Definiția unui trapez curbat este formula pentru aria sa. Integrala definita
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Cuvinte cheie: integral, trapez curbiliniu, aria figurilor delimitate de crini
Dotare: panou de marcat, calculator, proiector multimedia
Tipul lecției: lecție-prelecție
Obiectivele lecției:
- educațional: să formeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev, să creeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
- dezvoltarea: formarea gândirii independente a elevului în aplicarea cunoștințelor în situatii diferite, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
- educațional: pentru a forma concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, pentru a stăpâni abilitățile de calcul a ariilor figurilor plane
Metoda de predare: explicativă și ilustrativă.
În timpul orelor
În clasele anterioare am învățat să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii întrerupte. În matematică, există metode care vă permit să calculați ariile figurilor delimitate de curbe. Astfel de cifre sunt numite trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.
trapez curbiliniu ( slide 1)
Un trapez curbat este o figură delimitată de graficul unei funcții, ( sh.m.), Drept x = aȘi x = bși axa x
Diferite tipuri de trapeze curbate ( slide 2)
Luăm în considerare tipuri diferite trapeze curbilinii și observați: una dintre drepte degenerează într-un punct, rolul funcției de limitare îl joacă linia
Aria unui trapez curbat (diapozitivul 3)
Fixați capătul din stânga al intervalului A, si cel potrivit X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este o antiderivată F pentru functie f
Iar pe segmentul [ A; b] zona unui trapez curbat, format din functie f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:
Exercitiul 1:
Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției: f(x) = x 2 si drept y = 0, x = 1, x = 2.
Soluție: ( conform algoritmului slide 3)
Să desenăm un grafic al funcției și al liniilor
Să găsim unul dintre funcții antiderivate f(x) = x 2 :
Autotest pe diapozitiv
Integral
Se consideră un trapez curbiliniu definit de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor mai mici curbate. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbat. Cu cât împărțim segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.
Să scriem aceste argumente sub formă de formule.
Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți prin puncte x 0 =a, x1,...,xn = b. Lungime k- th notează prin xk = xk – xk-1. Să facem o sumă
Geometric, această sumă reprezintă aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)
Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sh.m.)
Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoare exacta se obţine prin trecerea la limită. Să ne imaginăm că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, zona figurii compuse se va apropia de zona trapezului curbat. Putem spune că aria unui trapez curbat este egală cu limita sumelor integrale, Sc.t. (sh.m.) sau integral, adică
Definiție:
Integrala unei funcții f(x) din A inainte de b numită limita sumelor integrale
= (sh.m.)
formula Newton-Leibniz.
Ne amintim că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, ceea ce înseamnă că putem scrie:
Sc.t. = (sh.m.)
Pe de altă parte, aria unui trapez curbat este calculată folosind formula
S k.t. (sh.m.)
Comparând aceste formule, obținem:
= (sh.m.)Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.
Pentru ușurință de calcul, formula este scrisă astfel:
= = (sh.m.)Sarcini: (sh.m.)
1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)
2. Compune integrale conform desenului ( verificați diapozitivul 6)
3. Aflați aria figurii mărginită de liniile: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)
Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)
Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbate?
Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sh.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sh.m.). Figura în cauză este un trapez curbat? Cum puteți găsi zona sa folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbate și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( sh.m.)
Să creăm un algoritm pentru găsirea zonei folosind animația pe un diapozitiv:
Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)
Temă: Lucrează prin note, nr. 353 (a), nr. 364 (a).
Bibliografie
Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să mai spunem una fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Adică, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o anumită curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este numeric egal cu suprafata trapezul curbat corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct al deciziei este desenul. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: mai întâi, este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai apoi - parabole, hiperbolele și graficele altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punctual; tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință.
Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):
Nu voi umbri trapezul curbat; aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
Răspuns:
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz 
, consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții.
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. ÎN în acest caz,„prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Ce să faci dacă un trapez curbat este situat sub axă?
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.
Soluție: Să facem un desen: 
Dacă un trapez curbat este complet situat sub axă, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz: 
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără niciuna sens geometric, atunci poate fi negativ.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți zonă figură plată, delimitat prin linii , .
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Este mai bine să nu utilizați această metodă, dacă este posibil.
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica construcției punctuale pentru diferite grafice este discutată în detaliu în referința Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul: 
Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.
Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment o funcție continuă este mai mare sau egală cu o funcție continuă, atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula:
Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axă și, aproximativ vorbind, este important care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JAS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este caz special formule 
. Deoarece axa este specificată de ecuație și graficul funcției este situat sub axă, atunci 
Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție
Exemplul 5
Exemplul 6
Aflați aria figurii delimitată de liniile , .
Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a greșit umilul tău servitor de mai multe ori. Iată un caz real:
Exemplul 7
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Mai întâi să facem un desen: 
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru (uitați-vă cu atenție la starea - cât de limitată figura!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea că trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită. verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;
2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct: 
Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?
În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale unei drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația: 
Prin urmare, .
Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne; calculele de aici nu sunt cele mai simple.
Pe segment 
, conform formulei corespunzătoare: 
Răspuns: 
Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,
Soluție: Să reprezentăm această figură în desen. 
Pentru a desena un desen punct cu punct trebuie să știți aspect sinusoide (și în general este util să cunoaștem graficele tuturor funcțiilor elementare), precum și unele valori sinusoidale, acestea pot fi găsite în tabelul trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.
Nu există probleme cu limitele de integrare aici; acestea decurg direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
(1) Modul în care sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare poate fi văzut în lecția Integrale din funcții trigonometrice. Aceasta este o tehnică tipică, ciupim un sinus.
(2) Folosim identitatea trigonometrică principală în formă 
(3) Să schimbăm variabila, apoi:
Noi domenii de integrare:
Oricine este cu adevărat rău cu înlocuirile, vă rugăm să ia lecția de metodă de înlocuire. integrală nedefinită. Pentru cei care nu sunt foarte clari despre algoritmul de substituție în integrala definită, vizitați pagina Integrală definită. Exemple de soluții.
Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de liniiAplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate
Calculul suprafeței
Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y = f(x), axa O x și liniile drepte x = a și x = b. În conformitate cu aceasta, formula ariei este scrisă după cum urmează:
Să ne uităm la câteva exemple de calcul a ariilor figurilor plane.
Sarcina nr. 1. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Soluţie. Să construim o figură a cărei arie va trebui să o calculăm.
y = x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).
Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1
Sarcina nr. 2. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 – 1, y = 0 în intervalul de la 0 la 1.
 |
Soluţie. Graficul acestei funcții este o parabolă de ramuri care sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată față de axa O y în jos cu o unitate (Figura 2).
Figura 2. Graficul funcției y = x 2 – 1
Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii
y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4.
Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile sale îndreptate în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care intersectează ambele axe de coordonate.
Pentru a construi o parabolă, găsim coordonatele vârfului acesteia: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa vârfului; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful.
Acum să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:
Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.
Se obține 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 sau x 2 – 12 = 0, de unde 
.
Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale unei parabole și ale unei linii drepte (Figura 1).
Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4
Să construim o dreaptă y = 2x – 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2;0) de pe axele de coordonate.
Pentru a construi o parabolă, puteți folosi și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x – x 2 = 0 sau x 2 – 2x – 8 = 0. Folosind teorema lui Vieta, este ușor pentru a-i găsi rădăcinile: x 1 = 2, x 2 = 4.
Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.
A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită conform formulei 
.
Aplicat această condiție, obținem integrala: 
2 Calculul volumului unui corp de rotație
Volumul corpului obținut din rotirea curbei y = f(x) în jurul axei O x se calculează prin formula:
Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:
Sarcina nr. 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat delimitat de drepte x = 0 x = 3 și curba y = în jurul axei O x.
Soluţie. Să desenăm o imagine (Figura 4).
Figura 4. Graficul funcției y =
Volumul necesar este 
Sarcina nr. 5. Calculați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat mărginit de curba y = x 2 și de linii drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y.
Soluţie. Avem:
Întrebări de revizuire
Cum se inserează formule matematice pe un site web?
Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.
Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.
Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.
Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:
Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.
Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.
Orice fractal este construit conform o anumită regulă, care se aplică secvenţial de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.
Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.
Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție ne vom uita la problema tipică și cea mai comună de calcul a ariei unei figuri plane folosind o integrală definită. În cele din urmă, toți cei care caută sens în matematica superioară să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o diagramă dacha folosind funcții elementare și să-i găsiți aria folosind o integrală definită.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Așadar, proștii ar trebui să se familiarizeze mai întâi cu lecția lui El.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu integrale definite pe pagina Integrale definite. Exemple de soluții. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen problemă de actualitate Cunoștințele și abilitățile tale în desen vor fi, de asemenea, acolo. Cel puțin, trebuie să fiți capabil să construiți o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă.
Să începem cu un trapez curbat. Un trapez curbat este o figură plată delimitată de graficul unei funcții y = f(X), axa BOUși linii X = A; X = b.
Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită
Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În lecția Integrală definită. Exemple de soluții am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA. Adică, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. Luați în considerare integrala definită
Integrand
definește o curbă pe plan (poate fi desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este egală numeric cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
, , , .
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Cel mai important punct soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: mai întâi, este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai apoi - parabole, hiperbolele și graficele altor funcții. Tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem desenul (rețineți că ecuația y= 0 specifică axa BOU):
Nu vom umbri trapezul curbat, aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:
Pe segmentul [-2; 1] graficul funcției y = X 2 + 2 situat deasupra axei BOU, De aceea:
Răspuns: .
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz
,
Consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții. După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii X y = 4, X = 2, X= 4 și axa BOU.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce trebuie să faceți dacă un trapez curbat este situat sub axă BOU?
Exemplul 3
Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = e-x, X= 1 și axele de coordonate.
Soluție: Să facem un desen:
Dacă un trapez curbat este complet situat sub axă BOU, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:
.
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y = 2X – X 2 , y = -X.
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. Când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei y = 2X – X 2 și drept y = -X. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării A= 0, limita superioară a integrării b= 3. Este adesea mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:
Să repetăm că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea determinate „automat”.
Și acum formula de lucru:
Dacă pe segmentul [ A; b] oarecare funcție continuă f(X) este mai mare sau egală cu o funcție continuă g(X), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula:
Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar important este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, de la 2 X – X 2 trebuie scazut - X.
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă y = 2X – X 2 deasupra și drepte y = -X de mai jos.
Pe segmentul 2 X – X 2 ≥ -X. Conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: .
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul nr. 3) este un caz special al formulei
.
Pentru că axa BOU dat de ecuaţie y= 0 și graficul funcției g(X) situat sub axă BOU, Acea
.
Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție
Exemplul 5
Exemplul 6
Găsiți aria unei figuri delimitate de linii
Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost completat corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite.
Exemplul 7
Mai întâi să facem un desen:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru (uitați-vă cu atenție la starea - cât de limitată figura!). Dar, în practică, din cauza neatenției, oamenii decid adesea că trebuie să găsească zona figurii care este umbrită în verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul [-1; 1] deasupra axei BOU graficul este situat drept y = X+1;
2) Pe un segment deasupra axei BOU este situat graficul unei hiperbole y = (2/X).
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală”.
și faceți un desen punct cu punct:
Din desen este clar că limita noastră superioară este „bună”: b = 1.
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este?
Pot fi, A=(-1/3)? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că A=(-1/4). Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?
În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:
.
Prin urmare, A=(-1/3).
Soluția ulterioară este banală. Principalul lucru este să nu vă confundați în înlocuiri și semne. Calculele de aici nu sunt cele mai simple. Pe segment
, 
,
după formula corespunzătoare:
Răspuns: 
Pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Soluție: Să reprezentăm această figură în desen.
Pentru a construi un desen punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul unei sinusoide. În general, este util să cunoașteți graficele tuturor funcțiilor elementare, precum și unele valori sinusoidale. Ele pot fi găsite în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. În unele cazuri (de exemplu, în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele integrării ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.
Nu există probleme cu limitele integrării aici; ele decurg direct din condiția:
– „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:
Pe un segment, graficul unei funcții y= păcatul 3 X situat deasupra axei BOU, De aceea:
(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecția Integrale funcțiilor trigonometrice. Ciupim un sinus.
(2) Folosim identitatea trigonometrică principală în formă
(3) Să schimbăm variabila t=cos X, atunci: este situat deasupra axei, prin urmare:
.
.
Notă: acordați atenție modului în care este luată integrala tangentei în cub; aici este folosit un corolar al celei principale identitate trigonometrică
.
-
Milano Metropolitan: harta, prețurile biletelor și sfaturi utile Cât costă biletele?
-
Învățați să citiți diagramele Jeppesen - Tutorial Instalarea suplimentelor care vor îmbunătăți semnificativ grafica și realismul simulatorului
-
Când și în ce cazuri ar trebui un antreprenor individual să depună o declarație zero?
-
Ce este un epitet și cum să-l găsești?
