Calculator online pentru reducerea fracțiilor. Reguli pentru reducerea fracțiilor cu exemple

Mulți elevi fac aceleași greșeli atunci când lucrează cu fracții. Și totul pentru că uită regulile de bază aritmetic. Astăzi vom repeta aceste reguli pe sarcini specifice pe care le dau la cursurile mele.

Iată sarcina pe care o ofer tuturor celor care se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică:

Sarcină. Un marsuin mănâncă 150 de grame de hrană pe zi. Dar ea a crescut și a început să mănânce cu 20% mai mult. Câte grame de furaj mănâncă porcul acum?

Nu solutie corecta. Aceasta este o problemă procentuală care se rezumă la ecuația:

Mulți (foarte mulți) reduc numărul 100 la numărătorul și numitorul unei fracții:

Aceasta este greșeala făcută de studentul meu chiar în ziua scrierii acestui articol. Numerele care au fost trunchiate sunt marcate cu roșu.

Inutil să spun că răspunsul a fost greșit. Judecă singur: porcul a mâncat 150 de grame, dar a început să mănânce 3150 de grame. Creșterea nu este de 20%, ci de 21 de ori, adică. cu 2000%.

Pentru a evita astfel de neînțelegeri, amintiți-vă regula de bază:

Numai multiplicatorii pot fi redusi. Termenele nu pot fi reduse!

Astfel, soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

Numerele care sunt prescurtate la numărător și numitor sunt marcate cu roșu. După cum puteți vedea, numărătorul este un produs, numitorul este un număr obișnuit. Prin urmare, reducerea este complet legală.

Lucrul cu proporțiile

O altă zonă problematică este proporții. Mai ales când variabila este pe ambele părți. De exemplu:

Sarcină. Rezolvați ecuația:

Soluție greșită - unii oameni sunt literalmente dornici să scurteze totul cu m:

Variabilele reduse sunt afișate cu roșu. Expresia 1/4 = 1/5 se dovedește a fi un nonsens complet, aceste numere nu sunt niciodată egale.

Și acum - decizia corectă. În esență, este obișnuit ecuație liniară . Poate fi rezolvată fie prin mutarea tuturor elementelor într-o parte, fie prin proprietatea de bază a proporției:

Mulți cititori vor obiecta: „Unde este greșeala în prima soluție?” Ei bine, hai să aflăm. Să ne amintim regula pentru lucrul cu ecuații:

Orice ecuație poate fi împărțită și înmulțită cu orice număr, diferit de zero.

Ai ratat trucul? Poți împărți doar cu numere diferit de zero. În special, puteți împărți la variabila m numai dacă m != 0. Dar dacă, până la urmă, m = 0? Să înlocuim și să verificăm:

Am primit egalitatea numerică corectă, adică. m = 0 este rădăcina ecuației. Pentru restul m != 0 obținem o expresie de forma 1/4 = 1/5, care este în mod natural incorectă. Astfel, nu există rădăcini diferite de zero.

Concluzii: a pune totul împreună

Deci, pentru a rezolva ecuații raționale fracționale, amintiți-vă trei reguli:

1. Numai multiplicatorii pot fi redusi. Adăugările nu sunt posibile. Prin urmare, învață să factorizezi numărătorul și numitorul;
2. Principala proprietate a proporției: produsul elementelor extreme este egal cu produsul celor din mijloc;
3. Ecuațiile pot fi înmulțite și împărțite doar cu alte numere k decât zero. Cazul k = 0 trebuie verificat separat.

Amintiți-vă aceste reguli și nu faceți greșeli.

Calculatorul online funcționează reducerea fracțiilor algebriceîn conformitate cu regula fracțiilor reducătoare: înlocuirea fracției inițiale cu o fracție egală, dar cu un numărător și un numitor mai mici, i.e. Împărțirea simultană a numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai mare factor comun al acestora (GCD). Calculatorul afișează, de asemenea, o soluție detaliată care vă va ajuta să înțelegeți succesiunea reducerii.

Dat:

Soluţie:

Efectuarea reducerii fracțiilor

verificând posibilitatea efectuării reducerii fracţiilor algebrice

1) Determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții

determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice

2) Reducerea numărătorului și numitorului unei fracții

reducerea numărătorului și numitorului unei fracții algebrice

3) Selectarea întregii părți a unei fracții

separând întreaga parte a unei fracții algebrice

4) Conversia unei fracții algebrice într-o fracție zecimală

conversia unei fracții algebrice în zecimal

Ajutor pentru dezvoltarea site-ului proiectului

Stimate vizitator al site-ului.
Dacă nu ați reușit să găsiți ceea ce căutați, asigurați-vă că scrieți despre asta în comentarii, ceea ce lipsește în prezent de pe site. Acest lucru ne va ajuta să înțelegem în ce direcție trebuie să ne îndreptăm mai departe, iar alți vizitatori vor putea primi în curând materialul necesar.
Dacă site-ul s-a dovedit a fi util pentru dvs., donați site-ul proiectului doar 2 ₽și vom ști că ne mișcăm în direcția bună.

Vă mulțumim că ați trecut!

I. Procedura de reducere a unei fracții algebrice folosind un calculator online:

1. Pentru a reduce o fracție algebrică, introduceți valorile numărătorului și numitorului fracției în câmpurile corespunzătoare. Dacă fracția este amestecată, atunci completați și câmpul corespunzător întregii părți a fracției. Dacă fracția este simplă, atunci lăsați necompletat întregul câmp al părții.
2. A seta fracție negativă, pune semnul minus pe toată partea fracției.
3. În funcție de fracția algebrică specificată, următoarea secvență de acțiuni este efectuată automat:

• determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții;
• reducerea numărătorului și numitorului unei fracții cu mcd;
• evidenţierea întregii părţi a unei fracţii, dacă numărătorul fracției finale este mai mare decât numitorul.
• conversia fracției algebrice finale într-o fracție zecimală rotunjit la cea mai apropiată sutime.

Reducerea poate duce la o fracție necorespunzătoare. În acest caz, fracția finală improprie va avea întreaga sa parte evidențiată, iar fracția finală va fi convertită într-o fracție adecvată.

II. Pentru trimitere:

O fracție este un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. O fracție comună (fracție simplă) se scrie ca două numere (numărătorul fracției și numitorul fracției) separate de o bară orizontală (bara fracției) care indică semnul diviziunii. Numătorul unei fracții este numărul de deasupra liniei fracțiilor. Numărătorul arată câte acțiuni au fost luate din total. Numitorul unei fracții este numărul de sub linia fracției. Numitorul arată cât cote egaleîntregul este împărțit. O fracție simplă este o fracție care nu are o parte întreagă. O fracție simplă poate fi adecvată sau improprie. fracție proprie - o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul, deci o fracție adecvată este întotdeauna mai mică decât unu. Exemplu de fracții proprii: 8/7, 11/19, 16/17. O fracție improprie este o fracție în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, deci o fracție improprie este întotdeauna mai mare sau egală cu unu. Exemplu de fracții improprii: 7/6, 8/7, 13/13. fracția mixtă este un număr care conține un număr întreg și o fracție proprie și denotă suma acelui număr întreg și a fracției proprii. Orice fracție mixtă poate fi transformată într-o fracție improprie. Exemplu de fracții mixte: 1¼, 2½, 4¾.

III. Notă:

1. Bloc de date sursă evidențiat galben , bloc intermediar de calcul alocat albastru , blocul soluție este evidențiat în verde.
2. Pentru a adăuga, scădea, înmulți și împărți fracții comune sau mixte, utilizați calculatorul de fracții online cu soluții detaliate.

În acest articol ne vom uita în detaliu cum fracții reducătoare. Mai întâi, să discutăm despre ceea ce se numește reducerea unei fracții. După aceasta, să vorbim despre reducerea unei fracții reductibile la o formă ireductibilă. În continuare vom obține regula pentru reducerea fracțiilor și, în final, vom lua în considerare exemple de aplicare a acestei reguli.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă reducerea unei fracții?

Știm că fracțiile obișnuite sunt împărțite în fracții reductibile și ireductibile. Puteți ghici din nume că fracțiile reductibile pot fi reduse, dar fracțiile ireductibile nu.

Ce înseamnă reducerea unei fracții? Reduceți fracția- aceasta înseamnă împărțirea numărătorului și numitorului la pozitiv și diferit de unitate. Este clar că în urma reducerii unei fracții se obține o nouă fracție cu un numărător și un numitor mai mici, iar, datorită proprietății de bază a fracției, fracția rezultată este egală cu cea inițială.

De exemplu, să reducem fracția comună 8/24 împărțind numărătorul și numitorul la 2. Cu alte cuvinte, să reducem fracția 8/24 cu 2. Deoarece 8:2=4 și 24:2=12, această reducere are ca rezultat fracția 4/12, care este egală cu fracția inițială 8/24 (vezi fracții egale și inegale). Ca urmare, avem .

Reducerea fracțiilor obișnuite la formă ireductibilă

De obicei, scopul final al reducerii unei fracții este de a obține o fracție ireductibilă care este egală cu fracția reductibilă inițială. Acest obiectiv poate fi atins prin reducerea fracției reductibile inițiale la numărătorul și numitorul ei. Ca urmare a unei astfel de reduceri, se obține întotdeauna o fracție ireductibilă. Într-adevăr, o fracțiune este ireductibil, din moment ce se ştie că Și - . Aici vom spune că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului unei fracții este cel mai mare număr, prin care această fracție poate fi redusă.

Asa de, reducerea unei fracții comune la o formă ireductibilă constă în împărțirea numărătorului și numitorului fracției reductibile inițiale la mcd-ul lor.

Să ne uităm la un exemplu, pentru care ne întoarcem la fracția 8/24 și o reducem cu cel mai mare divizor comun al numerelor 8 și 24, care este egal cu 8. Deoarece 8:8=1 și 24:8=3, ajungem la fracția ireductibilă 1/3. Asa de, .

Rețineți că expresia „reduceți o fracție” înseamnă adesea reducerea fracției inițiale la forma sa ireductibilă. Cu alte cuvinte, reducerea unei fracții se referă foarte des la împărțirea numărătorului și numitorului la cel mai mare factor comun al lor (mai degrabă decât la orice factor comun).

Cum se reduce o fracție? Reguli și exemple de fracții reducătoare

Tot ce rămâne este să ne uităm la regula de reducere a fracțiilor, care explică cum se reduce o anumită fracție.

Regula pentru reducerea fracțiilor constă din două etape:

• în primul rând, se găsește mcd-ul numărătorului și numitorului fracției;
• în al doilea rând, numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la mcd-ul lor, ceea ce dă o fracție ireductibilă egală cu cea inițială.

Să rezolvăm exemplu de reducere a unei fracții conform regulii enunţate.

Exemplu.

Reduceți fracția 182/195.

Soluţie.

Să efectuăm ambii pași prescriși de regula pentru reducerea unei fracții.

Mai întâi găsim GCD(182, 195) . Cel mai convenabil este să utilizați algoritmul Euclid (vezi): 195=182·1+13, 182=13·14, adică GCD(182, 195)=13.

Acum împărțim numărătorul și numitorul fracției 182/195 la 13 și obținem fracția ireductibilă 14/15, care este egală cu fracția inițială. Aceasta completează reducerea fracției.

Pe scurt, soluția poate fi scrisă astfel: .

Răspuns:

Aici putem termina reducerea fracțiilor. Dar pentru a completa imaginea, să ne uităm la alte două moduri de a reduce fracțiile, care sunt de obicei folosite în cazuri ușoare.

Uneori, numărătorul și numitorul fracției care se reduce nu este dificil. Reducerea unei fracții în acest caz este foarte simplă: trebuie doar să eliminați toți factorii comuni de la numărător și numitor.

Este de remarcat faptul că această metodă decurge direct din regula fracțiilor reducătoare, deoarece produsul tuturor factorilor primi comuni ai numărătorului și numitorului este egal cu cel mai mare divizor comun al acestora.

Să ne uităm la soluția exemplului.

Exemplu.

Reduceți fracția 360/2 940.

Soluţie.

Să factorizăm numărătorul și numitorul în factori simpli: 360=2·2·2·3·3·5 și 2.940=2·2·3·5·7·7. Prin urmare, .

Acum scăpăm de factorii comuni din numărător și numitor; pentru comoditate, pur și simplu îi tăiem: .

În cele din urmă, înmulțim factorii rămași: , iar reducerea fracției este finalizată.

Iată un scurt rezumat al soluției: .

Răspuns:

Să luăm în considerare o altă modalitate de a reduce o fracție, care constă în reducerea secvențială. Aici, la fiecare pas, fracția este redusă cu un divizor comun al numărătorului și numitorului, care este fie evident, fie ușor de determinat folosind

La prima vedere, fracțiile algebrice par foarte complexe, iar un elev nepregătit poate crede că nu se poate face nimic cu ele. Acumularea de variabile, numere și chiar grade evocă frică. Cu toate acestea, aceleași reguli sunt folosite pentru a reduce fracțiile comune (cum ar fi 15/25) și fracțiile algebrice.

Pași

Fracții reducătoare

Consultați activitățile cu fracții simple. Operațiile cu fracțiile ordinare și algebrice sunt similare. De exemplu, să luăm fracția 15/35. Pentru a simplifica această fracție, ar trebui găsiți divizor comun. Ambele numere sunt divizibile cu cinci, așa că putem izola 5 în numărător și numitor:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Acum poti reduce factorii comuni, adică tăiați 5 la numărător și numitor. Ca rezultat, obținem fracția simplificată 3/7 . ÎN expresii algebrice factorii comuni sunt alocați în același mod ca în cei obișnuiți. În exemplul anterior, am putut izola cu ușurință 5 de 15 - același principiu se aplică expresiilor mai complexe, cum ar fi 15x – 5. Să găsim factorul comun. ÎN în acest caz, acesta va fi 5, deoarece ambii termeni (15x și -5) sunt divizibili cu 5. Ca și înainte, izolați factorul comun și mutați-l stânga.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Pentru a verifica dacă totul este corect, doar înmulțiți expresia dintre paranteze cu 5 - rezultatul va fi aceleași numere ca la început. Membrii complecși pot fi izolați în același mod ca și cei simpli. Aceleași principii se aplică fracțiilor algebrice ca și celor obișnuite. Acesta este cel mai simplu mod de a reduce o fracție. Luați în considerare următoarea fracție:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Rețineți că atât numărătorul (sus) cât și numitorul (jos) conțin un termen (x+2), deci poate fi redus în același mod ca factorul comun 5 în fracția 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Ca rezultat, obținem o expresie simplificată: (x-3)/(x+10)

Reducerea fracțiilor algebrice

Găsiți factorul comun în numărător, adică în partea de sus a fracției. Când reduceți o fracție algebrică, primul pas este simplificarea ambelor părți. Începeți cu numărătorul și încercați să-l descompuneți în cât mai multe număr mai mare multiplicatori. Luați în considerare în această secțiune următoarea fracție:

9x-3 15x+6

Să începem cu numărătorul: 9x – 3. Pentru 9x și -3, factorul comun este numărul 3. Să luăm 3 dintre paranteze, așa cum se face cu numerele obișnuite: 3 * (3x-1). Rezultatul acestei transformări este următoarea fracție:

3(3x-1) 15x+6

Găsiți factorul comun în numărător. Să continuăm cu exemplul de mai sus și să notăm numitorul: 15x+6. Ca și înainte, să aflăm cu ce număr sunt divizibile ambele părți. Și în acest caz factorul comun este 3, deci putem scrie: 3 * (5x +2). Să rescriem fracția în următoarea formă:

3(3x-1) 3(5x+2)

Scurtați aceiași termeni. La acest pas puteți simplifica fracția. Anulați aceiași termeni la numărător și numitor. În exemplul nostru, acest număr este 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Stabiliți că fracția are cea mai simplă formă. O fracție este complet simplificată atunci când nu mai există factori comuni în numărător și numitor. Vă rugăm să rețineți că nu puteți anula acei termeni care sunt între paranteze - în exemplul dat nu există nicio modalitate de a izola x de 3x și 5x, deoarece membri cu drepturi depline sunt (3x -1) și (5x + 2). Astfel, fracția nu poate fi simplificată în continuare, iar răspunsul final este următorul:

(3x-1)(5x+2)

Exersați singur reducerea fracțiilor. Cel mai bun mod A stăpâni metoda înseamnă a rezolva în mod independent problemele. Răspunsurile corecte sunt date mai jos de exemple.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Răspuns:(x=13)

2x 2 -x 5x

Răspuns:(2x-1)/5

Mișcări speciale

Scoate-o afara semn negativ dincolo de fractie. Să presupunem că vi se oferă următoarea fracție:

3(x-4) 5(4-x)

Rețineți că (x-4) și (4-x) sunt „aproape” identice, dar nu pot fi reduse imediat deoarece sunt „inversate”. Cu toate acestea, (x - 4) poate fi scris ca -1 * (4 - x), la fel cum (4 + 2x) poate fi scris ca 2 * (2 + x). Aceasta se numește „inversare a semnelor”.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Acum puteți reduce termeni identici (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Deci, obținem răspunsul final: -3/5 . Învață să recunoști diferența dintre pătrate. O diferență de pătrate este atunci când pătratul unui număr este scăzut din pătratul altui număr, ca în expresia (a 2 - b 2). Diferența pătratelor perfecte poate fi întotdeauna descompusă în două părți - suma și diferența corespunzătoare rădăcini pătrate. Atunci expresia va lua următoarea formă:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Această tehnică este foarte utilă atunci când găsiți termeni comuni în fracțiile algebrice.

• Verificați dacă ați factorizat corect cutare sau cutare expresie. Pentru a face acest lucru, înmulțiți factorii - rezultatul ar trebui să fie aceeași expresie.
• Pentru a simplifica complet o fracție, izolați întotdeauna cei mai mari factori.

Acest articol continuă subiectul conversiei fracțiilor algebrice: luați în considerare o astfel de acțiune ca reducerea fracțiilor algebrice. Să definim termenul în sine, să formulăm o regulă de reducere și să analizăm exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sensul reducerii unei fracții algebrice

În materialele despre fracțiile comune, ne-am uitat la reducerea acesteia. Am definit reducerea unei fracții ca împărțirea numărătorului și numitorului acesteia la un factor comun.

Reducerea unei fracții algebrice este o operație similară.

Definiția 1

Reducerea unei fracții algebrice este împărțirea numărătorului și numitorului său cu un factor comun. În acest caz, spre deosebire de reducerea unei fracții obișnuite (numitorul comun poate fi doar un număr), factorul comun al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice poate fi un polinom, în special, un monom sau un număr.

De exemplu, fracție algebrică 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 se poate reduce cu numărul 3, rezultând: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Putem reduce aceeași fracție cu variabila x, iar aceasta ne va da expresia 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. De asemenea, este posibilă reducerea unei fracții date cu un monom 3 x sau oricare dintre polinoame x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y sau 3 x 2 + 6 x y.

Scopul final al reducerii unei fracții algebrice este o fracție mai mare decât tip simplu, V cel mai bun scenariu– fracție ireductibilă.

Sunt toate fracțiile algebrice supuse reducerii?

Din nou, din materiale pe fracții obișnuite, știm că există fracții reductibile și ireductibile. Fracțiile ireductibile sunt fracții care nu au factori comuni la numărător și numitor alții decât 1.

La fel este și cu fracțiile algebrice: pot avea factori comuni în numărător și numitor sau nu. Prezența factorilor comuni vă permite să simplificați fracția originală prin reducere. Când nu există factori comuni, este imposibil să optimizați o anumită fracție folosind metoda reducerii.

În cazuri generale, conform tipul dat Este destul de dificil pentru o fracție să înțeleagă dacă poate fi redusă. Desigur, în unele cazuri prezența unui factor comun între numărător și numitor este evidentă. De exemplu, în fracția algebrică 3 x 2 3 y este destul de clar că factorul comun este numărul 3.

În fracția - x · y 5 · x · y · z 3 înțelegem imediat că poate fi redusă cu x, sau y, sau x · y. Și totuși, mult mai des există exemple de fracții algebrice, când factorul comun al numărătorului și numitorului nu este atât de ușor de văzut și, chiar mai des, este pur și simplu absent.

De exemplu, putem reduce fracția x 3 - 1 x 2 - 1 cu x - 1, în timp ce factorul comun specificat nu este prezent în intrare. Dar fracția x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 nu poate fi redusă, deoarece numărătorul și numitorul nu au un factor comun.

Astfel, problema determinării reductibilității unei fracții algebrice nu este atât de simplă și este adesea mai ușor să lucrezi cu o fracție dintr-o formă dată decât să încerci să afli dacă aceasta este reductibilă. În acest caz, au loc astfel de transformări care în anumite cazuri fac posibilă determinarea factorului comun al numărătorului și numitorului sau tragerea unei concluzii despre ireductibilitatea unei fracții. Vom examina această problemă în detaliu în următorul paragraf al articolului.

Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice

Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice constă din două acțiuni succesive:

• găsirea factorilor comuni ai numărătorului și numitorului;
• dacă se găsesc, acţiunea de reducere a fracţiei se realizează direct.

Cea mai convenabilă metodă pentru găsirea numitorilor comuni este factorizarea polinoamelor prezente în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice date. Acest lucru vă permite să vedeți imediat în mod clar prezența sau absența factorilor comuni.

Însăși acțiunea de reducere a unei fracții algebrice se bazează pe proprietatea principală a unei fracții algebrice, exprimată prin egalitatea nedefinită, unde a, b, c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero. Primul pas este reducerea fracției la forma a · c b · c, în care observăm imediat factorul comun c. Al doilea pas este efectuarea unei reduceri, de ex. trecerea la o fracție de forma a b .

Exemple tipice

În ciuda unor evidente, să clarificăm despre caz special când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt egale. Fracțiile similare sunt identic egale cu 1 pe întreaga ODZ a variabilelor acestei fracții:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Deoarece fracții comune sunt un caz special de fracții algebrice, să ne amintim cum se realizează reducerea lor. Numerele naturale scrise la numărător și numitor sunt descomponate în factori primi, apoi factorii comuni sunt anulați (dacă există).

De exemplu, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produsul factorilor simpli identici poate fi scris ca puteri, iar în procesul de reducere a unei fracții, folosiți proprietatea de a împărți puterile cu baze identice. Atunci soluția de mai sus ar fi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numeratorul și numitorul împărțite la un factor comun 2 2 3). Sau pentru claritate, pe baza proprietăților înmulțirii și împărțirii, dăm soluției următoarea formă:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Prin analogie, se realizează reducerea fracțiilor algebrice, în care numărătorul și numitorul au monomii cu coeficienți întregi.

Exemplul 1

Fracția algebrică este dată - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Trebuie redus.

Soluţie

Este posibil să scrieți numărătorul și numitorul unei fracții date ca produs de factori și variabile simple, apoi efectuați reducerea:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Cu toate acestea, o modalitate mai rațională ar fi să scrieți soluția ca o expresie cu puteri:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Răspuns:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice conțin coeficienți numerici fracționari, există două modalități posibile de acțiune ulterioară: fie împărțiți acești coeficienți fracționari separat, fie scăpați mai întâi de coeficienții fracționali prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu un număr natural. Ultima transformare se realizează datorită proprietății de bază a unei fracții algebrice (puteți citi despre aceasta în articolul „Reducerea unei fracții algebrice la un nou numitor”).

Exemplul 2

Fracția dată este 2 5 x 0, 3 x 3. Trebuie redus.

Soluţie

Este posibil să reduceți fracția astfel:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Să încercăm să rezolvăm problema diferit, scăpând mai întâi de coeficienții fracționali - înmulțiți numărătorul și numitorul cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor coeficienți, adică. pe LCM (5, 10) = 10. Apoi obținem:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Răspuns: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Când reducem fracțiile algebrice vedere generala, în care numărătorii și numitorii pot fi fie monomii, fie polinoame, poate exista o problemă atunci când factorul comun nu este întotdeauna vizibil imediat. Sau mai mult decât atât, pur și simplu nu există. Apoi, pentru a determina factorul comun sau pentru a înregistra absența acestuia, sunt factorizați numărătorul și numitorul fracției algebrice.

Exemplul 3

Se dă fracția rațională 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Trebuie redus.

Soluţie

Să factorăm polinoamele în numărător și numitor. Să-l scoatem din paranteze:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vedem că expresia din paranteze poate fi convertită folosind formule de înmulțire prescurtate:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Se vede clar că este posibil să se reducă o fracție printr-un factor comun b 2 (a + 7). Să facem o reducere:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Să scriem o soluție scurtă fără explicații ca un lanț de egalități:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Răspuns: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Se întâmplă ca factorii comuni să fie ascunși de coeficienți numerici. Apoi, la reducerea fracțiilor, este optim să puneți factorii numerici la puteri mai mari ale numărătorului și numitorului din paranteze.

Exemplul 4

Având în vedere fracția algebrică 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Este necesar să o reduceți dacă este posibil.

Soluţie

La prima vedere, numărătorul și numitorul nu există numitor comun. Cu toate acestea, să încercăm să convertim fracția dată. Să scoatem factorul x din numărător:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Acum puteți vedea o oarecare similitudine între expresia dintre paranteze și expresia din numitor datorită x 2 y . Să scoatem coeficienții numerici ai puterilor superioare ale acestor polinoame:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Acum factorul comun devine vizibil, efectuăm reducerea:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Răspuns: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Să subliniem că abilitatea de a reduce fracțiile raționale depinde de capacitatea de a factoriza polinoame.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter