أوجد إسقاط المتجه على محور موازٍ للمتجه. إسقاط المتجه على المحور

دع متجهين يتم إعطاؤهما في الفضاء. دعونا نؤجل من نقطة تعسفية ياناقلات و. زاويةبين المتجهات يسمى أصغر الزوايا. معين .

النظر في المحور لورسم متجه وحدة عليه (أي متجه طوله يساوي واحدًا).

عند الزاوية بين المتجه والمحور لفهم الزاوية بين المتجهات و .

لذا دع لهو بعض المحاور وهو متجه.

دعونا نشير بواسطة أ 1و ب 1الإسقاطات على المحور لنقاط على التوالي أو ب. دعونا نتظاهر بذلك أ 1لديه إحداثيات × 1، أ ب 1- التنسيق × 2على المحور ل.

ثم تنبؤناقلات لكل محور ليسمى الفرق × 1 – × 2بين إحداثيات إسقاطات نهاية وبداية المتجه على هذا المحور.

إسقاط المتجه على المحور لسوف نشير .

ومن الواضح أنه إذا كانت الزاوية بين المتجه والمحور لحار ثم × 2> × 1، والإسقاط × 2 – × 1> 0؛ إذا كانت هذه الزاوية منفرجة × 2< × 1والإسقاط × 2 – × 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ل، الذي - التي × 2= × 1و × 2– × 1=0.

وبالتالي، إسقاط المتجه على المحور لهو طول الجزء أ1 ب1، مأخوذة بعلامة معينة. ومن ثم، فإن إسقاط المتجه على المحور يكون عددًا أو سلمًا.

يتم تحديد إسقاط ناقل واحد على آخر بالمثل. في هذه الحالة، تم العثور على إسقاطات نهايات هذا المتجه على الخط الذي يقع عليه المتجه الثاني.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأساسية خصائص الإسقاطات.

أنظمة المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا

دعونا ننظر في عدة ناقلات.

تركيبة خطيةمن هذه المتجهات هو أي متجه للشكل، حيث توجد بعض الأرقام. تسمى الأرقام معاملات الجمع الخطية. ويقولون أيضًا أنه في هذه الحالة يتم التعبير عنه خطيًا من خلال هذه المتجهات، أي. يتم الحصول عليها منهم باستخدام الإجراءات الخطية.

على سبيل المثال، إذا تم إعطاء ثلاثة متجهات، فيمكن اعتبار المتجهات التالية بمثابة مجموعتها الخطية:

إذا تم تمثيل المتجه كمجموعة خطية من بعض المتجهات، فيقال أنه كذلك وضعتعلى طول هذه المتجهات.

تسمى المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك أرقام، ليست كلها تساوي الصفر، بحيث . من الواضح أن المتجهات المعطاة ستكون معتمدة خطيًا إذا تم التعبير عن أي من هذه المتجهات خطيًا بدلالة المتجهات الأخرى.

خلاف ذلك، أي. عندما النسبة يؤديها فقط عندما ، تسمى هذه المتجهات مستقل خطيا.

النظرية 1.أي متجهين يعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا على خط واحد.

دليل:

يمكن إثبات النظرية التالية بالمثل.

النظرية 2.ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت متحدة المستوى.

دليل.

أساس

أساسعبارة عن مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا غير الصفر. وسوف نشير إلى عناصر الأساس بواسطة .

في الفقرة السابقة، رأينا أن المتجهين غير المستقيمين على مستوى مستقلان خطيًا. لذلك، وفقًا للنظرية 1 من الفقرة السابقة، فإن الأساس على المستوى هو أي متجهين غير خطيين على هذا المستوى.

وبالمثل، فإن أي ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى تكون مستقلة خطيًا في الفضاء. وبالتالي، فإننا نسمي ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى أساسًا في الفضاء.

البيان التالي هو الصحيح.

نظرية.دع الأساس يعطى في الفضاء. ومن ثم يمكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية ، أين س, ذ, ض- بعض الأرقام. هذا هو التحلل الوحيد.

دليل.

وبالتالي، يسمح الأساس لكل متجه بأن يرتبط بشكل فريد بثلاثة أرقام - معاملات توسع هذا المتجه في المتجهات الأساسية: . والعكس صحيح أيضًا، لكل ثلاثة أرقام س، ص، ضباستخدام الأساس، يمكنك مقارنة المتجه إذا قمت بإنشاء مجموعة خطية .

إذا كان الأساس و ، ثم الأرقام س، ص، ضوتسمى الإحداثياتناقلات على أساس معين. تتم الإشارة إلى إحداثيات المتجهات بواسطة .

نظام الإحداثيات الديكارتية

دع نقطة تعطى في الفضاء ياوثلاثة ناقلات غير متحدة المستوى.

نظام الإحداثيات الديكارتيةفي الفضاء (على المستوى) هو جمع نقطة وأساس، أي. مجموعة من النقاط وثلاثة متجهات غير متحدة المستوى (ناقلان غير خطيين) تنبثق من هذه النقطة.

نقطة يايسمى الأصل؛ تسمى الخطوط المستقيمة التي تمر عبر أصل الإحداثيات في اتجاه المتجهات الأساسية محاور الإحداثيات - المحور الإحداثي والإحداثي والتطبيقي. تسمى المستويات التي تمر عبر محاور الإحداثيات بالمستويات الإحداثية.

النظر في نقطة تعسفية في نظام الإحداثيات المحدد م. دعونا نقدم مفهوم إحداثيات النقطة م. ناقل يربط الأصل بنقطة م. مُسَمًّى ناقل نصف القطرنقاط م.

يمكن ربط المتجه الموجود على الأساس المحدد بثلاثة أرقام – إحداثياته: .

إحداثيات متجه نصف قطر النقطة م. وتسمى إحداثيات النقطة م. في نظام الإحداثيات قيد النظر. م (س، ص، ض). يسمى الإحداثي الأول الإحداثي، والثاني هو الإحداثي، والثالث هو التطبيق.

محددة بالمثل الإحداثيات الديكارتيةعلى السطح. هنا تحتوي النقطة على إحداثيتين فقط - الإحداثي الإحداثي والإحداثي.

من السهل أن نرى أنه بالنسبة لنظام إحداثي معين، فإن كل نقطة لها إحداثيات معينة. من ناحية أخرى، لكل ثلاثية من الأرقام هناك نقطة فريدة لها هذه الأرقام كإحداثيات.

إذا كانت المتجهات المأخوذة كأساس في نظام الإحداثيات المحدد لها طول وحدة وتكون متعامدة بشكل زوجي، فسيتم استدعاء نظام الإحداثيات مستطيل ديكارتي.

ومن السهل إظهار ذلك.

يحدد اتجاه جيب تمام المتجه اتجاهه تمامًا، لكن لا يذكر شيئًا عن طوله.

دع الخط l والخط المتقاطع معه m معطى على المستوى. الإسقاط المتجهإلى خط مستقيم l موازي لخط مستقيم m (على طول خط مستقيم m) يسمى المتجه (الشكل 1.13 ، أ). إذا كان الخط m عموديًا على الخط l، فإن الإسقاط يسمى متعامدًا.

دع الخط l والمستوى الذي يتقاطع معه \rho معطى في الفضاء. الإسقاط المتجه \vec(a)=\overrightarrow(AB)إلى الخط المستقيم l الموازي للمستوى \rho (على طول المستوى \rho ) يسمى متجهًا \vec(a)_l=\overrightarrow(AB)_l، بدايته الإسقاط A_l، بداية A، ونهايته الإسقاط B_l للنهاية B للمتجه \overrightarrow(AB)(الشكل 1.13،6). إذا كان المستوى \rho عموديًا على الخط l، فإن الإسقاط يسمى متعامدًا.

إسقاط المتجه على الطائرة

دع المستوى i والخط المستقيم الذي يتقاطع معه \rho معطى في الفضاء. الإسقاط المتجه \vec(a)=\overrightarrow(AB)على المستوى \rho الموازي للخط m (على طول الخط m) يسمى المتجه \vec(a)_(\rho)=\overrightarrow(AB)_(\rho)، بدايته هي الإسقاط A_(\rho) لبداية A، ونهايته هي الإسقاط B_(\rho) للنهاية B للمتجه \overrightarrow(AB)(الشكل 1.14). إذا كان الخط m عموديًا على المستوى \rho، فإن الإسقاط يسمى متعامدًا.

خصائص ناقلات الإسقاط

1. إسقاطات المتجه على الخطوط المتوازية (أو على مستويات متوازية) متساوية.

2. إسقاطات المتجهات المتساوية متساوية.

3. إسقاط مجموع المتجهات يساوي مجموع إسقاطاتها.

4. إسقاط حاصل ضرب متجه بعدد ما يساوي حاصل ضرب هذا العدد بإسقاط المتجه، بمعنى آخر، نسبة المتجهات الخطية تساوي نسبة إسقاطاتها (إذا تم تعريفها).

5. إسقاط مجموعة خطية من المتجهات يساوي مجموعة خطية من الإسقاطات.

دعونا نفكر في هذه الخصائص لإسقاطات المتجهات على الخط l الموازي للخط m. بالنسبة لإسقاطات المتجهات على مستوى أو على خط موازي للمستوى، تكون البراهين متشابهة.

دعونا نثبت الخاصية الأولى. اجعل \vec(a)_l هو إسقاط المتجه \vec(a) على الخط l على طول الخط m، و \vec(a)_l هو إسقاط المتجه \vec(a) على الخط l" على نفس الخط م، والخطوط l و l" متوازية (الشكل 1.15). الشكل الرباعي الذي يتكون من تقاطع زوج من الخطوط المتوازية l و l" مع خطوط متقطعة موازية للخط المستقيم m هو متوازي أضلاع. لذلك، \vec(a)_(l")=\vec(a)_l، أي. إسقاطات نفس المتجه \vec(a) على الخطوط المتوازية متساوية.

دعونا نثبت الخاصية الثانية. دعونا نعطي متجهات متساوية على المستوى \overrightarrow(AB)و \overrightarrow(CD)، غير موازٍ للخط المستقيم m (انظر الشكل 1.16). دعونا نبني ناقلات مساوية لهم \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(AB))\limits_(.)و \mathop(\overrightarrow(C_lD")= \overrightarrow(CD))\limits_(.). من المساواة \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(C_lD"))\limits_(.)يترتب على ذلك أن الشكل الرباعي A_lB"D"C_l هو متوازي أضلاع، والمثلثان A_lB"B_l و C_lD"D_l متساويان في الجوانب والزاويتين المجاورتين.

\big(A_lB"=C_lD"،\qquad \angle B"A_lB_l=\angle D"C_lD_l،\qquad \angle A_lB"B_l=\angle C_lD"D_l

كزوايا مع التوالي جوانب متوازية). لذلك، \mathop(\overrightarrow(A_lB_l)= \overrightarrow(C_lD_l))\limits_(.)، أي. المتجهات المتساوية غير الموازية للخط m لها إسقاطات متساوية. إذا كانت المتجهات موازية للخط m، فإن إسقاطاتها تساوي أيضًا المتجهات الصفرية. وقد ثبت الخاصية الثانية .

وبرهان الخاصية الثالثة واضح بالنسبة للمتجهات \overrightarrow(AB)و (الشكل 1.17): الإسقاط المتجه \overrightarrow(AC)=\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)يساوي مجموع التوقعات و \overrightarrow(B_lC_l)، ثلاثة أبعاد \overrightarrow(AB)و \overrightarrow(قبل الميلاد)، أي. \overrightarrow(A_lC_l)= \overrightarrow(A_lB_l)+ \overrightarrow(B_lC_l). بالنسبة للمتجهات العشوائية \vec(a) و \vec(b) (التي لا تتطابق فيها نهاية المتجه \vec(a) مع بداية المتجه \vec(b))، يتم تقليل الإثبات إلى الحالة قيد النظر للمتجهات المساوية لهم \overrightarrow(AB)=\vec(a)و \overrightarrow(BC)=\vec(b)، نظرًا لأن المتجهات المتساوية لها إسقاطات متساوية (حسب الخاصية الثانية).

إثبات الخاصية الرابعة يتبع من نظرية طاليس (انظر القسم ب.2). ويبين الشكل 1.18 المتجهات \overrightarrow(AB)و \overrightarrow(AC)=\lambda\overrightarrow(AB)(\lambda>0) وكذلك توقعاتهم \overrightarrow(A_lB_l)و \overrightarrow(A_lC_l). وفقا لنظرية طاليس \frac(AC)(AB)=\frac(A_lC_l)(A_lB_l)=\لامدا، لذلك، \overrightarrow(A_lC_l)= \lambda\overrightarrow(A_lB_l)، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات. في حالة \لامدا<0 доказательство аналогичное.

الخاصية الخامسة للإسقاطات تتبع من الثالثة والرابعة.

النظرية 1.1 (على إسقاطات المتجه على الخطوط المتقاطعة).

1. إذا تم إعطاء خطين متقاطعين l_1 وl_2 على المستوى، فيمكن تمثيل أي متجه \vec(a) على المستوى بشكل فريد كمجموع إسقاطاته \vec(a)_1 و \vec(a)_2 على هذه الخطوط (يتم أخذ الإسقاطات على كل خط مستقيم على طول خط مستقيم آخر)، أي. .

2. إذا تم إعطاء ثلاثة خطوط l_1 وl_2 وl_3 في الفضاء، وتتقاطع عند نقطة واحدة ولا تقع في نفس المستوى، فيمكن تمثيل أي متجه \vec(a) في الفضاء بشكل فريد كمجموع إسقاطاته \vec(a)_1,\vec(a)_2,\vec(a)_3على هذه الخطوط (يتم أخذ الإسقاطات على كل خط على طول مستوى يحتوي على خطين آخرين)، أي. .

في الواقع، دع الخطين l_1 و l_2 يتقاطعان عند النقطة O (الشكل 1.19 أ). دعونا نطبق المتجه \vec(a) على النقطة O، أي. النظر في ناقلات \overrightarrow(OA)=\vec(a). باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع لإضافة المتجهات (انظر القسم 1.2)، نحصل على المساواة \overrightarrow(OA)=\vec(a)_1+\vec(a)_2وهو ما يعادل المساواة التي تم إثباتها \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2، نظرًا لأن المتجهات المتساوية لها إسقاطات متساوية (انظر خاصية الإسقاطين). تفرد التمثيل يأتي من تفرد العثور على توقعات المتجه.

إذا كان المتجه \vec(a) على خط واحد من أحد الخطوط، على سبيل المثال l_1، فإن الإسقاطات المقابلة لها الشكل: \vec(a)_1=\vec(a),~\vec(a)_2=\vec(o)والمساواة \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2=\vec(a)+\vec(o)، من الواضح أنه تم الوفاء به.

وقد ثبت القول الثاني بطريقة مماثلة.

ملاحظة 1.3.

العبارات التي تتعارض مع تلك المشار إليها في النظرية 1.1 صحيحة.

إذا كان المتجه على المستوى يساوي مجموع متجهين غير خطيين، أي. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2، فإن المصطلحين \vec(a)_1 و \vec(a)_2 هما إسقاطات للمتجه \vec(a) على الخطوط التي تحتوي على المتجهات \vec(a)_1 و \vec(a)_2، على التوالي.

إذا كان المتجه في الفضاء يساوي مجموع ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى، أي. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3، ثم الشروط \vec(a)_,\vec(a)_2و \vec(a)_3 هي إسقاطات المتجه \vec(a) على الخطوط التي تحتوي على المتجهات \vec(a)_,\vec(a)_2,\vec(a)_3على التوالى.

في الواقع، دعونا نرسم من نقطة اعتباطية يا المتجهات \overrightarrow(OA)=\vec(a),\,\overrightarrow(OA_1)=\vec(a)_1,\,\overrightarrow(OA_2)=\vec(a)_2,\,\overrightarrow(OA_3)= \vec(أ)_3(الشكل 1.19.6). ثم من المساواة \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3يتبع ذلك \overrightarrow(OA)=\overrightarrow(OA_1)+\overrightarrow(OA_2)+\overrightarrow(OA_3)، أي. المتجه هو قطري متوازي السطوح المبني على المتجهات (ومن هنا قاعدة متوازي السطوح المتمثلة في إضافة ثلاثة متجهات غير متحدة المستوى). لهذا \overrightarrow(OA_1),\,\overrightarrow(OA_2),\,\overrightarrow(OA_3)- توقعات المتجهات \overrightarrow(OA)على الخطوط l_1,\,l_2,\,l_3 (يتم أخذ الإسقاط على كل سطر على طول المستوى الذي يمر عبر الخطين الآخرين). بما أن المتجهات متساوية \vec(a) و \overrightarrow(OA)لها إسقاطات متساوية (الخاصية 2)، نستنتج أن إسقاطات المتجه \vec(a) على الخطوط l_1,\,l_2,\,l_3 متساوية على التوالي. أخيرًا، الإسقاطات على الخطوط l_1,\,l_2,\,l_3 تساوي الإسقاطات على الخطوط المتوازية التي تحتوي على المتجهات \vec(a)_1,\,\vec(a)_2,\,\vec(a)_3على التوالى.

مثال 1.5. إذا كان الخط يتقاطع مع الجوانب AB و~BC و~CA للمثلث ABC (أو امتدادهما) عند النقاط C_1 و~B_1 و~C_1 على التوالي، إذن

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=1.

حل.دعونا نوجد نسبة إسقاطات المتجهات على الخط AB على طول الخط A_1C_1 (الشكل 1.20). للقيام بذلك، من خلال النقطة B نرسم خطًا BB_2 موازيًا للخط A_1C_1. من خلال خاصية 4 إسقاطات لدينا:

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1));~~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (CA_1))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1)).

بضرب هذه النسب نحصل على \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) )وهو ما يعادل المساواة التي تم إثباتها.

لاحظ أن البيان المثبت هو جزء من نظرية مينيلوس.

مثال 1.6. إذا كانت النقاط A_1 و~B_1 و~C_1 على الجوانب AB و~BC و~CA للمثلث ABC مأخوذة على التوالي بحيث تتقاطع الخطوط AA_1 و~BB_1 و~CC_1 عند نقطة واحدة، إذن

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=-1.

حل.دع الخطوط تتقاطع عند النقطة Q (الشكل 1.21). من خلال النقطة C_1 نرسم الخطين المستقيمين C_1B_2 وC_1A_2 الموازيين لـ BB_1 وAA_1 على التوالي. بواسطة خاصية الإسقاطات (الخاصية 4):

\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))=-\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(BC_1));~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1));~~\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CQ) )(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))

مع الأخذ في الاعتبار هذه المساواة وخصائص العلاقات بين المتجهات الخطية (انظر القسم 1.2.1)، نقوم بتحويل الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة الأخيرة:

\begin(gathered)\frac(\overrightarrow(CQ))(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\ overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB) )(\overrightarrow(AC_1))\\\frac(\overrightarrow(C_1Q))(\overrightarrow(CQ))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1))=\frac(\overrightarrow( AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(AB_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\left( -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)\end(مجمع)

لنكتب حاصل ضرب الأطراف اليمنى لهذه المتساويات، مع الأخذ في الاعتبار أن حاصل ضرب الأطراف اليسرى يساوي واحدًا:

\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ))\cdot\left(-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)=-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac( \overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AB))= -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow( CB_1))=1

دعونا نجد العلاقة العكسية \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=-1، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

لاحظ أن البيان المثبت هو جزء من نظرية سيفا.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!

وعلى المحور أو أي ناقل آخر توجد مفاهيم إسقاطه الهندسي وإسقاطه العددي (أو الجبري). ستكون نتيجة الإسقاط الهندسي متجهًا، وستكون نتيجة الإسقاط الجبري عددًا حقيقيًا غير سالب. ولكن قبل الانتقال إلى هذه المفاهيم، دعونا نتذكر المعلومات الضرورية.

معلومات أولية

المفهوم الرئيسي هو مفهوم المتجه نفسه. لكي نقدم تعريف المتجه الهندسي، دعونا نتذكر ما هي القطعة المستقيمة. دعونا نقدم التعريف التالي.

التعريف 1

القطعة هي جزء من خط مستقيم له حدان على شكل نقاط.

يمكن أن يكون للقطعة اتجاهين. للدلالة على الاتجاه، سنسمي أحد حدود القطعة بدايتها، والحد الآخر نهايتها. يشار إلى الاتجاه من بدايته إلى نهايته.

التعريف 2

سوف نسمي المتجه أو القطعة الموجهة القطعة التي يُعرف لها أي من حدود القطعة تعتبر البداية وأيها نهايةها.

التسمية: بحرفين: $\overline(AB)$ – (حيث $A$ بدايته، و$B$ نهايته).

بحرف واحد صغير: $\overline(a)$ (الشكل 1).

دعونا نقدم بعض المفاهيم الأخرى المتعلقة بمفهوم المتجه.

التعريف 3

سوف نسمي متجهين غير صفريين على خط واحد إذا كانا يقعان على نفس الخط أو على خطوط متوازية مع بعضها البعض (الشكل 2).

التعريف 4

سوف نطلق على متجهين غير صفريين اتجاهين مشتركين إذا كانا يستوفيان شرطين:

1. هذه المتجهات على خطية واحدة.
2. إذا تم توجيهها في اتجاه واحد (الشكل 3).

تدوين: $\overline(a)\overline(b)$

التعريف 5

سوف نسمي متجهين غير صفريين موجهين بشكل متعاكس إذا كانا يحققان شرطين:

1. هذه المتجهات على خطية واحدة.
2. إذا تم توجيهها في اتجاهات مختلفة (الشكل 4).

تدوين: $\overline(a)↓\overline(d)$

التعريف 6

سيكون طول المتجه $\overline(a)$ هو طول المقطع $a$.

تدوين: $|\overline(a)|$

دعنا ننتقل إلى تحديد المساواة بين ناقلين

التعريف 7

سنعتبر المتجهين متساويين إذا استوفيا شرطين:

1. هم في الاتجاه المشترك.
2. أطوالها متساوية (الشكل 5).

الإسقاط الهندسي

كما قلنا سابقًا، نتيجة الإسقاط الهندسي ستكون متجهًا.

التعريف 8

الإسقاط الهندسي للمتجه $\overline(AB)$ على المحور هو متجه يتم الحصول عليه على النحو التالي: يتم إسقاط نقطة الأصل للمتجه $A$ على هذا المحور. نحصل على النقطة $A"$ - بداية المتجه المطلوب. يتم إسقاط نقطة نهاية المتجه $B$ على هذا المحور. نحصل على النقطة $B"$ - نهاية المتجه المطلوب. سيكون المتجه $\overline(A"B")$ هو المتجه المطلوب.

دعونا نفكر في المشكلة:

مثال 1

أنشئ إسقاطًا هندسيًا $\overline(AB)$ على المحور $l$ الموضح في الشكل 6.

لنرسم عموديًا من النقطة $A$ على المحور $l$، نحصل على النقطة $A"$ عليه. بعد ذلك، نرسم عموديًا من النقطة $B$ على المحور $l$، نحصل على النقطة $B "$ عليه (الشكل 7).

يتيح لك إسقاط الخطوط والأسطح المختلفة على المستوى إنشاء صورة مرئية للأشياء على شكل رسم. سنتناول الإسقاط المستطيل، حيث تكون الأشعة المسقطة متعامدة مع مستوى الإسقاط. عرض ناقل على متن الطائرة ضع في اعتبارك المتجه = (الشكل 3.22)، المحصور بين العمودين المحذوفين من بدايته ونهايته.

أرز. 3.22. الإسقاط المتجه للمتجه على الطائرة.

أرز. 3.23. الإسقاط المتجه للمتجه على المحور.

في الجبر المتجه، غالبًا ما يكون من الضروري إسقاط المتجه على المحور، أي على خط مستقيم له اتجاه معين. يكون هذا التصميم سهلاً إذا كان المتجه والمحور L يقعان في نفس المستوى (الشكل 3.23). ومع ذلك، تصبح المهمة أكثر صعوبة عندما لا يتم استيفاء هذا الشرط. لنقم بإنشاء إسقاط للمتجه على المحور عندما لا يقع المتجه والمحور في نفس المستوى (الشكل 3.24).

أرز. 3.24. إسقاط المتجه على المحور
على العموم.

من خلال نهايات المتجه، نرسم مستويات متعامدة مع الخط L. عند التقاطع مع هذا الخط، تحدد هذه المستويات نقطتين A1 و B1 - وهو المتجه الذي سنسميه الإسقاط المتجه لهذا المتجه. يمكن حل مشكلة العثور على إسقاط متجه بسهولة أكبر إذا تم وضع المتجه في نفس مستوى المحور، وهو ما يمكن القيام به حيث يتم أخذ المتجهات الحرة في الاعتبار في جبر المتجهات.

إلى جانب الإسقاط المتجه، يوجد أيضًا الإسقاط العددي، وهو يساوي معامل الإسقاط المتجه إذا تزامن الإسقاط المتجه مع اتجاه المحور L، ويساوي قيمته المقابلة إذا كان الإسقاط المتجه وL المحور له اتجاه معاكس. سوف نشير إلى الإسقاط العددي:

لا يتم دائمًا فصل الإسقاطات المتجهة والعددية بشكل صارم في الممارسة العملية. عادة ما يستخدم مصطلح "الإسقاط المتجه" ويعني الإسقاط العددي للمتجه. عند اتخاذ القرار، من الضروري التمييز بوضوح بين هذه المفاهيم. وفقًا للتقليد الراسخ، سوف نستخدم مصطلحات "الإسقاط المتجه"، أي الإسقاط العددي، و"الإسقاط المتجه" - وفقًا للمعنى المحدد.

دعونا نثبت نظرية تسمح لنا بحساب الإسقاط العددي لمتجه معين.

النظرية 5. إسقاط المتجه على المحور L يساوي حاصل ضرب معامله وجيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور، أي

(3.5)

أرز. 3.25. العثور على المتجهات والعددية
إسقاطات المتجهات على المحور L
(والمحور L موجه بشكل متساوٍ).

دليل. دعونا أولًا نقوم بتنفيذ الإنشاءات التي تسمح لنا بإيجاد الزاوية زبين المتجه والمحور L. للقيام بذلك، سنقوم ببناء خط مستقيم MN، موازٍ للمحور L ويمر عبر النقطة O - بداية المتجه (الشكل 3.25). ستكون الزاوية هي الزاوية المطلوبة. لنرسم مستويين عبر النقطتين A وO، المتعامدين مع المحور L. نحصل على:

بما أن المحور L والخط المستقيم MN متوازيان.

دعونا نسلط الضوء على حالتين للموضع النسبي للمتجه والمحور L.

1. دع الإسقاط المتجه والمحور L يكونان متساويين في الاتجاه (الشكل 3.25). ثم الإسقاط العددي المقابل .

2. دع و L موجهان في اتجاهات مختلفة (الشكل 3.26).

أرز. 3.26. العثور على المتجه والإسقاطات العددية للمتجه على المحور L (ويتجه المحور L في اتجاهين متعاكسين).

وبالتالي، في كلتا الحالتين النظرية صحيحة.

النظرية 6. إذا تم إحضار أصل المتجه إلى نقطة معينة على المحور L، وكان هذا المحور يقع في المستوى s، فإن المتجه يشكل زاوية مع إسقاط المتجه على المستوى s، وزاوية مع المتجه الإسقاط على المحور L، بالإضافة إلى ذلك، تشكل الإسقاطات المتجهة نفسها زاوية مع بعضها البعض، ذلك