Formule simple de înmulțire. Calculator online Simplificarea unui polinom Înmulțirea polinoamelor

Cuvinte cheie:

pătrat de sumă, pătrat de diferență, cub de sumă, cub de diferență, diferență de pătrate, sumă de cuburi, diferență de cuburi

Patratul sumei două cantități este egal cu pătratul primei plus de două ori produsul primei și a doua plus pătratul celei de-a doua cantități. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

• Diferența pătrată două cantități este egală cu pătratul primei minus de două ori produsul primei și a doua plus pătratul celei de-a doua. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
• Produsul sumei a două mărimi și diferența lor este egal cu diferențele pătratelor lor. (a+b)(a-b)=a2-b2
• LAsumă dec două cantități este egală cu cubul primei cantități plus triplul produsului dintre pătratul primei și al doilea plus produsul triplu al primei cu pătratul celei de-a doua plus cubul celui de-al doilea.

  (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

• LAdec diferenta două cantități este egală cu cubul primului minus triplul produsului dintre pătratul primei și al doilea plus triplul produsului primei și pătratul celui de-al doilea minus cubul celui de-al doilea.

  (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

• Produsul sumei a două mărimi și pătratul parțial al diferenței este egal cu suma cuburilor lor. (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
• Produsul diferenței a două mărimi cu pătratul parțial al sumei este egal cu diferențele cuburilor lor.

  (a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Foarte des, aducerea unui polinom la forma standard se poate face folosind formule de multiplicare abreviate. Toate pot fi dovedite prin deschiderea directă a parantezelor și aducând termeni similari. Trebuie să știți formulele de înmulțire prescurtate pe de rost:

Exemplu. Să demonstrăm formula a 3 +b 3 = (A + b)(A 2 – ab + b 2).

Avem: (A + b)(A 2 – ab + b 2) = A 3 – A 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Aducând termeni similari, vedem asta

(A + b)(A 2 – ab + b 2) = a 3 +b 3, care demonstrează formula dorită.

Nu este suficient să cunoști formulele de înmulțire abreviate pe de rost. Trebuie să învățăm și să vedem în beton expresie algebrica această formulă.

De exemplu:

49m 2 – 42mn + 9n 2 = (7m – 3n) 2

Sau un alt exemplu, mai complicat:

De asemenea, este util să știți cum să ridicați un binom la o putere mai mare de 3. O formulă care vă permite să scrieți expansiunea unei sume algebrice a doi termeni de un grad arbitrar a fost propusă pentru prima dată de Newton în 1664–1665 și a fost numit binomul lui Newton. Coeficienții formulei se numesc coeficienți binomiali. Dacă n este un număr întreg pozitiv, atunci coeficienții dispar pentru orice k > n, deci expansiunea conține doar un număr finit de termeni. În toate celelalte cazuri, expansiunea este o serie infinită (binomă). (Condițiile pentru convergența unei serii binomiale au fost stabilite pentru prima dată la începutul secolului al XIX-lea de către N. Abel.) Astfel de cazuri speciale precum

au fost cunoscute cu mult înainte de Newton. Dacă n este un număr întreg pozitiv, atunci coeficientul binom pentru a n-kb kîn formula binomială există numărul de combinații de la n la k, notat cu C k n. Pentru valori mici ale lui n, coeficienții pot fi găsiți din triunghiul lui Pascal:

În lecția anterioară ne-am ocupat de factorizare. Am stăpânit două metode: scoaterea din paranteze a factorului comun și gruparea. În această lecție - următoarea metodă puternică: formule de înmulțire prescurtate. Pe scurt - FSU.

Formulele de înmulțire prescurtate (suma și diferența pătratului, suma și diferența cub, diferența de pătrate, suma și diferența de cuburi) sunt extrem de necesare în toate ramurile matematicii. Sunt folosite în simplificarea expresiilor, rezolvarea ecuațiilor, înmulțirea polinoamelor, reducerea fracțiilor, rezolvarea integralelor etc. și așa mai departe. Pe scurt, există toate motivele să ne ocupăm de ei. Înțelegeți de unde provin, de ce sunt necesare, cum să le amintiți și cum să le folosiți.

înțelegem?)

De unde provin formulele de înmulțire abreviate?

Egalitățile 6 și 7 nu sunt scrise într-un mod foarte familiar. Este cam invers. Acest lucru este intenționat.) Orice egalitate funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Această intrare arată mai clar de unde provin FSU-urile.

Sunt luate din înmulțire.) De exemplu:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Asta e, fără trucuri științifice. Pur și simplu înmulțim parantezele și dăm altele similare. Așa se dovedește toate formulele de înmulțire prescurtate. Abreviatînmulțirea se datorează faptului că în formulele în sine nu există înmulțirea parantezelor și reducerea celor similare. Abreviat.) Rezultatul este dat imediat.

FSU trebuie cunoscut pe de rost. Fără primele trei, nu poți visa la un C; fără restul, nu poți visa la un B sau A.)

De ce avem nevoie de formule de înmulțire prescurtate?

Există două motive pentru a învăța, chiar și a memora aceste formule. Primul este că un răspuns gata făcut reduce automat numărul de erori. Dar asta nu este cel mai mult Motivul principal. Dar al doilea...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, V proces, și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Pentru a simplifica polinoamele algebrice, există formule de înmulțire prescurtate. Nu sunt atât de multe și sunt ușor de reținut, dar trebuie să le amintiți. Notația folosită în formule poate lua orice formă (număr sau polinom).

Prima formulă de înmulțire prescurtată se numește diferența de pătrate. Constă în scăderea pătratului unui număr din pătratul celui de-al doilea număr, care este egal cu diferența dintre aceste numere, precum și cu produsul lor.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Să ne uităm la asta pentru claritate:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

A doua formulă este despre suma patratelor. Se pare că suma a două cantități pătrate este egală cu pătratul primei cantități, i se adaugă produsul dublu al primei cantități înmulțit cu a doua, pătratul celei de-a doua cantități i se adaugă.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Datorită acestei formule, devine mult mai ușor de calculat pătratul lui un numar mare, fără utilizarea tehnologiei informatice.

Deci de exemplu: pătratul lui 112 va fi egal cu
1) În primul rând, să descompunem 112 în numere ale căror pătrate ne sunt familiare
112 = 100 + 12
2) Introducem rezultatul între paranteze pătrate
112 2 = (100+12) 2
3) Aplicând formula, obținem:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

A treia formulă este diferenta la patrat. Ceea ce spune că două mărimi scăzute una de alta într-un pătrat sunt egale, deoarece din prima mărime pătrat scădem produsul dublu al primei mărimi înmulțit cu a doua, adăugându-le pătratul celei de-a doua mărimi.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

unde (a - b) 2 este egal cu (b - a) 2. Pentru a demonstra acest lucru, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

A patra formulă pentru înmulțirea prescurtată se numește cub de sumă. Ceea ce sună așa: două cantități sumande dintr-un cub sunt egale cu cubul unei cantități, se adaugă produsul triplu al unei cantități la pătrat înmulțit cu a 2-a cantitate, la acestea se adaugă produsul triplu al unei cantități înmulțit cu pătratul 2 cantități, plus a doua cantitate cuburi.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

A cincea, așa cum ați înțeles deja, se numește cub de diferență. Care găsește diferențele dintre mărimi, întrucât din prima notație din cub scădem produsul triplu al primei notații din pătrat înmulțit cu a doua, la acestea se adaugă produsul triplu al primei notații înmulțit cu pătratul celei de-a doua. notație, minus a doua notație din cub.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Al șaselea se numește - suma de cuburi. Suma cuburilor este egală cu produsul celor doi aditivi înmulțit cu pătratul parțial al diferenței, deoarece nu există o valoare dublă în mijloc.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Un alt mod de a spune suma cuburilor este să o numiți produsul din două paranteze.

Al șaptelea și ultimul se numește diferenta de cuburi(poate fi ușor confundat cu formula cubului de diferență, dar acestea sunt lucruri diferite). Diferența de cuburi este egală cu produsul diferenței a două cantități înmulțit cu pătratul parțial al sumei, deoarece nu există o valoare dublă în mijloc.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Și deci există doar 7 formule de înmulțire prescurtată, sunt asemănătoare între ele și sunt ușor de reținut, singurul lucru important este să nu te încurci în semne. De asemenea, sunt concepute pentru a fi utilizate în ordine inversăși există destul de multe astfel de sarcini colectate în manuale. Fii atent și totul se va rezolva pentru tine.

Dacă aveți întrebări despre formule, asigurați-vă că le scrieți în comentarii. Vom fi bucuroși să vă răspundem!

Dacă ești în concediu de maternitate, dar vrei să câștigi bani. Doar urmați linkul Afaceri pe Internet cu Oriflame. Totul este scris și arătat acolo în detaliu. Va fi interesant!

Ele sunt folosite pentru a simplifica calculele, precum și pentru factorizarea polinoamelor și înmulțirea rapidă a polinoamelor. Cele mai multe formule de înmulțire abreviate pot fi obținute din binomul lui Newton - veți vedea în curând acest lucru.

Formule pentru pătrate folosit în calcule mai des. Ele încep să fie studiate în curiculumul scolarÎncepând din clasa a VII-a și până la finalul studiilor, școlarii ar trebui să cunoască pe de rost formule pentru pătrate și cuburi.

Formule pentru cuburi nu foarte complicat și trebuie să le cunoașteți atunci când reduceți polinoamele la forma standard, pentru a simplifica ridicarea sumei sau diferenței unei variabile și a unui număr la cub.

Formulele indicate cu roșu se obțin din cele precedente prin gruparea termenilor similari.

Formule pentru gradul al patrulea și al cincilea Puțini oameni îl vor găsi util într-un curs școlar, dar există probleme în studiul matematicii superioare în care trebuie să calculați coeficienții puterilor.

Formule pentru grad n se scriu prin coeficienți binomi folosind următorii factoriali

Exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate

Exemplul 1. Calculați 51^2.

Soluţie. Dacă ai un calculator, îl poți găsi fără probleme.

Glumeam - toata lumea este inteleapta cu calculatorul, fara el... (sa nu mai vorbim de lucruri triste).

Fără calculator și cunoscând regulile de mai sus, găsim pătratul unui număr folosind regula

Exemplul 2. Aflați 99^2.

Soluţie. Să aplicăm a doua formulă

Exemplul 3: Patratul expresiei
(x+y-3).

Soluţie. Considerăm mental că suma primilor doi termeni este un singur termen și, folosind a doua formulă pentru înmulțirea prescurtată, avem

Exemplul 4. Aflați diferența de pătrate
11^2-9^2.

Soluţie. Deoarece numerele sunt mici, puteți pur și simplu înlocui valorile pătratelor

Dar scopul nostru este complet diferit - să învățăm cum să folosim formule de înmulțire abreviate pentru a simplifica calculele. Pentru acest exemplu, aplicăm a treia formulă

Exemplul 5. Aflați diferența de pătrate
17^2-3^2 .

Soluţie. În acest exemplu, veți dori deja să studiați regulile pentru a reduce calculele la o singură linie

După cum puteți vedea, nu am făcut nimic surprinzător.

Exemplul 6: Simplificați o expresie
(x-y)^2-(x+y)^2.

Soluţie. Puteți aranja pătrate și le puteți grupa mai târziu termeni similari. Cu toate acestea, se poate aplica direct diferența de pătrate

Simplu și fără soluții lungi.

Exemplul 7. Cub un polinom
x^3-4.

Soluție. Să aplicăm formula de înmulțire prescurtată cu 5

Exemplul 8. Scrieți ca diferență de pătrate sau suma lor
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29

Soluţie. a) Rearanjați termenii

b) Simplificați pe baza argumentelor anterioare

Exemplul 9. Extindeți o fracție rațională

Soluţie. Să aplicăm formula diferenței de pătrate

Să creăm un sistem de ecuații pentru a determina constantele

Să adăugăm pe al doilea la prima ecuație triplă. Inlocuim valoarea gasita in prima ecuatie

Descompunerea va lua în sfârșit forma

Extinderea unei fracții raționale este adesea necesară înainte de integrare pentru a reduce puterea numitorului.

Exemplul 10. Folosind binomul lui Newton, scrieți
expresia (x-a)^7.

Soluţie. Probabil că știți deja ce este un binom Newton. Dacă nu, mai jos sunt coeficienții binomi

Ele sunt formate după cum urmează: unitățile merg de-a lungul marginii, coeficienții dintre ele în linia de jos sunt formați prin însumarea celor de sus adiacente. Dacă căutăm o diferență într-o oarecare măsură, atunci semnele din program alternează de la plus la minus. Astfel, pentru a șaptea comandă obținem următorul aspect

De asemenea, uitați-vă cu atenție la modul în care se schimbă indicatorii - pentru prima variabilă ei scad cu câte una în fiecare termen ulterior, respectiv pentru al doilea cresc cu câte unul. În total, indicatorii trebuie să fie întotdeauna egali cu gradul de descompunere (=7).

Cred că pe baza materialului de mai sus veți putea rezolva probleme folosind binomul lui Newton. Învață formule de înmulțire abreviate și aplică-le oriunde pot simplifica calculele și pot economisi timp la sarcini.