Törtszám csökkentése online számológép. A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok példákkal

Sok diák követi el ugyanazokat a hibákat, amikor törtekkel dolgozik. És mindezt azért, mert elfelejtik az alapvető szabályokat számtan. Ma megismételjük ezeket a szabályokat konkrét feladatoknál, amelyeket az óráimon adok.

Íme a feladat, amit mindenkinek ajánlok, aki egységes matematika államvizsgára készül:

Feladat. Egy barna delfin naponta 150 gramm táplálékot eszik meg. De felnőtt, és 20%-kal többet kezdett enni. Hány gramm takarmányt eszik most a malac?

Nem helyes megoldás. Ez egy százalékos probléma, amely a következő egyenletre vezethető vissza:

Sokan (nagyon sokan) csökkentik a 100-as számot a tört számlálójában és nevezőjében:

Ezt a hibát követte el tanítványom a cikk megírásának napján. A csonkolt számok pirossal vannak jelölve.

Mondanom sem kell, rossz volt a válasz. Ítélje meg maga: a malac 150 grammot evett, de 3150 grammot kezdett enni. A növekedés nem 20%-os, hanem 21-szeres, i.e. 2000%-kal.

Az ilyen félreértések elkerülése érdekében emlékezzen az alapvető szabályra:

Csak a szorzók csökkenthetők. A feltételek nem csökkenthetők!

Így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:

A számlálóban és a nevezőben rövidített számok piros színnel vannak jelölve. Mint látható, a számláló szorzat, a nevező pedig egy közönséges szám. Ezért a csökkentés teljesen törvényes.

Az arányokkal való munka

Egy másik problémás terület arányokat. Főleg, ha a változó mindkét oldalon van. Például:

Feladat. Oldja meg az egyenletet:

Rossz megoldás - egyesek szó szerint viszketnek, hogy mindent lerövidítsenek m-rel:

A csökkentett változók piros színnel jelennek meg. Az 1/4 = 1/5 kifejezés teljes nonszensznek bizonyul, ezek a számok soha nem egyenlők.

És most - a helyes döntés. Lényegében közönséges lineáris egyenlet . Megoldható az összes elem egy oldalra mozgatásával, vagy az arányosság alapvető tulajdonságával:

Sok olvasó tiltakozik: „Hol a hiba az első megoldásban?” Nos, derítsük ki. Emlékezzünk az egyenletekkel való munka szabályára:

Bármely egyenlet tetszőleges számmal osztható és szorozható, nem nulla.

Lemaradtál a trükkről? Csak számokkal lehet osztani nem nulla. Konkrétan az m változóval csak akkor osztható, ha m != 0. De mi van akkor, ha végül is m = 0? Cseréljük le és ellenőrizzük:

Megkaptuk a helyes számszerű egyenlőséget, i.e. m = 0 az egyenlet gyöke. A maradék m != 0-ra 1/4 = 1/5 alakú kifejezést kapunk, ami természetesen hibás. Így nincsenek nullától eltérő gyökök.

Következtetések: mindent összerakva

Tehát a tört racionális egyenletek megoldásához emlékezzen három szabályra:

1. Csak a szorzók csökkenthetők. A kiegészítések nem megengedettek. Ezért tanulja meg a számláló és a nevező tényezőjét;
2. Az arányosság fő tulajdonsága: a szélső elemek szorzata egyenlő a középsők szorzatával;
3. Az egyenleteket csak a nullától eltérő k számokkal lehet szorozni és osztani. A k = 0 esetet külön kell ellenőrizni.

Ne felejtse el ezeket a szabályokat, és ne hibázz.

Online számológép végez algebrai törtek csökkentése törtek redukálásának szabálya szerint: az eredeti tört helyébe egyenlő tört, de kisebb számláló és nevező, azaz. Egy tört számlálójának és nevezőjének egyidejű elosztása közös legnagyobb közös tényezőjükkel (GCD). A számológép részletes megoldást is megjelenít, amely segít megérteni a csökkentés sorrendjét.

Adott:

Megoldás:

Törtcsökkentés végrehajtása

algebrai törtredukció végrehajtásának lehetőségének ellenőrzése

1) A tört számlálója és nevezője legnagyobb közös osztójának (GCD) meghatározása

egy algebrai tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztójának (GCD) meghatározása

2) Tört számlálójának és nevezőjének csökkentése

egy algebrai tört számlálójának és nevezőjének csökkentése

3) A tört teljes részének kijelölése

egy algebrai tört egész részét elválasztva

4) Algebrai tört átalakítása tizedes törtté

algebrai törtet konvertálva erre decimális

Segítség a projekt weboldal fejlesztéséhez

Tisztelt Oldal Látogató.
Ha nem találtad, amit kerestél, mindenképpen írd meg kommentben, hogy mi hiányzik jelenleg az oldalról. Ez segít abban, hogy megértsük, melyik irányba kell továbblépnünk, és hamarosan a többi látogató is megkaphatja a szükséges anyagokat.
Ha az oldal hasznosnak bizonyult az Ön számára, adományozza a webhelyet a projektnek csak 2 ₽és tudni fogjuk, hogy jó irányba haladunk.

Köszönjük, hogy benéztél!

I. Eljárás algebrai tört csökkentésére online számológép segítségével:

1. Az algebrai tört csökkentéséhez írja be a tört számlálójának és nevezőjének értékeit a megfelelő mezőkbe. Ha a tört vegyes, akkor a tört teljes részének megfelelő mezőt is töltse ki. Ha a tört egyszerű, hagyja üresen a teljes alkatrész mezőt.
2. Beállít negatív tört, tegyen mínuszjelet a tört teljes részére.
3. A megadott algebrai törttől függően a következő műveletsorok automatikusan végrehajtásra kerülnek:

• a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztójának (GCD) meghatározása;
• tört számlálójának és nevezőjének csökkentése gcd-vel;
• töredék egész részét kiemelve, ha a végső tört számlálója nagyobb, mint a nevező.
• a végső algebrai tört tizedes törtté alakítása századra kerekítve.

A redukció nem megfelelő törtet eredményezhet. Ebben az esetben a végső helytelen tört teljes része kiemelve lesz, és a végső tört megfelelő törtté alakul.

II. Tájékoztatásul:

A tört olyan szám, amely egy egység egy vagy több részéből (törtrészéből) áll. Egy közönséges tört (egyszerű tört) két számként (a tört számlálója és a tört nevezője) íródik fel, amelyeket az osztásjelet jelző vízszintes sáv (törtsáv) választ el egymástól. A tört számlálója a törtvonal feletti szám. A számláló azt mutatja, hogy hány részesedést vettek el az egészből. A tört nevezője a törtvonal alatti szám. A nevező azt mutatja, hogy mennyi egyenlő arányban az egész megoszlik. Az egyszerű tört olyan tört, amelynek nincs egész része. Az egyszerű tört lehet megfelelő vagy helytelen. megfelelő tört - olyan tört, amelynek számlálója kevesebb, mint a nevező, tehát a megfelelő tört mindig kisebb egynél. Példa a megfelelő törtekre: 8/7, 11/19, 16/17. A nem megfelelő tört olyan tört, amelyben a számláló nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező, tehát a helytelen tört mindig nagyobb vagy egyenlő, mint egy. Példa a helytelen törtekre: 7/6, 8/7, 13/13. vegyes tört olyan szám, amely egy egész számot és egy megfelelő törtet tartalmaz, és az egész szám és a megfelelő tört összegét jelöli. Bármilyen kevert frakció nem megfelelő törtté alakítható. Példa kevert frakciókra: 1¼, 2½, 4¾.

III. Jegyzet:

1. Forrás adatblokk kiemelve sárga , közbenső számítási blokk kijelölve kék , a megoldás blokk zölddel van kiemelve.
2. Közönséges vagy vegyes törtek összeadásához, kivonásához, szorzásához és osztásához használja az online törtszámítót részletes megoldásokkal.

Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk, hogyan redukáló frakciók. Először beszéljük meg az úgynevezett törtcsökkentést. Ezek után beszéljünk egy redukálható tört redukálhatatlan formára való redukálásáról. Ezután megkapjuk a törtek redukálására vonatkozó szabályt, és végül példákat tekintünk ennek a szabálynak az alkalmazására.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a töredék csökkentése?

Tudjuk, hogy a közönséges törteket redukálható és irreducibilis törtekre osztják. A nevekből sejthető, hogy a redukálható törtek csökkenthetők, de az irreducibilis törtek nem.

Mit jelent a töredék csökkentése? Csökkentse a frakciót- ez azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani pozitívukkal, amelyek különböznek az egységtől. Jól látható, hogy egy tört redukálása eredményeként egy új tört keletkezik kisebb számlálóval és nevezővel, és a tört alaptulajdonsága miatt a kapott tört megegyezik az eredetivel.

Például csökkentsük a 8/24 közös törtet úgy, hogy a számlálóját és a nevezőjét elosztjuk 2-vel. Más szóval, csökkentsük a 8/24 törtet 2-vel. Mivel 8:2=4 és 24:2=12, ez a csökkentés a 4/12-t eredményezi, ami megegyezik az eredeti 8/24 törttel (lásd egyenlő és egyenlőtlen tört). Ennek eredményeként van .

A közönséges törtek redukálása irreducibilis formába

Jellemzően a tört csökkentésének végső célja egy olyan irreducibilis tört elérése, amely megegyezik az eredeti redukálható törttel. Ezt a célt úgy érhetjük el, hogy az eredeti csökkenthető tört számlálójával és nevezőjével csökkentjük. Az ilyen redukció eredményeként mindig egy redukálhatatlan törtet kapunk. Valóban, töredéke redukálhatatlan, mivel ez ismert És - . Itt azt fogjuk mondani, hogy a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója a a legnagyobb számban, amellyel ez a tört csökkenthető.

Így, egy közönséges tört redukálhatatlan formává történő redukálása abból áll, hogy az eredeti redukálható tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel.

Nézzünk egy példát, amelyre visszatérünk a 8/24 törthez, és csökkentjük a 8 és 24 számok legnagyobb közös osztójával, amely egyenlő 8-cal. Mivel 8:8=1 és 24:8=3, elérkeztünk az 1/3 irreducibilis törthez. Így, .

Vegye figyelembe, hogy a „töredék csökkentése” kifejezés gyakran azt jelenti, hogy az eredeti töredéket redukálhatatlan formájára redukálják. Más szóval, a tört csökkentése nagyon gyakran arra utal, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös tényezővel (nem pedig bármilyen közös tényezővel).

Hogyan lehet töredéket csökkenteni? A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok és példák

Nincs más hátra, mint megnézni a törtek csökkentésére vonatkozó szabályt, amely elmagyarázza, hogyan kell egy adott törtet csökkenteni.

A törtek csökkentésére vonatkozó szabály két lépésből áll:

• először megtaláljuk a tört számlálójának és nevezőjének gcd-jét;
• másodszor, a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel, ami az eredetivel megegyező irreducibilis törtet ad.

Tegyük rendbe példa a tört csökkentésére a megállapított szabály szerint.

Példa.

Csökkentse a törtet 182/195-re.

Megoldás.

Végezzük el a törtcsökkentési szabály által előírt mindkét lépést.

Először megtaláljuk a GCD(182, 195) . A legkényelmesebb az Euklidész algoritmus használata (lásd): 195=182·1+13, 182=13·14, azaz GCD(182, 195)=13.

Most elosztjuk a 182/195 tört számlálóját és nevezőjét 13-mal, és megkapjuk az irreducibilis tört 14/15-öt, amely megegyezik az eredeti törttel. Ezzel befejeződik a frakció csökkentése.

Röviden a megoldást a következőképpen írhatjuk fel: .

Válasz:

Itt fejezhetjük be a frakciók csökkentését. De hogy teljes legyen a kép, nézzünk meg még két módszert a törtek csökkentésére, amelyeket általában egyszerű esetekben használnak.

Néha a csökkentendő tört számlálója és nevezője nem nehéz. A tört csökkentése ebben az esetben nagyon egyszerű: csak el kell távolítania az összes gyakori tényezőt a számlálóból és a nevezőből.

Érdemes megjegyezni, hogy ez a módszer közvetlenül következik a törtek redukálásának szabályából, mivel a számláló és a nevező összes közös prímtényezőjének szorzata egyenlő a legnagyobb közös osztójukkal.

Nézzük a példa megoldását.

Példa.

Csökkentse a törtet 360/2 940-re.

Megoldás.

Tegyük a számlálót és a nevezőt egyszerű tényezőkre: 360=2·2·2·3·3·5 és 2,940=2·2·3·5·7·7. És így, .

Most megszabadulunk a számlálóban és a nevezőben előforduló közös tényezőktől, a kényelem kedvéért egyszerűen áthúzzuk őket: .

Végül megszorozzuk a fennmaradó tényezőket: , és a tört redukciója kész.

Íme egy rövid összefoglaló a megoldásról: .

Válasz:

Nézzünk egy másik módszert a tört csökkentésére, amely szekvenciális redukcióból áll. Itt minden lépésben a törtet a számláló és a nevező valamilyen közös osztójával csökkentjük, ami vagy nyilvánvaló, vagy könnyen meghatározható

Első pillantásra az algebrai törtek nagyon összetettnek tűnnek, és egy felkészületlen tanuló azt gondolhatja, hogy nem lehet velük mit kezdeni. A változók, számok, sőt fokozatok halmozódása félelmet kelt. Ugyanezeket a szabályokat alkalmazzák azonban a közönséges törtek (például 15/25) és az algebrai törtek csökkentésére.

Lépések

Frakciók csökkentése

Nézze meg a tevékenységeket egyszerű törtek. A közönséges és algebrai törtekkel végzett műveletek hasonlóak. Vegyük például a 15/35 törtet. Ennek a törtnek az egyszerűsítéséhez meg kell tennie közös osztót találni. Mindkét szám osztható öttel, így a számlálóban és a nevezőben elkülöníthetjük az 5-öt:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Most már tudod csökkenti a közös tényezőket, azaz húzd át az 5-öt a számlálóban és a nevezőben. Ennek eredményeként az egyszerűsített törtet kapjuk 3/7 . BAN BEN algebrai kifejezések a közös tényezőket ugyanúgy osztják fel, mint a szokásosnál. Az előző példában könnyen el tudtuk különíteni az 5-öt a 15-től – ugyanez az elv vonatkozik az összetettebb kifejezésekre is, mint például a 15x – 5. Keressük meg a közös tényezőt. BAN BEN ebben az esetben ez 5 lesz, mivel mindkét tag (15x és -5) osztható 5-tel. Mint korábban, különítse el a közös tényezőt és mozgassa el bal.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Annak ellenőrzéséhez, hogy minden helyes-e, csak szorozza meg a zárójelben lévő kifejezést 5-tel - az eredmény ugyanazok a számok lesznek, mint az elején. Az összetett tagok ugyanúgy elkülöníthetők, mint az egyszerűek. Az algebrai törtekre ugyanazok az elvek vonatkoznak, mint a közönséges törtekre. Ez a legegyszerűbb módja a töredék csökkentésének. Tekintsük a következő törtszámot:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Vegye figyelembe, hogy a számláló (fent) és a nevező (alul) is tartalmaz egy tagot (x+2), így ez ugyanúgy csökkenthető, mint a 15/35 tört közös 5-ös tényezője:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Ennek eredményeként egy egyszerűsített kifejezést kapunk: (x-3)/(x+10)

Algebrai törtek redukálása

Keresse meg a közös tényezőt a számlálóban, vagyis a tört tetején. Egy algebrai tört redukálásakor az első lépés mindkét oldal egyszerűsítése. Kezdje a számlálóval, és próbálja meg annyira bontani nagyobb szám szorzók. Tekintsük ebben a részben a következő törtszámot:

9x-3 15x+6

Kezdjük a számlálóval: 9x – 3. 9x és -3 esetén a közös tényező a 3. Vegyük ki a 3-at a zárójelekből, ahogy a közönséges számoknál is tesszük: 3 * (3x-1). Ennek az átalakításnak az eredménye a következő tört:

3 (3x-1) 15x+6

Keresse meg a közös tényezőt a számlálóban. Folytassuk a fenti példával, és írjuk fel a nevezőt: 15x+6. Mint korábban, nézzük meg, melyik számmal osztható mindkét rész. És ebben az esetben a közös tényező 3, így írhatjuk: 3 * (5x +2). Írjuk át a törtet a következő alakba:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Rövidítse le ugyanazokat a kifejezéseket. Ebben a lépésben egyszerűsítheti a törtet. Törölje ugyanazokat a kifejezéseket a számlálóban és a nevezőben. Példánkban ez a szám 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Határozza meg, hogy a tört alakja a legegyszerűbb! A tört teljesen leegyszerűsödik, ha a számlálóban és a nevezőben nem maradnak közös tényezők. Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem törölheti azokat a kifejezéseket, amelyek zárójelben vannak - a megadott példában nem lehet x-et elkülöníteni a 3x-tól és az 5x-től, mivel teljes jogú tagjai(3x -1) és (5x + 2). Így a tört nem egyszerűsíthető tovább, és a végső válasz a következő:

(3x-1)(5x+2)

Gyakorolja önállóan a törtek csökkentését. A legjobb mód A módszer elsajátítása a problémák önálló megoldása. A helyes válaszokat a példák alatt közöljük.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Válasz:(x=13)

2x 2-x 5x

Válasz:(2x-1)/5

Különleges mozdulatok

Vegye ki negatív előjel törten túl. Tegyük fel, hogy a következő törtet kapod:

3 (x-4) 5 (4-x)

Figyeljük meg, hogy (x-4) és (4-x) „majdnem” azonosak, de nem redukálhatók azonnal, mert „fordított”. Azonban (x - 4) felírható -1 * (4 - x), ahogy (4 + 2x) 2 * (2 + x). Ezt hívják „jelváltásnak”.

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Most csökkentheti az azonos kifejezéseket (4-szer):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Tehát megkapjuk a végső választ: -3/5 . Tanuld meg felismerni a négyzetek közötti különbséget. Négyzetkülönbség az, ha egy szám négyzetét kivonjuk egy másik szám négyzetéből, mint az (a 2 - b 2) kifejezésben. A tökéletes négyzetek különbsége mindig két részre bontható - az összegre és a megfelelő különbségére négyzetgyök. Ekkor a kifejezés a következő formában jelenik meg:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ez a technika nagyon hasznos, ha algebrai törtekben közös kifejezéseket találunk.

• Ellenőrizze, hogy helyesen vette-e figyelembe ezt vagy azt a kifejezést. Ehhez szorozza meg a tényezőket - az eredménynek ugyanannak a kifejezésnek kell lennie.
• A tört teljes leegyszerűsítéséhez mindig különítse el a legnagyobb tényezőket.

Ez a cikk az algebrai törtek konvertálásának témáját folytatja: tekintsünk egy ilyen műveletet az algebrai törtek csökkentésének. Határozzuk meg magát a fogalmat, fogalmazzunk meg redukciós szabályt és elemezzünk gyakorlati példákat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az algebrai tört redukálásának jelentése

A közönséges törtekről szóló anyagokban megvizsgáltuk a redukcióját. A tört redukálását úgy határoztuk meg, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk egy közös tényezővel.

Az algebrai tört redukálása hasonló művelet.

1. definíció

Algebrai tört redukálása számlálójának és nevezőjének közös tényezővel való osztása. Ebben az esetben, ellentétben a közönséges tört redukciójával (a közös nevező csak egy szám lehet), az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője lehet polinom, különösen monomiális vagy szám.

Például, algebrai tört 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 csökkenthető a 3-as számmal, ami a következőt kapja: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Ugyanezt a törtet csökkenthetjük az x változóval, és így a 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 kifejezést kapjuk. Lehetőség van egy adott tört monomiális csökkentésére is 3 x vagy bármelyik polinom x + 2 év, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ill 3 x 2 + 6 x y.

Az algebrai tört csökkentésének végső célja egy nagyobb tört, mint egyszerű típus, V legjobb forgatókönyv– irreducibilis tört.

Minden algebrai tört redukálható?

A közönséges frakciókon lévő anyagokból ismét tudjuk, hogy vannak redukálható és irreducibilis törtek. Az irreducibilis törtek olyan törtek, amelyeknek a számlálójában és a nevezőjében az 1-en kívül nincs közös tényező.

Ugyanez a helyzet az algebrai törtekkel: lehetnek közös tényezők a számlálóban és a nevezőben, vagy nem. A közös tényezők jelenléte lehetővé teszi az eredeti tört egyszerűsítését a redukció révén. Ha nincsenek közös tényezők, lehetetlen egy adott tört optimalizálása redukciós módszerrel.

Általános esetekben szerint adott típus Egy töredék számára meglehetősen nehéz megérteni, hogy csökkenthető-e. Természetesen bizonyos esetekben nyilvánvaló egy közös tényező jelenléte a számláló és a nevező között. Például a 3 x 2 3 y algebrai törtben teljesen egyértelmű, hogy a közös tényező a 3.

Az - x · y 5 · x · y · z 3 törtből azt is azonnal megértjük, hogy csökkenthető x-szel, y-val vagy x · y-val. És mégis, sokkal gyakrabban vannak példák az algebrai törtekre, amikor a számláló és a nevező közös tényezője nem olyan könnyen látható, sőt gyakrabban egyszerűen hiányzik.

Például csökkenthetjük az x 3 - 1 x 2 - 1 törtet x - 1-gyel, miközben a megadott közös tényező nem szerepel a bejegyzésben. De az x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 tört nem csökkenthető, mivel a számlálónak és a nevezőnek nincs közös tényezője.

Így egy algebrai tört redukálhatóságának meghatározása nem olyan egyszerű, és sokszor könnyebb egy adott alak törtével dolgozni, mint megkeresni, hogy reducálható-e. Ebben az esetben olyan átalakítások mennek végbe, amelyek adott esetben lehetővé teszik a számláló és a nevező közös tényezőjének meghatározását, vagy a tört irreducibilitására vonatkozó következtetés levonását. Ezt a kérdést a cikk következő bekezdésében részletesen megvizsgáljuk.

Az algebrai törtek csökkentésének szabálya

Az algebrai törtek csökkentésének szabálya két egymást követő műveletből áll:

• a számláló és a nevező közös tényezőinek megtalálása;
• ha ilyeneket találunk, a frakció csökkentését közvetlenül hajtjuk végre.

A közös nevezők megtalálásának legkényelmesebb módja egy adott algebrai tört számlálójában és nevezőjében lévő polinomok faktorizálása. Ez lehetővé teszi, hogy azonnal világosan láthassa a közös tényezők jelenlétét vagy hiányát.

Az algebrai tört redukálásának művelete egy algebrai tört fő tulajdonságán alapul, amelyet a definiálatlan egyenlőség fejez ki, ahol a, b, c néhány polinom, b és c pedig nem nulla. Első lépésként a törtet a · c b · c alakra redukáljuk, amelyben azonnal észrevesszük a c közös tényezőt. A második lépés a redukció végrehajtása, azaz. átmenet az a b alak törtrészére.

Tipikus példák

Némi nyilvánvalóság ellenére tisztázzuk kb különleges eset amikor egy algebrai tört számlálója és nevezője egyenlő. A hasonló törtek azonosak 1-gyel ennek a törtnek a változóinak teljes ODZ-jén:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Mert a közönséges törtek Az algebrai törtek speciális esetei, emlékezzünk vissza, hogyan történik a redukciójuk. A számlálóba és a nevezőbe írt természetes számok prímtényezőkké kerülnek be, majd a közös tényezők (ha vannak) törlődnek.

Például 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Az egyszerű azonos tényezők szorzata hatványként írható fel, és a tört redukálása során használhatjuk az azonos bázisú hatványok osztó tulajdonságát. Akkor a fenti megoldás a következő lenne:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(a számláló és a nevező osztva egy közös tényezővel 2 2 3). Vagy az érthetőség kedvéért a szorzás és osztás tulajdonságai alapján a következő formát adjuk a megoldásnak:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analógia útján az algebrai törtek redukcióját hajtjuk végre, amelyben a számlálónak és a nevezőnek egész együtthatós monomija van.

1. példa

Az algebrai tört adott - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Csökkenteni kell.

Megoldás

Egy adott tört számlálóját és nevezőjét egyszerű tényezők és változók szorzataként felírhatjuk, majd elvégezhetjük a csökkentést:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Racionálisabb módszer azonban az lenne, ha a megoldást olyan kifejezésként írnánk le, amely hatványokkal rendelkezik:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Válasz:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ha egy algebrai tört számlálója és nevezője tört numerikus együtthatókat tartalmaz, két lehetséges további lépés lehetséges: vagy külön osztjuk el ezeket a törtegyütthatókat, vagy először megszabadulunk a törtegyütthatóktól úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk valamilyen természetes számmal. Az utolsó transzformációt egy algebrai tört alapvető tulajdonsága miatt hajtják végre (erről olvashat az „Algebrai tört redukálása új nevezőre” című cikkben).

2. példa

A megadott tört 2 5 x 0, 3 x 3. Csökkenteni kell.

Megoldás

A tört csökkentése a következőképpen lehetséges:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Próbáljuk meg másképpen megoldani a problémát, miután először megszabadultunk a törtegyütthatóktól - szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ezen együtthatók nevezőinek legkisebb közös többszörösével, azaz. LCM-en (5, 10) = 10. Akkor kapjuk:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Válasz: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Amikor az algebrai törteket redukáljuk Általános nézet, amelyben a számlálók és nevezők lehetnek monomiálisok vagy polinomok, akkor lehet probléma, ha a közös tényező nem mindig látható azonnal. Vagy ráadásul egyszerűen nem létezik. Ezután a közös tényező meghatározásához vagy a hiánya tényének rögzítéséhez az algebrai tört számlálóját és nevezőjét faktoráljuk.

3. példa

A racionális tört 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Csökkenteni kell.

Megoldás

Vegyük figyelembe a polinomokat a számlálóban és a nevezőben. Tegyük zárójelbe:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Látjuk, hogy a zárójelben lévő kifejezés rövidített szorzóképletekkel konvertálható:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jól látható, hogy lehetséges egy töredéket egy közös tényezővel csökkenteni b 2 (a + 7). Csináljunk egy csökkentést:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Írjunk egy rövid magyarázat nélküli megoldást egyenlőségláncként:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Válasz: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Előfordul, hogy a közös tényezőket numerikus együtthatók rejtik el. Ekkor a törtek kicsinyítésekor optimális a számláló és a nevező nagyobb hatványán lévő számtényezőket zárójelbe tenni.

4. példa

Adott az 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 algebrai tört. Lehetőség szerint csökkenteni kell.

Megoldás

Első pillantásra a számláló és a nevező nem létezik közös nevező. Azonban próbáljuk meg átváltani a megadott törtet. Vegyük ki a számlálóból az x tényezőt:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 év - 3 1 2

Most már láthat némi hasonlóságot a zárójelben lévő kifejezés és a nevezőben lévő kifejezés között x 2 y miatt . Vegyük ki ezeknek a polinomoknak a nagyobb hatványainak numerikus együtthatóit:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Most láthatóvá válik a közös tényező, végrehajtjuk a redukciót:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Válasz: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Hangsúlyozzuk, hogy a racionális törtek redukálásának készsége a polinomok faktorálási képességétől függ.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt