Găsiți o soluție generală a unei ecuații diferențiale; exemple de soluții. Ecuații diferențiale online

Să ne amintim sarcina cu care ne-am confruntat atunci când găsim integrale definite:

sau dy = f(x)dx. Soluția ei:

și se rezumă la calcul integrală nedefinită. În practică, o sarcină mai complexă este mai des întâlnită: găsirea funcției y, daca se stie ca satisface o relatie de forma

Această relație leagă variabila independentă X, funcție necunoscută yși derivatele sale până la ordin n inclusiv, sunt numite .

ÎN ecuație diferențială include o funcție sub semnul derivatelor (sau diferențialelor) de un ordin sau altul. Ordinul cel mai înalt se numește ordin (9.1) .

Ecuatii diferentiale:

- prima comanda,

A doua comanda

- al cincilea ordin etc.

Funcția care satisface o ecuație diferențială dată se numește soluție , sau integral . A-l rezolva înseamnă a-i găsi toate soluțiile. Dacă pentru funcţia cerută y a reusit sa obtinem o formula care da toate solutiile, apoi spunem ca am gasit-o decizie comună, sau integrală generală .

Decizie comună conţine n constante arbitrare si arata ca

Dacă se obţine o relaţie care se referă X yȘi n constante arbitrare, într-o formă nepermisă cu privire la y -

atunci o astfel de relație se numește integrală generală a ecuației (9.1).

Problema Cauchy

Fiecare soluție specifică, adică fiecare funcție specifică care satisface o ecuație diferențială dată și nu depinde de constante arbitrare, se numește o soluție particulară , sau o integrală parțială. Pentru a obține soluții particulare (integrale) din cele generale, este necesar să se dea constante specifice valori numerice.

Graficul unei anumite soluții se numește curbă integrală. Soluția generală, care conține toate soluțiile parțiale, este o familie de curbe integrale. Pentru o ecuație de ordinul întâi, această familie depinde de o constantă arbitrară, pentru ecuație n-a comanda - de la n constante arbitrare.

Problema Cauchy este de a găsi o soluție specială pentru ecuație n-a ordine, satisfacatoare n condiții inițiale:

prin care se determină n constante c 1, c 2,..., c n.

Ecuații diferențiale de ordinul I

Pentru o ecuație diferențială de ordinul 1 care este nerezolvată în raport cu derivata, are forma

sau pentru permis relativ

Exemplul 3.46. Găsiți soluția generală a ecuației

Soluţie. Integrarea, obținem

unde C este o constantă arbitrară. Dacă atribuim valori numerice specifice lui C, obținem soluții particulare, de exemplu,

Exemplul 3.47. Luați în considerare o sumă de bani în creștere depusă în bancă, supusă acumulării de 100 r dobândă compusă pe an. Fie Yo suma inițială de bani, iar Yx - la sfârșit X ani. Dacă dobânda este calculată o dată pe an, primim

unde x = 0, 1, 2, 3,.... Când dobânda este calculată de două ori pe an, obținem

unde x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... La calcularea dobânzii n o dată pe an şi dacă x ia valori secvențiale 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., apoi

Desemnați 1/n = h, atunci egalitatea anterioară va arăta astfel:

Cu mărire nelimitată n(la ) în limita ajungem la procesul de creștere a sumei de bani cu acumulare continuă a dobânzii:

Astfel este clar că cu schimbare continuă X legea modificării masei monetare este exprimată printr-o ecuație diferențială de ordinul I. Unde Y x este o funcție necunoscută, X- variabila independenta, r- constant. Să rezolvăm această ecuație, pentru a face asta o rescriem după cum urmează:

Unde , sau , unde P indică e C .

Din condițiile inițiale Y(0) = Yo, găsim P: Yo = Pe o, de unde, Yo = P. Prin urmare, soluția are forma:

Să luăm în considerare a doua problemă economică. Modelele macroeconomice sunt, de asemenea, descrise prin ecuații diferențiale liniare de ordinul I, descriind modificările venitului sau producției Y în funcție de timp.

Exemplul 3.48. Fie ca venitul național Y să crească proporțional cu valoarea sa:

și să fie deficitul în cheltuielile guvernamentale direct proporțional cu venitul Y cu coeficientul de proporționalitate q. Un deficit de cheltuieli duce la o creștere a datoriei naționale D:

Condiții inițiale Y = Yo și D = Do la t = 0. Din prima ecuație Y= Yoe kt. Înlocuind Y obținem dD/dt = qYoe kt . Soluția generală are forma
D = (q/ k) Yoe kt +С, unde С = const, care se determină din condițiile inițiale. Înlocuind condițiile inițiale, obținem Do = (q/ k)Yo + C. Deci, în sfârșit,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

aceasta arată că datoria națională crește în aceeași rată relativă k, la fel cu venitul național.

Să luăm în considerare cele mai simple ecuații diferențiale n de ordinul al-lea, acestea sunt ecuații de formă

Soluția sa generală poate fi obținută folosind n ori integrări.

Exemplul 3.49. Luați în considerare exemplul y """ = cos x.

Soluţie. Integrarea, găsim

Soluția generală are forma

Ecuații diferențiale liniare

În economie mare aplicație au , luați în considerare rezolvarea unor astfel de ecuații. Dacă (9.1) are forma:

atunci se numește liniar, unde рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) sunt date funcții. Dacă f(x) = 0, atunci (9.2) se numește omogenă, în caz contrar se numește neomogen. Soluția generală a ecuației (9.2) este egală cu suma oricăreia dintre soluțiile sale particulare y(x) iar soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare acesteia:

Dacă coeficienții р o (x), р 1 (x),..., р n (x) sunt constanți, atunci (9.2)

(9.4) se numește ecuație diferențială liniară cu coeficienți de ordin constanți n .

Căci (9.4) are forma:

Fără pierderea generalității, putem seta p o = 1 și scrie (9.5) sub forma

Vom căuta o soluție (9.6) sub forma y = e kx, unde k este o constantă. Avem: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Înlocuind expresiile rezultate în (9.6), vom avea:

(9.7) da ecuație algebrică, necunoscuta ei este k, se numește caracteristic. Ecuația caracteristică are grad nȘi n rădăcini, printre care pot fi atât multiple, cât și complexe. Fie k 1 , k 2 ,..., k n reale și distincte, atunci - soluții particulare (9.7) și generale

Luați în considerare o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți:

Ecuația sa caracteristică are forma

(9.9)

discriminantul său D = p 2 - 4q, în funcție de semnul lui D, sunt posibile trei cazuri.

1. Dacă D>0, atunci rădăcinile k 1 și k 2 (9.9) sunt reale și diferite, iar soluția generală are forma:

Soluţie. Ecuația caracteristică: k 2 + 9 = 0, de unde k = ± 3i, a = 0, b = 3, soluția generală are forma:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul 2 sunt utilizate atunci când se studiază un model economic de tip web cu stocuri de mărfuri, unde rata de modificare a prețului P depinde de mărimea stocului (a se vedea paragraful 10). În cazul în care cererea și oferta sunt funcții liniare preturi, adica

a este o constantă care determină viteza de reacție, apoi procesul de modificare a prețului este descris de ecuația diferențială:

Pentru o anumită soluție putem lua o constantă

preț de echilibru semnificativ. Deviere satisface ecuaţia omogenă

(9.10)

Ecuația caracteristică va fi următoarea:

În cazul în care termenul este pozitiv. Să notăm . Rădăcinile ecuației caracteristice k 1,2 = ± i w, deci soluția generală (9.10) are forma:

unde C și sunt constante arbitrare, acestea sunt determinate din condițiile inițiale. Am obținut legea modificării prețului în timp:

Introduceți ecuația dvs. diferențială, apostroa "" este folosită pentru a introduce derivata, apăsați trimite pentru a obține soluția

Ecuație diferențială (DE) - aceasta este ecuația,
unde sunt variabilele independente, y este funcția și sunt derivatele parțiale.

Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație diferențială care are o singură variabilă independentă, .

Ecuație cu diferență parțială este o ecuație diferențială care are două sau mai multe variabile independente.

Cuvintele „ordinare” și „derivate parțiale” pot fi omise dacă este clar ce ecuație este luată în considerare. În cele ce urmează, sunt luate în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate.

Iată un exemplu de ecuație de ordinul întâi:

Iată un exemplu de ecuație de ordinul al patrulea:

Uneori, o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termeni de diferențe:

În acest caz, variabilele x și y sunt egale. Adică, variabila independentă poate fi fie x, fie y. În primul caz, y este o funcție a lui x. În al doilea caz, x este o funcție a lui y. Dacă este necesar, putem reduce această ecuație la o formă care include în mod explicit derivata y′.
Împărțind această ecuație la dx obținem:
.
Din moment ce și , rezultă că
.

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale

Derivatele funcțiilor elementare sunt exprimate prin funcții elementare. Integralele funcțiilor elementare nu sunt adesea exprimate în termeni de funcții elementare. Cu ecuațiile diferențiale situația este și mai proastă. Ca rezultat al soluției puteți obține:

• dependența explicită a unei funcții de o variabilă;

  Rezolvarea unei ecuații diferențiale este funcția y = u (X), care este definit, de n ori diferențiabil și .

• dependenta implicita sub forma unei ecuatii de tip Φ (x, y) = 0 sau sisteme de ecuații;

  Integrală a unei ecuații diferențiale este o soluție a unei ecuații diferențiale care are o formă implicită.

• dependența exprimată prin funcții elementare și integrale din acestea;

  Rezolvarea unei ecuații diferențiale în pătraturi - aceasta este găsirea unei soluții sub forma unei combinații de funcții elementare și integrale ale acestora.

• soluţia poate să nu fie exprimată prin funcţii elementare.

Deoarece rezolvarea ecuațiilor diferențiale se reduce la calcularea integralelor, soluția include o mulțime de constante C 1, C 2, C 3, ... C n. Numărul de constante este egal cu ordinea ecuației. Integrală parțială a unei ecuații diferențiale este integrala generală pentru valorile date ale constantelor C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație care leagă o variabilă independentă, o funcție necunoscută a acestei variabile și derivatele (sau diferențiale) ei de diferite ordine.

Ordinea ecuației diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate conținute în ea.

Pe lângă cele obișnuite, sunt studiate și ecuațiile cu diferențe parțiale. Acestea sunt ecuații care relaționează variabile independente, o funcție necunoscută a acestor variabile și derivatele sale parțiale în raport cu aceleași variabile. Dar vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite și, prin urmare, de dragul conciziei, vom omite cuvântul „obișnuit”.

Exemple de ecuații diferențiale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ecuația (1) este de ordinul al patrulea, ecuația (2) este de ordinul al treilea, ecuațiile (3) și (4) sunt de ordinul doi, ecuația (5) este de ordinul întâi.

Ecuație diferențială n Ordinul nu trebuie să conțină neapărat o funcție explicită, toate derivatele sale de la prima la n-de ordinul și variabila independentă. Este posibil să nu conțină în mod explicit derivate ale anumitor ordine, o funcție sau o variabilă independentă.

De exemplu, în ecuația (1) nu există în mod clar derivate de ordinul trei și de ordinul doi, precum și o funcție; în ecuația (2) - derivata de ordinul doi și funcția; în ecuația (4) - variabila independentă; în ecuația (5) - funcții. Doar ecuația (3) conține în mod explicit toate derivatele, funcția și variabila independentă.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale fiecare funcție este numită y = f(x), atunci când este substituit în ecuație, se transformă într-o identitate.

Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește ea integrare.

Exemplul 1. Găsiți soluția ecuației diferențiale.

Soluţie. Să scriem această ecuație sub forma . Soluția este să găsiți funcția din derivata ei. Funcția originală, așa cum este cunoscută din calculul integral, este o antiderivată pentru, i.e.

Asta e soluție la această ecuație diferențială . Schimbarea în ea C, vom primi diverse solutii. Am aflat că există un număr infinit de soluții pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția generală a ecuației diferențiale n Ordinea este soluția sa, exprimată explicit în raport cu funcția necunoscută și care conține n constante arbitrare independente, de ex.

Soluția ecuației diferențiale din exemplul 1 este generală.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește o soluție în care constantele arbitrare sunt date valori numerice specifice.

Exemplul 2. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale și o soluție particulară pentru .

Soluţie. Să integrăm ambele părți ale ecuației de un număr de ori egal cu ordinea ecuației diferențiale.

,

.

Drept urmare, am primit o soluție generală -

a unei ecuații diferențiale de ordinul trei date.

Acum să găsim o anumită soluție în condițiile specificate. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile lor în loc de coeficienți arbitrari și obțineți

.

Dacă, pe lângă ecuația diferențială, condiția inițială este dată sub forma , atunci o astfel de problemă se numește Problema Cauchy . Înlocuiți valorile și în soluția generală a ecuației și găsiți valoarea unei constante arbitrare C, și apoi o soluție particulară a ecuației pentru valoarea găsită C. Aceasta este soluția la problema Cauchy.

Exemplul 3. Rezolvați problema Cauchy pentru ecuația diferențială din Exemplul 1 sub rezerva .

Soluţie. Să înlocuim valorile din condiția inițială în soluția generală y = 3, X= 1. Primim

Scriem soluția problemei Cauchy pentru această ecuație diferențială de ordinul întâi:

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale, chiar și a celor mai simple, necesită abilități bune de integrare și derivate, inclusiv funcții complexe. Acest lucru poate fi văzut în exemplul următor.

Exemplul 4. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Ecuația este scrisă într-o astfel de formă încât să puteți integra imediat ambele părți.

.

Aplicam metoda integrarii prin schimbare de variabila (substitutie). Să fie atunci.

Necesar să ia dx iar acum - atenție - facem asta după regulile de diferențiere a unei funcții complexe, deoarece Xși există o funcție complexă („măr” - extract rădăcină pătrată sau, ceea ce este același lucru - ridicarea la putere „o jumătate” și „carne tocată” este însăși expresia de sub rădăcină):

Găsim integrala:

Revenind la variabilă X, primim:

.

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale de gradul I.

Nu numai aptitudinile de la secțiunile anterioare matematica superioară va fi necesară în rezolvarea ecuațiilor diferențiale, dar și abilități de la elementar, adică matematica scolara. După cum sa menționat deja, într-o ecuație diferențială de orice ordin poate să nu existe o variabilă independentă, adică o variabilă X. Cunoștințele despre proporțiile de la școală care nu au fost uitate (totuși, în funcție de cine) de la școală vor ajuta la rezolvarea acestei probleme. Acesta este următorul exemplu.

Acest articol este un punct de plecare în studierea teoriei ecuațiilor diferențiale. Iată definițiile și conceptele de bază care vor apărea constant în text. Pentru o mai bună absorbțieși înțelegerea definiției sunt oferite cu exemple.

Ecuație diferențială (DE) este o ecuație care include o funcție necunoscută sub semnul derivat sau diferențial.

Dacă funcția necunoscută este o funcție a unei variabile, atunci se numește ecuația diferențială comun(ODE prescurtat - ecuație diferențială ordinară). Dacă funcția necunoscută este o funcție a mai multor variabile, atunci se numește ecuația diferențială ecuație cu diferență parțială.

Se numește ordinea maximă a derivatei unei funcții necunoscute care intră într-o ecuație diferențială ordinea ecuației diferențiale.

Iată exemple de ODE ale primului, al doilea și, respectiv, al cincilea ordin

Ca exemple de ecuații cu diferențe parțiale de ordinul doi, dăm

Mai departe vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite de ordinul al n-lea al formei sau , unde Ф(x, y) = 0 este o funcție necunoscută specificată implicit (când este posibil, o vom scrie în reprezentare explicită y = f(x) ).

Procesul de găsire a soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește prin integrarea ecuaţiei diferenţiale.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale este o funcție specificată implicit Ф(x, y) = 0 (în unele cazuri, funcția y poate fi exprimată explicit prin argumentul x), care transformă ecuația diferențială într-o identitate.

NOTĂ.

Soluția unei ecuații diferențiale este întotdeauna căutată pe un interval predeterminat X.

De ce vorbim despre asta separat? Da, pentru că în multe probleme nu este menționat intervalul X. Adică, de obicei, condiția problemelor este formulată astfel: „găsiți o soluție la ecuația diferențială obișnuită " În acest caz, se presupune că soluția ar trebui căutată pentru tot x pentru care atât funcția dorită y, cât și ecuația inițială au sens.

Soluția unei ecuații diferențiale este adesea numită integrală a ecuației diferențiale.

Funcții sau poate fi numită soluția unei ecuații diferențiale.

Una dintre soluțiile ecuației diferențiale este funcția. Într-adevăr, înlocuind această funcție în ecuația originală, obținem identitatea . Este ușor de observat că o altă soluție la această ODE este, de exemplu, . Astfel, ecuațiile diferențiale pot avea multe soluții.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale este un set de soluții care conține toate, fără excepție, soluțiile acestei ecuații diferențiale.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale se mai numește integrala generala a ecuatiei diferentiale.

Să revenim la exemplu. Soluția generală a ecuației diferențiale are forma sau , unde C este o constantă arbitrară. Mai sus am indicat două soluții la această EDO, care se obțin din integrala generală a ecuației diferențiale prin substituirea C = 0 și, respectiv, C = 1.

Dacă soluția ecuației diferențiale satisface cea specificată inițial conditii suplimentare, atunci se numește rezolvarea parțială a ecuației diferențiale.

O soluție parțială a ecuației diferențiale care satisface condiția y(1)=1 este . Într-adevăr, Și .

Principalele probleme ale teoriei ecuațiilor diferențiale sunt problemele Cauchy, problemele cu valori la limită și problemele de găsire a unei soluții generale a unei ecuații diferențiale pe orice interval X dat.

Problema Cauchy este problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială care satisface data condiții inițiale, unde sunt numerele.

Problema valorii la limită este problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială de ordinul doi care satisface condiții suplimentare la punctele limită x 0 și x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, unde f 0 și f 1 sunt numere date.

Problema valorii la limită este adesea numită problema limitei.

Se numește o ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea liniar, dacă are forma , iar coeficienții sunt funcții continue ale argumentului x pe intervalul de integrare.

I. Ecuații diferențiale obișnuite

1.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială este o ecuație care leagă o variabilă independentă X, funcția necesară yși derivatele sau diferențialele sale.

Simbolic, ecuația diferențială se scrie după cum urmează:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

O ecuație diferențială se numește obișnuită dacă funcția necesară depinde de o variabilă independentă.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale se numește o funcție care transformă această ecuație într-o identitate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate incluse în această ecuație

Exemple.

1. Considerăm o ecuație diferențială de ordinul întâi

Soluția acestei ecuații este funcția y = 5 ln x. Într-adevăr, înlocuind y"în ecuație, obținem identitatea.

Și aceasta înseamnă că funcția y = 5 ln x– este o soluție a acestei ecuații diferențiale.

2. Considerăm ecuația diferențială de ordinul doi y" - 5y" +6y = 0. Funcția este soluția acestei ecuații.

Într-adevăr, .

Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem: , – identitate.

Și asta înseamnă că funcția este soluția acestei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale este procesul de găsire a soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Soluția generală a ecuației diferențiale numită funcţie a formei , care include tot atâtea constante arbitrare independente câte ordinea ecuației.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale este o soluție obținută dintr-o soluție generală pentru diferite valori numerice ale constantelor arbitrare. Valorile constantelor arbitrare se găsesc la anumite valori inițiale ale argumentului și funcției.

Graficul unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Exemple

1. Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi

xdx + ydy = 0, Dacă y= 4 at X = 3.

Soluţie. Integrând ambele părți ale ecuației, obținem

Cometariu. O constantă arbitrară C obținută ca rezultat al integrării poate fi reprezentată în orice formă convenabilă pentru transformări ulterioare. În acest caz, ținând cont de ecuația canonică a unui cerc, este convenabil să se reprezinte o constantă arbitrară C sub forma .

- rezolvarea generală a ecuaţiei diferenţiale.

Rezolvarea particulară a ecuației care îndeplinește condițiile inițiale y = 4 at X = 3 se găsește din general prin substituirea condițiilor inițiale în soluția generală: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Înlocuind C=5 în soluția generală, obținem x 2 + y 2 = 5 2 .

Aceasta este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale obținute dintr-o soluție generală în condiții inițiale date.

2. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale

Soluția acestei ecuații este orice funcție de forma , unde C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, substituind în ecuații, obținem: , .

În consecință, această ecuație diferențială are un număr infinit de soluții, deoarece pentru diferite valori ale constantei C, egalitatea determină soluții diferite ale ecuației.

De exemplu, prin înlocuire directă puteți verifica dacă funcțiile sunt soluții ale ecuației.

O problemă în care trebuie să găsiți o anumită soluție a ecuației y" = f(x,y) satisfacerea conditiei initiale y(x 0) = y 0, se numește problema Cauchy.

Rezolvarea ecuației y" = f(x,y), îndeplinind condiția inițială, y(x 0) = y 0, se numește o soluție la problema Cauchy.

Soluția problemei Cauchy are o semnificație geometrică simplă. Într-adevăr, conform acestor definiții, pentru a rezolva problema Cauchy y" = f(x,y) dat fiind y(x 0) = y 0, înseamnă a găsi curba integrală a ecuației y" = f(x,y) care trece printr-un punct dat M 0 (x 0,y 0).

II. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

2.1. Noțiuni de bază

O ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație de formă F(x,y,y") = 0.

O ecuație diferențială de ordinul întâi include derivata întâi și nu include derivate de ordin superior.

Ecuația y" = f(x,y) se numește ecuație de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție de forma , care conține o constantă arbitrară.

Exemplu. Să considerăm o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția acestei ecuații este funcția.

Într-adevăr, înlocuind această ecuație cu valoarea ei, obținem

acesta este 3x=3x

Prin urmare, funcția este o soluție generală a ecuației pentru orice constantă C.

Găsiți o soluție specială a acestei ecuații care satisface condiția inițială y(1)=1Înlocuirea condițiilor inițiale x = 1, y =1în soluția generală a ecuației, obținem de unde C=0.

Astfel, obținem o soluție particulară din cea generală prin substituirea în această ecuație a valorii rezultate C=0– soluție privată.

2.2. Ecuații diferențiale cu variabile separabile

O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de forma: y"=f(x)g(y) sau prin diferenţiale, unde f(x)Și g(y)– funcții specificate.

Pentru cei y, pentru care , ecuația y"=f(x)g(y) este echivalent cu ecuația, în care variabila y este prezentă doar pe partea stângă, iar variabila x este doar pe partea dreaptă. Ei spun, „în Ec. y"=f(x)g(y Să separăm variabilele.”

Ecuația formei numită ecuație de variabilă separată.

Integrarea ambelor părți ale ecuației De X, primim G(y) = F(x) + C este soluția generală a ecuației, unde G(y)Și F(x)– unele antiderivate, respectiv, de funcţii şi f(x), C constantă arbitrară.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Exemplul 1

Rezolvați ecuația y" = xy

Soluţie. Derivata unei functii y"înlocuiți-l cu

să separăm variabilele

Să integrăm ambele părți ale egalității:

Exemplul 2

2aa" = 1- 3x 2, Dacă y 0 = 3 la x 0 = 1

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Să ne imaginăm în diferențe. Pentru a face acest lucru, rescriem această ecuație sub forma De aici

Integrând ambele părți ale ultimei egalități, găsim

Înlocuirea valorilor inițiale x 0 = 1, y 0 = 3 vom găsi CU 9=1-1+C, adică C = 9.

Prin urmare, integrala parțială necesară va fi sau

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o curbă care trece printr-un punct M(2;-3)şi având o tangentă cu coeficient unghiular

Soluţie. Conform conditiei

Aceasta este o ecuație cu variabile separabile. Împărțind variabilele, obținem:

Integrând ambele părți ale ecuației, obținem:

Folosind condițiile inițiale, x = 2Și y = - 3 vom găsi C:

Prin urmare, ecuația necesară are forma

2.3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație de formă y" = f(x)y + g(x)

Unde f(x)Și g(x)- unele functii specificate.

Dacă g(x)=0 atunci ecuația diferențială liniară se numește omogenă și are forma: y" = f(x)y

Dacă atunci ecuația y" = f(x)y + g(x) se numește eterogen.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene y" = f(x)y este dat de formula: unde CU– constantă arbitrară.

În special, dacă C = 0, atunci solutia este y = 0 Dacă o ecuație liniară omogenă are forma y" = ky Unde k este o constantă, atunci soluția sa generală are forma: .

Rezolvarea generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene y" = f(x)y + g(x) este dat de formula ,

acestea. este egală cu suma soluției generale a ecuației liniare omogene corespunzătoare și a soluției particulare a acestei ecuații.

Pentru o ecuație liniară neomogenă de formă y" = kx + b,

Unde kȘi b- unele numere și o anumită soluție vor fi o funcție constantă. Prin urmare, soluția generală are forma .

Exemplu. Rezolvați ecuația y" + 2y +3 = 0

Soluţie. Să reprezentăm ecuația sub formă y" = -2y - 3 Unde k = -2, b= -3 Soluția generală este dată de formula.

Prin urmare, unde C este o constantă arbitrară.

2.4. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Bernoulli

Găsirea unei soluții generale la o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi y" = f(x)y + g(x) reduce la rezolvarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate folosind substituție y=uv, Unde uȘi v- funcții necunoscute de la X. Această metodă de soluție se numește metoda lui Bernoulli.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

y" = f(x)y + g(x)

1. Introduceți înlocuirea y=uv.

2. Diferențiază această egalitate y" = u"v + uv"

3. Înlocuitor yȘi y"în această ecuație: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) sau u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupați termenii ecuației astfel încât u scoate-l din paranteze:

5. Din paranteză, echivalându-l cu zero, găsiți funcția

Aceasta este o ecuație separabilă:

Să împărțim variabilele și să obținem:

Unde . .

6. Înlocuiți valoarea rezultată vîn ecuație (de la pasul 4):

și găsiți funcția Aceasta este o ecuație cu variabile separabile:

7. Scrieți soluția generală sub forma: , adică .

Exemplul 1

Găsiți o anumită soluție a ecuației y" = -2y +3 = 0 Dacă y =1 la x = 0

Soluţie. Să o rezolvăm folosind înlocuirea y=uv,.y" = u"v + uv"

Înlocuind yȘi y"în această ecuație, obținem

Grupând al doilea și al treilea termen în partea stângă a ecuației, scoatem factorul comun u din paranteze

Echivalăm expresia dintre paranteze cu zero și, după ce am rezolvat ecuația rezultată, găsim funcția v = v(x)

Obținem o ecuație cu variabile separate. Să integrăm ambele părți ale acestei ecuații: Găsiți funcția v:

Să înlocuim valoarea rezultată vîn ecuație obținem:

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Să integrăm ambele părți ale ecuației: Să găsim funcția u = u(x,c) Să găsim o soluție generală: Să găsim o soluție particulară a ecuației care îndeplinește condițiile inițiale y = 1 la x = 0:

III. Ecuații diferențiale de ordin superior

3.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială de ordinul doi este o ecuație care conține derivate de ordinul doi nu mai mari. În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul doi se scrie astfel: F(x,y,y",y") = 0

Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o funcție de forma , care include două constante arbitrare C 1Și C 2.

O soluție particulară a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o soluție obținută dintr-o soluție generală pentru anumite valori ale constantelor arbitrare C 1Și C 2.

3.2. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți numită ecuație a formei y" + py" +qy = 0, Unde pȘi q- valori constante.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

1. Scrieți ecuația diferențială sub forma: y" + py" +qy = 0.

2. Creați ecuația sa caracteristică, notând y" prin r 2, y" prin r, yîn 1: r 2 + pr +q = 0