تباين متغير عشوائي. التوقع والتباين للمتغير العشوائي

إلى جانب دراسة تباين الخاصية في جميع أنحاء المجتمع ككل، غالبًا ما يكون من الضروري تتبع التغيرات الكمية في الخاصية عبر المجموعات التي ينقسم إليها السكان، وكذلك بين المجموعات. يتم تحقيق دراسة التباين هذه من خلال الحساب والتحليل أنواع مختلفةالفروق.
هناك تباينات إجمالية وداخلية وداخلية.
إجمالي التباين σ 2يقيس تباين السمة في جميع أنحاء المجتمع تحت تأثير جميع العوامل التي تسببت في هذا التباين.

يميز التباين بين المجموعات (δ) التباين المنهجي، أي. الاختلافات في قيمة السمة المدروسة والتي تنشأ تحت تأثير السمة العاملة التي تشكل أساس المجموعة. ويتم حسابها باستخدام الصيغة:
.

التباين داخل المجموعة (σ)يعكس الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الذي يحدث تحت تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. يتم حسابه بواسطة الصيغة:
.

متوسط ​​الفروق داخل المجموعة: .

هناك قانون يربط بين 3 أنواع من التشتت. إجمالي التباين يساوي مجموع متوسط ​​التباين داخل المجموعة وبين المجموعة: .
وتسمى هذه النسبة قواعد لإضافة الفروق.

من المؤشرات المستخدمة على نطاق واسع في التحليل نسبة التباين بين المجموعات في التباين الإجمالي. تسمى معامل التحديد التجريبي (η 2): .
يسمى الجذر التربيعي لمعامل التحديد التجريبي نسبة الارتباط التجريبية (η):
.
وهو يصف تأثير الخاصية التي تشكل أساس المجموعة على تباين الخاصية الناتجة. تتراوح نسبة الارتباط التجريبية من 0 إلى 1.
دعونا نظهر ذلك الاستخدام العمليباستخدام المثال التالي (الجدول 1).

المثال رقم 1. الجدول 1 - إنتاجية العمل لمجموعتين من العمال في إحدى ورش العمل التابعة لشركة NPO "Cyclone"

لنحسب المتوسطات والتباينات الكلية والمجموعة:

يتم عرض البيانات الأولية لحساب متوسط ​​التباين داخل المجموعة وبين المجموعات في الجدول. 2.
الجدول 2
حساب وδ 2 لمجموعتين من العمال.

المجموعات العمالية	عدد العمال، الناس	متوسط، أطفال/وردية	تشتت
الانتهاء من التدريب الفني	5	95	42,0
أولئك الذين لم يكملوا التدريب الفني	5	81	231,2
جميع العمال	10	88	185,6

دعونا نحسب المؤشرات. متوسط ​​الفروق داخل المجموعة:
.
التباين بين المجموعات

التباين الكلي:
وبالتالي فإن نسبة الارتباط التجريبية: .

جنبا إلى جنب مع الاختلاف في الخصائص الكمية، يمكن أيضا ملاحظة الاختلاف في الخصائص النوعية. يتم تحقيق دراسة التباين هذه عن طريق حساب أنواع التباينات التالية:

يتم تحديد تشتت المشاركة داخل المجموعة بواسطة الصيغة

أين ن ط- عدد الوحدات في مجموعات منفصلة.
حصة الخاصية المدروسة في جميع السكان والتي تحددها الصيغة:
وترتبط أنواع التباين الثلاثة ببعضها البعض على النحو التالي:
.

تسمى علاقة التباين هذه بنظرية إضافة تباينات حصة السمة.

نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من الرياضيات يدرسه فقط طلاب مؤسسات التعليم العالي. هل تحب الحسابات والصيغ؟ أنت لست خائفًا من احتمالات التعرف على التوزيع الطبيعي والإنتروبيا المجمعة والتوقعات الرياضية والتشتت المنفصل متغير عشوائي؟ ثم سيكون هذا الموضوع مثيرًا للاهتمام بالنسبة لك. دعونا نتعرف على العديد من أهم المفاهيم الأساسية لهذا الفرع من العلوم.

دعونا نتذكر الأساسيات

حتى لو كنت تتذكر أكثر مفاهيم بسيطةنظرية الاحتمالية، لا تهمل الفقرات الأولى من المقال. النقطة المهمة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات، لن تتمكن من العمل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.

لذلك، تحدث بعض الأحداث العشوائية، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي نتخذها، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها يحدث في كثير من الأحيان، والبعض الآخر أقل في كثير من الأحيان. احتمال وقوع حدث ما هو نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى الرقم الإجماليممكن. فقط معرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي وتشتت المتغيرات العشوائية المستمرة.

متوسط

عندما كنت في المدرسة، أثناء دروس الرياضيات، بدأت العمل بالوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا هو هذه اللحظةهو أننا سنواجهه في صيغ التوقع الرياضي وتشتت المتغير العشوائي.

لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد الوسط الحسابي لها. كل ما هو مطلوب منا هو تلخيص كل ما هو متاح وتقسيمه على عدد العناصر في التسلسل. لنحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.

تشتت

من الناحية العلمية، التشتت هو متوسط ​​مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها للخاصية من الوسط الحسابي. يُشار إليه بحرف لاتيني كبير D. ما هو المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر المتتابعة، نحسب الفرق بين الرقم الموجود والوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك بالضبط العديد من القيم التي يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي نفكر فيه. بعد ذلك، نلخص كل ما تم الحصول عليه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة، نقسم على خمسة.

يحتوي التشتت أيضًا على خصائص يجب تذكرها لاستخدامها عند حل المشكلات. على سبيل المثال، عند زيادة متغير عشوائي بمقدار X مرة، فإن التباين يزيد بمقدار X مربع مرة (أي X*X). لم يحدث ذلك أبدا أقل من الصفرولا يعتمد على إزاحة القيم بقيمة متساوية لأعلى أو لأسفل. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للتجارب المستقلة، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع التباينات.

الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة على تباين المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي.

لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. وقد لاحظنا كل واحد منهم 1، 2، 2، 3، 4، 4 و5 مرات على التوالي. ماذا سيكون التباين؟

أولاً، دعونا نحسب الوسط الحسابي: مجموع العناصر، بالطبع، هو 21. اقسمه على 7، لتحصل على 3. الآن اطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي، وقم بتربيع كل قيمة، ثم أضف النتائج معًا. والنتيجة هي 12. والآن كل ما علينا فعله هو قسمة العدد على عدد العناصر، ويبدو أن هذا كل شيء. ولكن هناك صيد! دعونا نناقش ذلك.

الاعتماد على عدد التجارب

اتضح أنه عند حساب التباين، يمكن أن يحتوي المقام على أحد الرقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو نفس الشيء في الأساس). على ماذا يعتمد هذا؟

إذا كان عدد الاختبارات مقيسًا بالمئات، فيجب أن نضع N في المقام، وإذا كان بالوحدات، فـ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمر عبر الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة، فسنقسم المبلغ على N-1، وإذا كان أكثر، ثم على N.

مهمة

لنعد إلى مثالنا لحل مشكلة التباين والتوقع الرياضي. لقد حصلنا على الرقم الوسيط 12، والذي يجب قسمته على N أو N-1. وبما أننا أجرينا 21 تجربة، أي أقل من 30، فسنختار الخيار الثاني. فالجواب هو: التباين هو 12 / 2 = 2.

القيمة المتوقعة

دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني الذي يجب أن نتناوله في هذا المقال. التوقع الرياضي هو نتيجة جمع كل النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة لها. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها، وكذلك نتيجة حساب التباين، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها، بغض النظر عن عدد النتائج التي يتم أخذها في الاعتبار فيها.

إن صيغة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نحن نأخذ النتيجة، ونضربها في احتمالها، ونضيف نفس الشيء للنتيجة الثانية والثالثة، وما إلى ذلك. ليس من الصعب حساب كل ما يتعلق بهذا المفهوم. على سبيل المثال، مجموع القيم المتوقعة يساوي القيمة المتوقعة للمجموع. وينطبق الشيء نفسه على العمل. هذه عمليات بسيطةليست كل كمية في نظرية الاحتمالات تسمح لك بالقيام بذلك. لنأخذ المشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك، لقد تشتت انتباهنا بالنظرية - فقد حان وقت الممارسة.

مثال آخر

أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب مئوية مختلفة. وهي على التوالي: 2%، 10%، 4%، 14%، 2%، 18%، 6%، 16%، 10%، 18%. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات، تحتاج إلى تقسيم قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا نحصل على 0.02؛ 0.1 الخ دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.

نحسب الوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.

والآن دعونا نحول الاحتمالات إلى عدد النتائج "بالأجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9. من كل قيمة تم الحصول عليها، نطرح الوسط الحسابي، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1 - 5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة للقيم الأخرى، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فبعد جمعهم جميعًا، ستحصل على 90.

لنواصل حساب التباين والقيمة المتوقعة بقسمة 90 على N. لماذا نختار N بدلاً من N-1؟ صحيح، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30. إذن: 90/10 = 9. لقد حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف، فلا تيأس. على الأرجح، لقد ارتكبت خطأً بسيطًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته، ومن المحتمل أن يكون كل شيء في مكانه الصحيح.

وأخيرا، تذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نقوم بإجراء جميع الحسابات، سنكتب فقط إجابة يمكنك التحقق منها بعد استكمال جميع الإجراءات المطلوبة. وستكون القيمة المتوقعة 5.48. دعونا فقط نتذكر كيفية تنفيذ العمليات، باستخدام العناصر الأولى كمثال: 0*0.02 + 1*0.1... وهكذا. كما ترون، نحن ببساطة نضرب قيمة النتيجة باحتمالها.

انحراف

هناك مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتشتت والتوقع الرياضي وهو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالأحرف اللاتينية sd، أو بالحرف اليوناني الصغير "sigma". هذا المفهوميُظهر مدى انحراف القيم في المتوسط ​​عن الميزة المركزية. للعثور على قيمتها، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعيمن التشتت.

إذا قمت برسم رسم بياني للتوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرة، فيمكن القيام بذلك على عدة مراحل. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية)، وارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. حجم الجزء الموجود بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج عليه المحور الافقيوسوف تمثل الانحراف المعياري.

برمجة

كما يتبين من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. وحتى لا نضيع الوقت فمن المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في التعليم العالي المؤسسات التعليمية- ويسمى "ر". يحتوي على وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاء ونظرية الاحتمالات.

على سبيل المثال، يمكنك تحديد متجه للقيم. ويتم ذلك على النحو التالي: ناقلات<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

أخيراً

التشتت والتوقع الرياضي هما من العناصر التي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات، يتم مناقشتها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ثم يحصلون لاحقًا على درجات سيئة في نهاية الجلسة، مما يحرمهم من المنح الدراسية.

تدرب لمدة أسبوع على الأقل، نصف ساعة يوميًا، على حل المهام المشابهة لتلك المقدمة في هذه المقالة. بعد ذلك، في أي اختبار في نظرية الاحتمالات، ستكون قادرًا على التعامل مع الأمثلة دون نصائح وأوراق غش غريبة.

المؤشرات العامة الرئيسية للتباين في الإحصائيات هي التشتت والانحرافات المعيارية.

تشتت هذا المتوسط ​​الحسابي الانحرافات التربيعية لكل قيمة مميزة عن المتوسط ​​العام. ويسمى التباين عادة بمتوسط ​​مربع الانحرافات ويرمز له بالرمز  2. اعتماداً على البيانات المصدرية، يمكن حساب التباين باستخدام الوسط الحسابي البسيط أو المرجح:

 التباين غير المرجح (البسيط)؛

 التباين المرجح.

الانحراف المعياري هذه خاصية عامة للأحجام المطلقة الاختلافات علامات في المجموع. ويتم التعبير عنها بنفس وحدات القياس مثل السمة (بالأمتار، الأطنان، النسبة المئوية، الهكتار، وما إلى ذلك).

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين ويرمز له بالرمز :

 الانحراف المعياري غير المرجح؛

 الانحراف المعياري المرجح.

الانحراف المعياري هو مقياس لموثوقية المتوسط. كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كلما كان المتوسط ​​الحسابي يعكس إجمالي السكان الممثلين بشكل أفضل.

حساب الانحراف المعياري يسبقه حساب التباين.

يكون الإجراء الخاص بحساب التباين الموزون كما يلي:

1) تحديد الوسط الحسابي المرجح:

2) حساب انحرافات الخيارات عن المتوسط:

3) قم بتربيع انحراف كل خيار عن المتوسط:

4) اضرب مربعات الانحرافات بالأوزان (التكرارات):

5) تلخيص المنتجات الناتجة:

6) يتم تقسيم المبلغ الناتج على مجموع الأوزان:

مثال 2.1

دعونا نحسب الوسط الحسابي المرجح:

يتم عرض قيم الانحرافات عن الوسط ومربعاتها في الجدول. دعونا نحدد التباين:

الانحراف المعياري سيكون مساوياً لـ:

إذا تم تقديم البيانات المصدر في شكل فاصل زمني سلسلة التوزيع ، فأنت بحاجة أولاً إلى تحديد القيمة المنفصلة للسمة، ثم تطبيق الطريقة الموضحة.

مثال 2.2

دعونا نعرض حساب التباين لسلسلة فاصلة باستخدام بيانات حول توزيع المساحة المزروعة في المزرعة الجماعية حسب إنتاجية القمح.

الوسط الحسابي هو:

دعونا نحسب التباين:

6.3. حساب التباين باستخدام صيغة تعتمد على البيانات الفردية

تقنية الحساب الفروق معقدة، ومع وجود قيم كبيرة من الخيارات والترددات يمكن أن تكون مرهقة. يمكن تبسيط الحسابات باستخدام خصائص التشتت.

التشتت لديه الخصائص التالية.

1. إن تقليل أو زيادة الأوزان (الترددات) ذات الخاصية المتغيرة بعدد معين من المرات لا يغير من التشتت.

2. إنقاص أو زيادة كل قيمة للخاصية بنفس المقدار الثابت ألا يغير التشتت.

3. إنقاص أو زيادة كل قيمة للصفة بعدد معين من المرات كعلى التوالي يقلل أو يزيد التباين في ك 2 مرات الانحراف المعياري  في كمرة واحدة.

4. يكون تشتت الخاصية بالنسبة إلى القيمة التعسفية دائمًا أكبر من التشتت بالنسبة إلى المتوسط ​​الحسابي لكل مربع للفرق بين القيم المتوسطة والقيم التعسفية:

لو أ= 0 فنصل إلى المساواة التالية:

أي أن تباين الخاصية يساوي الفرق بين مربع متوسط ​​قيم الخصائص ومربع الوسط.

يمكن استخدام كل خاصية بشكل مستقل أو بالاشتراك مع خصائص أخرى عند حساب التباين.

إجراء حساب التباين بسيط:

1) تحديد المتوسط ​​الحسابي :

2) تربيع الوسط الحسابي :

3) مربع انحراف كل متغير من السلسلة:

X أنا 2 .

4) أوجد مجموع مربعات الخيارات:

5) اقسم مجموع مربعات الخيارات على عددها، أي حدد المربع المتوسط:

6) حدد الفرق بين مربع متوسط ​​الخاصية ومربع المتوسط:

مثال 3.1تتوفر البيانات التالية عن إنتاجية العمال:

لنقم بالحسابات التالية:

تصف هذه الصفحة مثالًا قياسيًا لإيجاد التباين، ويمكنك أيضًا الاطلاع على المشكلات الأخرى للعثور عليه

مثال 1. تحديد المجموعة ومتوسط ​​المجموعة والتباين الكلي والمجموع

مثال 2. إيجاد التباين ومعامل التباين في جدول التجميع

مثال 3. إيجاد التباين في سلسلة منفصلة

مثال 4. البيانات التالية متاحة لمجموعة مكونة من 20 طالبًا بالمراسلة. من الضروري بناء سلسلة فاصلة لتوزيع الخاصية وحساب متوسط ​​قيمة الخاصية ودراسة تشتتها

دعونا نبني تجميع الفاصل الزمني. دعونا نحدد نطاق الفاصل الزمني باستخدام الصيغة:

حيث X max هي القيمة القصوى لخاصية التجميع؛
X دقيقة - الحد الأدنى لقيمة خاصية التجميع؛
ن – عدد الفواصل الزمنية:

نحن نقبل ن = 5. الخطوة هي: ح = (192 - 159)/ 5 = 6.6

لنقم بإنشاء تجميع بفواصل زمنية

لمزيد من الحسابات، سنقوم ببناء جدول مساعد:

X"i – منتصف الفاصل الزمني. (على سبيل المثال، منتصف الفاصل الزمني 159 – 165.6 = 162.3)

نحدد متوسط ​​طول الطلاب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

دعونا نحدد التباين باستخدام الصيغة:

يمكن تحويل الصيغة على النحو التالي:

من هذه الصيغة يتبع ذلك التباين يساوي الفرق بين متوسط ​​مربعات الخيارات والمربع والمتوسط.

التشتت في سلسلة الاختلافمع فترات متساوية باستخدام طريقة اللحظات يمكن حسابها بالطريقة التالية باستخدام خاصية التشتت الثانية (تقسيم جميع الخيارات على قيمة الفاصل الزمني). تحديد التباين، يتم حسابها باستخدام طريقة اللحظات، باستخدام الصيغة التالية أقل شاقة:

حيث i هي قيمة الفاصل الزمني؛
A هو صفر تقليدي، وهو مناسب لاستخدام منتصف الفاصل الزمني بأعلى تردد؛
m1 هو مربع لحظة الترتيب الأول؛
م2 - لحظة الدرجة الثانية

تباين السمات البديلة (إذا كانت هناك تغيرات مميزة في مجتمع إحصائي بحيث لا يوجد سوى خيارين متبادلين فقط، فإن هذا التباين يسمى البديل) يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

بالتعويض q = 1- p في صيغة التشتت هذه نحصل على:

أنواع التباين

التباين الكلييقيس تباين الخاصية بين جميع السكان ككل تحت تأثير جميع العوامل التي تسبب هذا التباين. وهو يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للخاصية x عن القيمة المتوسطة الإجمالية لـ x ويمكن تعريفه على أنه تباين بسيط أو تباين مرجح.

التباين داخل المجموعة يميز الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الناتج عن تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. مثل هذا التشتت يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للسمة داخل المجموعة X عن الوسط الحسابي للمجموعة ويمكن حسابه على أنه تشتت بسيط أو تشتت مرجح.

هكذا، مقاييس التباين داخل المجموعةتباين السمة داخل المجموعة ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

حيث xi هو متوسط ​​المجموعة؛
ni هو عدد الوحدات في المجموعة.

على سبيل المثال، تظهر التباينات داخل المجموعة التي يجب تحديدها في مهمة دراسة تأثير مؤهلات العمال على مستوى إنتاجية العمل في ورشة العمل اختلافات في الإنتاج في كل مجموعة ناجمة عن جميع العوامل المحتملة (الحالة الفنية للمعدات، وتوافر المعدات). الأدوات والمواد، عمر العمال، كثافة اليد العاملة، وما إلى ذلك.)، باستثناء الاختلافات في فئة المؤهلات (داخل المجموعة، جميع العمال لديهم نفس المؤهلات).

التشتت في الإحصاءتم العثور عليه كقيم فردية للخاصية المربعة من . اعتمادا على البيانات الأولية، يتم تحديده باستخدام صيغ التباين البسيطة والمرجحة:

1. (للبيانات غير المجمعة) يتم حسابها باستخدام الصيغة:

2. التباين المرجح (لسلسلة التباين):

حيث n هو التردد (تكرار العامل X)

مثال على إيجاد التباين

تصف هذه الصفحة مثالًا قياسيًا لإيجاد التباين، ويمكنك أيضًا الاطلاع على المشكلات الأخرى للعثور عليه

مثال 1. البيانات التالية متاحة لمجموعة مكونة من 20 طالبًا بالمراسلة. من الضروري بناء سلسلة فاصلة لتوزيع الخاصية وحساب متوسط ​​قيمة الخاصية ودراسة تشتتها

دعونا نبني تجميع الفاصل الزمني. دعونا نحدد نطاق الفاصل الزمني باستخدام الصيغة:

حيث X max هي القيمة القصوى لخاصية التجميع؛
X دقيقة - الحد الأدنى لقيمة خاصية التجميع؛
ن – عدد الفواصل الزمنية:

نحن نقبل ن = 5. الخطوة هي: ح = (192 - 159)/ 5 = 6.6

لنقم بإنشاء تجميع بفواصل زمنية

لمزيد من الحسابات، سنقوم ببناء جدول مساعد:

X'i هو منتصف الفاصل الزمني. (على سبيل المثال، منتصف الفاصل الزمني 159 – 165.6 = 162.3)

نحدد متوسط ​​طول الطلاب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

دعونا نحدد التباين باستخدام الصيغة:

يمكن تحويل صيغة التشتت على النحو التالي:

من هذه الصيغة يتبع ذلك التباين يساوي الفرق بين متوسط ​​مربعات الخيارات والمربع والمتوسط.

التشتت في سلسلة الاختلافمع فترات متساوية باستخدام طريقة اللحظات يمكن حسابها بالطريقة التالية باستخدام خاصية التشتت الثانية (تقسيم جميع الخيارات على قيمة الفاصل الزمني). تحديد التباين، يتم حسابها باستخدام طريقة اللحظات، باستخدام الصيغة التالية أقل شاقة:

حيث i هي قيمة الفاصل الزمني؛
A هو صفر تقليدي، وهو مناسب لاستخدام منتصف الفاصل الزمني بأعلى تردد؛
m1 هو مربع لحظة الترتيب الأول؛
م2 - لحظة الدرجة الثانية

(إذا كانت هناك تغيرات مميزة في مجتمع إحصائي بحيث لا يوجد سوى خيارين متبادلين فقط، فإن هذا التباين يسمى البديل) يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

بالتعويض q = 1- p في صيغة التشتت هذه نحصل على:

أنواع التباين

التباين الكلييقيس تباين الخاصية بين جميع السكان ككل تحت تأثير جميع العوامل التي تسبب هذا التباين. وهو يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للخاصية x عن القيمة المتوسطة الإجمالية لـ x ويمكن تعريفه على أنه تباين بسيط أو تباين مرجح.

يميز الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الناتج عن تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. مثل هذا التشتت يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للسمة داخل المجموعة X عن الوسط الحسابي للمجموعة ويمكن حسابه على أنه تشتت بسيط أو تشتت مرجح.

هكذا، مقاييس التباين داخل المجموعةتباين السمة داخل المجموعة ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

حيث xi هو متوسط ​​المجموعة؛
ni هو عدد الوحدات في المجموعة.

على سبيل المثال، تظهر التباينات داخل المجموعة التي يجب تحديدها في مهمة دراسة تأثير مؤهلات العمال على مستوى إنتاجية العمل في ورشة العمل اختلافات في الإنتاج في كل مجموعة ناجمة عن جميع العوامل المحتملة (الحالة الفنية للمعدات، وتوافر المعدات). الأدوات والمواد، عمر العمال، كثافة اليد العاملة، وما إلى ذلك.)، باستثناء الاختلافات في فئة المؤهلات (داخل المجموعة، جميع العمال لديهم نفس المؤهلات).

ويعكس متوسط ​​التباينات داخل المجموعة العشوائية، أي ذلك الجزء من التباين الذي حدث تحت تأثير جميع العوامل الأخرى، باستثناء عامل التجميع. ويتم حسابها باستخدام الصيغة:

يميز الاختلاف المنهجي للخاصية الناتجة، والذي يرجع إلى تأثير علامة العامل التي تشكل أساس المجموعة. وهو يساوي مربع متوسط ​​انحرافات متوسطات المجموعة عن المتوسط ​​العام. يتم حساب التباين بين المجموعات باستخدام الصيغة:

قاعدة إضافة التباين في الإحصائيات

وفق قاعدة إضافة الفروقإجمالي التباين يساوي مجموع متوسط ​​التباينات داخل المجموعة وبين المجموعة:

معنى هذه القاعدةهو أن التباين الكلي الذي ينشأ تحت تأثير جميع العوامل يساوي مجموع التباينات التي تنشأ تحت تأثير جميع العوامل الأخرى والتباين الذي ينشأ بسبب عامل التجميع.

باستخدام صيغة إضافة التباينات، يمكنك تحديد التباين الثالث غير المعروف من تباينين ​​معروفين، وكذلك الحكم على قوة تأثير خاصية التجميع.

خصائص التشتت

1. إذا تم تقليل (زيادة) جميع قيم الخاصية بنفس المقدار الثابت، فلن يتغير التشتت.
2. إذا تم تقليل (زيادة) جميع قيم الخاصية بنفس عدد المرات n، فإن التباين سينخفض ​​(يزيد) في المقابل بمقدار n ^ 2 مرة.