Într-un triunghi obișnuit, toate unghiurile sunt egale. Triunghi regulat

În cursul de geometrie școlară, o cantitate imensă de timp este dedicată studiului triunghiurilor. Elevii calculează unghiuri, construiesc bisectoare și altitudini, descoperă cum diferă formele unele de altele și cel mai simplu mod de a-și găsi aria și perimetrul. Se pare că acest lucru nu va fi util în viață, dar uneori este totuși util să învățați, de exemplu, cum să determinați dacă un triunghi este echilateral sau obtuz. Cum să facă acest lucru?

Tipuri de triunghiuri

Trei puncte care nu se află pe aceeași linie și segmentele care le leagă. Se pare că această cifră este cea mai simplă. Ce fel de triunghiuri pot fi dacă au doar trei laturi? De fapt, există destul de multe opțiuni. un numar mare de, iar unele dintre ele sunt date Atentie speciala ca parte a unui curs de geometrie școlară. Un triunghi regulat este echilateral, adică toate unghiurile și laturile sale sunt egale. Are o serie de proprietăți remarcabile, care vor fi discutate în continuare.

Un isoscel are doar două laturi egale și este, de asemenea, destul de interesant. Într-un dreptunghiular, după cum ați putea ghici, unul dintre unghiuri este drept sau, respectiv, obtuz. Mai mult, pot fi și isoscele.

Există și unul special numit egiptean. Laturile sale sunt de 3, 4 și 5 unități. În plus, este dreptunghiulară. Se crede că a fost folosit în mod activ de către geometrii și arhitecții egipteni pentru a construi unghiuri drepte. Se crede că celebrele piramide au fost construite cu ajutorul ei.

Și totuși toate vârfurile unui triunghi pot fi situate pe aceeași linie dreaptă. În acest caz, se va numi degenerat, în timp ce toate celelalte se vor numi nedegenerate. Ele sunt una dintre subiectele studierii geometriei.

Triunghi echilateral

Desigur, cifrele corecte provoacă întotdeauna cel mai mare interes. Par mai perfecte, mai grațioase. Formulele pentru calcularea caracteristicilor lor sunt adesea mai simple și mai scurte decât pentru cifrele obișnuite. Acest lucru este valabil și pentru triunghiuri. Nu este surprinzător că atunci când studiază geometria li se acordă o atenție deosebită: școlarii sunt învățați să distingă figurile corecte de restul și, de asemenea, li se vorbește despre unele dintre caracteristicile lor interesante.

Semne și proprietăți

După cum ați putea ghici din nume, fiecare latură a unui triunghi echilateral este egală cu celelalte două. În plus, are o serie de caracteristici care vă ajută să determinați dacă cifra este corectă sau nu.

Dacă se observă cel puțin unul dintre semnele de mai sus, atunci triunghiul este echilateral. Pentru figura potrivită Toate afirmațiile de mai sus sunt adevărate.

Toate triunghiurile au o serie de proprietăți remarcabile. In primul rand, linia de mijloc, adică un segment care împarte două laturi în jumătate și paralel cu a treia, este egal cu jumătatea bazei. În al doilea rând, suma tuturor unghiurilor acestei figuri este întotdeauna egală cu 180 de grade. În plus, există o altă relație interesantă în triunghiuri. Deci, opus laturii mai mari se află unghiul mai mare și invers. Dar acest lucru, desigur, nu are nimic de-a face cu un triunghi echilateral, deoarece toate unghiurile sale sunt egale.

Cercuri înscrise și circumscrise

Adesea, la un curs de geometrie, studenții învață și cum formele pot interacționa între ele. În special, sunt studiate cercurile înscrise în poligoane sau descrise în jurul lor. Despre ce e vorba?

Un cerc înscris este un cerc pentru care toate laturile poligonului sunt tangente. Descris - cel care are puncte de contact cu toate colțurile. Pentru fiecare triunghi, puteți construi întotdeauna atât primul cât și al doilea cerc, dar numai unul de fiecare tip. Dovada acestor două

teoremele sunt date la cursul de geometrie a școlii.

Pe lângă calcularea parametrilor triunghiurilor în sine, unele probleme implică și calcularea razelor acestor cercuri. Și formule pentru
triunghiul echilateral arată astfel:

unde r este raza cercului înscris, R este raza cercului circumscris, a este lungimea laturii triunghiului.

Calculul înălțimii, perimetrului și suprafeței

Parametrii de bază pe care școlarii îi calculează în timp ce studiază geometria rămân neschimbați pentru aproape orice figură. Acestea sunt perimetrul, suprafața și înălțimea. Pentru a simplifica calculele, există diverse formule.

Deci, perimetrul, adică lungimea tuturor laturilor, se calculează în următoarele moduri:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, unde a este latura unui triunghi echilateral, R este raza cercului circumscris, r este cercul înscris.

h = (√ ̅3/2)*a, unde a este lungimea laturii.

În cele din urmă, formula este derivată din cea standard, adică produsul dintre jumătatea bazei și înălțimea acesteia.

S = (√ ̅3/4)*a 2, unde a este lungimea laturii.

Această valoare poate fi calculată și prin parametrii unui cerc circumscris sau înscris. Există și formule speciale pentru aceasta:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, unde r și R sunt razele cercurilor înscrise și, respectiv, circumscrise.

Constructie

Un alt tip de problemă interesant, inclusiv triunghiuri, implică necesitatea de a desena o anumită figură folosind un set minim

unelte: busolă și riglă fără diviziuni.

Pentru a construi un triunghi obișnuit folosind doar aceste dispozitive, trebuie să urmați mai mulți pași.

1. Trebuie să desenați un cerc cu orice rază și cu un centru într-un punct arbitrar A. Trebuie marcat.
2. Apoi, trebuie să trasați o linie dreaptă prin acest punct.
3. Intersecțiile unui cerc și a unei linii drepte trebuie desemnate ca B și C. Toate construcțiile trebuie realizate cu cea mai mare precizie posibilă.
4. Apoi, trebuie să construiți un alt cerc cu aceeași rază și centru în punctul C sau un arc cu parametrii corespunzători. Punctele de intersecție vor fi desemnate D și F.
5. Punctele B, F, D trebuie conectate prin segmente. Se construiește un triunghi echilateral.

Rezolvarea unor astfel de probleme este de obicei o problemă pentru școlari, dar această abilitate poate fi utilă în viața de zi cu zi.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, V proces, și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Definiția 7. Orice triunghi ale cărui două laturi sunt egale se numește isoscel.
Două laturi egale se numesc laterale, a treia se numește bază.
Definiția 8. Dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci triunghiul se numește echilateral.
Este un tip special de triunghi isoscel.
Teorema 18. Înălțimea unui triunghi isoscel, coborât la bază, este în același timp bisectoarea unghiului dintre laturile egale, mediana și axa de simetrie a bazei.
Dovada. Să coborâm înălțimea până la baza triunghiului isoscel. Îl va împărți în două triunghiuri dreptunghice egale (de-a lungul catetei și ipotenuzei). Unghiurile A și C sunt egale, iar înălțimea împarte baza în jumătate și va fi axa de simetrie a întregii figuri luate în considerare.
Această teoremă poate fi formulată și după cum urmează:
Teorema 18.1. Mediana unui triunghi isoscel, coborât la bază, este și bisectoarea unghiului dintre laturile egale, înălțimea și axa de simetrie a bazei.
Teorema 18.2. Bisectoarea unui triunghi isoscel, coborât la bază, este simultan înălțimea, mediana și axa de simetrie a bazei.
Teorema 18.3. Axa de simetrie a unui triunghi isoscel este simultan bisectoarea unghiului dintre laturile egale, mediana și altitudinea.
Dovada acestor consecințe rezultă și din egalitatea triunghiurilor în care este împărțit un triunghi isoscel.

Teorema 19. Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale.
Dovada. Să coborâm înălțimea până la baza triunghiului isoscel. Îl va împărți în două triunghiuri dreptunghice egale (de-a lungul catetei și ipotenuzei), ceea ce înseamnă că unghiurile corespunzătoare sunt egale, adică. ∠ A=∠ C
Criteriile pentru un triunghi isoscel provin din teorema 1 și corolarele sale și din teorema 2.
Teorema 20. Dacă două dintre cele patru linii indicate (înălțimea, mediana, bisectoarea, axa de simetrie) coincid, atunci triunghiul va fi isoscel (ceea ce înseamnă că toate cele patru linii vor coincide).
Teorema 21. Dacă oricare două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.

Dovada: Similar cu demonstrația teoremei directe, dar folosind al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Centrul de greutate, centrele cercului circumscris și cercului și punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi isoscel se află toate pe axa sa de simetrie, adică. la inaltime.
Un triunghi echilateral este isoscel pentru fiecare pereche de laturi. Datorită egalității tuturor laturilor sale, toate cele trei unghiuri ale unui astfel de triunghi sunt egale. Considerând că suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu două unghiuri drepte, vedem că fiecare dintre unghiurile unui triunghi echilateral este egal cu 60°. În schimb, pentru a vă asigura că toate laturile unui triunghi sunt egale, este suficient să verificați că două dintre cele trei unghiuri ale sale sunt egale cu 60°.
Teorema 22 . Într-un triunghi echilateral, toate punctele remarcabile coincid: centrul de greutate, centrele cercurilor înscrise și circumscrise, punctul de intersecție al altitudinilor (numit ortocentrul triunghiului).
Teorema 23 . Dacă două dintre cele patru puncte indicate coincid, atunci triunghiul va fi echilateral și, în consecință, toate cele patru puncte numite vor coincide.
Într-adevăr, un astfel de triunghi se va dovedi, conform celui precedent, isoscel față de orice pereche de laturi, adică. echilateral. Un triunghi echilateral se mai numește și triunghi regulat. Aria unui triunghi isoscel este egală cu jumătate din produsul pătratului laturii și sinusul unghiului dintre laturi
Luați în considerare această formulă pentru un triunghi echilateral, atunci unghiul alfa va fi egal cu 60 de grade. Apoi formula se va schimba în aceasta:

Teorema d1 . Într-un triunghi isoscel, medianele trasate pe laturi sunt egale.

Dovada: Fie ABC un triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL medianele sale. Atunci triunghiurile AKB și ALB sunt egale conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor. Au latura comună AB, laturile AL și BK sunt egale cu jumătățile laturilor laterale ale unui triunghi isoscel, iar unghiurile LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Deoarece triunghiurile sunt congruente, laturile lor AK și LB sunt egale. Dar AK și LB sunt medianele unui triunghi isoscel desenat pe laturile sale laterale.
Teorema d2 . Într-un triunghi isoscel, bisectoarele trasate pe laturile laterale sunt egale.

Dovada: Fie ABC un triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL bisectoarele sale. Triunghiurile AKB și ALB sunt egale conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor. Au o latură comună AB, unghiurile LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel, iar unghiurile LBA și KAB sunt egale cu jumătate din unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Deoarece triunghiurile sunt congruente, laturile lor AK și LB - bisectoarele triunghiului ABC - sunt congruente. Teorema a fost demonstrată.
Teorema d3 . Într-un triunghi isoscel, înălțimile coborâte pe laturi sunt egale.

Dovada: Fie ABC un triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL altitudinile sale. Atunci unghiurile ABL și KAB sunt egale, deoarece unghiurile ALB și AKB sunt unghiuri drepte, iar unghiurile LAB și ABK sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. În consecință, triunghiurile ALB și AKB sunt egale conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor: au o latură comună AB, unghiurile KAB și LBA sunt egale conform celor de mai sus, iar unghiurile LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Dacă triunghiurile sunt congruente, laturile lor AK și BL sunt de asemenea congruente. Q.E.D.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.