שרטוט גרף של פונקציה לינארית חלקית. פונקציה ליניארית חלקית

30.09.2019

הנה המקדמים עבור איקסוהמונחים החופשיים במונה ובמכנה מקבלים מספרים ממשיים. הגרף של פונקציה שברית ליניארית במקרה הכללי הוא הִיפֵּרבּוֹלָה.

הפונקציה הלינארית השברית הפשוטה ביותר y = -אתה-

שביתות קשר פרופורציונלי הפוך; ההיפרבולה המייצגת אותו מוכרת היטב מהקורסים בתיכון (איור 5.5).

אורז. 5.5

דוגמא. 5.3

שרטט גרף של פונקציה שברית ליניארית:

1. מאז השבר הזה לא הגיוני מתי x = 3, זה תחום הפונקציה Xמורכב משני מרווחים אינסופיים:
3) ו-(3; +°°).

2. על מנת לחקור את ההתנהגות של פונקציה על גבול תחום ההגדרה (כלומר כאשר איקס-»3 ובשעה איקס-> ±°°), כדאי להפוך את הביטוי הזה לסכום של שני איברים באופן הבא:

מכיוון שהאיבר הראשון קבוע, התנהגות הפונקציה בגבול נקבעת למעשה על ידי האיבר השני, המשתנה. לאחר שלמדתי את תהליך השינוי שלו, מתי איקס->3 ו איקס->±°°, אנו מסיקים את המסקנות הבאות לגבי הפונקציה הנתונה:

א) עבור x->3 בצד ימין(כלומר עבור *>3) הערך של הפונקציה עולה ללא הגבלה: בְּ--> +°°: ב-x->3 שמאלה(כלומר ב-x y - לפיכך, ההיפרבולה הרצויה מתקרבת לקו הישר ללא הגבלה עם המשוואה x = 3 (שמאל תחתוןו למעלה מימין)וכך הקו הישר הזה הוא אסימפטוטה אנכיתהַגזָמָה;
ב) מתי x ->±°° האיבר השני יורד ללא הגבלה, ולכן ערך הפונקציה מתקרב לאיבר הראשון, הקבוע ללא הגבלה, כלומר. להעריך y = 2. במקרה זה, הגרף של הפונקציה מתקרב ללא הגבלה (שמאל למטה וימין למעלה) לישר שניתן במשוואה y = 2; כך הקו הזה הוא אסימפטוטה אופקיתהַגזָמָה.

תגובה.המידע המתקבל בסעיף זה הוא החשוב ביותר לאפיון התנהגות הגרף של פונקציה בחלק המרוחק של המישור (באופן פיגורטיבי, באינסוף).

3. בהנחה l = 0, נמצא y = ~.לכן, ההי-

פרבולה חוצה את הציר OUבנקודה M x = (0;-^).

4. פונקציה אפס ( בְּ-= 0) יהיה כאשר איקס= -2; לכן, היפרבולה זו חותכת את הציר אהבנקודה M 2 (-2; 0).
5. שבר חיובי אם למונה ולמכנה יש אותו סימן, ושלילי אם יש להם סימנים שונים. בפתרון מערכות האי-שוויון המתאימות, אנו מוצאים שלפונקציה יש שני מרווחים חיוביים: (-°°; -2) ו- (3; +°°) ומרווח שלילי אחד: (-2; 3).
6. ייצוג פונקציה כסכום של שני איברים (ראה פריט 2) מקל למדי לזהות שני מרווחי ירידה: (-°°; 3) ו-(3; +°°).
7. ברור שלפונקציה הזו אין קיצוניות.
8. הגדר Y של הערכים של פונקציה זו: (-°°; 2) ו- (2; +°°).
9. אין גם זוגיות, אי זוגיות או מחזוריות. המידע שנאסף מספיק כדי באופן סכמטי

לצייר היפרבול בְּצוּרָה גְרָפִיתהמשקף את המאפיינים של פונקציה זו (איור 5.6).

אורז. 5.6

הפונקציות שנדונו עד לנקודה זו נקראות אַלגֶבּרִי.עכשיו נעבור לשקול טרנסצנדנטליפונקציות.

בשיעור זה נסתכל על השבר פונקציה לינארית, אנו פותרים בעיות באמצעות פונקציה שברית ליניארית, מודול, פרמטר.

נושא: חזרה

שיעור: פונקציה ליניארית חלקית

1. מושג וגרף של פונקציה שברית ליניארית

הַגדָרָה:

פונקציה של הטופס:

לדוגמה:

הבה נוכיח שהגרף של פונקציית שבר ליניארית זו הוא היפרבולה.

בוא נוציא את השניים מהסוגריים במונה ונקבל:

יש לנו x גם במונה וגם במכנה. כעת אנו מתמירים כך שהביטוי יופיע במונה:

כעת נצמצם את השבר מונח אחר מונח:

ברור שהגרף של פונקציה זו הוא היפרבולה.

אנו יכולים להציע שיטה שנייה להוכחה, כלומר לחלק את המונה במכנה בעמודה:

יש:

2. שרטוט גרף של פונקציה שברית ליניארית

חשוב להיות מסוגל לבנות בקלות גרף של פונקציה שברית ליניארית, בפרט, כדי למצוא את מרכז הסימטריה של היפרבולה. בואו נפתור את הבעיה.

דוגמה 1 - שרטט גרף של פונקציה:

כבר המרנו את הפונקציה הזו וקיבלנו:

כדי לבנות את הגרף הזה, לא נעביר את הצירים או את ההיפרבולה עצמה. אנו משתמשים שיטה סטנדרטיתבניית גרפי פונקציות תוך שימוש בנוכחות של מרווחים של סימן קבוע.

אנו פועלים לפי האלגוריתם. ראשית, הבה נבחן את הפונקציה הנתונה.

לפיכך, יש לנו שלושה מרווחים של סימן קבוע: בקצה הימני () לפונקציה יש סימן פלוס, ואז הסימנים מתחלפים, מכיוון שלכל השורשים יש את המעלה הראשונה. אז, במרווח הפונקציה שלילית, במרווח הפונקציה חיובית.

אנו בונים שרטוט של הגרף בקרבת השורשים ונקודות השבירה של ה-ODZ. יש לנו: מכיוון שבנקודה מסוימת סימן הפונקציה משתנה מפלוס למינוס, העקומה נמצאת תחילה מעל הציר, אחר כך עוברת דרך האפס ואז ממוקמת מתחת לציר ה-x. כאשר המכנה של שבר כמעט שווה לאפס, זה אומר שכאשר ערך הטיעון נוטה לשלוש, ערך השבר שואף לאינסוף. IN במקרה הזה, כאשר הארגומנט מתקרב לטריפל משמאל, הפונקציה שלילית ונוטה למינוס אינסוף, מימין הפונקציה חיובית ועוזבת פלוס אינסוף.

כעת אנו בונים שרטוט של גרף הפונקציה בקרבת נקודות באינסוף, כלומר כאשר הטיעון נוטה לפלוס או מינוס אינסוף. במקרה זה, ניתן להזניח תנאים קבועים. יש לנו:

לפיכך, יש לנו אסימפטוטה אופקית ואנכית, מרכז ההיפרבולה הוא נקודה (3;2). בואו נמחיש:

אורז. 1. גרף של היפרבולה למשל 1

3. פונקציה לינארית חלקית עם מודולוס, הגרף שלה

בעיות עם פונקציה ליניארית חלקית יכולות להיות מסובכות על ידי נוכחות של מודול או פרמטר. כדי לבנות, למשל, גרף של הפונקציה, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:

אורז. 2. איור לאלגוריתם

לגרף המתקבל יש ענפים שנמצאים מעל ציר ה-x ומתחת לציר ה-x.

1. החל את המודול שצוין. במקרה זה, חלקים מהגרף הממוקמים מעל ציר ה-x נשארים ללא שינוי, ואלה הממוקמים מתחת לציר משתקפים ביחס לציר ה-X. אנחנו מקבלים:

אורז. 3. איור לאלגוריתם

דוגמה 2 - שרטוט פונקציה:

אורז. 4. גרף פונקציות למשל 2

4. פתרון משוואת שבר ליניארית עם פרמטר

שקול את המשימה הבאה - בניית גרף של הפונקציה. כדי לעשות זאת, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:

1. גרף את הפונקציה התת-מודולרית

נניח שנקבל את הגרף הבא:

אורז. 5. איור לאלגוריתם

1. החל את המודול שצוין. כדי להבין איך עושים זאת, בואו נרחיב את המודול.

לפיכך, עבור ערכי פונקציה עם ערכי ארגומנט לא שליליים, לא יתרחשו שינויים. לגבי המשוואה השנייה, אנו יודעים שהיא מתקבלת על ידי מיפוי סימטרי על ציר ה-y. יש לנו גרף של הפונקציה:

אורז. 6. איור לאלגוריתם

דוגמה 3 - שרטוט פונקציה:

לפי האלגוריתם, תחילה עליך לבנות גרף של הפונקציה התת-מודולרית, כבר בנינו אותה (ראה איור 1)

אורז. 7. גרף של פונקציה למשל 3

דוגמה 4 - מצא את מספר השורשים של משוואה עם פרמטר:

נזכיר שפתרון משוואה עם פרמטר פירושו לעבור על כל ערכי הפרמטר ולציין את התשובה עבור כל אחד מהם. אנו פועלים לפי המתודולוגיה. ראשית, אנו בונים גרף של הפונקציה, עשינו זאת כבר בדוגמה הקודמת (ראה איור 7). לאחר מכן, עליך לנתח את הגרף עם משפחת קווים עבור a שונה, למצוא את נקודות החיתוך ולכתוב את התשובה.

בהסתכלות על הגרף, נכתוב את התשובה: מתי ולמשוואה יש שני פתרונות; כאשר למשוואה יש פתרון אחד; כאשר למשוואה אין פתרונות.

בית > ספרות

מוסד חינוך עירוני

"בית ספר תיכון מס' 24"

עבודה מופשטת מבוססת בעיות

על אלגברה ועקרונות הניתוח

גרפים של פונקציות רציונליות חלקיות

תלמידי כיתה י"א א' נטליה סרגייבנה טובצ'גרצ'קו מפקחת עבודה ולנטינה וסילייבנה פרשבע מורה למתמטיקה, מורה להשכלה גבוהה קטגוריית הסמכה

סוורודווינסק

תוכן 3מבוא 4החלק העיקרי. גרפים של פונקציות שבריות-רציונליות 6 מסקנה 17 ספרות 18

מבוא

גרף פונקציות הוא אחד הנושאים המעניינים ביותר מתמטיקה בבית הספר. אחד מגדולי המתמטיקאים בזמננו, ישראל מויסביץ' גלפנד, כתב: "תהליך בניית הגרפים הוא דרך להפוך נוסחאות ותיאורים לתמונות גיאומטריות. גרף זה הוא אמצעי לראות נוסחאות ופונקציות ולראות כיצד הפונקציות הללו משתנות. למשל, אם כתוב y=x 2, אז מיד רואים פרבולה; אם y=x 2 -4, אתה רואה פרבולה מונמכת בארבע יחידות; אם y=4-x 2, אז אתה רואה את הפרבולה הקודמת פוחתת. היכולת הזו לראות גם נוסחה וגם את הפרשנות הגיאומטרית שלה בבת אחת חשובה לא רק ללימודי מתמטיקה, אלא גם למקצועות אחרים. זו מיומנות שנשארת איתך לכל החיים, כמו היכולת לרכוב על אופניים, להקליד או לנהוג במכונית". בשיעורי מתמטיקה אנו בונים בעיקר את הגרפים הפשוטים ביותר – גרפים של פונקציות יסודיות. רק בכיתה יא' למדו לבנות פונקציות מורכבות יותר באמצעות נגזרות. בעת קריאת ספרים:

בדרכים אלמנטריות

מטרת העבודה: ללמוד את החומרים התיאורטיים הרלוונטיים, לזהות אלגוריתם לבניית גרפים של פונקציות שבריות-לינאריות ושבריות-רציונליות. מטרות: 1. לגבש את המושגים של פונקציות שבריות-לינאריות ושבריות-רציונליות בהתבסס על חומר תיאורטי בנושא זה; 2. למצוא שיטות לבניית גרפים של פונקציות שבר-לינאריות ושבר-רציונליות.

חלק ראשי. גרפים של פונקציות רציונליות חלקיות

1. שבר - פונקציה לינארית והגרף שלה

כבר הכרנו פונקציה של הצורה y=k/x, שבה k≠0, המאפיינים והגרף שלה. בואו נשים לב לתכונה אחת של פונקציה זו. לפונקציה y=k/x בקבוצה של מספרים חיוביים יש את המאפיין שעם עלייה בלתי מוגבלת בערכי הארגומנט (כאשר x נוטה פלוס אינסוף), ערכי הפונקציות, בעוד שהם נשארים חיוביים, נוטה לאפס. כאשר יורדים ערכים חיובייםארגומנט (כאשר x שואף לאפס), ערכי הפונקציה גדלים ללא הגבלה (y נוטה לפלוס אינסוף). תמונה דומה נצפית בסט מספרים שליליים. בגרף (איור 1), תכונה זו מתבטאת בכך שנקודות ההיפרבולה, כשהן מתרחקות לאינסוף (ימינה או שמאלה, למעלה או למטה) ממקור הקואורדינטות, מתקרבות ללא הגבלה אל הישר. קו: ציר x, כאשר │x│ שואף לפלוס אינסוף, או לציר y כאשר │x│ שואף לאפס. הקו הזה נקרא אסימפטוטים של העקומה.

אורז. 1

להיפרבולה y=k/x יש שתי אסימפטוטות: ציר x וציר y. מושג האסימפטוטה ממלא תפקיד חשוב בבניית גרפים של פונקציות רבות. באמצעות טרנספורמציות של גרפי פונקציות המוכרים לנו, נוכל להעביר את ההיפרבולה y=k/x ל מישור קואורדינטותימינה או שמאלה, למעלה או למטה. כתוצאה מכך, נקבל גרפי פונקציות חדשים. דוגמה 1.תן y=6/x. הבה נעביר את ההיפרבולה הזו ימינה ב-1.5 יחידות, ולאחר מכן נעביר את הגרף המתקבל למעלה ב-3.5 יחידות. עם טרנספורמציה זו, גם האסימפטוטות של ההיפרבולה y=6/x יזוזו: ציר ה-x יעבור לישר y=3.5, ציר y אל הישר y=1.5 (איור 2). ניתן לציין את הפונקציה שאת הגרף שלה שרטטנו באמצעות הנוסחה

הבה נציג את הביטוי בצד ימין של נוסחה זו כשבר:

המשמעות היא שאיור 2 מציג גרף של הפונקציה שניתנת על ידי הנוסחה

לשבר זה יש מונה ומכנה שהם בינומים ליניאריים ביחס ל-x. פונקציות כאלה נקראות פונקציות ליניאריות חלקיות.

באופן כללי, פונקציה המוגדרת על ידי נוסחה של הטופס
, איפה
x הוא משתנה, a,ב, ג, ד– מספרים נתונים, עם c≠0 ו
לִפנֵי הַסְפִירָה- מוֹדָעָה≠0 נקראת פונקציה לינארית חלקית.שימו לב שהדרישה בהגדרה ש-c≠0 ו
bc-ad≠0, משמעותי. כאשר c=0 ו-d≠0 או bc-ad=0 נקבל פונקציה לינארית. ואכן, אם c=0 ו-d≠0, אז

אם bc-ad=0, c≠0, מבטאים את b מהשוויון הזה דרך a, c ו-d ומחליפים אותו בנוסחה, נקבל:

אז, במקרה הראשון קיבלנו פונקציה לינארית השקפה כללית
, במקרה השני - קבוע
. כעת נראה כיצד לשרטט פונקציה שברית ליניארית אם היא ניתנת על ידי נוסחה של הצורה
דוגמה 2.בואו נשרטט את הפונקציה
, כלומר בואו נציג את זה בטופס
: אנו בוחרים את כל החלק של השבר, מחלקים את המונה במכנה, נקבל:

כך,
. אנו רואים שניתן לקבל את הגרף של פונקציה זו מהגרף של הפונקציה y=5/x תוך שימוש בשתי הזזות עוקבות: הזזת ההיפרבולה y=5/x ימינה ב-3 יחידות, ולאחר מכן הזזה של ההיפרבולה שנוצרה
למעלה ב- 2 יחידות. עם ההזזות הללו, האסימפטוטים של ההיפרבולה y = 5/x ינועו גם הם: ציר x 2 יחידות למעלה, וציר y 3 יחידות ימינה. כדי לבנות גרף, נשרטט אסימפטוטות במישור הקואורדינטות עם קו מנוקד: ישר y=2 וקו ישר x=3. מכיוון שההיפרבולה מורכבת משני ענפים, כדי לבנות כל אחד מהם נרכיב שתי טבלאות: אחת עבור x<3, а другую для x>3 (כלומר, הראשון נמצא משמאל לנקודת החיתוך של האסימפטוטות, והשני מימין לה):

על ידי סימון הנקודות במישור הקואורדינטות שהקואורדינטות שלהן מצוינות בטבלה הראשונה וחיבורן בקו חלק, נקבל ענף אחד של ההיפרבולה. באופן דומה (באמצעות הטבלה השנייה) נקבל את הענף השני של ההיפרבולה. גרף הפונקציות מוצג באיור 3.

אני אוהב כל שבר
ניתן לכתוב בצורה דומה, תוך הדגשת כל חלקו. כתוצאה מכך, הגרפים של כל הפונקציות הליניאריות השבריות הם היפרבולות, בדרכים שונותהוסט במקביל לצירי הקואורדינטות ונמתח לאורך ציר Oy.

דוגמה 3.

בואו נשרטט את הפונקציה
.מכיוון שאנו יודעים שהגרף הוא היפרבולה, מספיק למצוא את הקווים הישרים אליהם מתקרבים הענפים (אסימפטוטות) שלו ועוד כמה נקודות. תחילה נמצא את האסימפטוטה האנכית. הפונקציה אינה מוגדרת כאשר 2x+2=0, כלומר. ב-x=-1. לכן, האסימפטוטה האנכית היא הישר x = -1. כדי למצוא את האסימפטוטה האופקית, עליך להסתכל למה ערכי הפונקציה מתקרבים כאשר הארגומנט גדל (בערך מוחלט), האיברים השניים במונה ובמכנה של השבר
קטן יחסית. בגלל זה

לכן, האסימפטוטה האופקית היא הישר y=3/2. בואו נקבע את נקודות החיתוך של ההיפרבולה שלנו עם צירי הקואורדינטות. ב-x=0 יש לנו y=5/2. הפונקציה שווה לאפס כאשר 3x+5=0, כלומר. ב-x = -5/3. לאחר שסימנו את הנקודות (-5/3;0) ו- (0;5/2) בשרטוט ושרטטו את האסימפטוטות האופקיות והאנכיות שנמצאו, נבנה גרף (איור 4) .

באופן כללי, כדי למצוא את האסימפטוטה האופקית, צריך לחלק את המונה במכנה, ואז y=3/2+1/(x+1), y=3/2 היא האסימפטוטה האופקית.

2. פונקציה רציונלית חלקית

שקול את הפונקציה הרציונלית השברית

שבהם המונה והמכנה הם פולינומים של ה-n ו תואר חודשי. תן לשבר להיות שבר תקין (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

כאשר k 1 ... k s הם השורשים של הפולינום Q (x), בעלי, בהתאמה, ריבוי m 1 ... m s, והטרינומים תואמים לזוגות צימוד של שורשים מורכבים Q (x) של ריבוי m 1 .. שברים מ' מהצורה

שקוראים לו שברים רציונליים יסודייםהסוג הראשון, השני, השלישי והרביעי, בהתאמה. כאן A, B, C, k הם מספרים ממשיים; m ו-m - מספרים טבעיים, m, m>1; לטרינום עם מקדמים ממשיים x 2 +px+q יש שורשים דמיוניים. ברור שניתן לקבל את הגרף של פונקציה שברית-רציונלית כסכום של גרפים של שברים יסודיים. גרף של פונקציה

אנו מקבלים מהגרף של הפונקציה 1/x m (m~1, 2, ...) באמצעות תרגום מקביל לאורך ציר האבססיס ביחידות סולם │k│ ימינה. גרף של פונקציה של הצורה

קל לבנות אם אתה בוחר ריבוע שלם במכנה, ולאחר מכן מבצע את היווצרות התואמת של הגרף של הפונקציה 1/x 2. גרף של פונקציה

מסתכם בבניית המכפלה של גרפים של שתי פונקציות:

y= Bx+ גו

תגובה. גרף של פונקציה

איפה א ד-ב ג 0 ,
,

כאשר n הוא מספר טבעי, ניתן לעשות על ידי תכנית כלליתמחקר פונקציה וציור גרף בחלק דוגמאות ספציפיותאתה יכול לבנות גרף בהצלחה על ידי ביצוע טרנספורמציות גרפים מתאימות; הדרך הטובה ביותרלתת שיטות למתמטיקה גבוהה יותר. דוגמה 1.גרף את הפונקציה

לאחר שבידדנו את כל החלק, יש לנו

שבריר
בואו נציג אותו כסכום של שברים יסודיים:

בואו נבנה גרפים של פונקציות:

לאחר הוספת הגרפים הללו, נקבל גרף של הפונקציה הנתונה:

איורים 6, 7, 8 מציגים דוגמאות לבניית גרפי פונקציות
ו
. דוגמה 2.גרף של פונקציה
:

(1);
(2);
(3); (4)

דוגמה 3.שרטוט הגרף של פונקציה

(1);
(2);
(3); (4)

סיכום

בעת ביצוע עבודה מופשטת: - הבהירה את המושגים שלה לגבי פונקציות שבר-ליניארי ושבר-רציונלי: הגדרה 1.פונקציה שברית ליניארית היא פונקציה של הצורה , כאשר x הוא משתנה, a, b, c ו-d מקבלים מספרים, עם c≠0 ו-bc-ad≠0. הגדרה 2.פונקציה רציונלית שברית היא פונקציה של הצורה

איפה נ

יצר אלגוריתם לשרטוט גרפים של פונקציות אלו;

צבר נסיון בביצוע פונקציות כמו:

;

למדתי לעבוד עם ספרות וחומרים נוספים, לבחור מידע מדעי; - רכשתי ניסיון בביצוע עבודה גרפית במחשב; - למדתי איך לכתוב עבודה מופשטת מבוססת בעיות.

ביאור. ערב המאה ה-21, הופצצנו בזרם אינסופי של דיבורים וספקולציות על כביש המידע ועידן הטכנולוגיה המתקרב.

ערב המאה ה-21, הופצצנו בזרם אינסופי של דיבורים וספקולציות על כביש המידע ועידן הטכנולוגיה המתקרב.

קורסי בחירה הם אחת מצורות הארגון של פעילויות חינוכיות, קוגניטיביות וחינוכיות-מחקריות של תלמידי תיכון

מסמך

אוסף זה הוא הגיליון החמישי שהוכן על ידי צוות הגימנסיה הפדגוגית-מעבדה מס' 1505 של העיר מוסקבה בתמיכת…….

מתמטיקה וניסיון

סֵפֶר

המאמר מנסה להשוות בקנה מידה רחב של גישות שונות ליחסים בין מתמטיקה לניסיון, שהתפתחו בעיקר במסגרת האפריוריזם והאמפיריזם.

בשיעור זה נסתכל על הפונקציה הליניארית השברית, נפתור בעיות באמצעות הפונקציה הליניארית השברית, מודול, פרמטר.

נושא: חזרה

שיעור: פונקציה ליניארית חלקית

הַגדָרָה:

פונקציה של הטופס:

לדוגמה:

הבה נוכיח שהגרף של פונקציית שבר ליניארית זו הוא היפרבולה.

בוא נוציא את השניים מהסוגריים במונה ונקבל:

יש לנו x גם במונה וגם במכנה. כעת אנו מתמירים כך שהביטוי יופיע במונה:

כעת נצמצם את השבר מונח אחר מונח:

ברור שהגרף של פונקציה זו הוא היפרבולה.

אנו יכולים להציע שיטה שנייה להוכחה, כלומר לחלק את המונה במכנה בעמודה:

יש:

דוגמה 1 - שרטט גרף של פונקציה:

כבר המרנו את הפונקציה הזו וקיבלנו:

כדי לבנות את הגרף הזה, לא נעביר את הצירים או את ההיפרבולה עצמה. אנו משתמשים בשיטה סטנדרטית לבניית גרפי פונקציות, תוך שימוש בנוכחות של מרווחים של סימן קבוע.

אנו פועלים לפי האלגוריתם. ראשית, הבה נבחן את הפונקציה הנתונה.

אנו בונים שרטוט של הגרף בקרבת השורשים ונקודות השבירה של ה-ODZ. יש לנו: מכיוון שבנקודה מסוימת סימן הפונקציה משתנה מפלוס למינוס, העקומה נמצאת תחילה מעל הציר, אחר כך עוברת דרך האפס ואז ממוקמת מתחת לציר ה-x. כאשר המכנה של שבר כמעט שווה לאפס, זה אומר שכאשר ערך הטיעון נוטה לשלוש, ערך השבר שואף לאינסוף. במקרה זה, כאשר הארגומנט מתקרב לטריפל משמאל, הפונקציה שלילית ונוטה למינוס אינסוף, מימין הפונקציה חיובית ועוזבת פלוס אינסוף.

כעת אנו בונים שרטוט של גרף הפונקציה בקרבת נקודות באינסוף, כלומר. כאשר הטיעון נוטה לפלוס או מינוס אינסוף. במקרה זה, ניתן להזניח תנאים קבועים. יש לנו:

לפיכך, יש לנו אסימפטוטה אופקית ואנכית, מרכז ההיפרבולה הוא נקודה (3;2). בואו נמחיש:

אורז. 1. גרף של היפרבולה למשל 1

אורז. 2. איור לאלגוריתם

לגרף המתקבל יש ענפים שנמצאים מעל ציר ה-x ומתחת לציר ה-x.

אורז. 3. איור לאלגוריתם

דוגמה 2 - שרטוט פונקציה:

אורז. 4. גרף פונקציות למשל 2

שקול את המשימה הבאה - בניית גרף של הפונקציה. כדי לעשות זאת, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:

1. גרף את הפונקציה התת-מודולרית

נניח שנקבל את הגרף הבא:

אורז. 5. איור לאלגוריתם

1. החל את המודול שצוין. כדי להבין איך עושים זאת, בואו נרחיב את המודול.

אורז. 6. איור לאלגוריתם

דוגמה 3 - שרטוט פונקציה:

לפי האלגוריתם, תחילה עליך לבנות גרף של הפונקציה התת-מודולרית, כבר בנינו אותה (ראה איור 1)

אורז. 7. גרף של פונקציה למשל 3

דוגמה 4 - מצא את מספר השורשים של משוואה עם פרמטר:

1. פונקציה לינארית חלקית וגרף שלה

פונקציה בצורה y = P(x) / Q(x), כאשר P(x) ו-Q(x) הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית שברית.

אתה בטח כבר מכיר את המושג של מספרים רציונליים. כְּמוֹ כֵן פונקציות רציונליותהן פונקציות שניתן לייצג אותן כמנה של שני פולינומים.

אם פונקציה רציונלית שברית היא המנה של שתי פונקציות לינאריות - פולינומים מהמעלה הראשונה, כלומר. פונקציה של הטופס

y = (ax + b) / (cx + d), אז זה נקרא ליניארי חלקי.

שימו לב שבפונקציה y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (אחרת הפונקציה הופכת ללינארית y = ax/d + b/d) וש-a/c ≠ b/d (אחרת הפונקציה קבועה). הפונקציה השברית הליניארית מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים מלבד x = -d/c. גרפים של פונקציות ליניאריות חלקיות אינם שונים בצורתם מהגרף y = 1/x שאתה מכיר. נקראת עקומה שהיא גרף של הפונקציה y = 1/x הַגזָמָה. עם עלייה בלתי מוגבלת של x בערך המוחלט, הפונקציה y = 1/x יורדת ללא הגבלה בערך המוחלט ושני ענפי הגרף מתקרבים לאבססיס: הימני מתקרב מלמעלה, והשמאלי מלמטה. הקווים שאליהם הענפים של התקרבות היפרבולה נקראים שלה אסימפטוטים.

דוגמה 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

פִּתָרוֹן.

בואו נבחר את החלק כולו: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

כעת קל לראות שהגרף של פונקציה זו מתקבל מהגרף של הפונקציה y = 1/x על ידי התמורות הבאות: הזזה ב-3 מקטעי יחידה ימינה, מתיחה לאורך ציר Oy 7 פעמים והזזה ב-2 מקטעי יחידה כלפי מעלה.

כל שבר y = (ax + b) / (cx + d) יכול להיכתב בצורה דומה, תוך הדגשת "החלק השלם". כתוצאה מכך, הגרפים של כל הפונקציות הליניאריות השבריות הם היפרבולות, המוזזות בדרכים שונות לאורך צירי הקואורדינטות ונמתחות לאורך ציר Oy.

כדי לבנות גרף של כל פונקציה שברית-לינארית שרירותית, אין צורך לבצע טרנספורמציה של השבר המגדיר פונקציה זו. מכיוון שאנו יודעים שהגרף הוא היפרבולה, די יהיה למצוא את הקווים הישרים אליהם מתקרבים הענפים שלו - האסימפטוטים של ההיפרבולה x = -d/c ו- y = a/c.

דוגמה 2.

מצא את האסימפטוטים של הגרף של הפונקציה y = (3x + 5)/(2x + 2).

פִּתָרוֹן.

הפונקציה אינה מוגדרת, ב-x = -1. המשמעות היא שהקו הישר x = -1 משמש כאסימפטוטה אנכית. כדי למצוא את האסימפטוטה האופקית, בואו נגלה מה הערכים של הפונקציה y(x) כאשר הארגומנט x גדל בערך המוחלט.

כדי לעשות זאת, חלקו את המונה והמכנה של השבר ב-x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

בתור x → ∞ השבר ישטה ל-3/2. המשמעות היא שהאסימפטוטה האופקית היא הישר y = 3/2.

דוגמה 3.

גרף את הפונקציה y = (2x + 1)/(x + 1).

פִּתָרוֹן.

בואו נבחר את "החלק השלם" של השבר:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

כעת קל לראות שהגרף של פונקציה זו מתקבל מהגרף של הפונקציה y = 1/x על ידי התמורות הבאות: תזוזה של יחידה אחת שמאלה, תצוגה סימטרית ביחס ל-Ox והזזה ב- 2 מקטעי יחידה למעלה לאורך ציר Oy.

דומיין D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

טווח ערכים E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

נקודות חיתוך עם צירים: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). הפונקציה גדלה בכל מרווח של תחום ההגדרה.

תשובה: איור 1.

2. פונקציה רציונלית חלקית

שקול פונקציה רציונלית שברית בצורה y = P(x) / Q(x), כאשר P(x) ו-Q(x) הם פולינומים בעלי תואר גבוה מהראשון.

דוגמאות לפונקציות רציונליות כאלה:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) או y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

אם הפונקציה y = P(x) / Q(x) מייצגת את המנה של שני פולינומים בעלי תואר גבוה מהראשון, אזי הגרף שלה יהיה, ככלל, מורכב יותר, ולפעמים יכול להיות קשה לבנות אותו במדויק , עם כל הפרטים. עם זאת, לעתים קרובות מספיק להשתמש בטכניקות דומות לאלו שכבר הצגנו לעיל.

תן לשבר להיות שבר תקין (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

ברור שניתן לקבל את הגרף של פונקציה רציונלית שברית כסכום של גרפים של שברים יסודיים.

שרטוט גרפים של פונקציות רציונליות חלקיות

הבה נבחן מספר דרכים לבניית גרפים של פונקציה רציונלית שברית.

דוגמה 4.

צייר גרף של הפונקציה y = 1/x 2.

פִּתָרוֹן.

אנו משתמשים בגרף של הפונקציה y = x 2 כדי לבנות גרף של y = 1/x 2 ונשתמש בטכניקה של "חלוקת" הגרפים.

דומיין D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

טווח הערכים E(y) = (0; +∞).

אין נקודות חיתוך עם הצירים. הפונקציה שווה. גדל עבור כל x מהמרווח (-∞; 0), יורד עבור x מ-0 ל-+∞.

תשובה: איור 2.

דוגמה 5.

גרף את הפונקציה y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

פִּתָרוֹן.

דומיין D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

כאן השתמשנו בטכניקה של פירוק לגורמים, צמצום והפחתה לפונקציה לינארית.

תשובה: איור 3.

דוגמה 6.

גרף את הפונקציה y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

פִּתָרוֹן.

תחום ההגדרה הוא D(y) = R. מכיוון שהפונקציה זוגית, הגרף סימטרי על הסמטה. לפני בניית גרף, בואו נשנה את הביטוי שוב, ונדגיש את החלק כולו:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

שימו לב שבידוד החלק השלם בנוסחה של פונקציה רציונלית שברית הוא אחד העיקריים שבהם בונים גרפים.

אם x → ±∞, אז y → 1, כלומר. הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית.

תשובה: איור 4.

דוגמה 7.

הבה נשקול את הפונקציה y = x/(x 2 + 1) וננסה למצוא במדויק את הערך הגדול ביותר שלה, כלומר. הנקודה הגבוהה ביותר בחצי הימני של הגרף. כדי לבנות בצורה מדויקת את הגרף הזה, הידע של היום אינו מספיק. ברור, העקומה שלנו לא יכולה "לעלות" גבוה מאוד, כי המכנה מתחיל במהירות "לעקוף" את המונה. בוא נראה אם הערך של הפונקציה יכול להיות שווה ל-1. לשם כך, עלינו לפתור את המשוואה x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. למשוואה הזו אין שורשים ממשיים. זה אומר שההנחה שלנו שגויה. כדי למצוא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה, עליך לברר באיזה A הגדול ביותר למשוואה A = x/(x 2 + 1) תהיה פתרון. נחליף את המשוואה המקורית במשוואה ריבועית: ציר 2 – x + A = 0. למשוואה זו יש פתרון כאשר 1 – 4A 2 ≥ 0. מכאן נמצא את הערך הגדול ביותר A = 1/2.