كيفية الجمع والطرح بإشارات مختلفة. إضافة أرقام بعلامات وقواعد وأمثلة مختلفة
إضافة أرقام سلبية.
مجموع الأرقام السالبة هو رقم سالب. وحدة المجموع يساوي المبلغوحدات المصطلحات.
دعونا نكتشف لماذا سيكون مجموع الأرقام السالبة رقمًا سالبًا أيضًا. سيساعدنا خط الإحداثيات في ذلك، حيث سنضيف الأرقام -3 و -5. دعونا نحدد نقطة على خط الإحداثيات تقابل الرقم -3.
إلى الرقم -3 نحتاج إلى إضافة الرقم -5. إلى أين نتجه من النقطة المقابلة للرقم -3؟ هذا صحيح، اليسار! لمدة 5 قطاعات الوحدة. نحدد نقطة ونكتب الرقم المقابل لها. هذا الرقم هو -8.
لذا، عند إضافة أرقام سالبة باستخدام خط الإحداثيات، نكون دائمًا على يسار نقطة الأصل، وبالتالي فمن الواضح أن نتيجة إضافة أرقام سالبة هي أيضًا رقم سالب.
ملحوظة.أضفنا الأرقام -3 و -5، أي. تم العثور على قيمة التعبير -3+(-5). عادة، عند إضافة أرقام عقلانية، فإنهم ببساطة يكتبون هذه الأرقام بعلاماتهم، كما لو كانوا يقومون بإدراج جميع الأرقام التي تحتاج إلى إضافتها. يسمى هذا السجل مجموع جبري. قم بتطبيق (في مثالنا) الإدخال: -3-5=-8.
مثال.أوجد مجموع الأرقام السالبة: -23-42-54. (هل توافق على أن هذا الإدخال أقصر وأكثر ملاءمة مثل هذا: -23+(-42)+(-54))؟
دعونا نقررحسب قاعدة جمع الأعداد السالبة: نضيف وحدات المصطلحات: 23+42+54=119. وستكون النتيجة علامة ناقص.
عادةً ما يكتبونها على النحو التالي: -23-42-54=-119.
إضافة أرقام مع علامات مختلفة.
مجموع رقمين بعلامات مختلفة له علامة مصطلح بقيمة مطلقة كبيرة. للعثور على معامل المجموع، تحتاج إلى طرح المعامل الأصغر من المعامل الأكبر..
لنقم بجمع أرقام ذات إشارات مختلفة باستخدام خط الإحداثيات.
1) -4+6. تحتاج إلى إضافة الرقم 6 إلى الرقم -4. لنضع علامة على الرقم -4 بنقطة على خط الإحداثيات. الرقم 6 موجب، مما يعني أنه من النقطة ذات الإحداثيات -4 نحتاج إلى التوجه إلى اليمين بمقدار 6 أجزاء وحدة. وجدنا أنفسنا على يمين نقطة الأصل (من الصفر) بمقدار قطعتين من الوحدات.
نتيجة مجموع الأرقام -4 و 6 هي الرقم الموجب 2:
- 4+6=2. كيف يمكنك الحصول على الرقم 2؟ اطرح 4 من 6، أي. اطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر. والنتيجة لها نفس علامة المصطلح ذو المعامل الكبير.
2) دعونا نحسب: -7+3 باستخدام خط الإحداثيات. ضع علامة على النقطة المقابلة للرقم -7. نذهب إلى اليمين لثلاث قطع من الوحدات ونحصل على نقطة بإحداثيات -4. كنا ولا نزال على يسار الأصل: فالجواب رقم سالب.
— 7+3=-4. يمكننا الحصول على هذه النتيجة بهذه الطريقة: من الوحدة الأكبر قمنا بطرح الوحدة الأصغر، أي. 7-3=4. ونتيجة لذلك، وضعنا إشارة الحد بالمعامل الأكبر: |-7|>|3|.
أمثلة.احسب: أ) -4+5-9+2-6-3; ب) -10-20+15-25.
الجمع والطرح
أرقام بعلامات مختلفة
التأكد من أن الطالب يتقن قدرًا كبيرًا من المعرفة بشكل شامل وفعال في وقت أقل من ذي قبل - وهذه إحدى المهام الرئيسية لعلم أصول التدريس الحديث. وفي هذا الصدد، هناك حاجة للبدء في دراسة أشياء جديدة من خلال تكرار المواد القديمة والمعروفة التي تمت دراستها بالفعل حول موضوع معين. لكي يتم التكرار بسرعة ولكي يكون هناك اتصال أوضح بين الجديد والقديم، من الضروري تنظيم تسجيل المادة المدروسة بطريقة خاصة عند الشرح.
على سبيل المثال، سأخبرك كيف أقوم بتعليم الطلاب جمع وطرح الأرقام ذات الإشارات المختلفة باستخدام خط الإحداثيات. قبل دراسة الموضوع مباشرة وأثناء الدروس في الصفين الخامس والسادس، أولي الكثير من الاهتمام لهيكل خط الإحداثيات. قبل البدء بدراسة موضوع “جمع وطرح الأعداد ذات العلامات المختلفة” لا بد من أن يكون لدى كل طالب معرفة راسخة وقادر على الإجابة على الأسئلة التالية:
1) كيف يتم إنشاء خط الإحداثيات؟
2) كيف هي الأرقام الموجودة عليه؟
3) ما هي المسافة من الرقم 0 إلى أي رقم؟
يجب أن يفهم الطلاب أن التحرك على طول خط مستقيم إلى اليمين يؤدي إلى زيادة العدد، أي. يتم تنفيذ إجراء الإضافة، وإلى اليسار - إلى انخفاضه، أي. يتم تنفيذ عملية طرح الأرقام. لمنع الملل من العمل مع خط الإحداثيات، هناك العديد من مشاكل اللعبة غير القياسية. على سبيل المثال، هذا واحد.
تم رسم خط مستقيم على طول الطريق السريع. طول قطعة الوحدة الواحدة 2 م، ويتحرك الجميع على طول خط مستقيم فقط. في رقم 3 جينا وتشيبوراشكا. ساروا في اتجاهات مختلفة في نفس الوقت وتوقفوا في نفس الوقت. مشى جينا مرتين حتى تشيبوراشكا وانتهى به الأمر على الرقم 11. ما الرقم الذي انتهى به تشيبوراشكا؟ كم مترا مشى تشيبوراشكا؟ أي منهم مشى أبطأ وبكم؟(الرياضيات غير القياسية في المدرسة. - م، لايدا، 1993، رقم 62).
عندما أكون على قناعة تامة بأن جميع الطلاب يمكنهم التعامل مع الحركات على طول خط مستقيم، وهذا مهم للغاية، أنتقل مباشرة إلى تدريس جمع الأعداد وطرحها في نفس الوقت.
يتم إعطاء كل طالب مذكرة مرجعية. ومن خلال تحليل أحكام الملاحظات والاعتماد على الصور المرئية الهندسية الموجودة لخط الإحداثيات، يكتسب الطلاب معرفة جديدة. (يظهر المخطط التفصيلي في الشكل). تبدأ دراسة الموضوع بكتابة الأسئلة التي سيتم مناقشتها في دفتر الملاحظات.
1 . كيفية إجراء عملية الجمع باستخدام خط الإحداثيات؟ كيفية العثور على مصطلح غير معروف؟ دعونا نلقي نظرة على الجزء ذي الصلة من المخطط التفصيلي؟؟. دعونا نتذكر ذلك أيضيف ب- يعني الزيادة أعلى بوتحدث الحركة على طول خط الإحداثيات إلى اليمين. ونتذكر كيفية تسمية وحساب مركبات الجمع وقوانين الجمع، وكذلك خصائص الصفر أثناء الجمع. هل هذه أجزاء؟؟ و؟؟ ملحوظات. ولذلك فإن الأسئلة التالية المكتوبة في الدفتر هي:
1). الإضافة هي الحركة إلى اليمين.
إس إل. + سي. = ج؛ إس إل. = ج - سي.
2). قوانين الإضافة:
1) قانون النزوح: أ+ ب= ب+ أ;
2) قانون الجمع: (أ+ ب) + ج= أ+ (ب+ ج) = (أ+ ج) + ب
3). خصائص الصفر أثناء الجمع: أ+ 0= أ; 0+ أ= أ; أ+ (- أ) = 0.
4). الطرح هو حركة إلى اليسار.
U. - V. = R.؛ U. = V. + R؛ V. = U. - R.
5). يمكن استبدال الجمع بالطرح، ويمكن استبدال الطرح بالجمع.
4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1
4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1
حسب قانون الجمع التبادلي
6). هكذا يتم فتح الأقواس:
+ (أ+ ب+ ج) = + أ+ ب+ ج
"انسان محترم"
- (أ + ب + ج) = - أ - ب - ج
"السارق"
2 . قوانين الإضافة.
3 . اذكر خصائص الصفر أثناء الجمع.
4 . كيفية طرح الأرقام باستخدام خط الإحداثيات؟ قواعد العثور على المطروحات والمناقصات المجهولة.
5 . كيف تنتقل من الجمع إلى الطرح ومن الطرح إلى الجمع؟
6 . كيفية فتح القوسين مسبوقًا بـ: أ) علامة الجمع؛ ب) علامة الطرح؟
المواد النظرية ضخمة للغاية، ولكن بما أن كل جزء منها متصل، كما لو كان "يتدفق" من بعضها البعض، فإن الحفظ يحدث بنجاح. العمل مع الملاحظات لا ينتهي عند هذا الحد. يرتبط كل جزء من المخطط التفصيلي بنص الكتاب المدرسي الذي تتم قراءته في الفصل. إذا اعتقد الطالب بعد ذلك أن الجزء الذي يتم تحليله واضح تمامًا بالنسبة له، فإنه يرسم بخفة فوق نص الملخص في الإطار المناسب، وكأنه يقول: "أنا أفهم هذا". إذا كان هناك شيء غير واضح، فلن يتم رسم الإطار حتى يصبح كل شيء واضحا. الجزء الأبيض من الملاحظات هو الإشارة "اكتشفها!"
هدف المعلم الذي يجب تحقيقه بنهاية الدرس هو: يجب على الطلاب، عند مغادرة الدرس، أن يتذكروا أن الجمع هو الحركة على طول خط الإحداثيات إلى اليمين، والطرح إلى اليسار. تعلم جميع الطلاب فتح الأقواس. ويخصص الوقت المتبقي من الدرس لفتح الأقواس. نفتح الأقواس شفهيًا وكتابيًا في مهام مثل:
|
); - 20 + (- 7 + (- 5)). |
||||
الواجب المنزلي. أجب عن الأسئلة المكتوبة في الدفتر من خلال قراءة فقرات الكتاب المدرسي المبينة في الملاحظات.
في الدرس التالي سوف نتدرب على خوارزمية جمع وطرح الأعداد. كل طالب لديه بطاقة على مكتبه تحتوي على التعليمات التالية:
1) اكتب مثالا.
2) فتح الأقواس إن وجدت.
3) ارسم خط الإحداثيات.
4) قم بتمييز الرقم الأول عليه بدون مقياس.
5) إذا كان الرقم متبوعا بعلامة "+" فانتقل إلى اليمين، وإذا كان هناك علامة "-" فانتقل إلى اليسار بعدد وحدات الوحدة التي يحتوي عليها الحد الثاني. ارسمه بشكل تخطيطي وضع إشارة بجانب الرقم الذي تبحث عنه؟
6) اطرح السؤال "أين يوجد الصفر؟"
7) حدد إشارة العدد الذي عليه علامة الاستفهام، وهو الحل، هكذا: إذا؟ على يمين 0، فالإجابة تحمل علامة +، ولكن ماذا لو؟ على يسار 0، فإن الإجابة تحمل علامة - . اكتب العلامة الموجودة في الإجابة بعد العلامة =.
8) ضع علامة على ثلاثة أجزاء على الرسم.
9) أوجد طول القطعة من الصفر إلى الإشارة؟
مثال 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.
1. أنسخ المثال وأفتح القوسين.
2. أرسم صورة وأسبب مثل هذا:
أ) أضع علامة - 35 وانتقل إلى اليسار بمقدار 9 أجزاء من الوحدة؛ أضع علامة بجانب الرقم المطلوب؟;
ب) أسأل نفسي: "أين الصفر؟" أجيب: «الصفر على اليمين - 35 في 35 قطعة وحدة، مما يعني أن علامة الإجابة هي - إذن؟ على يسار الصفر";
ج) أبحث عن المسافة من 0 إلى الإشارة؟. للقيام بذلك، قمت بحساب 35 + 9 = 44 وقمت بتعيين الرقم الناتج ردًا على علامة -.
مثال 2.- 35 + 9.
مثال 3. 9 - 35.
لقد قمنا بحل هذه الأمثلة باستخدام منطق مماثل للمثال 1. لا يمكن أن تكون هناك حالات أخرى لترتيب الأرقام، وكل صورة تتوافق مع إحدى القواعد الواردة في الكتاب المدرسي والتي تتطلب الحفظ. لقد تم التحقق (ومرارًا وتكرارًا) من أن طريقة الجمع هذه أكثر عقلانية. بالإضافة إلى ذلك، فإنه يسمح لك بإضافة أرقام حتى عندما يعتقد الطالب أنه لا يتذكر قاعدة واحدة. هذه الطريقةيعمل عند العمل مع الكسور، ما عليك سوى إحضارها إلى القاسم المشتركثم ارسم صورة. على سبيل المثال،
الجميع يستخدم بطاقة "التعليمات" طالما أن هناك حاجة إليها.
يحل مثل هذا العمل محل العمل الممل والرتيب المتمثل في العد وفقًا لقواعد الفكر الحي والعمل النشط. هناك العديد من المزايا: لا داعي للتكديس والتفكير بشكل محموم في القاعدة التي يجب تطبيقها؛ من السهل تذكر بنية خط الإحداثيات، وذلك في الجبر والهندسة عند حساب قيمة المقطع عندما تقع نقطة على الخط بين نقطتين أخريين. هذه التقنية فعالة في كل من الفصول الدراسية ذات دراسة متعمقةالرياضيات، وفي فصول المعايير العمرية وحتى في فصول التصحيح.
في هذا الدرس سوف نتعلم جمع وطرح الأعداد الصحيحةوكذلك قواعد الجمع والطرح.
تذكر أن الأعداد الصحيحة كلها أرقام موجبة وسالبة، بالإضافة إلى الرقم 0. على سبيل المثال، الأرقام التاليةهي الأعداد الصحيحة:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
الأرقام الإيجابية سهلة، و. لسوء الحظ، لا يمكن قول الشيء نفسه عن الأرقام السالبة، التي تربك الكثير من المبتدئين مع سلبياتهم أمام كل رقم. كما تظهر الممارسة، فإن الأخطاء التي تحدث بسبب الأرقام السالبة هي التي تحبط الطلاب أكثر من غيرهم.
محتوى الدرسأمثلة على جمع وطرح الأعداد الصحيحة
أول شيء يجب أن تتعلمه هو جمع الأعداد الصحيحة وطرحها باستخدام خط الإحداثيات. ليس من الضروري على الإطلاق رسم خط إحداثي. يكفي أن تتخيل ذلك في أفكارك وترى أين توجد الأرقام السالبة وأين توجد الأرقام الإيجابية.
لنفكر في أبسط تعبير: 1 + 3. قيمة هذا التعبير هي 4:
يمكن فهم هذا المثال باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك، من النقطة التي يوجد بها الرقم 1، تحتاج إلى نقل ثلاث خطوات إلى اليمين. ونتيجة لذلك، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يقع فيها الرقم 4. في الشكل يمكنك أن ترى كيف يحدث هذا:
علامة الزائد في التعبير 1 + 3 تخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليمين في اتجاه الأعداد المتزايدة.
مثال 2.لنجد قيمة التعبير 1 − 3.
قيمة هذا التعبير هي −2
يمكن فهم هذا المثال مرة أخرى باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك، من النقطة التي يوجد بها الرقم 1، تحتاج إلى الانتقال إلى الخطوات الثلاث اليسرى. ونتيجة لذلك، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يقع فيها الرقم السالب −2. في الصورة يمكنك أن ترى كيف يحدث هذا:
علامة الطرح في التعبير 1 − 3 تخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليسار في اتجاه الأعداد المتناقصة.
بشكل عام، عليك أن تتذكر أنه إذا تم إضافة، فأنت بحاجة إلى التحرك إلى اليمين في اتجاه الزيادة. إذا تم إجراء الطرح، فأنت بحاجة إلى التحرك إلى اليسار في اتجاه الانخفاض.
مثال 3.أوجد قيمة التعبير −2 + 4
قيمة هذا التعبير هي 2
يمكن فهم هذا المثال مرة أخرى باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك، من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب −2، تحتاج إلى التحرك أربع خطوات إلى اليمين. ونتيجة لذلك، سنكون عند النقطة التي يوجد فيها الرقم الموجب 2.
يمكن ملاحظة أننا انتقلنا من النقطة التي يقع فيها الرقم السالب −2 الجانب الأيمنأربع خطوات، وانتهى عند النقطة التي يقع فيها الرقم الموجب 2.
علامة الزائد في التعبير −2 + 4 تخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليمين في اتجاه زيادة الأعداد.
مثال 4.أوجد قيمة التعبير −1 − 3
قيمة هذا التعبير هي −4
يمكن حل هذا المثال مرة أخرى باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك، من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب −1، تحتاج إلى الانتقال إلى الخطوات الثلاث اليسرى. ونتيجة لذلك، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يقع فيها الرقم السالب −4
يمكن ملاحظة أننا انتقلنا من النقطة التي يقع فيها الرقم السالب −1 الجهه اليسرىثلاث خطوات، وانتهى عند النقطة التي يقع فيها الرقم السالب −4.
علامة الطرح في التعبير −1 − 3 تخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليسار في اتجاه الأعداد المتناقصة.
مثال 5.أوجد قيمة التعبير −2 + 2
قيمة هذا التعبير هي 0
يمكن حل هذا المثال باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك، من النقطة التي يوجد فيها الرقم السلبي −2، تحتاج إلى التحرك خطوتين إلى اليمين. ونتيجة لذلك، سنكون عند النقطة التي يوجد فيها الرقم 0
يمكن ملاحظة أننا انتقلنا من النقطة التي يقع فيها الرقم السالب −2 إلى الجانب الأيمن بخطوتين وانتهى بنا الأمر عند النقطة التي يقع فيها الرقم 0.
علامة الزائد في التعبير −2 + 2 تخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليمين في اتجاه زيادة الأعداد.
قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة
لجمع أو طرح أعداد صحيحة، ليس من الضروري على الإطلاق تخيل خط إحداثي في كل مرة، ناهيك عن رسمه. إنه أكثر ملاءمة لاستخدام القواعد الجاهزة.
عند تطبيق القواعد، عليك الانتباه إلى علامة العملية وعلامات الأرقام التي يجب إضافتها أو طرحها. وهذا سيحدد القاعدة التي سيتم تطبيقها.
مثال 1.أوجد قيمة التعبير −2 + 5
هنا يتم إضافة رقم موجب إلى رقم سالب. بمعنى آخر، تتم إضافة أرقام ذات علامات مختلفة. −2 هو رقم سالب، و5 هو رقم موجب. في مثل هذه الحالات، تنطبق القاعدة التالية:
لإضافة أرقام بعلامات مختلفة، تحتاج إلى طرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة، ضع علامة الرقم الذي تكون وحدته أكبر.
لذا، دعونا نرى أي وحدة أكبر:
معامل الرقم 5 أكبر من معامل الرقم −2. تتطلب القاعدة طرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر. ولذلك يجب أن نطرح 2 من 5، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة الرقم الذي معامله أكبر.
والرقم 5 له معامل أكبر، لذا ستكون إشارة هذا الرقم في الإجابة. أي أن الجواب سيكون إيجابيا:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
عادة ما تكون أقصر: −2 + 5 = 3
مثال 2.أوجد قيمة التعبير 3 + (−2)
هنا، كما في المثال السابق، تتم إضافة أرقام ذات علامات مختلفة. 3 هو رقم موجب، و-2 هو رقم سالب. لاحظ أنه تم وضع −2 بين قوسين لجعل التعبير أكثر وضوحًا. هذا التعبير أسهل بكثير في الفهم من التعبير 3+−2.
لذلك، دعونا نطبق قاعدة جمع الأرقام بعلامات مختلفة. كما في المثال السابق نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر وقبل الإجابة نضع إشارة الرقم الذي وحدته أكبر:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
معامل الرقم 3 أكبر من معامل الرقم −2، لذلك طرحنا 2 من 3، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة الرقم الذي معامله أكبر. الرقم 3 له معامل أكبر، ولهذا السبب تم تضمين إشارة هذا الرقم في الإجابة. أي أن الجواب إيجابي.
عادةً ما يتم كتابتها بشكل أقصر 3 + (−2) = 1
مثال 3.أوجد قيمة التعبير 3 − 7
في هذا التعبير، يتم طرح رقم أكبر من رقم أصغر. في مثل هذه الحالة تنطبق القاعدة التالية:
لطرح رقم أكبر من رقم أصغر، تحتاج إلى طرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر، ووضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
هناك صيد طفيف لهذا التعبير. ولنتذكر أن علامة المساواة (=) توضع بين الكميات والعبارات عندما تكون متساوية.
قيمة التعبير 3 − 7، كما تعلمنا، هي −4. وهذا يعني أن أي تحويلات سنجريها في هذا التعبير يجب أن تساوي −4
لكننا نرى أنه في المرحلة الثانية يوجد تعبير 7 − 3، وهو لا يساوي −4.
لتصحيح هذا الوضع، عليك وضع التعبير 7 − 3 بين قوسين ووضع علامة الطرح أمام هذا القوس:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
وفي هذه الحالة ستراعى المساواة في كل مرحلة:
بعد حساب التعبير، يمكن إزالة الأقواس، وهذا ما فعلناه.
لكي نكون أكثر دقة، يجب أن يبدو الحل كما يلي:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
يمكن كتابة هذه القاعدة باستخدام المتغيرات. سوف يبدو مثل هذا:
أ - ب = - (ب - أ)
يمكن أن يؤدي وجود عدد كبير من الأقواس وعلامات العمليات إلى تعقيد حل مشكلة تبدو بسيطة، لذا فمن المستحسن أن تتعلم كيفية كتابة مثل هذه الأمثلة لفترة وجيزة، على سبيل المثال 3 − 7 = − 4.
في الواقع، جمع وطرح الأعداد الصحيحة لا يعدو كونه جمعًا. هذا يعني أنه إذا كنت بحاجة إلى طرح أرقام، فيمكن استبدال هذه العملية بالجمع.
لذلك دعونا نتعرف على القاعدة الجديدة:
إن طرح رقم من آخر يعني إضافة رقم معاكس للرقم الذي يتم طرحه إلى القائمة السفلية.
على سبيل المثال، فكر في أبسط تعبير 5 − 3. On المراحل الأوليةأثناء دراسة الرياضيات، وضعنا علامة يساوي وكتبنا الإجابة:
لكننا الآن نتقدم في دراستنا، لذا نحتاج إلى التكيف مع القواعد الجديدة. تنص القاعدة الجديدة على أن طرح رقم واحد من رقم آخر يعني إضافة نفس الرقم مثل المطروح إلى المطرح.
دعونا نحاول فهم هذه القاعدة باستخدام مثال التعبير 5 − 3. الطرح في هذا التعبير هو 5، والمطروح هو 3. تنص القاعدة على أنه من أجل طرح 3 من 5، عليك أن تضيف إلى 5 رقمًا هو عكس 3. عكس الرقم 3 هو −3 . دعونا نكتب تعبيرا جديدا:
ونحن نعرف بالفعل كيفية العثور على معاني لمثل هذه التعبيرات. هذا هو جمع الأرقام ذات العلامات المختلفة التي نظرنا إليها سابقًا. لجمع أرقام ذات علامات مختلفة، نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة الرقم الذي وحدته أكبر:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
معامل الرقم 5 أكبر من معامل الرقم −3. لذلك، طرحنا 3 من 5 وحصلنا على 2. الرقم 5 له معامل أكبر، لذلك وضعنا إشارة هذا الرقم في الإجابة. أي أن الجواب إيجابي.
في البداية، لا يستطيع الجميع استبدال الطرح بالإضافة بسرعة. وذلك لأن الأرقام الموجبة تكتب بدون علامة الجمع.
على سبيل المثال، في التعبير 3 − 1، علامة الطرح التي تشير إلى الطرح هي علامة عملية ولا تشير إلى واحدة. الوحدة في في هذه الحالةهو رقم موجب، وله علامة الجمع الخاصة به، لكننا لا نراها، حيث لا يتم كتابة علامة الجمع قبل الأرقام الموجبة.
لذلك، من أجل الوضوح، يمكن كتابة هذا التعبير على النحو التالي:
(+3) − (+1)
للراحة، يتم وضع الأرقام مع علاماتها الخاصة بين قوسين. في هذه الحالة، يكون استبدال الطرح بالجمع أسهل بكثير.
في التعبير (+3) − (+1)، الرقم المطروح هو (+1)، والرقم المقابل هو (−1).
لنستبدل الطرح بالجمع وبدلا من المطروح (+1) نكتب العدد المقابل (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
لن تكون الحسابات الإضافية صعبة.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
للوهلة الأولى، قد يبدو أنه لا فائدة من هذه الحركات الإضافية إذا كان بإمكانك استخدام الطريقة القديمة الجيدة لوضع علامة يساوي وكتابة الإجابة 2 على الفور. في الواقع، ستساعدنا هذه القاعدة أكثر من مرة.
دعونا نحل المثال السابق 3 − 7 باستخدام قاعدة الطرح. أولاً، دعونا نجعل التعبير في شكل واضح، ونخصص لكل رقم علاماته الخاصة.
ثلاثة لديه علامة زائد لأنه رقم موجب. علامة الطرح التي تشير إلى الطرح لا تنطبق على سبعة. سبعة لديه علامة زائد لأنه رقم موجب:
لنستبدل الطرح بالجمع:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
مزيد من الحساب ليس صعبا:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
مثال 7.أوجد قيمة التعبير −4 − 5
مرة أخرى لدينا عملية الطرح. يجب استبدال هذه العملية بالإضافة. نضيف إلى الطرف الناقص (−4) الرقم المقابل للمطروح (+5). الرقم المقابل للمطروح (+5) هو الرقم (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
لقد وصلنا إلى موقف نحتاج فيه إلى إضافة أرقام سالبة. في مثل هذه الحالات، تنطبق القاعدة التالية:
لإضافة أرقام سلبية، تحتاج إلى إضافة وحداتها ووضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة.
لذا، دعونا نجمع وحدات الأرقام، كما تتطلب القاعدة منا أن نفعل، ونضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
يجب وضع الإدخال الذي يحتوي على الوحدات بين قوسين ويجب وضع علامة الطرح قبل هذه الأقواس. بهذه الطريقة سنقدم ناقصًا يجب أن يظهر قبل الإجابة:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
يمكن كتابة الحل لهذا المثال باختصار:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
أو حتى أقصر:
−4 − 5 = −9
مثال 8.أوجد قيمة التعبير −3 − 5 − 7 − 9
دعونا نأتي بالتعبير إلى شكل واضح. هنا، جميع الأرقام باستثناء −3 موجبة، لذا سيكون لها علامات زائد:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
دعونا نستبدل عمليات الطرح بالإضافات. جميع السلبيات، باستثناء الناقص الذي أمام الثلاثة، ستتغير إلى إيجابيات، وجميع الأرقام الموجبة ستتغير إلى العكس:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
الآن دعونا نطبق قاعدة إضافة الأرقام السالبة. لإضافة أرقام سالبة، تحتاج إلى إضافة وحداتها ووضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
يمكن كتابة حل هذا المثال باختصار:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
أو حتى أقصر:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
مثال 9.أوجد قيمة التعبير −10 + 6 − 15 + 11 − 7
دعونا نأتي بالتعبير إلى شكل واضح:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
هناك عمليتان هنا: الجمع والطرح. نترك الجمع دون تغيير، ونستبدل الطرح بالجمع:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
بالملاحظة، سنقوم بتنفيذ كل إجراء على حدة، بناءً على القواعد التي تعلمناها مسبقًا. يمكن تخطي الإدخالات التي تحتوي على وحدات:
الإجراء الأول:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
الإجراء الثاني:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
الإجراء الثالث:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
الإجراء الرابع:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
وبالتالي فإن قيمة التعبير −10 + 6 − 15 + 11 − 7 هي −15
ملحوظة. ليس من الضروري على الإطلاق تحويل التعبير إلى شكل مفهوم من خلال وضع الأرقام بين قوسين. عند التعود على الأرقام السالبة، يمكن تخطي هذه الخطوة لأنها تستغرق وقتًا طويلاً ويمكن أن تكون مربكة.
لذلك، لجمع وطرح الأعداد الصحيحة، عليك أن تتذكر القواعد التالية:
انضم الينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة
في هذا الدرس سوف نتعلم ما هو الرقم السالب وما هي الأرقام التي تسمى الأضداد. سوف نتعلم أيضًا كيفية جمع الأرقام السالبة والموجبة (الأرقام ذات العلامات المختلفة) وننظر إلى عدة أمثلة لإضافة أرقام ذات علامات مختلفة.
انظر إلى هذا الترس (انظر الشكل 1).
أرز. 1. ترس الساعة
هذه ليست عقربًا يُظهر الوقت مباشرةً وليس قرصًا (انظر الشكل 2). ولكن بدون هذا الجزء فإن الساعة لا تعمل.
أرز. 2. العتاد داخل الساعة
ماذا يعني حرف Y؟ لا شيء سوى الصوت Y. لكن بدونها لن "تعمل" كلمات كثيرة. على سبيل المثال، كلمة "الماوس". وكذلك الأرقام السالبة: فهي لا تظهر أي كمية، ولكن بدونها ستكون آلية الحساب أكثر صعوبة.
نحن نعلم أن الجمع والطرح عمليتان متكافئتان ويمكن إجراؤهما بأي ترتيب. يمكننا الحساب بالترتيب المباشر: ولكن لا يمكننا البدء بالطرح لأننا لم نتفق بعد على ماذا.
ومن الواضح أن زيادة العدد ثم النقصان يعني النقصان في النهاية بمقدار ثلاثة. لماذا لا نعين هذا الكائن ونحسبه بهذه الطريقة: الإضافة تعني الطرح. ثم .
يمكن أن يعني الرقم، على سبيل المثال، تفاحة. الرقم الجديد لا يمثل أي كمية حقيقية. وهذا في حد ذاته لا يعني شيئًا مثل الحرف Y. إنها مجرد أداة جديدة لتسهيل العمليات الحسابية.
دعونا نسمي أرقامًا جديدة سلبي. الآن يمكننا طرح العدد الأكبر من العدد الأصغر. من الناحية الفنية، لا تزال بحاجة إلى طرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر، ولكن ضع علامة الطرح في إجابتك: .
دعونا ننظر إلى مثال آخر: 
. يمكنك القيام بجميع الإجراءات المتتالية: .
لكن من الأسهل طرح الرقم الثالث من الرقم الأول ثم إضافة الرقم الثاني:
يمكن تعريف الأرقام السالبة بطريقة أخرى.
لكل عدد طبيعي، على سبيل المثال، نقوم بإدخال رقم جديد، نشير إليه، ونحدد ما إذا كان لديه الخاصية التالية: مجموع العدد ويساوي : .
سوف نسمي الرقم سلبيا، والأرقام و- العكس. وبذلك حصلنا على عدد لا نهائي من الأرقام الجديدة، على سبيل المثال:
عكس العدد؛
عكس العدد؛
عكس العدد؛ 
عكس العدد؛
اطرح العدد الأكبر من العدد الأصغر: . ولنضيف إلى هذا التعبير : . لقد حصلنا على الصفر. ومع ذلك، وفقًا للخاصية: الرقم الذي يضيف صفرًا إلى خمسة يُشار إليه بـ ناقص خمسة: . لذلك يمكن الإشارة إلى التعبير على أنه .
كل رقم موجب له رقم مزدوج، والذي يختلف فقط في أنه يسبقه علامة الطرح، وتسمى هذه الأرقام عكس(انظر الشكل 3).
أرز. 3. أمثلة أرقام متضادة
خصائص الأعداد المتضادة
1. مجموع الأعداد المتضادة هو صفر : .
2. إذا طرحت رقماً موجباً من الصفر، ستكون النتيجة الرقم السالب المعاكس: .
1. يمكن أن يكون كلا الرقمين موجبًا، ونحن نعرف بالفعل كيفية جمعهما: .
2. كلا الرقمين يمكن أن يكونا سلبيين.
لقد تناولنا بالفعل إضافة أرقام مثل هذه في الدرس السابق، ولكن دعونا نتأكد من أننا نفهم ما يجب فعله بها. على سبيل المثال: .
للعثور على هذا المجموع، أضف الأرقام الموجبة المقابلة ووضع علامة الطرح.
3. يمكن أن يكون أحد الرقمين موجبًا والآخر سالبًا.
إذا كان الأمر مناسبًا لنا، يمكننا استبدال جمع عدد سالب بطرح عدد موجب: .
مثال آخر: . مرة أخرى نكتب المبلغ كالفرق. اطرح من أقل عدد أكبريمكنك طرح الأصغر من الأكبر، لكن ضع علامة الطرح.
يمكننا تبديل الشروط: .
مثال آخر مشابه: .
وفي كل الأحوال النتيجة هي الطرح.
لصياغة هذه القواعد لفترة وجيزة، دعونا نتذكر مصطلح آخر. الأعداد المتضادة، بالطبع، لا تساوي بعضها البعض. ولكن سيكون من الغريب عدم ملاحظة ما هو مشترك بينهما. لقد أطلقنا على هذا اسمًا شائعًا رقم الوحدة. معامل الأعداد المعاكسة هو نفسه: بالنسبة للرقم الموجب فهو يساوي الرقم نفسه، وبالنسبة للرقم السالب فهو يساوي العكس، موجب. على سبيل المثال: ، .
لإضافة رقمين سالبين، تحتاج إلى إضافة وحداتهم ووضع علامة الطرح:
لإضافة رقم سالب وموجب، تحتاج إلى طرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ووضع إشارة الرقم مع الوحدة الأكبر:
كلا الرقمين سالبين، لذلك نضيف وحداتهما ونضع علامة الطرح:
رقمان بعلامات مختلفة، لذلك، من معامل الرقم (المعامل الأكبر)، نطرح معامل الرقم ونضع علامة الطرح (علامة الرقم ذو المعامل الأكبر):
رقمان بعلامات مختلفة، لذلك من معامل الرقم (المعامل الأكبر) نطرح معامل الرقم ونضع علامة الطرح (علامة الرقم ذو المعامل الأكبر): .
رقمان بعلامات مختلفة، لذلك من معامل الرقم (المعامل الأكبر) نطرح معامل الرقم ونضع علامة الجمع (علامة الرقم ذو المعامل الأكبر): .
كان للأرقام الإيجابية والسلبية تاريخياً أدوار مختلفة.
أولاً قدمنا الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء:
ثم قدمنا أرقامًا موجبة أخرى - الكسور لحساب الكميات غير الصحيحة والأجزاء: .
ظهرت الأرقام السالبة كأداة لتبسيط العمليات الحسابية. لم يكن الأمر كما لو أن هناك أي كميات في الحياة لا يمكننا عدها، وقمنا باختراع الأرقام السالبة.
أي أن الأرقام السالبة لم تنشأ من العالم الحقيقي. لقد تبين أنها مريحة للغاية لدرجة أنهم وجدوا تطبيقًا في الحياة في بعض الأماكن. على سبيل المثال، كثيرا ما نسمع عن درجة الحرارة السلبية. ومع ذلك، فإننا لا نواجه أبدًا عددًا سالبًا من التفاحات. ماهو الفرق؟
الفرق هو أنه في الحياة، تُستخدم الكميات السالبة فقط للمقارنة، وليس للكميات. إذا كان الفندق يحتوي على الطابق السفلي وتم تثبيت المصعد هناك، فمن أجل الحفاظ على الترقيم المعتاد للأرضيات العادية، قد يظهر الطابق الأول ناقص. هذا الطرح الأول يعني طابق واحد فقط تحت مستوى سطح الأرض (انظر الشكل 1).
أرز. 4. ناقص الطابق الأول وناقص الطابق الثاني
درجة الحرارة السالبة تكون سالبة فقط مقارنة بالصفر الذي اختاره مؤلف المقياس أندرس سيلسيوس. هناك مقاييس أخرى، وقد لا تكون درجة الحرارة نفسها سلبية هناك.
في الوقت نفسه، نحن نفهم أنه من المستحيل تغيير نقطة البداية بحيث لا يوجد خمسة تفاح، بل ستة. وهكذا، في الحياة، يتم استخدام الأرقام الموجبة لتحديد الكميات (التفاح، الكعكة).
نحن نستخدمها أيضًا بدلاً من الأسماء. يمكن إعطاء كل هاتف اسمًا خاصًا به، لكن عدد الأسماء محدود ولا توجد أرقام. ولهذا السبب نستخدم أرقام الهواتف. أيضًا للطلب (القرن يتبع القرن).
الأرقام السالبة في الحياة تستخدم بالمعنى الأخير (مطروحا منه الطابق الأول تحت الصفر والطابق الأول)
- فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف إيه.إس.، شفارتسبورد إس.آي. الرياضيات 6. م: منيموسين، 2012.
- Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. الرياضيات الصف السادس. "صالة الألعاب الرياضية"، 2006.
- ديبمان آي.يا.، فيلينكين إن.يا. خلف صفحات كتاب الرياضيات. م: التربية، 1989.
- روروكين أ.ن.، تشايكوفسكي آي.في. واجبات مقرر الرياضيات للصفوف 5-6. م.: زش ميفي، 2011.
- روروكين إيه إن، سوتشيلوف إس في، تشايكوفسكي كي جي. الرياضيات 5-6. دليل لطلاب الصف السادس في مدرسة المراسلة MEPhI. م.: زش ميفي، 2011.
- شيفرين إل.إن.، جين إيه.جي.، كورياكوف آي.أو.، فولكوف إم.في. الرياضيات: كتاب مدرسي للصفوف 5-6 في المدرسة الثانوية. م: التربية، مكتبة معلمي الرياضيات، 1989.
- الرياضيات-prosto.ru ().
- موقع YouTube().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
العمل في المنزل
يتناول هذا الدرس جمع وطرح الأعداد النسبية. يتم تصنيف الموضوع على أنه معقد. من الضروري هنا استخدام الترسانة الكاملة للمعرفة المكتسبة مسبقًا.
تنطبق قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة أيضًا على الأعداد النسبية. تذكر أن الأعداد النسبية هي أرقام يمكن تمثيلها ككسر، حيث أ -هذا هو بسط الكسر، بهو مقام الكسر. حيث، بلا ينبغي أن يكون الصفر.
في هذا الدرس، سنسمي الكسور والأعداد الكسرية بشكل متزايد بعبارة واحدة شائعة - أرقام نسبية.
التنقل في الدرس:مثال 1.ابحث عن معنى العبارة:
دعونا نستنتج كل منهما رقم منطقيبين قوسين مع علاماتهم. نأخذ في الاعتبار أن علامة الجمع الواردة في التعبير هي علامة عملية ولا تنطبق على الكسر. يحتوي هذا الكسر على علامة الجمع الخاصة به، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها من أجل الوضوح:
هذا هو جمع الأعداد العقلانية ذات الإشارات المختلفة. لجمع أرقام منطقية ذات علامات مختلفة، تحتاج إلى طرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة، ضع علامة الرقم المنطقي الذي تكون وحدته أكبر. ومن أجل فهم أي المعامل أكبر وأيهما أصغر، يجب أن تكون قادرًا على مقارنة معاملات هذه الكسور قبل حسابها:
معامل العدد النسبي أكبر من معامل العدد النسبي. ولذلك استبعدنا من. لقد تلقينا إجابة. وبعد ذلك، بتقليل هذا الكسر بمقدار 2، حصلنا على الإجابة النهائية.
يمكن تخطي بعض الإجراءات البدائية، مثل وضع الأرقام بين قوسين وإضافة وحدات. يمكن كتابة هذا المثال باختصار:
مثال 2.ابحث عن معنى العبارة:
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته. ونأخذ في الاعتبار أن علامة الطرح بين الأعداد النسبية هي علامة على العملية ولا تنطبق على الكسر. يحتوي هذا الكسر على علامة الجمع الخاصة به، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها من أجل الوضوح:
دعونا نستبدل الطرح بالجمع. دعنا نذكرك أنه للقيام بذلك عليك أن تضيف إلى المطرح الرقم المقابل للمطروح:
لقد حصلنا على إضافة أرقام عقلانية سلبية. لإضافة أرقام منطقية سلبية، تحتاج إلى إضافة وحداتها ووضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة:
ملحوظة.ليس من الضروري وضع كل رقم منطقي بين قوسين. يتم ذلك من أجل الراحة، من أجل معرفة العلامات التي تحملها الأعداد النسبية بوضوح.
مثال 3.ابحث عن معنى العبارة:
في هذا التعبير الكسور قواسم مختلفة. لجعل مهمتنا أسهل، دعونا نختصر هذه الكسور إلى قاسم مشترك. لن نتناول بالتفصيل كيفية القيام بذلك. إذا واجهت صعوبات، تأكد من تكرار الدرس.
بعد اختزال الكسور إلى مقام مشترك، يصبح التعبير بالشكل التالي:
هذا هو جمع الأعداد العقلانية ذات الإشارات المختلفة. نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة العدد النسبي الذي وحدته أكبر:
دعنا نكتب الحل لهذا المثال باختصار:
مثال 4.أوجد قيمة التعبير
لنحسب هذا التعبير على النحو التالي: أضف الأرقام المنطقية، ثم اطرح الرقم المنطقي من النتيجة الناتجة. 
الإجراء الأول:
الإجراء الثاني:
مثال 5. ابحث عن معنى العبارة:
دعونا نمثل العدد الصحيح −1 ككسر، ونحول الرقم المختلط إلى جزء غير لائق:
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته:
لقد حصلنا على جمع الأعداد النسبية بإشارات مختلفة. نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة العدد النسبي الذي وحدته أكبر:
لقد تلقينا إجابة.
هناك حل ثان. يتكون من تجميع الأجزاء الكاملة معًا بشكل منفصل.
لذلك، دعونا نعود إلى التعبير الأصلي:
دعونا نرفق كل رقم بين قوسين. للقيام بذلك، الرقم المختلط مؤقت:
دعونا نحسب الأجزاء الصحيحة:
(−1) + (+2) = 1
في التعبير الرئيسي، بدلًا من (−1) + (+2)، نكتب الوحدة الناتجة:
التعبير الناتج هو . للقيام بذلك، اكتب الوحدة والكسر معًا:
لنكتب الحل بهذه الطريقة وبطريقة مختصرة:
مثال 6.أوجد قيمة التعبير
دعونا نحول العدد المختلط إلى كسر غير حقيقي. دعونا نعيد كتابة الباقي دون تغيير:
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته:
لنستبدل الطرح بالجمع:
دعنا نكتب الحل لهذا المثال باختصار:
مثال 7.أوجد قيمة التعبير
لنمثل العدد الصحيح −5 ككسر، ونحول الرقم المختلط إلى كسر غير حقيقي:
دعونا نجلب هذه الكسور إلى قاسم مشترك. وبعد اختزالهما إلى قاسم مشترك، سوف يتخذان الشكل التالي:
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته:
لنستبدل الطرح بالجمع:
لقد حصلنا على إضافة أرقام عقلانية سلبية. دعونا نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة:
وبالتالي فإن قيمة التعبير هي .
دعونا نحل هذا المثال بالطريقة الثانية. دعنا نعود إلى التعبير الأصلي:
لنكتب العدد الكسري في الصورة الموسعة. دعنا نعيد كتابة الباقي دون تغييرات:
ونضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته:
دعونا نحسب الأجزاء الصحيحة:
في التعبير الرئيسي، بدلاً من كتابة الرقم الناتج −7
التعبير هو شكل موسع لكتابة رقم مختلط. نكتب الرقم −7 والكسر معًا لتكوين الإجابة النهائية:
لنكتب هذا الحل باختصار:
مثال 8.أوجد قيمة التعبير
ونضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته:
لنستبدل الطرح بالجمع:
لقد حصلنا على إضافة أرقام عقلانية سلبية. دعونا نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة:
وبالتالي فإن قيمة التعبير هي
يمكن حل هذا المثال بالطريقة الثانية. يتكون من إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل. دعنا نعود إلى التعبير الأصلي:
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته:
لنستبدل الطرح بالجمع:
لقد حصلنا على إضافة أرقام عقلانية سلبية. دعونا نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة. لكن هذه المرة سوف نقوم بإضافة الأجزاء الكاملة (−1 و −2)، الكسرية و
لنكتب هذا الحل باختصار:
مثال 9.البحث عن التعبيرات التعبيرية 
دعونا نحول الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية:
لنضع عددًا نسبيًا بين قوسين مع علامته. ليست هناك حاجة لوضع رقم نسبي بين قوسين، لأنه موجود بالفعل بين قوسين:
لقد حصلنا على إضافة أرقام عقلانية سلبية. دعونا نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة:
وبالتالي فإن قيمة التعبير هي
الآن دعونا نحاول حل نفس المثال بالطريقة الثانية، أي عن طريق إضافة الأجزاء الصحيحة والكسرية بشكل منفصل.
هذه المرة، من أجل الحصول على حل مختصر، دعونا نحاول تخطي بعض الخطوات، مثل كتابة عدد كسري في الصورة الموسعة واستبدال الطرح بالجمع:
يرجى ملاحظة أنه تم تخفيض الأجزاء الكسرية إلى قاسم مشترك.
مثال 10.أوجد قيمة التعبير 
لنستبدل الطرح بالجمع:
لا يحتوي التعبير الناتج على أرقام سالبة، وهي السبب الرئيسي للأخطاء. وبما أنه لا توجد أرقام سالبة، فيمكننا إزالة علامة الزائد الموجودة أمام المطروح وإزالة الأقواس أيضًا:
والنتيجة هي تعبير بسيط يسهل حسابه. دعونا نحسبها بأي طريقة مناسبة لنا:
مثال 11.أوجد قيمة التعبير
هذا هو جمع الأعداد العقلانية ذات الإشارات المختلفة. دعونا نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة العدد النسبي الذي وحدته أكبر:
مثال 12.أوجد قيمة التعبير 
يتكون التعبير من عدة أرقام عقلانية. وفقًا لذلك، عليك أولاً تنفيذ الخطوات الموجودة بين قوسين.
أولاً، نحسب التعبير، ثم نضيف النتائج التي تم الحصول عليها.
الإجراء الأول:
الإجراء الثاني:
الإجراء الثالث:
إجابة:قيمة التعبير يساوي
مثال 13.أوجد قيمة التعبير 
دعونا نحول الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية:
لنضع العدد النسبي بين قوسين مع إشارته. ليست هناك حاجة لوضع الرقم النسبي بين قوسين، لأنه موجود بالفعل بين قوسين:
دعونا نجلب هذه الكسور إلى قاسم مشترك. وبعد اختزالهما إلى قاسم مشترك، سوف يتخذان الشكل التالي:
لنستبدل الطرح بالجمع:
لقد حصلنا على جمع الأعداد النسبية بإشارات مختلفة. دعونا نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة نضع إشارة العدد النسبي الذي وحدته أكبر:
وهكذا يكون معنى التعبير يساوي
دعونا نلقي نظرة على جمع وطرح الكسور العشرية، وهي أيضًا أرقام نسبية ويمكن أن تكون موجبة أو سالبة.
مثال 14.أوجد قيمة التعبير −3.2 + 4.3
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته. نحن نأخذ في الاعتبار أن علامة الجمع الواردة في التعبير هي علامة عملية ولا تنطبق على الكسر العشري 4.3. يحتوي هذا الكسر العشري على علامة الجمع الخاصة به، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها من أجل الوضوح:
(−3,2) + (+4,3)
هذا هو جمع الأعداد العقلانية ذات الإشارات المختلفة. لجمع أرقام منطقية ذات علامات مختلفة، تحتاج إلى طرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة الناتجة، ضع الرقم المنطقي الذي تكون وحدته أكبر. ومن أجل فهم أي وحدة أكبر وأيها أصغر، يجب أن تكون قادرًا على مقارنة وحدات هذه الكسور العشرية قبل حسابها:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
معامل الرقم 4.3 أكبر من معامل الرقم −3.2، لذلك طرحنا 3.2 من 4.3. لقد تلقينا الجواب 1.1. الجواب إيجابي، إذ يجب أن تسبقه إشارة العدد النسبي الذي معامله أكبر. ومعامل العدد 4.3 أكبر من معامل العدد −3.2
وبالتالي، فإن قيمة التعبير −3.2 + (+4.3) هي 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
مثال 15.أوجد قيمة التعبير 3.5 + (−8.3)
هذا هو جمع الأعداد العقلانية ذات الإشارات المختلفة. كما في المثال السابق نطرح الأصغر من الوحدة الأكبر وقبل الإجابة نضع إشارة العدد النسبي الذي وحدته أكبر:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
وبالتالي، فإن قيمة التعبير 3.5 + (−8.3) هي −4.8
يمكن كتابة هذا المثال باختصار:
3,5 + (−8,3) = −4,8
مثال 16.أوجد قيمة التعبير −7.2 + (−3.11)
هذه هي إضافة الأعداد العقلانية السالبة. لإضافة أرقام عقلانية سلبية، تحتاج إلى إضافة وحداتها ووضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة.
يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية حتى لا يحدث فوضى في التعبير:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
وبالتالي، فإن قيمة التعبير −7.2 + (−3.11) هي −10.31
يمكن كتابة هذا المثال باختصار:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
مثال 17.أوجد قيمة التعبير −0.48 + (−2.7)
هذه هي إضافة الأعداد العقلانية السالبة. دعونا نضيف وحداتهم ونضع علامة ناقص أمام الإجابة الناتجة. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية حتى لا يحدث فوضى في التعبير:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
مثال 18.أوجد قيمة التعبير −4.9 - 5.9
لنضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته. نحن نأخذ في الاعتبار أن الطرح الذي يقع بين الأرقام المنطقية −4.9 و5.9، هو علامة عملية ولا ينتمي إلى الرقم 5.9. هذا الرقم العقلاني له علامة زائد خاصة به، وهي غير مرئية لأنه لم يتم تدوينها. لكننا سنكتبها من أجل الوضوح:
(−4,9) − (+5,9)
لنستبدل الطرح بالجمع:
(−4,9) + (−5,9)
لقد حصلنا على إضافة أرقام عقلانية سلبية. دعونا نضيف وحداتهم ونضع علامة الطرح أمام الإجابة الناتجة:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
وبالتالي، فإن قيمة التعبير −4.9 - 5.9 هي −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
مثال 19.أوجد قيمة التعبير 7 − 9.3
لنضع كل رقم بين قوسين مع علاماته.
(+7) − (+9,3)
دعونا نستبدل الطرح بالجمع
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
وبالتالي، فإن قيمة التعبير 7 − 9.3 هي −2.3
دعنا نكتب الحل لهذا المثال باختصار:
7 − 9,3 = −2,3
مثال 20.أوجد قيمة التعبير −0.25 − (−1.2)
لنستبدل الطرح بالجمع:
−0,25 + (+1,2)
لقد حصلنا على جمع الأعداد النسبية بإشارات مختلفة. فلنطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، وقبل الإجابة نضع إشارة الرقم الذي وحدته أكبر:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
دعنا نكتب الحل لهذا المثال باختصار:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
مثال 21.أوجد قيمة التعبير −3.5 + (4.1 − 7.1)
لننفذ الإجراءات بين قوسين، ثم نضيف الإجابة الناتجة بالرقم −3.5
الإجراء الأول:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
الإجراء الثاني:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
إجابة:قيمة التعبير −3.5 + (4.1 − 7.1) هي −6.5.
مثال 22.أوجد قيمة التعبير (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)
لنقم بالخطوات الموجودة بين قوسين. ثم من الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة تنفيذ القوسين الأولين، اطرح الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة تنفيذ القوسين الثاني:
الإجراء الأول:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
الإجراء الثاني:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
الفعل الثالث
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
إجابة:قيمة التعبير (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) هي 6.
مثال 23.أوجد قيمة التعبير −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
دعونا نضع كل رقم نسبي بين قوسين مع علاماته
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
يتكون التعبير من عدة مصطلحات. وفقًا لقانون الجمع التوافقي، إذا كان التعبير يتكون من عدة حدود، فلن يعتمد المجموع على ترتيب الأفعال. وهذا يعني أنه يمكن إضافة الشروط بأي ترتيب.
دعونا لا نعيد اختراع العجلة، بل نضيف كل المصطلحات من اليسار إلى اليمين بالترتيب الذي تظهر به:
الإجراء الأول:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
الإجراء الثاني:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
الإجراء الثالث:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
إجابة:قيمة التعبير −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 هي 1.
مثال 24.أوجد قيمة التعبير
دعونا نترجم عدد عشري−1.8 في عدد مختلط. دعونا نعيد كتابة الباقي دون تغيير:
