Online kalkulator za smanjenje razlomaka. Pravila za smanjenje razlomaka s primjerima

27.09.2019

Mnogi učenici prave iste greške kada rade sa razlomcima. A sve zato što zaboravljaju osnovna pravila aritmetika. Danas ćemo ponoviti ova pravila na određenim zadacima koje dajem na svojim časovima.

Evo zadatka koji nudim svima koji se spremaju za Jedinstveni državni ispit iz matematike:

Zadatak. Morska pliskavica pojede 150 grama hrane dnevno. Ali ona je odrasla i počela jesti 20% više. Koliko grama hrane sada svinja pojede?

Ne ispravno rješenje. Ovo je problem u procentima koji se svodi na jednadžbu:

Mnogi (veoma mnogi) smanjuju broj 100 u brojniku i nazivniku razlomka:

Ovo je greška koju je moj student napravio upravo na dan pisanja ovog članka. Brojevi koji su skraćeni su označeni crvenom bojom.

Nepotrebno je reći da je odgovor bio pogrešan. Procijenite sami: svinja je pojela 150 grama, ali je počela jesti 3150 grama. Povećanje nije 20%, već 21 puta, tj. do 2000%.

Da biste izbjegli takve nesporazume, zapamtite osnovno pravilo:

Samo se množitelji mogu smanjiti. Termini se ne mogu smanjiti!

Dakle, ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Brojevi koji su skraćeni u brojiocu i nazivniku označeni su crvenom bojom. Kao što vidite, brojilac je proizvod, nazivnik je običan broj. Dakle, smanjenje je potpuno legalno.

Rad sa proporcijama

Još jedna problematična oblast je proporcije. Pogotovo kada je varijabla na obje strane. Na primjer:

Zadatak. Riješite jednačinu:

Pogrešno rješenje - neki ljudi bukvalno žude da sve skrate za m:

Reducirane varijable su prikazane crvenom bojom. Izraz 1/4 = 1/5 ispada potpuna besmislica, ovi brojevi nikada nisu jednaki.

A sada - prava odluka. U suštini to je obično linearna jednačina . Može se riješiti ili pomicanjem svih elemenata na jednu stranu, ili osnovnim svojstvom proporcije:

Mnogi čitaoci će prigovoriti: "Gdje je greška u prvom rješenju?" Pa, hajde da saznamo. Prisjetimo se pravila za rad sa jednadžbama:

Bilo koja jednačina se može podijeliti i pomnožiti s bilo kojim brojem, ne-nula.

Jeste li propustili trik? Možete dijeliti samo brojevima ne-nula. Konkretno, možete podijeliti promjenljivom m samo ako je m != 0. Ali šta ako je, ipak, m = 0? Zamenimo i proverimo:

Dobili smo tačnu brojčanu jednakost, tj. m = 0 je korijen jednadžbe. Za preostali m != 0 dobijamo izraz oblika 1/4 = 1/5, što je prirodno netačno. Dakle, ne postoje korijeni različiti od nule.

Zaključci: sastaviti sve zajedno

Dakle, da biste riješili frakcione racionalne jednadžbe, zapamtite tri pravila:

Samo se množitelji mogu smanjiti. Dodavanje nije moguće. Stoga, naučite da činite brojilac i imenilac;
Glavno svojstvo proporcije: proizvod ekstremnih elemenata jednak je proizvodu srednjih;
Jednačine se mogu množiti i dijeliti samo brojevima k koji nisu nula. Slučaj k = 0 mora se posebno provjeriti.

Zapamtite ova pravila i ne pravite greške.

Online kalkulator radi redukcija algebarskih razlomaka u skladu sa pravilom redukcije razlomaka: zamjena prvobitnog razlomka jednakim razlomkom, ali manjim brojnikom i nazivnikom, tj. Istovremeno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajedničkim faktorom (GCD). Kalkulator također prikazuje detaljno rješenje koje će vam pomoći da shvatite redoslijed smanjenja.

Dato:

Rješenje:

Izvođenje redukcije frakcija

provjera mogućnosti izvođenja algebarske redukcije razlomaka

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka

smanjenje brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cijelog dijela razlomka

razdvajanje cijelog dijela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni

Pomoć za izradu web stranice projekta

Dragi posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili, svakako napišite u komentarima šta trenutno nedostaje na stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kom pravcu se trebamo dalje kretati, a drugi posjetioci će uskoro moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se stranica pokaže korisnom, donirajte je projektu samo 2 ₽ i znaćemo da se krećemo u pravom smeru.

Hvala što ste svratili!

I. Procedura za smanjenje algebarskog razlomka pomoću online kalkulatora:

Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak pomiješan, popunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite cijelo polje za dio praznim.
Za postavljanje negativan razlomak, stavite znak minus na cijeli dio razlomka.
Ovisno o navedenom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći niz radnji:

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka;
smanjenje brojioca i nazivnika razlomka za gcd;
isticanje cijelog dijela razlomka, ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
pretvaranje konačnog algebarskog razlomaka u decimalni razlomak zaokruženo na najbližu stotu.

Smanjenje može rezultirati nepravilnim razlomkom. U ovom slučaju, konačni nepravilni razlomak će imati cijeli dio označen i konačni razlomak će biti pretvoren u pravi razlomak.

II. Za referenciju:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Običan razlomak (prosti razlomak) se piše kao dva broja (brojilac razlomka i imenilac razlomka) odvojena horizontalnom crtom (razlomak) koja označava znak podjele. Brojač razlomka je broj iznad linije razlomka. Brojač pokazuje koliko je dionica uzeto iz cjeline. Imenilac razlomka je broj ispod linije razlomka. Imenilac pokazuje koliko jednaki udjeli cjelina je podijeljena. Prost razlomak je razlomak koji nema cijeli dio. Jednostavan razlomak može biti pravilan ili nepravilan. pravi razlomak - razlomak čiji je brojilac manje od imenioca, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer pravih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravilan razlomak je razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, tako da je nepravilan razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravilnih razlomaka: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak je broj koji sadrži cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbir tog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak se može pretvoriti u nepravilan razlomak. Primjer miješanih frakcija: 1¼, 2½, 4¾.

III. Bilješka:

Blok izvornih podataka je označen žuta , dodijeljen je srednji proračunski blok plava , blok rješenja je označen zelenom bojom.
Za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjima.

U ovom članku ćemo detaljno pogledati kako redukcijske frakcije. Prvo, razgovarajmo o tome što se zove smanjenje razlomka. Nakon ovoga, razgovarajmo o reduciranju razlomka koji se može reducirati na nesvodljivi oblik. Zatim ćemo dobiti pravilo za smanjenje razlomaka i, na kraju, razmotriti primjere primjene ovog pravila.

Navigacija po stranici.

Šta znači smanjiti razlomak?

Znamo da se obični razlomci dijele na svodljive i nesvodljive razlomke. Iz imena možete pretpostaviti da se svodivi razlomci mogu smanjiti, ali nesvodljivi razlomci ne mogu.

Šta znači smanjiti razlomak? Smanjite frakciju- to znači podijeliti njegov brojnik i imenilac sa pozitivnim i različitim od jedinice. Jasno je da se smanjenjem razlomka dobija novi razlomak sa manjim brojinikom i nazivnikom, a zbog osnovne osobine razlomka, rezultujući razlomak je jednak originalnom.

Na primjer, smanjimo običan razlomak 8/24 dijeljenjem brojača i nazivnika sa 2. Drugim riječima, smanjimo razlomak 8/24 za 2. Pošto je 8:2=4 i 24:2=12, ovo smanjenje rezultira u razlomku 4/12, koji je jednak originalnom razlomku 8/24 (vidi jednake i nejednake razlomke). Kao rezultat, imamo .

Redukcija običnih razlomaka u nesvodljivi oblik

Tipično, krajnji cilj redukcije razlomka je da se dobije nesvodljivi razlomak koji je jednak originalnom reducibilnom razlomku. Ovaj cilj se može postići smanjenjem originalnog svodivog razlomka za brojnik i nazivnik. Kao rezultat takve redukcije uvijek se dobije nesvodljivi razlomak. Zaista, djelić je nesvodiva, pošto je poznato da I - . Ovdje ćemo reći da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka najveći broj, kojim se ovaj razlomak može smanjiti.

dakle, svođenje običnog razlomka u nesvodljivi oblik sastoji se od dijeljenja brojnika i nazivnika originalnog svodivog razlomka njihovim gcd.

Pogledajmo primjer za koji se vraćamo na razlomak 8/24 i smanjujemo ga za najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, koji je jednak 8. Pošto je 8:8=1 i 24:8=3, dolazimo do nesvodljivog razlomka 1/3. Dakle, .

Imajte na umu da izraz "smanjiti razlomak" često znači svođenje originalnog razlomka na njegov nesvodljivi oblik. Drugim riječima, smanjenje razlomka se vrlo često odnosi na dijeljenje brojnika i nazivnika njihovim najvećim zajedničkim faktorom (a ne bilo kojim zajedničkim faktorom).

Kako smanjiti razlomak? Pravila i primjeri smanjenja razlomaka

Ostaje samo pogledati pravilo za smanjenje razlomaka, koje objašnjava kako smanjiti dati razlomak.

Pravilo za smanjenje razlomaka sastoji se od dva koraka:

prvo se pronalazi gcd brojnika i nazivnika razlomka;
drugo, brojilac i nazivnik razlomka se dijele sa svojim gcd, što daje nesvodljivi razlomak jednak originalnom.

Hajde da to sredimo primjer smanjenja razlomka prema navedenom pravilu.

Primjer.

Smanjite razlomak 182/195.

Rješenje.

Izvršimo oba koraka propisana pravilom za smanjenje razlomka.

Prvo nalazimo GCD(182, 195) . Najpogodnije je koristiti Euklid algoritam (vidi): 195=182·1+13, 182=13·14, odnosno GCD(182, 195)=13.

Sada podijelimo brojilac i imenilac razlomka 182/195 sa 13 i dobijemo nesvodljivi razlomak 14/15, koji je jednak originalnom razlomku. Time se završava redukcija razlomka.

Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: .

odgovor:

Ovdje možemo završiti sa smanjenjem razlomaka. Ali da bismo upotpunili sliku, pogledajmo još dva načina za smanjenje razlomaka, koji se obično koriste u lakim slučajevima.

Ponekad brojnik i nazivnik razlomka koji se smanjuje nije teško. Smanjenje razlomka u ovom slučaju je vrlo jednostavno: samo trebate ukloniti sve uobičajene faktore iz brojnika i nazivnika.

Vrijedi napomenuti da ova metoda direktno slijedi iz pravila redukcije razlomaka, budući da je proizvod svih zajedničkih prostih faktora brojnika i nazivnika jednak njihovom najvećem zajedničkom djelitelju.

Pogledajmo rješenje primjera.

Primjer.

Smanjite razlomak 360/2 940.

Rješenje.

Razložimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce: 360=2·2·2·3·3·5 i 2,940=2·2·3·5·7·7. dakle, .

Sada se rješavamo zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku; radi praktičnosti, jednostavno ih precrtavamo: .

Konačno, množimo preostale faktore: , i smanjenje razlomka je završeno.

Evo kratkog sažetka rješenja: .

odgovor:

Razmotrimo još jedan način smanjenja razlomka, koji se sastoji od sekvencijalne redukcije. Ovdje se na svakom koraku razlomak smanjuje za neki zajednički djelitelj brojnika i nazivnika, koji je ili očigledan ili se lako određuje korištenjem

Na prvi pogled algebarski razlomci izgledaju vrlo složeni, a nespreman učenik može pomisliti da se s njima ništa ne može učiniti. Akumulacija varijabli, brojeva, pa čak i stupnjeva izaziva strah. Međutim, ista pravila se koriste za smanjenje običnih razlomaka (kao što je 15/25) i algebarskih razlomaka.

Koraci

Reducing Fractions

Pogledajte aktivnosti sa prosti razlomci. Operacije s običnim i algebarskim razlomcima su slične. Na primjer, uzmimo razlomak 15/35. Da biste pojednostavili ovaj razlomak, trebali biste pronađite zajednički djelitelj. Oba broja su djeljiva sa pet, tako da možemo izolirati 5 u brojniku i nazivniku:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Sada možeš smanjiti uobičajene faktore, odnosno precrtajte 5 u brojniku i nazivniku. Kao rezultat, dobijamo pojednostavljeni razlomak 3/7 . IN algebarski izrazi zajednički faktori se raspoređuju na isti način kao i kod običnih. U prethodnom primjeru mogli smo lako izolirati 5 od 15 - isti princip vrijedi i za složenije izraze kao što je 15x – 5. Nađimo zajednički faktor. IN u ovom slučaju ovo će biti 5, pošto su oba člana (15x i -5) djeljiva sa 5. Kao i prije, izolirajte zajednički faktor i premjestite ga lijevo.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Da biste provjerili je li sve ispravno, samo pomnožite izraz u zagradama sa 5 - rezultat će biti isti brojevi kao na početku. Složeni članovi se mogu izolovati na isti način kao i jednostavni. Za algebarske razlomke vrijede isti principi kao i za obične. Ovo je najlakši način da smanjite razlomak. Uzmite u obzir sljedeći razlomak:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Imajte na umu da i brojnik (gore) i nazivnik (dole) sadrže član (x+2), tako da se može smanjiti na isti način kao i zajednički faktor 5 u razlomku 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Kao rezultat, dobijamo pojednostavljeni izraz: (x-3)/(x+10)

Smanjenje algebarskih razlomaka

Pronađite zajednički faktor u brojiocu, odnosno na vrhu razlomka. Kada redukujete algebarski razlomak, prvi korak je pojednostaviti obje strane. Počnite s brojicom i pokušajte ga rastaviti na što više veći broj množitelji. Razmotrimo u ovom odjeljku sljedeći razlomak:

9x-3 15x+6

Počnimo od brojilaca: 9x – 3. Za 9x i -3, zajednički faktor je broj 3. Uzmimo 3 iz zagrada, kao što se radi sa običnim brojevima: 3 * (3x-1). Rezultat ove transformacije je sljedeći razlomak:

3(3x-1) 15x+6

Pronađite zajednički faktor u brojiocu. Nastavimo s gornjim primjerom i zapišimo imenilac: 15x+6. Kao i ranije, pronađimo kojim su brojem djeljiva oba dijela. U ovom slučaju zajednički faktor je 3, tako da možemo napisati: 3 * (5x +2). Prepišimo razlomak u sljedećem obliku:

3(3x-1) 3(5x+2)

Skratite iste termine. U ovom koraku možete pojednostaviti razlomak. Poništite iste članove u brojniku i nazivniku. U našem primjeru, ovaj broj je 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Odredite da razlomak ima najjednostavniji oblik. Razlomak je potpuno pojednostavljen kada nema zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku. Imajte na umu da ne možete poništiti one pojmove koji se nalaze unutar zagrada - u datom primjeru ne postoji način da se izoluje x od 3x i 5x, jer punopravni članovi su (3x -1) i (5x + 2). Dakle, razlomak se ne može dalje pojednostavljivati, a konačni odgovor je sljedeći:

(3x-1)(5x+2)

Vježbajte samostalno smanjivanje razlomaka. Najbolji način Ovladati metodom znači samostalno rješavati probleme. Ispod primjera su dati tačni odgovori.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

odgovor:(x=13)

2x 2 -x 5x

odgovor:(2x-1)/5

Posebni pokreti

Izvadi ga negativan predznak izvan razlomka. Pretpostavimo da vam je dat sljedeći razlomak:

3(x-4) 5(4-x)

Imajte na umu da su (x-4) i (4-x) “gotovo” identični, ali se ne mogu odmah smanjiti jer su “obrnuti”. Međutim, (x - 4) se može napisati kao -1 * (4 - x), kao što (4 + 2x) može biti zapisano kao 2 * (2 + x). To se zove "preokret znaka".

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Sada možete smanjiti identične pojmove (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Dakle, dobijamo konačan odgovor: -3/5 . Naučite prepoznati razliku između kvadrata. Razlika kvadrata je kada se kvadrat jednog broja oduzme od kvadrata drugog broja, kao u izrazu (a 2 - b 2). Razlika savršenih kvadrata se uvijek može rastaviti na dva dijela - zbir i razliku odgovarajućih kvadratni korijeni. Tada će izraz dobiti sljedeći oblik:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ova tehnika je vrlo korisna kada se pronalaze uobičajeni pojmovi u algebarskim razlomcima.

Provjerite jeste li ispravno razložili ovaj ili onaj izraz. Da biste to učinili, pomnožite faktore - rezultat bi trebao biti isti izraz.
Da biste potpuno pojednostavili razlomak, uvijek izolirajte najveće faktore.

Ovaj članak nastavlja temu pretvaranja algebarskih razlomaka: razmotrite takvu akciju kao smanjenje algebarskih razlomaka. Definirajmo sam pojam, formulirajmo pravilo redukcije i analizirajmo praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Značenje redukcije algebarskog razlomka

U materijalima o običnim razlomcima, pogledali smo njegovu redukciju. Smanjenje razlomka definirali smo kao dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom.

Smanjenje algebarskog razlomka je slična operacija.

Definicija 1

Smanjenje algebarskog razlomka je dijeljenje brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom. U ovom slučaju, za razliku od redukcije običnog razlomka (zajednički nazivnik može biti samo broj), zajednički faktor brojnika i nazivnika algebarskog razlomka može biti polinom, posebno monom ili broj.

npr. algebarski razlomak 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 može se smanjiti za broj 3, što rezultira: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Isti razlomak možemo smanjiti promjenljivom x, a to će nam dati izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Također je moguće reducirati dati razlomak monomom 3 x ili bilo koji od polinoma x + 2 g, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ili 3 x 2 + 6 x y.

Krajnji cilj smanjenja algebarskog razlomka je razlomak veći od jednostavnog tipa, V najboljem scenariju– nesmanjivi razlomak.

Jesu li svi algebarski razlomci podložni redukciji?

Opet, iz materijala na običnim frakcijama znamo da postoje reducibilne i nesvodljive frakcije. Nesvodljivi razlomci su razlomci koji nemaju zajedničke faktore u brojniku i nazivniku osim 1.

Isto je i s algebarskim razlomcima: oni mogu imati zajedničke faktore u brojniku i nazivniku, a možda i ne. Prisutnost zajedničkih faktora omogućava vam da pojednostavite originalni razlomak smanjenjem. Kada ne postoje zajednički faktori, nemoguće je optimizirati dati razlomak pomoću metode redukcije.

U opštim slučajevima, prema dati tip Za dio je prilično teško razumjeti da li se može smanjiti. Naravno, u nekim slučajevima je očigledno prisustvo zajedničkog faktora između brojnika i nazivnika. Na primjer, u algebarskom razlomku 3 x 2 3 y sasvim je jasno da je zajednički faktor broj 3.

U razlomku - x · y 5 · x · y · z 3 također odmah razumijemo da se može smanjiti za x, ili y, ili x · y. Pa ipak, mnogo češće postoje primjeri algebarskih razlomaka, kada zajednički faktor brojnika i nazivnika nije tako lako vidjeti, a još češće jednostavno izostaje.

Na primjer, možemo smanjiti razlomak x 3 - 1 x 2 - 1 za x - 1, dok navedeni zajednički faktor nije prisutan u unosu. Ali razlomak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ne može se smanjiti, jer brojnik i imenilac nemaju zajednički faktor.

Dakle, pitanje određivanja reducibilnosti algebarskog razlomka nije tako jednostavno i često je lakše raditi s razlomkom datog oblika nego pokušati saznati da li je on svodiv. U ovom slučaju se dešavaju takve transformacije koje u pojedinim slučajevima omogućavaju određivanje zajedničkog faktora brojnika i nazivnika ili izvođenje zaključka o nesvodljivosti razlomka. Ovo pitanje ćemo detaljno ispitati u sljedećem paragrafu članka.

Pravilo za redukciju algebarskih razlomaka

Pravilo za redukciju algebarskih razlomaka sastoji se od dvije uzastopne akcije:

pronalaženje zajedničkih činilaca brojnika i nazivnika;
ako se nađe, akcija smanjenja razlomka se provodi direktno.

Najprikladniji metod za pronalaženje zajedničkih imenilaca je faktoring polinoma prisutnih u brojniku i nazivniku datog algebarskog razlomka. Ovo vam omogućava da odmah jasno vidite prisustvo ili odsustvo uobičajenih faktora.

Sama radnja redukcije algebarskog razlomka zasniva se na glavnom svojstvu algebarskog razlomka, izraženom nedefiniranom jednakošću, gdje su a, b, c neki polinomi, a b i c nisu nula. Prvi korak je da razlomak svedemo na oblik a · c b · c, u kojem odmah uočavamo zajednički faktor c. Drugi korak je izvođenje redukcije, tj. prijelaz na razlomak oblika a b .

Tipični primjeri

Uprkos izvesnoj očiglednosti, razjasnimo o tome poseban slučaj kada su brojnik i nazivnik algebarskog razlomka jednaki. Slični razlomci su identično jednaki 1 na cijelom ODZ-u varijabli ovog razlomka:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Zbog obični razlomci su poseban slučaj algebarskih razlomaka, prisjetimo se kako se vrši njihova redukcija. Prirodni brojevi upisani u brojiocu i nazivniku se rastavljaju u proste faktore, a zatim se zajednički činioci poništavaju (ako ih ima).

Na primjer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Proizvod jednostavnih identičnih faktora može se zapisati kao stepen, a u procesu redukcije razlomka koristiti svojstvo dijeljenja potencija sa identičnim bazama. Tada bi gornje rješenje bilo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(brojnik i imenilac podijeljeni zajedničkim faktorom 2 2 3). Ili radi jasnoće, na osnovu svojstava množenja i dijeljenja, dajemo rješenju sljedeći oblik:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogno se provodi redukcija algebarskih razlomaka, u kojima brojnik i nazivnik imaju monome sa cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer 1

Dat je algebarski razlomak - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Treba ga smanjiti.

Rješenje

Moguće je zapisati brojilac i imenilac datog razlomka kao proizvod jednostavnih faktora i varijabli, a zatim izvršiti redukciju:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Međutim, racionalniji način bi bio da se rješenje zapiše kao izraz sa ovlaštenjima:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kada brojnik i nazivnik algebarskog razlomka sadrže razlomke numeričke koeficijente, postoje dva moguća načina daljeg djelovanja: ili podijeliti te razlomke koeficijente odvojeno, ili se prvo riješiti razlomaka množenjem brojnika i nazivnika nekim prirodnim brojem. Posljednja transformacija se provodi zbog osnovnog svojstva algebarskog razlomka (o tome možete pročitati u članku “Svođenje algebarskog razlomka na novi nazivnik”).

Primjer 2

Dati razlomak je 2 5 x 0, 3 x 3. Treba ga smanjiti.

Rješenje

Razlomak je moguće smanjiti na sljedeći način:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pokušajmo riješiti problem drugačije, nakon što smo se prvo riješili razlomaka koeficijenata - pomnožimo brojilac i imenilac najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika ovih koeficijenata, tj. na LCM (5, 10) = 10. Tada dobijamo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kada redukujemo algebarske razlomke opšti pogled, u kojem brojnici i imenioci mogu biti ili monomi ili polinomi, može postojati problem kada zajednički faktor nije uvijek odmah vidljiv. Ili štaviše, jednostavno ne postoji. Zatim, da bi se odredio zajednički faktor ili zabilježila činjenica njegovog odsustva, brojilac i imenilac algebarskog razlomka se faktorišu.

Primjer 3

Dat je racionalni razlomak 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Treba ga smanjiti.

Rješenje

Razložimo polinome u brojnik i nazivnik. Stavimo to van zagrada:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidimo da se izraz u zagradama može pretvoriti korištenjem skraćenih formula za množenje:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jasno se vidi da je moguće smanjiti razlomak zajedničkim faktorom b 2 (a + 7). Napravimo smanjenje:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Napišimo kratko rješenje bez objašnjenja kao lanac jednakosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Dešava se da su uobičajeni faktori skriveni numeričkim koeficijentima. Tada je pri redukciji razlomaka optimalno staviti brojčane faktore na veće potencije brojnika i nazivnika izvan zagrada.

Primjer 4

Dat je algebarski razlomak 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Potrebno ga je smanjiti ako je moguće.

Rješenje

Na prvi pogled, brojilac i imenilac ne postoje zajednički imenilac. Međutim, pokušajmo pretvoriti dati razlomak. Izvadimo faktor x u brojiocu:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sada možete vidjeti neku sličnost između izraza u zagradama i izraza u nazivniku zbog x 2 y . Izvadimo numeričke koeficijente viših potencija ovih polinoma:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sada zajednički faktor postaje vidljiv, provodimo redukciju:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Naglasimo da vještina redukcije racionalnih razlomaka ovisi o sposobnosti faktoriranja polinoma.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Slični članci: