إيجاد حل معين للمعادلة التفاضلية، أمثلة على الحلول. حل أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية (DE) - هذه هي المعادلة
أين هي المتغيرات المستقلة، y هي الدالة وهي المشتقات الجزئية.

المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تفاضلية لها متغير مستقل واحد فقط.

المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغيرين مستقلين أو أكثر.

يمكن حذف الكلمتين "العادية" و"المشتقات الجزئية" إذا كان من الواضح المعادلة التي يتم النظر فيها. وفيما يلي النظر في المعادلات التفاضلية العادية.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى.

فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الأولى:

فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الرابعة:

في بعض الأحيان تتم كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بدلالة التفاضلات:

في هذه الحالة، المتغيران x وy متساويان. أي أن المتغير المستقل يمكن أن يكون إما x أو y. في الحالة الأولى، y هي دالة لـ x. في الحالة الثانية، x هي دالة لـ y. إذا لزم الأمر، يمكننا تقليل هذه المعادلة إلى شكل يتضمن بشكل صريح المشتقة y′.
وبقسمة هذه المعادلة على dx نحصل على:
.
منذ و، يتبع ذلك
.

حل المعادلات التفاضلية

يتم التعبير عن مشتقات الوظائف الأولية من خلال الوظائف الأولية. غالبًا لا يتم التعبير عن تكاملات الوظائف الأولية من حيث الوظائف الأولية. مع المعادلات التفاضلية الوضع أسوأ. نتيجة للحل يمكنك الحصول على:

• الاعتماد الصريح للدالة على المتغير؛

  حل المعادلة التفاضلية هي الدالة ذ = ش (خ)، والتي تم تعريفها، مرات n قابلة للتمييز، و .

• الاعتماد الضمني في شكل معادلة من النوع Φ (س، ص) = 0أو أنظمة المعادلات.

  تكامل المعادلة التفاضلية هو حل لمعادلة تفاضلية لها شكل ضمني.

• يتم التعبير عن الاعتماد من خلال الوظائف الأولية والتكاملات منها؛

  حل المعادلة التفاضلية في التربيعات - وهذا هو إيجاد الحل في شكل مجموعة من الوظائف الأولية وتكاملاتها.

• لا يجوز التعبير عن الحل من خلال الوظائف الأولية.

لأن الحل المعادلات التفاضليةيتم تقليله إلى حساب التكاملات، ثم يتضمن الحل مجموعة من الثوابت C 1، C 2، C 3، ... C n. عدد الثوابت يساوي ترتيب المعادلة. التكامل الجزئي للمعادلة التفاضلية هو التكامل العام لقيم معينة من الثوابت C 1، C 2، C 3، ...، C n.

مراجع:
في. ستيبانوف، دورة المعادلات التفاضلية، "LKI"، 2015.
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

إما أن تكون قد تم حلها بالفعل فيما يتعلق بالمشتقة، أو يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتقة .

الحل العام للمعادلات التفاضلية من النوع على الفترة X، والتي تم تقديمها، يمكن العثور عليها من خلال أخذ تكامل طرفي هذه المساواة.

نحن نحصل .

إذا نظرت إلى الخصائص تكامل غير محدد، ثم نجد الحل العام المطلوب:

ص = و(س) + ج,

أين و(خ)- إحدى الوظائف البدائية و (خ)ما بين أثنين X، أ مع- ثابت تعسفي.

يرجى ملاحظة أنه في معظم المشاكل الفاصل الزمني Xلا تشير. وهذا يعني أنه يجب إيجاد حل للجميع. سوالتي والوظيفة المطلوبة ذوالمعادلة الأصلية منطقية.

إذا كنت بحاجة إلى حساب حل معين لمعادلة تفاضلية مرضية الحالة الأولية ص(س 0) = ص 0ثم بعد حساب التكامل العام ص = و(س) + ج، لا يزال من الضروري تحديد قيمة الثابت ج = ج 0باستخدام الشرط الأولي. وهذا هو ثابت ج = ج 0تحدد من المعادلة و(س 0) + ج = ص 0، والحل الجزئي المطلوب للمعادلة التفاضلية سوف يأخذ الشكل:

ص = و(س) + ج 0.

لنلقي نظرة على مثال:

دعونا نجد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية ونتحقق من صحة النتيجة. دعونا نجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي.

حل:

وبعد تكامل المعادلة التفاضلية المعطاة نحصل على:

.

لنأخذ هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء:

الذي - التي.، هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

للتأكد من صحة النتيجة، دعونا نجري فحصًا. للقيام بذلك، نعوض بالحل الذي وجدناه في المعادلة التالية:

.

ذلك حين المعادلة الأصلية تتحول إلى هوية:

ولذلك تم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية بشكل صحيح.

الحل الذي توصلنا إليه هو حل عام للمعادلة التفاضلية لكل قيمة حقيقية للوسيطة س.

يبقى حساب حل معين لـ ODE الذي يلبي الشرط الأولي. وبعبارة أخرى، من الضروري حساب قيمة الثابت مع، حيث تكون المساواة صحيحة:

.

.

ثم الاستبدال ج = 2في الحل العام لـ ODE، نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي:

.

المعادلة التفاضلية العادية يمكن حل المشتقة بقسمة طرفي المعادلة على و (خ). سيكون هذا التحول معادلاً إذا و (خ)لا يتحول إلى الصفر تحت أي ظرف من الظروف سمن فترة التكامل للمعادلة التفاضلية X.

هناك حالات محتملة عندما تكون الوسيطة معينة س ∈ Xالمهام و (خ)و ز (خ)في نفس الوقت تصبح صفر لقيم مماثلة سالحل العام للمعادلة التفاضلية هو أي دالة ذ، والذي تم تعريفه فيها، لأن .

إذا كان لبعض قيم الوسيطة س ∈ Xتم استيفاء الشرط، مما يعني أنه في هذه الحالة ليس لدى ODE أي حلول.

للجميع سمن الفاصل Xيتم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية من المعادلة المحولة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

مثال 1.

دعونا نجد حلاً عامًا لـ ODE: .

حل.

من خصائص الدوال الأولية الأساسية يتضح أن دالة اللوغاريتم الطبيعي محددة للقيم غير السالبة للوسيطة، وبالتالي مجال تعريف التعبير قانون الجنسية (س+3)هناك فاصل زمني س > -3 . وهذا يعني أن المعادلة التفاضلية المعطاة منطقية س > -3 . بالنسبة لقيم الوسيطة هذه، التعبير س+3لا يختفي، لذا يمكنك حل ODE للمشتق عن طريق قسمة الجزأين على س + 3.

نحن نحصل .

بعد ذلك، نقوم بدمج المعادلة التفاضلية الناتجة، وحلها بالنسبة للمشتقة: . ولحساب هذا التكامل، نستخدم طريقة إدراجه تحت علامة التفاضل.

في كثير من الأحيان مجرد إشارة المعادلات التفاضليةيجعل الطلاب يشعرون بعدم الارتياح. لماذا يحدث هذا؟ في أغلب الأحيان، لأنه عند دراسة أساسيات المادة، تنشأ فجوة في المعرفة، بحيث تصبح الدراسة الإضافية للفرق مجرد تعذيب. ليس من الواضح ما يجب القيام به، كيف تقرر، من أين تبدأ؟

ومع ذلك، سنحاول أن نوضح لك أن الاختلاف ليس بالصعوبة التي يبدو عليها.

المفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية

من المدرسة نعرف أبسط المعادلات التي نحتاج فيها إلى إيجاد المجهول x. في الحقيقة المعادلات التفاضليةيختلف قليلاً عنهم - بدلاً من المتغير X تحتاج إلى العثور على وظيفة فيها ص (خ) ، والتي سوف تحول المعادلة إلى هوية.

د المعادلات التفاضليةلها أهمية عملية كبيرة. هذه ليست رياضيات مجردة لا علاقة لها بالعالم من حولنا. تستخدم المعادلات التفاضلية لوصف العديد من المعادلات الحقيقية العمليات الطبيعية. على سبيل المثال، اهتزازات الوتر، وحركة المذبذب التوافقي، باستخدام المعادلات التفاضلية في مسائل الميكانيكا، تجد سرعة الجسم وتسارعه. أيضًا دويجد تطبيق واسعفي الأحياء والكيمياء والاقتصاد والعديد من العلوم الأخرى.

المعادلة التفاضلية (دو) هي معادلة تحتوي على مشتقات الدالة y(x)، والدالة نفسها، ومتغيرات مستقلة ومعلمات أخرى في مجموعات مختلفة.

هناك أنواع عديدة من المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية، والمعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية، والمتجانسة وغير المتجانسة، والمعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والعليا، والمعادلات التفاضلية الجزئية، وما إلى ذلك.

حل المعادلة التفاضلية هو دالة تحولها إلى هوية. هناك حلول عامة وخاصة لجهاز التحكم عن بعد.

الحل العام للمعادلة التفاضلية هو مجموعة عامة من الحلول التي تحول المعادلة إلى هوية. الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية هو الحل المرضي شروط إضافية، محدد في البداية.

يتم تحديد ترتيب المعادلة التفاضلية حسب أعلى ترتيب لمشتقاتها.

المعادلات التفاضلية العادية

المعادلات التفاضلية العاديةهي معادلات تحتوي على متغير مستقل واحد.

لنفكر في أبسط معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى. يبدو مثل:

يمكن حل هذه المعادلة ببساطة عن طريق تكامل طرفها الأيمن.

أمثلة على هذه المعادلات:

معادلات قابلة للفصل

في منظر عاميبدو هذا النوع من المعادلات كما يلي:

هنا مثال:

عند حل هذه المعادلة، تحتاج إلى فصل المتغيرات، وإحضارها إلى النموذج:

بعد ذلك يبقى دمج الجزأين والحصول على الحل.

المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

تبدو هذه المعادلات كما يلي:

هنا p(x) وq(x) هي بعض وظائف المتغير المستقل، وy=y(x) هي الوظيفة المطلوبة. فيما يلي مثال على هذه المعادلة:

عند حل مثل هذه المعادلة، غالبًا ما يستخدمون طريقة تغيير ثابت تعسفي أو تمثيل الوظيفة المطلوبة كمنتج لوظيفتين أخريين y(x)=u(x)v(x).

لحل مثل هذه المعادلات، يلزم إعداد معين وسيكون من الصعب جدًا أخذها "بنظرة سريعة".

مثال على حل معادلة تفاضلية بمتغيرات قابلة للفصل

لذلك نظرنا إلى أبسط أنواع أجهزة التحكم عن بعد. الآن دعونا نلقي نظرة على حل واحد منهم. لتكن هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

أولاً، دعونا نعيد كتابة المشتقة بصيغة مألوفة أكثر:

ثم نقسم المتغيرات، أي أننا نجمع كل "I" في جزء واحد من المعادلة، وفي الجزء الآخر - "X":

الآن يبقى دمج كلا الجزأين:

نتكامل ونحصل على حل عام لهذه المعادلة:

بالطبع، حل المعادلات التفاضلية هو نوع من الفن. يجب أن تكون قادرًا على فهم نوع المعادلة، وأن تتعلم أيضًا معرفة التحويلات التي يجب إجراؤها بها من أجل أن تؤدي إلى شكل أو آخر، ناهيك عن القدرة على التفريق والتكامل. وللنجاح في حل DE، تحتاج إلى ممارسة (كما هو الحال في كل شيء). وإذا كان لديك هذه اللحظةليس لديك الوقت الكافي لمعرفة كيفية حل المعادلات التفاضلية، أو أن مشكلة كوشي عالقة مثل العظمة في حلقك، أو إذا كنت لا تعرف، فاتصل بمؤلفينا. وفي وقت قصير سوف نقدم لكم الجاهزة و حل مفصل، التفاصيل التي يمكنك فهمها في أي وقت يناسبك. في هذه الأثناء نقترح مشاهدة فيديو حول موضوع "كيفية حل المعادلات التفاضلية":

اليوم، إحدى أهم المهارات لأي متخصص هي القدرة على حل المعادلات التفاضلية. حل المعادلات التفاضلية- لا يمكن لأي مهمة تطبيقية الاستغناء عن ذلك، سواء كان ذلك حساب أي معلمة مادية أو نمذجة التغييرات نتيجة لسياسة الاقتصاد الكلي المعتمدة. وهذه المعادلات مهمة أيضًا لعدد من العلوم الأخرى، مثل الكيمياء والأحياء والطب وغيرها. فيما يلي سنقدم مثالاً على استخدام المعادلات التفاضلية في الاقتصاد، ولكن قبل ذلك سنتحدث بإيجاز عن الأنواع الرئيسية للمعادلات.

المعادلات التفاضلية – أبسط أنواعها

قال الحكماء أن قوانين عالمنا مكتوبة بلغة رياضية. وبطبيعة الحال، هناك العديد من الأمثلة في الجبر معادلات مختلفةلكن هذه في معظمها أمثلة تعليمية لا تنطبق على أرض الواقع. لريال مدريد الرياضيات مثيرة للاهتماميبدأ عندما نريد وصف العمليات التي تحدث في الحياه الحقيقيه. ولكن كيف يمكننا أن نعكس عامل الوقت الذي يحكم العمليات الحقيقية ــ التضخم، أو الناتج، أو المؤشرات الديموغرافية؟

دعونا نتذكر تعريفًا مهمًا من دورة الرياضيات فيما يتعلق بمشتقة الوظيفة. المشتقة هي معدل تغير الدالة، ومن ثم يمكن أن تساعدنا في عكس عامل الوقت في المعادلة.

أي أننا نقوم بإنشاء معادلة بوظيفة تصف المؤشر الذي يهمنا ونضيف مشتق هذه الدالة إلى المعادلة. هذه معادلة تفاضلية. الآن دعنا ننتقل إلى أبسطها أنواع المعادلات التفاضلية للدمى.

أبسط معادلة تفاضلية لها الصيغة $y'(x)=f(x)$، حيث $f(x)$ هي دالة معينة، و $y'(x)$ هي المشتقة أو معدل التغير المطلوب وظيفة. يمكن حلها عن طريق التكامل العادي: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

النوع الثاني الأبسط يسمى المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل. تبدو هذه المعادلة كما يلي: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. يمكن ملاحظة أن المتغير التابع $y$ هو أيضًا جزء من الوظيفة المبنية. يمكن حل المعادلة بكل بساطة - تحتاج إلى "فصل المتغيرات"، أي تحويلها إلى الصيغة $y'(x)/g(y)=f(x)$ أو $dy/g(y) =f(x)دx$. يبقى دمج كلا الجانبين $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - هذا هو الحل للمعادلة التفاضلية من النوع القابل للفصل.

النوع البسيط الأخير هو معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى. لها النموذج $y'+p(x)y=q(x)$. هنا $p(x)$ و$q(x)$ هي بعض الوظائف، و$y=y(x)$ هي الوظيفة المطلوبة. لحل مثل هذه المعادلة، يتم استخدام طرق خاصة (طريقة لاغرانج لتغيير ثابت اعتباطي، طريقة بيرنولي للاستبدال).

هناك أنواع أكثر تعقيدًا من المعادلات - معادلات من الدرجة الثانية والثالثة والتعسفية عمومًا، والمعادلات المتجانسة وغير المتجانسة، بالإضافة إلى أنظمة المعادلات التفاضلية. يتطلب حلها إعدادًا أوليًا وخبرة في حل المشكلات الأبسط.

إن ما يسمى بالمعادلات التفاضلية الجزئية له أهمية كبيرة في الفيزياء، وبشكل غير متوقع، في التمويل. وهذا يعني أن الوظيفة المطلوبة تعتمد على عدة متغيرات في نفس الوقت. على سبيل المثال، تصف معادلة بلاك سكولز من مجال الهندسة المالية قيمة الخيار (النوع ضمانات) اعتمادًا على ربحيتها وحجم الدفعات وكذلك تاريخ بدء الدفعات وانتهائها. يعد حل المعادلة التفاضلية الجزئية أمرًا معقدًا للغاية ويتطلب عادةً استخدام برامج خاصة مثل Matlab أو Maple.

مثال على تطبيق المعادلة التفاضلية في الاقتصاد

ولنضرب كما وعدناكم مثالا بسيطا لحل معادلة تفاضلية. أولا، دعونا نحدد المهمة.

بالنسبة لبعض الشركات، تكون دالة الإيرادات الحدية من بيع منتجاتها بالشكل $MR=10-0.2q$. هنا $MR$ هو الإيرادات الحدية للشركة، و $q$ هو حجم الإنتاج. نحن بحاجة إلى العثور على إجمالي الإيرادات.

كما ترون من المشكلة، هذا مثال تطبيقي من الاقتصاد الجزئي. تواجه العديد من الشركات والمؤسسات باستمرار مثل هذه الحسابات في سياق أنشطتها.

لنبدأ بالحل. وكما هو معروف من الاقتصاد الجزئي فإن الإيرادات الحدية هي مشتقة من إجمالي الإيرادات، وتكون الإيرادات صفر عند صفر مبيعات.

من وجهة نظر رياضية، تم اختصار المشكلة إلى حل المعادلة التفاضلية $R'=10-0.2q$ تحت الشرط $R(0)=0$.

دعونا ندمج المعادلة بأخذ وظيفة مضادومن كلا الجزأين نحصل على الحل العام: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

للعثور على الثابت $C$، تذكر الشرط $R(0)=0$. لنستبدل: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ إذن C=0 ودالة إجمالي الإيرادات تأخذ الشكل $R(q)=10q-0.1q^2$. حلت المشكلة.

أمثلة أخرى بواسطة أنواع مختلفةيتم جمع أجهزة التحكم عن بعد على الصفحة: