Smanjite razlomke online kalkulator. Pravila za smanjivanje razlomaka s primjerima

Mnogi učenici rade iste pogreške kada rade s razlomcima. A sve zato što zaboravljaju osnovna pravila aritmetika. Danas ćemo ponoviti ova pravila na određenim zadacima koje dajem na satu.

Evo zadatka koji nudim svima koji se pripremaju za Jedinstveni državni ispit iz matematike:

Zadatak. Pliskavica dnevno pojede 150 grama hrane. No odrasla je i počela jesti 20% više. Koliko grama hrane sada pojede svinja?

Ne ispravno rješenje. Ovo je problem postotka koji se svodi na jednadžbu:

Mnogi (jako mnogi) smanjuju broj 100 u brojniku i nazivniku razlomka:

Ovo je pogreška koju je moj učenik napravio upravo na dan pisanja ovog članka. Brojevi koji su skraćeni označeni su crvenom bojom.

Nepotrebno je reći da je odgovor bio pogrešan. Prosudite sami: svinja je pojela 150 grama, ali je počela jesti 3150 grama. Povećanje nije 20%, već 21 puta, tj. za 2000%.

Kako biste izbjegli takve nesporazume, zapamtite osnovno pravilo:

Samo se množitelji mogu smanjiti. Termini se ne smanjuju!

Dakle, ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Crvenom bojom označeni su brojevi koji su skraćeno u brojniku i nazivniku. Kao što vidite, brojnik je proizvod, nazivnik je običan broj. Dakle, smanjenje je potpuno legalno.

Rad s proporcijama

Drugo problematično područje je proporcije. Pogotovo kada je varijabla s obje strane. Na primjer:

Zadatak. Riješite jednadžbu:

Pogrešno rješenje - neke ljude doslovno žulja da sve skrate za m:

Reducirane varijable prikazane su crvenom bojom. Izraz 1/4 = 1/5 ispada potpuna besmislica, ti brojevi nikad nisu jednaki.

A sada - prava odluka. U suštini to je obično Linearna jednadžba . Može se riješiti pomicanjem svih elemenata na jednu stranu ili osnovnim svojstvom proporcije:

Mnogi će čitatelji prigovoriti: "Gdje je greška u prvom rješenju?" Pa, idemo saznati. Prisjetimo se pravila za rad s jednadžbama:

Svaka jednadžba se može podijeliti i pomnožiti bilo kojim brojem, različit od nule.

Jeste li promašili trik? Možete dijeliti samo brojevima različit od nule. Konkretno, možete dijeliti s varijablom m samo ako je m != 0. Ali što ako je ipak m = 0? Zamijenimo i provjerimo:

Dobili smo točnu numeričku jednakost, tj. m = 0 je korijen jednadžbe. Za preostali m != 0 dobivamo izraz oblika 1/4 = 1/5, što je naravno netočno. Dakle, ne postoje korijeni različiti od nule.

Zaključci: sve zajedno

Dakle, da biste riješili frakcijske racionalne jednadžbe, zapamtite tri pravila:

1. Samo se množitelji mogu smanjiti. Dodaci nisu mogući. Stoga nauči rastavljati brojnik i nazivnik na faktore;
2. Glavno svojstvo razmjera: umnožak krajnjih elemenata jednak je umnošku srednjih;
3. Jednadžbe se mogu množiti i dijeliti samo brojevima k koji nisu nula. Slučaj k = 0 mora se posebno provjeriti.

Zapamtite ova pravila i nemojte griješiti.

Online kalkulator izvodi redukcija algebarskih razlomaka u skladu s pravilom smanjivanja razlomaka: zamjenom izvornog razlomka jednakim razlomkom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom, tj. Istodobno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajedničkim faktorom (GCD). Kalkulator također prikazuje detaljno rješenje koje će vam pomoći razumjeti redoslijed smanjenja.

dano:

Riješenje:

Izvođenje redukcije razlomaka

provjera mogućnosti izvođenja redukcije algebarskih razlomaka

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (NOD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka

smanjivanje brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cijelog dijela razlomka

odvajanje cijelog dijela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvaranje algebarskog razlomka u decimal

Pomoć za razvoj web stranice projekta

Dragi posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili, svakako napišite o tome u komentarima, što trenutno nedostaje na stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kojem smjeru trebamo dalje ići, a uskoro će i drugi posjetitelji moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se web mjesto pokazalo korisnim, donirajte ga projektu samo 2 ₽ i znat ćemo da se krećemo u dobrom smjeru.

Hvala vam što ste svratili!

I. Postupak smanjivanja algebarskog razlomka pomoću online kalkulatora:

1. Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak mješovit, ispunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite polje cijelog dijela prazno.
2. Postaviti negativan razlomak, stavite znak minus na cijeli dio razlomka.
3. Ovisno o navedenom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći niz radnji:

• određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (NOD) brojnika i nazivnika razlomka;
• smanjenje brojnika i nazivnika razlomka za gcd;
• isticanje cijelog dijela razlomka, ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
• pretvaranje konačnog algebarskog razlomka u decimalni razlomak zaokruženo na najbližu stotinku.

Smanjenje može rezultirati nepravilnim razlomkom. U tom će slučaju cijeli dio konačnog nepravilnog razlomka biti istaknut, a posljednji će se razlomak pretvoriti u pravi razlomak.

II. Za referencu:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Obični razlomak (prosti razlomak) zapisan je kao dva broja (brojnik razlomka i nazivnik razlomka) odvojena vodoravnom crtom (razlomak) koja označava znak dijeljenja. Brojnik razlomka je broj iznad razlomka. Brojnik pokazuje koliko je dionica izdvojeno iz cjeline. Nazivnik razlomka je broj ispod razlomke. Nazivnik pokazuje koliko jednaki udjeli cjelina je podijeljena. Prosti razlomak je razlomak koji nema cijeli dio. Jednostavni razlomak može biti pravilan i nepravilan. pravi razlomak – razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer pravilnih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravi razlomak je razlomak u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku, pa je nepravi razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravih razlomaka: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak je broj koji sadrži cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbroj tog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak može se pretvoriti u nepravi razlomak. Primjer mješovitih razlomaka: 1¼, 2½, 4¾.

III. Bilješka:

1. Blok izvornih podataka označen žuta boja , međukalkulacijski blok dodijeljen plava , blok rješenja označen je zelenom bojom.
2. Za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjima.

U ovom članku ćemo detaljno pogledati kako smanjivanje razlomaka. Prvo, razgovarajmo o tome što se zove smanjenje razlomka. Nakon ovoga, razgovarajmo o svođenju svodivog razlomka na nesvodivi oblik. Zatim ćemo dobiti pravilo za smanjivanje razlomaka i na kraju razmotriti primjere primjene tog pravila.

Navigacija po stranici.

Što znači smanjiti razlomak?

Znamo da se obični razlomci dijele na svodive i nesvodive. Iz imena možete pogoditi da se svodivi razlomci mogu skratiti, ali nesvodivi razlomci ne.

Što znači smanjiti razlomak? Smanjite razlomak- to znači dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika njihovim pozitivnim i različitim od jedinice. Jasno je da se smanjenjem razlomka dobiva novi razlomak s manjim brojnikom i nazivnikom, a zbog osnovnog svojstva razlomka dobiveni razlomak jednak je izvornom.

Na primjer, smanjimo obični razlomak 8/24 tako da njegov brojnik i nazivnik podijelimo s 2. Drugim riječima, smanjimo razlomak 8/24 za 2. Budući da je 8:2=4 i 24:2=12, ova redukcija rezultira razlomkom 4/12, koji je jednak izvornom razlomku 8/24 (vidi jednake i nejednake razlomke). Kao rezultat toga, imamo.

Svođenje običnih razlomaka na nesvodivi oblik

Tipično, krajnji cilj smanjivanja razlomka je dobiti nesvodivi razlomak koji je jednak izvornom reduciranom razlomku. Ovaj se cilj može postići svođenjem izvornog reduciranog razlomka na njegov brojnik i nazivnik. Kao rezultat takve redukcije uvijek se dobiva nesvodivi razlomak. Doista, kusur je nesvodiv, jer je poznato da I - . Ovdje ćemo reći da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka najveći broj, kojim se ovaj udio može smanjiti.

Tako, svođenje običnog razlomka na nesvodivi oblik sastoji se od dijeljenja brojnika i nazivnika izvornog reducibilnog razlomka s njihovim gcd.

Pogledajmo primjer za koji se vraćamo na razlomak 8/24 i smanjujemo ga za najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, koji je jednak 8. Kako je 8:8=1 i 24:8=3, dolazimo do nesvodivog razlomka 1/3. Dakle, .

Imajte na umu da izraz "smanjiti razlomak" često znači reduciranje izvornog razlomka na njegov nesvodivi oblik. Drugim riječima, smanjivanje razlomka vrlo se često odnosi na dijeljenje brojnika i nazivnika njihovim najvećim zajedničkim faktorom (umjesto bilo kojim zajedničkim faktorom).

Kako smanjiti razlomak? Pravila i primjeri skraćivanja razlomaka

Ostaje samo pogledati pravilo za smanjivanje razlomaka, koje objašnjava kako smanjiti zadani razlomak.

Pravilo za smanjivanje razlomaka sastoji se od dva koraka:

• prvo se pronađe gcd brojnika i nazivnika razlomka;
• drugo, brojnik i nazivnik razlomka dijele se s njihovim gcd-om, što daje nesvodivi razlomak jednak izvornom.

Idemo to riješiti primjer smanjivanja razlomka prema navedenom pravilu.

Primjer.

Skrati razlomak 182/195.

Riješenje.

Provedimo oba koraka propisana pravilom za smanjivanje razlomka.

Prvo nalazimo GCD(182, 195) . Najprikladnije je koristiti Euklidov algoritam (vidi): 195=182·1+13, 182=13·14, odnosno GCD(182, 195)=13.

Sada podijelimo brojnik i nazivnik razlomka 182/195 s 13 i dobijemo nesvodivi razlomak 14/15, koji je jednak izvornom razlomku. Time je redukcija razlomka završena.

Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: .

Odgovor:

Ovdje možemo završiti smanjivanje razlomaka. No da bismo dovršili sliku, pogledajmo još dva načina smanjivanja razlomaka, koji se obično koriste u lakšim slučajevima.

Ponekad brojnik i nazivnik razlomka koji se smanjuje nije teško. Smanjenje razlomka u ovom je slučaju vrlo jednostavno: samo trebate ukloniti sve zajedničke faktore iz brojnika i nazivnika.

Vrijedno je napomenuti da ova metoda izravno slijedi iz pravila smanjivanja razlomaka, budući da je umnožak svih zajedničkih prostih faktora brojnika i nazivnika jednak njihovom najvećem zajedničkom djelitelju.

Pogledajmo rješenje primjera.

Primjer.

Skrati razlomak 360/2 940.

Riješenje.

Rastavimo brojnik i nazivnik na jednostavne faktore: 360=2·2·2·3·3·5 i 2,940=2·2·3·5·7·7. Tako, .

Sada se rješavamo zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku; radi praktičnosti jednostavno ih precrtavamo: .

Na kraju pomnožimo preostale faktore: , i svođenje razlomka je završeno.

Evo kratkog sažetka rješenja: .

Odgovor:

Razmotrimo još jedan način smanjivanja razlomka, koji se sastoji od sekvencijalnog smanjenja. Ovdje se u svakom koraku razlomak smanjuje za neki zajednički djelitelj brojnika i nazivnika, što je ili očito ili se lako određuje pomoću

Na prvi pogled algebarski razlomci izgledaju vrlo složeni i nespremni učenik može pomisliti da se s njima ništa ne može učiniti. Gomilanje varijabli, brojeva, pa i stupnjeva izaziva strah. Međutim, ista se pravila koriste za smanjivanje običnih razlomaka (kao što je 15/25) i algebarskih razlomaka.

Koraci

Smanjenje razlomaka

Provjerite aktivnosti sa prosti razlomci. Operacije s običnim i algebarskim razlomcima su slične. Na primjer, uzmimo razlomak 15/35. Da biste pojednostavili ovaj razlomak, trebali biste pronaći zajednički djelitelj. Oba broja su djeljiva s pet, tako da možemo izdvojiti 5 u brojniku i nazivniku:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Sada možeš smanjiti zajedničke faktore, odnosno precrtajte 5 u brojniku i nazivniku. Kao rezultat toga, dobivamo pojednostavljeni razlomak 3/7 . U algebarski izrazi zajednički faktori raspoređuju se na isti način kao i kod običnih. U prethodnom smo primjeru mogli lako izolirati 5 od 15 - isti princip vrijedi za složenije izraze kao što je 15x – 5. Pronađimo zajednički faktor. U u ovom slučaju ovo će biti 5, budući da su oba člana (15x i -5) djeljiva s 5. Kao i prije, izolirajte zajednički faktor i pomaknite ga lijevo.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Kako biste provjerili je li sve točno, samo pomnožite izraz u zagradama s 5 - rezultat će biti isti brojevi kao na početku. Složeni članovi mogu se izolirati na isti način kao i jednostavni. Za algebarske razlomke vrijede isti principi kao i za obične. Ovo je najlakši način za smanjenje razlomka. Razmotrimo sljedeći razlomak:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Imajte na umu da i brojnik (gore) i nazivnik (dno) sadrže član (x+2), tako da se može smanjiti na isti način kao zajednički faktor 5 u razlomku 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Kao rezultat, dobivamo pojednostavljeni izraz: (x-3)/(x+10)

Smanjenje algebarskih razlomaka

Pronađite zajednički faktor u brojniku, odnosno na vrhu razlomka. Kada reducirate algebarski razlomak, prvi korak je pojednostaviti obje strane. Počnite s brojnikom i pokušajte ga rastaviti na što više veći broj množitelji. Razmotrite u ovom odjeljku sljedeći razlomak:

9x-3 15x+6

Počnimo s brojnikom: 9x – 3. Za 9x i -3 zajednički faktor je broj 3. Izbacimo 3 iz zagrada, kao što se radi s običnim brojevima: 3 * (3x-1). Rezultat ove transformacije je sljedeći razlomak:

3(3x-1) 15x+6

Pronađite zajednički faktor u brojniku. Nastavimo s gornjim primjerom i zapišimo nazivnik: 15x+6. Kao i prije, pronađimo kojim su brojem oba dijela djeljiva. I u ovom slučaju zajednički faktor je 3, tako da možemo napisati: 3 * (5x +2). Prepišimo razlomak u sljedećem obliku:

3(3x-1) 3(5x+2)

Skratite iste pojmove. U ovom koraku možete pojednostaviti razlomak. Poništite iste članove u brojniku i nazivniku. U našem primjeru, ovaj broj je 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Utvrdite da razlomak ima najjednostavniji oblik. Razlomak je potpuno pojednostavljen kada nema zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku. Imajte na umu da ne možete poništiti one pojmove koji su unutar zagrada - u danom primjeru ne postoji način da se x odvoji od 3x i 5x, jer punopravni članovi su (3x -1) i (5x + 2). Dakle, razlomak se ne može dalje pojednostavljivati, a konačni odgovor je sljedeći:

(3x-1)(5x+2)

Vježbajte samostalno smanjivanje razlomaka. Najbolji način Ovladati metodom znači samostalno rješavati probleme. Ispod primjera navedeni su točni odgovori.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Odgovor:(x=13)

2x 2 -x 5x

Odgovor:(2x-1)/5

Posebni potezi

Izvadi ga negativan predznak izvan razlomka. Pretpostavimo da vam je dan sljedeći razlomak:

3(x-4) 5(4-x)

Imajte na umu da su (x-4) i (4-x) "gotovo" identični, ali se ne mogu odmah smanjiti jer su "obrnuti". Međutim, (x - 4) se može napisati kao -1 * (4 - x), kao što se (4 + 2x) može napisati kao 2 * (2 + x). To se zove "preokret predznaka".

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Sada možete smanjiti identične pojmove (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Dakle, dobili smo konačan odgovor: -3/5 . Naučite prepoznati razliku između kvadrata. Razlika kvadrata je kada se kvadrat jednog broja oduzme od kvadrata drugog broja, kao u izrazu (a 2 - b 2). Razlika savršenih kvadrata uvijek se može rastaviti na dva dijela - zbroj i razliku odgovarajućih kvadratni korijeni. Tada će izraz imati sljedeći oblik:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ova je tehnika vrlo korisna pri pronalaženju zajedničkih pojmova u algebarskim razlomcima.

• Provjerite jeste li ispravno faktorizirali ovaj ili onaj izraz. Da biste to učinili, pomnožite faktore - rezultat bi trebao biti isti izraz.
• Da biste potpuno pojednostavili razlomak, uvijek izolirajte najveće faktore.

Ovaj članak nastavlja temu pretvaranja algebarskih razlomaka: smatrajte takvu radnju smanjenjem algebarskih razlomaka. Definirajmo sam pojam, formulirajmo pravilo redukcije i analizirajmo praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Značenje redukcije algebarskog razlomka

U materijalima o običnim razlomcima, pogledali smo njegovu redukciju. Smanjenje razlomka definirali smo kao dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom.

Smanjenje algebarskog razlomka je slična operacija.

Definicija 1

Smanjenje algebarskog razlomka je dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom. U ovom slučaju, za razliku od redukcije običnog razlomka (zajednički nazivnik može biti samo broj), zajednički faktor brojnika i nazivnika algebarskog razlomka može biti polinom, posebno monom ili broj.

npr. algebarski razlomak 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 može se smanjiti za broj 3, što rezultira: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Isti razlomak možemo smanjiti za varijablu x i to će nam dati izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Također je moguće dati razlomak smanjiti monomom 3 x ili bilo koji od polinoma x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ili 3 x 2 + 6 x y.

Konačni cilj smanjenja algebarskog razlomka je razlomak veći od jednostavan tip, V najbolji mogući scenarij– nesvodivi razlomak.

Jesu li svi algebarski razlomci podložni redukciji?

Opet, iz materijala o običnim razlomcima, znamo da postoje svodivi i nesvodivi razlomci. Nesvodivi razlomci su razlomci koji nemaju zajedničke faktore brojnika i nazivnika osim 1.

Isto je i s algebarskim razlomcima: oni mogu imati zajedničke faktore u brojniku i nazivniku, a možda i ne. Prisutnost zajedničkih faktora omogućuje vam pojednostavljenje izvornog razlomka redukcijom. Kada nema zajedničkih faktora, nemoguće je optimizirati dati razlomak pomoću metode redukcije.

U općim slučajevima, prema dati tip Za razlomak je prilično teško razumjeti može li se smanjiti. Naravno, u nekim slučajevima prisutnost zajedničkog faktora između brojnika i nazivnika je očita. Na primjer, u algebarskom razlomku 3 x 2 3 y sasvim je jasno da je zajednički faktor broj 3.

U razlomku - x · y 5 · x · y · z 3 također odmah razumijemo da se može smanjiti za x, ili y, ili x · y. Pa ipak, mnogo češće postoje primjeri algebarskih razlomaka, kada zajednički faktor brojnika i nazivnika nije tako lako vidjeti, a još češće, jednostavno ga nema.

Na primjer, možemo smanjiti razlomak x 3 - 1 x 2 - 1 za x - 1, dok navedeni zajednički faktor nije prisutan u unosu. Ali razlomak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ne može se smanjiti, budući da brojnik i nazivnik nemaju zajednički faktor.

Dakle, pitanje određivanja reducibilnosti algebarskog razlomka nije tako jednostavno i često je lakše raditi s razlomkom zadanog oblika nego pokušavati saznati je li on reducibilan. U tom se slučaju događaju takve transformacije koje u pojedinim slučajevima omogućuju određivanje zajedničkog faktora brojnika i nazivnika ili izvođenje zaključka o nesvodivosti razlomka. Ovo ćemo pitanje detaljno ispitati u sljedećem odlomku članka.

Pravilo za smanjivanje algebarskih razlomaka

Pravilo za smanjivanje algebarskih razlomaka sastoji se od dvije uzastopne akcije:

• pronalaženje zajedničkih faktora brojnika i nazivnika;
• ako se pronađe, akcija redukcije frakcije se provodi izravno.

Najprikladnija metoda za pronalaženje zajedničkih nazivnika je faktoriziranje polinoma prisutnih u brojniku i nazivniku danog algebarskog razlomka. To vam omogućuje da odmah jasno vidite prisutnost ili odsutnost zajedničkih čimbenika.

Sama radnja redukcije algebarskog razlomka temelji se na glavnom svojstvu algebarskog razlomka, izraženom jednakošću nedefinirano, gdje su a, b, c neki polinomi, a b i c različiti od nule. Prvi korak je svođenje razlomka na oblik a · c b · c, u kojem odmah uočavamo zajednički faktor c. Drugi korak je izvođenje redukcije, tj. prijelaz u razlomak oblika a b .

Tipični primjeri

Unatoč nekim očitostima, razjasnimo poseban slučaj kada su brojnik i nazivnik algebarskog razlomka jednaki. Slični razlomci su identički jednaki 1 na cijelom ODZ varijabli ovog razlomka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Jer obični razlomci su poseban slučaj algebarskih razlomaka, prisjetimo se kako se provodi njihova redukcija. Prirodni brojevi zapisani u brojniku i nazivniku rastavljaju se na proste faktore, zatim se zajednički faktori poništavaju (ako postoje).

Na primjer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Umnožak jednostavnih identičnih faktora može se napisati kao potencije, au procesu smanjivanja razlomka koristiti svojstvo dijeljenja potencija s identičnim bazama. Tada bi gornje rješenje bilo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(brojnik i nazivnik podijeljeni zajedničkim faktorom 2 2 3). Ili radi jasnoće, na temelju svojstava množenja i dijeljenja, rješenju dajemo sljedeći oblik:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogno se provodi redukcija algebarskih razlomaka u kojima brojnik i nazivnik imaju monome s cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer 1

Zadan je algebarski razlomak - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Treba ga smanjiti.

Riješenje

Brojnik i nazivnik zadanog razlomka moguće je napisati kao umnožak jednostavnih faktora i varijabli, a zatim izvršiti redukciju:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Međutim, racionalniji način bio bi napisati rješenje kao izraz s potencijama:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kada brojnik i nazivnik algebarskog razlomka sadrže razlomačke brojčane koeficijente, postoje dva moguća načina daljnjeg djelovanja: ili te razlomačke koeficijente podijeliti zasebno ili se najprije riješiti razlomačkih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika s nekim prirodnim brojem. Posljednja transformacija se provodi zbog osnovnog svojstva algebarskog razlomka (o tome možete pročitati u članku “Svođenje algebarskog razlomka na novi nazivnik”).

Primjer 2

Zadani razlomak je 2 5 x 0, 3 x 3. Treba ga smanjiti.

Riješenje

Razlomak je moguće smanjiti na sljedeći način:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pokušajmo riješiti problem drugačije, prvo se riješimo frakcijskih koeficijenata - pomnožimo brojnik i nazivnik s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika tih koeficijenata, tj. na LCM (5, 10) = 10. Tada dobivamo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kada reduciramo algebarske razlomke opći pogled, u kojima brojnici i nazivnici mogu biti monomi ili polinomi, može doći do problema kada zajednički faktor nije uvijek odmah vidljiv. Ili štoviše, jednostavno ne postoji. Zatim, da bi se odredio zajednički faktor ili zabilježila činjenica njegovog odsustva, brojnik i nazivnik algebarskog razlomka se faktoriziraju.

Primjer 3

Zadan je racionalni razlomak 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Rastavimo polinome na brojnik i nazivnik. Izbacimo to iz zagrada:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidimo da se izraz u zagradama može pretvoriti pomoću skraćenih formula množenja:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jasno se vidi da je moguće razlomak smanjiti zajedničkim faktorom b 2 (a + 7). Napravimo redukciju:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Napišimo kratko rješenje bez objašnjenja kao lanac jednakosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Dešava se da su zajednički faktori skriveni numeričkim koeficijentima. Tada je kod sažimanja razlomaka optimalno brojčane faktore na većim potencijama brojnika i nazivnika staviti izvan zagrada.

Primjer 4

Zadan je algebarski razlomak 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Potrebno ga je smanjiti ako je moguće.

Riješenje

Na prvi pogled brojnik i nazivnik ne postoje zajednički nazivnik. Ipak, pokušajmo preračunati zadani razlomak. Izbacimo faktor x iz brojnika:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sada možete vidjeti neku sličnost između izraza u zagradama i izraza u nazivniku zbog x 2 y . Izdvojimo numeričke koeficijente viših potencija ovih polinoma:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sada zajednički faktor postaje vidljiv, provodimo redukciju:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Naglasimo da vještina reduciranja racionalnih razlomaka ovisi o sposobnosti rastavljanja polinoma na faktore.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter