كيفية العثور على LCM (المضاعف المشترك الأصغر)

المضاعف المشترك لعددين صحيحين هو عدد صحيح يقبل القسمة على كلا الرقمين المحددين دون ترك باقي.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو الأصغر بين جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على كلا الرقمين المحددين دون ترك باقي.

طريقة 1. يمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر لكل رقم من الأرقام المحددة، وكتابة جميع الأرقام التي تم الحصول عليها بضربها بترتيب تصاعدي في 1، 2، 3، 4، وهكذا.

مثالللرقمين 6 و9
نضرب الرقم 6 بالتتابع في 1، 2، 3، 4، 5.
نحصل على: 6، 12، 18 , 24, 30
نضرب الرقم 9 بالتتابع في 1، 2، 3، 4، 5.
نحصل على: 9، 18 , 27, 36, 45
كما ترون، فإن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 6 و9 سيكون مساويًا لـ 18.

تكون هذه الطريقة مناسبة عندما يكون كلا الرقمين صغيرين ومن السهل ضربهما بسلسلة من الأعداد الصحيحة. ومع ذلك، هناك أوقات تحتاج فيها إلى العثور على LCM لرقمين أو أرقام مكونة من ثلاثة أرقاموأيضًا عندما يكون هناك ثلاثة أرقام أولية أو أكثر.

الطريقة 2. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد الأصلية إلى عوامل أولية.
بعد التحلل، من الضروري شطب العوامل الأولية من السلسلة الناتجة نفس الأرقام. الأعداد المتبقية من الرقم الأول ستكون مضاعفاً للثاني، والأعداد المتبقية من الثاني ستكون مضاعفاً للأول.

مثالللأرقام 75 و 60.
يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و60 دون كتابة مضاعفات هذين الرقمين على التوالي. للقيام بذلك، دعونا نحلل 75 و60 إلى عوامل بسيطة:
75 = 3 * 5 * 5، أ
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
كما ترى، يظهر العاملان 3 و5 في كلا الصفين. نحن "نشطبهم" عقليًا.
دعونا نكتب العوامل المتبقية المدرجة في مفكوك كل من هذه الأرقام. عند تحليل الرقم 75 يتبقى لدينا الرقم 5، وعند تحليل الرقم 60 يتبقى لدينا 2*2
هذا يعني أنه لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و60، نحتاج إلى ضرب الأرقام المتبقية من مفكوك 75 (وهذا هو 5) في 60، وضرب الأرقام المتبقية من مفكوك 60 (وهذا هو 2) * 2) في 75. أي، لسهولة الفهم، نقول إننا نضرب "بالعرض".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
هذه هي الطريقة التي وجدنا بها المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 60 و75. هذا هو الرقم 300.

مثال. حدد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 12، 16، 24
في في هذه الحالةستكون أفعالنا أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لكن أولًا، كما هو الحال دائمًا، دعونا نحلل جميع الأعداد إلى عوامل
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
لتحديد المضاعف المشترك الأصغر بشكل صحيح، نختار الأصغر بين جميع الأرقام (هذا هو الرقم 12) ونمر عبر عوامله بالتتابع، ونحذفها إذا واجهنا نفس العامل الذي لم يظهر بعد في واحد على الأقل من صفوف الأرقام الأخرى تم شطبها.

الخطوة 1 . نرى أن 2 * 2 يحدث في جميع سلاسل الأرقام. دعونا شطبهم.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

الخطوة 2. في العوامل الأولية للرقم 12، يبقى فقط الرقم 3. لكنه موجود في العوامل الأولية للرقم 24. نقوم بشطب الرقم 3 من كلا الصفين، في حين لا يتوقع أي إجراء للرقم 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

كما ترون، عند تحليل الرقم 12، "شطبنا" جميع الأرقام. وهذا يعني أن العثور على LOC قد اكتمل. كل ما تبقى هو حساب قيمته.
بالنسبة للرقم 12، خذ العوامل المتبقية للرقم 16 (التالي بترتيب تصاعدي)
12 * 2 * 2 = 48
هذه هي المؤسسة الوطنية للنفط

كما ترون، في هذه الحالة، كان العثور على المضاعف المشترك الأصغر أكثر صعوبة إلى حد ما، ولكن عندما تحتاج إلى العثور عليه لثلاثة أرقام أو أكثر، هذه الطريقةيسمح لك أن تفعل ذلك بشكل أسرع. ومع ذلك، كلا الطريقتين للعثور على LCM صحيحة.

القاسم المشترك الأكبر

التعريف 2

إذا كان العدد الطبيعي a قابلاً للقسمة على عدد طبيعي $b$، فإن $b$ يسمى مقسومًا على $a$، ويسمى $a$ مضاعف $b$.

اجعل $a$ و $b$ عددين طبيعيين. يُطلق على الرقم $c$ القاسم المشترك لكل من $a$ و$b$.

مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $a$ و $b$ محدودة، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه المقسومات أكبر من $a$. وهذا يعني أن من بين هذه المقسومات أكبر وهو ما يسمى القاسم المشترك الأكبر للأعداد $a$ و$b$ ويرمز له بالرمز التالي:

$GCD\(a;b)\ أو \D\(a;b)$

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين تحتاج إلى:

1. ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 1

ابحث عن GCD للأرقام $121$ و$132.$

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اختر الأرقام المضمنة في توسيع هذه الأرقام

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=2\cdot 11=22$

مثال 2

أوجد gcd للأحاديات $63$ و $81$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا:

دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

نختار الأرقام التي تم تضمينها في توسيع هذه الأرقام

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=3\cdot 3=9$

يمكنك العثور على GCD لرقمين بطريقة أخرى، وذلك باستخدام مجموعة من قواسم الأرقام.

مثال 3

ابحث عن GCD للأرقام $48$ و $60$.

حل:

دعونا نجد مجموعة المقسومات للرقم $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

الآن لنجد مجموعة قواسم الرقم $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

دعونا نجد تقاطع هذه المجموعات: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة المقسومات المشتركة للأرقام $48$ و$60 $. أكبر عنصر في هذه المجموعة سيكون الرقم 12$. وهذا يعني أن القاسم المشترك الأكبر للأرقام $48$ و$60$ هو $12$.

تعريف القروض المتعثرة

التعريف 3

المضاعفات الشائعة للأعداد الطبيعية$a$ و$b$ هو عدد طبيعي مضاعف لكل من $a$ و$b$.

المضاعفات الشائعة للأرقام هي أرقام قابلة للقسمة على الأرقام الأصلية دون باقي، على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام $25$ و$50$، فإن المضاعفات المشتركة ستكون الأرقام $50,100,150,200$، إلخ.

يُطلق على أصغر مضاعف مشترك اسم المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بالرمز LCM$(a;b)$ أو K$(a;b).$

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، عليك:

1. تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
2. اكتب العوامل التي هي جزء من العدد الأول وأضف إليها العوامل التي هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام $99$ و$77$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا

تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

99 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 11$

اكتب العوامل المتضمنة في الأول

أضف إليها مضاعفات هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

غالبًا ما يكون تجميع قوائم مقسومات الأرقام مهمة كثيفة العمالة. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى الخوارزمية الإقليدية.

البيانات التي تعتمد عليها الخوارزمية الإقليدية:

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية، و $a\vdots b$، فإن $D(a;b)=b$

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية مثل $b

باستخدام $D(a;b)= D(a-b;b)$، يمكننا تقليل الأرقام قيد النظر تباعًا حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم أصغر هذه الأرقام سيكون القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $a$ و $b$.

خصائص GCD وLCM

1. أي مضاعف مشترك لـ $a$ و$b$ قابل للقسمة على K$(a;b)$
2. إذا كان $a\vdots b$، فإن К$(a;b)=a$

إذا كان K$(a;b)=k$ و$m$ عددًا طبيعيًا، فإن K$(am;bm)=km$

إذا كان $d$ هو القاسم المشترك لـ $a$ و $b$، فإن K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

إذا كان $a\vdots c$ و $b\vdots c$، فإن $\frac(ab)(c)$ هو المضاعف المشترك لـ $a$ و $b$

بالنسبة لأي أعداد طبيعية $a$ و$b$، فإن المساواة تنطبق

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

أي قاسم مشترك للأرقام $a$ و $b$ هو قاسم للرقم $D(a;b)$

الرقم الثاني: ب=

فاصل الألفبدون فاصل مسافة "´

نتيجة:

القاسم المشترك الأكبر gcd( أ,ب)=6

المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM( أ,ب)=468

يسمى أكبر عدد طبيعي يمكن قسمته بدون باقي على الرقمين a وb القاسم المشترك الأكبر(GCD) من هذه الأرقام. يُشار إليه بـ gcd(a,b) أو (a,b) أو gcd(a,b) أو hcf(a,b).

أقل مضاعف مشتركالمضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين a وb هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على a وb بدون باقي. يُشار إليه بـ LCM(a,b) أو lcm(a,b).

يتم استدعاء الأعداد الصحيحة a و b رئيسي متبادل، إذا لم يكن لديهم قواسم مشتركة غير +1 و −1.

القاسم المشترك الأكبر

دعونا نعطي رقمين موجبين أ 1 و أ 2 1). مطلوب إيجاد القاسم المشترك لهذه الأرقام، أي. العثور على مثل هذا الرقم λ ، الذي يقسم الأرقام أ 1 و أ 2 في نفس الوقت. دعونا نصف الخوارزمية.

1) في هذه المقالة سيتم فهم كلمة رقم على أنها عدد صحيح.

يترك أ 1 ≥ أ 2 ودع

أين م 1 , أ 3 هي بعض الأعداد الصحيحة، أ 3 <أ 2(باقي القسمة أ 1 لكل أ 2 ينبغي أن يكون أقل أ 2).

دعونا نتظاهر بذلك λ يقسم أ 1 و أ 2 ثم λ يقسم م 1 أ 2 و λ يقسم أ 1 −م 1 أ 2 =أ 3 (البيان 2 من مقال "قابلية قسمة الأعداد. اختبار قابلية القسمة"). ويترتب على ذلك أن كل قاسم مشترك أ 1 و أ 2 هو القاسم المشترك أ 2 و أ 3. والعكس صحيح أيضاً إذا λ القاسم المشترك أ 2 و أ 3 ثم م 1 أ 2 و أ 1 =م 1 أ 2 +أ 3 قابل للقسمة أيضًا λ . وبالتالي القاسم المشترك أ 2 و أ 3 هو أيضًا قاسم مشترك أ 1 و أ 2. لأن أ 3 <أ 2 ≤أ 1، إذن يمكننا القول أن حل مشكلة إيجاد القاسم المشترك للأعداد أ 1 و أ 2 تم اختزالها إلى مشكلة أبسط تتمثل في إيجاد القاسم المشترك للأرقام أ 2 و أ 3 .

لو أ 3 ≠0، ثم يمكننا القسمة أ 2 على أ 3. ثم

,

أين م 1 و أ 4 هي بعض الأعداد الصحيحة، ( أ 4 باقي من القسمة أ 2 على أ 3 (أ 4 <أ 3)). ومن خلال تفكير مماثل نتوصل إلى استنتاج مفاده أن القواسم المشتركة للأعداد أ 3 و أ 4 يتزامن مع القواسم المشتركة للأرقام أ 2 و أ 3، وأيضا مع القواسم المشتركة أ 1 و أ 2. لأن أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4، ... هي أعداد تتناقص باستمرار، وبما أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الصحيحة بينها أ 2 و0، ثم في مرحلة ما ن، باقي القسمة أعدم أ n+1 ستكون مساوية للصفر ( أن +2 = 0).

.

كل قاسم مشترك λ أعداد أ 1 و أ 2 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 2 و أ 3 , أ 3 و أ 4 , .... أن و أن+1 . والعكس صحيح أيضًا، وهو قواسم مشتركة للأعداد أن و أ n+1 هي أيضًا مقسومات للأرقام أن −1 و أن ، .... ، أ 2 و أ 3 , أ 1 و أ 2. لكن القاسم المشترك للأرقام أن و أ n+1 هو رقم أن+1، لأن أن و أ n+1 قابلة للقسمة على أن+1 (تذكر ذلك أن +2 = 0). لذلك أ n+1 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 1 و أ 2 .

لاحظ أن الرقم أ n+1 هو المقسوم الأكبر على الأرقام أن و أ n+1 ، منذ المقسوم عليه الأكبر أ n+1 هو نفسه أن+1 . لو أيمكن تمثيل n+1 كحاصل ضرب أعداد صحيحة، فهذه الأرقام هي أيضًا قواسم مشتركة للأرقام أ 1 و أ 2. رقم أيتم استدعاء n+1 القاسم المشترك الأكبرأعداد أ 1 و أ 2 .

أعداد أ 1 و أ 2 يمكن أن تكون أرقامًا موجبة أو سالبة. إذا كان أحد الأرقام يساوي صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للقيمة المطلقة للرقم الآخر. القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصفرية غير محدد.

تسمى الخوارزمية المذكورة أعلاه الخوارزمية الإقليديةلإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين.

مثال على إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين

أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 630 و 434.

• الخطوة 1. اقسم الرقم 630 على 434. والباقي هو 196.
• الخطوة 2. اقسم الرقم 434 على 196. والباقي هو 42.
• الخطوة 3. اقسم الرقم 196 على 42. والباقي هو 28.
• الخطوة 4. اقسم الرقم 42 على 28. والباقي هو 14.
• الخطوة 5. اقسم الرقم 28 على 14. والباقي هو 0.

في الخطوة 5، يكون باقي القسمة هو 0. وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين 630 و434 هو 14. لاحظ أن الرقمين 2 و7 هما أيضًا قواسم للرقمين 630 و434.

أرقام كوبريم

تعريف 1. دع القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 يساوي واحد. ثم يتم استدعاء هذه الأرقام أرقام كوبريم، ليس لها قاسم مشترك.

نظرية 1. لو أ 1 و أ 2 أرقام أولية، و λ رقم ما، ثم أي قاسم مشترك للأرقام LA 1 و أ 2 هو أيضًا قاسم مشترك للأرقام λ و أ 2 .

دليل. خذ بعين الاعتبار الخوارزمية الإقليدية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 (انظر أعلاه).

.

ويترتب على شروط النظرية أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2 وبالتالي أن و أ n+1 هو 1. هذا هو أن+1 =1.

دعونا نضرب كل هذه المساواة في λ ، ثم

.

دع القاسم المشترك أ 1 λ و أ 2 نعم δ . ثم δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 1 λ , م 1 أ 2 λ و في أ 1 λ -م 1 أ 2 λ =أ 3 λ (انظر "قابلية تقسيم الأرقام"، البيان 2). إضافي δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 2 λ و م 2 أ 3 λ ، وبالتالي فهو عامل أ 2 λ -م 2 أ 3 λ =أ 4 λ .

بالتفكير بهذه الطريقة، نحن مقتنعون بذلك δ يتم تضمينه كمضاعف في أن −1 λ و من −1 أن λ ، وبالتالي في أن −1 λ −من −1 أن λ =أن+1 λ . لأن أن+1=1 إذن δ يتم تضمينه كمضاعف في λ . ولذلك الرقم δ هو القاسم المشترك للأرقام λ و أ 2 .

دعونا نفكر في حالات خاصة للنظرية 1.

عاقبة 1. يترك أو جالأعداد الأولية نسبية ب. ثم منتجاتهم تيار مترددهو عدد أولي بالنسبة ل ب.

حقًا. من النظرية 1 تيار مترددو بلها نفس القواسم المشتركة مثل جو ب. لكن الأرقام جو ببسيطة نسبيا، أي. لديك قاسم مشترك واحد 1. ثم تيار مترددو بلدينا أيضًا قاسم مشترك واحد 1. لذلك تيار مترددو ببسيطة بشكل متبادل.

عاقبة 2. يترك أو بأرقام coprim والسماح بيقسم أك. ثم بيقسم و ك.

حقًا. من شرط الموافقة أكو بلها قاسم مشترك ب. بموجب النظرية 1، بيجب أن يكون القاسم المشترك بو ك. لذلك بيقسم ك.

يمكن تعميم النتيجة الطبيعية 1.

عاقبة 3. 1. دع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أم هي أولية بالنسبة للعدد ب. ثم أ 1 أ 2 , أ 1 أ 2 · أ 3 , ..., أ 1 أ 2 أ 3 ··· أم، منتج هذه الأرقام هو أولي بالنسبة إلى الرقم ب.

2. دعونا يكون لدينا صفين من الأرقام

بحيث يكون كل رقم في السلسلة الأولى أوليًا بنسبة كل رقم في السلسلة الثانية. ثم المنتج

تحتاج إلى العثور على أرقام قابلة للقسمة على كل من هذه الأرقام.

إذا كان الرقم يقبل القسمة على أ 1، ففيه الشكل سا 1 حيث سبعض العدد. لو سهو القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2، ثم

أين س 1 هو عدد صحيح. ثم

يكون المضاعفات الأقل شيوعا للأرقام أ 1 و أ 2 .

أ 1 و أ 2 أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2:

علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

مما سبق يترتب على ذلك أي مضاعف للأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε و أ 3 والعودة. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε و أ 3 نعم ε 1 . التالي، مضاعفات الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε 1 و أ 4 . دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε 1 و أ 4 نعم ε 2. وهكذا اكتشفنا أن جميع الأعداد مضاعفات أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم تتزامن مع مضاعفات عدد معين ε n، وهو ما يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

في حالة خاصة عندما تكون الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أ m أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 , أ 2 كما هو موضح أعلاه، له الشكل (3). التالي منذ ذلك الحين أ 3 أعداد أولية بالنسبة للأرقام أ 1 , أ 2 ثم أ 3 عدد أولي أ 1 · أ 2 (النتيجة الطبيعية 1). يعني المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ,أ 2 ,أ 3 هو رقم أ 1 · أ 2 · أ 3. وبالتفكير بطريقة مماثلة، نصل إلى العبارات التالية.

إفادة 1. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم يساوي منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

إفادة 2. أي رقم يقبل القسمة على كل من الأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم قابل للقسمة أيضًا على منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

تعريف.يسمى أكبر عدد طبيعي يتم من خلاله قسمة العددين a وb بدون باقي القاسم المشترك الأكبر (GCD)هذه الارقام.

دعونا نجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 24 و 35.
قواسم العدد 24 هي الأرقام 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24، وقاسمات 35 هي الأرقام 1، 5، 7، 35.
نرى أن الرقمين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام رئيسي متبادل.

تعريف.يتم استدعاء الأعداد الطبيعية رئيسي متبادلإذا كان القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو 1.

القاسم المشترك الأكبر (GCD)يمكن إيجادها دون كتابة جميع قواسم الأعداد المعطاة.

بتحليل العددين 48 و 36 نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المتضمنة في مفك الأول من هذه الأعداد، نقوم بشطب تلك التي لم تدخل في مفك الرقم الثاني (أي اثنين).
العوامل المتبقية هي 2 * 2 * 3. حاصل ضربهم يساوي 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 48 و 36. كما تم العثور على القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لايجاد القاسم المشترك الأكبر

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام، شطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

إذا كانت جميع الأعداد المعطاة قابلة للقسمة على واحد منها، فإن هذا الرقم يكون كذلك القاسم المشترك الأكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر للأرقام 15 و45 و75 و180 هو الرقم 15، حيث أن جميع الأرقام الأخرى قابلة للقسمة عليه: 45 و75 و180.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)الأعداد الطبيعية a وb هي أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb. يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للرقمين 75 و60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام على التوالي. للقيام بذلك، دعونا نحلل 75 و60 إلى عوامل أولية: 75 = 3 * 5 * 5، و60 = 2 * 2 * 3 * 5.
لنكتب العوامل المتضمنة في مفك الرقم الأول من هذه الأرقام، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و2 من مفك الرقم الثاني (أي نجمع العاملين).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5، وحاصل ضربها هو 300. وهذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

ويجدون أيضًا المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

ل العثور على المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية، تحتاج إلى:
1) تحليلها إلى عوامل أولية؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام؛
3) أضف إليها العوامل المفقودة من مفكوكات الأعداد المتبقية؛
4) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام يقبل القسمة على جميع الأرقام الأخرى، فإن هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.
على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 و15 و20 و60 هو 60 لأنه يقبل القسمة على كل هذه الأرقام.

درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية قسمة الأعداد. لقد أطلقوا على الرقم الذي يساوي مجموع قواسمه (بدون الرقم نفسه) عددًا مثاليًا. على سبيل المثال، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3)، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496، 8128، 33550336. كان الفيثاغوريون يعرفون الأعداد الثلاثة الأولى فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفا في القرن الأول. ن. ه. الخامس - 33.550.336 - تم العثور عليه في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983، كان هناك 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن العلماء ما زالوا لا يعرفون ما إذا كان هناك أرقام مثالية فردية أو ما إذا كان هناك عدد مثالي أكبر.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدماء بالأعداد الأولية إلى أن أي عدد إما أن يكون أوليا أو يمكن تمثيله كحاصل أعداد أولية، أي أن الأعداد الأولية تشبه الطوب الذي تبنى منه بقية الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد، أصبحت الأعداد الأولية أقل شيوعًا. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك عدد أولي أخير (أكبر)؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) في كتابه "العناصر"، والذي كان الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات لمدة ألفي عام، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية، أي أن وراء كل عدد أولي هناك عدد أولي أكبر رقم.
للعثور على الأعداد الأولية، توصل عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت، إراتوستينس، إلى هذه الطريقة. لقد كتب جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما، ثم شطب واحدًا، وهو ليس عددًا أوليًا ولا مركبًا، ثم شطب من خلال واحد جميع الأرقام التي تأتي بعد 2 (الأعداد التي هي مضاعفات 2، أي 4، 6، 8، الخ). أول رقم متبقي بعد 2 كان 3. ثم، بعد اثنين، تم شطب جميع الأرقام التي تأتي بعد 3 (الأرقام التي كانت من مضاعفات 3، أي 6، 9، 12، وما إلى ذلك). في النهاية بقيت الأعداد الأولية فقط غير متقاطعة.

دعونا نواصل الحديث عن المضاعف المشترك الأصغر، والذي بدأناه في قسم "المضاعف المشترك الأصغر - التعريف والأمثلة". في هذا الموضوع سنتطرق إلى طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وسنتناول مسألة كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عدد السلبي.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

لقد أنشأنا بالفعل العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر. الآن دعونا نتعلم كيفية تحديد LCM من خلال GCD. أولاً، دعونا نتعرف على كيفية القيام بذلك مع الأرقام الموجبة.

التعريف 1

يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر باستخدام الصيغة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

مثال 1

أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و70.

حل

لنأخذ أ = 126، ب = 70. دعونا نستبدل القيم في صيغة حساب المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

يجد GCD للأرقام 70 و 126. لهذا نحتاج إلى الخوارزمية الإقليدية: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، وبالتالي GCD (126 , 70) = 14 .

دعونا نحسب LCM: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

إجابة:م م(126، 70) = 630.

مثال 2

أوجد الرقم 68 و 34.

حل

ليس من الصعب العثور على GCD في هذه الحالة، حيث أن 68 يقبل القسمة على 34. دعونا نحسب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

إجابة:م م م (68، 34) = 68.

في هذا المثال، استخدمنا قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم الأول قابلاً للقسمة على الثاني، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للرقم الأول.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

الآن دعونا نلقي نظرة على طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، والتي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.

التعريف 2

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، نحتاج إلى تنفيذ عدد من الخطوات البسيطة:

• نحن نؤلف حاصل ضرب جميع العوامل الأولية للأعداد التي نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لها؛
• نحن نستبعد جميع العوامل الأولية من منتجاتها الناتجة؛
• سيكون المنتج الذي تم الحصول عليه بعد حذف العوامل الأولية المشتركة مساوياً لـ LCM للأرقام المحددة.

تعتمد هذه الطريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر على المساواة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). إذا نظرت إلى الصيغة، فسوف يصبح واضحا: منتج الأرقام أ و ب يساوي منتج جميع العوامل التي تشارك في تحلل هذين الرقمين. في هذه الحالة، يكون GCD لعددين مساويًا لمنتج جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في عوامل هذين الرقمين.

مثال 3

لدينا رقمان 75 و210. يمكننا تحليلها على النحو التالي: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إذا قمت بتكوين منتج جميع عوامل العددين الأصليين، فستحصل على: 2 3 3 5 5 5 7.

إذا استبعدنا العوامل المشتركة بين العددين 3 و5، نحصل على حاصل الضرب بالشكل التالي: 2 3 5 5 7 = 1050. سيكون هذا المنتج هو المضاعف المشترك الأصغر الخاص بنا للرقمين 75 و210.

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 441 و 700 ، تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية.

حل

لنجد جميع العوامل الأولية للأعداد الواردة في الشرط:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

نحصل على سلسلتين من الأرقام: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

سيكون منتج جميع العوامل التي شاركت في تحليل هذه الأرقام على الشكل التالي: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعونا نجد العوامل المشتركة. هذا هو الرقم 7. لنستبعده من المنتج الإجمالي: 2 2 3 3 5 5 7 7. وتبين أن المؤسسة الوطنية للنفط (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

إجابة: LOC(441, 700) = 44,100.

دعونا نعطي صيغة أخرى لطريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

التعريف 3

في السابق، استبعدنا من العدد الإجمالي العوامل المشتركة بين الرقمين. الآن سنفعل ذلك بشكل مختلف:

• دعونا نحول كلا الرقمين إلى عوامل أولية:
• أضف إلى حاصل ضرب العوامل الأولية للرقم الأول العوامل المفقودة للرقم الثاني؛
• نحصل على المنتج، والذي سيكون LCM المطلوب من رقمين.

مثال 5

لنعد إلى الرقمين 75 و210، اللذين بحثنا عنهما بالفعل في أحد الأمثلة السابقة. دعونا نقسمها إلى عوامل بسيطة: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إلى منتج العوامل 3 و 5 و 5 الأرقام 75 تضيف العوامل المفقودة 2 و 7 الأرقام 210. نحن نحصل: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210.

مثال 6

من الضروري حساب LCM للأرقام 84 و 648.

حل

دعونا نحلل الأرقام من الشرط إلى عوامل بسيطة: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. دعونا نضيف إلى المنتج العوامل 2، 2، 3 و 7 الأرقام 84 العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و
3 الأرقام 648. نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

إجابة:م م م(84, 648) = 4,536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

بغض النظر عن عدد الأرقام التي نتعامل معها، ستكون خوارزمية أفعالنا هي نفسها دائمًا: سنجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين بالتتابع. هناك نظرية لهذه الحالة.

النظرية 1

لنفترض أن لدينا أعداد صحيحة أ1، أ2،…، أ. شهادة عدم الممانعة م كتم العثور على هذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM (أ 1، أ 2)، م 3 = م م 2، أ 3)، ...، م ك = م م م (م ك − 1، أ ك).

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية تطبيق النظرية لحل مشاكل محددة.

مثال 7

تحتاج إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54 و 250 .

حل

دعونا نقدم الترميز: أ 1 = 140، أ 2 = 9، أ 3 = 54، أ 4 = 250.

لنبدأ بحساب m 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) = المضاعف المشترك الأصغر (140، 9). دعونا نطبق الخوارزمية الإقليدية لحساب GCD للأرقام 140 و9: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. نحصل على: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 9: GCD (140، 9) = 140 9: 1 = 1260. وبالتالي م2 = 1,260.

الآن دعونا نحسب باستخدام نفس الخوارزمية m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). خلال الحسابات نحصل على م 3 = 3 780.

كل ما علينا فعله هو حساب m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). نحن نتبع نفس الخوارزمية. نحصل على م 4 = 94500.

LCM للأرقام الأربعة من حالة المثال هو 94500.

إجابة:شهادة عدم الممانعة (140، 9، 54، 250) = 94,500.

كما ترون، الحسابات بسيطة، ولكنها كثيفة العمالة للغاية. لتوفير الوقت، يمكنك الذهاب بطريقة أخرى.

التعريف 4

نحن نقدم لك خوارزمية الإجراءات التالية:

• نحن نحلل جميع الأرقام إلى عوامل أولية؛
• إلى حاصل ضرب عوامل الرقم الأول نضيف العوامل المفقودة من حاصل ضرب العدد الثاني؛
• نضيف إلى المنتج الذي تم الحصول عليه في المرحلة السابقة العوامل المفقودة للرقم الثالث، وما إلى ذلك؛
• سيكون المنتج الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام من الشرط.

مثال 8

أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أرقام 84، 6، 48، 7، 143.

حل

دعونا نحلل جميع الأعداد الخمسة إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. الأعداد الأولية، وهي العدد 7، لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية. تتزامن هذه الأرقام مع تحللها إلى عوامل أولية.

الآن لنأخذ حاصل ضرب العوامل الأولية 2 و 2 و 3 و 7 للرقم 84 ونضيف إليها العوامل الناقصة للرقم الثاني. قمنا بتحليل الرقم 6 إلى 2 و 3. هذه العوامل موجودة بالفعل في حاصل ضرب الرقم الأول. ولذلك، فإننا نتجاهلهم.

نواصل إضافة المضاعفات المفقودة. لننتقل إلى الرقم 48، الذي نأخذ من حاصل ضرب عوامله الأولية 2 و2. ثم نضيف العامل الأولي 7 من الرقم الرابع والعاملين 11 و 13 من الرقم الخامس. نحصل على: 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الخمسة الأصلية.

إجابة:م م م(84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة، يجب أولاً استبدال هذه الأرقام بأرقام ذات علامة معاكسة، ثم يجب إجراء الحسابات باستخدام الخوارزميات المذكورة أعلاه.

مثال 9

المضاعف المشترك الأصغر (54، − 34) = المضاعف المشترك الأصغر (54، 34) والمضاعف المشترك الأصغر (− 622، − 46، − 54، − 888) = المضاعف المشترك الأصغر (622، 46، 54، 888).

ومثل هذه التصرفات جائزة لأننا إذا قبلنا ذلك أو - أ- أرقام متضادة،
ثم مجموعة مضاعفات الرقم أيطابق مجموعة مضاعفات الرقم - أ.

مثال 10

من الضروري حساب LCM للأرقام السالبة − 145 و − 45 .

حل

دعونا نستبدل الأرقام − 145 و − 45 إلى أعدادهم المقابلة 145 و 45 . الآن، باستخدام الخوارزمية، نحسب LCM (145، 45) = 145 · 45: GCD (145، 45) = 145 · 45: 5 = 1،305، بعد أن تم تحديد GCD مسبقًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية.

لقد حصلنا على أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام هو -145 و − 45 يساوي 1 305 .

إجابة:م م م (− 145, − 45) = 1,305.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter