Amikor először elkezdett tanulni a négyzetgyökökről és az irracionális egyenletek megoldásáról (az egyenletekről, amelyekben a gyök jele ismeretlen egyenleteket tartalmaz), valószínűleg először megkóstolhatta őket. gyakorlati használat. A számok négyzetgyökének felvételének képessége a Pitagorasz-tétel segítségével történő problémák megoldásához is szükséges. Ez a tétel bármely derékszögű háromszög oldalainak hosszára vonatkozik.

Jelölje a derékszögű háromszög szárainak hosszát (a két derékszögben találkozó oldalt) a és betűkkel, a befogó hosszát (a háromszög derékszöggel szemben lévő leghosszabb oldala) pedig a a levél. Ekkor a megfelelő hosszúságokat a következő összefüggéssel kapcsoljuk össze:

Ez az egyenlet lehetővé teszi egy derékszögű háromszög oldalának hosszának meghatározását, ha a másik két oldalának a hossza ismert. Ezenkívül lehetővé teszi annak meghatározását, hogy a kérdéses háromszög derékszögű-e, feltéve, hogy mindhárom oldal hossza előre ismert.

Feladatok megoldása a Pitagorasz-tétel segítségével

Az anyag konszolidálásához a következő feladatokat oldjuk meg a Pitagorasz-tétel segítségével.

Tehát adott:

1. Az egyik láb hossza 48, a hypotenusa 80.
2. A láb hossza 84, az alsó rész 91.

Térjünk rá a megoldásra:

a) Az adatokat a fenti egyenletbe behelyettesítve a következő eredményeket kapjuk:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 vagy b = -64

Mivel a háromszög oldalának hossza nem fejezhető ki negatív szám, a második opciót a rendszer automatikusan elveti.

Válasz az első képre: b = 64.

b) A második háromszög szárának hosszát ugyanúgy megtaláljuk:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 vagy b = -35

Az előző esethez hasonlóan negatív döntés eldobták.

Válasz a második képre: b = 35

Kaptunk:

1. A háromszög kisebb oldalainak hossza 45, illetve 55, a nagyobb oldalaié pedig 75.
2. A háromszög kisebb oldalainak hossza 28, illetve 45, a nagyobb oldalaié pedig 53.

Oldjuk meg a problémát:

a) Meg kell vizsgálni, hogy egy adott háromszög rövidebb oldalai hosszának négyzetösszege megegyezik-e a nagyobbik hosszának négyzetével:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Ezért az első háromszög nem derékszögű háromszög.

b) Ugyanezt a műveletet hajtjuk végre:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Ezért a második háromszög derékszögű háromszög.

Először keressük meg a (-2, -3) és (5, -2) koordinátájú pontok által alkotott legnagyobb szakasz hosszát. Ehhez a jól ismert képletet használjuk a téglalap alakú koordináta-rendszer pontjai közötti távolság meghatározására:

Hasonlóképpen megtaláljuk a (-2, -3) és (2, 1) koordinátájú pontok közé zárt szakasz hosszát:

Végül meghatározzuk a (2, 1) és (5, -2) koordinátákkal rendelkező pontok közötti szakasz hosszát:

Mivel az egyenlőség érvényesül:

akkor a megfelelő háromszög derékszögű.

Így megfogalmazhatjuk a választ a feladatra: mivel a legrövidebb oldalak négyzetösszege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével, a pontok egy derékszögű háromszög csúcsai.

Az alap (szigorúan vízszintesen), a korlát (szigorúan függőlegesen) és a kábel (átlósan kifeszítve) derékszögű háromszöget alkot, a kábel hosszának meghatározásához a Pitagorasz-tétel használható:

Így a kábel hossza körülbelül 3,6 méter lesz.

Adott: az R pont és a P pont (a háromszög szára) távolsága 24, az R ponttól a Q pontig (hipoténusz) 26.

Tehát segítsünk Vitának megoldani a problémát. Mivel az ábrán látható háromszög oldalainak derékszögű háromszöget kell alkotniuk, a Pitagorasz-tétel segítségével megkeresheti a harmadik oldal hosszát:

Tehát a tó szélessége 10 méter.

Szergej Valerievich

Utasítás

Ha a Pitagorasz-tétel segítségével kell számolnia, használja a következő algoritmust: - Határozza meg egy háromszögben, hogy melyik oldalak a lábak és melyek a hipotenusz. A kilencven fokos szöget bezáró két oldal a lábak, a fennmaradó harmad a hipotenusz. (cm) - Emelje fel a háromszög minden lábát a második hatványra, azaz szorozza meg önmagával. 1. példa Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk a befogót, ha egy háromszögben az egyik láb 12 cm, a másik pedig 5 cm. Először is a lábak négyzete egyenlő: 12 * 12 = 144 cm és 5 * 5 = 25 cm. Ezután határozza meg a lábak négyzeteinek összegét. Egy bizonyos szám az átfogó, meg kell szabadulnia a szám második hatványától, hogy megtalálja hossz a háromszög ezen oldala. Ehhez távolítsa el alulról négyzetgyök a lábak négyzetösszegének értéke. Példa 1. 144+25=169. A 169 négyzetgyöke 13. Ezért ennek a hossza átfogó egyenlő 13 cm-rel.

A hossz kiszámításának másik módja átfogó a háromszögben a szinusz és a szögek terminológiájában rejlik. Definíció szerint: az alfa szög szinusza - a hipotenusszal ellentétes láb. Vagyis az ábrát nézve sin a = CB / AB. Tehát AB hipotenusz = CB / sin a. 2. példa Legyen a szög 30 fok, a szemközti oldal pedig 4 cm. Meg kell találnunk a befogót. Megoldás: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm. Válasz: hossz átfogó egyenlő 8 cm-rel.

Hasonló módon lehet megtalálni átfogó szög koszinuszának definíciójából. Egy szög koszinusza a vele szomszédos oldal aránya és átfogó. Vagyis cos a = AC/AB, tehát AB = AC/cos a. 3. példa: Az ABC háromszögben az AB a befogó, a BAC szög 60 fok, az AC láb 2 cm. Keresse meg az AB-t.
Megoldás: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Válasz: A hipotenusz 4 cm hosszú.

Hasznos tanács

Egy szög szinuszának vagy koszinuszának értékének meghatározásához használja a szinuszok és koszinuszok táblázatát vagy a Bradis táblát.

2. tipp: Hogyan találjuk meg a befogó hosszát derékszögű háromszögben

A befogó egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala, így nem meglepő görög nyelv ezt a szót „szoros”-nak fordítják. Ez az oldal mindig a 90°-os szöggel szemben helyezkedik el, és az ezt a szöget alkotó oldalakat lábaknak nevezzük. Ismerve ezen oldalak hosszát és nagyságait éles sarkok ezeknek az értékeknek különböző kombinációiban kiszámítható a hipotenusz hossza.

Utasítás

Ha mindkét háromszög (A és B) hossza ismert, akkor használja a hipotenusz (C) hosszát, amely talán a leghíresebb matematikai posztulátum - a Pitagorasz-tétel. Azt írja ki, hogy a befogó hosszának négyzete a lábak hosszának négyzetösszege, amiből az következik, hogy ki kell számítani a két oldal négyzetes hosszának összegének gyökét: C = √ ( A² + B²). Például, ha az egyik láb hossza 15 és -10 centiméter, akkor a hipotenusz hossza körülbelül 18,0277564 centiméter, mivel √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.027

Ha egy derékszögű háromszögben csak az egyik szár hossza (A) ismert, valamint a vele szemközti szög értéke (α), akkor a befogó hosszát (C) használhatjuk a trigonometrikus értékek valamelyikével. függvények - a szinusz. Ehhez ossza el a hosszt ismert párt ismert szög szinuszával: C=A/sin(α). Például, ha az egyik láb hossza 15 centiméter, és a háromszög szemközti csúcsánál bezárt szög 30°, akkor a befogó hossza 30 centiméter lesz, mivel 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Ha egy derékszögű háromszögben ismert az egyik hegyesszög nagysága (α) és a szomszédos láb hossza (B), akkor a hipotenusz (C) hosszának kiszámításához használhat egy másikat. trigonometrikus függvény- koszinusz. Az ismert láb hosszát el kell osztani az ismert szög koszinuszával: C=B/ cos(α). Például, ha ennek a lábnak a hossza 15 centiméter, és a vele szomszédos hegyesszög 30°, akkor az alsó rész hossza körülbelül 17,3205081 centiméter, mivel 15/cos(30°)=15/(0,5*) √3)=30/√3≈17,3205081.

A hosszt általában egy szakasz két pontja közötti távolság jelölésére használják. Lehet egyenes, törött vagy zárt vonal. A hosszt egyszerűen kiszámíthatja, ha ismeri a szegmens egyéb mutatóit.

Utasítás

Ha meg kell találnia egy négyzet oldalának hosszát, akkor ez nem lesz, ha ismeri a területét S. Annak a ténynek köszönhetően, hogy a négyzet minden oldala

Egy dologban száz százalékig biztos lehetsz, hogy ha megkérdezik, mekkora a hipotenusz négyzete, minden felnőtt bátran válaszol: „A lábak négyzeteinek összege.” Ez a tétel minden művelt ember fejében szilárdan rögzült, de csak meg kell kérni valakit, hogy bizonyítsa, és nehézségek adódhatnak. Emlékezzünk tehát és mérlegeljük különböző utak a Pitagorasz-tétel bizonyítása.

Rövid életrajz

A Pitagorasz-tétel szinte mindenki számára ismert, de valamilyen oknál fogva annak a személynek az életrajza, aki a világra hozta, nem olyan népszerű. Ez javítható. Ezért, mielőtt megvizsgálná Pythagoras tételének bizonyításának különböző módjait, röviden meg kell ismernie személyiségét.

Pythagoras - filozófus, matematikus, gondolkodó, aki eredetileg a mai korból származik, nagyon nehéz megkülönböztetni életrajzát a legendáktól, amelyek e nagyszerű ember emlékére alakultak ki. De ahogy követőinek munkáiból az következik, Szamoszi Pythagoras Szamosz szigetén született. Apja közönséges kőfaragó volt, de anyja nemesi családból származott.

A legenda alapján Pythagoras születését egy Pythia nevű nő jósolta meg, akinek tiszteletére a fiút elnevezték. Jóslata szerint a megszületett fiúnak sok hasznot és jót kellett volna hoznia az emberiségnek. Pontosan ezt tette.

A tétel születése

Fiatalkorában Pythagoras Egyiptomba költözött, hogy ott találkozzon híres egyiptomi bölcsekkel. A velük való találkozás után megengedték neki, hogy tanuljon, ahol megtanulta az egyiptomi filozófia, matematika és orvostudomány minden nagyszerű vívmányát.

Valószínűleg Egyiptomban ihlette Pythagorast a piramisok fensége és szépsége, és alkotta meg nagyszerű elméletét. Ez sokkolhatja az olvasókat, de a modern történészek úgy vélik, hogy Pythagoras nem igazolta elméletét. De tudását csak követőinek adta át, akik később minden szükséges matematikai számítást elvégeztek.

Bárhogy is legyen, ma ennek a tételnek nem egy bizonyítási módszere ismert, hanem egyszerre több. Ma már csak találgatni tudjuk, hogy az ókori görögök pontosan hogyan végezték számításaikat, ezért itt a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait fogjuk megvizsgálni.

Pitagorasz tétel

Mielőtt bármilyen számításba kezdene, ki kell találnia, hogy melyik elméletet szeretné bizonyítani. A Pitagorasz-tétel így hangzik: „Egy háromszögben, amelyben az egyik szög 90°, a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.

Összesen 15 különböző módszer létezik a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Ez meglehetősen nagy szám, ezért a legnépszerűbbekre fogunk figyelni.

1. módszer

Először is határozzuk meg, mit kaptunk. Ezek az adatok a Pitagorasz-tétel más bizonyítási módszereire is vonatkoznak, ezért érdemes azonnal megjegyezni az összes rendelkezésre álló jelölést.

Tegyük fel, hogy kapunk egy derékszögű háromszöget, amelynek a, b lábai és egy c-vel egyenlő befogója. Az első bizonyítási módszer azon a tényen alapul, hogy derékszögű háromszögből négyzetet kell rajzolni.

Ehhez hozzá kell adni egy szegmenst a hosszúságú lábhoz egyenlő a lábával be, és fordítva. Ennek eredményeként a négyzet két egyenlő oldala lesz. Már csak két párhuzamos vonalat kell húzni, és kész is a négyzet.

A kapott ábrán belül egy másik négyzetet kell rajzolnia, amelynek oldala megegyezik az eredeti háromszög befogójával. Ehhez az ас és св csúcsokból két párhuzamos, с-vel egyenlő szegmenst kell rajzolni. Így a négyzet három oldalát kapjuk, amelyek közül az egyik az eredeti derékszögű háromszög befogója. Már csak a negyedik szegmens megrajzolása van hátra.

A kapott ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a külső négyzet területe (a + b) 2. Ha belenézünk az ábrába, láthatjuk, hogy a belső négyzeten kívül még négy derékszögű háromszög található. Mindegyik területe 0,5 av.

Ezért a terület egyenlő: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Ezért (a+c) 2 =2ab+c 2

Ezért c 2 =a 2 +b 2

A tétel bizonyítást nyert.

Második módszer: hasonló háromszögek

Ezt a Pitagorasz-tétel bizonyítási képletét a geometria hasonló háromszögekre vonatkozó szakaszának állítása alapján vezették le. Azt állítja, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogójával arányos átlag és a 90°-os szög csúcsából kiinduló befogószakasz.

A kezdeti adatok ugyanazok maradnak, ezért kezdjük rögtön a bizonyítással. Rajzoljunk egy CD szakaszt merőlegesen az AB oldalra. A fenti állítás alapján a háromszögek oldalai egyenlőek:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

A Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó kérdés megválaszolásához a bizonyítást mindkét egyenlőtlenség négyzetre emelésével kell befejezni.

AC 2 = AB * AD és CB 2 = AB * DV

Most össze kell adnunk a kapott egyenlőtlenségeket.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ahol AD ​​+ DV = AB

Kiderült, hogy:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

És ezért:

AC 2 + CB 2 = AB 2

A Pitagorasz-tétel bizonyítása és különböző módokon megoldásai e probléma sokoldalú megközelítését igénylik. Ez a lehetőség azonban az egyik legegyszerűbb.

Egy másik számítási módszer

A Pitagorasz-tétel különböző bizonyítási módszereinek leírása nem feltétlenül jelent semmit, amíg el nem kezdi önállóan gyakorolni. Sok technika nem csak matematikai számításokat foglal magában, hanem új figurák felépítését is az eredeti háromszögből.

BAN BEN ebben az esetben Egy másik VSD derékszögű háromszöget kell kitölteni a BC oldalról. Így most két háromszög van közös szárral BC.

Tudva, hogy a hasonló ábrák területének aránya van a hasonló lineáris méretük négyzetével, akkor:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(2-től 2-ig) = a 2 *(S avd -S vsd)

2-től 2-ig =a 2

c 2 =a 2 + b 2

Mivel a Pitagorasz-tétel 8. évfolyamra vonatkozó bizonyítási módjai közül ez a lehetőség aligha alkalmas, használhatja a következő módszert.

A Pitagorasz-tétel bizonyításának legegyszerűbb módja. Vélemények

A történészek szerint ezt a módszert először a tétel bizonyítására használták ókori Görögország. Ez a legegyszerűbb, mivel nem igényel semmiféle számítást. Ha helyesen rajzolja meg a képet, akkor az a 2 + b 2 = c 2 állítás bizonyítéka jól látható lesz.

Feltételek a ez a módszer kissé eltér majd az előzőtől. A tétel bizonyításához tegyük fel, hogy az ABC derékszögű háromszög egyenlő szárú.

Vegyük az AC hipotenuszt a négyzet oldalának, és rajzoljuk meg a három oldalát. Ezenkívül a kapott négyzetben két átlós vonalat kell húzni. Így benne négy egyenlő szárú háromszöget kap.

Rajzolnia kell egy négyzetet az AB és CB lábakhoz, és mindegyikbe húznia kell egy-egy átlós egyenest. Az első vonalat az A csúcsból, a másodikat a C csúcsból húzzuk.

Most alaposan meg kell néznie a kapott rajzot. Mivel az AC hipotenuszon négy, az eredetivel megegyező háromszög található, az oldalakon pedig kettő, ez jelzi ennek a tételnek a valódiságát.

Egyébként a Pitagorasz-tétel ezen bizonyítási módszerének köszönhetően megszületett a híres mondat: „A pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő”.

J. Garfield bizonyítéka

James Garfield az Amerikai Egyesült Államok huszadik elnöke. Amellett, hogy az Egyesült Államok uralkodójaként beírta magát a történelembe, tehetséges autodidakta is volt.

Pályája elején közönséges tanár volt egy állami iskolában, de hamarosan az egyik legmagasabb iskola igazgatója lett oktatási intézmények. Az önfejlesztés vágya lehetővé tette számára, hogy felajánlja új elmélet a Pitagorasz-tétel bizonyítása. A tétel és a megoldás példája a következő.

Először két derékszögű háromszöget kell rajzolnia egy papírra, hogy az egyik lába a második folytatása legyen. Ezeknek a háromszögeknek a csúcsait össze kell kötni, hogy végül trapézt alkossanak.

Mint tudják, a trapéz területe megegyezik az alapjai és a magassága összegének felével.

S=a+b/2 * (a+b)

Ha a kapott trapézt három háromszögből álló alaknak tekintjük, akkor a területe a következőképpen található:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Most ki kell egyenlítenünk a két eredeti kifejezést

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 + b 2

A Pitagorasz-tételről és annak bizonyítási módszereiről nem egy kötetet lehetne írni. oktatási segédlet. De van-e értelme annak, amikor ezt a tudást nem lehet a gyakorlatban alkalmazni?

A Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazása

Sajnos modernben iskolai programok Ezt a tételt csak geometriai feladatokban kívánjuk használni. A végzősök hamarosan otthagyják az iskolát anélkül, hogy tudnák, hogyan alkalmazhatják tudásukat és készségeiket a gyakorlatban.

Valójában használja a Pitagorasz-tételt Mindennapi élet mindenki tud. És nem csak benne szakmai tevékenység, hanem a hétköznapi háztartási munkákban is. Nézzünk meg néhány olyan esetet, amikor a Pitagorasz-tétel és a bizonyítási módszerek rendkívül szükségesek lehetnek.

A tétel és a csillagászat kapcsolata

Úgy tűnik, hogyan lehet összekapcsolni a papíron lévő csillagokat és háromszögeket. Valójában a csillagászat az tudományos terület, amely széles körben használja a Pitagorasz-tételt.

Vegyük például egy fénysugár mozgását a térben. Ismeretes, hogy a fény mindkét irányban azonos sebességgel mozog. Nevezzük AB pályának, amelyen a fénysugár mozog l. És nevezzük a fénynek A pontból B pontba jutáshoz szükséges idő felét t. És a sugár sebessége - c. Kiderült, hogy: c*t=l

Ha ugyanezt a sugarat egy másik síkról nézzük, például egy v sebességgel mozgó térbélésről, akkor a testek ilyen módon történő megfigyelésekor a sebességük megváltozik. Ebben az esetben még az álló elemek is elkezdenek v sebességgel az ellenkező irányba mozogni.

Tegyük fel, hogy a képregényhajó jobbra vitorlázik. Ekkor az A és B pont, amelyek között a sugár rohan, balra mozog. Sőt, amikor a sugár A pontból B pontba mozog, az A pontnak van ideje mozogni, és ennek megfelelően a fény már egy új C pontba érkezik. Annak a távolságnak a felének meghatározásához, amellyel A pont elmozdult, meg kell szoroznia a bélés sebessége a sugár mozgási idejének felével (t ").

És ahhoz, hogy megtudja, milyen messzire juthat el egy fénysugár ez idő alatt, meg kell jelölnie az út felét egy új s betűvel, és a következő kifejezést kell kapnia:

Ha elképzeljük, hogy a C és B fénypontok, valamint a térvonal egy egyenlő szárú háromszög csúcsai, akkor az A ponttól a vonalig tartó szakasz két derékszögű háromszögre osztja. Ezért a Pitagorasz-tételnek köszönhetően megtalálhatja azt a távolságot, amelyet egy fénysugár megtehet.

Ez a példa persze nem a legsikeresebb, hiszen csak kevesen lehet szerencsések a gyakorlatban kipróbálni. Ezért nézzük meg ennek a tételnek a hétköznapibb alkalmazásait.

Mobil jelátviteli tartomány

A modern élet már nem képzelhető el okostelefonok nélkül. De vajon sok hasznuk lenne, ha nem tudnának összekötni az előfizetőket ezen keresztül mobil kommunikáció?!

A mobilkommunikáció minősége közvetlenül attól függ, hogy a mobilszolgáltató antennája milyen magasságban található. Annak kiszámításához, hogy egy mobil toronytól milyen távolságra tud jelet fogadni, alkalmazhatja a Pitagorasz-tételt.

Tegyük fel, hogy meg kell találni egy álló torony hozzávetőleges magasságát, hogy 200 kilométeres sugarú körben el tudjon terjeszteni egy jelet.

AB (torony magassága) = x;

BC (jelátviteli sugár) = 200 km;

OS (a földgömb sugara) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

A Pitagorasz-tételt alkalmazva azt találjuk, hogy a torony minimális magassága 2,3 kilométer legyen.

Pitagorasz-tétel a mindennapi életben

Furcsa módon a Pitagorasz-tétel még a hétköznapi dolgokban is hasznos lehet, például egy gardrób magasságának meghatározásánál. Első pillantásra nincs szükség ilyen összetett számításokra, mert egyszerűen mérőszalaggal mérhet. Sokan azonban csodálkoznak azon, hogy miért merülnek fel bizonyos problémák az összeszerelési folyamat során, ha minden mérést több mint pontosan végeztek.

A helyzet az, hogy a szekrényt vízszintes helyzetben szerelik össze, és csak ezután emelik fel és szerelik fel a falhoz. Ezért a szerkezet felemelése során a szekrény oldalának szabadon kell mozognia mind a szoba magasságában, mind átlósan.

Tegyük fel, hogy van egy 800 mm mélységű szekrény. Távolság a padlótól a mennyezetig - 2600 mm. Egy tapasztalt bútorkészítő azt mondja, hogy a szekrény magasságának 126 mm-rel kisebbnek kell lennie, mint a szoba magassága. De miért pont 126 mm? Nézzünk egy példát.

Ideális szekrényméretekkel ellenőrizzük a Pitagorasz-tétel működését:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - minden passzol.

Mondjuk a szekrény magassága nem 2474 mm, hanem 2505 mm. Akkor:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Ezért ez a szekrény nem alkalmas ebbe a helyiségbe való beépítésre. Mert függőleges helyzetbe emelése károsíthatja a testét.

Talán, ha megvizsgáljuk a Pitagorasz-tétel különböző tudósok általi bizonyításának módjait, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez több mint igaz. Most már használhatja a kapott információkat a mindennapi életében, és teljesen biztos lehet benne, hogy minden számítás nemcsak hasznos, hanem helyes is lesz.

Pitagorasz tétel- az euklideszi geometria egyik alaptétele, az összefüggés megállapítása

derékszögű háromszög oldalai között.

Úgy gondolják, hogy Pythagoras görög matematikus bizonyította be, akiről nevezték el.

A Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazása.

A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:

Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe egyenlő a négyzetek területének összegével,

lábakra épült.

A Pitagorasz-tétel algebrai megfogalmazása.

Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.

Vagyis a háromszög befogójának hosszát jelöli c, és a lábak hossza át aÉs b:

Mindkét készítmény Pitagorasz tétel egyenértékűek, de a második megfogalmazás elemibb, nem

terület fogalmát igényli. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről és

csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérve.

Fordított Pitagorasz-tétel.

Ha egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor

derékszögű háromszög.

Vagy más szóval:

A pozitív számok minden hármasára a, bÉs c, oly módon, hogy

van egy derékszögű háromszög lábakkal aÉs bés hypotenusa c.

Pitagorasz-tétel egyenlő szárú háromszögre.

Pitagorasz-tétel egyenlő oldalú háromszögre.

A Pitagorasz-tétel bizonyításai.

Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a tétel

Pitagorasz az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Ilyen sokszínűség

csak a tétel geometria szempontjából való alapvető jelentőségével magyarázható.

Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. A leghíresebb közülük:

bizonyíték terület módszere, magától értetődőÉs egzotikus bizonyíték(Például,

használva differenciál egyenletek ).

1. A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonló háromszögekkel.

Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a legegyszerűbb a megszerkesztett bizonyítások közül

közvetlenül az axiómákból. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.

Hadd ABC van derékszögű derékszögű háromszög C. Rajzoljuk le a magasságot Cés jelöljük

az alapozását keresztül H.

Háromszög ACH háromszöghöz hasonló AB C két sarokban. Hasonlóképpen, háromszög CBH hasonló ABC.

A jelölés bevezetésével:

kapunk:

,

ami megfelel -

Összehajtva a 2 és b 2, kapjuk:

vagy , amit bizonyítani kellett.

2. A Pitagorasz-tétel bizonyítása területmódszerrel.

Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindegyikük

olyan terület tulajdonságait használja, amelyek bizonyítása összetettebb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

• Bizonyítás az ekvikomplementaritáson keresztül.

Rendezzünk el négy egyforma téglalapot

háromszög az ábrán látható módon

jobb oldalon.

Négyszög oldalakkal c- négyzet,

mivel két hegyesszög összege 90°, és

kihajtott szög - 180°.

A teljes ábra területe egyrészt egyenlő,

egy négyzet területe oldalával ( a+b), másrészt pedig négy háromszög területének összege és

Q.E.D.

3. A Pitagorasz-tétel bizonyítása infinitezimális módszerrel.

​

Az ábrán látható rajzot nézve és

az oldalváltást figyelvea, tudunk

írd le a következő összefüggést a végtelenre

kicsi oldalsó lépésekbenVal velÉs a(hasonlóságot használva

háromszögek):

A változó elválasztási módszert használva a következőket kapjuk:

Egy általánosabb kifejezés a hipotenúzus változására mindkét oldali növekmény esetén:

Ennek az egyenletnek az integrálásával és használatával kezdeti feltételek, kapunk:

Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz:

Amint az könnyen látható, a végső képletben a másodfokú függés a lineárisnak köszönhető

arányosság a háromszög oldalai és a növekmény között, míg az összeg a függetlenhez kapcsolódik

a különböző lábak növekedéséből származó hozzájárulások.

Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést

(ebben az esetben a láb b). Ekkor az integrációs állandóhoz kapjuk:

(a Berlini Múzeum 6619. számú papirusza szerint). Cantor szerint a harpedonaptes, vagyis a „kötélhúzók” derékszöget építettek 3, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszögek felhasználásával.

Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet és kössünk rá egy színes csíkot az egyik végétől 3 m távolságra, a másik végétől 4 méter távolságra. A derékszög 3 és 4 méter hosszú oldalak között lesz. Kifogásolható a Harpedonaptians ellen, hogy az építési módszerük feleslegessé válik, ha például egy fából készült négyzetet használunk, amelyet minden asztalos használ. Valóban ismertek egyiptomi rajzok, amelyeken ilyen eszköz található, például egy asztalosműhelyt ábrázoló rajzok.

A babilóniaiaknál valamivel többet tudunk a Pitagorasz-tételről. Az egyik szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza, azaz ie 2000-ig. e. , egy derékszögű háromszög befogójának közelítő számítását adjuk meg. Ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel tudtak számításokat végezni szerint legalább egyes esetekben. Van der Waerden (holland matematikus) egyrészt az egyiptomi és babiloni matematika jelenlegi tudásszintje, másrészt a görög források kritikai tanulmányozása alapján arra a következtetésre jutott, hogy nagy a valószínűsége annak, hogy a A hipotenusz négyzetére vonatkozó tétel Indiában már a Kr. e. 18. század körül ismert volt. e.

Kr.e. 400 körül. Kr.e. Proklosz szerint Platón módszert adott a Pitagorasz-hármasok megtalálására, az algebra és a geometria kombinálására. Kr.e. 300 körül. e. A Pitagorasz-tétel legrégebbi axiomatikus bizonyítéka Euklidész Elemei című művében jelent meg.

Kiszerelések

Geometriai összetétel:

A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:

Algebrai megfogalmazás:

Ez azt jelenti, hogy a háromszög befogójának hosszát jelöli, a lábak hosszát pedig és :

A tétel mindkét megfogalmazása ekvivalens, de a második megfogalmazás elemibb, nem igényli a terület fogalmát. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről, és csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérjük meg.

Fordított Pitagorasz-tétel:

Bizonyíték

Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a Pitagorasz-tétel az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítást tartalmaz. Az ilyen sokféleség csak a tétel geometria szempontjából fennálló alapvető jelentőségével magyarázható.

Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. Közülük a leghíresebbek: területmódszeres bizonyítások, axiomatikus és egzotikus bizonyítások (például differenciálegyenletekkel).

Hasonló háromszögeken keresztül

Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a bizonyítások közül a legegyszerűbb, közvetlenül az axiómákból szerkesztve. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.

Hadd ABC van derékszögű derékszögű háromszög C. Rajzoljuk le a magasságot Cés jelölje az alapját H. Háromszög ACH háromszöghöz hasonló ABC két sarkán. Hasonlóképpen, háromszög CBH hasonló ABC. A jelölés bevezetésével

kapunk

Mi az egyenértékű

Összeadva azt kapjuk

, amit bizonyítani kellett

Bizonyítások területmódszerrel

Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindannyian a terület tulajdonságait használják, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

Bizonyítás egyenértékű kiegészítéssel

1. Rendezzünk négy egyenlő derékszögű háromszöget az 1. ábra szerint.
2. Négyszög oldalakkal c négyzet, mivel két hegyesszög összege 90°, az egyenes szöge pedig 180°.
3. A teljes ábra területe egyrészt egyenlő az (a + b) oldalú négyzet területével, másrészt a négy háromszög területeinek összegével és a a belső tér területe.

Q.E.D.

Eukleidész bizonyítéka

Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő.

Nézzük a bal oldali rajzot. Rajta négyzeteket szerkesztettünk egy derékszögű háromszög oldalaira, és a C derékszög csúcsából s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra vágja - BHJI és HAKJ, illetőleg. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével.

Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. Ehhez egy segédmegfigyelést használunk: Egy olyan háromszög területe, amelynek magassága és alapja megegyezik az AHJK téglalap területével. az adott téglalap egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe megegyezik az AHK háromszög területével (az ábrán nem látható), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével.

Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe a fenti tulajdonság szerint egyenlő a négyzet területének felével). Ez az egyenlőség nyilvánvaló: a háromszögek mindkét oldalán egyenlők, és a köztük lévő szög is egyenlő. Ugyanis - AB=AK, AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: a CAK háromszöget 90°-kal elforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két háromszög megfelelő oldalai kérdés egybeesik (annak köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°).

A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségének indoklása teljesen hasonló.

Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeiből tevődik össze. A bizonyíték mögött meghúzódó gondolatot tovább szemlélteti a fenti animáció.

Leonardo da Vinci bizonyítéka

A bizonyítás fő elemei a szimmetria és a mozgás.

Tekintsük a rajzot, ahogy a szimmetriából is látszik, a szegmens a négyzetet két azonos részre vágja (mivel a háromszögek felépítésükben egyenlőek).

A pont körül az óramutató járásával ellentétes 90 fokos elforgatással látjuk az árnyékolt ábrák egyenlőségét és.

Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a kis négyzetek (a lábakra épített) területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a nagy négyzet (a hipotenuszra épített) és az eredeti háromszög területének felével. Így a kis négyzetek területének összegének fele egyenlő a nagy négyzet területének felével, ezért a lábakra épített négyzetek területeinek összege egyenlő a négyzetre épített négyzet területével. átfogó.

Bizonyítás infinitezimális módszerrel

A következő, differenciálegyenleteket használó bizonyítást gyakran a híres angol matematikusnak, Hardynak tulajdonítják, aki a 20. század első felében élt.

Az ábrán látható rajzot nézve és az oldal változását figyelve a, a következő összefüggést írhatjuk fel infinitezimális oldalnövekményekre Val velÉs a(háromszög hasonlóságot használva):

A változók szétválasztásának módszerével azt találjuk

Egy általánosabb kifejezés a hipotenúzus változására mindkét oldali növekmény esetén

Ezt az egyenletet integrálva és a kezdeti feltételek felhasználásával megkapjuk

Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz

Amint az könnyen belátható, a végső képletben a másodfokú függés a háromszög oldalai és a növekmény közötti lineáris arányosság miatt jelenik meg, míg az összeg a különböző lábak növekményéből származó független hozzájárulásokhoz kapcsolódik.

Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést (jelen esetben láb). Ekkor megkapjuk az integrációs állandót

Változatok és általánosítások

Hasonló geometriai formák három oldalon

Általánosítás hasonló háromszögekre, a zöld alakzatok területe A + B = a kék C területe

Pitagorasz-tétel hasonló derékszögű háromszögek felhasználásával

Euklidész általánosította munkájában a Pitagorasz-tételt Kezdetek, kiterjesztve az oldalsó négyzetek területét hasonló területekre geometriai formák :

Ha egy derékszögű háromszög oldalaira hasonló geometriai alakzatokat (lásd az euklideszi geometriát) építünk, akkor a két kisebb alak összege megegyezik a nagyobb ábra területével.

Ennek az általánosításnak az a fő gondolata, hogy egy ilyen geometriai alakzat területe arányos bármely lineáris méretének négyzetével, és különösen bármely oldal hosszának négyzetével. Ezért hasonló számadatokhoz területekkel A, BÉs C oldalra épített hosszúsággal a, bÉs c, nekünk van:

De a Pitagorasz-tétel szerint a 2 + b 2 = c 2 akkor A + B = C.

Megfordítva, ha ezt be tudjuk bizonyítani A + B = C három hasonló geometriai alakra a Pitagorasz-tétel használata nélkül, akkor magát a tételt tudjuk bizonyítani, ellenkező irányban mozogva. Például a kezdő középső háromszög újra felhasználható háromszögként C a hipotenuszon, és két hasonló derékszögű háromszög ( AÉs B), a másik két oldalra épülnek, amelyek a középső háromszög magasságával való osztásával jönnek létre. A két kisebb háromszög területének összege ekkor nyilvánvalóan egyenlő a harmadik területével, tehát A + B = Cés az előző bizonyítást teljesítve fordított sorrendben, megkapjuk a Pitagorasz-tételt a 2 + b 2 = c 2 .

Koszinusz tétel

A Pitagorasz-tétel az különleges eset egy általánosabb koszinusztétel, amely egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát viszonyítja:

ahol θ az oldalak közötti szög aÉs b.

Ha θ 90 fok, akkor cos θ = 0, és a képlet a szokásos Pitagorasz-tételre egyszerűsödik.

Ingyenes háromszög

Egy tetszőleges oldalakkal rendelkező háromszög bármely kiválasztott sarkához a, b, c egyenlő szárú háromszöget írjunk be úgy, hogy egyenlő szögek alapjában θ egyenlő volt a kiválasztott szöggel. Tegyük fel, hogy a kiválasztott θ szög a kijelölt oldallal szemben helyezkedik el c. Ennek eredményeként θ szögű ABD háromszöget kaptunk, amely az oldallal szemben helyezkedik el aés partik r. A második háromszöget a θ szög alkotja, amely az oldallal szemben helyezkedik el bés partik Val vel hossz s, ahogy a képen is látszik. Thabit Ibn Qurra azzal érvelt, hogy e három háromszög oldalai a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz:

Ahogy a θ szög megközelíti a π/2-t, az egyenlő szárú háromszög alapja kisebb lesz, és a két r és s oldal egyre kevésbé fedi egymást. Ha θ = π/2, az ADB derékszögű háromszöggé válik, r + s = cés megkapjuk a kezdeti Pitagorasz-tételt.

Tekintsük az egyik érvet. Az ABC háromszögnek ugyanazok a szögei, mint az ABD háromszögnek, de fordított sorrendben. (A két háromszögnek közös a szöge a B csúcsban, mindkettőnek θ szöge van és a harmadik szöge is azonos, a háromszög szögeinek összege alapján) Ennek megfelelően az ABC hasonló a DBA háromszög ABD visszaverődéséhez, mivel az alsó ábrán látható. Írjuk fel az ellentétes oldalak és a θ szöggel szomszédos oldalak közötti kapcsolatot,

Szintén egy másik háromszög tükörképe,

Szorozzuk meg a törteket, és adjuk össze ezt a két arányt:

Q.E.D.

Általánosítás tetszőleges háromszögekre paralelogrammákkal

Általánosítás tetszőleges háromszögekre,
zöldterület telek = terület kék

A fenti ábrán látható tézis bizonyítása

Tegyünk egy további általánosítást nem derékszögű háromszögekre úgy, hogy négyzetek helyett paralelogrammákat használunk három oldalon. (a négyzetek speciális esetek.) A felső ábra azt mutatja, hogy hegyesszögű háromszög esetén a paralelogramma területe a hosszú oldalon egyenlő a másik két oldalon lévő paralelogramma összegével, feltéve, hogy a paralelogramma a hosszú oldalon oldala az ábrán látható módon van megszerkesztve (a nyilak által jelzett méretek megegyeznek, és meghatározzák az alsó paralelogramma oldalait). A négyzetek paralelogrammákkal való helyettesítése világosan hasonlít Püthagorasz kiinduló tételére, amelyet az alexandriai Pappus fogalmazott meg i.sz. 4-ben. e.

Az alsó ábra a bizonyítás menetét mutatja. Nézzük a háromszög bal oldalát. A bal oldali zöld paralelogramma területe megegyezik a bal oldal kék paralelogramma, mert ugyanaz az alapjuk bés magasság h. Ezenkívül a bal oldali zöld paralelogramma területe ugyanaz, mint a bal oldali zöld paralelogramma a felső képen, mivel közös alapjuk van (felül bal oldal háromszög) és a teljes magasság, amely merőleges a háromszög oldalára. Hasonló érveléssel a háromszög jobb oldalára is bebizonyítjuk, hogy az alsó paralelogramma területe megegyezik a két zöld paralelogramma területével.

Komplex számok

A Pitagorasz-tétel a két pont távolságának meghatározására szolgál egy derékszögű koordinátarendszerben, és ez a tétel minden valódi koordinátára érvényes: távolság s két pont között ( a, b) És ( CD) egyenlő

Nincs probléma a képlettel, ha a komplex számokat valós komponensű vektorokként kezeljük x + én y = (x, y). . Például a távolság s 0 + 1 között énés 1 + 0 én a vektor modulusaként számítjuk ki (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), vagy

Az összetett koordinátákkal rendelkező vektorokkal végzett műveletekhez azonban néhány javítást kell végrehajtani a Pitagorasz-képletben. Komplex számokkal rendelkező pontok közötti távolság ( a, b) És ( c, d); a, b, c, És d minden összetett, abszolút értékeket használva fogalmazzuk meg. Távolság s vektorkülönbség alapján (a − c, b − d) a következő formában: legyen a különbség a − c = p+i q, Ahol p- a különbség valódi része, q a képzetes rész, és i = √(−1). Ugyanígy hagyjuk b − d = r+i s. Akkor:

ahol a komplex konjugált száma. Például a pontok közötti távolság (a, b) = (0, 1) És (c, d) = (én, 0) , számoljuk ki a különbséget (a − c, b − d) = (−én, 1) és az eredmény 0 lenne, ha nem használnánk komplex konjugátumokat. Ezért a javított képlet segítségével azt kapjuk

A modul meghatározása a következő:

Sztereometria

A Pitagorasz-tétel háromdimenziós térre vonatkozó jelentős általánosítása de Goy tétele, amelyet J.-P. de Gois: ha egy tetraéder derékszögű (mint egy kockában), akkor a derékszöggel ellentétes lap területének négyzete egyenlő a másik három lap területének négyzeteinek összegével. Ezt a következtetést a következőképpen lehet összefoglalni: n-dimenziós Pitagorasz-tétel":

A Pitagorasz-tétel háromdimenziós térben az AD átlót három oldalhoz viszonyítja.

Egy másik általánosítás: A Pitagorasz-tétel a következő formában alkalmazható a sztereometriára. Tekintsünk egy téglalap alakú paralelepipedust az ábrán látható módon. Határozzuk meg a BD átló hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével:

ahol a három oldal derékszögű háromszöget alkot. Az AD átló hosszának meghatározásához a BD vízszintes átlót és az AB függőleges élt használjuk, ehhez ismét a Pitagorasz-tételt használjuk:

vagy ha mindent egy egyenletbe írunk:

Ez az eredmény egy háromdimenziós kifejezés a vektor nagyságának meghatározásához v(AD átló), merőleges összetevőiben kifejezve ( v k ) (három egymásra merőleges oldal):

Ez az egyenlet a Pitagorasz-tétel többdimenziós térre vonatkozó általánosításának tekinthető. Az eredmény azonban valójában nem más, mint a Pitagorasz-tétel ismételt alkalmazása derékszögű háromszögek sorozatára egymás után merőleges síkban.

Vektor tér

Ortogonális vektorrendszer esetén létezik egy egyenlőség, amelyet Pitagorasz-tételnek is neveznek:

Ha - ezek a vektor vetületei a koordináta tengelyekre, akkor ez a képlet egybeesik az euklideszi távolsággal - és azt jelenti, hogy a vektor hossza egyenlő az összetevői négyzetösszegének négyzetgyökével.

Ennek az egyenlőségnek analógját egy végtelen vektorrendszer esetén Parseval-egyenlőségnek nevezzük.

Nem euklideszi geometria

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria axiómáiból származik, és valójában nem érvényes a nem euklideszi geometriára, abban a formában, ahogyan fentebb írtuk. (Azaz a Pitagorasz-tétel egyfajta ekvivalensnek bizonyul Eukleidész párhuzamossági posztulátumával) Más szóval, a nem-euklideszi geometriában a háromszög oldalai közötti kapcsolat szükségszerűen a Pitagorasz-tételtől eltérő formában lesz. Például a gömbgeometriában egy derékszögű háromszög mindhárom oldala (mondjuk a, bÉs c), amelyek az egységgömb oktánsát (nyolcadik részét) korlátozzák, π/2 hosszúságúak, ami ellentmond a Pitagorasz-tételnek, mert a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Tekintsük itt a nem euklideszi geometria két esetét – a gömbi és hiperbolikus geometriát; mindkét esetben, akárcsak a derékszögű háromszögek euklideszi térénél, a Pitagorasz-tételt helyettesítő eredmény a koszinusztételből következik.

A Pitagorasz-tétel azonban érvényes marad a hiperbolikus és elliptikus geometriára, ha azt a követelményt, hogy a háromszög téglalap alakú, felváltjuk azzal a feltétellel, hogy a háromszög két szögének összegének egyenlőnek kell lennie a harmadikkal, mondjuk A+B = C. Ekkor az oldalak közötti kapcsolat így néz ki: az átmérőjű körök területének összege aÉs b egyenlő egy átmérőjű kör területével c.

Gömb geometria

Bármely derékszögű háromszögre egy sugarú gömbön R(például ha egy háromszögben a γ szög derékszögű) oldalakkal a, b, c A felek közötti kapcsolat így fog kinézni:

Ez az egyenlőség így származtatható speciális eset gömb-koszinusz tétel, amely minden gömbháromszögre érvényes:

ahol cosh a hiperbolikus koszinusz. Ez a képlet a hiperbolikus koszinusz tétel speciális esete, amely minden háromszögre érvényes:

ahol γ az a szög, amelynek csúcsa az oldallal ellentétes c.

Ahol g ij metrikus tenzornak nevezzük. Ez lehet pozíció függvénye. Az ilyen ívelt terek közé tartozik a Riemann-féle geometria általános példaként. Ez a megfogalmazás az euklideszi térben is megfelelő görbevonalas koordináták használatakor. Például poláris koordinátákhoz:

vektoros alkotás

A Pitagorasz-tétel összekapcsolja a vektorszorzat nagyságának két kifejezését. A keresztszorzat meghatározásának egyik megközelítése megköveteli, hogy teljesítse a következő egyenletet:

Ez a képlet a pontszorzatot használja. Az egyenlet jobb oldalát a Gram-determinánsnak nevezzük aÉs b, amely egyenlő a két vektor által alkotott paralelogramma területével. Ez a követelmény, valamint az a követelmény, hogy a vektorszorzat merőleges legyen az összetevőire aÉs b ebből következik, hogy a 0- és 1-dimenziós térből származó triviális esetek kivételével a keresztszorzat csak három és hét dimenzióban van definiálva. Az in szög definícióját használjuk n- dimenziós tér:

A keresztszorzatnak ez a tulajdonsága a következőképpen adja meg a nagyságát:

Alapvetően keresztül trigonometrikus azonosság Pythagoras kapunk egy másik formát az értékének írására:

A keresztszorzat meghatározásának egy másik megközelítése, ha egy kifejezést használunk annak nagyságára. Ezután fordított sorrendben érvelve kapcsolatot kapunk a skalárszorzattal:

Lásd még

Megjegyzések

1. Történelem téma: Pythagoras tétele a babiloni matematikában
2. ( , 351. o.) 351. o
3. ( , I. kötet, 144. o.)
4. Vita történelmi tények megadva (, 351. o.) 351. o
5. Kurt Von Fritz (1945. ápr.). "Metapontumi Hippasus az összemérhetetlenség felfedezése". A matematika évkönyvei, második sorozat(Matematika Évkönyvei) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, „The Story with Knots”, M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Epizódok a matematika korai történetéből. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Python Propositionírta: Elisha Scott Loomis
9. Eukleidészé Elemek: VI. könyv, VI 31. tézis: „A derékszögű háromszögeknél a derékszöget bezáró oldalon lévő ábra megegyezik a derékszöget tartalmazó oldalakon lévő hasonló és hasonlóan leírt ábrákkal.”
10. Lawrence S. Leff idézett mű. - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...a Pitagorasz-tétel általánosítása // Nagy pillanatok a matematikában (1650 előtt). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (teljes nevén Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (i.sz. 826-901) Bagdadban élő orvos volt, aki sokat írt Eukleidész elemeiről és más matematikai témákról.
13. Aydin Sayili (1960. márc.). "Thâbit ibn Qurra a Pitagorasz-tétel általánosítása." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally 2.10 (ii) gyakorlat // Idézett munka. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Az ilyen konstrukció részleteit lásd George Jennings 1.32. ábra: Az általánosított Pitagorasz-tétel // Modern geometria alkalmazásokkal: 150 ábrával. - 3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Tétel C: Norma önkényesre n-tuple ... // Bevezetés az elemzésbe . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Lásd még a 47-50. oldalt.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Görbék és felületek modern differenciálgeometriája a Mathematicával. - 3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Mátrix elemzés. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking idézett mű. - 2005. - 4. o. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC tömör matematikai enciklopédiája. - 2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss