Progresia aritmetică a n. Algebră: progresii aritmetice și geometrice

27.09.2019

Dacă pentru fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .

Asa de, succesiune de numere— funcția argumentului natural.

Număr A 1 numit primul termen al secvenței , număr A 2 — al doilea termen al secvenței , număr A 3 — al treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .

Din doi membri alăturați un n Și un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).

Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.

De exemplu,

o succesiune de numere impare pozitive poate fi dată prin formula

un n= 2n- 1,

iar succesiunea alternării 1 Și -1 - formulă

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

Dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric se stabilesc după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final Și fără sfârşit .

Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.

De exemplu,

succesiune de numere naturale din două cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Succesiunea numerelor prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.

Secvența este numită in scadere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄

O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .

Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.

Progresie aritmetică

Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .

este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n este îndeplinită condiția:

un n +1 = un n + d,

Unde d - un anumit număr.

Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Număr d numit diferența de progresie aritmetică.

Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

Dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n

un n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1 + (n- 2)d,

un n= a 1 + (n- 1)d,

un n +1 = A 1 + nd,

atunci evident

un n=	a n-1 + a n+1
	2

Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un n,
2		2

◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k

un n = un k + (n- k)d.

De exemplu,

Pentru A 5 poate fi notat

un 5 = a 1 + 4d,

un 5 = a 2 + 3d,

un 5 = a 3 + 2d,

un 5 = a 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n+k - kd,

atunci evident

un n=	A n-k +a n+k
	2

orice membru al unei progresii aritmetice, începând cu al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor egal distanțați ai acestei progresii aritmetice.

În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,

primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:

De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii

un k, un k +1 , . . . , un n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile A 1 , un n, d, nȘiS n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:

Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.

Progresie geometrică

Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n este îndeplinită condiția:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un anumit număr.

Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q numit numitorul progresiei geometrice.

Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q a ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:

b n = b 1 · qn -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.

Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

Să demonstrăm că succesiunea dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · qn - k.

De exemplu,

Pentru b 5 poate fi notat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul termenilor acestei progresii echidistant de acesta.

În plus, pentru orice progresie geometrică egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

în progresie geometrică

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:

Și atunci când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

De exemplu,

în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nȘi S n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :

progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și q> 1;

b 1 < 0 Și 0 < q< 1;

Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și 0 < q< 1;

b 1 < 0 Și q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , acesta este

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

De exemplu,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice

Aritmetică și progresie geometrică sunt strâns legate între ele. Să ne uităm la doar două exemple.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , Acea

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

De exemplu,

1, 3, 5, . . . - progresie aritmetica cu diferenta 2 Și

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , Acea

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetica cu diferenta log aq .

De exemplu,

2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 Și

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetica cu diferenta lg 6 . ◄

Progresie aritmetică denumește o succesiune de numere (termeni ai unei progresii)

În care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent printr-un termen nou, care se mai numește diferență de pas sau de progresie.

Astfel, prin specificarea pasului de progresie și a primului său termen, puteți găsi oricare dintre elementele acestuia folosind formula

Proprietățile unei progresii aritmetice

1) Fiecare membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea număr, este media aritmetică a membrilor anteriori și următori ai progresiei

Este adevărat și invers. Dacă media aritmetică a termenilor impari (pari) adiacenți ai unei progresii este egală cu termenul care se află între ei, atunci această succesiune de numere este o progresie aritmetică. Folosind această declarație, este foarte ușor să verificați orice secvență.

De asemenea, prin proprietatea progresiei aritmetice, formula de mai sus poate fi generalizată la următoarele

Acest lucru este ușor de verificat dacă scrieți termenii în dreapta semnului egal

Este adesea folosit în practică pentru a simplifica calculele în probleme.

2) Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează folosind formula

Amintiți-vă bine formula pentru suma unei progresii aritmetice; este indispensabilă în calcule și se găsește destul de des în situații simple de viață.

3) Dacă trebuie să găsiți nu întreaga sumă, ci o parte a secvenței pornind de la al-lea membru, atunci veți avea nevoie următoarea formulă sume

4) De interes practic este găsirea sumei n termeni ai unei progresii aritmetice pornind de la numărul k-lea. Pentru a face acest lucru, utilizați formula

Aceasta încheie materialul teoretic și trece la rezolvarea problemelor comune în practică.

Exemplul 1. Aflați al patruzecilea termen al progresiei aritmetice 4;7;...

Soluţie:

Dupa starea pe care o avem

Să stabilim pasul de progres

Folosind o formulă binecunoscută, găsim al patruzecelea termen al progresiei

Exemplul 2. O progresie aritmetică este dată de al treilea și al șaptelea termen. Găsiți primul termen al progresiei și suma a zece.

Soluţie:

Să notăm elementele date ale progresiei folosind formulele

Pe prima o scadem din a doua ecuatie, ca rezultat gasim pasul de progresie

Înlocuim valoarea găsită în oricare dintre ecuații pentru a găsi primul termen al progresiei aritmetice

Calculăm suma primilor zece termeni ai progresiei

Fără a folosi calcule complexe, am găsit toate cantitățile necesare.

Exemplul 3. O progresie aritmetică este dată de numitor și unul dintre termenii săi. Găsiți primul termen al progresiei, suma celor 50 de termeni ai săi începând de la 50 și suma primilor 100.

Soluţie:

Să notăm formula pentru al sutelea element al progresiei

și găsește-l pe primul

Pe baza primului, găsim al 50-lea termen al progresiei

Aflarea sumei părții din progresie

și suma primelor 100

Valoarea progresiei este de 250.

Exemplul 4.

Aflați numărul de termeni ai unei progresii aritmetice dacă:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Soluţie:

Să scriem ecuațiile în termenii primului termen și al pasului de progresie și să le determinăm

Înlocuim valorile obținute în formula sumei pentru a determina numărul de termeni din sumă

Efectuăm simplificări

și rezolvați ecuația pătratică

Dintre cele două valori găsite, doar numărul 8 se potrivește condițiilor problemei. Astfel, suma primilor opt termeni ai progresiei este 111.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația

1+3+5+...+x=307.

Rezolvare: Această ecuație este suma unei progresii aritmetice. Să scriem primul său termen și să găsim diferența de progres

Sau aritmetica este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.

Ce fel de progres este aceasta?

Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.

Orice succesiune de numere reale care se obține prin adăugarea (scăderea) unei valori din fiecare număr anterior se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:

Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând doar un număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.

Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.

Care este suma unei progresii aritmetice: formula

Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită să luați în considerare un simplu caz special. Având în vedere o progresie a numerelor naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Merită să luați în considerare un lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Într-adevăr:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.

Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor pe rând; este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n , precum și numărul total n termeni.

Se crede că Gauss a fost primul care s-a gândit la această egalitate atunci când a căutat o soluție la o anumită problemă. profesor de școală sarcină: însumați primele 100 de numere întregi.

Suma elementelor de la m la n: formula

Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să o facă?

Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la m-a la n-a. Pentru a rezolva problema, ar trebui să reprezentați segmentul dat de la m la n al progresiei ca un nou serie de numere. În așa m-a reprezentare termenul a m va fi primul, iar un n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemplu de utilizare a formulelor

Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.

Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-lea:

Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Cunoașterea valorilor numerelor de la sfârșitul datei progresie algebrică, și știind, de asemenea, ce numere din rândul ocupă, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente prin formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama ce înseamnă progresia aritmetică și totul se va îmbunătăți imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor urma numerele 6, 7, 8, 9 etc.

Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20, felicitări! Nu numai că ai simțit puncte cheie progresie aritmetica, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Aici era: Fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, progresia aritmetică va dispărea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în subiect nou apar noi termeni și denumiri. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.

unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga La Al patrulea, bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja număr negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați prin decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d nevoie de la orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problemă! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera A. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).

Se întâmplă progrese finit și infinit.

Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:

1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Este dată o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,...

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5Și d = -2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen s-a dovedit a fi mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 conform binecunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Asta este. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.

Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul trei principale parametri: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați membrii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne să scrieți răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?

Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.

Răspuns: nu.

Și iată o problemă bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consistent" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:

Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Poți stăpâni progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt rezolvate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!

Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție am analizat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Se dă o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?

Poți.) Dacă nu știi formulă simplă, care vă permite să rezolvați astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o introducem forma generala si obtinem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

termenul anterior al progresiei este:
următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a atribuit următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la la (conform altor surse la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.

Ai încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum spune-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ni s-a dat? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și în tot acest timp oameni duhovnici a folosit pe deplin proprietățile progresiei aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul anticși cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Figura arată o latură a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.

De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

ÎN în acest caz, Progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

Instruire

Sarcini:

Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Să înlocuim datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.
Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:
Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

- o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor numere cu două cifre, multipli.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Aici este dat: , trebuie găsit.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm traseul parcurs în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
(km).
Răspuns:
Dat: . Găsi: .
Mai simplu nu poate fi:
(freca).
Răspuns: