تقليل الكسور آلة حاسبة على الانترنت. قواعد للحد من الكسور مع الأمثلة

يرتكب العديد من الطلاب نفس الأخطاء عند التعامل مع الكسور. وكل ذلك لأنهم نسوا القواعد الأساسية علم الحساب. سنكرر اليوم هذه القواعد في مهام محددة أقوم بإعطاءها في فصولي.

إليكم المهمة التي أقدمها لكل من يستعد لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات:

مهمة. يأكل خنزير البحر 150 جرامًا من الطعام يوميًا. لكنها كبرت وبدأت تأكل 20٪ أكثر. كم جرامًا من العلف يأكل الخنزير الآن؟

لا الحل الصحيح. هذه مشكلة النسبة المئوية التي تتلخص في المعادلة:

كثير (كثير جدًا) يقلل الرقم 100 في بسط ومقام الكسر:

هذا هو الخطأ الذي ارتكبه طالبي يوم كتابة هذا المقال. يتم تمييز الأرقام التي تم اقتطاعها باللون الأحمر.

وغني عن القول أن الإجابة كانت خاطئة. احكم بنفسك: أكل الخنزير 150 جرامًا وبدأ يأكل 3150 جرامًا. الزيادة ليست 20% بل 21 مرة أي. بنسبة 2000%.

لتجنب سوء الفهم هذا، تذكر القاعدة الأساسية:

يمكن تقليل المضاعفات فقط. لا يمكن تخفيض الشروط!

وبالتالي فإن الحل الصحيح للمشكلة السابقة يبدو كما يلي:

يتم تمييز الأرقام المختصرة في البسط والمقام باللون الأحمر. كما ترون، البسط هو منتج، والمقام هو رقم عادي. ولذلك فإن التخفيض قانوني تماما.

العمل مع النسب

منطقة مشكلة أخرى هي النسب. خاصة عندما يكون المتغير على كلا الجانبين. على سبيل المثال:

مهمة. حل المعادلة:

الحل الخاطئ - بعض الناس يتحرقون حرفيًا لتقصير كل شيء بمقدار م:

وتظهر المتغيرات المخفضة باللون الأحمر. تبين أن التعبير 1/4 = 1/5 محض هراء، فهذه الأرقام ليست متساوية أبدًا.

والآن - القرار الصحيح. في الأساس إنه عادي معادلة خط مستقيم . ويمكن حلها إما عن طريق تحريك جميع العناصر إلى جانب واحد، أو عن طريق الخاصية الأساسية للتناسب:

سيعترض كثير من القراء: “أين الخطأ في الحل الأول؟” حسنا، دعونا معرفة ذلك. دعونا نتذكر قاعدة العمل مع المعادلات:

يمكن قسمة أي معادلة وضربها بأي رقم غير صفرية.

هل فاتتك الخدعة؟ يمكنك القسمة على الأرقام فقط غير صفرية. وعلى وجه الخصوص، لا يمكنك القسمة على المتغير m إلا إذا كانت m != 0. ولكن ماذا لو كانت m = 0 في نهاية المطاف؟ دعنا نستبدل ونتحقق:

لقد حصلنا على المساواة العددية الصحيحة، أي. م = 0 هو جذر المعادلة. بالنسبة للباقي m!=0 نحصل على تعبير بالشكل 1/4 = 1/5، وهو غير صحيح بطبيعة الحال. وبالتالي، لا توجد جذور غير الصفر.

الاستنتاجات: تجميع كل شيء معًا

لذا، لحل المعادلات الكسرية، تذكر ثلاث قواعد:

1. يمكن تقليل المضاعفات فقط. الإضافات غير ممكنة. لذلك، تعلم كيفية تحليل البسط والمقام؛
2. الخاصية الرئيسية للتناسب: منتج العناصر المتطرفة يساوي منتج العناصر الوسطى؛
3. لا يمكن ضرب المعادلات وتقسيمها إلا على أرقام k غير الصفر. يجب التحقق من الحالة k = 0 بشكل منفصل.

تذكر هذه القواعد ولا ترتكب الأخطاء.

تؤدي الآلة الحاسبة عبر الإنترنت تخفيض الكسور الجبريةعملاً بقاعدة تصغير الكسور: استبدال الكسر الأصلي بكسر مساو له، ولكن ببسط ومقام أصغر، أي: قسمة بسط ومقام الكسر في نفس الوقت على العامل المشترك الأكبر (GCD). تعرض الآلة الحاسبة أيضًا حلاً تفصيليًا يساعدك على فهم تسلسل التخفيض.

منح:

حل:

إجراء تخفيض الكسر

التحقق من إمكانية إجراء تخفيض الكسور الجبرية

1) تحديد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لبسط ومقام الكسر

تحديد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لبسط ومقام الكسر الجبري

2) تقليل بسط ومقام الكسر

تقليل بسط ومقام الكسر الجبري

3) اختيار الجزء الكامل من الكسر

فصل الجزء الكامل من الكسر الجبري

4) تحويل الكسر الجبري إلى كسر عشري

تحويل جزء جبري إلى عدد عشري

المساعدة في تطوير موقع المشروع

عزيزي زائر الموقع.
إذا لم تتمكن من العثور على ما كنت تبحث عنه، فتأكد من الكتابة عنه في التعليقات، ما هو مفقود حاليًا في الموقع. سيساعدنا هذا على فهم الاتجاه الذي نحتاج إلى المضي قدمًا فيه، وسيتمكن الزوار الآخرون قريبًا من الحصول على المواد اللازمة.
إذا تبين أن الموقع مفيد لك، قم بالتبرع بالموقع للمشروع فقط 2₽وسنعرف أننا نسير في الاتجاه الصحيح.

شكرا لزيارتكم!

I. إجراء تبسيط الكسر الجبري باستخدام الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت:

1. لتصغير كسر جبري، أدخل قيم بسط ومقام الكسر في الحقول المناسبة. إذا كان الكسر مختلطًا، فقم أيضًا بملء الحقل المقابل للجزء بأكمله من الكسر. إذا كان الكسر بسيطًا، فاترك حقل الجزء بالكامل فارغًا.
2. لتعيين جزء سلبي، ضع علامة الطرح على كامل جزء الكسر.
3. اعتمادًا على الكسر الجبري المحدد، يتم تنفيذ التسلسل التالي من الإجراءات تلقائيًا:

• تحديد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لبسط ومقام الكسر;
• تقليل بسط ومقام الكسر بواسطة gcd;
• تسليط الضوء على الجزء كله من الكسرإذا كان بسط الكسر الأخير أكبر من مقامه.
• تحويل الكسر الجبري النهائي إلى كسر عشريمقربًا لأقرب جزء من مائة.

قد يؤدي التخفيض إلى جزء غير لائق. في هذه الحالة، سيتم تمييز الجزء بأكمله من الكسر غير الحقيقي النهائي وسيتم تحويل الكسر النهائي إلى كسر مناسب.

ثانيا. كمرجع:

الكسر هو رقم يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. يُكتب الكسر العادي (الكسر البسيط) على شكل رقمين (بسط الكسر ومقامه) يفصل بينهما شريط أفقي (شريط الكسر) يشير إلى علامة القسمة. بسط الكسر هو الرقم الموجود أعلى خط الكسر. يوضح البسط عدد الأسهم المأخوذة من الكل. مقام الكسر هو الرقم الموجود أسفل خط الكسر. المقام يوضح كم حصص متساويةالكل منقسم. الكسر البسيط هو الكسر الذي لا يحتوي على جزء كامل. يمكن أن يكون الكسر البسيط صحيحًا أو غير مناسب. الكسر الصحيح - الكسر الذي بسطه هو أقل من القاسم، لذا فإن الكسر الصحيح يكون دائمًا أقل من واحد. مثال على الكسور الصحيحة: 8/7، 11/19، 16/17. الكسر غير الحقيقي هو الكسر الذي يكون بسطه أكبر من أو يساوي المقام، وبالتالي فإن الكسر غير الحقيقي يكون دائمًا أكبر من أو يساوي واحدًا. مثال على الكسور غير الحقيقية: 7/6، 8/7، 13/13. الكسر المختلط هو رقم يحتوي على عدد صحيح وكسر مناسب، ويشير إلى مجموع هذا العدد الصحيح والكسر المناسب. يمكن تحويل أي كسر مختلط إلى كسر غير حقيقي. مثال على الكسور المختلطة: 1¼، 2½، 4¾.

ثالثا. ملحوظة:

1. تم تمييز كتلة بيانات المصدر أصفر , كتلة الحساب المتوسطة المخصصة أزرق , يتم تمييز كتلة الحل باللون الأخضر.
2. لجمع وطرح وضرب وقسمة الكسور المشتركة أو المختلطة، استخدم حاسبة الكسور عبر الإنترنت مع الحلول التفصيلية.

في هذه المقالة سننظر بالتفصيل في كيفية ذلك تقليل الكسور. أولاً، دعونا نناقش ما يسمى بتقليل الكسر. بعد ذلك، دعونا نتحدث عن اختزال الكسر القابل للاختزال إلى صورة غير قابلة للاختزال. بعد ذلك، سنحصل على قاعدة تبسيط الكسور، وأخيرًا، سننظر في أمثلة لتطبيق هذه القاعدة.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني تقليل الكسر؟

نحن نعلم أن الكسور العادية تنقسم إلى كسور قابلة للاختزال وغير قابلة للاختزال. يمكنك التخمين من الأسماء أنه يمكن تبسيط الكسور القابلة للاختزال، لكن لا يمكن تبسيط الكسور غير القابلة للاختزال.

ماذا يعني تقليل الكسر؟ تقليل الكسر- وهذا يعني قسمة بسطه ومقامه على موجبهما والمختلف عن الوحدة. من الواضح أنه نتيجة لتقليل الكسر، يتم الحصول على كسر جديد ببسط ومقام أصغر، وبسبب الخاصية الأساسية للكسر، فإن الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.

على سبيل المثال، لنقم بتبسيط الكسر المشترك 8/24 عن طريق قسمة بسطه ومقامه على 2. بمعنى آخر، دعونا نختصر الكسر 8/24 بمقدار 2. بما أن 8:2=4 و24:2=12، فإن هذا التخفيض ينتج عنه الكسر 4/12، وهو ما يعادل الكسر الأصلي 8/24 (انظر الكسور المتساوية وغير المتساوية). ونتيجة لذلك، لدينا.

اختزال الكسور العادية إلى شكل غير قابل للاختزال

عادةً ما يكون الهدف النهائي من تقليل الكسر هو الحصول على كسر غير قابل للاختزال يساوي الكسر الأصلي القابل للاختزال. يمكن تحقيق هذا الهدف عن طريق تقليل الكسر الأصلي القابل للاختزال بواسطة بسطه ومقامه. ونتيجة لهذا التخفيض، يتم الحصول دائما على جزء غير قابل للاختزال. في الواقع، جزء صغير غير قابل للاختزال، لأنه معلوم ذلك و - . سنقول هنا أن القاسم المشترك الأكبر لبسط الكسر ومقامه هو أكبر عدد، والتي يمكن من خلالها تقليل هذا الكسر.

لذا، اختزال الكسر العادي إلى شكل غير قابل للاختزاليتكون من قسمة البسط والمقام للكسر الأصلي القابل للاختزال على gcd.

لننظر إلى مثال نعود فيه إلى الكسر 8/24 ونطرحه بالمقسوم المشترك الأكبر للرقمين 8 و 24، وهو ما يساوي 8. بما أن 8:8=1 و24:8=3، نصل إلى الكسر غير القابل للاختزال 1/3. لذا، .

لاحظ أن عبارة "اختزال الكسر" غالبًا ما تعني تقليل الكسر الأصلي إلى شكله غير القابل للاختزال. بمعنى آخر، يشير تبسيط الكسر في كثير من الأحيان إلى قسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر لهما (وليس على أي عامل مشترك).

كيفية تقليل الكسر؟ قواعد وأمثلة للحد من الكسور

كل ما تبقى هو إلقاء نظرة على قاعدة تقليل الكسور، والتي تشرح كيفية تقليل جزء معين.

قاعدة لتقليل الكسوريتكون من خطوتين:

• أولاً، تم العثور على gcd لبسط ومقام الكسر؛
• ثانيًا، يتم تقسيم بسط ومقام الكسر على gcd، مما يعطي كسرًا غير قابل للاختزال يساوي الكسر الأصلي.

دعونا فرزها مثال على تقليل الكسروفقا للقاعدة المذكورة.

مثال.

تقليل الكسر 182/195.

حل.

لننفذ كلتا الخطوتين المنصوص عليهما في قاعدة تصغير الكسر.

أولا نجد GCD(182, 195) . من الأكثر ملاءمة استخدام خوارزمية إقليدس (انظر): 195=182·1+13، 182=13·14، أي GCD(182, 195)=13.

الآن نقسم بسط ومقام الكسر 182/195 على 13، ونحصل على الكسر غير القابل للاختزال 14/15، وهو ما يساوي الكسر الأصلي. هذا يكمل الحد من الكسر.

باختصار يمكن كتابة الحل كالتالي: .

إجابة:

هذا هو المكان الذي يمكننا فيه الانتهاء من تبسيط الكسور. لكن لإكمال الصورة، دعونا نلقي نظرة على طريقتين أخريين لتصغير الكسور، والتي تستخدم عادة في الحالات السهلة.

في بعض الأحيان لا يكون بسط ومقام الكسر الذي يتم تخفيضه أمرًا صعبًا. يعد تقليل الكسر في هذه الحالة أمرًا بسيطًا للغاية: ما عليك سوى إزالة جميع العوامل المشتركة من البسط والمقام.

ومن الجدير بالذكر أن هذه الطريقة تتبع مباشرة قاعدة اختزال الكسور، حيث أن حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة للبسط والمقام يساوي القاسم المشترك الأكبر لهما.

دعونا نلقي نظرة على الحل على المثال.

مثال.

اختزال الكسر 360/2940.

حل.

دعونا نحلل البسط والمقام إلى عوامل بسيطة: 360=2·2·2·3·3·5 و2,940=2·2·3·5·7·7. هكذا، .

الآن نتخلص من العوامل المشتركة في البسط والمقام، وللتيسير، نقوم ببساطة بشطبها: .

وأخيرًا، نضرب العوامل المتبقية: ، ويكتمل اختزال الكسر.

فيما يلي ملخص قصير للحل: .

إجابة:

دعونا نفكر في طريقة أخرى لتقليل الكسر، والتي تتكون من التخفيض المتسلسل. هنا، في كل خطوة، يتم اختزال الكسر بواسطة قاسم مشترك ما بين البسط والمقام، والذي يكون إما واضحًا أو يمكن تحديده بسهولة باستخدام

للوهلة الأولى، تبدو الكسور الجبرية معقدة للغاية، وقد يعتقد الطالب غير المستعد أنه لا يمكن فعل أي شيء بها. تراكم المتغيرات والأرقام وحتى الدرجات يثير الخوف. ومع ذلك، يتم استخدام نفس القواعد لتقليل الكسور الشائعة (مثل 15/25) والكسور الجبرية.

خطوات

تقليل الكسور

تحقق من الأنشطة مع كسور بسيطة. العمليات على الكسور العادية والجبرية متشابهة. على سبيل المثال، لنأخذ الكسر 15/35. لتبسيط هذا الكسر، يجب عليك العثور على القاسم المشترك. كلا الرقمين يقبل القسمة على خمسة، لذا يمكننا عزل 5 في البسط والمقام:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

الآن انت تستطيع تقليل العوامل المشتركة، أي شطب 5 من البسط والمقام. ونتيجة لذلك، نحصل على الكسر المبسط 3/7 . في تعبيرات جبريةيتم تخصيص العوامل المشتركة بنفس الطريقة كما هو الحال في العوامل العادية. في المثال السابق تمكنا من عزل 5 من 15 بسهولة - وينطبق نفس المبدأ على التعبيرات الأكثر تعقيدًا مثل 15x - 5. فلنجد العامل المشترك. في في هذه الحالةسيكون هذا 5، نظرًا لأن كلا الحدين (15س و -5) قابلان للقسمة على 5. كما في السابق، اعزل العامل المشترك وحركه غادر.

15س – 5 = 5 * (3س – 1)

للتحقق مما إذا كان كل شيء صحيحًا، ما عليك سوى ضرب التعبير الموجود بين قوسين في 5 - وستكون النتيجة نفس الأرقام التي ظهرت في البداية. يمكن عزل الأعضاء المعقدة بنفس طريقة عزل الأعضاء البسيطة. تنطبق نفس المبادئ على الكسور الجبرية كما تنطبق على الكسور العادية. هذه هي أسهل طريقة لتقليل الكسر. خذ بعين الاعتبار الكسر التالي:

(س+2)(س-3)(س+2)(س+10)

لاحظ أن كلا من البسط (الأعلى) والمقام (الأسفل) يحتويان على الحد (x+2)، لذلك يمكن اختزاله بنفس طريقة اختزال العامل المشترك 5 في الكسر 15/35:

(س+2) (س-3) → (س-3)(س+2) (س+10) → (س+10)

ونتيجة لذلك، نحصل على تعبير مبسط: (x-3)/(x+10)

تقليل الكسور الجبرية

أوجد العامل المشترك في البسط، أي في أعلى الكسر. عند تبسيط كسر جبري، الخطوة الأولى هي تبسيط كلا الطرفين. ابدأ بالبسط وحاول تقسيمه إلى أكبر عدد ممكن عدد أكبرمضاعفات. تأمل في هذا القسم الكسر التالي:

9x-3 15x+6

لنبدأ بالبسط: 9x – 3. بالنسبة إلى 9x و-3، العامل المشترك هو الرقم 3. لنأخذ 3 من الأقواس، كما هو الحال مع الأرقام العادية: 3 * (3x-1). نتيجة هذا التحويل هي الكسر التالي:

3(3x-1) 15x+6

أوجد العامل المشترك في البسط. لنواصل المثال أعلاه ونكتب المقام: 15س+6. كما كان من قبل، دعونا نجد العدد الذي يمكن القسمة عليه. وفي هذه الحالة العامل المشترك هو 3، فيمكن أن نكتب: 3 * (5x +2). لنعد كتابة الكسر بالشكل التالي:

3(3x-1) 3(5س+2)

اختصر نفس المصطلحات. في هذه الخطوة يمكنك تبسيط الكسر. قم بإلغاء نفس الحدود في البسط والمقام. في مثالنا، هذا الرقم هو 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5س+2) → (5س+2)

حدد أن الكسر له أبسط صورة. يتم تبسيط الكسر تمامًا عندما لا يكون هناك عوامل مشتركة متبقية في البسط والمقام. برجاء ملاحظة أنه لا يمكنك إلغاء تلك الحدود الموجودة داخل الأقواس - في المثال الموضح لا توجد طريقة لعزل x عن 3x و5x، نظرًا لأن أعضاء كاملينهي (3س -1) و (5س + 2). وبالتالي، لا يمكن تبسيط الكسر أكثر، والإجابة النهائية هي كما يلي:

(3x-1)(5x+2)

تدرب على تقليل الكسور بنفسك. أفضل طريقةإن إتقان الطريقة يعني حل المشكلات بشكل مستقل. الإجابات الصحيحة موضحة أدناه الأمثلة.

4(س+2)(س-13)(4x+8)

إجابة:(س = 13)

2x 2 -س 5x

إجابة:(2x-1)/5

التحركات الخاصة

أخرجه إشارة سلبيةوراء الكسر. لنفترض أنك حصلت على الكسر التالي:

3(س-4) 5(4-س)

لاحظ أن (x-4) و(4-x) متطابقان "تقريبًا" لكن لا يمكن اختزالهما فورًا لأنهما "مقلوبان". ومع ذلك، (x - 4) يمكن كتابتها بالشكل -1 * (4 - x)، تمامًا كما يمكن كتابة (4 + 2x) بالشكل 2 * (2 + x). وهذا ما يسمى "انعكاس الإشارة".

-1*3(4-x) 5(4-س)

يمكنك الآن تقليل الحدود المتطابقة (4-x):

-1*3 (4-x) 5 (4-x)

وبذلك نحصل على الجواب النهائي: -3/5 . تعلم كيفية التعرف على الفرق بين المربعات. فرق المربعات هو عندما يطرح مربع رقم واحد من مربع رقم آخر، كما في التعبير (أ 2 - ب 2). يمكن دائمًا تقسيم الفرق بين المربعات الكاملة إلى جزأين - مجموع وفرق المربعات المقابلة الجذور التربيعية. ثم يأخذ التعبير الشكل التالي:

أ 2 - ب 2 = (أ+ب)(أ-ب)

هذه التقنية مفيدة جدًا عند العثور على مصطلحات مشتركة في الكسور الجبرية.

• تحقق مما إذا كنت قد قمت بتحليل هذا التعبير أو ذاك بشكل صحيح. للقيام بذلك، اضرب العوامل - يجب أن تكون النتيجة نفس التعبير.
• لتبسيط الكسر تمامًا، عليك دائمًا عزل العوامل الأكبر.

تواصل هذه المقالة موضوع تحويل الكسور الجبرية: فكر في هذا الإجراء مثل تقليل الكسور الجبرية. دعونا نحدد المصطلح نفسه، وصياغة قاعدة التخفيض وتحليل الأمثلة العملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

معنى تخفيض الكسر الجبري

في المواد المتعلقة بالكسور المشتركة، نظرنا إلى اختزالها. لقد عرفنا تبسيط الكسر بأنه قسمة بسطه ومقامه على عامل مشترك.

إن تقليل الكسر الجبري هو عملية مماثلة.

التعريف 1

تقليل الكسر الجبريهو قسمة البسط والمقام على عامل مشترك. في هذه الحالة، على عكس اختزال الكسر العادي (المقام المشترك يمكن أن يكون رقمًا فقط)، يمكن أن يكون العامل المشترك لبسط ومقام الكسر الجبري متعدد الحدود، على وجه الخصوص، أحادي الحد أو رقمًا.

على سبيل المثال، جزء جبري 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 يمكن تبسيطها بالرقم 3، مما يؤدي إلى: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . يمكننا تبسيط الكسر نفسه بالمتغير x، وهذا سيعطينا التعبير 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. ومن الممكن أيضًا اختزال جزء معين بواسطة أحادي الحد 3 ×أو أي من كثيرات الحدود س + 2 ص, 3 س + 6 ص , س 2 + 2 س ص أو 3 × 2 + 6 × ص.

الهدف النهائي المتمثل في تقليل الكسر الجبري هو كسر أكبر من نوع بسيط، الخامس أفضل سيناريو- جزء غير قابل للاختزال.

هل جميع الكسور الجبرية قابلة للتخفيض؟

مرة أخرى، من المواد المتعلقة بالكسور العادية، نعلم أن هناك كسورًا قابلة للاختزال وغير قابلة للاختزال. الكسور غير القابلة للاختزال هي الكسور التي ليس لها عوامل بسط ومقام مشتركة غير 1.

الأمر نفسه ينطبق على الكسور الجبرية: فقد يكون لها عوامل مشتركة في البسط والمقام، وقد لا تكون كذلك. يتيح لك وجود العوامل المشتركة تبسيط الكسر الأصلي من خلال الاختزال. عندما لا تكون هناك عوامل مشتركة، فمن المستحيل تحسين جزء معين باستخدام طريقة الاختزال.

وفي الحالات العامة حسب نوع معينمن الصعب جدًا على جزء ما أن يفهم ما إذا كان من الممكن تقليله. وبطبيعة الحال، في بعض الحالات يكون وجود عامل مشترك بين البسط والمقام واضحا. على سبيل المثال، في الكسر الجبري 3 × 2 3 ص من الواضح تمامًا أن العامل المشترك هو الرقم 3.

في الكسر - x · y 5 · x · y · z 3، نفهم أيضًا على الفور أنه يمكن اختزاله بواسطة x أو y أو x · y. ومع ذلك، في كثير من الأحيان هناك أمثلة على الكسور الجبرية، عندما لا يكون من السهل رؤية العامل المشترك للبسط والمقام، بل وفي كثير من الأحيان يكون غائبًا ببساطة.

على سبيل المثال، يمكننا تقليل الكسر x 3 - 1 x 2 - 1 بمقدار x - 1، بينما العامل المشترك المحدد غير موجود في الإدخال. لكن الكسر x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 لا يمكن تبسيطه، حيث لا يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام.

وبالتالي، فإن مسألة تحديد قابلية اختزال جزء جبري ليست بهذه البساطة، وغالبًا ما يكون العمل مع جزء من شكل معين أسهل من محاولة معرفة ما إذا كان قابلاً للاختزال. في هذه الحالة، تحدث مثل هذه التحولات التي تتيح في حالات معينة تحديد العامل المشترك للبسط والمقام أو استخلاص نتيجة حول عدم إمكانية اختزال الكسر. وسوف نتناول هذه المسألة بالتفصيل في الفقرة التالية من المقال.

قاعدة لتقليل الكسور الجبرية

قاعدة لتقليل الكسور الجبريةيتكون من إجراءين متسلسلين:

• إيجاد العوامل المشتركة للبسط والمقام؛
• إذا تم العثور على أي منها، يتم تنفيذ عملية تقليل الكسر مباشرة.

الطريقة الأكثر ملاءمة للعثور على القواسم المشتركة هي تحليل كثيرات الحدود الموجودة في البسط والمقام لكسر جبري معين. يتيح لك ذلك أن ترى بوضوح وجود أو عدم وجود عوامل مشتركة على الفور.

يعتمد إجراء تقليل الكسر الجبري على الخاصية الرئيسية للكسر الجبري، والتي يتم التعبير عنها بالمساواة غير المحددة، حيث تكون a وb وc بعض كثيرات الحدود، وb وc غير صفرية. الخطوة الأولى هي اختزال الكسر إلى الصورة a · c b · c، حيث نلاحظ على الفور العامل المشترك c. الخطوة الثانية هي إجراء التخفيض، أي. الانتقال إلى جزء من النموذج أ ب .

أمثلة نموذجية

على الرغم من بعض الوضوح، دعونا نوضح حالة خاصةعندما يكون بسط ومقام الكسر الجبري متساويين. الكسور المماثلة تساوي 1 على كامل ODZ لمتغيرات هذا الكسر:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; س س = 1 ; - 3، 2 × 3 - 3، 2 × 3 = 1؛ 1 2 · س - س 2 · ص 1 2 · س - س 2 · ص ;

بسبب ال الكسور المشتركةهي حالة خاصة من الكسور الجبرية، دعونا نتذكر كيفية إجراء اختزالها. يتم تحليل الأعداد الطبيعية المكتوبة في البسط والمقام إلى عوامل أولية، ثم يتم إلغاء العوامل المشتركة (إن وجدت).

على سبيل المثال، 241260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

يمكن كتابة حاصل ضرب العوامل المتطابقة البسيطة على هيئة قوى، وفي عملية تبسيط الكسر، استخدم خاصية قسمة القوى ذات الأساس المتماثل. ثم سيكون الحل أعلاه:

241260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(البسط والمقام مقسومين على عامل مشترك 2 2 3). أو للتوضيح وبناء على خواص الضرب والقسمة نعطي الحل بالشكل التالي:

241260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

عن طريق القياس، يتم إجراء تخفيض الكسور الجبرية، حيث يكون للبسط والمقام أحاديات ذات معاملات صحيحة.

مثال 1

يتم إعطاء الكسر الجبري - 27 · أ 5 · ب 2 · ج · ض 6 · أ 2 · ب 2 · ج 7 · ض. يجب تخفيضه.

حل

من الممكن كتابة البسط والمقام لكسر معين في صورة حاصل ضرب عوامل ومتغيرات بسيطة، ومن ثم إجراء عملية الاختزال:

27 · أ 5 · ب 2 · ج · ض 6 · أ 2 · ب 2 · ج 7 · ض = - 3 · 3 · 3 · أ · أ · أ · أ · أ · ب · ب · ج · ض 2 · 3 · أ · أ · ب · ب · ج · ج · ج · ج · ج · ج · ج · ض = = - 3 · 3 · أ · أ · أ 2 · ج · ج · ج · ج · ج · ج = - 9 أ 3 2 ج 6

ومع ذلك، فإن الطريقة الأكثر عقلانية هي كتابة الحل كتعبير مع القوى:

27 · أ 5 · ب 2 · ج · ض 6 · أ 2 · ب 2 · ج 7 · ض = - 3 3 · أ 5 · ب 2 · ج · ض 2 · 3 · أ 2 · ب 2 · ج 7 · ض = - 3 3 2 · 3 · أ 5 أ 2 · ب 2 ب 2 · ج ج 7 · ض ض = = - 3 3 - 1 2 · أ 5 - 2 1 · 1 · 1 ج 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · أ 3 2 · ج 6 = · - 9 · أ 3 2 · ج 6 .

إجابة:- 27 أ 5 ب 2 ج ض 6 أ 2 ب 2 ج 7 ض = - 9 أ 3 2 ج 6

عندما يحتوي بسط ومقام كسر جبري على معاملات عددية كسرية، هناك طريقتان محتملتان لمزيد من العمل: إما تقسيم هذه المعاملات الكسرية بشكل منفصل، أو التخلص أولاً من المعاملات الكسرية عن طريق ضرب البسط والمقام في عدد طبيعي ما. يتم إجراء التحويل الأخير بسبب الخاصية الأساسية للكسر الجبري (يمكنك أن تقرأ عنها في المقالة "تقليل الكسر الجبري إلى مقام جديد").

مثال 2

الكسر المعطى هو 25x0,3x3. يجب تخفيضه.

حل

من الممكن تقليل الكسر بهذه الطريقة:

2 5 × 0، 3 × 3 = 2 5 3 10 × × 3 = 4 3 1 × 2 = 4 3 × 2

دعونا نحاول حل المشكلة بشكل مختلف، بعد أن تخلصنا أولاً من المعاملات الكسرية - اضرب البسط والمقام بالمضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه المعاملات، أي. على المضاعف المشترك الأصغر (5، 10) = 10. ثم نحصل على:

2 5 × 0، 3 × 3 = 10 2 5 × 10 0، 3 × 3 = 4 × 3 × 3 = 4 3 × 2.

الإجابة: 2 5 × 0، 3 × 3 = 4 3 × 2

عندما نقوم بتبسيط الكسور الجبرية منظر عام، حيث يمكن أن تكون البسط والمقامات إما أحادية أو متعددة الحدود، قد تكون هناك مشكلة عندما لا يكون العامل المشترك مرئيًا دائمًا على الفور. أو علاوة على ذلك، فهو ببساطة غير موجود. ومن ثم، لتحديد العامل المشترك أو تسجيل حقيقة غيابه، يتم تحليل بسط ومقام الكسر الجبري.

مثال 3

الكسر العقلاني 2 · أ 2 · ب 2 + 28 · أ · ب 2 + 98 · ب 2 أ 2 · ب 3 - 49 · ب 3 معطى. يجب تخفيضه.

حل

دعونا نحلل كثيرات الحدود في البسط والمقام. لنخرجها من بين قوسين:

2 أ 2 ب 2 + 28 أ ب 2 + 98 ب 2 أ 2 ب 3 - 49 ب 3 = 2 ب 2 (أ 2 + 14 أ + 49) ب 3 (أ 2 - 49)

نرى أنه يمكن تحويل التعبير الموجود بين قوسين باستخدام صيغ الضرب المختصرة:

2 ب 2 (أ 2 + 14 أ + 49) ب 3 (أ 2 - 49) = 2 ب 2 (أ + 7) 2 ب 3 (أ - 7) (أ + 7)

من الواضح أنه من الممكن اختزال الكسر بعامل مشترك ب 2 (أ + 7). دعونا نجعل التخفيض:

2 ب 2 (أ + 7) 2 ب 3 (أ - 7) (أ + 7) = 2 (أ + 7) ب (أ - 7) = 2 أ + 14 أ ب - 7 ب

دعونا نكتب حلاً قصيرًا بدون شرح كسلسلة من المتساويات:

2 أ 2 ب 2 + 28 أ ب 2 + 98 ب 2 أ 2 ب 3 - 49 ب 3 = 2 ب 2 (أ 2 + 14 أ + 49) ب 3 (أ 2 - 49) = = 2 ب 2 (أ + 7) 2 ب 3 (أ - 7) (أ + 7) = 2 (أ + 7) ب (أ - 7) = 2 أ + 14 أ ب - 7 ب

إجابة: 2 أ 2 ب 2 + 28 أ ب 2 + 98 ب 2 أ 2 ب 3 - 49 ب 3 = 2 أ + 14 أ ب - 7 ب.

يحدث أن يتم إخفاء العوامل المشتركة بواسطة المعاملات العددية. بعد ذلك، عند تبسيط الكسور، من الأفضل وضع العوامل العددية ذات القوى الأعلى للبسط والمقام خارج الأقواس.

مثال 4

بمعلومية الكسر الجبري 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . ومن الضروري تقليله إن أمكن.

حل

للوهلة الأولى، البسط والمقام غير موجودين القاسم المشترك. ومع ذلك، دعونا نحاول تحويل الكسر المحدد. لنأخذ العامل x في البسط:

1 5 س - 2 7 x 3 ص 5 x 2 ص - 3 1 2 = س 1 5 - 2 7 x 2 ص 5 x 2 ص - 3 1 2

يمكنك الآن رؤية بعض التشابه بين التعبير الموجود بين قوسين والتعبير الموجود في المقام بسبب x 2 y . دعونا نستخرج المعاملات العددية للقوى العليا لهذه متعددات الحدود:

س 1 5 - 2 7 x 2 ص 5 x 2 ص - 3 1 2 = س - 2 7 - 7 2 1 5 + س 2 ص 5 x 2 ص - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 س - 7 10 + س 2 ص 5 × 2 ص - 7 10

الآن أصبح العامل المشترك مرئيا، نقوم بإجراء التخفيض:

2 7 س - 7 10 + س 2 ص 5 x 2 ص - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 س

إجابة: 1 5 x - 2 7 x 3 ص 5 x 2 ص - 3 1 2 = - 2 35 x .

دعونا نؤكد أن مهارة اختزال الكسور المنطقية تعتمد على القدرة على تحليل كثيرات الحدود.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter