعادلة:

إجابة:

فحصواضح - يجب أن تحقق إحداثيات النقاط الأولية المعادلة الناتجة:

1) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

2) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

خاتمة: معادلة الخط مكتوبة بشكل صحيح.

لو مرة على الأقلمن النقاط لا تلبي المعادلة، ابحث عن الخطأ.

ومن الجدير بالذكر أن التحقق الرسومي في هذه الحالة أمر صعب، حيث أن بناء خط مستقيم ومعرفة ما إذا كانت النقاط تنتمي إليه ، ليس بسيط جدا.

سأشير إلى بعض الجوانب التقنية الأخرى للحل. ربما يكون من المربح في هذه المشكلة استخدام صيغة المرآة وفي نفس النقاط اصنع معادلة:

كسور أقل. إذا أردت، يمكنك تنفيذ الحل حتى النهاية، ويجب أن تكون النتيجة نفس المعادلة.

النقطة الثانية هي النظر إلى الإجابة النهائية ومعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيطها أكثر؟ على سبيل المثال، إذا حصلت على المعادلة، فمن المستحسن تقليلها بمقدار اثنين: – ستحدد المعادلة نفس الخط المستقيم. ومع ذلك، هذا هو بالفعل موضوع للحديث عنه الوضع النسبي للخطوط.

بعد أن تلقى الجواب في المثال 7، فقط في حالة التحقق مما إذا كانت جميع معاملات المعادلة قابلة للقسمة على 2 أو 3 أو 7. على الرغم من أنه في أغلب الأحيان يتم إجراء هذه التخفيضات أثناء الحل.

مثال 8

اكتب معادلة الخط الذي يمر بالنقاط .

هذا مثال لحل مستقل، والذي سيسمح لك بفهم تقنيات الحساب وممارستها بشكل أفضل.

على غرار الفقرة السابقة: إذا كان في الصيغة يصبح أحد المقامات (إحداثي متجه الاتجاه) صفراً، ثم نعيد كتابته على الصورة. مرة أخرى، لاحظ كيف تبدو محرجة ومربكة. لا أرى فائدة كبيرة في جلب أمثلة عمليةلأننا قد قمنا بالفعل بحل هذه المشكلة (انظر رقم 5، 6).

ناقل عادي مباشر (ناقل عادي)

ما هو الطبيعي؟ بكلمات بسيطة، العمودي عمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما يكون عموديًا على خط معين. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي منها (بالإضافة إلى متجهات الاتجاه)، وجميع المتجهات العادية للخط المستقيم ستكون على خط مستقيم (سواء كانت متجهة في الاتجاه أم لا، فلا فرق).

سيكون التعامل معها أسهل من التعامل مع المتجهات الإرشادية:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل، فإن المتجه هو المتجه الطبيعي لهذا الخط.

إذا كان لا بد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة، فيمكن ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. دعونا نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام المنتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات الخاصة بمتجه الاتجاه:

هل من الممكن بناء معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة واحدة ومتجه عادي؟ أشعر بذلك في أمعائي، هذا ممكن. إذا كان المتجه العادي معروفًا، فإن اتجاه الخط المستقيم نفسه محدد بوضوح - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت نقطة معينة تابعة لخط ومتجه عادي لهذا الخط معروفة، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

لقد نجح كل شيء هنا بدون كسور ومفاجآت أخرى. هذا هو ناقلنا الطبيعي. أحبه. والاحترام =)

مثال 9

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

حل: نستخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم، دعونا نتحقق من ذلك:

1) "أزل" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: – نعم، بالفعل تم الحصول على المتجه الأصلي من الشرط (أو يجب الحصول على متجه خطي متداخل).

2) دعونا نتحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة:

المساواة الحقيقية.

وبعد أن نقتنع بأن المعادلة مركبة بشكل صحيح، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نخرج المتجه الموجه للخط المستقيم:

إجابة:

في الرسم يبدو الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب، مهمة مماثلة لحلها بشكل مستقل:

مثال 10

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

سيتم تخصيص القسم الأخير من الدرس لأنواع أقل شيوعًا، ولكنها مهمة أيضًا من معادلات الخط على المستوى

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.
معادلة الخط في شكل حدودي

معادلة الخط المستقيم في القطع لها الشكل حيث الثوابت غير الصفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات بهذه الصورة، على سبيل المثال، التناسب المباشر (نظرًا لأن الحد الحر يساوي صفرًا ولا توجد طريقة للحصول على واحد في الطرف الأيمن).

وهذا، مجازيًا، نوع من المعادلات "التقنية". تتمثل المهمة الشائعة في تمثيل المعادلة العامة للخط كمعادلة لخط مقسم إلى شرائح. كيف هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المقسم العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط مع محاور الإحداثيات، وهو ما قد يكون مهمًا جدًا في بعض مشكلات الرياضيات العليا.

دعونا نجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد تعيين "y" إلى الصفر، وتأخذ المعادلة الشكل . يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيا: .

الشيء نفسه مع المحور - النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع المحور الإحداثي.

درس من سلسلة "الخوارزميات الهندسية"

مرحبا عزيزي القارئ!

سنبدأ اليوم في تعلم الخوارزميات المتعلقة بالهندسة. الحقيقة هي أن هناك الكثير من مشاكل الأولمبياد في علوم الكمبيوتر المتعلقة بالهندسة الحسابية، وغالبًا ما يسبب حل مثل هذه المشكلات صعوبات.

على مدار عدة دروس، سننظر في عدد من المهام الفرعية الأولية التي يعتمد عليها حل معظم المشكلات في الهندسة الحسابية.

في هذا الدرس سوف نقوم بإنشاء برنامج ل إيجاد معادلة الخط، يمر عبر معين نقطتان. لحل المسائل الهندسية، نحتاج إلى بعض المعرفة بالهندسة الحسابية. وسنخصص جزءًا من الدرس للتعرف عليهم.

رؤى من الهندسة الحسابية

الهندسة الحسابية هي فرع من علوم الكمبيوتر يدرس الخوارزميات لحل المشكلات الهندسية.

يمكن أن تكون البيانات الأولية لمثل هذه المسائل عبارة عن مجموعة من النقاط على المستوى، أو مجموعة من القطاعات، أو مضلع (يتم تحديده، على سبيل المثال، من خلال قائمة رؤوسه بترتيب اتجاه عقارب الساعة)، وما إلى ذلك.

يمكن أن تكون النتيجة إما إجابة لبعض الأسئلة (مثل هل تنتمي نقطة إلى قطعة قطعة، أو هل يتقاطع قطعتان، ...)، أو كائن هندسي ما (على سبيل المثال، أصغر مضلع محدب يربط نقاط معينة، مساحة مضلع، وما إلى ذلك).

سننظر في مشاكل الهندسة الحسابية فقط على المستوى وفي نظام الإحداثيات الديكارتية فقط.

المتجهات والإحداثيات

لتطبيق أساليب الهندسة الحسابية، لا بد من ترجمة الصور الهندسية إلى لغة الأرقام. سنفترض أن المستوى مُعطى لنظام إحداثيات ديكارتي، حيث يكون اتجاه الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا.

الآن تتلقى الكائنات الهندسية تعبيرًا تحليليًا. لذلك، لتحديد نقطة ما، يكفي الإشارة إلى إحداثياتها: زوج من الأرقام (x؛ y). يمكن تحديد القطعة بتحديد إحداثيات طرفيها، ويمكن تحديد الخط المستقيم بتحديد إحداثيات زوج من نقاطه.

لكن أداتنا الرئيسية لحل المشكلات ستكون المتجهات. ولذلك اسمحوا لي أن أذكر بعض المعلومات عنهم.

القطعة المستقيمة أ.ب، والتي لديها نقطة أتعتبر البداية (نقطة التطبيق)، والنقطة في- النهاية، تسمى المتجه أ.بوتدل إما أو جريئة حرف صغير، على سبيل المثال أ .

للإشارة إلى طول المتجه (أي طول القطعة المقابلة)، سنستخدم رمز المعامل (على سبيل المثال، ).

سيكون للمتجه التعسفي إحداثيات مساوية للفرق بين الإحداثيات المقابلة لنهايته وبدايته:

,

هنا النقاط أو ب لها إحداثيات على التوالى.

للحسابات سوف نستخدم هذا المفهوم زاوية موجهةأي الزاوية التي تأخذ في الاعتبار الموقع النسبي للمتجهات.

الزاوية الموجهة بين المتجهات أ و ب موجب إذا كان الدوران من المتجه أ إلى المتجه ب يتم إجراؤه في اتجاه إيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة) وسالب في الحالة الأخرى. انظر الشكل 1 أ، الشكل 1 ب. ويقال أيضًا أن هناك زوجًا من المتجهات أ و ب موجهة بشكل إيجابي (سلبي).

وبالتالي، فإن قيمة الزاوية الموجهة تعتمد على الترتيب الذي يتم به إدراج المتجهات ويمكن أن تأخذ القيم في الفاصل الزمني.

تستخدم العديد من المشكلات في الهندسة الحسابية مفهوم نواتج المتجهات (الانحراف أو العددية الكاذبة) للمتجهات.

حاصل ضرب المتجهين a وb هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

.

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات:

التعبير الموجود على اليمين هو محدد من الدرجة الثانية:

على عكس التعريف الوارد في الهندسة التحليلية، فهو عددي.

تحدد علامة منتج المتجه موضع المتجهات بالنسبة لبعضها البعض:

أ و ب موجهة بشكل إيجابي.

إذا كانت القيمة هي زوج من المتجهات أ و ب موجهة سلبا.

الضرب الاتجاهي للمتجهات غير الصفرية يكون صفرًا إذا وفقط إذا كانت على خط مستقيم ( ). وهذا يعني أنهما يقعان على نفس الخط أو على خطوط متوازية.

دعونا نلقي نظرة على بعض المشاكل البسيطة الضرورية عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

دعونا نحدد معادلة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتين.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين مختلفتين تحددهما إحداثياتهما.

لنفترض نقطتين غير متطابقتين على خط مستقيم: بإحداثيات (x1; y1) وبإحداثيات (x2; y2). وبناء على ذلك، فإن المتجه الذي يبدأ عند نقطة وينتهي عند نقطة له إحداثيات (x2-x1، y2-y1). إذا كانت P(x, y) نقطة عشوائية على خطنا، فإن إحداثيات المتجه تساوي (x-x1, y – y1).

باستخدام منتج المتجهات، يمكن كتابة شرط العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات على النحو التالي:

أولئك. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

نعيد كتابة المعادلة الأخيرة على النحو التالي:

الفأس + بواسطة + ج = 0، (1)

ج = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

لذلك يمكن تحديد الخط المستقيم بمعادلة على الصورة (1).

المشكلة 1. يتم إعطاء إحداثيات نقطتين. أوجد تمثيلها في الصورة ax + by + c = 0.

تعلمنا في هذا الدرس بعض المعلومات عن الهندسة الحسابية. لقد حللنا مسألة إيجاد معادلة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتين.

في الدرس التالي، سوف نقوم بإنشاء برنامج لإيجاد نقطة تقاطع خطين معطاة في معادلاتنا.

المعادلات الأساسية لخط في الفضاء هي معادلات تحدد خطًا يمر عبر نقطة معينة على خط واحد مع متجه الاتجاه.

دعونا نعطي نقطة ومتجه الاتجاه. نقطة تعسفية تقع على الخط لفقط إذا كانت المتجهات و على خط واحد، أي أن الشرط قد تحقق لها:

.

المعادلات المذكورة أعلاه هي المعادلات الكنسيةمستقيم.

أعداد م , نو صهي إسقاطات لمتجه الاتجاه على محاور الإحداثيات. بما أن المتجه ليس صفراً، إذن كل الأرقام م , نو صلا يمكن أن يساوي الصفر في نفس الوقت. ولكن واحد أو اثنين منهم قد يكون صفراً. في الهندسة التحليلية، على سبيل المثال، يُسمح بالإدخال التالي:

,

مما يعني أن إسقاطات المتجه على المحور أويو أوزتساوي الصفر. ولذلك، فإن كلا من المتجه والخط المستقيم المحددين بالمعادلات القانونية متعامدان مع المحورين أويو أوز، أي الطائرات يوز .

مثال 1.اكتب معادلات لخط في الفضاء عمودي على المستوى ويمر بنقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز .

حل. دعونا نجد نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز. منذ أي نقطة تقع على المحور أوز، لها إحداثيات، بافتراض معادلة المستوى المعطاة س = ص = 0، نحصل على 4 ض- 8 = 0 أو ض= 2 . وبالتالي فإن نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوزله إحداثيات (0; 0; 2). بما أن الخط المطلوب عمودي على المستوى، فإنه يوازي متجهه الطبيعي. لذلك، يمكن أن يكون المتجه الموجه للخط المستقيم هو المتجه العادي طائرة معينة.

والآن دعونا نكتب المعادلات المطلوبة لخط مستقيم يمر بنقطة ما أ= (0; 0; 2) في اتجاه المتجه:

معادلات الخط الذي يمر عبر نقطتين محددتين

يمكن تعريف الخط المستقيم بنقطتين تقعان عليه و في هذه الحالة، يمكن أن يكون المتجه الموجه للخط المستقيم هو المتجه. ثم تأخذ المعادلات القانونية للخط الشكل

.

تحدد المعادلات المذكورة أعلاه خطًا يمر عبر نقطتين محددتين.

مثال 2.اكتب معادلة للخط المستقيم في الفضاء الذي يمر بالنقطتين و .

حل. ولنكتب المعادلات المطلوبة للخط المستقيم بالشكل الموضح أعلاه في المرجع النظري:

.

وبما أن الخط المستقيم المطلوب يكون عموديًا على المحور أوي .

مستقيم كخط تقاطع الطائرات

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين، أي كمجموعة من النقاط التي تحقق نظامًا من معادلتين خطيتين

تسمى معادلات النظام أيضًا المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

مثال 3.إنشاء معادلات قانونية لخط في الفضاء تعطى بواسطة المعادلات العامة

حل. لكتابة المعادلات الأساسية لخط ما، أو ما شابه ذلك، معادلات خط يمر عبر نقطتين محددتين، عليك إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط. يمكن أن تكون نقاط تقاطع خط مع أي خطين تنسيق الطائرات، على سبيل المثال يوزو xOz .

نقطة تقاطع الخط والمستوى يوزلديه الإحداثي السيني س= 0 . ولذلك، على افتراض في هذا النظام من المعادلات س= 0، نحصل على نظام بمتغيرين:

قرارها ذ = 2 , ض= 6 معًا س= 0 يحدد نقطة أ(0، 2، 6) السطر المطلوب. ثم بافتراض نظام المعادلات المعطى ذ= 0 نحصل على النظام

قرارها س = -2 , ض= 0 معًا ذ= 0 يحدد نقطة ب(-2; 0; 0) تقاطع خط مع مستوى xOz .

الآن دعونا نكتب معادلات الخط الذي يمر عبر النقاط أ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

أو بعد قسمة المقامات على -2:

,

خواص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك ثلاثة خيارات للموضع النسبي لخطين:

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط متوازية.

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 (بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠0، ج ≠ 0 (الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور الوحدة التنظيمية

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور الوحدة التنظيمية

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في في أشكال مختلفةاعتمادا على أي معين

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، متجه ذو مكونات (A، B)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، نحصل على: 3 - 2 + C = 0، وبالتالي

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى ميل مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0تؤدي:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحن نحصل ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

او اين

معنى هندسيالمعاملات هي أن المعامل a هو إحداثيات نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور الوحدة التنظيمية.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ر- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب للكتابة أنواع مختلفةالمعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاورأو المرور عبر الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2، الذي - التي زاوية حادةبين هذه السطور

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (س 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0معرف ك:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (س 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 بشكل عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.