Expresie numerică– aceasta este orice înregistrare de numere, semne operatii aritmeticeși paranteze. O expresie numerică poate consta pur și simplu dintr-un număr. Amintiți-vă că operațiile aritmetice de bază sunt „adunare”, „scădere”, „înmulțire” și „împărțire”. Aceste acțiuni corespund semnelor „+”, „-”, „∙”, „:”.

Desigur, ca să putem reuși expresie numerică, scrierea din numere și semne aritmetice trebuie să aibă sens. Deci, de exemplu, o astfel de intrare 5: + ∙ nu poate fi numită expresie numerică, deoarece este un set aleatoriu de simboluri care nu are sens. Dimpotrivă, 5 + 8 ∙ 9 este deja o expresie numerică reală.

Valoarea unei expresii numerice.

Să spunem imediat că dacă efectuăm acțiunile indicate în expresia numerică, atunci ca rezultat vom obține un număr. Acest număr este numit valoarea unei expresii numerice.

Să încercăm să calculăm ce vom obține ca urmare a efectuării acțiunilor din exemplul nostru. După ordinea în care se efectuează operațiile aritmetice, mai întâi efectuăm operația de înmulțire. Înmulțim 8 cu 9. Obținem 72. Acum adunăm 72 și 5. Obținem 77.
Deci, 77 - sens expresie numerică 5 + 8 ∙ 9.

Egalitatea numerică.

Puteți scrie astfel: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aici am folosit semnul „=" („Egal”) pentru prima dată. Se numește o astfel de notație în care două expresii numerice sunt separate prin semnul „=”. egalitate numerică. În plus, dacă valorile părților din stânga și din dreapta ale egalității coincid, atunci egalitatea se numește credincios. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – egalitate corectă.
Dacă scriem 5 + 8 ∙ 9 = 100, atunci aceasta va fi deja falsă egalitate, deoarece valorile părților stânga și dreaptă ale acestei egalități nu mai coincid.

De remarcat că în exprimarea numerică putem folosi și paranteze. Parantezele afectează ordinea în care sunt efectuate acțiunile. Deci, de exemplu, să ne modificăm exemplul adăugând paranteze: (5 + 8) ∙ 9. Acum trebuie mai întâi să adunăm 5 și 8. Obținem 13. Și apoi înmulțim 13 cu 9. Obținem 117. Astfel, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – sens expresie numerică (5 + 8) ∙ 9.

Pentru a citi corect o expresie, trebuie să determinați care acțiune este efectuată ultima pentru a calcula valoarea unei anumite expresii numerice. Astfel, dacă ultima actiune scădere, expresia se numește „diferență”. În consecință, dacă ultima acțiune este sumă - „sumă”, împărțire – „cot”, înmulțire – „produs”, exponențiere – „putere”.

De exemplu, expresia numerică (1+5)(10-3) arată astfel: „produsul sumei numerelor 1 și 5 și diferența numerelor 10 și 3”.

Exemple de expresii numerice.

Iată un exemplu de expresie numerică mai complexă:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Această expresie numerică folosește numere prime, fracții ordinare și zecimale. Se mai folosesc semnele de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Linia de fracție înlocuiește și semnul de împărțire. În ciuda complexității aparente, găsirea valorii acestei expresii numerice este destul de simplă. Principalul lucru este să poți efectua operații cu fracții, precum și să faci calcule cu atenție și precizie, respectând ordinea în care sunt efectuate acțiunile.

În paranteze avem expresia $\frac(1)(4)+3.75$ . Să ne transformăm zecimal 3,75 în mod obișnuit.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Asa de, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

În continuare, la numărătorul fracției \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] avem expresia 1,25+3,47+4,75-1,47. Pentru a simplifica această expresie, aplicăm legea comutativă a adunării, care spune: „Suma nu se modifică prin schimbarea locurilor termenilor”. Adică 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

În numitorul fracției expresia $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Primim $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1 $

Când expresiile numerice nu au sens?

Să ne uităm la un alt exemplu. În numitorul fracției $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ valoarea expresiei $3\centerdot 3-9$ este 0. Și, după cum știm, împărțirea la zero este imposibilă. Prin urmare, fracția $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nu are sens. Se spune că expresiile numerice care nu au nici un sens nu au „sens”.

Dacă folosim litere în plus față de numere în expresie numerică, atunci vom avea

Expresii numerice și algebrice. Conversia expresiilor.

Ce este o expresie în matematică? De ce avem nevoie de conversii de expresii?

Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Faptul este că aceste concepte stau la baza tuturor matematicii. Toată matematica constă din expresii și transformările lor. Nu foarte clar? Lasă-mă să explic.

Să presupunem că ai un exemplu rău în fața ta. Foarte mare și foarte complex. Să presupunem că ești bun la matematică și nu ți-e frică de nimic! Poți să dai un răspuns imediat?

Va trebui decide acest exemplu. În mod constant, pas cu pas, acest exemplu simplifica. De anumite reguli, firesc. Acestea. do conversia expresiei. Cu cât desfășurați mai cu succes aceste transformări, cu atât sunteți mai puternic în matematică. Dacă nu știi să faci transformările corecte, nu le vei putea face la matematică. Nimic...

Pentru a evita un viitor (sau prezent...) atât de inconfortabil, nu strica să înțelegi acest subiect.)

În primul rând, să aflăm ce este o expresie în matematică. Ce s-a întâmplat expresie numerică si ce este expresie algebrica.

Ce este o expresie în matematică?

Exprimarea în matematică- acesta este un concept foarte larg. Aproape tot ceea ce ne ocupăm în matematică este un set de expresii matematice. Orice exemple, formule, fracții, ecuații și așa mai departe - toate constă în expresii matematice.

3+2 este o expresie matematică. s 2 - d 2- aceasta este și o expresie matematică. Atât o fracție sănătoasă, cât și chiar un număr sunt toate expresii matematice. De exemplu, ecuația este:

5x + 2 = 12

constă din două expresii matematice legate printr-un semn egal. O expresie este în stânga, cealaltă în dreapta.

ÎN vedere generala termen " expresie matematică„este folosit, de cele mai multe ori, pentru a evita muguitul. Te vor întreba ce este o fracție obișnuită, de exemplu? Și cum să răspunzi?!

Primul răspuns: „Acesta este... mmmmmm... asa ceva... in care... Pot sa scriu mai bine o fractiune? Pe care o vrei?"

Al doilea răspuns: " Fracție comună- aceasta este (vesel și bucuros!) expresie matematică , care constă dintr-un numărător și un numitor!"

A doua opțiune va fi oarecum mai impresionantă, nu?)

Acesta este scopul expresiei „ expresie matematică „foarte bine. Si corecte si solide. Dar pt aplicație practică trebuie să fie bine familiarizat tipuri specifice de expresii la matematică .

Tipul specific este o altă problemă. Acest Este cu totul alta chestiune! Fiecare tip de expresie matematică are A mea un set de reguli și tehnici care trebuie utilizate atunci când se ia o decizie. Pentru lucrul cu fracții - un set. Pentru lucrul cu expresii trigonometrice - a doua. Pentru lucrul cu logaritmi - al treilea. Și așa mai departe. Undeva aceste reguli coincid, undeva diferă puternic. Dar nu-ți fie frică de aceste cuvinte înfricoșătoare. Vom stăpâni logaritmii, trigonometria și alte lucruri misterioase în secțiunile corespunzătoare.

Aici vom stăpâni (sau - repetam, în funcție de cine...) două tipuri principale de expresii matematice. Expresii numerice și expresii algebrice.

Expresii numerice.

Ce s-a întâmplat expresie numerică? Acesta este un concept foarte simplu. Numele însuși sugerează că aceasta este o expresie cu numere. Așa este. O expresie matematică formată din numere, paranteze și simboluri aritmetice se numește expresie numerică.

7-3 este o expresie numerică.

(8+3.2) 5.4 este de asemenea o expresie numerică.

Și acest monstr:

tot o expresie numerică, da...

Un număr obișnuit, o fracție, orice exemplu de calcul fără X și alte litere - toate acestea sunt expresii numerice.

Semnul principal numeric expresii – în ea fara litere. Nici unul. Doar numere și simboluri matematice (dacă este necesar). E simplu, nu?

Și ce poți face cu expresiile numerice? Expresiile numerice pot fi de obicei numărate. Pentru a face acest lucru, se întâmplă că trebuie să deschideți parantezele, să schimbați semnele, să prescurtați, să schimbați termeni - adică. do conversii de expresie. Dar mai multe despre asta mai jos.

Aici ne vom ocupa de asta întâmplare amuzantă, când cu o expresie numerică nu trebuie să faci nimic. Ei bine, nimic! Această operațiune plăcută - A nu face nimic)- se execută când expresia nu are sens.

Când nu are sens o expresie numerică?

Este clar că dacă vedem un fel de abracadabra în fața noastră, cum ar fi

atunci nu vom face nimic. Pentru că nu este clar ce să faci în privința asta. Un fel de prostie. Poate numără numărul de plusuri...

Dar în exterior există expresii destul de decente. De exemplu aceasta:

(2+3) : (16 - 2 8)

Totuși, și această expresie nu are sens! Din simplul motiv că în a doua paranteză - dacă numărați - obțineți zero. Dar nu poți împărți la zero! Aceasta este o operație interzisă în matematică. Prin urmare, nici cu această expresie nu este nevoie să faceți nimic. Pentru orice sarcină cu o astfel de expresie, răspunsul va fi întotdeauna același: „Expresia nu are sens!”

Pentru a da un astfel de răspuns, desigur, a trebuit să calculez ce ar fi între paranteze. Și uneori sunt multe lucruri între paranteze... Ei bine, nu poți face nimic în privința asta.

Nu există atât de multe operații interzise în matematică. Există doar unul în acest subiect. Impartirea cu zero. Restricțiile suplimentare care apar în rădăcini și logaritmi sunt discutate în subiectele corespunzătoare.

Deci, o idee despre ce este expresie numerică- a primit. Concept expresia numerică nu are sens- realizat. Sa trecem peste.

Expresii algebrice.

Dacă într-o expresie numerică apar litere, această expresie devine... Expresia devine... Da! Devine expresie algebrica. De exemplu:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Astfel de expresii se mai numesc expresii literale. Sau expresii cu variabile. Este practic același lucru. Expresie 5a +c, de exemplu, atât literal cât și algebric și o expresie cu variabile.

Concept expresie algebrica - mai larg decât numeric. Aceasta includeși toate expresiile numerice. Acestea. o expresie numerică este și o expresie algebrică, numai fără litere. Fiecare hering este un pește, dar nu orice pește este un hering...)

De ce alfabetic- Este clar. Ei bine, din moment ce sunt litere... Expresie expresie cu variabile De asemenea, nu este foarte derutant. Dacă înțelegi că numerele sunt ascunse sub litere. Sub litere pot fi ascunse tot felul de numere... Și 5 și -18 și orice altceva. Adică o scrisoare poate fi a inlocui pe numere diferite. De aceea se numesc literele variabile.

În exprimare y+5, De exemplu, la- valoare variabilă. Sau spun doar " variabil", fără cuvântul „magnitudine”. Spre deosebire de cinci, care este o valoare constantă. Sau pur și simplu - constant.

Termen expresie algebricaînseamnă că pentru a lucra cu această expresie trebuie să folosiți legi și reguli algebră. Dacă aritmetic funcționează cu numere specifice, atunci algebră- cu toate numerele deodată. Un exemplu simplu pentru clarificare.

În aritmetică putem scrie că

Dar dacă scriem o astfel de egalitate prin expresii algebrice:

a + b = b + a

vom decide imediat Toateîntrebări. Pentru toate numerele accident vascular cerebral. Pentru tot ce este infinit. Pentru că sub litere AȘi b subînțeles Toate numere. Și nu numai numere, ci chiar și alte expresii matematice. Așa funcționează algebra.

Când nu are sens o expresie algebrică?

Totul despre expresia numerică este clar. Acolo nu poți împărți la zero. Și cu litere, este posibil să aflăm prin ce împărțim?!

Să luăm de exemplu această expresie cu variabile:

2: (A - 5)

Are sens? Cine ştie? A- orice număr...

Oricare, orice... Dar există un singur sens A, pentru care această expresie exact nu are sens! Și care este acest număr? Da! Acesta este 5! Dacă variabila Aînlocuiți (se spune „înlocuitor”) cu numărul 5, între paranteze obțineți zero. Care nu poate fi împărțit. Deci, se dovedește că expresia noastră nu are sens, Dacă a = 5. Dar pentru alte valori A are sens? Puteți înlocui alte numere?

Cu siguranță. În astfel de cazuri ei spun pur și simplu că expresia

2: (A - 5)

are sens pentru orice valoare A, cu excepția a = 5 .

Întregul set de numere care Poate saînlocuirea într-o expresie dată se numește regiune valori acceptabile această expresie.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat. Să ne uităm la expresia cu variabile și să ne dăm seama: la ce valoare a variabilei se obține operația interzisă (diviziunea la zero)?

Și apoi asigurați-vă că vă uitați la întrebarea sarcinii. Ce intreaba ei?

nu are sens, sensul nostru interzis va fi răspunsul.

Dacă întrebați la ce valoare a unei variabile expresia are sensul(simți diferența!), răspunsul va fi toate celelalte numere cu excepția celor interzise.

De ce avem nevoie de sensul expresiei? El este acolo, nu este... Care este diferența?! Ideea este că acest concept devine foarte important în liceu. Foarte important! Aceasta este baza unor concepte solide precum domeniul valorilor acceptabile sau domeniul unei funcții. Fără aceasta, nu veți putea rezolva deloc ecuații sau inegalități serioase. Ca aceasta.

Conversia expresiilor. Transformări de identitate.

Am fost introduși în expresiile numerice și algebrice. Am înțeles ce înseamnă expresia „expresia nu are sens”. Acum trebuie să ne dăm seama ce este transformarea expresiilor. Răspunsul este simplu, până la disgrație.) Aceasta este orice acțiune cu o expresie. Asta e tot. Faci aceste transformări încă din clasa întâi.

Să luăm expresia numerică 3+5. Cum poate fi convertit? Da, foarte simplu! Calculati:

Acest calcul va fi transformarea expresiei. Puteți scrie aceeași expresie diferit:

Aici nu am numărat absolut nimic. Doar am notat expresia într-o formă diferită. Aceasta va fi, de asemenea, o transformare a expresiei. O poti scrie asa:

Și aceasta este și o transformare a unei expresii. Puteți face câte astfel de transformări doriți.

Orice acţiune asupra expresiei orice scrierea lui sub altă formă se numește transformarea expresiei. Și asta e tot. Totul este foarte simplu. Dar este un lucru aici regula foarte importanta. Atât de important încât poate fi apelat în siguranță regula principala toată matematica. Încălcarea acestei reguli inevitabil duce la erori. Intrăm în asta?)

Să presupunem că ne-am transformat expresia la întâmplare, astfel:

Conversie? Cu siguranță. Am scris expresia într-o formă diferită, ce este în neregulă aici?

Nu este așa.) Ideea este că transformările "la intamplare" nu sunt deloc interesaţi de matematică.) Toată matematica este construită pe transformări în care aspect, dar esența expresiei nu se schimbă. Trei plus cinci pot fi scrise sub orice formă, dar trebuie să fie opt.

Transformări, expresii care nu schimbă esența sunt numite identic.

Exact transformări identitareși permiteți-ne, pas cu pas, să ne transformăm exemplu complexîntr-o expresie simplă, păstrând esența exemplului. Dacă greșim în lanțul transformărilor, facem o transformare NU identică, atunci vom decide o alta exemplu. Cu alte răspunsuri care nu au legătură cu cele corecte.)

Aceasta este regula principală pentru rezolvarea oricăror sarcini: menținerea identității transformărilor.

Am dat un exemplu cu expresia numerică 3+5 pentru claritate. În expresiile algebrice, transformările de identitate sunt date prin formule și reguli. Să presupunem că în algebră există o formulă:

a(b+c) = ab + ac

Aceasta înseamnă că în orice exemplu putem în loc de expresie a(b+c) simțiți-vă liber să scrieți o expresie ab + ac. Si invers. Acest transformare identică. Matematica ne oferă posibilitatea de a alege între aceste două expresii. Și din care să scrieți exemplu concret depinde.

Alt exemplu. Una dintre cele mai importante și necesare transformări este proprietatea de bază a unei fracții. Puteți consulta linkul pentru mai multe detalii, dar aici vă voi aminti doar de regulă: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr sau cu o expresie care nu este egală cu zero, fracția nu se va modifica. Iată un exemplu de transformări de identitate folosind această proprietate:

După cum probabil ați ghicit, acest lanț poate fi continuat la infinit...) Foarte proprietate importantă. Acesta este ceea ce vă permite să transformați tot felul de monștri exemplu în albi și pufosi.)

Există multe formule care definesc transformări identice. Dar cele mai importante sunt un număr destul de rezonabil. Una dintre transformările de bază este factorizarea. Este folosit în toate matematicile - de la elementar la avansat. Să începem cu el. În lecția următoare.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

O expresie este cel mai larg termen matematic. În esență, în această știință totul constă din ele și toate operațiunile sunt, de asemenea, efectuate asupra lor. O altă întrebare este că, în funcție de tipul specific, se folosesc metode și tehnici complet diferite. Deci, lucrul cu trigonometrie, fracții sau logaritmi este trei diverse actiuni. O expresie care nu are sens poate fi una de două tipuri: numerică sau algebrică. Dar ce înseamnă acest concept, cum arată exemplul său și alte puncte vor fi discutate în continuare.

Expresii numerice

Dacă o expresie constă din numere, paranteze, plusuri și minusuri și alte simboluri ale operațiilor aritmetice, poate fi numită în siguranță numerică. Ceea ce este destul de logic: trebuie doar să aruncați o altă privire la prima sa componentă numită.

O expresie numerică poate fi orice: principalul lucru este că nu conține litere. Și sub „orice” în în acest caz, totul este înțeles: de la un număr simplu singur, de la sine, până la o listă uriașă de ele și semne de operații aritmetice care necesită calculul ulterioar al rezultatului final. O fracție este și o expresie numerică dacă nu conține niciun a, b, c, d etc., pentru că atunci este un tip complet diferit, despre care vom discuta puțin mai târziu.

Condiții pentru o expresie care nu are sens

Când o sarcină începe cu cuvântul „calcula”, putem vorbi despre transformare. Chestia este că această acțiune nu este întotdeauna recomandabilă: nu este că ar fi o nevoie puternică de ea, dacă prim plan iese o expresie care nu are sens. Exemplele sunt la nesfârșit uimitoare: uneori, pentru a înțelege că ne-a depășit, trebuie să deschidem parantezele mult și plictisitor și să numărăm-numărăm-numărăm...

Principalul lucru de reținut este că nu există niciun sens în expresiile al căror rezultat final se rezumă la o acțiune interzisă în matematică. Ca să fiu complet sincer, atunci transformarea în sine devine lipsită de sens, dar pentru a afla, trebuie să o faci mai întâi. Un astfel de paradox!

Cea mai faimoasă, dar nu mai puțin importantă operație matematică interzisă este împărțirea la zero.

Prin urmare, de exemplu, iată o expresie care nu are sens:

(17+11):(5+4-10+1).

Dacă, folosind calcule simple, reducem a doua paranteză la o cifră, atunci va fi zero.

Prin același principiu, se acordă un „titlu onorific” acestei expresii:

(5-18):(19-4-20+5).

Expresii algebrice

Aceasta este aceeași expresie numerică dacă i se adaugă litere interzise. Apoi devine algebric cu drepturi depline. De asemenea, poate veni în toate dimensiunile și formele. O expresie algebrică este un concept mai larg care îl include pe cel precedent. Dar avea sens să începi conversația nu cu el, ci cu un număr, astfel încât să fie mai clar și mai ușor de înțeles. La urma urmei, dacă o expresie algebrică are sens nu este o întrebare foarte complicată, ci una care are mai multe clarificări.

De ce este asta?

O expresie literală sau o expresie cu variabile sunt sinonime. Primul termen este ușor de explicat: la urma urmei, conține litere! Nici cel de-al doilea nu este un mister al secolului: în loc de litere, puteți înlocui diferite numere, în urma cărora sensul expresiei se va schimba. Nu este greu de ghicit că literele în acest caz sunt variabilele. Prin analogie, numerele sunt constante.

Și aici revenim la subiectul principal: fără sens?

Exemple de expresii algebrice care nu au sens

Condiția lipsei de sens a unei expresii algebrice este aceeași ca și pentru una numerică, cu o singură excepție sau, mai precis, o adunare. Atunci când convertiți și calculați rezultatul final, trebuie să luați în considerare variabile, astfel încât întrebarea nu este pusă ca „ce expresie nu are sens?”, ci „la ce valoare a variabilei nu va avea sens această expresie?” și „există o valoare a variabilei la care expresia nu va mai avea sens?”

De exemplu, (18-3):(a+11-9).

Expresia de mai sus nu are sens când a este egal cu -2.

Dar despre (a+3):(12-4-8) putem spune cu siguranță că aceasta este o expresie care nu are sens pentru niciun a.

În același mod, orice b înlocuiți în expresia (b - 11): (12+1), va avea în continuare sens.

Probleme tipice pe tema „O expresie care nu are sens”

Clasa a VII-a studiază această temă la matematică, printre altele, iar sarcinile pe aceasta se găsesc adesea atât direct după lecția corespunzătoare, cât și ca o întrebare „șmecherie” în module și examene.

De aceea, merită luate în considerare problemele tipice și metodele de rezolvare a acestora.

Exemplul 1.

Are sens expresia:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Este necesar să efectuați toate calculele dintre paranteze și să aduceți expresia la forma:

Rezultatul final conține, prin urmare, expresia este lipsită de sens.

Exemplul 2.

Ce expresii nu au sens?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Trebuie să calculați valoarea finală pentru fiecare expresie.

Raspunsul 1; 2.

Exemplul 3.

Găsiți intervalul de valori acceptabile pentru următoarele expresii:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Gama de valori admisibile (VA) sunt toate acele numere care, atunci când sunt înlocuite în loc de variabile, expresia va avea sens.

Adică, sarcina sună astfel: găsiți valori la care nu va exista divizare la zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), sau b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), sau b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Exemplul 4.

La ce valori nu va avea sens expresia de mai jos?

A doua paranteză este egală cu zero când jocul este egal cu -3.

Răspuns: y=-3

Exemplul 4.

Care dintre expresii nu are sens doar la x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 și 3, deoarece în primul caz, dacă înlocuiți x = -14, atunci a doua paranteză va fi egală cu -28 și nu zero, așa cum sună în definiția unei expresii fără sens.

Exemplul 5.

Vino și notează o expresie care nu are sens.

18/(2-46+17-33+45+15).

Expresii algebrice cu două variabile

În ciuda faptului că toate expresiile care nu au sens au aceeași esență, există niveluri diferite ale complexității lor. Deci, putem spune că cele numerice sunt exemple simple, deoarece sunt mai ușoare decât cele algebrice. Numărul de variabile din acesta din urmă se adaugă la dificultatea rezolvării. Dar nu ar trebui să arate la fel: principalul lucru este să vă amintiți principiul general al soluției și să îl aplicați, indiferent dacă exemplul este similar cu o problemă standard sau are unele completări necunoscute.

De exemplu, se poate pune întrebarea cum să rezolve o astfel de sarcină.

Găsiți și notați o pereche de numere care nu sunt valide pentru expresia:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Raspunsuri posibile:

Dar, de fapt, pare doar înfricoșător și greoi, pentru că de fapt conține ceea ce se știa de multă vreme: numere la pătrat și cuburi, unele operații aritmetice precum împărțirea, înmulțirea, scăderea și adunarea. Pentru comoditate, apropo, puteți reduce problema la formă fracționată.

Numătorul fracției rezultate nu este fericit: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Este un fapt. Dar există un alt motiv de fericire: nici măcar nu trebuie să-l atingi pentru a rezolva sarcina! Conform definiției discutate mai devreme, nu puteți împărți la zero și ceea ce va fi împărțit exact cu acesta este complet lipsit de importanță. Prin urmare, lăsăm această expresie neschimbată și înlocuim perechi de numere din aceste opțiuni în numitor. Deja al treilea punct se potrivește perfect, transformând un mic parantez în zero. Dar oprirea acolo este o recomandare proastă, pentru că ar putea fi potrivit altceva. Într-adevăr: și al cincilea punct se potrivește bine și se potrivește condițiilor.

Scriem răspunsul: 3 și 5.

In cele din urma

După cum puteți vedea, acest subiect este foarte interesant și nu deosebit de complicat. Nu va fi greu să-ți dai seama. Dar nu strică niciodată să exersezi câteva exemple!

O expresie este cel mai larg termen matematic. În esență, în această știință totul constă din ele și toate operațiunile sunt, de asemenea, efectuate asupra lor. O altă întrebare este că, în funcție de tipul specific, se folosesc metode și tehnici complet diferite. Deci, lucrul cu trigonometrie, fracții sau logaritmi sunt trei acțiuni diferite. O expresie care nu are sens poate fi una de două tipuri: numerică sau algebrică. Dar ce înseamnă acest concept, cum arată exemplul său și alte puncte vor fi discutate în continuare.

Expresii numerice

Dacă o expresie constă din numere, paranteze, plusuri și minusuri și alte simboluri ale operațiilor aritmetice, poate fi numită în siguranță numerică. Ceea ce este destul de logic: trebuie doar să aruncați o altă privire la prima sa componentă numită.

O expresie numerică poate fi orice: principalul lucru este că nu conține litere. Și prin „orice” în acest caz înțelegem totul: de la un număr simplu singur, de la sine, la o listă uriașă de ele și semne de operații aritmetice care necesită calculul ulterioar al rezultatului final. O fracție este și o expresie numerică dacă nu conține niciun a, b, c, d etc., pentru că atunci este un tip complet diferit, despre care vom discuta puțin mai târziu.

Condiții pentru o expresie care nu are sens

Când o sarcină începe cu cuvântul „calcula”, putem vorbi despre transformare. Chestia este că această acțiune nu este întotdeauna recomandabilă: nu este că ar fi mare nevoie de ea dacă o expresie care nu are sens iese în prim-plan. Exemplele sunt la nesfârșit uimitoare: uneori, pentru a înțelege că ne-a depășit, trebuie să deschidem parantezele mult și plictisitor și să numărăm-numărăm-numărăm...

Principalul lucru de reținut este că nu există niciun sens în expresiile al căror rezultat final se rezumă la o acțiune interzisă în matematică. Ca să fiu complet sincer, atunci transformarea în sine devine lipsită de sens, dar pentru a afla, trebuie să o faci mai întâi. Un astfel de paradox!

Cea mai faimoasă, dar nu mai puțin importantă operație matematică interzisă este împărțirea la zero.

Prin urmare, de exemplu, iată o expresie care nu are sens:

(17+11):(5+4-10+1).

Dacă, folosind calcule simple, reducem a doua paranteză la o cifră, atunci va fi zero.

Prin același principiu, se acordă un „titlu onorific” acestei expresii:

(5-18):(19-4-20+5).

Expresii algebrice

Aceasta este aceeași expresie numerică dacă i se adaugă litere interzise. Apoi devine algebric cu drepturi depline. De asemenea, poate veni în toate dimensiunile și formele. O expresie algebrică este un concept mai larg care îl include pe cel precedent. Dar avea sens să începi conversația nu cu el, ci cu un număr, astfel încât să fie mai clar și mai ușor de înțeles. La urma urmei, dacă o expresie algebrică are sens nu este o întrebare foarte complicată, ci una care are mai multe clarificări.

De ce este asta?

O expresie literală sau o expresie cu variabile sunt sinonime. Primul termen este ușor de explicat: la urma urmei, conține litere! Nici cel de-al doilea nu este un mister al secolului: în loc de litere, puteți înlocui diferite numere, în urma cărora sensul expresiei se va schimba. Nu este greu de ghicit că literele în acest caz sunt variabilele. Prin analogie, numerele sunt constante.

Și aici revenim la subiectul principal: ce este o expresie care nu are sens?

Exemple de expresii algebrice care nu au sens

Condiția lipsei de sens a unei expresii algebrice este aceeași ca și pentru una numerică, cu o singură excepție sau, mai precis, o adunare. Atunci când convertiți și calculați rezultatul final, trebuie să luați în considerare variabile, astfel încât întrebarea nu este pusă ca „ce expresie nu are sens?”, ci „la ce valoare a variabilei nu va avea sens această expresie?” și „există o valoare a variabilei la care expresia nu va mai avea sens?”

De exemplu, (18-3):(a+11-9).

Expresia de mai sus nu are sens când a este egal cu -2.

Dar despre (a+3):(12-4-8) putem spune cu siguranță că aceasta este o expresie care nu are sens pentru niciun a.

În același mod, orice b înlocuiți în expresia (b - 11): (12+1), va avea în continuare sens.

Probleme tipice pe tema „O expresie care nu are sens”

Clasa a VII-a studiază această temă la matematică, printre altele, iar sarcinile pe aceasta se găsesc adesea atât direct după lecția corespunzătoare, cât și ca o întrebare „șmecherie” în module și examene.

De aceea, merită luate în considerare problemele tipice și metodele de rezolvare a acestora.

Exemplul 1.

Are sens expresia:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Este necesar să efectuați toate calculele dintre paranteze și să aduceți expresia la forma:

Rezultatul final conține împărțirea la zero, deci expresia este lipsită de sens.

Exemplul 2.

Ce expresii nu au sens?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Trebuie să calculați valoarea finală pentru fiecare expresie.

Raspunsul 1; 2.

Exemplul 3.

Găsiți intervalul de valori acceptabile pentru următoarele expresii:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Gama de valori admisibile (VA) sunt toate acele numere care, atunci când sunt înlocuite în loc de variabile, expresia va avea sens.

Adică, sarcina sună astfel: găsiți valori la care nu va exista divizare la zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), sau b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), sau b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Exemplul 4.

La ce valori nu va avea sens expresia de mai jos?

A doua paranteză este egală cu zero când jocul este egal cu -3.

Răspuns: y=-3

Exemplul 4.

Care dintre expresii nu are sens doar la x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 și 3, deoarece în primul caz, dacă înlocuiți x = -14, atunci a doua paranteză va fi egală cu -28 și nu zero, așa cum sună în definiția unei expresii fără sens.

Exemplul 5.

Vino și notează o expresie care nu are sens.

18/(2-46+17-33+45+15).

Expresii algebrice cu două variabile

În ciuda faptului că toate expresiile care nu au sens au aceeași esență, există niveluri diferite ale complexității lor. Deci, putem spune că cele numerice sunt exemple simple, deoarece sunt mai ușoare decât cele algebrice. Numărul de variabile din acesta din urmă se adaugă la dificultatea rezolvării. Dar nu ar trebui să fie confuze în aspectul lor: principalul lucru este să vă amintiți principiul general al soluției și să îl aplicați, indiferent dacă exemplul este similar cu o problemă standard sau are unele completări necunoscute.

De exemplu, se poate pune întrebarea cum să rezolve o astfel de sarcină.

Găsiți și notați o pereche de numere care nu sunt valide pentru expresia:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Raspunsuri posibile:

Dar, de fapt, pare doar înfricoșător și greoi, pentru că de fapt conține ceea ce se știa de multă vreme: numere la pătrat și cuburi, unele operații aritmetice precum împărțirea, înmulțirea, scăderea și adunarea. Pentru comoditate, apropo, puteți reduce problema la formă fracționată.

Numătorul fracției rezultate nu este fericit: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Este un fapt. Dar există un alt motiv de fericire: nici măcar nu trebuie să-l atingi pentru a rezolva sarcina! Conform definiției discutate mai devreme, nu puteți împărți la zero și ceea ce va fi împărțit exact cu acesta este complet lipsit de importanță. Prin urmare, lăsăm această expresie neschimbată și înlocuim perechi de numere din aceste opțiuni în numitor. Deja al treilea punct se potrivește perfect, transformând un mic parantez în zero. Dar oprirea acolo este o recomandare proastă, pentru că ar putea fi potrivit altceva. Într-adevăr: și al cincilea punct se potrivește bine și se potrivește condițiilor.

Scriem răspunsul: 3 și 5.

In cele din urma

După cum puteți vedea, acest subiect este foarte interesant și nu deosebit de complicat. Nu va fi greu să-ți dai seama. Dar nu strică niciodată să exersezi câteva exemple!