تباين صيغة المتغير العشوائي. التباين والانحراف المعياري

.

على العكس من ذلك، إذا كان غير سلبي أ. وظيفة من هذا القبيل ، فهناك قياس احتمالي مستمر تمامًا وهو كثافته.

استبدال المقياس في تكامل Lebesgue:

,

أين توجد أي دالة بوريل قابلة للتكامل فيما يتعلق بقياس الاحتمالية.

التشتت وأنواعه وخصائص التشتت مفهوم التشتت

التشتت في الإحصاءهو كمتوسط الانحراف المعياريالقيم الفردية للخاصية التربيعية من الوسط الحسابي. اعتمادا على البيانات الأولية، يتم تحديده باستخدام صيغ التباين البسيطة والمرجحة:

1. تباين بسيط(للبيانات غير المجمعة) يتم حسابها باستخدام الصيغة:

2. التباين المرجح (لسلسلة التباين):

حيث n هو التردد (تكرار العامل X)

مثال على إيجاد التباين

تصف هذه الصفحة مثالًا قياسيًا لإيجاد التباين، ويمكنك أيضًا الاطلاع على المشكلات الأخرى للعثور عليه

مثال 1. تحديد المجموعة ومتوسط ​​المجموعة والتباين الكلي والمجموع

مثال 2. إيجاد التباين ومعامل التباين في جدول التجميع

مثال 3. إيجاد التباين في سلسلة منفصلة

مثال 4. البيانات التالية متاحة لمجموعة مكونة من 20 طالبًا بالمراسلة. من الضروري بناء سلسلة فاصلة لتوزيع الخاصية وحساب متوسط ​​قيمة الخاصية ودراسة تشتتها

دعونا نبني تجميع الفاصل الزمني. دعونا نحدد نطاق الفاصل الزمني باستخدام الصيغة:

حيث X max هي القيمة القصوى لخاصية التجميع؛ X دقيقة - الحد الأدنى لقيمة خاصية التجميع؛ ن – عدد الفواصل الزمنية:

نحن نقبل ن = 5. الخطوة هي: ح = (192 - 159)/ 5 = 6.6

لنقم بإنشاء تجميع بفواصل زمنية

لمزيد من الحسابات، سنقوم ببناء جدول مساعد:

X"i – منتصف الفاصل الزمني. (على سبيل المثال، منتصف الفاصل الزمني 159 – 165.6 = 162.3)

نحدد متوسط ​​طول الطلاب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

دعونا نحدد التباين باستخدام الصيغة:

يمكن تحويل الصيغة على النحو التالي:

من هذه الصيغة يتبع ذلك التباين يساوي الفرق بين متوسط ​​مربعات الخيارات والمربع والمتوسط.

التشتت في سلسلة الاختلافمع فترات متساوية باستخدام طريقة اللحظات يمكن حسابها بالطريقة التالية باستخدام خاصية التشتت الثانية (تقسيم جميع الخيارات على قيمة الفاصل الزمني). تحديد التباين، يتم حسابها باستخدام طريقة اللحظات، باستخدام الصيغة التالية أقل شاقة:

حيث i هي قيمة الفاصل الزمني؛ A هو صفر تقليدي، وهو مناسب لاستخدام منتصف الفاصل الزمني بأعلى تردد؛ m1 هو مربع لحظة الترتيب الأول؛ م2 - لحظة الدرجة الثانية

تباين السمات البديلة (إذا كانت هناك تغيرات مميزة في مجتمع إحصائي بحيث لا يوجد سوى خيارين متبادلين فقط، فإن هذا التباين يسمى البديل) يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

بالتعويض q = 1- p في صيغة التشتت هذه، نحصل على:

أنواع التباين

التباين الكلييقيس تباين الخاصية بين جميع السكان ككل تحت تأثير جميع العوامل التي تسبب هذا التباين. وهو يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للخاصية x عن القيمة المتوسطة الإجمالية لـ x ويمكن تعريفه على أنه تباين بسيط أو تباين مرجح.

التباين داخل المجموعة يميز الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الناتج عن تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. مثل هذا التشتت يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للسمة داخل المجموعة X عن الوسط الحسابي للمجموعة ويمكن حسابه على أنه تشتت بسيط أو تشتت مرجح.

هكذا، مقاييس التباين داخل المجموعةتباين السمة داخل المجموعة ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

حيث xi هو متوسط ​​المجموعة؛ ni هو عدد الوحدات في المجموعة.

على سبيل المثال، تظهر التباينات داخل المجموعة التي يجب تحديدها في مهمة دراسة تأثير مؤهلات العمال على مستوى إنتاجية العمل في ورشة العمل اختلافات في الإنتاج في كل مجموعة ناجمة عن جميع العوامل المحتملة (الحالة الفنية للمعدات، وتوافر المعدات). الأدوات والمواد، عمر العمال، كثافة اليد العاملة، وما إلى ذلك.)، باستثناء الاختلافات في فئة المؤهلات (داخل المجموعة، جميع العمال لديهم نفس المؤهلات).

ويعكس متوسط ​​التباينات داخل المجموعة التباين العشوائي، أي ذلك الجزء من التباين الذي حدث تحت تأثير جميع العوامل الأخرى، باستثناء عامل التجميع. ويتم حسابها باستخدام الصيغة:

التباين بين المجموعاتيميز الاختلاف المنهجي للخاصية الناتجة، والذي يرجع إلى تأثير سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. وهو يساوي مربع متوسط ​​انحرافات متوسطات المجموعة عن المتوسط ​​العام. يتم حساب التباين بين المجموعات باستخدام الصيغة:

إلا أن هذه الخاصية وحدها لا تكفي للبحث. متغير عشوائي. دعونا نتخيل اثنين من الرماة يطلقون النار على الهدف. أحدهما يطلق النار بدقة ويضرب بالقرب من المنتصف، بينما الآخر... يستمتع فقط ولا يصوب حتى. لكن المضحك هو أنه متوسطوستكون النتيجة بالضبط نفس مطلق النار الأول! يتم توضيح هذا الموقف بشكل تقليدي من خلال المتغيرات العشوائية التالية:

أما التوقع الرياضي "القناص" فهو يساوي "الشخص المثير للاهتمام": - فهو أيضًا صفر!

وبالتالي، هناك حاجة لتحديد مدى ذلك مبعثرالرصاص (قيم متغيرة عشوائية) نسبة إلى مركز الهدف (التوقع الرياضي). حسنا و نثرالمترجمة من اللاتينية ليست طريقة أخرى غير تشتت .

دعونا نرى كيف يتم تحديد هذه الخاصية العددية باستخدام أحد الأمثلة من الجزء الأول من الدرس:

هناك وجدنا توقعًا رياضيًا مخيبًا للآمال لهذه اللعبة، والآن علينا حساب تباينها، والذي يُشار إليه بـخلال .

دعنا نتعرف على مدى "تشتت" المكاسب/الخسائر بالنسبة إلى القيمة المتوسطة. من الواضح أننا بحاجة إلى الحساب لهذا الغرض اختلافاتبين قيم متغيرة عشوائيةوهي توقع رياضي:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

الآن يبدو أنك بحاجة إلى تلخيص النتائج، لكن هذه الطريقة ليست مناسبة - لأن التقلبات إلى اليسار سوف تلغي بعضها البعض مع التقلبات إلى اليمين. لذلك، على سبيل المثال، مطلق النار "الهواة". (المثال أعلاه)الاختلافات ستكون ، وعند إضافتها سيعطون صفرًا، لذلك لن نحصل على أي تقدير لمدى تشتت إطلاق النار.

للتغلب على هذه المشكلة يمكنك التفكير وحداتالاختلافات، ولكن لأسباب فنية ترسخ هذا النهج عندما تم تربيعها. من الأنسب صياغة الحل في جدول:

وهنا يطرح الحساب متوسط ​​الوزنقيمة الانحرافات التربيعية. ما هذا؟ إنها ملكهم القيمة المتوقعة، وهو مقياس للتشتت:

– تعريفالفروق. من التعريف يتضح ذلك على الفور لا يمكن أن يكون التباين سلبيا- خذ ملاحظة للممارسة!

دعونا نتذكر كيفية العثور على القيمة المتوقعة. اضرب الفروق المربعة في الاحتمالات المقابلة (مواصلة الجدول):
- بالمعنى المجازي، هذه هي "قوة الجر"،
وتلخيص النتائج:

ألا تعتقد أنه بالمقارنة مع المكاسب، تبين أن النتيجة كبيرة جدًا؟ هذا صحيح - لقد قمنا بتربيعها، وللعودة إلى أبعاد لعبتنا، نحتاج إلى استخلاصها الجذر التربيعي. تسمى هذه الكمية الانحراف المعياري ويرمز له بالحرف اليوناني "سيجما":

تسمى هذه القيمة أحيانًا الانحراف المعياري .

ما هو معناها؟ فإذا انحرفنا عن التوقع الرياضي إلى اليسار واليمين بالانحراف المعياري:

- عندها سيتم "تركيز" القيم الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي في هذه الفترة. ما نلاحظه في الواقع:

ومع ذلك، يحدث أنه عند تحليل التشتت، يتم العمل دائمًا تقريبًا بمفهوم التشتت. دعونا معرفة ما يعنيه فيما يتعلق بالألعاب. إذا كنا نتحدث في حالة الأسهم عن "دقة" الضربات نسبة إلى مركز الهدف، فإن التشتت هنا يتميز بأمرين:

أولاً، من الواضح أنه مع زيادة الرهانات، يزداد التشتت أيضاً. لذلك، على سبيل المثال، إذا زدنا بمقدار 10 مرات، فإن التوقع الرياضي سيزيد بمقدار 10 مرات، وسيزيد التباين بمقدار 100 مرة (لأن هذه كمية تربيعية). لكن لاحظ أن قواعد اللعبة نفسها لم تتغير! فقط المعدلات تغيرت، تقريبًا، قبل أن نراهن بـ 10 روبل، أصبح الآن 100.

النقطة الثانية الأكثر إثارة للاهتمام هي أن التباين يميز أسلوب اللعب. أصلح رهانات اللعبة عقليًا عند مستوى معين، ودعنا نرى ما هو:

لعبة التباين المنخفض هي لعبة حذرة. يميل اللاعب إلى اختيار المخططات الأكثر موثوقية، حيث لا يخسر/يربح الكثير في وقت واحد. على سبيل المثال، نظام الأحمر/الأسود في لعبة الروليت (انظر المثال 4 من المقال المتغيرات العشوائية) .

لعبة التباين العالي. غالبا ما يتم استدعاؤها مشتتلعبة. هذا هو أسلوب اللعب المغامر أو العدواني، حيث يختار اللاعب مخططات "الأدرينالين". دعونا نتذكر على الأقل "مارتينجال"حيث تكون المبالغ على المحك أكبر من اللعبة "الهادئة" في النقطة السابقة.

الوضع في لعبة البوكر يدل: هناك ما يسمى ضيقاللاعبون الذين يميلون إلى توخي الحذر و"المرتعشين" بشأن أموال الألعاب الخاصة بهم (تمويل). وليس من المستغرب أن لا يتقلب تمويلهم بشكل كبير (تباين منخفض). على العكس من ذلك، إذا كان اللاعب لديه تباين كبير، فهو معتدٍ. غالبًا ما يخاطر ويراهن بمراهنات كبيرة ويمكنه إما كسر بنك ضخم أو خسارة قطع صغيرة.

نفس الشيء يحدث في الفوركس، وهكذا - هناك الكثير من الأمثلة.

علاوة على ذلك، في جميع الأحوال، لا يهم ما إذا كانت اللعبة تُلعب مقابل أجر ضئيل أو آلاف الدولارات. كل مستوى له لاعبين منخفضين وعاليين التشتت. حسنًا، كما نتذكر، متوسط ​​الفوز “مسؤول” القيمة المتوقعة.

ربما لاحظت أن العثور على التباين هو عملية طويلة ومضنية. لكن الرياضيات سخية:

صيغة لإيجاد التباين

هذه الصيغة مشتقة مباشرة من تعريف التباين، وقمنا بوضعها موضع الاستخدام على الفور. سأقوم بنسخ العلامة مع لعبتنا أعلاه:

والتوقع الرياضي الموجود.

دعونا نحسب التباين بالطريقة الثانية. أولاً، دعونا نوجد التوقع الرياضي - مربع المتغير العشوائي. بواسطة تحديد التوقع الرياضي:

في في هذه الحالة:

وهكذا، وفقا للصيغة:

كما يقولون، اشعر بالفرق. ومن الناحية العملية، بالطبع، من الأفضل استخدام الصيغة (ما لم يتطلب الشرط خلاف ذلك).

نتقن تقنية الحل والتصميم:

مثال 6

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري.

تم العثور على هذه المهمة في كل مكان، وكقاعدة عامة، لا معنى لها.
يمكنك أن تتخيل عدة مصابيح كهربائية بأرقام تضيء في مستشفى المجانين مع احتمالات معينة :)

حل: من الملائم تلخيص الحسابات الأساسية في جدول. أولاً، نكتب البيانات الأولية في السطرين العلويين. ثم نقوم بحساب المنتجات، ثم وأخيرا المبالغ في العمود الأيمن:

في الواقع، كل شيء تقريبا جاهز. يوضح السطر الثالث توقعًا رياضيًا جاهزًا: .

نحسب التباين باستخدام الصيغة:

وأخيرا الانحراف المعياري:
- شخصيًا، عادةً ما أقوم بالتقريب إلى منزلتين عشريتين.

يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية على الآلة الحاسبة، أو حتى الأفضل – في برنامج Excel:

من الصعب أن تخطئ هنا :)

إجابة:

أولئك الذين يرغبون يمكنهم تبسيط حياتهم بشكل أكبر والاستفادة من خدماتي آلة حاسبة (تجريبي)، والتي لن تحل هذه المشكلة على الفور فحسب، بل ستبنيها أيضًا الرسومات الموضوعية (سوف نصل إلى هناك قريبا). يمكن أن يكون البرنامج تحميل من المكتبة– إذا قمت بتنزيل واحد على الأقل المواد التعليمية، أو الحصول على طريق اخر. شكرا لدعم المشروع!

زوجان من المهام لحلها بنفسك:

مثال 7

احسب تباين المتغير العشوائي في المثال السابق حسب التعريف.

ومثال مشابه:

مثال 8

يتم تحديد المتغير العشوائي المنفصل بواسطة قانون التوزيع الخاص به:

نعم، يمكن أن تكون قيم المتغيرات العشوائية كبيرة جدًا (مثال من العمل الحقيقي)وهنا، إذا أمكن، استخدم Excel. كما، بالمناسبة، في المثال 7 - إنه أسرع وأكثر موثوقية وأكثر متعة.

الحلول والأجوبة في أسفل الصفحة.

في ختام الجزء الثاني من الدرس، سننظر إلى مشكلة نموذجية أخرى، يمكن للمرء أن يقول حتى لغزًا صغيرًا:

مثال 9

يمكن للمتغير العشوائي المنفصل أن يأخذ قيمتين فقط: و و. الاحتمال والتوقع الرياضي والتباين معروفان.

حل: لنبدأ باحتمال غير معروف. وبما أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ قيمتين فقط، فإن مجموع احتمالات الأحداث المقابلة هو:

ومنذ ذلك الحين .

كل ما تبقى هو العثور عليه...، من السهل القول :) ولكن حسنًا، ها نحن ذا. حسب تعريف التوقع الرياضي:
– استبدال الكميات المعروفة :

– ولا يمكن استخلاص أي شيء من هذه المعادلة، باستثناء أنه يمكنك إعادة كتابتها في الاتجاه المعتاد:

أو:

أعتقد أنه يمكنك تخمين الخطوات التالية. دعونا نؤلف ونحل النظام:

الكسور العشرية- هذا بالطبع عار كامل. اضرب المعادلتين في 10:

ونقسم على 2 :

هذا أفضل. من المعادلة الأولى نعبر عن:
(هذه هي الطريقة الأسهل)– نعوض في المعادلة الثانية :

نحن نبني تربيعوقم بالتبسيط:

اضرب بـ:

وكانت النتيجة معادلة من الدرجة الثانية، نجد تمييزها:
- عظيم!

ونحصل على حلين:

1) إذا ، الذي - التي ;

2) إذا ، الذي - التي .

يتم استيفاء الشرط بواسطة الزوج الأول من القيم. مع احتمال كبيركل شيء صحيح، ولكن، مع ذلك، دعونا نكتب قانون التوزيع:

وإجراء فحص، أي العثور على التوقع:

إذا تم تقسيم المجتمع إلى مجموعات وفقًا للخاصية التي تتم دراستها، فيمكن حساب أنواع التباين التالية لهذا المجتمع: الإجمالي، المجموعة (داخل المجموعة)، متوسط ​​المجموعة (متوسط ​​​​داخل المجموعة)، بين المجموعات.

في البداية، يقوم بحساب معامل التحديد، الذي يوضح أي جزء من التباين الكلي للسمات قيد الدراسة هو التباين بين المجموعات، أي. بسبب خاصية التجمع:

تميز علاقة الارتباط التجريبية مدى قرب العلاقة بين التجميع (المضروب) وخصائص الأداء.

يمكن أن تأخذ نسبة الارتباط التجريبية القيم من 0 إلى 1.

لتقييم مدى قرب الاتصال على أساس نسبة الارتباط التجريبية، يمكنك استخدام علاقات تشادوك:

مثال 4.البيانات التالية متاحة عن أداء العمل من قبل منظمات التصميم والمسح أشكال مختلفةملكية:

يُعرِّف:

1) التباين الكلي.

2) فروق المجموعة.

3) متوسط ​​تباينات المجموعة.

4) التباين بين المجموعات.

5) التباين الإجمالي على أساس قاعدة إضافة التباينات.

6) معامل التحديد ونسبة الارتباط التجريبية.

استخلاص النتائج.

حل:

1. دعونا نحدد متوسط ​​الحجمأداء العمل من قبل المؤسسات ذات شكلين من الملكية:

دعونا نحسب التباين الكلي:

2. تحديد متوسطات المجموعة:

مليون روبل

مليون روبل

تباينات المجموعة:

;

3. احسب متوسط ​​تباينات المجموعة:

4. دعونا نحدد التباين بين المجموعات:

5. احسب التباين الإجمالي بناءً على قاعدة إضافة التباينات:

6. لنحدد معامل التحديد:

.

وبالتالي فإن حجم العمل الذي تقوم به منظمات التصميم والمسح يعتمد بنسبة 22% على شكل ملكية المؤسسات.

يتم حساب نسبة الارتباط التجريبية باستخدام الصيغة

.

تشير قيمة المؤشر المحسوب إلى أن اعتماد حجم العمل على شكل ملكية المؤسسة صغير.

مثال 5.ونتيجة لدراسة الانضباط التكنولوجي لمجالات الإنتاج، تم الحصول على البيانات التالية:

تحديد معامل التحديد

التباين هو مقياس للتشتت يصف الانحراف المقارن بين قيم البيانات والمتوسط. وهو مقياس التشتت الأكثر استخدامًا في الإحصائيات، ويتم حسابه عن طريق جمع وتربيع انحراف كل قيمة بيانات عن المتوسط. صيغة حساب التباين موضحة أدناه:

ق 2 - تباين العينة؛

x av - متوسط ​​العينة؛

ن — حجم العينة (عدد قيم البيانات)،

(x i - x avg) هو الانحراف عن متوسط ​​القيمة لكل قيمة في مجموعة البيانات.

لفهم الصيغة بشكل أفضل، دعونا نلقي نظرة على مثال. أنا لا أحب الطبخ حقًا، لذلك نادرًا ما أفعله. ومع ذلك، لكي لا أتضور جوعا، من وقت لآخر، يجب أن أذهب إلى الموقد لتنفيذ خطة تشبع الجسم بالبروتينات والدهون والكربوهيدرات. توضح مجموعة البيانات أدناه عدد المرات التي تقوم فيها رينات بالطهي كل شهر:

الخطوة الأولى في حساب التباين هي تحديد متوسط ​​العينة، وهو في مثالنا 7.8 مرة شهريًا. ويمكن إجراء بقية الحسابات بشكل أسهل باستخدام الجدول التالي.

تبدو المرحلة النهائية لحساب التباين كما يلي:

بالنسبة لأولئك الذين يحبون إجراء جميع الحسابات دفعة واحدة، ستبدو المعادلة كما يلي:

استخدام طريقة العد الخام (مثال للطبخ)

هناك أكثر طريقة فعالةحساب التباين، والمعروف بطريقة "العد الأولي". على الرغم من أن المعادلة قد تبدو مرهقة للغاية للوهلة الأولى، إلا أنها في الواقع ليست مخيفة إلى هذا الحد. يمكنك التأكد من ذلك، ومن ثم تحديد الطريقة التي تفضلها.

هو مجموع كل قيمة بيانات بعد التربيع،

هو مربع مجموع كل قيم البيانات.

لا تفقد عقلك الآن. لنضع كل هذا في جدول وسترى أن هناك حسابات أقل هنا مما كانت عليه في المثال السابق.

وكما ترون، كانت النتيجة هي نفسها عند استخدام الطريقة السابقة. مزايا هذه الطريقةتصبح واضحة مع زيادة حجم العينة (ن).

حساب التباين في Excel

كما خمنت على الأرجح، يحتوي برنامج Excel على صيغة تسمح لك بحساب التباين. علاوة على ذلك، بدءًا من Excel 2010، يمكنك العثور على 4 أنواع من صيغ التباين:

1) VARIANCE.V - يُرجع تباين العينة. يتم تجاهل القيم المنطقية والنص.

2) DISP.G - إرجاع تباين المحتوى. يتم تجاهل القيم المنطقية والنص.

3) التباين - يُرجع تباين العينة، مع مراعاة القيم المنطقية والنصية.

4) التباين - إرجاع تباين المحتوى، مع مراعاة القيم المنطقية والنصية.

أولا، دعونا نفهم الفرق بين العينة والمجتمع. الغرض من الإحصاء الوصفي هو تلخيص البيانات أو عرضها بطريقة توفر معلومات سريعة. الصورة الكبيرة، إذا جاز التعبير، مراجعة. يسمح لك الاستدلال الإحصائي بإجراء استنتاجات حول السكان بناءً على عينة من البيانات من هذا السكان. يمثل السكان جميع النتائج أو القياسات المحتملة التي تهمنا. العينة هي مجموعة فرعية من السكان.

على سبيل المثال، نحن مهتمون بمجموعة من الطلاب من إحدى الجامعات الروسية ونحتاج إلى تحديد متوسط ​​درجات المجموعة. يمكننا حساب متوسط ​​​​أداء الطلاب، ومن ثم سيكون الرقم الناتج معلمة، حيث سيشارك جميع السكان في حساباتنا. ومع ذلك، إذا أردنا حساب المعدل التراكمي لجميع الطلاب في بلدنا، فستكون هذه المجموعة هي عينتنا.

الفرق في صيغة حساب التباين بين العينة والمجتمع هو المقام. حيث بالنسبة للعينة ستكون مساوية (n-1)، وبالنسبة لعموم السكان فقط n.

الآن دعونا نلقي نظرة على وظائف حساب التباين مع النهايات أ،ينص الوصف على أن القيم النصية والمنطقية تؤخذ بعين الاعتبار في الحساب. في هذه الحالة، عند حساب التباين في مجموعة بيانات معينة، حيث لا يوجد القيم الرقميةسيقوم Excel بتفسير القيم المنطقية النصية والخطأ على أنها تساوي 0، والقيم المنطقية الحقيقية على أنها تساوي 1.

لذا، إذا كان لديك مصفوفة بيانات، فلن يكون حساب تباينها أمرًا صعبًا باستخدام إحدى وظائف Excel المذكورة أعلاه.

نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من الرياضيات يدرسه فقط طلاب مؤسسات التعليم العالي. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألا تخاف من احتمالات التعرف على التوزيع الطبيعي، والانتروبيا الجماعية، والتوقعات الرياضية وتشتت متغير عشوائي منفصل؟ ثم سيكون هذا الموضوع مثيرًا للاهتمام بالنسبة لك. دعونا نتعرف على العديد من أهم المفاهيم الأساسية لهذا الفرع من العلوم.

دعونا نتذكر الأساسيات

حتى لو كنت تتذكر أكثر مفاهيم بسيطةنظرية الاحتمالية، لا تهمل الفقرات الأولى من المقال. النقطة المهمة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات، لن تتمكن من العمل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.

لذلك، تحدث بعض الأحداث العشوائية، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي نتخذها، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها يحدث في كثير من الأحيان، والبعض الآخر أقل في كثير من الأحيان. احتمال وقوع حدث ما هو نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى الرقم الإجماليممكن. فقط معرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي وتشتت المتغيرات العشوائية المستمرة.

متوسط

عندما كنت في المدرسة، أثناء دروس الرياضيات، بدأت العمل بالوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا هو هذه اللحظةهو أننا سنواجهه في صيغ التوقع الرياضي وتشتت المتغير العشوائي.

لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد الوسط الحسابي لها. كل ما هو مطلوب منا هو تلخيص كل ما هو متاح وتقسيمه على عدد العناصر في التسلسل. لنحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.

تشتت

من الناحية العلمية، التشتت هو متوسط ​​مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها للخاصية من الوسط الحسابي. يُشار إليه بحرف لاتيني كبير D. ما هو المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر المتتابعة، نحسب الفرق بين الرقم الموجود والوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك بالضبط العديد من القيم التي يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي نفكر فيه. بعد ذلك، نلخص كل ما تم الحصول عليه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة، نقسم على خمسة.

يحتوي التشتت أيضًا على خصائص يجب تذكرها لاستخدامها عند حل المشكلات. على سبيل المثال، عند زيادة متغير عشوائي بمقدار X مرة، فإن التباين يزيد بمقدار X مربع مرة (أي X*X). لم يحدث ذلك أبدا أقل من الصفرولا يعتمد على إزاحة القيم بقيمة متساوية لأعلى أو لأسفل. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للتجارب المستقلة، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع التباينات.

الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة على تباين المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي.

لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. وقد لاحظنا كل واحد منهم 1، 2، 2، 3، 4، 4 و5 مرات على التوالي. ماذا سيكون التباين؟

أولاً، دعونا نحسب الوسط الحسابي: مجموع العناصر، بالطبع، هو 21. اقسمه على 7، لتحصل على 3. الآن اطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي، وقم بتربيع كل قيمة، ثم أضف النتائج معًا. والنتيجة هي 12. والآن كل ما علينا فعله هو قسمة العدد على عدد العناصر، ويبدو أن هذا كل شيء. ولكن هناك صيد! دعونا نناقش ذلك.

الاعتماد على عدد التجارب

اتضح أنه عند حساب التباين، يمكن أن يحتوي المقام على أحد الرقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو نفس الشيء في الأساس). على ماذا يعتمد هذا؟

إذا كان عدد الاختبارات مقيسًا بالمئات، فيجب أن نضع N في المقام، وإذا كان بالوحدات، فـ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمر عبر الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة، فسنقسم المبلغ على N-1، وإذا كان أكثر، ثم على N.

مهمة

لنعد إلى مثالنا لحل مشكلة التباين والتوقع الرياضي. لقد حصلنا على الرقم الوسيط 12، والذي يجب قسمته على N أو N-1. وبما أننا أجرينا 21 تجربة، أي أقل من 30، فسنختار الخيار الثاني. فالجواب هو: التباين هو 12 / 2 = 2.

القيمة المتوقعة

دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني الذي يجب أن نتناوله في هذا المقال. التوقع الرياضي هو نتيجة جمع كل النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة لها. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها، وكذلك نتيجة حساب التباين، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها، بغض النظر عن عدد النتائج التي يتم أخذها في الاعتبار فيها.

إن صيغة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نحن نأخذ النتيجة، ونضربها في احتمالها، ونضيف نفس الشيء للنتيجة الثانية والثالثة، وما إلى ذلك. ليس من الصعب حساب كل ما يتعلق بهذا المفهوم. على سبيل المثال، مجموع القيم المتوقعة يساوي القيمة المتوقعة للمجموع. وينطبق الشيء نفسه على العمل. هذه عمليات بسيطةليست كل كمية في نظرية الاحتمالات تسمح لك بالقيام بذلك. لنأخذ المشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك، لقد تشتت انتباهنا بالنظرية - فقد حان وقت الممارسة.

مثال آخر

أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب مئوية مختلفة. وهي على التوالي: 2%، 10%، 4%، 14%، 2%، 18%، 6%، 16%، 10%، 18%. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات، تحتاج إلى تقسيم قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا نحصل على 0.02؛ 0.1 الخ دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.

نحسب الوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.

والآن دعونا نحول الاحتمالات إلى عدد النتائج "بالأجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9. من كل قيمة تم الحصول عليها، نطرح الوسط الحسابي، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1 - 5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة للقيم الأخرى، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فبعد جمعهم جميعًا، ستحصل على 90.

لنواصل حساب التباين والقيمة المتوقعة بقسمة 90 على N. لماذا نختار N بدلاً من N-1؟ صحيح، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30. إذن: 90/10 = 9. لقد حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف، فلا تيأس. على الأرجح، لقد ارتكبت خطأً بسيطًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته، ومن المحتمل أن يكون كل شيء في مكانه الصحيح.

وأخيرا، تذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نقوم بإجراء جميع الحسابات، سنكتب فقط إجابة يمكنك التحقق منها بعد استكمال جميع الإجراءات المطلوبة. وستكون القيمة المتوقعة 5.48. دعونا فقط نتذكر كيفية تنفيذ العمليات، باستخدام العناصر الأولى كمثال: 0*0.02 + 1*0.1... وهكذا. كما ترون، نحن ببساطة نضرب قيمة النتيجة باحتمالها.

انحراف

هناك مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتشتت والتوقع الرياضي وهو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالأحرف اللاتينية sd، أو بالحرف اليوناني الصغير "sigma". هذا المفهوميُظهر مدى انحراف القيم في المتوسط ​​عن الميزة المركزية. للعثور على قيمته، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.

إذا قمت برسم رسم بياني للتوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرة، فيمكن القيام بذلك على عدة مراحل. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية)، وارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. حجم الجزء الموجود بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج عليه المحور الافقيوسوف تمثل الانحراف المعياري.

برمجة

كما يتبين من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. وحتى لا نضيع الوقت فمن المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في التعليم العالي المؤسسات التعليمية- ويسمى "ر". يحتوي على وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاء ونظرية الاحتمالات.

على سبيل المثال، يمكنك تحديد متجه للقيم. ويتم ذلك على النحو التالي: ناقلات<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

أخيراً

التشتت والتوقع الرياضي هما من العناصر التي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات، يتم مناقشتها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ثم يحصلون لاحقًا على درجات سيئة في نهاية الجلسة، مما يحرمهم من المنح الدراسية.

تدرب لمدة أسبوع على الأقل، نصف ساعة يوميًا، على حل المهام المشابهة لتلك المقدمة في هذه المقالة. بعد ذلك، في أي اختبار في نظرية الاحتمالات، ستكون قادرًا على التعامل مع الأمثلة دون نصائح وأوراق غش غريبة.