מבוא

זֶה עבודה בקורסמעוצב ל:

1) לגבש, להעמיק ולהרחיב את הידע התיאורטי בתחום השיטות למידול משטחים ואובייקטים, מיומנויות מעשיות ומיומנויות יישום תוכנה של שיטות;

2) לשפר מיומנויות עבודה עצמאית;

3) לפתח את היכולת לנסח שיפוטים ומסקנות, להציגם באופן הגיוני, עקבי ומוכח.

המוצקים של אפלטון

מוצקים אפלטוניים הם פולידרים קמורים, שכל פניהם הם מצולעים רגילים. כל הזוויות הפוליהדרליות של פולידרון רגיל חופפות. כדלקמן מחישוב סכום זוויות המישור בקודקוד, אין יותר מחמש פולי-הדרות רגילות קמורות. באמצעות השיטה המצוינת להלן, ניתן להוכיח שיש בדיוק חמש פולי-הדרות רגילות (הדבר הוכח על ידי אוקלידס). הם טטרהדרון רגיל, משושה (קוביה), אוקטהדרון, דודקהדרון ואיקוסהדרון. שמות הפוליהדרות הרגילות הללו מגיעים מיוון. בתרגום מילולי מיוונית, "טטרהדרון", "אוקטהדרון", "הקסהדרון", "דודקהדרון", "יקוזהדרון" פירושו: "טטרהדרון", "אוקטהדרון", "הקסהדרון". "דודקהדרון", "עשרים-הדרון".

טבלה מס' 1

טבלה מס' 2

אַרְבָּעוֹן- טטרהדרון, שכל פניו משולשים, כלומר. פירמידה משולשת; טטרהדרון רגיל תחום על ידי ארבעה משולשים שווי צלעות. (איור 1).

קובייה או משושה רגילה- פריזמה מרובעת רגילה בעלת קצוות שווים, מוגבלת בשישה ריבועים. (איור 1).

אוקטהדרון- אוקטהדרון; גוף התחום בשמונה משולשים; אוקטהדרון רגיל תחום בשמונה משולשים שווי צלעות; אחת מחמש הפוליהדרות הרגילות. (איור 1).

דודקהדרון- דודקהדרון, גוף התחום על ידי שנים עשר מצולעים; מחומש רגיל. (איור 1).

איקוסהדרון- עשרים צדדים, גוף התחום בעשרים מצולעים; האיקוסהדרון הרגיל מוגבל על ידי עשרים משולשים שווי צלעות. (איור 1).

הקובייה והאוקטהדרון הם כפולים, כלומר. מתקבלים זה מזה אם לוקחים את מרכזי הכובד של הפנים של אחד כקודקודים של השני ולהיפך. הדודקהדרון והאיקוסהדרון דואלי באופן דומה. הטטרהדרון הוא כפול לעצמו. דודקהדרון רגיל מתקבל מקובייה על ידי בניית "גגות" על פניה (שיטה אוקלידית); קודקודי הטטרהדרון הם כל ארבעת קודקודים של הקובייה שאינם סמוכים זה לזה לאורך קצה. כך מתקבלות כל שאר הפוליהדרות הרגילות מהקובייה. עצם קיומן של רק חמש פולי-הדרות סדירות באמת מפתיעה - אחרי הכל, יש אינסוף מצולעים סדירים במישור!

כל הפוליהדרות הרגילות היו ידועות כבר יוון העתיקה, והספר ה-13 של היסודות של אוקלידס מוקדש להם. הם נקראים גם מוצקים אפלטוניים, כי. הם תפסו מקום חשוב בתפיסה הפילוסופית של אפלטון לגבי מבנה היקום. ארבעה רב-הדרונים גילמו בו ארבע מהויות או "יסודות". הטטרהדרון סימל אש, כי. החלק העליון שלו מופנה כלפי מעלה; איקוזהדרון? מים, כי זה הכי "מיועל"; קובייה - כדור הארץ, כ"יציב" ביותר; אוקטהדרון? אוויר, בתור הכי "אוורירי". הפוליהדרון החמישי, הדודקהדרון, גילם את "כל מה שקיים", סימל את היקום כולו, ונחשב לעיקרי.

היוונים הקדמונים ראו ביחסים הרמוניים את הבסיס של היקום, ולכן ארבעת היסודות שלהם היו מחוברים בפרופורציה הבאה: אדמה/מים = אוויר/אש.

בקשר לגופים אלו, מן הראוי לומר שמערכת היסודות הראשונה, שכללה ארבעה יסודות? אדמה, מים, אוויר ואש - הוכרז על ידי אריסטו. יסודות אלו נותרו ארבע אבני היסוד של היקום במשך מאות שנים. אפשר בהחלט לזהות אותם עם ארבעת מצבי החומר המוכרים לנו - מוצק, נוזלי, גזי ופלזמה.

פוליהדרות רגילות תפסו מקום חשוב במערכת של I. Kepler של המבנה ההרמוני של העולם. אותה אמונה בהרמוניה, יופי ובמבנה הסדיר מתמטית של היקום הובילה את I. קפלר לרעיון שמכיוון שיש חמש פולי-הדרות רגילות, רק שישה כוכבי לכת תואמים להם. לדעתו, הספירות של כוכבי הלכת קשורות זו בזו על ידי המוצקים האפלטוניים הרשומים בהם. מכיוון שלכל פוליהדרון רגיל, מרכזי הספירות הכתובות והתחום המוקפות חופפים, לדגם כולו יהיה מרכז בודד שבו תמוקם השמש.

לאחר שעשה כמות אדירה של עבודה חישובית, בשנת 1596 פרסם I. Kepler את תוצאות תגליתו בספר "תעלומת היקום". הוא רושם קובייה בכדור מסלולו של שבתאי, לתוך קובייה? הכדור של צדק, הטטרהדרון בכדור צדק וכן הלאה, האם הכדור של מאדים משתלב זה בזה ברצף? דודקהדרון, כדור הארץ? איקוסהדרון, כדור נוגה? אוקטהדרון, כדור של מרקורי. מסתורין היקום נראה פתוח.

כיום אנו יכולים לומר בביטחון שהמרחקים בין כוכבי לכת אינם קשורים לפוליהדרה כלשהי. עם זאת, ייתכן שללא "תעלומת היקום", "הרמוניה של העולם" מאת I. Kepler, polyhedra רגיל, לא היו קיימים שלושה חוקים מפורסמים של I. Kepler, הממלאים תפקיד חשוב בתיאור התנועה של כוכבי לכת.

איפה עוד אפשר לראות את הגופים המדהימים האלה? בספרו של הביולוג הגרמני של תחילת המאה הקודמת, E. Haeckel, "יופי הצורות בטבע", ניתן לקרוא את השורות הבאות: "הטבע מטפח בחיקו מספר בלתי נדלה של יצורים מדהימים, אשר ב היופי והגיוון עולים בהרבה על כל הצורות שנוצרו על ידי האמנות האנושית." יצורי הטבע המוצגים בספר זה יפים וסימטריים. זהו תכונה בלתי נפרדת של הרמוניה טבעית. אבל האם יש כאן גם אורגניזמים חד-תאיים? feodaria, שצורתה משקפת במדויק את האיקוסהדרון. מה גורם לגיאומטריזציה הטבעית הזו? אולי בגלל כל הפוליהדרות עם אותו מספר פנים, האיקוסהדרון הוא בעל הנפח הגדול ביותר השטח הקטן ביותרמשטחים. תכונה גיאומטרית זו מסייעת למיקרואורגניזם הימי להתגבר על הלחץ של עמוד המים.

מעניין גם שהאיקוסהדרון הוא שהפך למוקד תשומת הלב של הביולוגים במחלוקות שלהם בנוגע לצורת הנגיפים. הנגיף לא יכול להיות עגול לחלוטין, כפי שחשבו בעבר. כדי לבסס את צורתו, הם לקחו פוליהדרות שונות וכיוונו אליהם אור באותן זוויות כמו זרימת האטומים בנגיף. התברר שרק פולידרון אחד נותן בדיוק את אותו הצל? איקוסהדרון שֶׁלוֹ תכונות גיאומטריות, אשר הוזכרו לעיל, מאפשרים לך לשמור מידע גנטי. פוליהדרה רגילה? הנתונים הרווחיים ביותר. והטבע עושה בזה שימוש רב. הגבישים של כמה חומרים המוכרים לנו הם בעלי צורה של פולי-הדרה רגילה. אז, הקוביה מעבירה את צורת הגבישים מלח שולחן NaCl, גביש יחיד של אלומיניום-אשלגן אלום (KAlSO4)2 12H2O יש צורה של אוקטהדרון, גביש של גופרית פיריט FeS יש צורה של דודקהדרון, נתרן אנטימון גופרתי יש צורה של טטרהדרון, בורון יש צורה של איקוסהדרון. פוליהדרות רגילות קובעות את הצורה של סריגי הגביש של כמה חומרים כימיים.

אז, פוליהדרה רגילה גילתה לנו את ניסיונותיהם של מדענים להתקרב אל סוד ההרמוניה העולמית והראתה את האטרקטיביות והיופי שאין לעמוד בפניהן של דמויות גיאומטריות אלה.

מוצקים אפלטוניים [עמ'. - מיוונית אפלטון (427–347 לפנה"ס / ט' - מקור ראה BODY), מכלול כל הפוליהדרות הרגילות [כלומר. ה.גופים נפחיים (תלת מימדיים) התחום במצולעים רגילים שווים] של העולם התלת מימדי, שתואר לראשונה על ידי אפלטון (הספר האחרון, ה-13 של "היסודות" של אוקלידס תלמידו של אפלטון מוקדש גם להם); // עם כל המגוון האינסופי של מצולעים רגילים (דמויות גיאומטריות דו-ממדיות מוגבלות על ידי צלעות שוות, שזוגות סמוכים שלהן יוצרים זוויות שוות בזוגות), יש רק חמישה מצולעים נפחיים. (ראה טבלה 6), לפיה, מאז תקופת אפלטון, הוצבו חמשת היסודות של היקום; קיים קשר מוזר בין המשושה לאוקטהדרון, כמו גם בין הדודקהדרון והאיקוסהדרון: המרכזים הגיאומטריים של הפנים של כל אחד מהם הם הקודקודים של כל שנייה.

אדם מגלה עניין בפוליהדרה לאורך כל פעילותו המודעת - מילד בן שנתיים המשחק עם קוביות עץ ועד למתמטיקאי בוגר. חלק מהגופים הרגילים והחצי-סדירים מתרחשים בטבע בצורת גבישים, אחרים - בצורת וירוסים הניתנים לבדיקה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים. מהו פולידרון? כדי לענות על שאלה זו, נזכיר כי הגיאומטריה עצמה מוגדרת לעתים כמדע המרחב והדמויות המרחביות - דו-ממדיות ותלת-ממדיות. ניתן להגדיר דמות דו מימדית כקבוצה של קטעים ישרים שקושרים חלק ממישור. כגון דמות שטוחהשנקרא מצולע. מכאן נובע שניתן להגדיר פולידרון כקבוצה של מצולעים שקושרים חלק מהמרחב התלת מימדי. המצולעים היוצרים פולידרון נקראים הפנים שלו.

מדענים התעניינו זה מכבר במצולעים "אידיאליים" או רגילים, כלומר, מצולעים בעלי צלעות שוות זוויות שוות. המצולע הרגיל הפשוט ביותר יכול להיחשב כמשולש שווה צלעות, שכן יש לו המספר הקטן ביותרצדדים, שיכולים להגביל חלק מהמטוס. התמונה הגדולההמצולעים הרגילים המעניינים אותנו, יחד עם המשולש שווה הצלעות, הם: ריבוע (ארבע צלעות), מחומש (חמש צלעות), משושה (שש צלעות), מתומן (שמונה צלעות), דקאגון (עשר צלעות) וכו'. ברור שתיאורטית אין הגבלות על מספר הצלעות של מצולע רגיל, כלומר, מספר המצולעים הרגילים הוא אינסופי.

מהו פולידרון רגיל? פולידרון רגיל הוא פולידרון כזה, שכל פניו שוות (או חופפות) זה לזה ובו בזמן הם מצולעים רגילים. כמה פוליהדרות רגילות יש? במבט ראשון, התשובה לשאלה זו פשוטה מאוד – ישנם מצולעים רגילים כמו שיש. עם זאת, זה לא. באלמנטים של אוקלידס אנו מוצאים הוכחה קפדנית לכך שיש רק חמש פולי-הדרות רגילות, והפנים שלהן יכולות להיות רק שלושה סוגים של מצולעים רגילים: משולשים, ריבועים ומחומשים.

שם מספר הפנים אלמנט
טטרהדרון 4 אש
משושה/קוביה 6 כדור הארץ
אוקטהדרון 8 אייר
Icosahedron 10 מים
דודקהדרון 12 אתר

עולם הפוליהדרה של הכוכבים

העולם שלנו מלא בסימטריה. מאז ימי קדם, הרעיונות שלנו על יופי קשורים אליו. זה כנראה מסביר את העניין המתמשך של האדם בסמלים המדהימים של סימטריה, שמשך את תשומת לבם של הוגים בולטים רבים, מאפלטון ואוקלידס ועד אוילר וקוצ'י.

עם זאת, פוליהדרות אינן בשום אופן רק מושא למחקר מדעי. הצורות שלהם שלמות וגחמניות, ונמצאות בשימוש נרחב באמנויות דקורטיביות.

פוליאדרות בצורת כוכב הן דקורטיביות מאוד, מה שמאפשר שימוש נרחב בתעשיית התכשיטים בייצור כל מיני תכשיטים. הם משמשים גם באדריכלות. צורות רבות של פוליהדרות כוכביות מוצעות על ידי הטבע עצמו. פתיתי שלג הם פוליאדרות בצורת כוכב. מאז ימי קדם, אנשים ניסו לתאר הכל סוגים אפשרייםפתיתי שלג, ערכו אטלסים מיוחדים. ידועים כעת כמה אלפים סוגים שוניםפתיתי שלג.

דודקהדרון כוכבי

דודקהדרון הכוכבים הגדול שייך למשפחת מוצקי קפלר-פוינסוט, כלומר, פוליהדרות רגילות שאינן קמורות. פניו של הדודקהדרון הכוכבים הגדול הם מחומשים, כמו אלו של הדודקהדרון הקטן. לכל קודקוד יש שלושה פנים מחוברים. קודקודי הדודקהדרון הגדול עולים בקנה אחד עם הקודקודים של הדודקהדרון המתואר.

הדודקהדרון הגדול תואר לראשונה על ידי קפלר בשנת 1619. זוהי צורת הכוכבים האחרונה של הדודקהדרון הרגיל.

דודקהדרון

החכמים הקדמונים אמרו: "כדי להכיר את הבלתי נראה, הסתכלו היטב על הנראה." ביחס ל כוחות קדושיםהדודקהדרון הוא הפולידרון החזק ביותר. לא בכדי בחר סלבדור דאלי את הדמות הזו עבור "הסעודה האחרונה" שלו. הוא מכיל גם שנים עשר מחומשים דמות חזקה, הכוחות מתרכזים בנקודה אחת - בישוע המשיח.

דודקהדרון(מהיוונית דודקה - שתים עשרה והדרה - פנים) הוא רב-הדרון רגיל המורכב משנים-עשר מחומשים שווי צלעות.

לדודקהדרון 20 קודקודים ו-30 קצוות.
קודקוד הדודקהדרון הוא קודקודם של שלושה מחומשים, כך שסכום זוויות המישור בכל קודקוד הוא 324°.
סכום אורכי כל הקצוות הוא 30a.
לדודקהדרון מרכז סימטריה ו-15 צירים של סימטריה.

כל אחד מהצירים עובר דרך נקודות האמצע של קצוות מקבילים מנוגדים. לדודקהדרון 15 מישורי סימטריה. כל אחד ממישורי הסימטריה עוברים בכל פנים דרך החלק העליון והאמצעי של הקצה הנגדי.

פוליהדרות רגילות מושכות עם השלמות של צורותיהן וסימטריה מלאה. חלק מהגופים הרגילים והסדירים למחצה נמצאים בטבע בצורה של גבישים, אחרים - בצורה של וירוסים, מיקרואורגניזמים פשוטים.
קריסטלים הם גופים בעלי צורה רבת פנים. הנה דוגמה אחת לגופים כאלה: גביש פיריט (גופרית פיריט FeS) - דגם טבעי של דודקהדרון.
נגיף הפוליו מעוצב כמו דודקהדרון. הוא יכול לחיות ולהתרבות רק בתאים אנושיים ופרימטים. זה, במיוחד, אומר שניתן לחלות בפוליו רק מאנשים. בנוסף, וירוסים רבים מועברים באמצעות וקטורים, שהם לרוב פרוקי רגליים (לדוגמה, קרציות). יתכן וירוסים כאלה טווח רחבמארחים, כולל חולייתנים וחסרי חוליות.

אצת וולוקס - אחד מהאורגניזמים הרב-תאיים הפשוטים ביותר - היא מעטפת כדורית המורכבת בעיקר מתאי משושה, משושה ומחומש (כלומר, תאים עם שבעה, שישה או חמישה שכנים; שלושה תאים מתכנסים בכל "קודקוד").

ישנן דגימות שיש להן גם תאים מרובעים ומתומנים, אבל ביולוגים שמו לב שאם אין תאים "לא סטנדרטיים" כאלה (עם פחות מחמישה ויותר משבעה) צדדים, אז תמיד יש בדיוק שנים עשר תאים מחומשים יותר מאשר מחומשים. (יכולים להיות כמה מאות או אפילו אלפי תאים בסך הכל). הצהרה זו נובעת מנוסחת אוילר המפורסמת.
פולרנים הם סוג של פחמן. הם התגלו תוך כדי ניסיון לדמות תהליכים המתרחשים בחלל. מאוחר יותר, מדענים במעבדות על פני כדור הארץ הצליחו לסנתז ולחקור נגזרות רבות של מולקולות כדוריות אלו. הכימיה של פולרנים הופיעה. כמה תרכובות הכללה בסריג הקריסטל של פולרן C60 התבררו כ"מוליכים חמים" עם טמפרטורה קריטית של עד 117 K.
ניסיונות נערכים ליצור חומרים מבוססי פולרן עבור אלקטרוניקה מולקולרית מתפתחת. כל זה מעניין וחשוב. אבל, כפי שהתברר, פולרנים קיימים גם בסלעים יבשתיים. כיום, חלק מהחובבים מקשרים את ההשפעה המרפאת של מי המרסי, שהתגלו ב-1714, שבהם טופל פיטר הגדול, עם נוכחותם של פולרנים בשונגיטים. והתגליות האחרונות של גיאוכימאים מאלצות אותנו לחזור לבעיית מקורם של פולרנים. ייתכן שמחקרים כימיים חדשים של פולרנים יבשתיים יפתחו דפים אחרים היסטוריה עשירהכדור הארץ!
האלכימיה מדברת בדרך כלל רק על היסודות הללו: אש, אדמה, אוויר ומים; האתר מוזכר לעתים רחוקות מכיוון שהוא כל כך קדוש. בבית הספר בפיתגורס, אם רק היית מזכיר את המילה "דודקהדרון" מחוץ לכותלי בית הספר, היית נהרג במקום. הדמות הזו נחשבה כל כך קדושה. אפילו לא דיברו עליה. מאתיים שנה מאוחר יותר, במהלך חייו של אפלטון, הם דיברו על זה, אבל רק בזהירות רבה. למה? כי הדודקהדרון ממוקם בקצה החיצוני שלך שדה אנרגיהוהוא הצורה הגבוהה ביותרתוֹדָעָה. כאשר תגיעו לגבול של 55 רגל של שדה האנרגיה שלכם, הוא יהיה בצורת כדור. אבל הדמות הפנימית הקרובה ביותר לכדור היא הדודקהדרון (למעשה, מערכת יחסים דודקהדרלית-איקוסהדרלית). בנוסף לכך, אנו חיים בתוך דודקהדרון גדול המכיל את היקום. כשהמוח שלך מגיע לגבול החלל - ויש כאן גבול - אז הוא נתקל בדודקהדרון סגור בכדור. הדודקהדרון הוא הדמות הסופית של הגיאומטריה והיא חשובה מאוד.
ברמה המיקרוסקופית, הדודקהדרון והאיקוסהדרון הם פרמטרי DNA יחסיים שעליהם בנויים כל החיים. ניתן גם לראות שמולקולת ה-DNA היא קובייה מסתובבת. כאשר מסובבים את הקוביה ברצף ב-72 מעלות לפי מודל מסוים, מתקבל איקוסהדרון, שבתורו יוצר זוג עם דודקהדרון.
לפיכך, הגדיל הכפול של סליל ה-DNA בנוי על עיקרון של התכתבות דו-כיוונית: אחרי האיקוסהדרון מגיע הדודקהדרון, ואז האיקוסהדרון שוב, וכן הלאה. סיבוב זה דרך הקובייה יוצר מולקולת DNA.
מבנה ה-DNA מבוסס על גיאומטריה מקודשת, אם כי יתכן ויתגלו קשרים נסתרים אחרים.
ספרו Heartmath של דן וינטר מראה שמולקולת ה-DNA מורכבת מהיחסים הכפולים של דודקהדרונים ואיקוסהדרונים.

מוצקים אפלטוניים [עמ'. - מיוונית אפלטון (427–347 לפנה"ס / ט' - מקור ראה BODY), מכלול כל הפוליהדרות הרגילות [כלומר. ה.גופים נפחיים (תלת מימדיים) התחום במצולעים רגילים שווים] של העולם התלת מימדי, שתואר לראשונה על ידי אפלטון (הספר האחרון, ה-13 של "היסודות" של אוקלידס תלמידו של אפלטון מוקדש גם להם); // עם כל המגוון האינסופי של מצולעים רגילים (דמויות גיאומטריות דו-ממדיות מוגבלות על ידי צלעות שוות, שזוגות סמוכים שלהן יוצרים זוויות שוות בזוגות), יש רק חמישה מצולעים נפחיים. (ראה טבלה 6), לפיה, מאז תקופת אפלטון, הוצבו חמשת היסודות של היקום; קיים קשר מוזר בין המשושה לאוקטהדרון, כמו גם בין הדודקהדרון והאיקוסהדרון: המרכזים הגיאומטריים של הפנים של כל אחד מהם הם הקודקודים של כל שנייה.

אדם מגלה עניין בפוליהדרה לאורך כל פעילותו המודעת - מילד בן שנתיים המשחק עם קוביות עץ ועד למתמטיקאי בוגר. חלק מהגופים הרגילים והחצי-סדירים מתרחשים בטבע בצורת גבישים, אחרים - בצורת וירוסים הניתנים לבדיקה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים. מהו פולידרון? כדי לענות על שאלה זו, נזכיר כי הגיאומטריה עצמה מוגדרת לעתים כמדע המרחב והדמויות המרחביות - דו-ממדיות ותלת-ממדיות. ניתן להגדיר דמות דו מימדית כקבוצה של קטעים ישרים שקושרים חלק ממישור. דמות שטוחה כזו נקראת מצולע. מכאן נובע שניתן להגדיר פולידרון כקבוצה של מצולעים שקושרים חלק מהמרחב התלת מימדי. המצולעים היוצרים פולידרון נקראים הפנים שלו.

מדענים התעניינו זה מכבר במצולעים "אידיאליים" או רגילים, כלומר, מצולעים בעלי צלעות שוות וזוויות שוות. המצולע הרגיל הפשוט ביותר יכול להיחשב כמשולש שווה צלעות, מכיוון שיש לו את מספר הצלעות הקטן ביותר שיכול להגביל חלק מהמישור. התמונה הכללית של המצולעים הרגילים המעניינים אותנו, יחד עם המשולש שווה הצלעות, הם: ריבוע (ארבע צלעות), מחומש (חמש צלעות), משושה (שש צלעות), מתומן (שמונה צלעות), דקאגון (עשר צלעות) וכו' . ברור שתיאורטית אין הגבלות על מספר הצלעות של מצולע רגיל, כלומר, מספר המצולעים הרגילים הוא אינסופי.

מהו פולידרון רגיל? פולידרון רגיל הוא פולידרון כזה, שכל פניו שוות (או חופפות) זה לזה ובו בזמן הם מצולעים רגילים. כמה פוליהדרות רגילות יש? במבט ראשון, התשובה לשאלה זו פשוטה מאוד – ישנם מצולעים רגילים כמו שיש. עם זאת, זה לא. באלמנטים של אוקלידס אנו מוצאים הוכחה קפדנית לכך שיש רק חמש פולי-הדרות רגילות, והפנים שלהן יכולות להיות רק שלושה סוגים של מצולעים רגילים: משולשים, ריבועים ומחומשים.

שם מספר הפנים אלמנט
טטרהדרון 4 אש
משושה/קוביה 6 כדור הארץ
אוקטהדרון 8 אייר
Icosahedron 10 מים
דודקהדרון 12 אתר

מוצקים אפלטוניים

עולם הפוליהדרה של הכוכבים

העולם שלנו מלא בסימטריה. מאז ימי קדם, הרעיונות שלנו על יופי קשורים אליו. זה כנראה מסביר את העניין המתמשך של האדם בסמלים המדהימים של סימטריה, שמשך את תשומת לבם של הוגים בולטים רבים, מאפלטון ואוקלידס ועד אוילר וקוצ'י.

עם זאת, פוליהדרות אינן בשום אופן רק מושא למחקר מדעי. הצורות שלהם שלמות וגחמניות, ונמצאות בשימוש נרחב באמנויות דקורטיביות.

פוליאדרות בצורת כוכב הן דקורטיביות מאוד, מה שמאפשר שימוש נרחב בתעשיית התכשיטים בייצור כל מיני תכשיטים. הם משמשים גם באדריכלות. צורות רבות של פוליהדרות כוכביות מוצעות על ידי הטבע עצמו. פתיתי שלג הם פוליהדרות בצורת כוכב. מאז ימי קדם, אנשים ניסו לתאר את כל הסוגים האפשריים של פתיתי שלג וחיברו אטלסים מיוחדים. ידועים כיום כמה אלפי סוגים שונים של פתיתי שלג.

דודקהדרון כוכבי

דודקהדרון הכוכבים הגדול שייך למשפחת מוצקי קפלר-פוינסוט, כלומר, פוליהדרות רגילות שאינן קמורות. פניו של הדודקהדרון הכוכבים הגדול הם מחומשים, כמו אלו של הדודקהדרון הקטן. לכל קודקוד יש שלושה פנים מחוברים. קודקודי הדודקהדרון הגדול עולים בקנה אחד עם הקודקודים של הדודקהדרון המתואר.

הדודקהדרון הגדול תואר לראשונה על ידי קפלר בשנת 1619. זוהי צורת הכוכבים האחרונה של הדודקהדרון הרגיל.

פוליהדרות רגילות נקראות מוצקים אפלטוניים; הם תופסים מקום נכבד בתמונה הפילוסופית של העולם שפותחה על ידי ההוגה הגדול של יוון העתיקה, אפלטון.

אז, אפלטון הכיר חמש פולי-הדרות רגילות, ומספר היסודות (אש, אוויר, מים ואדמה) היה בדיוק ארבעה. כתוצאה מכך, מתוך חמש פולי-הדרות, יש לבחור ארבע שניתן להשוות עם האלמנטים.

אילו שיקולים הנחו את אפלטון בכך? קודם כל, כי כמה אלמנטים, כפי שהוא האמין, יכולים להפוך זה לזה. ניתן לבצע את ההפיכה של חלק מהפוליהדרות לאחרות על ידי מבנה מחדש של המבנה הפנימי שלהן. אך לשם כך היה צורך למצוא בגופים הללו אלמנטים מבניים כאלה שיהיו משותפים להם. מ מראה חיצוניפולי-הדרה רגילה, ברור שלפנים של שלוש פולי-הדרות - טטרהדרון, אוקטהדרון, איקוסהדרון - יש צורה של משולש שווה צלעות. שתי הפוליהדרות הנותרות - הקובייה והדודקהדרון - בנויות: הראשון - מריבועים, והשני - מחומשים רגילים, כך שלא ניתן להפוך אותם זה לזה או לשלושת הגופים הנחשבים. המשמעות היא שאם ניתן לחלקיקים של שלושת היסודות צורה של טטרהדרון, אוקטהדרון ואיקוסהדרון, אזי חלקיקי היסוד הרביעי ייחשבו לקוביות או לדודקהדרונים, אך היסוד הרביעי הזה לא יוכל להפוך לשלושת האחרים. , אבל תמיד יישאר עצמו. אפלטון החליט שרק כדור הארץ יכול להיות יסוד כזה ושהחלקיקים הקטנים ביותר מהם מורכב כדור הארץ חייבים להיות קוביות. הטטרהדרון, האוקטהדרון והאיקוסהדרון הושוו לאש, אוויר ומים, בהתאמה.

באשר לפוליהדרון החמישי - הדודקהדרון, הוא נותר ללא עבודה. לגבי זה, אפלטון מגביל את עצמו ב"טימאוס" להערה ש"אלוהים קבע זאת עבור היקום ופנה אליו כאשר צייר וקישט אותו".

נשאלת השאלה: "אילו שיקולים הנחו את אפלטון כאשר ייחס צורת טטרהדרון לחלקיקי אש, צורת קובייה לחלקיקי אדמה וכו'?" כאן הוא לוקח בחשבון את המאפיינים התחושתיים של היסודות המקבילים. אש היא האלמנט הנייד ביותר; יש לה השפעה הרסנית, חודר לתוך גופים אחרים (שריפה או התכה, או אידוי שלהם); כשאנו באים איתו במגע, אנו חווים תחושת כאב, כאילו דקרו אותנו או חתכו אותנו.

אילו חלקיקים יכולים לגרום לכל התכונות והפעולות הללו? ברור, החלקיקים הניידים והקלים ביותר, ויתרה מכך, בעלי קצוות חיתוך וזוויות פירסינג. מבין ארבע הפוליהדרות שניתן לדון בהן, הטטרהדרון הוא המספק ביותר. לכן, אומר אפלטון, הדימוי של פירמידה (כלומר, טטרהדרון) צריך להיות בהתאם להיגיון נכון ועם אמת, העיקרון הראשון וזרע האש, להיפך, כדור הארץ נראה בניסיון שלנו כחסר תנועה וחסר תנועה ביותר. יציב של כל האלמנטים. לכן, לחלקיקים מהם הוא מורכב חייבים להיות הבסיסים היציבים ביותר. מכל ארבעת הגופים, לקובייה יש תכונה זו במידה המרבית. לכן, לא נפר את הסבירות אם נייחס צורה מעוקבת לחלקיקי כדור הארץ. באופן דומה, נתאם חלקיקים בעלי תכונות ביניים עם שני היסודות האחרים. האיקוסהדרון, בהיותו היעיל ביותר, מייצג חלקיק מים, האוקטהדרון - חלקיק אוויר.

הפוליהדרון החמישי - הדודקהדרון - גילם את "כל מה שקיים", סימל את העולם כולו ונחשב החשוב ביותר.

אנו רואים כיצד עיקרון האמת משולב באפלטון עם שימוש בנתונים מהחוויה היומיומית. זה מוזר שאפלטון כמעט ואינו נוגע במניעים אחרים, ספקולטיביים גרידא, (למשל, הקשורים לתורת הפרופורציות), שמילאו תפקיד מכריע בבניית המושג הקוסמולוגי שלו ואשר יכלו להשפיע על כמה היבטים של התיאוריה שלו. של מבנה החומר.

נכון, טימאוס עצמו, מדבר פנימה במקרה הזהכפרופסור שנותן הרצאה על מבנה העולם, הוא, לכל הדעות, נציג של האסכולה הפיתגורית. עם זאת, עדיין לא ברור אם טימאוס היה קיים כ דמות היסטוריתאו שהוא היה דמות פיקטיבית שהומצאה על ידי אפלטון כדי לא להפוך את הגיבור הרגיל שלו, סוקרטס, למחבר התיאוריות הקוסמולוגיות והפיזיקליות, כי זה לא יעלה בקנה אחד עם דמותו של האחרון.

אפלטון ביצע "באופן סביר" את תמונת העולם. זה היה אחד הניסיונות הראשונים להכניס את עצם רעיון הסיסטמטיזציה למדע, שהתברר כפורה מאוד. היא עזרה להפריד תחומי ידע מסוימים מאחרים, תוך יצירת מחקר מדעיממוקד יותר.

גיאומטריה של מוצקים אפלטוניים

שינוי מתאריך 24/06/2013 - (נוסף)

חמשת המוצקים האפלטוניים העיקריים הם: אוקטהדרון, טטרהדרון כוכב, קובייה, דודקהדרון, איקוסהדרון.

כל אחת מהדוגמאות הגיאומטריות, אם גרעין אטום, מיקרוצבירים, סריג גלובלי או מרחקים בין כוכבי לכת, כוכבים, גלקסיות, הוא אחד מחמשת ה"מוצקים האפלטוניים" העיקריים.

מדוע דפוסים דומים מתרחשים לעתים קרובות כל כך בטבע? אחד הרמזים הראשונים: מתמטיקאים ידעו שלצורות אלו יש יותר "סימטריה" מכל גיאומטריה תלת מימדית שנוכל ליצור.

מתוך ספרו של רוברט לוור "גיאומטריה מקודשת"אנו יכולים ללמוד כי ההינדים צמצמו את הגיאומטריות של המוצקים האפלטוניים למבנה האוקטבה שאנו רואים עבור צליל ואור (תווים וצבעים). המתמטיקאי והפילוסוף היווני פיתגורס, באמצעות תהליך של חלוקת תדרים ברציפות בחמישה, פיתח לראשונה שמונה צלילי אוקטבות "טהורים", הידועים כסולם הדיאטוני. הוא לקח "מונוקורד" חד-מיתר ומדד את אורכי הגל המדויקים בעת ניגון תווים שונים. פיתגורס הראה שניתן לייצג את התדירות (או קצב הרטט) של כל צליל כיחס בין שני חלקים של המיתר, או שני מספרים, ומכאן המונח "יחס דיאטוני".

הטבלה שלהלן מפרטת את הגיאומטריות בסדר ספציפי, תוך שהיא מקשרת אותן למספר הסליל fi(). זה נותן תמונה מלאה ושלמה של האופן שבו הרטטים השונים פועלים יחד. זה מבוסס על הקצאת קצוות של קובייה באורך השווה ל" 1 " לאחר מכן נשווה את הקצוות של כל הצורות האחרות לערך זה, בין אם הן גדולות יותר או קטנות יותר. אנו יודעים שבמוצקים האפלטוניים, כל פנים הוא אותה צורה, כל זווית זהה, כל צומת נמצא באותו מרחק מכל צומת אחר, וכל קו הוא באותו אורך.

זה יעזור להבין כיצד, בעזרת תנודות של ספירלת הפי, המוצקים האפלטוניים זורמים בהדרגה זה לתוך זה.

הרב-ממדיות של היקום

עצם המושג של החיבור של גיאומטריות אפלטוניות עם מישורים גבוהים יותר עולה משום שמדענים יודעים: חייבת להיות שם גיאומטריה; הם מצאו את זה במשוואות. כדי לספק "יותר מקום" לצירים נוספים בלתי נראים להופיע בפניות "חבויות" של 90 מעלות, נדרשות גיאומטריות אפלטוניות. בשיטת ניתוח הנתונים, כל פנים של צורה גיאומטרית מייצגת ציר או מישור אחר שבו הוא יכול להסתובב. כאשר אנו מתחילים להסתכל על עבודתם של פולר וג'ני, אנו רואים שהרעיון של מטוסים אחרים הקיימים בפניות "חבויות" של 90° הוא פשוט הסבר שגוי המבוסס על חוסר ידע על הקשרים ה"קדושים" בין גיאומטריה ורטט.

סביר מאוד שמדענים מסורתיים לעולם לא יבינו שייתכן שלתרבויות עתיקות היה "חיבור שפוספס" שמפשט ומאחד הכל באופן משמעותי תיאוריות מודרניותהפיזיקה של החלל. למרות שזה אולי נראה לא ייאמן שלתרבות "פרימיטיבית" הייתה גישה למידע מסוג זה, הראיות ברורות. קראו את ספרו הקלאסי של פראסד, לעת עתה ניתן לראות שלקוסמולוגיה הוודית יש שליטה מדעית.

מה אתה חושב שאתה רואה? - זהו כוכב מתפוצץ עם אבק שנפלט ממנו... אבל ברור שיש כאן איזשהו שדה אנרגיה, המבנה את האבק כשהוא מתרחב לתבנית גיאומטרית מאוד מדויקת:

הבעיה היא כל כך טיפוסית שדה מגנטיבמסורתיות מודלים פיזייםהם פשוט לא מאפשרים דיוק גיאומטרי כזה. מדענים באמת לא יודעים איך להבין דברים כאלה!

התמונה למטה היא הערפילית החדשה, שהיא "ריבוע" מושלם. עם זאת, זו עדיין חשיבה דו מימדית. מהו ריבוע בתלת מימד?
כמובן, קובייה!

נצפתה באור אינפרא אדום, הערפילית דומה לקופסה זוהרת ענקית בשמים עם ליבה פנימית לבנה בוהקת. הכוכב הגוסס MWC 922 שוכן במרכז המערכת ופולט את קרביו לחלל מקטבים מנוגדים. לאחר ש-MWC 922 פלט את רוב החומר שלו לחלל, הוא יקרוס לתוך גוף כוכבי צפוף המכונה ננס לבן, חבוי בענני הפסולת שלו.

אמנם זה אפשרי מרחוק שהפיצוץ של הכוכב נע רק בכיוון אחד, ויוצר יותר צורה של פירמידה, אבל מה שאתה רואה הוא קובייה מושלמת בחלל. מכיוון שכל ארבעת הצדדים של הקוביה זהים באורך והם זוויות מושלמות של 90° זו לזו, ושוב, לקובייה יש את ה"צעדים" המובנים שראינו בתמונה הקודמת, המדענים מבולבלים לחלוטין. לקובייה יש אפילו יותר סימטריה מהערפילית ה"מלבנית"!

דפוסים כאלה לא מופיעים רק במרחב העצום. הם גם מתעוררים ברמה הזעירה ביותר של אטומים ומולקולות, למשל, במבנה הקובי של מלח שולחן רגיל או נתרן כלורי. Pang Tsaya (יפן) צילם קוואזי-גבישים של סגסוגת אלומיניום-נחושת-ברזל בצורת דודקהדרון וסגסוגת אלומיניום-ניקל-קובלט בצורת פריזמה דקגונלית (עשר צדדים) (ראה תמונה). הבעיה היא ש אתה לא יכול ליצור גבישים כמו אלה באמצעות אטומים בודדים הקשורים זה לזה.

דוגמה נוספת היא הקונדנסט של Bose-Instein. בקיצור, קונדנסט של Bose-Instein הוא קבוצה גדולה של אטומים שמתנהגת כמו "חלקיק" בודד שבו כל אטום מרכיב בו זמנית תופס את כל החלל וכל הזמן במבנה כולו. כל האטומים נמדדים כך שהם רוטטים באותה תדר, נעים באותה מהירות וממוקמים באותו אזור בחלל. זה פרדוקסלי, אבל חלקים שונים של המערכת פועלים כמכלול אחד, ומאבדים את כל סימני האינדיבידואליות. זהו בדיוק המאפיין הנדרש עבור "מוליך-על". בדרך כלל, עיבוי Bose-Einstein יכול להיווצר תחת קיצוניות טמפרטורות נמוכות. עם זאת, בדיוק את התהליכים הללו אנו צופים במיקרו-צבירים וקוואזי-גבישים, נטולי זהות אטומית אינדיבידואלית.

תהליך דומה נוסף הוא פעולת אור הלייזר, המכונה אור "קוהרנטי". במרחב ובזמן הכל קרן הלייזר מתנהגת כמו "פוטון" בודדכלומר, אי אפשר להפריד פוטונים בודדים בקרן לייזר.

יתרה מכך, בסוף שנות ה-60, הציע הפיזיקאי האנגלי הרברט פרוהליך כי מערכות חיות מתנהגות לעתים קרובות כמו מעובה של Bose-Instein, רק בקנה מידה גדול.

תמונות ערפיליות מציעות מדהימות ראיות גלויותמה הגיאומטריה משחקת Oתפקיד גדול יותר בכוחות היקום ממה שרוב האנשים עשויים להאמין. המדענים שלנו יכולים רק להיאבק כדי להבין את התופעה הזו במסגרת המודלים המסורתיים הקיימים.