כיצד למצוא את הכפולה הפחות משותפת של מכנים. שיטות למציאת הכפולה הכי פחות משותפת, nok - זה, וכל ההסברים

מחשבון מקווןמאפשר לך למצוא במהירות את המחלק המשותף הגדול ביותר ואת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של שניים ושל כל מספר אחר של מספרים.

מחשבון למציאת GCD ו-LCM

מצא את GCD ו-LOC

נמצאו GCD ו-LOC: 5806

כיצד להשתמש במחשבון

• הזן מספרים בשדה הקלט
• אם תזין תווים שגויים, שדה הקלט יודגש באדום
• לחץ על הלחצן "מצא GCD ו-LOC".

כיצד להזין מספרים

• מספרים מוזנים מופרדים ברווח, נקודה או פסיק
• אורך המספרים שהוזנו אינו מוגבל, אז מציאת GCD ו-LCM של מספרים ארוכים לא קשה

מה הם GCD ו-NOC?

המחלק המשותף הגדול ביותרמספר מספרים הוא המספר השלם הטבעי הגדול ביותר שבו כל המספרים המקוריים מתחלקים ללא שארית. המחלק המשותף הגדול ביותר מקוצר בשם GCD.
כפולה משותפת מינימאליתמספר מספרים הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק בכל אחד מהמספרים המקוריים ללא שארית. הכפולה הפחות משותפת מקוצרת בשם NOC.

איך בודקים שמספר מתחלק במספר אחר ללא שארית?

כדי לברר אם מספר אחד מתחלק באחר ללא שארית, אתה יכול להשתמש בכמה מאפיינים של חלוקה של מספרים. לאחר מכן, על ידי שילובם, ניתן לבדוק את חלוקתם של חלק מהם ואת השילובים שלהם.

כמה סימנים לחלוקה של מספרים

1. מבחן חלוקה למספר ב-2
כדי לקבוע אם מספר מתחלק בשניים (האם הוא זוגי), מספיק להסתכל על הספרה האחרונה של מספר זה: אם הוא שווה ל-0, 2, 4, 6 או 8, אז המספר הוא זוגי, מה שאומר שהוא מתחלק ב-2.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-2.
פִּתָרוֹן:אנחנו מסתכלים על הספרה האחרונה: 8 - כלומר המספר מתחלק בשניים.

2. מבחן חלוקה למספר ב-3
מספר מתחלק ב-3 כאשר סכום הספרות שלו מתחלק בשלוש. לפיכך, כדי לקבוע אם מספר מתחלק ב-3, צריך לחשב את סכום הספרות ולבדוק אם הוא מתחלק ב-3. גם אם סכום הספרות גדול מאוד, ניתן לחזור על אותו תהליך שוב.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-3.
פִּתָרוֹן:נספור את סכום המספרים: 3+4+9+3+8 = 27. 27 מתחלק ב-3, כלומר המספר מתחלק בשלוש.

3. מבחן חלוקה למספר ב-5
מספר מתחלק ב-5 כאשר הספרה האחרונה שלו היא אפס או חמש.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-5.
פִּתָרוֹן:תסתכל על הספרה האחרונה: 8 אומר שהמספר אינו מתחלק בחמש.

4. מבחן חלוקה למספר ב-9
סימן זה דומה מאוד לסימן ההתחלקות בשלוש: מספר מתחלק ב-9 כאשר סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-9.
פִּתָרוֹן:נספור את סכום המספרים: 3+4+9+3+8 = 27. 27 מתחלק ב-9, כלומר המספר מתחלק בתשע.

כיצד למצוא GCD ו-LCM של שני מספרים

כיצד למצוא את ה-gcd של שני מספרים

רוב בצורה פשוטהחישוב המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים הוא למצוא את כל המחלקים האפשריים של המספרים הללו ולבחור את הגדול שבהם.

הבה נשקול שיטה זו באמצעות הדוגמה של מציאת GCD(28, 36):

1. נמנה את שני המספרים: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. אנו מוצאים גורמים משותפים, כלומר אלו שיש לשני המספרים: 1, 2 ו-2.
3. אנו מחשבים את המכפלה של גורמים אלה: 1 2 2 = 4 - זהו המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 28 ו-36.

כיצד למצוא את ה-LCM של שני מספרים

ישנן שתי דרכים נפוצות ביותר למצוא את הכפולה הקטנה ביותר של שני מספרים. השיטה הראשונה היא שניתן לרשום את הכפולות הראשונות של שני מספרים, ולאחר מכן לבחור מביניהם מספר שיהיה משותף לשני המספרים ובו בזמן הקטן ביותר. והשני הוא למצוא את ה-gcd של המספרים האלה. בוא נשקול רק את זה.

כדי לחשב את ה-LCM, עליך לחשב את המכפלה של המספרים המקוריים ולאחר מכן לחלק אותו ב-GCD שנמצא קודם לכן. בוא נמצא את ה-LCM עבור אותם המספרים 28 ו-36:

1. מצא את המכפלה של המספרים 28 ו-36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), כפי שכבר ידוע, שווה ל-4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

מציאת GCD ו-LCM עבור מספר מספרים

ניתן למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר עבור מספר מספרים, לא רק לשניים. לשם כך, המספרים שיש למצוא עבור המחלק המשותף הגדול ביותר מפורקים לגורמים ראשוניים, ואז נמצא המכפלה של הגורמים הראשוניים המשותפים של המספרים הללו. אתה יכול גם להשתמש ביחס הבא כדי למצוא את ה-gcd של מספר מספרים: GCD(a,b,c) = GCD(GCD(a,b),c).

קשר דומה חל על הכפולה הפחות משותפת: LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c)‎

דוגמא:מצא GCD ו-LCM עבור המספרים 12, 32 ו-36.

1. ראשית, נחלק את המספרים לגורמים: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. בואו נמצא את הגורמים המשותפים: 1, 2 ו-2.
3. המוצר שלהם ייתן GCD: 1·2·2 = 4
4. עכשיו בואו נמצא את ה-LCM: כדי לעשות זאת, בואו נמצא תחילה את ה-LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
5. כדי למצוא את ה-LCM של כל שלושת המספרים, עליך למצוא את GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

המחלק המשותף הגדול ביותר

הגדרה 2

אם מספר טבעי a מתחלק במספר טבעי $b$, אז $b$ נקרא מחלק של $a$, ו-$a$ נקרא כפולה של $b$.

תנו ל-$a$ ו-$b$ להיות מספרים טבעיים. המספר $c$ נקרא המחלק המשותף של $a$ ו-$b$ כאחד.

קבוצת המחלקים המשותפים של המספרים $a$ ו-$b$ היא סופית, מכיוון שאף אחד מהמחלקים הללו לא יכול להיות גדול מ$a$. המשמעות היא שבין המחלקים הללו ישנו המחלק הגדול ביותר, הנקרא המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים $a$ ו-$b$ ומסומן בסימון הבא:

$GCD\(a;b)\ או \D\(a;b)$

כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים אתה צריך:

1. מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

דוגמה 1

מצא את ה-gcd של המספרים $121$ ו-$132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

בחר את המספרים הנכללים בהרחבה של המספרים הללו

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

$GCD=2\cdot 11=22$

דוגמה 2

מצא את ה-gcd של המונומיאלים $63$ ו-$81$.

נמצא לפי האלגוריתם המוצג. לזה:

בואו נמנה את המספרים לגורמים ראשוניים

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

אנו בוחרים את המספרים הנכללים בהרחבה של המספרים הללו

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

בוא נמצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

$GCD=3\cdot 3=9$

אתה יכול למצוא את gcd של שני מספרים בדרך אחרת, באמצעות קבוצה של מחלקים של מספרים.

דוגמה 3

מצא את ה-gcd של המספרים $48$ ו-$60$.

פִּתָרוֹן:

בוא נמצא את קבוצת המחלקים של המספר $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

כעת בוא נמצא את קבוצת המחלקים של המספר $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

בוא נמצא את ההצטלבות של קבוצות אלה: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - קבוצה זו תקבע את קבוצת המחלקים המשותפים של המספרים $48$ ו-$60 $. המרכיב הגדול ביותר בסט זה יהיה המספר $12$. זה אומר שהמחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים $48$ ו$60$ הוא $12$.

הגדרה של NPL

הגדרה 3

כפולות נפוצות של מספרים טבעיים$a$ ו-$b$ הוא מספר טבעי שהוא כפולה של $a$ ו-$b$.

כפולות משותפות של מספרים הן מספרים המתחלקים במספרים המקוריים ללא שארית. לדוגמה, עבור המספרים $25$ ו-$50$, הכפולות המשותפת יהיו המספרים $50,100,150,200$ וכו'.

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר תיקרא הכפולה המשותפת הפחותה ותסומן LCM$(a;b)$ או K$(a;b).$

כדי למצוא את ה-LCM של שני מספרים, עליך:

1. גורמים מספרים לגורמים ראשוניים
2. רשמו את הגורמים שהם חלק מהמספר הראשון והוסיפו אליהם את הגורמים שהם חלק מהשני ואינם חלק מהראשון

דוגמה 4

מצא את ה-LCM של המספרים $99$ ו-$77$.

נמצא לפי האלגוריתם המוצג. לזה

גורמים מספרים לגורמים ראשוניים

$99=3\cdot 3\cdot 11$

רשום את הגורמים הכלולים בראשון

להוסיף להם מכפילים שהם חלק מהשני ולא חלק מהראשון

מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה הכפולה הפחות משותפת הרצויה

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

עריכת רשימות של מחלקים של מספרים היא לרוב משימה עתירת עבודה. יש דרך למצוא GCD שנקראת האלגוריתם האוקלידי.

הצהרות שעליהן מבוסס האלגוריתם האוקלידי:

אם $a$ ו-$b$ הם מספרים טבעיים, ו-$a\vdots b$, אז $D(a;b)=b$

אם $a$ ו-$b$ הם מספרים טבעיים כך ש-$b

באמצעות $D(a;b)= D(a-b;b)$, נוכל לצמצם ברציפות את המספרים הנבחנים עד שנגיע לזוג מספרים כך שאחד מהם מתחלק בשני. אז הקטן מבין המספרים הללו יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי עבור המספרים $a$ ו-$b$.

מאפיינים של GCD ו-LCM

1. כל כפולה משותפת של $a$ ו-$b$ מתחלקת ב-K$(a;b)$
2. אם $a\vdots b$ , אז К$(a;b)=a$

אם K$(a;b)=k$ ו-$m$ הוא מספר טבעי, אז K$(am;bm)=km$

אם $d$ הוא מחלק משותף עבור $a$ ו-$b$, אז K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

אם $a\vdots c$ ו-$b\vdots c$, אז $\frac(ab)(c)$ הוא הכפולה המשותפת של $a$ ו-$b$

עבור כל מספרים טבעיים $a$ ו-$b$ השוויון מתקיים

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

כל מחלק משותף של המספרים $a$ ו-$b$ הוא מחלק של המספר $D(a;b)$

כפולה היא מספר המתחלק במספר נתון ללא שארית. הכפולה הפחות משותפת (LCM) של קבוצת מספרים היא המספר הקטן ביותר שמתחלק בכל מספר בקבוצה מבלי להשאיר שארית. כדי למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה, עליך למצוא את הגורמים הראשוניים של מספרים נתונים. ניתן לחשב את ה-LCM גם באמצעות מספר שיטות אחרות החלות על קבוצות של שני מספרים או יותר.

צעדים

סדרה של כפולות

תסתכל על המספרים האלה.השיטה המתוארת כאן היא הטובה ביותר לשימוש כאשר ניתנים שני מספרים, שכל אחד מהם קטן מ-10. אם ניתן מספרים גדולים, השתמש בשיטה אחרת.

• לדוגמה, מצא את הכפולה הפחות משותפת של 5 ו-8. אלו הם מספרים קטנים, אז אתה יכול להשתמש בשיטה זו.

1. כפולה היא מספר המתחלק במספר נתון ללא שארית. ניתן למצוא כפולות בטבלת הכפל.

   • לדוגמה, מספרים שהם כפולות של 5 הם: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. רשום סדרה של מספרים שהם כפולות של המספר הראשון.עשה זאת תחת כפולות של המספר הראשון כדי להשוות בין שתי קבוצות של מספרים.

   • לדוגמה, מספרים שהם כפולות של 8 הם: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ו-64.

3. מצא את המספר הקטן ביותר שקיים בשתי קבוצות הכפולות.ייתכן שיהיה עליך לכתוב סדרות ארוכות של כפולות כדי למצוא מספר כולל. המספר הקטן ביותר שקיים בשתי קבוצות הכפולות הוא הכפולה הפחות משותפת.

   • לדוגמה, המספר הקטן ביותר, הקיים בסדרת הכפולות של 5 ו-8, הוא המספר 40. לכן, 40 היא הכפולה הפחות משותפת של 5 ו-8.

   פירוק לגורמים ראשוניים

   1. תסתכל על המספרים האלה.השיטה המתוארת כאן היא הטובה ביותר לשימוש כאשר ניתנים שני מספרים, שכל אחד מהם גדול מ-10. אם ניתנים מספרים קטנים יותר, השתמש בשיטה אחרת.

      • לדוגמה, מצא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים 20 ו-84. כל אחד מהמספרים גדול מ-10, אז אתה יכול להשתמש בשיטה זו.

   2. חלק את המספר הראשון לגורמים ראשוניים.כלומר, אתה צריך למצוא מספרים ראשוניים כאלה, שכאשר מכפילים אותם, יביאו למספר נתון. לאחר שמצאת את הגורמים העיקריים, כתוב אותם כשווים.

      • לדוגמה, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)ו 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). לפיכך, הגורמים הראשוניים של המספר 20 הם המספרים 2, 2 ו-5. כתוב אותם כביטוי:.

   3. חלק את המספר השני לגורמים ראשוניים.עשה זאת באותו אופן שבו פירקתם את המספר הראשון, כלומר, מצאו מספרים ראשוניים כאלה שכאשר מכפילים אותם, יניבו את המספר הנתון.

      • לדוגמה, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)ו 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). לפיכך, הגורמים הראשוניים של המספר 84 הם המספרים 2, 7, 3 ו-2. כתוב אותם כביטוי:.

   4. רשום את הגורמים המשותפים לשני המספרים.כתוב גורמים כגון פעולת כפל. בעת כתיבת כל גורם, חוצים אותו בשני הביטויים (ביטויים המתארים פירוק של מספרים לגורמים ראשוניים).

      • לדוגמה, לשני המספרים יש גורם משותף של 2, אז כתוב 2 × (\displaystyle 2\times )וחוצים את ה-2 בשני הביטויים.
      • המשותף לשני המספרים הוא גורם נוסף של 2, אז כתוב 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)וחוצים את ה-2 השני בשני הביטויים.

   5. הוסף את הגורמים הנותרים לפעולת הכפל.אלו גורמים שאינם מחוצים בשני הביטויים, כלומר גורמים שאינם משותפים לשני המספרים.

      • למשל, בביטוי 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)שני השניים (2) מחוצים מכיוון שהם גורמים משותפים. הגורם 5 אינו מחוצה, אז כתוב את פעולת הכפל כך: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • בהבעה 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)שני השניים (2) מחוצים גם הם. הגורמים 7 ו-3 אינם מחוצים, אז כתוב את פעולת הכפל כך: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. חשב את הכפולה הפחות משותפת.לשם כך, הכפל את המספרים בפעולת הכפל הכתובה.

      • לדוגמה, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). אז הכפולה הפחות משותפת של 20 ו-84 היא 420.

   מציאת גורמים משותפים

   1. צייר רשת כמו למשחק של טיק-טק.רשת כזו מורכבת משני קווים מקבילים החותכים (בזוויות ישרות) עם שני קווים מקבילים נוספים. זה ייתן לך שלוש שורות ושלוש עמודות (הרשת דומה מאוד לסמל #). כתוב את המספר הראשון בשורה הראשונה ובעמודה השנייה. כתוב את המספר השני בשורה הראשונה ובעמודה השלישית.

      • לדוגמה, מצא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים 18 ו-30. כתוב את המספר 18 בשורה הראשונה ובעמודה השנייה, ורשום את המספר 30 בשורה הראשונה ובעמודה השלישית.

   2. מצא את המחלק המשותף לשני המספרים.רשום את זה בשורה הראשונה ובעמודה הראשונה. עדיף לחפש גורמים ראשוניים, אבל זו לא דרישה.

      • לדוגמה, 18 ו-30 הם מספרים זוגיים, כך שהגורם המשותף שלהם הוא 2. אז כתוב 2 בשורה הראשונה ובעמודה הראשונה.

   3. מחלקים כל מספר במחלק הראשון.כתוב כל מנה תחת המספר המתאים. מנה היא תוצאה של חלוקת שני מספרים.

      • לדוגמה, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), אז כתוב 9 מתחת לגיל 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), אז רשום 15 מתחת ל-30.

   4. מצא את המחלק המשותף לשתי המנות.אם אין מחלק כזה, דלג על שני השלבים הבאים. אחרת, כתוב את המחלק בשורה השנייה ובעמודה הראשונה.

      • לדוגמה, 9 ו-15 מתחלקים ב-3, אז כתוב 3 בשורה השנייה ובעמודה הראשונה.

   5. מחלקים כל מנה במחלק השני שלה.כתוב כל תוצאת חלוקה תחת המנה המתאימה.

      • לדוגמה, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), אז כתוב 3 מתחת ל-9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), אז כתוב 5 מתחת ל-15.

   6. במידת הצורך, הוסף תאים נוספים לרשת.חזור על השלבים המתוארים עד למנות מחלק משותף.

   7. הקף את המספרים בעמודה הראשונה ובשורה האחרונה של הרשת.לאחר מכן כתוב את המספרים שנבחרו כפעולת כפל.

      • לדוגמה, המספרים 2 ו-3 נמצאים בעמודה הראשונה, והמספרים 3 ו-5 נמצאים בשורה האחרונה, אז כתוב את פעולת הכפל כך: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. מצא את התוצאה של הכפלת מספרים.זה יחשב את הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים נתונים.

      • לדוגמה, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). אז הכפולה הפחות משותפת של 18 ו-30 היא 90.

   האלגוריתם של אוקלידס

   1. זכור את הטרמינולוגיה הקשורה לפעולת החלוקה.הדיבידנד הוא המספר שמתחלק. המחלק הוא המספר שבו מחלקים. מנה היא תוצאה של חלוקת שני מספרים. שארית היא המספר שנותר כאשר מחלקים שני מספרים.

      • למשל, בביטוי 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 זה הדיבידנד
        6 הוא מחלק
        2 היא מנה
        3 זה השאר.

בואו נסתכל על שלוש דרכים למצוא את הכפולה הפחות משותפת.

מציאת על ידי פירוק לגורמים

השיטה הראשונה היא למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה על ידי פירוק המספרים הנתונים לגורמים ראשוניים.

נניח שעלינו למצוא את ה-LCM של המספרים: 99, 30 ו-28. לשם כך, בוא נחשוב כל אחד מהמספרים הללו לגורמים ראשוניים:

כדי שהמספר הרצוי יהיה מתחלק ב-99, 30 ו-28, יש צורך ומספיק שהוא יכלול את כל הגורמים הראשוניים של מחלקים אלו. כדי לעשות זאת, עלינו לקחת את כל הגורמים הראשוניים של המספרים הללו לעוצמה הגדולה ביותר האפשרית ולהכפיל אותם יחד:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

לפיכך, LCM (99, 30, 28) = 13,860. אין מספר אחר הקטן מ-13,860 מתחלק ב-99, 30 או 28.

כדי למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה של מספרים נתונים, אתה מביא אותם לגורמים הראשוניים שלהם, ואז לוקחים כל גורם ראשוני עם המעריך הגדול ביותר שהוא מופיע בו, ומכפילים את הגורמים האלה יחד.

מכיוון שלמספרים ראשוניים יחסית אין גורמים ראשוניים משותפים, הכפולה הפחות משותפת שלהם שווה למכפלת המספרים הללו. לדוגמה, שלושה מספרים: 20, 49 ו-33 הם ראשוניים יחסית. בגלל זה

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

אותו הדבר חייב להיעשות כאשר מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של שונים מספרים ראשוניים. לדוגמה, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

חיפוש לפי בחירה

השיטה השנייה היא למצוא את הכפולה הפחות משותפת על ידי בחירה.

דוגמה 1. כאשר הגדול מבין המספרים הנתונים מחולק במספר נתון אחר, אזי ה-LCM של המספרים הללו שווה לגדול שבהם. לדוגמה, בהינתן ארבעה מספרים: 60, 30, 10 ו-6. כל אחד מהם מתחלק ב-60, לכן:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

במקרים אחרים, כדי למצוא את הכפולה הנמוכה ביותר, נעשה שימוש בהליך הבא:

1. קבע את המספר הגדול ביותר מהמספרים הנתונים.
2. לאחר מכן נמצא את המספרים שהם כפולות שלהם המספר הגדול ביותר, מכפילים אותו במספרים טבעיים בסדר עולה ובודקים אם התוצר המתקבל מתחלק במספרים הנתונים הנותרים.

דוגמה 2. בהינתן שלושה מספרים 24, 3 ו-18. אנחנו קובעים את הגדול שבהם - זה המספר 24. לאחר מכן, נמצא את המספרים שהם כפולות של 24, בודקים אם כל אחד מהם מתחלק ב-18 וב-3:

24 · 1 = 24 - מתחלק ב-3, אך לא מתחלק ב-18.

24 · 2 = 48 - מתחלק ב-3, אך לא מתחלק ב-18.

24 · 3 = 72 - מתחלק ב-3 וב-18.

לפיכך, LCM (24, 3, 18) = 72.

חיפוש על ידי מציאת ה-LCM ברצף

השיטה השלישית היא למצוא את הכפולה הפחות משותפת על ידי מציאת ה-LCM ברצף.

ה-LCM של שני מספרים נתונים שווה למכפלת המספרים הללו חלקי המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.

דוגמה 1. מצא את ה-LCM של שני מספרים נתונים: 12 ו-8. קבע את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם: GCD (12, 8) = 4. הכפל את המספרים האלה:

אנו מחלקים את המוצר ב-gcd שלהם:

לפיכך, LCM (12, 8) = 24.

כדי למצוא את ה-LCM של שלושה מספרים או יותר, השתמש בהליך הבא:

1. ראשית, מצא את ה-LCM של כל שניים ממספרים אלה.
2. לאחר מכן, LCM של הכפולה הפחות משותפת שנמצאה והמספר השלישי הנתון.
3. לאחר מכן, ה-LCM של הכפולה הפחות משותפת שהתקבלה והמספר הרביעי וכו'.
4. לפיכך, החיפוש אחר LCM נמשך כל עוד יש מספרים.

דוגמה 2. בוא נמצא את LCM של שלושה מספרים נתונים: 12, 8 ו-9. כבר מצאנו את LCM של המספרים 12 ו-8 בדוגמה הקודמת (זה המספר 24). נותר למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה של המספר 24 והמספר השלישי הנתון - 9. קבע את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם: GCD (24, 9) = 3. הכפל את ה-LCM עם המספר 9:

אנו מחלקים את המוצר ב-gcd שלהם:

לפיכך, LCM (12, 8, 9) = 72.

המכנה של השבר האריתמטי a / b הוא המספר b, המראה את גודל השברים של יחידה שממנה מורכב השבר. המכנה של השבר האלגברי A / B נקרא ביטוי אלגבריב. לבצע פעולות אריתמטיותעם שברים יש לצמצם אותם לקטן ביותר מכנה משותף.

אתה תצטרך

• כדי לעבוד עם שברים אלגבריים ולמצוא את המכנה המשותף הנמוך ביותר, אתה צריך לדעת איך לחלק פולינומים.

הוראות

הבה נשקול להקטין שני שברים אריתמטיים n/m ו-s/t למכנה המשותף הפחות משותף, כאשר n, m, s, t הם מספרים שלמים. ברור שניתן לצמצם את שני השברים הללו לכל מכנה המתחלק ב-m ו-t. אבל הם מנסים להוביל למכנה המשותף הנמוך ביותר. הוא שווה לכפולה הפחות משותפת של המכנים m ו-t של השברים הנתונים. הכפולה הקטנה (LMK) של מספר היא הקטן ביותר המתחלק בכל המספרים הנתונים בו-זמנית. הָהֵן. במקרה שלנו, עלינו למצוא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים m ו-t. מסומן כ-LCM (m, t). לאחר מכן, השברים מוכפלים בשברים המקבילים: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

בואו נמצא את המכנה המשותף הנמוך ביותר מבין שלושה שברים: 4/5, 7/8, 11/14. ראשית, בואו נרחיב את המכנים 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. לאחר מכן, חשב את ה-LCM (5, 8, 14) על ידי הכפלה כל המספרים הכלולים לפחות באחת מההרחבות. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. שימו לב שאם מתרחש גורם בהרחבה של מספר מספרים (גורם 2 בהרחבת המכנים 8 ו-14), אז ניקח את הגורם ל במידה רבה יותר (2^3 במקרה שלנו).

אז מתקבל הכללי. זה שווה ל 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. כאן נקבל את המספרים שבהם עלינו להכפיל את השברים עם המכנים המתאימים כדי להביא אותם למכנה המשותף הנמוך ביותר. נקבל 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

הפחתת שברים אלגבריים למכנה המשותף הנמוך ביותר מתבצעת באנלוגיה לאריתמטית. למען הבהירות, בואו נסתכל על הבעיה באמצעות דוגמה. ניתן לתת שני שברים (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) ו-(x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). בואו נחלק את שני המכנים לגורמים. שימו לב שהמכנה של השבר הראשון הוא ריבוע מושלם: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. ל