Ecuații trigonometrice inegalități cum se rezolvă. Metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice

Primul punct este, ca de obicei, arcsin(-a)=-arcsina. Pentru a ajunge la al doilea punct, mergem pe calea superioară, adică în direcția de creștere a unghiului.

De data aceasta trecem dincolo de n. Cât mai mergem? Pe arcsin x. Aceasta înseamnă că al doilea punct este n+arcsin x. De ce nu există minus? Pentru că minusul din notația -arcsin a înseamnă mișcare în sensul acelor de ceasornic, dar am mers în sens invers acelor de ceasornic. Și, în final, adăugați 2pn la fiecare capăt al intervalului.

5) sinx>a, dacă a>1.

Cercul unitar se află în întregime sub linia dreaptă y=a. Nu există niciun punct deasupra liniei drepte. Deci nu există soluții.

6) sinx>-a, unde a>1.

În acest caz, întregul cerc unitar se află în întregime deasupra liniei drepte y=a. Prin urmare, orice punct satisface condiția sinx>a. Aceasta înseamnă că x este orice număr.

Și aici x este orice număr, deoarece punctele -n/2+2nn sunt incluse în soluție, în contrast cu inegalitatea strictă sinx>-1. Nu este nevoie să excludeți nimic.

Singurul punct de pe cerc care satisface această condiție este n/2. Ținând cont de perioada sinusului, soluția acestei inegalități este mulțimea punctelor x=n/2+2n.

De exemplu, rezolvați inegalitatea sinx>-1/2:

METODE DE REZOLVARE A INEGALĂȚILOR TRIGONOMETRICE

Relevanţă. Din punct de vedere istoric, ecuațiilor și inegalităților trigonometrice li s-a acordat un loc special în programa școlară. Putem spune că trigonometria este una dintre cele mai importante secțiuni ale cursului școlar și ale întregii științe matematice în general.

Ecuațiile și inegalitățile trigonometrice ocupă unul dintre locurile centrale în cursul de matematică din gimnaziu, atât în ​​ceea ce privește conținutul materialului educațional, cât și metodele de activitate educațională și cognitivă care pot și trebuie formate în cursul studiului lor și aplicate la rezolvarea unui număr mare. a problemelor de natură teoretică şi aplicativă .

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice creează premisele pentru sistematizarea cunoștințelor elevilor legate de tot materialul educațional din trigonometrie (de exemplu, proprietățile funcțiilor trigonometrice, metode de transformare a expresiilor trigonometrice etc.) și face posibilă stabilirea de legături eficiente cu materialul studiat. în algebră (ecuații, echivalență de ecuații, inegalități, transformări identice ale expresiilor algebrice etc.).

Cu alte cuvinte, luarea în considerare a tehnicilor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților implică un fel de transfer al acestor abilități către conținut nou.

Semnificația teoriei și numeroasele ei aplicații sunt o dovadă a relevanței temei alese. Aceasta, la rândul său, vă permite să determinați scopurile, obiectivele și subiectul cercetării lucrării cursului.

Scopul studiului: generalizează tipurile disponibile de inegalități trigonometrice, metode de bază și speciale de rezolvare a acestora, selectează un set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice de către școlari.

Obiectivele cercetării:

1. Pe baza unei analize a literaturii disponibile pe tema de cercetare, sistematizați materialul.

2. Furnizați un set de sarcini necesare pentru a consolida subiectul „Inegalități trigonometrice”.

Obiect de studiu sunt inegalităţi trigonometrice la cursul de matematică şcolară.

Subiect de studiu: tipuri de inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora.

Semnificație teoretică este de a sistematiza materialul.

Semnificație practică: aplicarea cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor; analiza principalelor metode comune de rezolvare a inegalităţilor trigonometrice.

Metode de cercetare : analiza literaturii științifice, sinteza și generalizarea cunoștințelor dobândite, analiza rezolvării problemelor, căutarea metodelor optime de rezolvare a inegalităților.

§1. Tipuri de inegalități trigonometrice și metode de bază de rezolvare a acestora

1.1. Cele mai simple inegalități trigonometrice

Două expresii trigonometrice legate prin semn sau > se numesc inegalități trigonometrice.

Rezolvarea unei inegalități trigonometrice înseamnă găsirea mulțimii de valori ale necunoscutelor incluse în inegalitatea pentru care inegalitatea este satisfăcută.

Partea principală a inegalităților trigonometrice este rezolvată prin reducerea lor la cea mai simplă soluție:

Aceasta poate fi o metodă de factorizare, schimbare a variabilei (
,
etc.), unde se rezolvă mai întâi inegalitatea obișnuită și apoi o inegalitate de formă
etc., sau alte metode.

Cele mai simple inegalități pot fi rezolvate în două moduri: folosind cercul unitar sau grafic.

Lăsaf(x  – una dintre funcțiile trigonometrice de bază. Pentru a rezolva inegalitatea
este suficient să-și găsești soluția pe o singură perioadă, adică. pe orice segment a cărui lungime este egală cu perioada funcțieif  X  . Apoi se va găsi soluția la inegalitatea inițialăX , precum și acele valori care diferă de cele găsite de orice număr întreg de perioade ale funcției. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda grafică.

Să dăm un exemplu de algoritm pentru rezolvarea inegalităților
(
) Și
.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității
(
).

1. Formulați definiția sinusului unui numărX pe cercul unitar.

3. Pe axa ordonatelor, marcați punctul cu coordonateleA .

4. Desenați o linie paralelă cu axa OX prin acest punct și marcați punctele sale de intersecție cu cerc.

5. Selectați un arc de cerc, toate punctele căruia au o ordonată mai mică decâtA .

6. Indicați direcția rundei (în sens invers acelor de ceasornic) și notați răspunsul adăugând perioada funcției la capetele intervalului2πn ,
.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității
.

1. Formulați definiția tangentei unui numărX pe cercul unitar.

2. Desenați un cerc unitar.

3. Desenați o linie de tangente și marcați un punct cu o ordonată pe eaA .

4. Conectați acest punct cu originea și marcați punctul de intersecție al segmentului rezultat cu cercul unitar.

5. Selectați un arc de cerc, ale cărui toate punctele au o ordonată pe linia tangentă mai mică decâtA .

6. Indicați direcția parcurgerii și scrieți răspunsul ținând cont de domeniul de definire al funcției, adăugând un punctπn ,
(numărul din stânga înregistrării este întotdeauna mai mic decât numărul din dreapta).

Interpretarea grafică a soluțiilor celor mai simple ecuații și formulele de rezolvare a inegalităților în formă generală sunt indicate în anexă (Anexele 1 și 2).

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea
.

Desenați o linie dreaptă pe cercul unității
, care intersectează cercul în punctele A și B.

Toate semnificațiiley pe intervalul NM este mai mare , toate punctele arcului AMB satisfac această inegalitate. La toate unghiurile de rotație, mare , dar mai mic ,
va prelua valori mai mari (dar nu mai mult de unul).

Fig.1

Astfel, soluția inegalității vor fi toate valorile din interval
, adică
. Pentru a obține toate soluțiile acestei inegalități, este suficient să adăugați la capetele acestui interval
, Unde
, adică
,
. Rețineți că valorile
Și
sunt rădăcinile ecuației
,

acestea.
;
.

Răspuns:
,
.

1.2. Metoda grafica

În practică, metoda grafică de rezolvare a inegalităților trigonometrice se dovedește adesea a fi utilă. Să luăm în considerare esența metodei folosind exemplul inegalității
:

1. Dacă argumentul este complex (diferit deX ), apoi înlocuiți-l cut .

2. Construim într-un singur plan de coordonatejucărie grafice de funcții
Și
.

3. Găsim astfeldouă puncte de intersecție adiacente ale graficelor, între careundă sinusoidalăsituatsuperior Drept
. Găsim abscisele acestor puncte.

4. Scrieți o inegalitate dublă pentru argumentt , ținând cont de perioada cosinus (t va fi între abscisele găsite).

5. Faceți o înlocuire inversă (reveniți la argumentul inițial) și exprimați valoareaX din dubla inegalitate scriem raspunsul sub forma unui interval numeric.

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea: .

La rezolvarea inegalităților folosind metoda grafică, este necesar să se construiască grafice ale funcțiilor cât mai precis posibil. Să transformăm inegalitatea în forma:

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate
Și
(Fig. 2).

Fig.2

Graficele funcțiilor se intersectează în punctA cu coordonate
;
. Intre
puncte grafice
sub punctele graficului
. Și atunci când
valorile funcției sunt aceleași. De aceea
la
.

Răspuns:
.

1.3. Metoda algebrică

Destul de des, inegalitatea trigonometrică originală poate fi redusă la o inegalitate algebrică (rațională sau irațională) printr-o substituție bine aleasă. Această metodă presupune transformarea unei inegalități, introducerea unei substituții sau înlocuirea unei variabile.

Să ne uităm la exemple specifice de aplicare a acestei metode.

Exemplul 3. Reducere la forma cea mai simplă
.

(Fig. 3)

Fig.3

,
.

Răspuns:
,

Exemplul 4. Rezolvați inegalitatea:

ODZ:
,
.

Folosind formule:
,

Să scriem inegalitatea sub forma:
.

Sau, crezând
după simple transformări obținem

,

,

.

Rezolvând ultima inegalitate folosind metoda intervalului, obținem:

Fig.4

, respectiv
. Apoi din Fig. 4 urmează
, Unde
.

Fig.5

Răspuns:
,
.

1.4. Metoda intervalului

Schema generală de rezolvare a inegalităților trigonometrice folosind metoda intervalului:

Factorizați folosind formule trigonometrice.

Găsiți punctele de discontinuitate și zerourile funcției și plasați-le pe cerc.

Luați orice punctLA (dar nu a fost găsit mai devreme) și află semnul produsului. Dacă produsul este pozitiv, atunci plasați un punct în afara cercului unitar pe raza corespunzătoare unghiului. În caz contrar, plasați punctul în interiorul cercului.

Dacă un punct apare de un număr par, îl numim punct de multiplicitate par; dacă este de un număr impar de ori, îl numim punct de multiplicitate impar. Desenați arce după cum urmează: începeți dintr-un punctLA , dacă următorul punct este de multiplicitate impară, atunci arcul intersectează cercul în acest punct, dar dacă punctul este de multiplicitate pară, atunci nu se intersectează.

Arcurile din spatele cercului sunt intervale pozitive; în interiorul cercului există spații negative.

Exemplul 5. Rezolvați inegalitatea

,
.

Puncte din prima serie:
.

Puncte din a doua serie:
.

Fiecare punct apare de un număr impar de ori, adică toate punctele sunt de multiplicitate impară.

Să aflăm semnul produsului la
: . Să marchem toate punctele de pe cercul unitar (Fig. 6):

Orez. 6

Răspuns:
,
;
,
;
,
.

Exemplul 6 . Rezolvați inegalitatea.

Soluţie:

Să găsim zerourile expresiei .

A primiaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Pe valorile seriei cercului unitarX 1 reprezentate prin puncte
. SerieX 2 dă puncte
. O serieX 3 obținem două puncte
. În sfârșit, serialulX 4 va reprezenta puncte
. Să reprezentăm toate aceste puncte pe cercul unitar, indicând multiplicitatea acestuia în paranteze lângă fiecare dintre ele.

Lasă acum numărul va fi egal. Să facem o estimare pe baza semnului:

Deci, punctA trebuie selectat pe raza care formează unghiul cu grindăOh, în afara cercului unitar. (Rețineți că fasciculul auxiliarDESPRE A Nu este deloc necesar să o înfățișați într-o imagine. PunctA este ales aproximativ.)

Acum din punct de vedereA trageți o linie continuă ondulată succesiv la toate punctele marcate. Și la puncte
linia noastră merge dintr-o zonă în alta: dacă era în afara cercului unității, atunci merge în interiorul acestuia. Apropiindu-se de punct , linia revine în regiunea interioară, deoarece multiplicitatea acestui punct este pară. În mod similar la punct (cu multiplicitate egală) linia trebuie îndreptată către regiunea exterioară. Deci, am desenat o anumită imagine prezentată în Fig. 7. Ajută la evidențierea zonelor dorite de pe cercul unității. Sunt marcate cu semnul „+”.

Fig.7

Răspuns final:

Notă. Dacă o linie ondulată, după ce a ocolit toate punctele marcate pe cercul unității, nu poate fi returnată la punctA , fără a traversa cercul într-un loc „ilegal”, aceasta înseamnă că a fost făcută o eroare în soluție, și anume, un număr impar de rădăcini a fost ratat.

Răspuns: .

§2. Un set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice

În procesul de dezvoltare a capacității școlarilor de a rezolva inegalitățile trigonometrice, se pot distinge și 3 etape.

1. pregătitoare,

2. dezvoltarea capacităţii de rezolvare a inegalităţilor trigonometrice simple;

3. introducerea inegalităţilor trigonometrice de alte tipuri.

Scopul etapei pregătitoare este acela că este necesar să se dezvolte la școlari capacitatea de a folosi un cerc sau un grafic trigonometric pentru a rezolva inegalitățile, și anume:

Capacitatea de a rezolva inegalități simple ale formei
,
,
,
, utilizarea proprietăților funcțiilor sinus și cosinus;

Capacitatea de a construi inegalități duble pentru arce de cerc numeric sau pentru arce de grafice ale funcțiilor;

Capacitatea de a efectua diverse transformări ale expresiilor trigonometrice.

Se recomandă implementarea acestei etape în procesul de sistematizare a cunoștințelor școlarilor despre proprietățile funcțiilor trigonometrice. Principalele mijloace pot fi sarcinile oferite elevilor și efectuate fie sub îndrumarea unui profesor, fie independent, precum și abilitățile dezvoltate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Iată exemple de astfel de sarcini:

1 . Marcați un punct pe cercul unității , Dacă

.

2. În ce sfert din planul de coordonate este situat punctul? , Dacă este egal cu:

3. Marcați punctele pe cercul trigonometric , Dacă:

4. Convertiți expresia în funcții trigonometriceeusferturi.

A)
, b)
, V)

5. Arc MR este dat.M - mijloceu- al treilea trimestru,R - mijlocIItrimestrul. Limitați valoarea unei variabilet pentru: (faceți o inegalitate dublă) a) arc MR; b) arcele RM.

6. Notați inegalitatea dublă pentru secțiunile selectate ale graficului:

Orez. 1

7. Rezolvați inegalitățile
,
,
,
.

8. Conversia expresiei .

La a doua etapă a învăţării rezolvării inegalităţilor trigonometrice, putem oferi următoarele recomandări legate de metodologia de organizare a activităţilor elevilor. În acest caz, este necesar să ne concentrăm pe abilitățile existente ale elevilor în lucrul cu un cerc sau grafic trigonometric, format în timpul rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice.

În primul rând, se poate motiva oportunitatea obținerii unei metode generale de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice, apelând, de exemplu, la o inegalitate de formă
. Folosind cunoștințele și abilitățile dobândite în etapa pregătitoare, elevii vor aduce în formă inegalitatea propusă
, dar poate fi dificil să găsească un set de soluții la inegalitatea rezultată, deoarece Este imposibil să o rezolvi doar folosind proprietățile funcției sinus. Această dificultate poate fi evitată apelând la ilustrația corespunzătoare (rezolvarea grafică a ecuației sau folosind un cerc unitar).

În al doilea rând, profesorul ar trebui să atragă atenția elevilor asupra diferitelor modalități de finalizare a sarcinii, să ofere un exemplu adecvat de rezolvare a inegalității atât grafic, cât și folosind un cerc trigonometric.

Să luăm în considerare următoarele soluții ale inegalității
.

1. Rezolvarea inegalității folosind cercul unitar.

În prima lecție de rezolvare a inegalităților trigonometrice, vom oferi studenților un algoritm de rezolvare detaliat, care într-o prezentare pas cu pas reflectă toate abilitățile de bază necesare rezolvării inegalității.

Pasul 1.Să desenăm un cerc unitar și să marchem un punct pe axa ordonatelor și trageți o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa x. Această linie va intersecta cercul unitar în două puncte. Fiecare dintre aceste puncte reprezintă numere al căror sinus este egal cu .

Pasul 2.Această linie dreaptă a împărțit cercul în două arce. Să-l selectăm pe cel care prezintă numere care au un sinus mai mare decât . Desigur, acest arc este situat deasupra liniei drepte trasate.

Orez. 2

Pasul 3.Selectați unul dintre capetele arcului marcat. Să notăm unul dintre numerele care este reprezentat de acest punct al cercului unitar .

Pasul 4.Pentru a selecta numărul corespunzător celui de-al doilea capăt al arcului selectat, „mergem” de-a lungul acestui arc de la capătul numit la celălalt. În același timp, amintiți-vă că atunci când vă deplasați în sens invers acelor de ceasornic, numerele prin care vom trece cresc (când ne deplasăm în sens opus, numerele ar scădea). Să notăm numărul care este reprezentat pe cercul unității de al doilea capăt al arcului marcat .

Astfel, vedem acea inegalitate
satisface numerele pentru care inegalitatea este adevărată
. Am rezolvat inegalitatea pentru numerele situate pe aceeași perioadă a funcției sinus. Prin urmare, toate soluțiile inegalității pot fi scrise sub forma

Elevii ar trebui să fie rugați să examineze cu atenție desenul și să descopere de ce toate soluțiile la inegalitate
poate fi scris sub forma
,
.

Orez. 3

Este necesar să atragem atenția elevilor asupra faptului că atunci când rezolvăm inegalități pentru funcția cosinus, trasăm o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor.

Metoda grafică de rezolvare a inegalităților.

Construim grafice
Și
, dat fiind
.

Orez. 4

Apoi scriem ecuația
si decizia lui
,
,
, găsit folosind formule
,
,
.

(Dăruindn valorile 0, 1, 2, găsim cele trei rădăcini ale ecuației compilate). Valori
sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor
Și
. Evident, mereu la interval
inegalitatea este valabilă
, iar pe interval
– inegalitatea
. Ne interesează primul caz, iar apoi adăugând la capetele acestui interval un număr care este un multiplu al perioadei sinusului, obținem o soluție a inegalității
la fel de:
,
.

Orez. 5

Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea
, trebuie să creați ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Găsiți rădăcinile din formula rezultată Și , și scrieți răspunsul la inegalitate sub forma: ,
.

În al treilea rând, faptul despre mulțimea de rădăcini a inegalității trigonometrice corespunzătoare este confirmat foarte clar atunci când o rezolvăm grafic.

Orez. 6

Este necesar să le demonstrăm elevilor că turnul, care este soluția inegalității, se repetă în același interval, egal cu perioada funcției trigonometrice. De asemenea, puteți lua în considerare o ilustrație similară pentru graficul funcției sinus.

În al patrulea rând, este recomandabil să se efectueze lucrări de actualizare a tehnicilor elevilor pentru conversia sumei (diferențelor) funcțiilor trigonometrice într-un produs și să se atragă atenția elevilor asupra rolului acestor tehnici în rezolvarea inegalităților trigonometrice.

O astfel de muncă poate fi organizată prin îndeplinirea independentă de către elevi a sarcinilor propuse de profesor, dintre care evidențiem următoarele:

În al cincilea rând, elevilor trebuie să li se ceară să ilustreze soluția fiecărei inegalități trigonometrice simple folosind un grafic sau un cerc trigonometric. Cu siguranță ar trebui să acordați atenție oportunității sale, în special utilizării cercului, deoarece atunci când rezolvați inegalitățile trigonometrice, ilustrația corespunzătoare servește ca un mijloc foarte convenabil de înregistrare a setului de soluții la o anumită inegalitate.

Se recomandă introducerea elevilor în metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice care nu sunt cele mai simple după următoarea schemă: trecerea la o anumită inegalitate trigonometrică trecerea la ecuația trigonometrică corespunzătoare căutarea în comun (profesor - elevi) a unei soluții; transfer independent de metoda găsită la alte inegalități de același tip.

Pentru a sistematiza cunoștințele elevilor despre trigonometrie, recomandăm selectarea specială a unor astfel de inegalități, a căror rezolvare necesită diverse transformări care pot fi implementate în procesul de rezolvare a acesteia, și focalizarea atenției elevilor asupra trăsăturilor lor.

Ca atare inegalități productive putem propune, de exemplu, următoarele:

În concluzie, dăm un exemplu de set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice.

1. Rezolvați inegalitățile:

A)
, îndeplinind condiția
;

b)
, îndeplinind condiția
.

5. Găsiți toate soluțiile la inegalități:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Rezolvați inegalitățile:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d) ;

e) ;

și)
.

7. Rezolvați inegalitățile:

A)
;

b) ;

V) ;

G).

8. Rezolvați inegalitățile:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d)
;

e) ;

și)
;

h) .

Este recomandabil să se ofere sarcinile 6 și 7 studenților care studiază matematica la un nivel avansat, sarcina 8 studenților din clasele cu studii avansate de matematică.

§3. Metode speciale de rezolvare a inegalităților trigonometrice

Metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice - adică acele metode care pot fi folosite doar pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Aceste metode se bazează pe utilizarea proprietăților funcțiilor trigonometrice, precum și pe utilizarea diferitelor formule și identități trigonometrice.

3.1. Metoda sectorială

Să luăm în considerare metoda sectorială pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice. Rezolvarea inegalităților de formă

, UndeP ( X ) ȘiQ ( X ) – funcțiile trigonometrice raționale (sinusurile, cosinusurile, tangentele și cotangentele sunt incluse în ele rațional), similare rezolvării inegalităților raționale. Este convenabil să se rezolve inegalitățile raționale folosind metoda intervalelor pe dreapta numerică. Analogul său pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice raționale este metoda sectoarelor din cercul trigonometric, pt.sinx Șicosx (
) sau semicerc trigonometric pentrutgx Șictgx (
).

În metoda intervalului, fiecare factor liniar al numărătorului și numitorului formei
pe axa numerelor corespunde unui punct , iar la trecerea prin acest punct
schimba semnul. În metoda sectorului, fiecare factor al formei
, Unde
- una dintre funcțiisinx saucosx Și
, într-un cerc trigonometric îi corespund două unghiuri Și
, care împart cercul în două sectoare. La trecere prin Și funcţie
schimba semnul.

Trebuie reținute următoarele:

a) Factorii formei
Și
, Unde
, păstrați semnul pentru toate valorile . Astfel de factori ai numărătorului și numitorului sunt eliminați prin schimbare (dacă
) cu fiecare astfel de respingere, semnul inegalității este inversat.

b) Factorii formei
Și
sunt de asemenea aruncate. Mai mult, dacă aceștia sunt factori ai numitorului, atunci inegalitățile de formă sunt adăugate sistemului echivalent de inegalități
Și
. Dacă aceștia sunt factori ai numărătorului, atunci în sistemul echivalent de restricții corespund inegalităților
Și
în cazul unei inegalități inițiale stricte și egalitate
Și
în cazul unei inegalităţi iniţiale nestricte. La aruncarea multiplicatorului
sau
semnul inegalității este inversat.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitățile: a)
, b)
. avem funcția b) . Rezolvați inegalitatea pe care o avem,

3.2. Metoda cercului concentric

Această metodă este un analog al metodei axelor numerice paralele pentru rezolvarea sistemelor de inegalități raționale.

Să luăm în considerare un exemplu de sistem de inegalități.

Exemplul 5. Rezolvați un sistem de inegalități trigonometrice simple

În primul rând, rezolvăm fiecare inegalitate separat (Figura 5). În colțul din dreapta sus al figurii vom indica pentru ce argument se ia în considerare cercul trigonometric.

Fig.5

Apoi, construim un sistem de cercuri concentrice pentru argumentX . Desenăm un cerc și îl umbrim conform soluției primei inegalități, apoi desenăm un cerc de rază mai mare și îl umbrim conform soluției celei de-a doua, apoi construim un cerc pentru a treia inegalitate și un cerc de bază. Desenăm raze din centrul sistemului prin capetele arcelor, astfel încât acestea să intersecteze toate cercurile. Formăm o soluție pe cercul de bază (Figura 6).

Fig.6

Răspuns:
,
.

Concluzie

Toate obiectivele cercetării cursului au fost îndeplinite. Materialul teoretic este sistematizat: sunt date principalele tipuri de inegalități trigonometrice și principalele metode de rezolvare a acestora (grafică, algebrică, metoda intervalelor, sectoarelor și metoda cercurilor concentrice). Pentru fiecare metodă a fost dat un exemplu de rezolvare a unei inegalități. Partea teoretică a fost urmată de partea practică. Conține un set de sarcini pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice.

Acest curs poate fi folosit de studenți pentru muncă independentă. Elevii pot verifica nivelul de stăpânire a acestui subiect și pot exersa îndeplinirea sarcinilor de complexitate diferită.

După ce am studiat literatura relevantă pe această problemă, putem concluziona în mod evident că abilitatea și abilitățile de a rezolva inegalitățile trigonometrice în cursul școlar de algebră și analiză elementară sunt foarte importante, a căror dezvoltare necesită un efort semnificativ din partea profesorului de matematică.

Prin urmare, această lucrare va fi utilă profesorilor de matematică, deoarece face posibilă organizarea eficientă a formării elevilor pe tema „Inegalități trigonometrice”.

Cercetarea poate fi continuată prin extinderea acesteia la o lucrare finală de calificare.

Lista literaturii folosite

Bogomolov, N.V. Culegere de probleme de matematică [Text] / N.V. Bogomolov. – M.: Butarda, 2009. – 206 p.

Vygodsky, M.Ya. Manual de matematică elementară [Text] / M.Ya. Vygodski. – M.: Butarda, 2006. – 509 p.

Zhurbenko, L.N. Matematică în exemple și probleme [Text] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

Ivanov, O.A. Matematică elementară pentru școlari, elevi și profesori [Text] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

Karp, A.P. Teme de algebră și începuturi de analiză pentru organizarea repetiției finale și certificarea în clasa a 11-a [Text] / A.P. Crap. – M.: Educație, 2005. – 79 p.

Kulanin, E.D. 3000 de probleme de concurs la matematică [Text] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

Leibson, K.L. Culegere de sarcini practice la matematică [Text] / K.L. Leibson. – M.: Butarda, 2010. – 182 p.

Cot, V.V. Probleme cu parametrii și soluțiile acestora. Trigonometrie: ecuații, inegalități, sisteme. Clasa a X-a [Text] / V.V. Cot. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

Manova, A.N. Matematică. Tutor expres pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat: student. manual [Text] / A.N. Manova. – Rostov-pe-Don: Phoenix, 2012. – 541 p.

Mordkovich, A.G. Algebra și începutul analizei matematice. 10-11 clase. Manual pentru elevii instituțiilor de învățământ general [Text] / A.G. Mordkovici. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

Novikov, A.I. Funcții trigonometrice, ecuații și inegalități [Text] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

Oganesyan, V.A. Metode de predare a matematicii în liceu: Metodologia generală. Manual manual pentru studenții la fizică - mat. fals. ped. Inst. [Text] / V.A. Oganesyan. – M.: Educație, 2006. – 368 p.

Olehnik, S.N. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandard [Text] / S.N. Olehnik. – M.: Editura Factorial, 1997. – 219 p.

Sevriukov, P.F. Ecuații și inecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice [Text] / P.F. Sevriukov. – M.: Învățământul public, 2008. – 352 p.

Sergheev, I.N. Examen de stat unificat: 1000 de probleme cu răspunsuri și soluții la matematică. Toate sarcinile grupului C [Text] / I.N. Sergheev. – M.: Examen, 2012. – 301 p.

Sobolev, A.B. Matematică elementară [Text] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior USTU-UPI, 2005. – 81 p.

Fenko, L.M. Metoda intervalelor în rezolvarea inegalităților și studierea funcțiilor [Text] / L.M. Fenko. – M.: Butarda, 2005. – 124 p.

Friedman, L.M. Fundamentele teoretice ale metodelor de predare a matematicii [Text] / L.M. Friedman. – M.: Casa de carte „LIBROKOM”, 2009. – 248 p.

Anexa 1

Interpretarea grafică a soluțiilor la inegalități simple

Orez. 1

Orez. 2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Anexa 2

Soluții la inegalități simple

Proiect de algebră „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” Realizat de elevul clasei 10 „B” Kazachkova Yulia Conducător: profesor de matematică Kochakova N.N.

Scop Consolidarea materialului pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” și crearea unui memento pentru ca studenții să se pregătească pentru examenul viitor.

Obiective: Rezumați materialul pe această temă. Sistematizează informațiile primite. Luați în considerare acest subiect în cadrul examenului de stat unificat.

Relevanță Relevanța temei pe care am ales-o constă în faptul că sarcinile pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” sunt incluse în sarcinile Examenului de stat unificat.

Inegalități trigonometrice O inegalitate este o relație care leagă două numere sau expresii prin unul dintre semnele: (mai mare decât); ≥ (mai mare sau egal cu). O inegalitate trigonometrică este o inegalitate care implică funcții trigonometrice.

Inegalități trigonometrice Soluția inegalităților care conțin funcții trigonometrice se reduce, de regulă, la rezolvarea celor mai simple inegalități de forma: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x

Algoritm de rezolvare a inegalităților trigonometrice Pe o axă corespunzătoare uneia date functie trigonometrica, rețineți asta valoare numerica această funcție. Desenați o linie prin punctul marcat care intersectează cercul unitar. Selectați punctele de intersecție ale unei linii și ale unui cerc, ținând cont de semnul de inegalitate strictă sau nestrictă. Selectați arcul de cerc pe care se află soluțiile inegalității. Determinați valorile unghiurilor la punctele de început și de sfârșit ale arcului circular. Notați soluția inegalității ținând cont de periodicitatea funcției trigonometrice date.

Formule de rezolvare a inegalităților trigonometrice sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn ; arctan + πn). ctgx

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază sinx >a

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază sinx

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază cosx >a

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază cosx

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază tgx >a

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază tgx

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază ctgx >a

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază ctgx

Metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul numeric; Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind graficul unei funcții. :

Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul numeric Exemplul 1: : Răspuns:

Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul numeric Exemplul 1: Răspuns:

Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind graficul unei funcții Exemplu: Răspuns:

Rezultatul muncii mi-am consolidat cunoștințele pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice”. Sistematizarea informațiilor primite pe această temă pentru ușurința percepției: a dezvoltat un algoritm pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice; a conturat două soluții; exemple demonstrate de soluții. :

Rezultatul lucrării De asemenea, atașat proiectului meu ca produs finit este „Memo pentru studenții care se pregătesc pentru examenul de algebră”. Document Microsoft Office Word (2). docx:

Literatura folosită manual de algebră pentru clasa a 10-a „Algebra și începuturile analizei” editat de A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

1. Dacă argumentul este complex (diferit de X), apoi înlocuiți-l cu t.

2. Construim într-una plan de coordonate jucărie grafice de funcții y=costȘi y=a.

3. Găsim astfel două puncte de intersecție adiacente ale graficelor, între care se află deasupra dreptei y=a. Găsim abscisele acestor puncte.

4. Scrieți o inegalitate dublă pentru argument t, ținând cont de perioada cosinus ( t va fi între abscisele găsite).

5. Faceți o înlocuire inversă (reveniți la argumentul inițial) și exprimați valoarea X din dubla inegalitate scriem raspunsul sub forma unui interval numeric.

Exemplul 1.

În continuare, conform algoritmului, determinăm acele valori ale argumentului t, la care se află sinusoida superior Drept. Să scriem aceste valori ca o inegalitate dublă, ținând cont de periodicitatea funcției cosinus, apoi să revenim la argumentul original X.

Exemplul 2.

Selectarea unui interval de valori t, în care sinusoida este deasupra dreptei.

Scriem valorile sub formă de dublă inegalitate t, satisfacerea conditiei. Nu uitați că cea mai mică perioadă a funcției y=cost egală 2π. Revenind la variabilă X, simplificând treptat toate părțile inegalității duble.

Scriem răspunsul sub forma unui interval numeric închis, deoarece inegalitatea nu era strictă.

Exemplul 3.

Ne va interesa gama de valori t, în care punctele sinusoidei se vor afla deasupra dreptei.

Valori t scrieți-l sub forma unei inegalități duble, rescrieți aceleași valori pentru 2x si exprima X. Să scriem răspunsul sub forma unui interval numeric.

Și din nou formulă cost>a.

Dacă cost>a, (-1≤A≤1), atunci - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Aplicați formule pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice și veți economisi timp la testarea examenului.

Si acum formulă , pe care ar trebui să-l utilizați în cadrul UNT sau Unified State Examination atunci când decideți inegalitatea trigonometrică drăguț cost