Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer. Regula lui Cramer

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind o matrice inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

metoda lui Cramer.

Metoda lui Cramer este folosită pentru a rezolva sistemele liniare ecuații algebrice (SLAU).

Formule folosind exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer

Referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să aflăm determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. :

Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor:
Și .
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:


Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia:

Hai să o facem acțiune similară, înlocuind a doua coloană în primul determinant:

Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
Și .
Răspuns:
Cometariu: Această metodă poate rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.

Cometariu: Dacă se dovedește că , dar nu poate fi împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul fie are infinite de soluții, fie nu are deloc soluții.

Exemplul 2(numar infinit de solutii):

Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției.

Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Aceasta înseamnă că a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație pentru relația dintre variabile.
Am descoperit că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate între ele prin egalitate.
Soluția generală se va scrie după cum urmează:
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x din această egalitate de conexiune.

etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:

Exemplul 3(fără soluții, sistemul este incompatibil):

Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Formulele lui Cramer nu pot fi folosite. Să rezolvăm acest sistem folosind metoda substituției

A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii

Metode KramerȘi Gauss- una dintre cele mai populare metode de rezolvare SLAU. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi vom analiza soluția folosind metoda lui Cramer. La urma urmei, soluția pentru sistem ecuatii lineare Metoda lui Cramer este o abilitate foarte utilă.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:

Valoare setată X , în care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluție a sistemului, A Și b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat în capul tău sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) într-un SLAE, iar aici simplele manipulări școlare nu sunt suficiente. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE-urile folosind metoda lui Cramer!

Deci, lăsați sistemul să fie format din n ecuatii cu n necunoscut.

Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice

Aici A – matricea principală a sistemului, X Și B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și termeni liberi.

Rezolvarea SLAE-urilor folosind metoda lui Cramer

Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda lui Cramer.

Conform metodei lui Cramer, soluția se găsește folosind formulele:

Aici delta este determinantul matricei principale și delta x nth – determinant obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de termeni liberi.

Aceasta este întreaga esență a metodei Cramer. Înlocuind valorile găsite folosind formulele de mai sus X în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă ajuta să înțelegeți mai rapid esența, să dăm un exemplu mai jos. solutie detaliata SLAE prin metoda Cramer:

Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină practică, vei începe să spargi SLAU-uri precum nucile. Mai mult, acum nu este absolut necesar să studiezi cu atenție un caiet, rezolvând calcule greoaie și redactând nucleul. Puteți rezolva cu ușurință SLAE-urile folosind metoda lui Cramer online, doar prin înlocuirea coeficienților în forma finală. Incearca-l calculator online Soluții care folosesc metoda Cramer pot fi găsite, de exemplu, pe acest site.

Și dacă sistemul se dovedește a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să apelați la autorii noștri pentru ajutor, de exemplu, la. Dacă în sistem există cel puțin 100 de necunoscute, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează semnificativ procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dar dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție. Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului și se notează (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților necunoscutelor corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda decisiva Kramer.

Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum este clar din teorema lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și incert)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistemul este inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n numite variabile nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție, și comun, dacă are cel puțin o soluție. Se numește un sistem simultan de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul - incert.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Să fie dat sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:

Exemplul 2.

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Dacă într-un sistem de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda lui Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

În problemele care implică sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea real. În practică, problemele de căutare conduc la astfel de ecuații și sisteme de ecuații proprietăți generale orice fenomen sau obiect. Adică ai inventat vreunul material nou sau un dispozitiv și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul unei instanțe, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de unii coeficienți pentru variabile există litere. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un anumit număr real crește.

Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute

Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute

Folosind determinanți de ordinul 3, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.

(2.4)

dacă 0. Aici

Este acolo regula lui Cramer rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

Soluţie . Aflarea determinantului matricei principale a sistemului

Deoarece 0, atunci pentru a găsi o soluție la sistem putem aplica regula lui Cramer, dar mai întâi calculăm încă trei determinanți:

Examinare:

Prin urmare, soluția a fost găsită corect. 

Regulile lui Cramer derivate pentru sisteme liniare Ordinul 2 și 3, sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Se întâmplă cu adevărat

teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție și această soluție se calculează folosind formulele

(2.5)

Unde  – determinant al matricei principale,  i – determinant matriceal, obtinut din cel principal, inlocuindia-a coloană a membrilor liberi.

Rețineți că dacă =0, atunci regula lui Cramer nu se aplică. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.

După ce a formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordine superioară.

2.4. Determinanți de ordinul al n-lea

Minor suplimentar M ij element A ij este un determinant obținut dintr-un dat prin ștergere i a linia și j a coloana. Complement algebric A ij element A ij minorul acestui element luat cu semnul (–1) se numește i + j, adică A ij = (–1) i + j M ij .

De exemplu, să găsim minorele și complementele algebrice ale elementelor A 23 și A 31 de calificari

Primim



Folosind conceptul de complement algebric putem formula teorema expansiunii determinanten-a ordinea după rând sau coloană.

Teorema 2.1. Determinant de matriceAeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând (sau coloană) prin complementele lor algebrice:

(2.6)

Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calculare a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii. Ca urmare a extinderii determinantului n Ordinea de pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Pentru a avea mai puțini astfel de determinanți, este indicat să selectați rândul sau coloana care are cele mai multe zerouri. În practică, formula de expansiune pentru determinant este de obicei scrisă ca:

acestea. adaosurile algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.

Exemple 2.4. Calculați determinanții sortându-i mai întâi într-un rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, selectați coloana sau rândul care are cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi indicată printr-o săgeată.



2.5. Proprietățile de bază ale determinanților

Extinderea determinantului pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n Ordinul –1 poate fi, de asemenea, descompus într-o sumă de determinanți ( n– 2) ordinul. Continuând acest proces, se poate ajunge la determinanții de ordinul 1, adică. la elementele matricei al cărei determinant se calculează. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, va trebui să calculați suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calcularea factorilor determinanți ai comenzilor foarte mari devine o sarcină destul de intensivă în muncă, dincolo de capacitățile chiar și ale unui computer. Totuși, determinanții pot fi calculați într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.

Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele din acesta sunt schimbate, de exemplu. la transpunerea unei matrice:

.

Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele unui determinant este valabilă și pentru rândurile sale și invers.

Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul când două rânduri (coloane) sunt schimbate.

Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi scos din semnul determinant.

De exemplu,

Consecinţă . Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) a unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană) sunt adăugate elementelor altui rând (coloană), înmulțite cu orice număr.

De exemplu,

Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților matricelor:

Fie că sistemul de ecuații liniare conține tot atâtea ecuații cât numărul de variabile independente, adică. se pare ca

Astfel de sisteme de ecuații liniare se numesc pătratice. Determinantul, compus din coeficienți pentru variabilele independente ale sistemului (1.5), se numește determinant principal al sistemului. O vom desemna cu litera greacă D. Astfel,

. (1.6)

Dacă determinantul principal conține un arbitrar ( j a) coloană, înlocuiți cu o coloană de termeni liberi ai sistemului (1.5), apoi puteți obține n calificative auxiliare:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Regula lui Cramer rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații liniare este după cum urmează. Dacă determinantul principal D al sistemului (1.5) este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită folosind formulele:

(1.8)

Exemplul 1.5. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer

.

Să calculăm principalul determinant al sistemului:

De la D¹0, sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită folosind formulele (1.8):

Prin urmare,

Acțiuni asupra matricelor

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este definită după cum urmează.

2. Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulți toate elementele acesteia cu acest număr. Acesta este

. (1.9)

Exemplul 1.6. .

Adăugarea matricei.

Această operație este introdusă numai pentru matrice de același ordin.

Pentru a adăuga două matrice, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare ale altei matrice la elementele unei matrice:

(1.10)
Operația de adunare a matricei are proprietățile asociativității și comutativității.

Exemplul 1.7. .

Înmulțirea matricei.

Dacă numărul coloanelor matricei A coincide cu numărul de rânduri ale matricei ÎN, atunci pentru astfel de matrice se introduce operația de înmulțire:

2

Astfel, la înmulțirea unei matrice A dimensiuni m´ n la matrice ÎN dimensiuni n´ k obținem o matrice CU dimensiuni m´ k. În acest caz, elementele matricei CU calculat de următoarele formule:

Problema 1.8. Găsiți, dacă este posibil, produsul matricelor ABȘi B.A.:

Soluţie. 1) Pentru a găsi o muncă AB, aveți nevoie de rânduri matrice Aînmulțiți cu coloanele matricei B:

2) Munca B.A. nu există, deoarece numărul coloanelor matricei B nu se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei A.

Matrice inversă. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda matricei

Matrice A- 1 se numește inversul unei matrice pătrate A, dacă egalitatea este satisfăcută:

unde prin eu denotă matricea de identitate de același ordin ca și matricea A:

.

Pentru ca o matrice pătrată să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero. Matricea inversă se găsește folosind formula:

, (1.13)

Unde A ij- adunări algebrice la elemente a ij matrici A(rețineți că adunările algebrice la rândurile matricei A sunt situate în matricea inversă sub formă de coloane corespunzătoare).

Exemplul 1.9. Aflați matricea inversă A- 1 la matrice

.

Găsim matricea inversă utilizând formula (1.13), care pentru acest caz n= 3 are forma:

.

Să găsim det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Deoarece determinantul matricei originale este diferit de zero, matricea inversă există.

1) Găsiți complemente algebrice A ij:

Pentru ușurința amplasării matrice inversă, am plasat adunările algebrice la rândurile matricei originale în coloanele corespunzătoare.

Din adunările algebrice obținute compunem o nouă matrice și o împărțim la determinantul det A. Astfel, obținem matricea inversă:

Sistemele pătratice de ecuații liniare cu un determinant principal diferit de zero pot fi rezolvate folosind matricea inversă. Pentru a face acest lucru, sistemul (1.5) este scris sub formă de matrice:

Unde

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (1.14) de la stânga cu A- 1, obținem soluția sistemului:

, Unde

Astfel, pentru a găsi o soluție la un sistem pătrat, trebuie să găsiți matricea inversă a matricei principale a sistemului și să o înmulțiți în dreapta cu matricea coloanei de termeni liberi.

Problema 1.10. Rezolvați un sistem de ecuații liniare

folosind matricea inversă.

Soluţie. Să scriem sistemul sub formă de matrice: ,

Unde - matricea principală a sistemului, - coloana de necunoscute și - coloana de termeni liberi. Deoarece principalul determinant al sistemului , apoi matricea principală a sistemului A are o matrice inversă A-1 . Pentru a găsi matricea inversă A-1 , calculăm complementele algebrice la toate elementele matricei A:

Din numerele obținute vom compune o matrice (și adunări algebrice la rândurile matricei A scrieți-l în coloanele corespunzătoare) și împărțiți-l la determinantul D. Astfel, am găsit matricea inversă:

Găsim soluția sistemului folosind formula (1.15):

Prin urmare,

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda obișnuită de eliminare Jordan

Să fie dat un sistem arbitrar (nu neapărat pătratic) de ecuații liniare:

(1.16)

Este necesar să se găsească o soluție la sistem, de ex. un astfel de set de variabile care satisface toate egalitățile sistemului (1.16). În cazul general, sistemul (1.16) poate avea nu numai o soluție, ci și nenumărate soluții. De asemenea, poate să nu aibă deloc soluții.

La rezolvarea unor astfel de probleme, se folosește binecunoscuta metodă de eliminare a necunoscutelor din cursul școlar, care este numită și metoda obișnuită de eliminare Jordan. Esenta aceasta metoda constă în faptul că într-una din ecuaţiile sistemului (1.16) una dintre variabile este exprimată în termenii altor variabile. Această variabilă este apoi înlocuită în alte ecuații din sistem. Rezultatul este un sistem care conține o ecuație și o variabilă mai puțin decât sistemul original. Se reține ecuația din care a fost exprimată variabila.

Acest proces se repetă până când rămâne o ultimă ecuație în sistem. Prin procesul de eliminare a necunoscutelor, unele ecuații pot deveni identități adevărate, de ex. Astfel de ecuații sunt excluse din sistem, deoarece sunt satisfăcute pentru orice valoare a variabilelor și, prin urmare, nu afectează soluția sistemului. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, cel puțin o ecuație devine o egalitate care nu poate fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilelor (de exemplu), atunci ajungem la concluzia că sistemul nu are soluție.

Dacă nu apar ecuații contradictorii în timpul soluției, atunci una dintre variabilele rămase din aceasta se găsește din ultima ecuație. Dacă mai rămâne o singură variabilă în ultima ecuație, atunci aceasta este exprimată ca număr. Dacă în ultima ecuație rămân alte variabile, atunci ele sunt considerate parametri, iar variabila exprimată prin intermediul acestora va fi o funcție a acestor parametri. Apoi are loc așa-numita „mișcare inversă”. Variabila găsită este înlocuită în ultima ecuație reținută și este găsită a doua variabilă. Apoi cele două variabile găsite sunt substituite în penultima ecuație memorată și se găsește a treia variabilă și așa mai departe, până la prima ecuație memorată.

Ca rezultat, obținem o soluție pentru sistem. Această soluție va fi unică dacă variabilele găsite sunt numere. Dacă prima variabilă găsită, și apoi toate celelalte, depind de parametri, atunci sistemul va avea un număr infinit de soluții (fiecărui set de parametri îi corespunde o nouă soluție). Formulele care vă permit să găsiți o soluție la un sistem în funcție de un anumit set de parametri se numesc soluția generală a sistemului.

Exemplul 1.11.

X

După memorarea primei ecuaţii și aducând termeni similari în a doua și a treia ecuație ajungem la sistemul:

Să ne exprimăm y din a doua ecuație și înlocuiți-o în prima ecuație:

Să ne amintim de a doua ecuație, iar din prima găsim z:

Lucrând înapoi, găsim în mod constant yȘi z. Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi în ultima ecuație amintită, de unde găsim y:

.

Apoi îl vom înlocui în prima ecuație memorată unde îl putem găsi X:

Problema 1.12. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

. (1.17)

Soluţie. Să exprimăm variabila din prima ecuație Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

.

Să ne amintim prima ecuație

În acest sistem, prima și a doua ecuație se contrazic reciproc. Într-adevăr, exprimând y , obținem că 14 = 17. Această egalitate nu este valabilă pentru nicio valoare a variabilelor X, y, Și z. În consecință, sistemul (1.17) este inconsecvent, adică nu are solutie.

Invităm cititorii să verifice singuri dacă principalul determinant al sistemului original (1.17) este egal cu zero.

Să considerăm un sistem care diferă de sistemul (1.17) printr-un singur termen liber.

Problema 1.13. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

. (1.18)

Soluţie. Ca și mai înainte, exprimăm variabila din prima ecuație Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

.

Să ne amintim prima ecuație și prezintă termeni similari în a doua și a treia ecuație. Ajungem la sistem:

Exprimând y din prima ecuație și înlocuind-o în a doua ecuație , obținem identitatea 14 = 14, care nu afectează soluția sistemului și, prin urmare, poate fi exclusă din sistem.

În ultima egalitate amintită, variabila zîl vom considera un parametru. Noi credem. Apoi

Să înlocuim yȘi zîn prima egalitate amintită și găsi X:

.

Astfel, sistemul (1.18) are un număr infinit de soluții, iar orice soluție poate fi găsită folosind formulele (1.19), alegând o valoare arbitrară a parametrului t:

(1.19)
Deci, soluțiile sistemului, de exemplu, sunt următoarele seturi de variabile (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formulele (1.19) exprimă soluția generală (orice) a sistemului (1.18). ).

În cazul în care sistemul original (1.16) are suficient un numar mare de ecuații și necunoscute, metoda indicată de eliminare obișnuită a lui Jordan pare greoaie. Cu toate acestea, nu este. Este suficient să derivați un algoritm pentru recalcularea coeficienților sistemului la un pas vedere generalași formulați soluția problemei sub forma unor tabele speciale Jordan.

Fie dat un sistem de forme liniare (ecuații):

, (1.20)
Unde x j- variabile independente (cautate), a ij- coeficienți constanți
(eu = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Componentele corecte ale sistemului y eu (eu = 1, 2,…, m) pot fi fie variabile (dependente) fie constante. Este necesar să se găsească soluții la acest sistem prin eliminarea necunoscutelor.

Să luăm în considerare următoarea operațiune, numită de acum înainte „un pas al eliminărilor obișnuite ale Iordaniei”. Din arbitrar ( r e) egalitate exprimăm o variabilă arbitrară ( xs) și înlocuiți în toate celelalte egalități. Desigur, acest lucru este posibil doar dacă a rs¹ 0. Coeficient a rs numit element de rezolvare (uneori de ghidare sau principal).

Vom obține următorul sistem:

. (1.21)

Din s- egalitatea sistemului (1.21), vom găsi ulterior variabila xs(după ce variabilele rămase au fost găsite). S Linia -a este memorată și ulterior exclusă din sistem. Sistemul rămas va conține o ecuație și o variabilă independentă mai puțin decât sistemul original.

Să calculăm coeficienții sistemului rezultat (1.21) prin coeficienții sistemului original (1.20). Sa incepem cu r ecuația, care după exprimarea variabilei xs prin variabilele rămase va arăta astfel:

Astfel, noii coeficienți r ecuațiile sunt calculate folosind următoarele formule:

(1.23)
Să calculăm acum noii coeficienți b ij(i¹ r) a unei ecuații arbitrare. Pentru a face acest lucru, să înlocuim variabila exprimată în (1.22) xs V i a-a ecuație a sistemului (1.20):

După ce aducem termeni similari, obținem:

(1.24)
Din egalitatea (1.24) obținem formule prin care se calculează coeficienții rămași ai sistemului (1.21) (cu excepția r ecuația):

(1.25)
Transformarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda eliminării obișnuite Jordan este prezentată sub formă de tabele (matrici). Aceste mese se numesc „mesele Jordan”.

Astfel, problema (1.20) este asociată cu următorul tabel Jordan:

Tabelul 1.1

	X 1	X 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	A 11	A 12		A 1j		A 1s		A 1n
…………………………………………………………………..
y eu=	un i 1	un i 2		a ij		a este		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		un mj		o ms		un mn

Tabelul Jordan 1.1 conține o coloană antet din stânga în care sunt scrise părțile din dreapta ale sistemului (1.20) și un rând de antet superior în care sunt scrise variabile independente.

Elementele rămase ale tabelului formează matricea principală a coeficienților sistemului (1.20). Dacă înmulțiți matricea A la matricea formată din elementele rândului de titlu de sus, obțineți o matrice formată din elementele coloanei de titlu din stânga. Adică, în esență, tabelul Jordan este o formă matriceală de scriere a unui sistem de ecuații liniare: . Sistemul (1.21) corespunde următorului tabel Jordan:

Tabelul 1.2

	X 1	X 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b este		cos
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Element permisiv a rs Le vom evidenția cu caractere aldine. Amintiți-vă că pentru a implementa un pas al eliminării Iordaniei, elementul de rezolvare trebuie să fie diferit de zero. Rândul tabelului care conține elementul de activare se numește rând de activare. Coloana care conține elementul de activare se numește coloana de activare. Când treceți de la un tabel dat la următorul tabel, o variabilă ( xs) din rândul antet de sus al tabelului este mutat în coloana antet din stânga și, invers, unul dintre membrii liberi ai sistemului ( y r) se deplasează din coloana din stânga cap a tabelului la rândul de sus.

Să descriem algoritmul de recalculare a coeficienților la trecerea de la tabelul Jordan (1.1) la tabelul (1.2), care decurge din formulele (1.23) și (1.25).

1. Elementul de rezolvare se înlocuiește cu numărul invers:

2. Elementele rămase ale șirului de rezoluție sunt împărțite în elementul de rezoluție și schimbă semnul la opus:

3. Elementele rămase ale coloanei de rezoluție sunt împărțite în elementul de rezoluție:

4. Elementele care nu sunt incluse în rândul și coloana de autorizare sunt recalculate folosind formulele:

Ultima formulă este ușor de reținut dacă observi că elementele care compun fracția , sunt la intersecție i-Oh si r rândurile și j th și s coloanele (rândul de rezoluție, coloana de rezolvare și rândul și coloana la intersecția cărora se află elementul recalculat). Mai exact, la memorarea formulei puteți folosi următoarea diagramă:

-21 -26 -13 -37

Când efectuați primul pas al excepțiilor Jordan, puteți selecta orice element din Tabelul 1.3 situat în coloane ca element de rezolvare. X 1 ,…, X 5 (toate elementele specificate nu sunt zero). Doar nu selectați elementul de activare din ultima coloană, deoarece trebuie să găsiți variabile independente X 1 ,…, X 5 . De exemplu, alegem coeficientul 1 cu variabila X 3 din al treilea rând din Tabelul 1.3 (elementul de activare este prezentat cu caractere aldine). Când treceți la tabelul 1.4, variabila X 3 din rândul antetului de sus este schimbat cu constanta 0 a coloanei antet din stânga (al treilea rând). În acest caz, variabila X 3 se exprimă prin variabilele rămase.

Şir X 3 (Tabelul 1.4) poate fi exclus din Tabelul 1.4, după ce ne-am amintit în prealabil. A treia coloană cu zero în linia de titlu de sus este, de asemenea, exclusă din Tabelul 1.4. Ideea este că, indiferent de coeficienții unei coloane date b i 3 toți termenii corespunzători fiecărei ecuații 0 b i 3 sisteme vor fi egale cu zero. Prin urmare, acești coeficienți nu trebuie să fie calculați. Eliminarea unei variabile X 3 și amintindu-ne una dintre ecuații, ajungem la un sistem corespunzător tabelului 1.4 (cu linia tăiată X 3). Selectarea din tabelul 1.4 ca element de rezolvare b 14 = -5, mergeți la tabelul 1.5. În tabelul 1.5, amintiți-vă primul rând și excludeți-l din tabel împreună cu a patra coloană (cu un zero în partea de sus).

Tabelul 1.5 Tabelul 1.6

Din ultimul tabel 1.7 găsim: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Înlocuind în mod constant variabilele deja găsite în liniile amintite, găsim variabilele rămase:

Astfel, sistemul are infinite de soluții. Variabil X 5, pot fi atribuite valori arbitrare. Această variabilă acționează ca un parametru X 5 = t. Am dovedit compatibilitatea sistemului și am găsit soluția generală a acestuia:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dând parametru t valori diferite, vom obține un număr infinit de soluții la sistemul original. Deci, de exemplu, soluția sistemului este următorul set de variabile (- 3; - 1; - 2; 4; 0).