Cum se calculează GPA în Excel. Cum se calculează media în Excel

În cele mai multe cazuri, datele sunt concentrate în jurul unui punct central. Astfel, pentru a descrie orice set de date, este suficient să indicați valoarea medie. Să luăm în considerare secvenţial trei caracteristici numerice care sunt utilizate pentru estimarea valorii medii a distribuţiei: media aritmetică, mediana şi modul.

In medie

Media aritmetică (deseori numită pur și simplu medie) este cea mai comună estimare a mediei unei distribuții. Este rezultatul împărțirii sumei tuturor valorilor numerice observate la numărul lor. Pentru un eșantion format din numere X 1, X 2, …, Xn, medie eșantionului (notat cu ) egal = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, sau

unde este media eșantionului, n- marime de mostra, Xi – i-lea element mostre.

Descărcați nota în sau format, exemple în format

Luați în considerare calcularea mediei aritmetice a randamentelor medii anuale pe cinci ani a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat (Figura 1).

Orez. 1. Rentabilitatea medie anuală a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat

Media eșantionului se calculează după cum urmează:

Acesta este un randament bun, mai ales în comparație cu randamentul de 3-4% pe care l-au primit deponenții băncilor sau uniunii de credit în aceeași perioadă de timp. Dacă sortăm randamentele, este ușor de observat că opt fonduri au randamente peste medie și șapte - sub medie. Media aritmetică acționează ca punct de echilibru, astfel încât fondurile cu randamente scăzute echilibrează fondurile cu randamente ridicate. Toate elementele eșantionului sunt implicate în calcularea mediei. Niciuna dintre celelalte estimări ale mediei unei distribuții nu are această proprietate.

Când ar trebui să calculezi media aritmetică? Deoarece media aritmetică depinde de toate elementele din eșantion, prezența valorilor extreme afectează în mod semnificativ rezultatul. În astfel de situații, media aritmetică poate distorsiona sensul datelor numerice. Prin urmare, atunci când se descrie un set de date care conține valori extreme, este necesar să se indice mediana sau media aritmetică și mediana. De exemplu, dacă eliminăm randamentele fondului RS Emerging Growth din eșantion, media eșantionului a randamentelor celor 14 fonduri scade cu aproape 1% până la 5,19%.

Median

Mediana reprezintă valoarea de mijloc a unui tablou ordonat de numere. Dacă matricea nu conține numere care se repetă, atunci jumătate dintre elementele sale vor fi mai mici decât mediana și jumătate va fi mai mare decât mediana. Dacă eșantionul conține valori extreme, este mai bine să folosiți mediana mai degrabă decât media aritmetică pentru a estima media. Pentru a calcula mediana unui eșantion, acesta trebuie mai întâi comandat.

Această formulă este ambiguă. Rezultatul depinde dacă numărul este par sau impar n:

• Dacă eșantionul conține un număr impar de elemente, mediana este (n+1)/2- al-lea element.
• Dacă eșantionul conține un număr par de elemente, mediana se află între cele două elemente din mijloc ale eșantionului și este egală cu media aritmetică calculată pentru aceste două elemente.

Pentru a calcula mediana unui eșantion care conține randamentele a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat, mai întâi trebuie să sortați datele brute (Figura 2). Atunci mediana va fi opusă numărului elementului mijlociu al probei; în exemplul nostru nr. 8. Excel are o funcție specială =MEDIAN() care funcționează și cu tablouri neordonate.

Orez. 2. Median 15 fonduri

Astfel, mediana este 6,5. Aceasta înseamnă că randamentul unei jumătăți din fondurile cu risc foarte mare nu depășește 6,5, iar randamentul celeilalte jumătate îl depășește. Rețineți că mediana de 6,5 nu este cu mult mai mare decât media de 6,08.

Dacă eliminăm randamentul fondului RS Emerging Growth din eșantion, atunci mediana celor 14 fonduri rămase scade la 6,2%, adică nu la fel de semnificativ ca media aritmetică (Figura 3).

Orez. 3. Median 14 fonduri

Modă

Termenul a fost inventat pentru prima dată de Pearson în 1894. Moda este numărul care apare cel mai des într-un eșantion (cel mai la modă). Moda descrie bine, de exemplu, reacția tipică a șoferilor la un semnal de semafor de a se opri din mișcare. Un exemplu clasic de utilizare a modei este alegerea mărimii pantofilor sau a culorii tapetului. Dacă o distribuție are mai multe moduri, atunci se spune că este multimodală sau multimodală (are două sau mai multe „vârfuri”). Distribuția multimodală dă Informații importante despre natura variabilei studiate. De exemplu, în anchetele sociologice, dacă o variabilă reprezintă o preferință sau atitudine față de ceva, atunci multimodalitatea poate însemna că există mai multe opinii diferite. Multimodalitatea servește, de asemenea, ca un indicator că eșantionul nu este omogen și că observațiile pot fi generate de două sau mai multe distribuții „suprapuse”. Spre deosebire de media aritmetică, valorile aberante nu afectează modul. Pentru variabile aleatoare distribuite continuu, cum ar fi randamentul mediu anual al fondurilor mutuale, modul uneori nu există (sau nu are sens) deloc. Deoarece acești indicatori pot lua valori foarte diferite, valorile repetate sunt extrem de rare.

Quartile

Quartilele sunt metricile cel mai des folosite pentru a evalua distribuția datelor atunci când se descriu proprietățile eșantioanelor numerice mari. În timp ce mediana împarte matricea ordonată în jumătate (50% din elementele matricei sunt mai mici decât mediana și 50% sunt mai mari), quartilele împart setul de date ordonat în patru părți. Valorile Q 1 , mediana și Q 3 sunt percentilele 25, 50 și, respectiv, 75. Prima cuartilă Q 1 este un număr care împarte eșantionul în două părți: 25% dintre elemente sunt mai mici decât prima cuartilă și 75% sunt mai mari decât prima.

A treia cuartilă Q 3 este un număr care împarte eșantionul în două părți: 75% dintre elemente sunt mai mici decât, iar 25% sunt mai mari decât, a treia cuartilă.

Pentru a calcula quartile în versiunile de Excel înainte de 2007, utilizați funcția =QUARTILE(array,part) . Începând cu Excel 2010, sunt utilizate două funcții:

• =QUARTILE.ON(matrice,parte)
• =QUARTILE.EXC(matrice,parte)

Aceste două funcții dau valori ușor diferite (Figura 4). De exemplu, atunci când se calculează quartilele unui eșantion care conține randamentele medii anuale a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat, Q 1 = 1,8 sau –0,7 pentru QUARTILE.IN și, respectiv, QUARTILE.EX. Apropo, funcția QUARTILE, folosită anterior, corespunde funcției moderne QUARTILE.ON. Pentru a calcula quartile în Excel folosind formulele de mai sus, matricea de date nu trebuie să fie ordonată.

Orez. 4. Calcularea quartilelor în Excel

Să subliniem din nou. Excel poate calcula cuartile pentru un univariat serie discretă, cuprinzând valorile variabilă aleatorie. Calculul quartilelor pentru o distribuție bazată pe frecvență este prezentat mai jos în secțiune.

Medie geometrică

Spre deosebire de media aritmetică, media geometrică vă permite să estimați gradul de modificare a unei variabile în timp. Media geometrică este rădăcina n gradul de la lucrare n cantități (în Excel se folosește funcția =SRGEOM):

G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Un parametru similar - valoarea medie geometrică a ratei profitului - este determinat de formula:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Unde R i– rata profitului pt i a-a perioadă de timp.

De exemplu, să presupunem că investiția inițială este de 100 000 USD. Până la sfârșitul primului an, aceasta scade la 50 000 USD, iar la sfârșitul celui de-al doilea an revine la nivelul inițial de 100 000 USD. Rata de rentabilitate a acestei investiții peste un -perioada anului este egală cu 0, deoarece sumele inițiale și finale ale fondurilor sunt egale între ele. Cu toate acestea, media aritmetică a ratelor anuale de rentabilitate este = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 sau 25%, întrucât rata rentabilității în primul an R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5 , iar în al doilea R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. În același timp, valoarea medie geometrică a ratei profitului pe doi ani este egală cu: G = [(1–0,5) * (1+). 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Astfel, media geometrică reflectă mai exact modificarea (mai precis, absența modificărilor) a volumului investiției pe o perioadă de doi ani decât media aritmetică.

Fapte interesante.În primul rând, media geometrică va fi întotdeauna mai mică decât media aritmetică a acelorași numere. Cu excepția cazului în care toate numerele luate sunt egale între ele. În al doilea rând, luând în considerare proprietățile unui triunghi dreptunghic, puteți înțelege de ce media se numește geometrică. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză, iar fiecare catete este media proporțională dintre ipotenuză și proiecția acesteia pe ipotenuză (Fig. 5). Aceasta oferă o modalitate geometrică de a construi media geometrică a două (lungimi) segmente: trebuie să construiți un cerc pe suma acestor două segmente ca diametru, apoi înălțimea restabilită de la punctul de conectare la intersecția cu cercul. va da valoarea dorită:

Orez. 5. Natura geometrică a mediei geometrice (figura de pe Wikipedia)

Al doilea proprietate importantă date numerice – lor variație, care caracterizează gradul de dispersie a datelor. Două eșantioane diferite pot diferi atât în ​​ceea ce privește mediile, cât și variațiile. Totuși, așa cum se arată în fig. 6 și 7, două mostre pot avea aceleași variații, dar mijloace diferite, sau aceleași mijloace și variații complet diferite. Datele care corespund poligonului B din Fig. 7, se modifică mult mai puțin decât datele pe care a fost construit poligonul A.

Orez. 6. Două distribuții simetrice în formă de clopot cu aceeași răspândire și valori medii diferite

Orez. 7. Două distribuții simetrice în formă de clopot cu aceleași valori medii și spread diferite

Există cinci estimări ale variației datelor:

• domeniul de aplicare,
• intervalul intercuartil,
• dispersie,
• deviație standard,
• coeficientul de variație.

Domeniul de aplicare

Intervalul este diferența dintre cele mai mari și cele mai mici elemente ale eșantionului:

Interval = XMax - XMin

Intervalul unui eșantion care conține randamentele anuale medii a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat poate fi calculat folosind matricea ordonată (vezi Figura 4): Interval = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Aceasta înseamnă că diferența dintre randamentul mediu anual cel mai mare și cel mai scăzut al fondurilor cu risc foarte ridicat este de 24,6%.

Intervalul măsoară răspândirea globală a datelor. Deși intervalul de eșantionare este o estimare foarte simplă a răspândirii generale a datelor, slăbiciunea sa este că nu ia în considerare exact modul în care datele sunt distribuite între elementele minime și maxime. Acest efect este clar vizibil în fig. 8, care ilustrează mostre având același interval. Scala B demonstrează că, dacă un eșantion conține cel puțin o valoare extremă, intervalul eșantionului este o estimare foarte imprecisă a răspândirii datelor.

Orez. 8. Comparația a trei probe cu același interval; triunghiul simbolizează suportul scalei, iar locația acesteia corespunde mediei eșantionului

Intervalul intercuartil

Intervalul intercuartil, sau media, este diferența dintre a treia și prima cuartilă a eșantionului:

Interval interquartil = Q 3 – Q 1

Această valoare ne permite să estimăm împrăștierea a 50% din elemente și să nu ținem cont de influența elementelor extreme. Intervalul intercuartil al unui eșantion care conține randamentele medii anuale a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat poate fi calculat folosind datele din Fig. 4 (de exemplu, pentru funcția QUARTILE.EXC): Interval interquartile = 9,8 – (–0,7) = 10,5. Intervalul delimitat de numerele 9,8 și -0,7 este adesea numit jumătatea mijlocie.

Trebuie remarcat faptul că valorile Q 1 și Q 3 și, prin urmare, intervalul intercuartil, nu depind de prezența valorilor aberante, deoarece calculul lor nu ia în considerare nicio valoare care ar fi mai mică decât Q 1 sau mai mare. decât Q 3 . Măsurile rezumative, cum ar fi mediana, primul și al treilea quartile și intervalul intercuartil care nu sunt afectate de valori aberante, se numesc măsuri robuste.

Deși intervalul și intervalul intercuartil oferă estimări ale răspândirii generale și, respectiv, medii a unui eșantion, niciuna dintre aceste estimări nu ia în considerare exact modul în care sunt distribuite datele. Varianta si abaterea standard sunt lipsite de acest dezavantaj. Acești indicatori vă permit să evaluați gradul în care datele fluctuează în jurul valorii medii. Varianta eșantionului este o aproximare a mediei aritmetice calculată din pătratele diferențelor dintre fiecare element eșantion și media eșantionului. Pentru un eșantion X 1, X 2, ... X n, varianța eșantionului (notat cu simbolul S 2 este dată de următoarea formulă:

În general, varianța eșantionului este suma pătratelor diferențelor dintre elementele eșantionului și media eșantionului, împărțită la o valoare egală cu dimensiunea eșantionului minus unu:

Unde - medie aritmetică, n- marime de mostra, X i - i al-lea element de selecție X. În Excel înainte de versiunea 2007, funcția =VARIN() a fost utilizată pentru a calcula varianța eșantionului; din versiunea 2010, este utilizată funcția =VARIAN().

Cea mai practică și larg acceptată estimare a răspândirii datelor este abaterea standard a probei. Acest indicator este notat cu simbolul S și este egal cu rădăcina pătrată a varianței eșantionului:

În Excel înainte de versiunea 2007, funcția =STDEV.() a fost utilizată pentru a calcula abaterea standard a eșantionului; începând cu versiunea 2010, este utilizată funcția =STDEV.V(). Pentru a calcula aceste funcții, matricea de date poate fi neordonată.

Nici varianța eșantionului și nici abaterea standard a eșantionului nu pot fi negative. Singura situație în care indicatorii S 2 și S pot fi zero este dacă toate elementele eșantionului sunt egale între ele. În acest caz complet improbabil, intervalul și intervalul intercuartil sunt, de asemenea, zero.

Datele numerice sunt în mod inerent volatile. Orice variabilă poate lua multe sensuri diferite. De exemplu, diferite fonduri mutuale au rate diferite de rentabilitate și pierdere. Datorită variabilității datelor numerice, este foarte important să se studieze nu numai estimări ale mediei, care sunt de natură rezumată, ci și estimări ale varianței, care caracterizează răspândirea datelor.

Dispersia și abaterea standard vă permit să evaluați răspândirea datelor în jurul valorii medii, cu alte cuvinte, să determinați câte elemente de eșantion sunt mai mici decât media și câte sunt mai mari. Dispersia are unele proprietăți matematice valoroase. Cu toate acestea, valoarea sa este pătratul unității de măsură - procent pătrat, dolar pătrat, inch pătrat etc. Prin urmare, o măsură naturală a dispersiei este abaterea standard, care este exprimată în unități comune de procent de venit, dolari sau inci.

Abaterea standard vă permite să estimați cantitatea de variație a elementelor eșantionului în jurul valorii medii. În aproape toate situațiile, majoritatea valorilor observate se află în intervalul de plus sau minus o abatere standard de la medie. În consecință, cunoscând media aritmetică a elementelor eșantionului și abaterea standard a eșantionului, este posibil să se determine intervalul căruia îi aparține cea mai mare parte a datelor.

Abaterea standard a randamentelor pentru cele 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat este de 6,6 (Figura 9). Aceasta înseamnă că profitabilitatea majorității fondurilor diferă de valoarea medie cu cel mult 6,6% (adică fluctuează în intervalul de la – S= 6,2 – 6,6 = –0,4 până la +S= 12,8). De fapt, randamentul mediu anual pe cinci ani de 53,3% (8 din 15) din fonduri se află în acest interval.

Orez. 9. Eșantion de abatere standard

Rețineți că, pe măsură ce diferențele pătrate sunt însumate, elementele eșantionului devin mai departe de medie greutate mai mare decât elementele care sunt mai apropiate. Această proprietate este principalul motiv pentru care media aritmetică este folosită cel mai adesea pentru a estima media unei distribuții.

Coeficientul de variație

Spre deosebire de estimările anterioare ale dispersiei, coeficientul de variație este o estimare relativă. Este întotdeauna măsurată ca procent și nu în unitățile datelor originale. Coeficientul de variație, notat cu simbolurile CV, măsoară dispersia datelor în jurul mediei. Coeficientul de variație este egal cu abaterea standard împărțită la media aritmetică și înmulțită cu 100%:

Unde S- abaterea standard a probei, - media eșantionului.

Coeficientul de variație vă permite să comparați două eșantioane ale căror elemente sunt exprimate în unități de măsură diferite. De exemplu, managerul unui serviciu de livrare poștă intenționează să-și reînnoiască flota de camioane. La încărcarea pachetelor, există două restricții de luat în considerare: greutatea (în lire sterline) și volumul (în picioare cubi) ale fiecărui pachet. Să presupunem că într-o probă care conține 200 de saci, greutatea medie este de 26,0 lire sterline, abaterea standard a greutății este de 3,9 lire sterline, volumul mediu al sacului este de 8,8 picioare cubi și abaterea standard a volumului este de 2,2 picioare cubi. Cum se compară variația de greutate și volum a pachetelor?

Deoarece unitățile de măsură pentru greutate și volum diferă între ele, managerul trebuie să compare răspândirea relativă a acestor cantități. Coeficientul de variație al greutății este CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, iar coeficientul de variație al volumului este CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Astfel, variația relativă a volumului pachetelor este mult mai mare decât variația relativă a greutății acestora.

Formular de distribuire

A treia proprietate importantă a unui eșantion este forma distribuției sale. Această distribuție poate fi simetrică sau asimetrică. Pentru a descrie forma unei distribuții, este necesar să se calculeze media și mediana acesteia. Dacă cele două sunt la fel, variabila este considerată distribuită simetric. Dacă valoarea medie a unei variabile este mai mare decât mediana, distribuția ei are o asimetrie pozitivă (Fig. 10). Dacă mediana este mai mare decât media, distribuția variabilei este denaturată negativ. Deformarea pozitivă apare atunci când media crește într-o măsură neobișnuită valori mari. Deformarea negativă apare atunci când media scade la valori neobișnuit de mici. O variabilă este distribuită simetric dacă nu ia valori extreme în nicio direcție, astfel încât valorile mari și mici ale variabilei se anulează reciproc.

Orez. 10. Trei tipuri de distribuții

Datele afișate pe scara A sunt denaturate negativ. În această figură puteți vedea o coada lungași stânga oblic cauzată de prezența unor valori neobișnuit de mici. Aceste valori extrem de mici deplasează valoarea medie spre stânga, făcând-o mai mică decât mediana. Datele prezentate pe scara B sunt distribuite simetric. Jumătățile stânga și dreapta ale distribuției sunt imagini în oglindă ale lor. Valorile mari și mici se echilibrează reciproc, iar media și mediana sunt egale. Datele afișate pe scara B sunt denaturate pozitiv. Această figură arată o coadă lungă și o înclinare spre dreapta cauzată de prezența unor valori neobișnuit de ridicate. Aceste valori prea mari deplasează media spre dreapta, făcând-o mai mare decât mediana.

În Excel, statisticile descriptive pot fi obținute folosind un add-in Pachet de analize. Treceți prin meniu Date → Analiza datelor, în fereastra care se deschide, selectați linia Statisticile descriptiveși faceți clic Bine. La fereastră Statisticile descriptive asigurați-vă că indicați Interval de intrare(Fig. 11). Dacă doriți să vedeți statistici descriptive pe aceeași foaie cu datele originale, selectați butonul radio Interval de ieșireși specificați celula în care ar trebui să fie plasat colțul din stânga sus al statisticilor afișate (în exemplul nostru, $C$1). Dacă doriți să scoateți date pe o foaie nouă sau către carte noua, trebuie doar să selectați comutatorul corespunzător. Bifați caseta de lângă Rezumat statistici. Dacă doriți, puteți alege și Nivel de dificultate,al k-lea cel mai mic șial k-lea cel mai mare.

Dacă în depozit Dateîn zonă Analiză nu vezi pictograma Analiza datelor, mai întâi trebuie să instalați suplimentul Pachet de analize(vezi, de exemplu,).

Orez. 11. Statistici descriptive ale randamentelor medii anuale pe cinci ani ale fondurilor cu niveluri foarte ridicate de risc, calculate folosind programul de completare Analiza datelor programe Excel

Excel calculează un număr de statistici discutate mai sus: medie, mediană, mod, abatere standard, varianță, interval ( interval), minim, maxim și dimensiunea eșantionului ( Verifica). Excel calculează, de asemenea, unele statistici care sunt noi pentru noi: eroare standard, curtosis și asimetrie. Eroare standard egală cu abaterea standard împărțită la Rădăcină pătrată marime de mostra. Asimetrie caracterizează abaterea de la simetria distribuţiei şi este o funcţie care depinde de cubul diferenţelor dintre elementele eşantionului şi de valoarea medie. Kurtosis este o măsură a concentrației relative a datelor în jurul mediei în comparație cu cozile distribuției și depinde de diferențele dintre elementele eșantionului și media ridicată la a patra putere.

Calcularea statisticilor descriptive pentru o populație

Media, răspândirea și forma distribuției discutate mai sus sunt caracteristici determinate din eșantion. Cu toate acestea, dacă setul de date conține măsurători numerice ale întregii populații, parametrii acesteia pot fi calculați. Astfel de parametri includ valoarea așteptată, dispersia și abaterea standard a populației.

Valorea estimata egal cu suma tuturor valorilor din populație împărțită la dimensiunea populației:

Unde µ - valorea estimata, Xi- i a-a observație a unei variabile X, N- volumul populaţiei generale. În Excel, pentru a calcula așteptările matematice, se folosește aceeași funcție ca pentru media aritmetică: =AVERAGE().

Varianta populatiei egală cu suma pătratelor diferenţelor dintre elementele populaţiei generale şi mat. așteptări împărțite la dimensiunea populației:

Unde σ 2– dispersarea populaţiei generale. În Excel înainte de versiunea 2007, funcția =VARP() este utilizată pentru a calcula varianța unei populații, începând cu versiunea 2010 =VARP().

Abaterea standard a populației egal cu rădăcina pătrată a varianței populației:

În Excel înainte de versiunea 2007, funcția =STDEV() este utilizată pentru a calcula abaterea standard a unei populații, începând cu versiunea 2010 =STDEV.Y(). Rețineți că formulele pentru varianța populației și abaterea standard sunt diferite de formulele pentru calcularea varianței eșantionului și a abaterii standard. La calcularea statisticilor eșantionului S 2Și S numitorul fracției este n – 1, și la calcularea parametrilor σ 2Și σ - volumul populaţiei generale N.

Regula generală

În majoritatea situațiilor, o mare parte a observațiilor sunt concentrate în jurul mediei, formând un cluster. În seturile de date cu asimetrie pozitivă, acest cluster este situat la stânga (adică, dedesubt) așteptării matematice, iar în seturile cu asimetrie negativă, acest cluster este situat la dreapta (adică, deasupra) așteptării matematice. Pentru datele simetrice, media și mediana sunt aceleași, iar observațiile se grupează în jurul mediei, formând o distribuție în formă de clopot. Dacă distribuția nu este în mod clar denaturată și datele sunt concentrate în jurul unui centru de greutate, o regulă generală care poate fi utilizată pentru a estima variabilitatea este că, dacă datele au o distribuție în formă de clopot, atunci aproximativ 68% dintre observații sunt în o abatere standard a valorii așteptate.aproximativ 95% dintre observații sunt la cel mult două abateri standard de așteptările matematice și 99,7% dintre observații sunt la cel mult trei abateri standard de așteptările matematice.

Astfel, abaterea standard, care este o estimare a variației medii în jurul valorii așteptate, ajută la înțelegerea modului în care sunt distribuite observațiile și la identificarea valorii aberante. Regula generală este că, pentru distribuțiile în formă de clopot, doar o valoare din douăzeci diferă de așteptarea matematică cu mai mult de două abateri standard. Prin urmare, valori în afara intervalului µ ± 2σ, pot fi considerate valori aberante. În plus, doar trei din 1000 de observații diferă de așteptările matematice cu mai mult de trei abateri standard. Astfel, valorile în afara intervalului µ ± 3σ sunt aproape întotdeauna valori aberante. Pentru distribuțiile care sunt foarte denaturate sau nu au formă de clopot, se poate aplica regula generală Bienamay-Chebyshev.

În urmă cu mai bine de o sută de ani, matematicienii Bienamay și Chebyshev au descoperit în mod independent proprietate utilă deviație standard. Ei au descoperit că pentru orice set de date, indiferent de forma distribuției, procentul de observații care se află la o distanță de k abateri standard de la așteptările matematice, nu mai puțin (1 – 1/ k 2)*100%.

De exemplu, dacă k= 2, regula Bienname-Chebyshev prevede că cel puțin (1 – (1/2) 2) x 100% = 75% din observații trebuie să se afle în interval µ ± 2σ. Această regulă este valabilă pentru orice k, depășind unul. Regula Bienamay-Chebyshev este foarte caracter generalși este valabil pentru distribuții de orice fel. Ea indică cantitate minimă observații, distanța de la care până la așteptarea matematică nu depășește o valoare dată. Cu toate acestea, dacă distribuția este în formă de clopot, regula generală estimează mai precis concentrația datelor în jurul valorii așteptate.

Calcularea statisticilor descriptive pentru o distribuție bazată pe frecvență

Dacă datele originale nu sunt disponibile, distribuția frecvenței devine singura sursă de informații. În astfel de situații, este posibil să se calculeze valori aproximative ale indicatorilor cantitativi ai distribuției, cum ar fi media aritmetică, abaterea standard și quartilele.

Dacă datele eșantionului sunt reprezentate ca o distribuție de frecvență, o aproximare a mediei aritmetice poate fi calculată presupunând că toate valorile din fiecare clasă sunt concentrate la mijlocul clasei:

Unde - media eșantionului, n- numărul de observații sau dimensiunea eșantionului, Cu- numărul de clase în distribuția de frecvență, m j- punct de mijloc j clasa a-a, fj- frecventa corespunzatoare j- clasa a-a.

Pentru a calcula abaterea standard de la o distribuție de frecvență, se presupune, de asemenea, că toate valorile din cadrul fiecărei clase sunt concentrate la mijlocul clasei.

Pentru a înțelege cum sunt determinate quartilele unei serii pe baza frecvențelor, luați în considerare calculul quartilei inferioare pe baza datelor pentru 2013 privind distribuția populației ruse în funcție de venitul monetar mediu pe cap de locuitor (Fig. 12).

Orez. 12. Ponderea populației ruse cu venit mediu pe cap de locuitor pe lună, ruble

Pentru a calcula primul quartil al unei serii de variații de interval, puteți folosi formula:

unde Q1 este valoarea primului cuartil, xQ1 este limita inferioară a intervalului care conține primul cuartil (intervalul este determinat de frecvența acumulată care depășește mai întâi 25%); i – valoarea intervalului; Σf – suma frecvențelor întregului eșantion; probabil întotdeauna egal cu 100%; SQ1–1 – frecvența acumulată a intervalului care precede intervalul care conține quartila inferioară; fQ1 – frecvența intervalului care conține quartila inferioară. Formula pentru a treia cuartilă diferă prin aceea că, în toate locurile, trebuie să utilizați Q3 în loc de Q1 și să înlocuiți ¾ în loc de ¼.

În exemplul nostru (Fig. 12), quartila inferioară se află în intervalul 7000,1 – 10.000, a cărei frecvență acumulată este de 26,4%. Limita inferioară a acestui interval este de 7000 de ruble, valoarea intervalului este de 3000 de ruble, frecvența acumulată a intervalului care precede intervalul care conține quartila inferioară este de 13,4%, frecvența intervalului care conține quartila inferioară este de 13,0%. Astfel: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 rub.

Capcane asociate cu statisticile descriptive

În această postare, am analizat cum să descriem un set de date folosind diverse statistici care evaluează media, răspândirea și distribuția acestuia. Următorul pas este analiza și interpretarea datelor. Până acum, am studiat proprietățile obiective ale datelor, iar acum trecem la interpretarea subiectivă a acestora. Cercetătorul se confruntă cu două greșeli: un subiect de analiză ales incorect și o interpretare incorectă a rezultatelor.

Analiza randamentelor a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat este destul de imparțială. El a condus la concluzii complet obiective: toate fondurile mutuale au randamente diferite, spread-ul randamentelor fondurilor variază de la -6,1 la 18,5, iar randamentul mediu este de 6,08. Obiectivitatea analizei datelor este asigurată alegerea corecta indicatori cantitativi totali de distribuţie. Au fost luate în considerare mai multe metode de estimare a mediei și dispersării datelor și au fost indicate avantajele și dezavantajele acestora. Cum alegi statisticile potrivite pentru a oferi o analiză obiectivă și imparțială? Dacă distribuția datelor este ușor denaturată, ar trebui să alegeți mediana mai degrabă decât media? Care indicator caracterizează mai exact răspândirea datelor: abaterea standard sau intervalul? Ar trebui să subliniem că distribuția este denaturată pozitiv?

Pe de altă parte, interpretarea datelor este un proces subiectiv. Oameni diferiți ajunge la concluzii diferite atunci când interpretăm aceleași rezultate. Fiecare are punctul lui de vedere. Cineva numără indicatori de sinteză Rentabilitatea medie anuală a 15 fonduri cu un nivel de risc foarte ridicat este bună și sunt destul de mulțumit de veniturile primite. Alții pot considera că aceste fonduri au randamente prea mici. Astfel, subiectivitatea ar trebui compensată de onestitate, neutralitate și claritatea concluziilor.

Probleme etice

Analiza datelor este indisolubil legată de problemele etice. Ar trebui să criticați informațiile difuzate de ziare, radio, televiziune și internet. De-a lungul timpului, vei învăța să fii sceptic nu numai cu privire la rezultate, ci și cu privire la obiectivele, subiectul și obiectivitatea cercetării. Celebrul politician britanic Benjamin Disraeli a spus-o cel mai bine: „Există trei feluri de minciuni: minciuni, minciuni blestemate și statistici”.

După cum se menționează în notă probleme etice apar la alegerea rezultatelor care urmează să fie prezentate în raport. Ar trebui să publicați atât pozitiv, cât și rezultate negative. În plus, la realizarea unui raport sau raport scris, rezultatele trebuie prezentate onest, neutru și obiectiv. Trebuie făcută o distincție între prezentările nereușite și cele necinstite. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine care au fost intențiile vorbitorului. Uneori, vorbitorul omite informații importante din ignoranță, iar uneori este deliberat (de exemplu, dacă folosește media aritmetică pentru a estima media datelor clar denaturate pentru a obține rezultatul dorit). De asemenea, este necinstit să suprimi rezultate care nu corespund punctului de vedere al cercetătorului.

Sunt folosite materiale din cartea Levin et al. Statistics for Managers. – M.: Williams, 2004. – p. 178–209

Funcția QUARTILE a fost păstrată pentru compatibilitate cu versiunile anterioare de Excel.

Acest procesor de foi de calcul poate gestiona aproape toate calculele. Este ideal pentru contabilitate. Există instrumente speciale pentru calcule - formule. Ele pot fi aplicate unui interval sau celulelor individuale. Pentru a afla numărul minim sau maxim dintr-un grup de celule, nu trebuie să le căutați singur. Este mai bine să utilizați opțiunile oferite pentru aceasta. De asemenea, va fi util să înțelegeți cum să calculați media în Excel.

Acest lucru este valabil mai ales în tabelele cu o cantitate mare de date. Dacă coloana, de exemplu, conține prețurile produselor centru comercial. Și trebuie să aflați care este cel mai ieftin produs. Dacă îl căutați manual, va dura mult timp. Dar în Excel acest lucru se poate face în doar câteva clicuri. Utilitatea calculează și media aritmetică. La urma urmei, acestea sunt două operatii simple: adunare și împărțire.

Maxim și minim

Iată cum puteți găsi valoarea maximă în Excel:

1. Plasați cursorul celulei oriunde.
2. Accesați meniul „Formule”.
3. Faceți clic pe Inserare funcție.
4. Selectați „MAX” din listă. Sau scrieți acest cuvânt în câmpul „Căutare” și faceți clic pe „Găsiți”.
5. În fereastra „Argumente”, introduceți adresele intervalului a cărui valoare maximă trebuie să o cunoașteți. În Excel, numele celulelor constau dintr-o literă și un număr („B1”, „F15”, „W34”). Și numele intervalului este prima și ultima celulă care sunt incluse în acesta.
6. În loc de o adresă, puteți scrie mai multe numere. Apoi sistemul va arăta pe cel mai mare dintre ele.
7. Faceți clic pe OK. Rezultatul va apărea în celula în care a fost localizat cursorul.

Următorul pas - specificați intervalul de valori

Acum va fi mai ușor să vă dați seama cum să găsiți valoarea minimă în Excel. Algoritmul acțiunilor este complet identic. Doar înlocuiți „MAX” cu „MIN”.

In medie

Media aritmetică se calculează astfel: se adună toate numerele din mulțime și se împart la numărul lor. În Excel, puteți calcula sume, puteți afla câte celule sunt pe rând și așa mai departe. Dar este prea dificil și necesită timp. Va trebui să utilizați multe funcții diferite. Păstrează informațiile în capul tău. Sau chiar scrie ceva pe o bucată de hârtie. Dar algoritmul poate fi simplificat.

Iată cum puteți găsi media în Excel:

1. Plasați cursorul celulei oriunde loc liber Mese.
2. Accesați fila „Formule”.
3. Faceți clic pe „Inserare funcție”.
4. Selectați MEDIE.
5. Dacă acest element nu este în listă, deschideți-l folosind opțiunea „Găsiți”.
6. În zona Number1, introduceți adresa intervalului. Sau scrieți mai multe numere în câmpuri diferite „Număr2”, „Număr3”.
7. Faceți clic pe OK. Valoarea necesară va apărea în celulă.

Astfel, puteți efectua calcule nu numai cu poziții din tabel, ci și cu seturi arbitrare. Excel joacă în esență rolul unui calculator avansat.

alte metode

Maximul, minimul și media pot fi găsite în alte moduri.

1. Găsiți bara de funcții etichetată „Fx”. Este deasupra zonei principale de lucru a mesei.
2. Plasați cursorul în orice celulă.
3. Introduceți un argument în câmpul „Fx”. Începe cu un semn egal. Apoi urmează formula și adresa intervalului/celulei.
4. Ar trebui să obțineți ceva de genul „=MAX(B8:B11)” (maxim), „=MIN(F7:V11)” (minimum), „=AVERAGE(D14:W15)” (medie).
5. Faceți clic pe bifa de lângă câmpul de funcții. Sau doar apăsați Enter. Valoarea dorită va apărea în celula selectată.
6. Formula poate fi copiată direct în celula însăși. Efectul va fi același.

Instrumentul Excel AutoFunctions vă va ajuta să găsiți și să calculați.

1. Plasați cursorul într-o celulă.
2. Găsiți un buton al cărui nume începe cu „Automat”. Aceasta depinde de opțiunea implicită selectată în Excel (AutoSum, AutoNumber, AutoOffset, AutoIndex).
3. Faceți clic pe săgeata neagră de sub ea.
4. Selectați MIN (valoare minimă), MAX (maximum) sau MEDIE (medie).
5. Formula va apărea în celula marcată. Faceți clic pe orice altă celulă - aceasta va fi adăugată la funcție. „Întindeți” cutia din jurul ei pentru a acoperi intervalul. Sau faceți clic pe grilă în timp ce țineți apăsată tasta Ctrl pentru a selecta câte un element.
6. Când ați terminat, apăsați Enter. Rezultatul va fi afișat în celulă.

În Excel, calcularea mediei este destul de ușoară. Nu este nevoie să adăugați și apoi să împărțiți suma. Există o funcție separată pentru aceasta. De asemenea, puteți găsi minimum și maxim într-un set. Acest lucru este mult mai ușor decât să numărați manual sau să căutați numere într-un tabel imens. Prin urmare, Excel este popular în multe domenii de activitate în care este necesară acuratețe: afaceri, audit, resurse umane, finanțe, comerț, matematică, fizică, astronomie, economie, știință.

Pentru a găsi valoarea medie în Excel (indiferent dacă este o valoare numerică, text, procentuală sau altă valoare), există multe funcții. Și fiecare dintre ele are propriile sale caracteristici și avantaje. Într-adevăr, în această sarcină pot fi stabilite anumite condiții.

De exemplu, valorile medii ale unei serii de numere în Excel sunt calculate folosind funcții statistice. De asemenea, puteți introduce manual propria formulă. Să luăm în considerare diferite opțiuni.

Cum se găsește media aritmetică a numerelor?

Pentru a găsi media aritmetică, trebuie să adunați toate numerele din mulțime și să împărțiți suma la cantitate. De exemplu, notele unui student la informatică: 3, 4, 3, 5, 5. Ce este inclus în trimestru: 4. Am găsit media aritmetică folosind formula: =(3+4+3+5+5) /5.

Cum să faci asta rapid folosind funcțiile Excel? Să luăm de exemplu o serie de numere aleatorii dintr-un șir:

Sau: faceți celula activă și introduceți pur și simplu formula manual: =AVERAGE(A1:A8).

Acum să vedem ce mai poate face funcția AVERAGE.

Să găsim media aritmetică a primelor două și a ultimelor trei numere. Formula: =MEDIA(A1:B1;F1:H1). Rezultat:



Stare medie

Condiția pentru aflarea mediei aritmetice poate fi un criteriu numeric sau unul text. Vom folosi funcția: =AVERAGEIF().

Aflați media aritmetică a numerelor care sunt mai mari sau egale cu 10.

Funcție: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Rezultatul utilizării funcției AVERAGEIF în condiția „>=10”:

Al treilea argument – ​​„Intervalul mediu” – este omis. În primul rând, nu este necesar. În al doilea rând, intervalul analizat de program conține DOAR valori numerice. Celulele specificate în primul argument vor fi căutate conform condiției specificate în al doilea argument.

Atenţie! Criteriul de căutare poate fi specificat în celulă. Și faceți un link către el în formulă.

Să găsim valoarea medie a numerelor folosind criteriul text. De exemplu, vânzările medii ale produsului „tabele”.

Funcția va arăta astfel: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Gamă – o coloană cu nume de produse. Criteriul de căutare este o legătură către o celulă cu cuvântul „tabele” (puteți introduce cuvântul „tabele” în loc de linkul A7). Interval de mediere – acele celule din care vor fi luate date pentru a calcula valoarea medie.

Ca rezultat al calculului funcției, obținem următoarea valoare:

Atenţie! Pentru un criteriu text (condiție), trebuie specificat intervalul de mediere.

Cum se calculează prețul mediu ponderat în Excel?

Cum am aflat prețul mediu ponderat?

Formula: =SUMAPRODUS(C2:C12;B2:B12)/SUMA(C2:C12).

Folosind formula SUMPRODUCT, aflăm venitul total după vânzarea întregii cantități de marfă. Și funcția SUM însumează cantitatea de bunuri. Împărțind venitul total din vânzarea de bunuri la numărul total de unități de mărfuri, am găsit prețul mediu ponderat. Acest indicator ia în considerare „greutatea” fiecărui preț. Ponderea sa în masa totală a valorilor.

Abaterea standard: formula în Excel

Distinge între medie deviație standard pentru populația generală și pentru eșantion. În primul caz, aceasta este rădăcina varianței generale. În al doilea, din varianța eșantionului.

Pentru a calcula acest indicator statistic, este compilată o formulă de dispersie. Din ea se extrage rădăcina. Dar în Excel există o funcție gata făcută pentru găsirea abaterii standard.

Abaterea standard este legată de amploarea datelor sursă. Acest lucru nu este suficient pentru o reprezentare figurativă a variației intervalului analizat. Pentru a obține nivelul relativ de împrăștiere a datelor, se calculează coeficientul de variație:

abatere standard / medie aritmetică

Formula în Excel arată astfel:

STDEV (interval de valori) / AVERAGE (interval de valori).

Coeficientul de variație se calculează procentual. Prin urmare, setăm formatul procentual în celulă.

Să presupunem că trebuie să găsiți numărul mediu de zile pentru finalizarea sarcinilor de către diferiți angajați. Sau vrei să calculezi un interval de timp de 10 ani temperatura medieîntr-o anumită zi. Calcularea mediei unei serii de numere în mai multe moduri.

Media este o funcție a măsurării tendinței centrale la care se află centrul unei serii de numere dintr-o distribuție statistică. Trei sunt cele mai comune criterii de tendință centrală.

In medie Media aritmetică se calculează adunând o serie de numere și apoi împărțind numărul acestor numere. De exemplu, media 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 30 împărțit la 6,5;

Median Numărul mediu al unei serii de numere. Jumătate dintre numere au valori care sunt mai mari decât mediana, iar jumătate dintre numere au valori care sunt mai mici decât mediana. De exemplu, mediana lui 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 4.

Modul Cel mai frecvent număr dintr-un grup de numere. De exemplu, modul 2, 3, 3, 5, 7 și 10 - 3.

Aceste trei măsuri de tendință centrală, distribuția simetrică a unei serii de numere, sunt aceleași. Într-o distribuție asimetrică a unui număr de numere, acestea pot fi diferite.

Calculați media celulelor care sunt învecinate în același rând sau coloană

Urmați acești pași:

Calcularea mediei celulelor aleatoare

Pentru a efectua această sarcină, utilizați funcția IN MEDIE. Copiați tabelul de mai jos pe o foaie de hârtie goală.

Calculul mediei ponderate

SUMPRODUSȘi sume. Exemplu vAcest calcul prețul mediu unități de măsură plătite pentru trei achiziții, în care fiecare achiziție este localizată pentru un număr diferit de unități de măsură de preturi diferite pentru o unitate.

Copiați tabelul de mai jos pe o foaie de hârtie goală.

Calcularea mediei numerelor, excluzând valorile zero

Pentru a efectua această sarcină, utilizați funcțiile IN MEDIEȘi Dacă. Copiați tabelul de mai jos și rețineți că în acest exemplu, pentru a fi mai ușor de înțeles, copiați-l pe o foaie de hârtie goală.

Se pierde în calcularea mediei.

In medie sens setul de numere este egal cu suma numerelor S împărțită la numărul acestor numere. Adică se dovedește că in medie sens este egal cu: 19/4 = 4,75.

Notă

Dacă trebuie să găsiți media geometrică pentru doar două numere, atunci nu aveți nevoie de un calculator de inginerie: puteți extrage a doua rădăcină (rădăcină pătrată) a oricărui număr folosind cel mai obișnuit calculator.

Sfaturi utile

Spre deosebire de media aritmetică, media geometrică nu este la fel de puternic afectată de abateri mari și fluctuații între valorile individuale din setul de indicatori studiati.

Surse:

• Calculator online care calculează media geometrică
• formula medie geometrică

In medie valoarea este una dintre caracteristicile unui set de numere. Reprezintă un număr care nu se poate situa în afara intervalului definit de cele mai mari și mai mici valori din acel set de numere. In medie valoarea aritmetică este cel mai des utilizat tip de medie.

Instrucțiuni

Adunați toate numerele din mulțime și împărțiți-le la numărul de termeni pentru a obține media aritmetică. În funcție de condițiile specifice de calcul, uneori este mai ușor să împărțiți fiecare dintre numere la numărul de valori din set și să însumați rezultatul.

Utilizați, de exemplu, inclus în sistemul de operare Windows dacă nu este posibil să calculați media aritmetică din cap. Îl puteți deschide folosind dialogul de lansare a programului. Pentru a face acest lucru, apăsați tastele rapide WIN + R sau faceți clic pe butonul Start și selectați comanda Run din meniul principal. Apoi tastați calc în câmpul de introducere și apăsați Enter sau faceți clic pe butonul OK. Același lucru se poate face prin meniul principal - deschideți-l, accesați secțiunea „Toate programele” și în secțiunea „Standard” și selectați linia „Calculator”.

Introduceți secvențial toate numerele din set apăsând tasta Plus după fiecare dintre ele (cu excepția ultimului) sau făcând clic pe butonul corespunzător din interfața calculatorului. De asemenea, puteți introduce numere fie de la tastatură, fie făcând clic pe butoanele interfeței corespunzătoare.

Apăsați tasta bară oblică sau faceți clic pe aceasta în interfața calculatorului după ce ați introdus ultima valoare setată și introduceți numărul de numere din secvență. Apoi apăsați semnul egal și calculatorul va calcula și va afișa media aritmetică.

Puteți folosi un editor de tabel în același scop. Microsoft Excel. În acest caz, lansați editorul și introduceți toate valorile secvenței de numere în celulele adiacente. Dacă, după introducerea fiecărui număr, apăsați Enter sau tasta săgeată în jos sau la dreapta, editorul însuși va muta focalizarea de intrare în celula adiacentă.

Faceți clic pe celula de lângă ultimul număr introdus dacă nu doriți să vedeți doar media. Extindeți meniul drop-down sigma grecesc (Σ) pentru comenzile Editare din fila Acasă. Selectați linia " In medie" iar editorul va introduce formula dorită pentru calcularea mediei aritmetice în celula selectată. Apăsați tasta Enter și valoarea va fi calculată.

Media aritmetică este una dintre măsurile de tendință centrală, utilizată pe scară largă în calcule matematice și statistice. Găsirea mediei aritmetice pentru mai multe valori este foarte simplă, dar fiecare sarcină are propriile sale nuanțe, pe care pur și simplu trebuie să le cunoașteți pentru a efectua calcule corecte.

Ce este o medie aritmetică

Media aritmetică determină valoarea medie pentru întregul tablou original de numere. Cu alte cuvinte, dintr-un anumit set de numere este selectată o valoare comună tuturor elementelor, a cărei comparație matematică cu toate elementele este aproximativ egală. Media aritmetică este utilizată în primul rând în pregătirea rapoartelor financiare și statistice sau pentru calcularea rezultatelor unor experimente similare.

Cum se găsește media aritmetică

Găsirea mediei aritmetice pentru o matrice de numere ar trebui să înceapă prin determinarea sumei algebrice a acestor valori. De exemplu, dacă tabloul conține numerele 23, 43, 10, 74 și 34, atunci suma lor algebrică va fi egală cu 184. La scriere, media aritmetică este notată cu litera μ (mu) sau x (x cu a). bar). Mai departe suma algebrică trebuie împărțit la numărul de numere din matrice. În exemplul luat în considerare au fost cinci numere, deci media aritmetică va fi egală cu 184/5 și va fi 36,8.

Caracteristicile lucrului cu numere negative

Dacă matricea conține numere negative, atunci media aritmetică este găsită folosind un algoritm similar. Diferența este doar atunci când se calculează într-un mediu de programare, sau dacă problema conține conditii suplimentare. În aceste cazuri, găsirea mediei aritmetice a numerelor cu semne diferite se reduce la trei etape:

1. Aflarea mediei aritmetice generale folosind metoda standard;
2. Aflarea mediei aritmetice a numerelor negative.
3. Calculul mediei aritmetice a numerelor pozitive.

Răspunsurile pentru fiecare acțiune sunt scrise separate prin virgule.

Fracții naturale și zecimale

Dacă este prezentată o serie de numere zecimale, soluția se realizează folosind metoda de calcul a mediei aritmetice a numerelor întregi, dar rezultatul este redus în funcție de cerințele problemei pentru acuratețea răspunsului.

Când lucrezi cu fracții naturale ar trebui aduse la numitor comun, care se înmulțește cu numărul de numere din matrice. Numătorul răspunsului va fi suma numărătorilor dați ai elementelor fracționale originale.

• Calculator de inginerie.

Instrucțiuni

Rețineți că, în general, media geometrică a numerelor se găsește prin înmulțirea acestor numere și luând rădăcina puterii din ele, care corespunde numărului de numere. De exemplu, dacă trebuie să găsiți media geometrică a cinci numere, atunci va trebui să extrageți rădăcina puterii din produs.

Pentru a afla media geometrică a două numere, folosiți regula de bază. Găsiți produsul lor, apoi luați rădăcina pătrată a acestuia, deoarece numărul este doi, ceea ce corespunde puterii rădăcinii. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a numerelor 16 și 4, găsiți produsul lor 16 4=64. Din numărul rezultat, extrageți rădăcina pătrată √64=8. Aceasta va fi valoarea dorită. Vă rugăm să rețineți că media aritmetică a acestor două numere este mai mare și egală cu 10. Dacă nu este extrasă întreaga rădăcină, rotunjiți rezultatul la ordinea dorită.

Pentru a găsi media geometrică a mai mult de două numere, utilizați și regula de bază. Pentru a face acest lucru, găsiți produsul tuturor numerelor pentru care trebuie să găsiți media geometrică. Din produsul rezultat, extrageți rădăcina puterii egală cu numărul de numere. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a numerelor 2, 4 și 64, găsiți produsul lor. 2 4 64=512. Deoarece trebuie să găsiți rezultatul mediei geometrice a trei numere, luați a treia rădăcină din produs. Este dificil să faci asta verbal, așa că folosește un calculator de inginerie. În acest scop are un buton „x^y”. Formați numărul 512, apăsați butonul „x^y”, apoi formați numărul 3 și apăsați butonul „1/x”, pentru a găsi valoarea 1/3, apăsați butonul „=". Obținem rezultatul ridicării 512 la puterea 1/3, care corespunde celei de-a treia rădăcini. Obține 512^1/3=8. Aceasta este media geometrică a numerelor 2,4 și 64.

Folosind un calculator de inginerie, puteți găsi media geometrică într-un alt mod. Găsiți butonul jurnal de pe tastatură. După aceea, luați logaritmul pentru fiecare dintre numere, găsiți suma lor și împărțiți-o la numărul de numere. Luați antilogaritmul din numărul rezultat. Aceasta va fi media geometrică a numerelor. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a acelorași numere 2, 4 și 64, efectuați un set de operații pe calculator. Formați numărul 2, apoi apăsați butonul log, apăsați butonul „+”, formați numărul 4 și apăsați din nou log și „+”, formați 64, apăsați log și „=". Rezultatul va fi numărul egal cu suma logaritme zecimale ale numerelor 2, 4 și 64. Împărțiți numărul rezultat la 3, deoarece acesta este numărul de numere pentru care se caută media geometrică. Din rezultat, luați antilogaritmul prin comutarea butonului caz și folosiți aceeași cheie de jurnal. Rezultatul va fi cifra 8, aceasta este media geometrică dorită.