Calculați aria figurilor plate delimitate de linii online. Exemple

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit conform o anumită regulă, care se aplică secvenţial de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.

ÎN secțiunea anterioară dedicat analizei sens geometric integrală definită, am obținut o serie de formule pentru calcularea ariei trapez curbat:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru a rezolva sarcini simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).

Teorema

Fie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dovada

Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2. Înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.

Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).

Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm figuri complexe ca uniuni ale mai multor figuri simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele este dificilă pentru dvs., puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor de funcții, precum și construirea de grafice în timp ce studiați o funcție.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Soluţie

Să desenăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.

Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S(G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.

Soluţie

ÎN în acest caz, avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.

Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.

Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplu generalîn desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am adus asta aici solutie detaliata doar pentru că sunt mai multe cazuri dificile soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este întotdeauna mai bine să calculați coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.

Soluţie

Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.

Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.

Opțiunea 1

Ne putem imagina figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei x, primul fiind situat mai jos. linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea nr. 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Soluţie

Cu o linie roșie trasăm linia definită de funcția y = x. Desenăm linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Să marchem punctele de intersecție.

Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda nr. 1

Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr. 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune variante de sarcini.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Problema 1 (despre calcularea ariei unui trapez curbat).

În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, este dată o cifră (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (a de un trapez curbiliniu. Este necesar să se calculeze aria unui curbiliniu trapez.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.

Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte, axe paralele u. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.

Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a.

Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului, \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2 (despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Dacă mișcarea ar fi uniformă, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, adică. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului într-o perioadă de timp; vom nota această valoare aproximativă ca s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Deci asta model matematic trebuie studiate special.

Conceptul de integrală definită

Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

În cursul analizei matematice s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continuă pe bucăți). Se numeste integrala definita a functiei y = f(x) peste segmentul [a; b] și notată după cum urmează:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).

Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Acesta este sensul geometric al integralei definite.

Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă după cum urmează:

formula Newton-Leibniz

Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?

Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); Aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivata lui v(t).

Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivata lui f(x).

Formula de mai sus este de obicei numită formula Newton-Leibniz în onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care au obținut-o independent unul de celălalt și aproape simultan.

În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori numită substituție dublă) și, în consecință, rescriu Newtonul -Formula Leibniz în acest fel formează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.

Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.

Proprietatea 1. Integrală a sumei funcțiilor egal cu suma integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită

Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbate, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [A; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, calculată prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (n +1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

A)

Soluţie.

În primul rând și cel mai important moment soluții - construirea unui desen.

Să facem desenul:

Ecuația y=0 setează axa „x”;

- x=-2Și x=1- drept, paralel cu axa OU;

- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).

Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OUși hotărând în consecință ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou, De aceea:

Răspuns: S=9 unități mp

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie să faceți dacă un trapez curbat este situat sub axă Oh?

b) Calculați aria figurii delimitată de drepte y=-e x , x=1și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbat este complet situat sub axă Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior.

c) Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii y=2x-x 2, y=-x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și drept Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0, limita superioară a integrării b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S=4,5 unități mp

Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri

Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza problema tipică și cea mai comună - cum să calculăm aria unei figuri plane folosind o integrală definită. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o diagramă dacha folosind funcții elementare și să-i găsiți aria folosind o integrală definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrală nedefinită cel putin la un nivel mediu. Astfel, manechinii ar trebui să se familiarizeze mai întâi cu lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu integrale definite pe pagina Integrale definite. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, deci este mult mai mult problemă de actualitate vor fi cunoștințele și abilitățile tale în desen. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (pentru mulți, este necesar) folosind material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea este familiarizată cu sarcina de a găsi zona folosind o integrală definită încă de la școală și nu vom merge mult mai departe de curiculumul scolar. Acest articol poate să nu fi existat deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev suferă de o școală urâtă și stăpânește cu entuziasm un curs de matematică superioară.

Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbat.

Un trapez curbat este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Fie localizată această cifră nu mai puțin axa x:

Atunci aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În lecția Integrală definită. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să mai spunem una fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Adică, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită însăși este numeric egal cu suprafata trapezul curbat corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct al deciziei este desenul. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.

Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: mai întâi, este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai apoi - parabole, hiperbolele și graficele altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punctual; tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi umbri trapezul curbat; aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Ce să faci dacă un trapez curbat este situat sub axă?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluție: Să facem un desen:

Dacă un trapez curbat este situat sub axă (sau, conform macar, nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Este mai bine, dacă este posibil, să nu folosiți această metodă.

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica construcției punctuale pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutorul Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:

Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment o funcție continuă este mai mare sau egală cu o funcție continuă, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axă și, aproximativ vorbind, este important care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JAS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este caz special formule . Deoarece axa este specificată de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție

Exemplul 5

Exemplul 6

Aflați aria figurii delimitată de liniile , .

Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a greșit umilul tău servitor de mai multe ori. Iată un caz real:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluție: Mai întâi, să facem un desen:

...Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare a fi lizibil.

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru (uitați-vă cu atenție la starea - cât de limitată figura!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea un „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită. verde!

Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o altă sarcină semnificativă.

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct:

Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?

În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale unei drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:


,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne; calculele de aici nu sunt cele mai simple.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,

Soluție: Să reprezentăm această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și, scuze, nu am vrut să refac poza. Nu este o zi de desen, pe scurt, azi este ziua =)

Pentru construcția punct cu punct trebuie să știți aspect sinusoide (și în general este util să cunoaștem graficele tuturor funcțiilor elementare), precum și unele valori sinusoidale, acestea pot fi găsite în tabelul trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici; acestea decurg direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare: