Korijen. Detaljna teorija s primjerima

Naslov: Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije za 8. razred.

Priručnik sadrži samostalne i probne radove iz svih najvažnijih tema kolegija algebre i geometrije 8. razreda.

Radovi se sastoje od 6 opcija tri razine težine. Didaktički materijali namijenjeni su organiziranju diferenciranog samostalnog rada učenika.

SADRŽAJ
ALGEBRA 4
C-1 Racionalni izrazi. Smanjenje razlomaka 4
C-2 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 5
K-1 Racionalni razlomci. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 7
C-3 Množenje i dijeljenje razlomaka. Povećanje razlomka na potenciju 10
C-4 Transformacija racionalnih izraza 12
C-5 Obrnuta proporcionalnost i njen grafikon 14
K-2 Racionalni razlomci 16
C-6 Aritmetički kvadratni korijen 18
C-7 Jednadžba x2 = a. Funkcija y = y[x 20
C-8 Kvadratni korijen umnoška, ​​razlomak, potencija od 22
K-3 Aritmetički kvadratni korijen i njegova svojstva 24
C-9 Zbrajanje i oduzimanje množitelja u kvadratnom korijenu 27
C-10 Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratni korijen 28
K-4 Primjena svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena 30
S-11 Nepotpune kvadratne jednadžbe 32
S-12 Formula za korijene kvadratne jednadžbe 33
C-13 Rješavanje problema korištenjem kvadratnih jednadžbi. Vietin teorem 34
K-5 kvadratne jednadžbe 36
S-14 Razlomljene racionalne jednadžbe 38
P-15 Primjena razlomljenih racionalnih jednadžbi. Rješavanje problema 39
K-6 Razlomačke racionalne jednadžbe 40
C-16 Svojstva numeričkih nejednakosti 43
K-7 Brojčane nejednadžbe i njihova svojstva 44
S-17 Linearne nejednadžbe s jednom varijablom 47
S-18 Sustavi linearnih nejednadžbi 48
K-8 Linearne nejednadžbe i sustavi nejednadžbi s jednom varijablom 50
C-19 Diploma s negativnim pokazateljem 52
K-9 stupanj s ukupnim rezultatom 54
K-10 Godišnji ispit 56
GEOMETRIJA (Prema Pogorelovu) 58
C-1 Svojstva i karakteristike paralelograma." 58
C-2 pravokutnik. Romb. Trg 60
K-1 paralelogram 62
C-3 Thalesov teorem. Srednja linija trokuta 63
S-4 trapez. Srednja linija trapeza 66
K-2 trapez. Srednje crte trokuta i trapeza....68
C-5 Pitagorin teorem 70
C-6 Teorem inverzan Pitagorinom teoremu. Okomito i koso 71
C-7 Nejednakost trokuta 73
K-3 Pitagorin teorem 74
C-8 Rješavanje pravokutnih trokuta 76
C-9 Svojstva trigonometrijskih funkcija 78
K-4 Pravokutni trokut (opći test) 80
C-10 Koordinate sredine segmenta. Udaljenost između točaka. Kružna jednadžba 82
S-11 Jednadžba pravca 84
K-5 Kartezijeve koordinate 86
S-12 Kretanje i njegova svojstva. Centralna i osna simetrija. Navrši 88
S-13. Paralelni prijenos 90
S-14 Pojam vektora. Jednakost vektora 92
C-15 Djelovanja s vektorima u koordinatnom obliku. kolinearni vektori 94
S-16 Akcije s vektorima u geometrijskom obliku 95
C-17 Točkasti proizvod 98
K-6 Vektori 99
K-7 Godišnji ispit 102
GEOMETRIJA (prema Atanasyanu) 104
C-1 Svojstva i karakteristike paralelograma 104
C-2 pravokutnik. Romb. Trg 106
K-1 četverokuti 108
C-3 Površina pravokutnika, kvadrata 109
C-4 Površina paralelograma, romba, trokuta 111
S-5 Površina trapeza 113
C-6 Pitagorin teorem 114
K-2 kvadrati. Pitagorina teorema 116
C-7 Određivanje sličnih trokuta. Svojstvo simetrale kuta trokuta 118
S-8 Znakovi sličnosti trokuta 120
K-3 Sličnost trokuta 122
C-9 Primjena sličnosti na rješavanje problema 124
C-10 Odnosi između stranica i kutova pravokutnog trokuta 126
K-4 Primjena sličnosti u rješavanju problema. Odnosi stranica i kutova pravokutnog trokuta 128
C-11 Tangenta na kružnicu 130
C-12 Središnji i upisani kutovi 132
C-13 Teorem o produktu odsječaka tetiva koje se sijeku. Zanimljive točke trokuta 134
C-14 Upisane i opisane kružnice 136
K-5 krug 137
S-15 Zbrajanje i oduzimanje vektora 139
C-16 Množenje vektora brojem 141
S-17 Središnja linija trapeza 142
K-6 Vektori. Primjena vektora u rješavanju problema 144
K-7 Godišnji ispit 146
ODGOVORI 148
KNJIŽEVNOST 157

PREDGOVOR .
1. Jedna relativno mala knjiga sadrži kompletan set testova (uključujući završne testove) za cijeli tečaj algebre i geometrije u 8. razredu, što ga čini dovoljnim za kupnju jednog kompleta knjiga po razredu.
Testovi su dizajnirani za lekciju, samostalni rad - 20-35 minuta, ovisno o temi. Radi lakšeg korištenja knjige, naslov svakog samostalnog i ispitnog rada odražava njegovu temu.

2. Zbirka omogućuje diferenciranu kontrolu znanja budući da su zadaci raspoređeni u tri razine složenosti A, B i C. Razina A odgovara obveznim programskim zahtjevima, B - prosječna razina složenosti, zadaci razine C namijenjeni su za učenike koji pokazuju povećani interes za matematiku, a također i za korištenje u razredima, školama, gimnazijama i licejima s produbljenim studijem matematike. Za svaku razinu postoje 2 ekvivalentne opcije smještene jedna do druge (kako su obično napisane na ploči), tako da je jedna knjiga na stolu dovoljna za lekciju.

Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu, gledajte i čitajte:
Preuzmite knjigu Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije za 8. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, brzo i besplatno preuzimanje.

• Samostalni i kontrolni rad iz geometrije za 11. razred. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije za 9. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Samostalni i ispitni rad iz algebre i geometrije, 8. razred, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013.

Opet sam pogledao znak... I, idemo!

Počnimo s nečim jednostavnim:

Samo malo. ovo, što znači da to možemo napisati ovako:

kužiš Evo sljedećeg za vas:

Nisu li korijeni dobivenih brojeva točno izvučeni? Nema problema - evo nekoliko primjera:

Što ako nema dva, nego više množitelja? Isto! Formula za množenje korijena funkcionira s bilo kojim brojem faktora:

Sada potpuno sami:

odgovori: Dobro napravljeno! Slažem se, sve je vrlo jednostavno, glavna stvar je znati tablicu množenja!

Podjela korijena

Razvrstali smo množenje korijena, a sada prijeđimo na svojstvo dijeljenja.

Podsjećam vas da opća formula izgleda ovako:

Što znači da korijen kvocijenta jednak je kvocijentu korijena.

Pa, pogledajmo neke primjere:

To je sve znanost. Evo primjera:

Nije sve tako glatko kao u prvom primjeru, ali, kao što vidite, nema ništa komplicirano.

Što ako naiđete na ovaj izraz:

Samo trebate primijeniti formulu u suprotnom smjeru:

Evo primjera:

Također možete naići na ovaj izraz:

Sve je isto, samo ovdje morate zapamtiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Sjećaš li se? Sada odlučimo!

Siguran sam da ste se sa svime nosili, sada pokušajmo podići korijene na stupnjeve.

Potenciranje

Što se događa ako se kvadratni korijen kvadrira? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj čiji je kvadratni korijen jednak.

Dakle, ako kvadriramo broj čiji je kvadratni korijen jednak, što ćemo dobiti?

Pa naravno, !

Pogledajmo primjere:

Jednostavno je, zar ne? Što ako je korijen na drugom stupnju? U redu je!

Slijedite istu logiku i zapamtite svojstva i moguće akcije sa stupnjevima.

Pročitaj teoriju na temu “” i sve će ti biti krajnje jasno.

Na primjer, evo izraza:

U ovom primjeru stupanj je paran, ali što ako je neparan? Opet, primijenite svojstva eksponenata i faktorizirajte sve:

Čini se da je s ovim sve jasno, ali kako izvući korijen broja na potenciju? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Što ako je stupanj veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Zatim sami riješite primjere:

A evo i odgovora:

Ulazak pod znak korijena

Što sve nismo naučili raditi s korijenima! Ostaje još samo vježbati unos broja ispod znaka korijena!

Stvarno je jednostavno!

Recimo da imamo zapisan broj

Što možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte tri ispod korijena, imajući na umu da je tri kvadratni korijen od!

Zašto nam ovo treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti prilikom rješavanja primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Čini li život puno lakšim? Za mene je to točno! Samo Moramo upamtiti da možemo unositi samo pozitivne brojeve ispod znaka kvadratnog korijena.

Riješite sami ovaj primjer -
Jeste li uspjeli? Da vidimo što biste trebali dobiti:

Dobro napravljeno! Uspjeli ste unijeti broj ispod korijenskog znaka! Prijeđimo na nešto jednako važno - pogledajmo kako usporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!

Usporedba korijena

Zašto trebamo naučiti uspoređivati ​​brojeve koji sadrže kvadratni korijen?

Jako jednostavno. Često, u velikim i dugim izrazima koje susrećemo na ispitu, dobijemo iracionalan odgovor (sjećate se što je ovo? O tome smo već danas pričali!)

Dobivene odgovore trebamo smjestiti na koordinatnu crtu, na primjer, kako bismo odredili koji je interval prikladan za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje problem: na ispitu nema kalkulatora, a kako bez njega zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!

Na primjer, odredite što je veće: ili?

Ne možete odmah reći. Pa, ajmo iskoristiti disassembled svojstvo unosa broja ispod znaka korijena?

Onda samo naprijed:

Pa, očito, što je veći broj ispod znaka korijena, veći je i sam korijen!

Oni. ako tada, .

Iz ovoga čvrsto zaključujemo da. I nitko nas neće uvjeriti u suprotno!

Vađenje korijena iz velikih brojeva

Prije toga smo unijeli množitelj ispod znaka korijena, ali kako ga ukloniti? Samo ga trebate rastaviti na faktore i izdvojiti ono što ste izdvojili!

Bilo je moguće krenuti drugim putem i proširiti se na druge čimbenike:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako želite.

Faktoring je vrlo koristan pri rješavanju takvih nestandardnih problema poput ovog:

Ne bojmo se, nego djelujmo! Rastavimo svaki faktor ispod korijena na zasebne faktore:

Sada pokušajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):

Je li ovo kraj? Nemojmo stati na pola puta!

To je sve, nije tako strašno, zar ne?

Dogodilo se? Bravo, tako je!

Sada isprobajte ovaj primjer:

Ali primjer je tvrd orah, pa ne možete odmah smisliti kako mu pristupiti. Ali, naravno, možemo to podnijeti.

Pa, da počnemo faktoring? Odmah napominjemo da broj možete podijeliti sa (sjetite se znakova djeljivosti):

Sada pokušajte sami (opet, bez kalkulatora!):

Pa, je li uspjelo? Bravo, tako je!

Sažmimo to

1. Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
   .
2. Ako jednostavno izvadimo kvadratni korijen nečega, uvijek ćemo dobiti jedan nenegativan rezultat.
3. Svojstva aritmetičkog korijena:
4. Kada se uspoređuju kvadratni korijeni, potrebno je zapamtiti da što je veći broj ispod znaka korijena, to je veći i sam korijen.

Kako je kvadratni korijen? Sve jasno?

Pokušali smo vam bez imalo buke objasniti sve što trebate znati na ispitu o kvadratnom korijenu.

Ti si na redu. Pišite nam je li vam ova tema teška ili ne.

Jeste li naučili nešto novo ili vam je već sve bilo jasno?

Pišite u komentarima i sretno na ispitima!

\(\sqrt(a)=b\), ako \(b^2=a\), gdje \(a≥0,b≥0\)

Primjeri:

\(\sqrt(49)=7\), jer \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), jer \(0,2^2=0,04\)

Kako izvući kvadratni korijen broja?

Da biste izvukli kvadratni korijen broja, trebate si postaviti pitanje: koji će broj na kvadrat dati izraz pod korijenom?

Na primjer. Ekstrahirajte korijen: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Koji će broj na kvadrat dati \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Koji će broj na kvadrat dati \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Koji će broj na kvadrat dati \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Koji će broj na kvadrat dati \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Da biste odgovorili na pitanje, morate ga pretvoriti u pogrešno.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentar: Iako \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\), također odgovara na pitanja pitanja, ali se ne uzimaju u obzir, jer je kvadratni korijen uvijek pozitivan.

Glavno svojstvo korijena

Kao što znate, u matematici svaka radnja ima inverziju. Zbrajanje ima oduzimanje, množenje ima dijeljenje. Obrnuto od kvadriranja je vađenje kvadratnog korijena. Stoga se ove radnje međusobno kompenziraju:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ovo je glavno svojstvo korijena, koje se najčešće koristi (uključujući i OGE)

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Riješenje :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \((\sqrt(85)-1)^2\)

Riješenje:

Naravno, kada radite s kvadratnim korijenima, morate koristiti druge.

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Riješenje:

Odgovor: \(220\)

4 pravila na koja ljudi uvijek zaborave

Korijen se ne vadi uvijek

Primjer: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\), itd. – izvlačenje korijena broja nije uvijek moguće i to je normalno!

Korijen broja, također i broj

Nema potrebe tretirati \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), na neki poseban način. To su brojevi, ali ne cijeli brojevi, da, ali ne mjeri se sve u našem svijetu cijelim brojevima.

Korijen se uzima samo iz nenegativnih brojeva

Stoga u udžbenicima nećete vidjeti takve unose \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) itd.

U ovom članku ćemo pogledati glavne svojstva korijena. Počnimo sa svojstvima aritmetičkog kvadratnog korijena, dajmo njihove formulacije i dajmo dokaze. Nakon ovoga ćemo se pozabaviti svojstvima aritmetičkog korijena n-tog stupnja.

Navigacija po stranici.

Svojstva kvadratnog korijena

U ovom paragrafu bavit ćemo se sljedećim osnovnim svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena:

U svakoj od napisanih jednakosti lijeva i desna strana se mogu zamijeniti, npr. jednakost se može prepisati kao . U ovom "obrnutom" obliku, svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena primjenjuju se kada pojednostavljivanje izraza jednako često kao i u "izravnom" obliku.

Dokaz prva dva svojstva temelji se na definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i na . A da biste opravdali posljednje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena, morat ćete zapamtiti.

Pa počnimo s dokaz svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena umnoška dvaju nenegativnih brojeva: . Da bismo to učinili, prema definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena, dovoljno je pokazati da je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a·b. Učinimo to. Vrijednost izraza je nenegativna kao umnožak nenegativnih brojeva. Svojstvo potencije umnoška dvaju brojeva omogućuje nam da zapišemo jednakost , a budući da je po definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i , tada .

Slično je dokazano da je aritmetički kvadratni korijen umnoška k nenegativnih faktora a 1 , a 2 , ..., a k jednak umnošku aritmetičkih kvadratnih korijena tih faktora. Stvarno,. Iz ove jednakosti slijedi da je .

Navedimo primjere: i.

Sada dokažimo svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena kvocijenta: . Svojstvo kvocijenta prirodnog stupnja omogućuje nam da zapišemo jednakost , A , a postoji i nenegativan broj. Ovo je dokaz.

Na primjer, i .

Vrijeme je da to sredimo svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena iz kvadrata broja, u obliku jednakosti zapisuje se kao . Da bismo to dokazali, razmotrimo dva slučaja: za a≥0 i za a<0 .

Očito, za a≥0 jednakost vrijedi. Također je lako vidjeti da za a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 i (−a) 2 =a 2 . Tako, , što je i trebalo dokazati.

Evo nekoliko primjera: I .

Upravo dokazano svojstvo kvadratnog korijena omogućuje nam da opravdamo sljedeći rezultat, gdje je a bilo koji realni broj, a m je bilo koji . Zapravo, svojstvo podizanja potence na potenciju omogućuje nam da potenciju a 2 m zamijenimo izrazom (a m) 2, tada .

npr. I .

Svojstva n-tog korijena

Prvo, nabrojimo glavne svojstva n-tih korijena:

Sve napisane jednakosti ostaju važeće ako im se lijeva i desna strana zamijene. Također se često koriste u ovom obliku, uglavnom kada se pojednostavljuju i transformiraju izrazi.

Dokaz svih najavljenih svojstava korijena temelji se na definiciji aritmetičkog korijena n-tog stupnja, na svojstvima stupnja i na definiciji modula broja. Dokazat ćemo ih po redu prioriteta.

Počnimo s dokazom svojstva n-tog korijena proizvoda . Za nenegativne a i b, vrijednost izraza je također nenegativna, poput umnoška nenegativnih brojeva. Svojstvo umnoška prirodnoj snazi ​​omogućuje nam da zapišemo jednakost . Prema definiciji aritmetičkog korijena n-tog stupnja i, prema tome, . Ovo dokazuje svojstvo razmatranog korijena.

Ovo se svojstvo dokazuje na sličan način za umnožak k faktora: za nenegativne brojeve a 1, a 2, …, a n, i .

Evo primjera korištenja svojstva n-tog korijena proizvoda: i .

Dokažimo svojstvo korijena kvocijenta. Kada je a≥0 i b>0 uvjet je zadovoljen, i .

Pokažimo primjere: I .

Idemo dalje. Dokažimo svojstvo n-tog korijena broja na n-tu potenciju. Odnosno, to ćemo dokazati za svako realno a i prirodno m. Za a≥0 imamo i , što dokazuje jednakost , i jednakost očito. Kad<0 имеем и (posljednji prijelaz vrijedi zbog svojstva stupnja s parnim eksponentom), što dokazuje jednakost , i je istinito zbog činjenice da smo kada govorimo o korijenu neparnog stupnja prihvatili za bilo koji nenegativan broj c.

Evo primjera korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: i .

Prelazimo na dokaz svojstva korijena korijena. Zamijenimo desnu i lijevu stranu, odnosno dokazat ćemo valjanost jednakosti, što će značiti i valjanost izvorne jednakosti. Za nenegativan broj a, korijen oblika je nenegativan broj. Prisjećajući se svojstva podizanja stupnja na potenciju i koristeći definiciju korijena, možemo napisati lanac jednakosti oblika . Ovo dokazuje svojstvo korijena korijena koji se razmatra.

Svojstvo korijena korijena korijena itd. dokazuje se na sličan način. Stvarno, .

Na primjer, i .

Dokažimo sljedeće svojstvo kontrakcije korijenskog eksponenta. Da bismo to učinili, na temelju definicije korijena, dovoljno je pokazati da postoji nenegativan broj koji je, kada se podigne na potenciju n·m, jednak m. Učinimo to. Jasno je da ako je broj a nenegativan, onda je n-ti korijen broja a nenegativan broj. pri čemu , čime je završen dokaz.

Ovdje je primjer korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: .

Dokažimo sljedeće svojstvo – svojstvo korijena stupnja oblika . Očito, kada je a≥0 stupanj je nenegativan broj. Štoviše, njegova n-ta potencija je doista jednaka a m, . Ovo dokazuje svojstvo razmatranog stupnja.

Na primjer, .

Idemo dalje. Dokažimo da za sve pozitivne brojeve a i b za koje je uvjet a zadovoljen , odnosno a≥b. A to je u suprotnosti s uvjetom a

Kao primjer navedimo točnu nejednakost .

Na kraju, preostaje dokazati posljednje svojstvo n-tog korijena. Dokažimo prvo prvi dio ovog svojstva, odnosno dokažimo da je za m>n i 0 . Zatim, zbog svojstava stupnja s prirodnim eksponentom, nejednakost , odnosno a n ≤a m . I rezultirajuća nejednakost za m>n i 0

Slično, kontradikcijom je dokazano da je za m>n i a>1 uvjet zadovoljen.

Navedimo primjere primjene dokazanog svojstva korijena u određenim brojevima. Na primjer, nejednakosti i su istinite.

Bibliografija.