כיצד למצוא LCM (כפולה פחות משותפת)

כפולה משותפת של שני מספרים שלמים היא מספר שלם שמתחלק באופן שווה בשני המספרים הנתונים מבלי להשאיר שארית.

הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים שלמים היא הקטן ביותר מבין כל המספרים השלמים שמתחלק בשני המספרים הנתונים מבלי להשאיר שארית.

שיטה 1. אתה יכול למצוא את ה-LCM, בתורו, עבור כל אחד מהמספרים הנתונים, לרשום בסדר עולה את כל המספרים המתקבלים על ידי הכפלתם ב-1, 2, 3, 4 וכן הלאה.

דוגמאעבור המספרים 6 ו-9.
נכפיל את המספר 6, ברצף, ב-1, 2, 3, 4, 5.
אנחנו מקבלים: 6, 12, 18 , 24, 30
נכפיל את המספר 9, ברצף, ב-1, 2, 3, 4, 5.
אנחנו מקבלים: 9, 18 , 27, 36, 45
כפי שאתה יכול לראות, ה-LCM עבור המספרים 6 ו-9 יהיה שווה ל-18.

שיטה זו נוחה כאשר שני המספרים קטנים וקל להכפיל אותם ברצף של מספרים שלמים. עם זאת, יש מקרים שבהם אתה צריך למצוא את ה-LCM עבור דו ספרתי או מספרים תלת ספרתיים, וגם כשיש שלושה או אפילו יותר מספרים ראשוניים.

שיטה 2. אתה יכול למצוא את ה-LCM על ידי פירוק המספרים המקוריים לגורמים ראשוניים.
לאחר הפירוק, יש צורך למחוק את הגורמים הראשוניים מהסדרה המתקבלת אותם מספרים. המספרים הנותרים של המספר הראשון יהיו מכפיל עבור השני, והמספרים הנותרים של השני יהיו מכפיל עבור הראשון.

דוגמאעבור המספרים 75 ו-60.
ניתן למצוא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים 75 ו-60 מבלי לרשום את הכפולות של המספרים הללו בשורה. כדי לעשות זאת, נחשוב על 75 ו-60 לגורמים פשוטים:
75 = 3 * 5 * 5, א
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
כפי שניתן לראות, גורמים 3 ו-5 מופיעים בשתי השורות. אנחנו "מוחקים" אותם נפשית.
הבה נכתוב את הגורמים הנותרים הכלולים בהרחבה של כל אחד מהמספרים הללו. כשמפרקים את המספר 75 נשארים עם המספר 5, ובפירוק המספר 60 נשארים עם 2*2
זה אומר שכדי לקבוע את ה-LCM עבור המספרים 75 ו-60, עלינו להכפיל את המספרים הנותרים מהרחבה של 75 (זה 5) ב-60, ולהכפיל את המספרים שנותרו מהרחבה של 60 (זה 2 * 2) ב-75. כלומר, כדי להקל על ההבנה, אנו אומרים שאנו מכפילים "בצלבים".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
כך מצאנו את ה-LCM עבור המספרים 60 ו-75. זהו המספר 300.

דוגמא. קבע את ה-LCM עבור המספרים 12, 16, 24
IN במקרה הזה, הפעולות שלנו יהיו קצת יותר מסובכות. אבל קודם, כמו תמיד, בואו נחלק את כל המספרים לגורמים
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
כדי לקבוע נכון את ה-LCM, אנו בוחרים את הקטן ביותר מבין כל המספרים (זהו המספר 12) ועוברים ברצף על הגורמים שלו, חוצים אותם אם לפחות באחת משורות המספרים האחרות אנו נתקלים באותו גורם שעדיין לא קיים. הומחק.

שלב 1 . אנו רואים ש-2*2 מופיע בכל סדרות המספרים. בואו נמחק אותם.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

שלב 2. בגורמים הראשוניים של המספר 12 נשאר רק המספר 3. אבל הוא קיים בגורמים הראשוניים של המספר 24. אנו חוצים את המספר 3 משתי השורות, בעוד שלא צפויות פעולות עבור המספר 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

כפי שאתה יכול לראות, בעת פירוק המספר 12, "מחקנו" את כל המספרים. המשמעות היא שמציאת ה-LOC הושלמה. כל מה שנותר הוא לחשב את ערכו.
עבור המספר 12, קח את הגורמים הנותרים של המספר 16 (הבא בסדר עולה)
12 * 2 * 2 = 48
זה ה-NOC

כפי שאתה יכול לראות, במקרה הזה, למצוא את ה-LCM היה קצת יותר קשה, אבל כאשר אתה צריך למצוא אותו עבור שלושה או יותר מספרים, השיטה הזאתמאפשר לך לעשות את זה מהר יותר. עם זאת, שתי השיטות למציאת ה-LCM נכונות.

המחלק המשותף הגדול ביותר

הגדרה 2

אם מספר טבעי a מתחלק במספר טבעי $b$, אז $b$ נקרא מחלק של $a$, ו-$a$ נקרא כפולה של $b$.

תנו ל-$a$ ו-$b$ להיות מספרים טבעיים. המספר $c$ נקרא המחלק המשותף של $a$ ו-$b$ כאחד.

קבוצת המחלקים המשותפים של המספרים $a$ ו-$b$ היא סופית, מכיוון שאף אחד מהמחלקים הללו לא יכול להיות גדול מ$a$. המשמעות היא שבין המחלקים הללו ישנו המחלק הגדול ביותר, הנקרא המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים $a$ ו-$b$ ומסומן בסימון הבא:

$GCD\(a;b)\ או \D\(a;b)$

כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים אתה צריך:

1. מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

דוגמה 1

מצא את ה-gcd של המספרים $121$ ו-$132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

בחר את המספרים הנכללים בהרחבה של המספרים הללו

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

$GCD=2\cdot 11=22$

דוגמה 2

מצא את ה-gcd של המונומיאלים $63$ ו-$81$.

נמצא לפי האלגוריתם המוצג. לזה:

בואו נמנה את המספרים לגורמים ראשוניים

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

אנו בוחרים את המספרים הנכללים בהרחבה של המספרים הללו

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

בוא נמצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

$GCD=3\cdot 3=9$

אתה יכול למצוא את gcd של שני מספרים בדרך אחרת, באמצעות קבוצה של מחלקים של מספרים.

דוגמה 3

מצא את ה-gcd של המספרים $48$ ו-$60$.

פִּתָרוֹן:

בוא נמצא את קבוצת המחלקים של המספר $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

כעת בוא נמצא את קבוצת המחלקים של המספר $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

בוא נמצא את ההצטלבות של קבוצות אלה: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - קבוצה זו תקבע את קבוצת המחלקים המשותפים של המספרים $48$ ו-$60 $. המרכיב הגדול ביותר בסט זה יהיה המספר $12$. זה אומר שהמחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים $48$ ו$60$ הוא $12$.

הגדרה של NPL

הגדרה 3

כפולות נפוצות של מספרים טבעיים$a$ ו-$b$ הוא מספר טבעי שהוא כפולה של $a$ ו-$b$.

כפולות משותפות של מספרים הן מספרים המתחלקים במספרים המקוריים ללא שארית. לדוגמה, עבור המספרים $25$ ו-$50$, הכפולות המשותפת יהיו המספרים $50,100,150,200$ וכו'.

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר תיקרא הכפולה המשותפת הפחותה ותסומן LCM$(a;b)$ או K$(a;b).$

כדי למצוא את ה-LCM של שני מספרים, עליך:

1. גורמים מספרים לגורמים ראשוניים
2. רשמו את הגורמים שהם חלק מהמספר הראשון והוסיפו אליהם את הגורמים שהם חלק מהשני ואינם חלק מהראשון

דוגמה 4

מצא את ה-LCM של המספרים $99$ ו-$77$.

נמצא לפי האלגוריתם המוצג. לזה

גורמים מספרים לגורמים ראשוניים

$99=3\cdot 3\cdot 11$

רשום את הגורמים הכלולים בראשון

להוסיף להם מכפילים שהם חלק מהשני ולא חלק מהראשון

מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה הכפולה הפחות משותפת הרצויה

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

עריכת רשימות של מחלקים של מספרים היא לרוב משימה עתירת עבודה. יש דרך למצוא GCD שנקראת האלגוריתם האוקלידי.

הצהרות שעליהן מבוסס האלגוריתם האוקלידי:

אם $a$ ו-$b$ הם מספרים טבעיים, ו-$a\vdots b$, אז $D(a;b)=b$

אם $a$ ו-$b$ הם מספרים טבעיים כך ש-$b

באמצעות $D(a;b)= D(a-b;b)$, נוכל לצמצם ברציפות את המספרים הנבחנים עד שנגיע לזוג מספרים כך שאחד מהם מתחלק בשני. אז הקטן מבין המספרים הללו יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי עבור המספרים $a$ ו-$b$.

מאפיינים של GCD ו-LCM

1. כל כפולה משותפת של $a$ ו-$b$ מתחלקת ב-K$(a;b)$
2. אם $a\vdots b$ , אז К$(a;b)=a$

אם K$(a;b)=k$ ו-$m$ הוא מספר טבעי, אז K$(am;bm)=km$

אם $d$ הוא מחלק משותף עבור $a$ ו-$b$, אז K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

אם $a\vdots c$ ו-$b\vdots c$, אז $\frac(ab)(c)$ הוא הכפולה המשותפת של $a$ ו-$b$

עבור כל מספרים טבעיים $a$ ו-$b$ השוויון מתקיים

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

כל מחלק משותף של המספרים $a$ ו-$b$ הוא מחלק של המספר $D(a;b)$

מספר שני: b=

מפריד אלפיםללא מפריד רווח "´

תוֹצָאָה:

המחלק המשותף הגדול ביותר gcd( א,ב)=6

הכפולה הנמוכה ביותר של LCM( א,ב)=468

המספר הטבעי הגדול ביותר שניתן לחלק ללא שארית במספרים a ו-b נקרא המחלק המשותף הגדול ביותר(GCD) של המספרים הללו. מסומן ב-gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) או hcf(a,b).

כפולה משותפת מינימאליתה-LCM של שני מספרים שלמים a ו-b הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק ב-a ו-b ללא שארית. מסומן LCM(a,b), או lcm(a,b).

המספרים השלמים a ו-b נקראים פרימה הדדית, אם אין להם מחלקים משותפים מלבד +1 ו-1.

המחלק המשותף הגדול ביותר

תנו שני מספרים חיוביים א 1 ו א 2 1). נדרש למצוא את המחלק המשותף של המספרים הללו, כלומר. למצוא מספר כזה λ , המחלק מספרים א 1 ו א 2 בו זמנית. בואו נתאר את האלגוריתם.

1) במאמר זה, המילה מספר תובן כמספר שלם.

לתת א 1 ≥ א 2 ולתת

איפה M 1 , א 3 הם כמה מספרים שלמים, א 3 <א 2 (שארית החלוקה א 1 לכל א 2 צריך להיות פחות א 2).

בואו נעמיד פנים כך λ מחלקים א 1 ו א 2 אז λ מחלקים M 1 א 2 ו λ מחלקים א 1 −M 1 א 2 =א 3 (הצהרה 2 למאמר "חלוקת מספרים. מבחן חלוקה"). מכאן נובע שכל מחלק משותף א 1 ו א 2 הוא המחלק המשותף א 2 ו א 3. ההיפך נכון גם אם λ מחלק משותף א 2 ו א 3 אז M 1 א 2 ו א 1 =M 1 א 2 +א 3 מתחלק גם ב λ . לכן המחלק המשותף א 2 ו א 3 הוא גם מחלק משותף א 1 ו א 2. כי א 3 <א 2 ≤א 1, אז אנחנו יכולים לומר שהפתרון לבעיה של מציאת המחלק המשותף של המספרים א 1 ו א 2 מצטמצם לבעיה הפשוטה יותר של מציאת המחלק המשותף של המספרים א 2 ו א 3 .

אם א 3 ≠0, אז נוכל לחלק א 2 על א 3. לאחר מכן

,

איפה M 1 ו א 4 הם כמה מספרים שלמים, ( א 4 שנותרו מהחלוקה א 2 על א 3 (א 4 <א 3)). על ידי נימוק דומה אנו מגיעים למסקנה כי מחלקים משותפים של מספרים א 3 ו א 4 עולה בקנה אחד עם מחלקים משותפים של מספרים א 2 ו א 3, וגם עם מחלקים משותפים א 1 ו א 2. כי א 1 , א 2 , א 3 , א 4, ... הם מספרים יורדים כל הזמן, ומכיוון שיש מספר סופי של מספרים שלמים בין א 2 ו-0, ואז בשלב כלשהו נ, שארית החלוקה א n על א n+1 יהיה שווה לאפס ( א n+2 =0).

.

כל מחלק משותף λ מספרים א 1 ו א 2 הוא גם מחלק של מספרים א 2 ו א 3 , א 3 ו א 4 , .... א n ו א n+1 . ההיפך הוא גם נכון, מחלקים נפוצים של מספרים א n ו א n+1 הם גם מחלקים של מספרים א n−1 ו א n , .... , א 2 ו א 3 , א 1 ו א 2. אבל המחלק המשותף של המספרים א n ו א n+1 הוא מספר א n+1, כי א n ו א n+1 מתחלקים ב א n+1 (זכור את זה א n+2 =0). לָכֵן א n+1 הוא גם מחלק של מספרים א 1 ו א 2 .

שימו לב שהמספר א n+1 הוא המחלק הגדול ביותר של המספרים א n ו א n+1, מאז המחלק הגדול ביותר א n+1 הוא עצמו א n+1 . אם אניתן לייצג את n+1 כמכפלה של מספרים שלמים, אז המספרים הללו הם גם מחלקים משותפים של מספרים א 1 ו א 2. מספר א n+1 נקרא המחלק המשותף הגדול ביותרמספרים א 1 ו א 2 .

מספרים א 1 ו א 2 יכול להיות מספרים חיוביים או שליליים. אם אחד המספרים שווה לאפס, המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים הללו יהיה שווה לערך המוחלט של המספר השני. המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים אפס אינו מוגדר.

האלגוריתם לעיל נקרא אלגוריתם אוקלידילמצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים שלמים.

דוגמה למציאת המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים

מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני המספרים 630 ו-434.

• שלב 1. חלקו את המספר 630 ב-434. השאר הוא 196.
• שלב 2. חלקו את המספר 434 ב-196. השאר הוא 42.
• שלב 3. חלקו את המספר 196 ב-42. השאר הוא 28.
• שלב 4. חלקו את המספר 42 ב-28. השאר הוא 14.
• שלב 5. חלקו את המספר 28 ב-14. השאר הוא 0.

בשלב 5, יתרת החלוקה היא 0. לכן, המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 630 ו-434 הוא 14. שימו לב שהמספרים 2 ו-7 הם גם מחלקים של המספרים 630 ו-434.

מספרים ראשוניים

הַגדָרָה 1. תן את המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים א 1 ו א 2 שווה לאחד. ואז קוראים למספרים האלה מספרים ראשוניים, ללא מחלק משותף.

מִשׁפָּט 1. אם א 1 ו א 2 מספרים ראשוניים, ו λ מספר כלשהו, ​​ואז כל מחלק משותף של מספרים λa 1 ו א 2 הוא גם מחלק משותף של מספרים λ ו א 2 .

הוכחה. שקול את האלגוריתם האוקלידי למציאת המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים א 1 ו א 2 (ראה למעלה).

.

מתנאי המשפט עולה כי המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים א 1 ו א 2 ולכן א n ו א n+1 הוא 1. כלומר א n+1 =1.

בואו נכפיל את כל השוויון הזה ב λ , לאחר מכן

.

תן למחלק המשותף א 1 λ ו א 2 כן δ . לאחר מכן δ נכלל כמכפיל ב א 1 λ , M 1 א 2 λ ובתוך א 1 λ -M 1 א 2 λ =א 3 λ (ראה "חלוקה של מספרים", משפט 2). נוסף δ נכלל כמכפיל ב א 2 λ ו M 2 א 3 λ , ולכן הוא גורם ב א 2 λ -M 2 א 3 λ =א 4 λ .

מנמק כך, אנו משוכנעים בכך δ נכלל כמכפיל ב א n−1 λ ו M n−1 אנ λ , ולכן ב א n−1 λ −M n−1 אנ λ =א n+1 λ . כי א n+1 =1, אם כן δ נכלל כמכפיל ב λ . לכן המספר δ הוא המחלק המשותף של המספרים λ ו א 2 .

הבה נבחן מקרים מיוחדים של משפט 1.

תוֹצָאָה 1. לתת או גמספרים ראשוניים הם יחסית ב. ואז המוצר שלהם acהוא מספר ראשוני ביחס ל ב.

בֶּאֱמֶת. מתוך משפט 1 acו בבעלי אותם מחלקים משותפים כמו גו ב. אבל המספרים גו בפשוט יחסית, כלומר. יש מחלק משותף אחד 1. ואז acו ביש גם מחלק משותף אחד 1. לכן acו בפשוטה הדדית.

תוֹצָאָה 2. לתת או במספרים ראשוניים ולתת במחלקים ak. לאחר מכן במחלק ו ק.

בֶּאֱמֶת. מתוך תנאי האישור akו ביש מחלק משותף ב. מכוח משפט 1, בחייב להיות מחלק משותף בו ק. לָכֵן במחלקים ק.

ניתן להכליל מסקנה 1.

תוֹצָאָה 3. 1. תן את המספרים א 1 , א 2 , א 3 , ..., א m הם ראשוניים יחסית למספר ב. לאחר מכן א 1 א 2 , א 1 א 2 · א 3 , ..., א 1 א 2 א 3 ··· א m, המכפלה של המספרים הללו היא ראשונית ביחס למספר ב.

2. תנו לנו שתי שורות של מספרים

כך שכל מספר בסדרה הראשונה הוא ראשוני ביחס של כל מספר בסדרה השנייה. ואז המוצר

אתה צריך למצוא מספרים שמתחלקים בכל אחד מהמספרים האלה.

אם מספר מתחלק ב א 1, אז יש לו את הטופס sa 1 איפה סמספר כלשהו. אם שהוא המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים א 1 ו א 2, אז

איפה ס 1 הוא מספר שלם כלשהו. לאחר מכן

הוא כפולות משותפות לפחות של מספרים א 1 ו א 2 .

א 1 ו א 2 הם ראשוניים יחסית, ואז הכפולה הפחות משותפת של המספרים א 1 ו א 2:

עלינו למצוא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו.

מהאמור לעיל עולה שכל כפולה של מספרים א 1 , א 2 , א 3 חייב להיות כפולה של מספרים ε ו א 3 ובחזרה. תן את הכפולה המשותפת הפחותה של המספרים ε ו א 3 כן ε 1 . לאחר מכן, כפולות של מספרים א 1 , א 2 , א 3 , א 4 חייב להיות כפולה של מספרים ε 1 ו א 4 . תן את הכפולה המשותפת הפחותה של המספרים ε 1 ו א 4 כן ε 2. לפיכך, גילינו שכל כפולות המספרים א 1 , א 2 , א 3 ,...,א m חופפים לכפולות של מספר מסוים ε n, הנקראת הכפולה הפחות משותפת של המספרים הנתונים.

במקרה המיוחד כאשר המספרים א 1 , א 2 , א 3 ,...,א m הם ראשוניים יחסית, ואז הכפולה הפחות משותפת של המספרים א 1 , אל-2, כפי שמוצג לעיל, יש את הצורה (3). הבא, מאז א 3 ראשוני ביחס למספרים א 1 , א 2 אז אמספר ראשוני 3 א 1 · א 2 (מסקנה 1). פירושו הכפולה הפחות משותפת של מספרים א 1 ,א 2 ,א 3 הוא מספר א 1 · א 2 · א 3. בנימוק דומה, אנו מגיעים להצהרות הבאות.

הַצהָרָה 1. מכפילה משותפת קטנה של מספרים ראשוניים א 1 , א 2 , א 3 ,...,א m שווה למוצר שלהם א 1 · א 2 · א 3 ··· א M.

הַצהָרָה 2. כל מספר המתחלק בכל אחד מהמספרים הראשוניים א 1 , א 2 , א 3 ,...,א m מתחלק גם במוצר שלהם א 1 · א 2 · א 3 ··· א M.

הַגדָרָה.המספר הטבעי הגדול ביותר שבו מחולקים המספרים a ו-b ללא שארית נקרא המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)המספרים הללו.

בואו נמצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 24 ו-35.
המחלקים של 24 הם המספרים 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, והמחלקים של 35 הם המספרים 1, 5, 7, 35.
אנו רואים שלמספרים 24 ו-35 יש רק מחלק משותף אחד - המספר 1. מספרים כאלה נקראים פרימה הדדית.

הַגדָרָה.מספרים טבעיים נקראים פרימה הדדית, אם המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם (GCD) הוא 1.

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)ניתן למצוא מבלי לכתוב את כל המחלקים של המספרים הנתונים.

בהתייחס למספרים 48 ו-36, נקבל:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
מתוך הגורמים הכלולים בהרחבת המספר הראשון מבין אלה, אנו חוצים את אלה שאינם נכללים בהרחבה של המספר השני (כלומר, שני שניים).
הגורמים שנותרו הם 2 * 2 * 3. המכפלה שלהם שווה ל-12. מספר זה הוא המחלק המשותף הגדול ביותר מבין המספרים 48 ו-36. נמצא גם המחלק המשותף הגדול ביותר מבין שלושה מספרים או יותר.

למצוא המחלק המשותף הגדול ביותר

2) מהגורמים הכלולים בהרחבה של אחד מספרים אלה, חוצים את אלה שאינם כלולים בהרחבה של מספרים אחרים;
3) מצא את המכפלה של הגורמים הנותרים.

אם כל המספרים הנתונים מתחלקים באחד מהם, אז המספר הזה הוא המחלק המשותף הגדול ביותרמספרים נתונים.
לדוגמה, המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 15, 45, 75 ו-180 הוא המספר 15, שכן כל שאר המספרים מתחלקים בו: 45, 75 ו-180.

כפולה פחות משותפת (LCM)

הַגדָרָה. כפולה פחות משותפת (LCM)המספרים הטבעיים a ו-b הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שהוא כפולה של a ו-b. ניתן למצוא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המספרים 75 ו-60 מבלי לרשום את הכפולות של המספרים הללו בשורה. כדי לעשות זאת, הבה נחבר 75 ו-60 לגורמים ראשוניים: 75 = 3 * 5 * 5, ו-60 = 2 * 2 * 3 * 5.
נרשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של הראשון מבין המספרים הללו, ונוסיף אליהם את הגורמים החסרים 2 ו-2 מהרחבת המספר השני (כלומר, נחבר את הגורמים).
נקבל חמישה גורמים 2 * 2 * 3 * 5 * 5, המכפלה שלהם היא 300. מספר זה הוא הכפולה הפחות משותפת של המספרים 75 ו-60.

הם גם מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של שלושה מספרים או יותר.

ל למצוא כפולה משותפת לפחותכמה מספרים טבעיים, אתה צריך:
1) חלק אותם לגורמים ראשוניים;
2) רשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים;
3) להוסיף להם את הגורמים החסרים מהרחבות של המספרים הנותרים;
4) מצא את המכפלה של הגורמים המתקבלים.

שים לב שאם אחד מהמספרים הללו מתחלק בכל שאר המספרים, אז המספר הזה הוא הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו.
לדוגמה, הכפולה הפחות משותפת של המספרים 12, 15, 20 ו-60 היא 60 מכיוון שהיא מתחלקת בכל המספרים הללו.

פיתגורס (המאה השישית לפני הספירה) ותלמידיו חקרו את שאלת חלוקת המספרים. הם קראו למספר השווה לסכום כל מחלקיו (ללא המספר עצמו) מספר מושלם. לדוגמה, המספרים 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) הם מושלמים. המספרים המושלמים הבאים הם 496, 8128, 33,550,336. הפיתגוראים ידעו רק את שלושת המספרים המושלמים הראשונים. הרביעי - 8128 - נודע במאה ה-1. נ. ה. החמישי - 33,550,336 - נמצא במאה ה-15. ב-1983 כבר היו ידועים 27 מספרים מושלמים. אבל מדענים עדיין לא יודעים אם יש מספרים אי-זוגיים מושלמים או אם יש את המספר המושלם הגדול ביותר.
העניין של מתמטיקאים קדומים במספרים ראשוניים נובע מהעובדה שכל מספר הוא או ראשוני או יכול להיות מיוצג כמכפלה של מספרים ראשוניים, כלומר מספרים ראשוניים הם כמו לבנים שמהן בנויים שאר המספרים הטבעיים.
בטח שמתם לב שמספרים ראשוניים בסדרת המספרים הטבעיים מתרחשים בצורה לא אחידה - בחלקים מסוימים בסדרה יש יותר מהם, באחרים - פחות. אבל ככל שאנו מתקדמים לאורך סדרת המספרים, מספרים ראשוניים נפוצים פחות. נשאלת השאלה: האם יש מספר ראשוני אחרון (הגדול ביותר)? המתמטיקאי היווני הקדום אוקלידס (המאה ה-3 לפנה"ס), בספרו "אלמנטים", שהיה ספר הלימוד העיקרי של המתמטיקה במשך אלפיים שנה, הוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים, כלומר מאחורי כל מספר ראשוני ישנו ראשוני גדול עוד יותר. מספר.
כדי למצוא מספרים ראשוניים, מתמטיקאי יווני אחר מאותה תקופה, ארטוסתנס, הגה שיטה זו. הוא רשם את כל המספרים מ-1 למספר כלשהו, ​​ואז חצה את אחד, שהוא לא מספר ראשוני ולא מרוכב, ואז חצה דרך אחד את כל המספרים הבאים אחרי 2 (מספרים שהם כפולות של 2, כלומר 4, 6, 8 וכו'). המספר הראשון שנותר אחרי 2 היה 3. ואז, אחרי שניים, כל המספרים שהגיעו אחרי 3 (מספרים שהיו כפולות של 3, כלומר 6, 9, 12 וכו') נמחקו החוצה. בסופו של דבר רק המספרים הראשוניים נותרו ללא הצלבה.

הבה נמשיך את השיחה על הכפולה הפחות משותפת, אותה התחלנו בסעיף "LCM - כפולה הפחות משותפת, הגדרה, דוגמאות." בנושא זה נבחן דרכים למצוא את ה-LCM עבור שלושה מספרים או יותר, נבחן את השאלה כיצד למצוא את ה-LCM מספר שלילי.

Yandex.RTB R-A-339285-1

חישוב המרב המשותף הפחות (LCM) באמצעות GCD

כבר קבענו את הקשר בין הכפולה הפחות משותפת למחלק המשותף הגדול ביותר. עכשיו בואו נלמד כיצד לקבוע את ה-LCM באמצעות GCD. ראשית, בואו נבין כיצד לעשות זאת עבור מספרים חיוביים.

הגדרה 1

אתה יכול למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה דרך המחלק המשותף הגדול ביותר באמצעות הנוסחה LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

דוגמה 1

אתה צריך למצוא את ה-LCM של המספרים 126 ו-70.

פִּתָרוֹן

בוא ניקח a = 126, b = 70. הבה נחליף את הערכים בנוסחה לחישוב הכפולה הפחות משותפת דרך המחלק המשותף הגדול ביותר LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

מוצא את ה-gcd של המספרים 70 ו-126. בשביל זה אנחנו צריכים את האלגוריתם האוקלידי: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, לכן GCD (126 , 70) = 14 .

בוא נחשב את ה-LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

תשובה: LCM(126, 70) = 630.

דוגמה 2

מצא את המספר 68 ו-34.

פִּתָרוֹן

GCD במקרה זה לא קשה למצוא, מכיוון ש-68 מתחלק ב-34. בוא נחשב את הכפולה הפחות משותפת באמצעות הנוסחה: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

תשובה: LCM(68, 34) = 68.

בדוגמה זו, השתמשנו בכלל למציאת הכפולה הפחות משותפת של מספרים שלמים חיוביים a ו-b: אם המספר הראשון מתחלק בשני, ה-LCM של המספרים הללו יהיה שווה למספר הראשון.

מציאת ה-LCM על ידי פירוק מספרים לגורמים ראשוניים

כעת נסתכל על שיטת מציאת ה-LCM, המבוססת על פירוק מספרים לגורמים ראשוניים.

הגדרה 2

כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת, עלינו לבצע מספר שלבים פשוטים:

• אנו מרכיבים את המכפלה של כל הגורמים הראשוניים של המספרים שעבורם אנו צריכים למצוא את ה-LCM;
• אנו לא כוללים את כל הגורמים העיקריים מהמוצרים המתקבלים שלהם;
• התוצר המתקבל לאחר ביטול הגורמים הראשוניים המשותפים יהיה שווה ל-LCM של המספרים הנתונים.

שיטה זו למציאת הכפולה הפחות משותפת מבוססת על השוויון LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). אם תסתכל על הנוסחה יתברר: מכפלת המספרים a ו-b שווה למכפלת כל הגורמים המשתתפים בפירוק שני המספרים הללו. במקרה זה, ה-gcd של שני מספרים שווה למכפלת כל הגורמים הראשוניים הנמצאים בו-זמנית בפירוקים של שני המספרים הללו.

דוגמה 3

יש לנו שני מספרים 75 ו-210. אנו יכולים לחלק אותם באופן הבא: 75 = 3 5 5ו 210 = 2 3 5 7. אם מרכיבים את המכפלה של כל הגורמים של שני המספרים המקוריים, תקבל: 2 3 3 5 5 5 7.

אם נוציא את הגורמים המשותפים לשני המספרים 3 ו-5, נקבל מכפלה מהצורה הבאה: 2 3 5 5 7 = 1050. מוצר זה יהיה ה-LCM שלנו עבור המספרים 75 ו-210.

דוגמה 4

מצא את ה-LCM של המספרים 441 ו 700 , גורם לשני המספרים לגורמים ראשוניים.

פִּתָרוֹן

בואו נמצא את כל הגורמים הראשוניים של המספרים הניתנים בתנאי:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

נקבל שתי שרשראות של מספרים: 441 = 3 3 7 7 ו-700 = 2 2 5 5 7.

המכפלה של כל הגורמים שהשתתפו בפירוק המספרים הללו תהיה בצורת: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. בואו נמצא גורמים משותפים. זה המספר 7. בואו נוציא אותו מהמוצר הכולל: 2 2 3 3 5 5 7 7. מסתבר ש-NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

תשובה: LOC(441, 700) = 44,100.

הבה ניתן ניסוח נוסף של השיטה למציאת LCM על ידי פירוק מספרים לגורמים ראשוניים.

הגדרה 3

בעבר, הסרנו מהמספר הכולל של הגורמים המשותפים לשני המספרים. עכשיו נעשה את זה אחרת:

• בוא נמנה את שני המספרים לגורמים ראשוניים:
• הוסף למכפלת הגורמים הראשוניים של המספר הראשון את הגורמים החסרים של המספר השני;
• אנו משיגים את המוצר, שיהיה ה-LCM הרצוי של שני מספרים.

דוגמה 5

נחזור למספרים 75 ו-210, שעבורם כבר חיפשנו את ה-LCM באחת הדוגמאות הקודמות. בואו נחלק אותם לגורמים פשוטים: 75 = 3 5 5ו 210 = 2 3 5 7. למכפלת הגורמים 3, 5 ו 5 המספרים 75 מוסיפים את הגורמים החסרים 2 ו 7 מספרים 210. אנחנו מקבלים: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .זהו ה-LCM של המספרים 75 ו-210.

דוגמה 6

יש צורך לחשב את LCM של המספרים 84 ו-648.

פִּתָרוֹן

בוא נמנה את המספרים מהתנאי לגורמים פשוטים: 84 = 2 2 3 7ו 648 = 2 2 2 3 3 3 3. בואו נוסיף למוצר את הגורמים 2, 2, 3 ו 7 מספרים 84 חסרים גורמים 2, 3, 3 ו
3 מספרים 648. אנחנו מקבלים את המוצר 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.זוהי הכפולה הכי פחות משותפת של 84 ו-648.

תשובה: LCM(84, 648) = 4,536.

מציאת ה-LCM של שלושה מספרים או יותר

ללא קשר לכמה מספרים אנו עוסקים, האלגוריתם של הפעולות שלנו תמיד יהיה זהה: נמצא ברצף את LCM של שני מספרים. יש משפט למקרה הזה.

משפט 1

בוא נניח שיש לנו מספרים שלמים a 1 , a 2 , … , a k. NOC מ קמספרים אלה נמצאים על ידי חישוב רציף של m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).

כעת נסתכל כיצד ניתן ליישם את המשפט כדי לפתור בעיות ספציפיות.

דוגמה 7

עליך לחשב את הכפולה הפחות משותפת של ארבעה מספרים 140, 9, 54 ו 250 .

פִּתָרוֹן

הבה נציג את הסימון: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

נתחיל בחישוב m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). הבה ניישם את האלגוריתם האוקלידי כדי לחשב את ה-GCD של המספרים 140 ו-9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. נקבל: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. לכן, m 2 = 1,260.

עכשיו בואו נחשב באמצעות אותו אלגוריתם m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). במהלך החישובים נקבל m 3 = 3 780.

אנחנו רק צריכים לחשב את m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). אנו פועלים לפי אותו אלגוריתם. נקבל m 4 = 94 500.

ה-LCM של ארבעת המספרים מהתנאי לדוגמה הוא 94500.

תשובה: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

כפי שאתה יכול לראות, החישובים הם פשוטים, אבל די עתירי עבודה. כדי לחסוך זמן, אתה יכול ללכת בדרך אחרת.

הגדרה 4

אנו מציעים לך את אלגוריתם הפעולות הבא:

• אנו מפרקים את כל המספרים לגורמים ראשוניים;
• למכפלת הגורמים של המספר הראשון נוסיף את הגורמים החסרים ממכפלת המספר השני;
• למוצר שהושג בשלב הקודם נוסיף את הגורמים החסרים של המספר השלישי וכו';
• המכפלה המתקבלת תהיה הכפולה הנמוכה ביותר של כל המספרים מהתנאי.

דוגמה 8

אתה צריך למצוא את ה-LCM של חמישה מספרים 84, 6, 48, 7, 143.

פִּתָרוֹן

בוא נמנה את כל חמשת המספרים לגורמים ראשוניים: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. מספרים ראשוניים, שהוא המספר 7, אינם ניתנים לגורמים ראשוניים. מספרים כאלה עולים בקנה אחד עם פירוקם לגורמים ראשוניים.

כעת ניקח את המכפלה של הגורמים הראשוניים 2, 2, 3 ו-7 של המספר 84 ונוסיף אליהם את הגורמים החסרים של המספר השני. פירקנו את המספר 6 ל-2 ו-3. גורמים אלו נמצאים כבר במכפלה של המספר הראשון. לכן, אנחנו משמיטים אותם.

אנחנו ממשיכים להוסיף את המכפילים החסרים. נעבור למספר 48, מהמכפלה של הגורמים הראשוניים שלו ניקח 2 ו-2. לאחר מכן נוסיף את הגורם הראשוני של 7 מהמספר הרביעי ואת הגורמים של 11 ו-13 של החמישי. אנו מקבלים: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. זוהי הכפולה הפחות משותפת מבין חמשת המספרים המקוריים.

תשובה: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

מציאת הכפולה הפחות משותפת של מספרים שליליים

כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת של מספרים שליליים, תחילה יש להחליף את המספרים הללו במספרים בעלי הסימן ההפוך, ולאחר מכן לבצע את החישובים באמצעות האלגוריתמים שלעיל.

דוגמה 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ו-LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

פעולות כאלה מותרות בשל העובדה שאם נקבל זאת או - א- מספרים מנוגדים,
ואז קבוצת הכפולות של מספר אמתאים לקבוצת הכפולות של מספר - א.

דוגמה 10

יש צורך לחשב את LCM של מספרים שליליים − 145 ו − 45 .

פִּתָרוֹן

בואו נחליף את המספרים − 145 ו − 45 למספרים ההפוכים שלהם 145 ו 45 . כעת, באמצעות האלגוריתם, אנו מחשבים את ה-LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, לאחר שקבענו בעבר את ה-GCD באמצעות האלגוריתם האוקלידי.

נקבל שה-LCM של המספרים הוא − 145 ו − 45 שווים 1 305 .

תשובה: LCM (− 145, - 45) = 1,305.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter