A Gauss-módszerrel oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert! Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-módszerrel

19.10.2019

Legyen egy lineáris rendszer algebrai egyenletek, amelyet meg kell oldani (keresse meg az xi ismeretlenek olyan értékeit, amelyek a rendszer minden egyenletét egyenlőséggé alakítják).

Tudjuk, hogy egy lineáris algebrai egyenletrendszer képes:

1) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Legyen egyetlen megoldása.

Mint emlékszünk, Cramer szabálya ill mátrix módszer nem alkalmasak olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Gauss módszer – a legerősebb és leguniverzálisabb eszköz bármilyen rendszerre megoldás megtalálásához lineáris egyenletek , melyik minden esetben elvezet minket a válaszhoz! Maga a módszeralgoritmus mindhárom esetben ugyanúgy működik. Ha a Cramer és a mátrix módszerhez determinánsok ismerete szükséges, akkor a Gauss-módszer alkalmazásához csak tudás szükséges aritmetikai műveletek, amely még általános iskolások számára is elérhetővé teszi.

Kiterjesztett mátrix transzformációk ( ez a rendszer mátrixa - egy mátrix, amely csak az ismeretlenek együtthatóiból, plusz egy szabad kifejezések oszlopából áll) Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Gauss-módszerben:

1) Val vel troki mátrixok Tud átrendezni néhány helyen.

2) ha arányosak jelentek meg (vagy léteznek) a mátrixban (mint különleges eset– azonos) sorok, akkor következik töröl Ezek a sorok egy kivételével a mátrixból származnak.

3) ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl.

4) a mátrix egy sora lehet szorozni (osztani) nullától eltérő számra.

5) a mátrix egy sorához adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő.

A Gauss-módszerben az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását.

A Gauss-módszer két szakaszból áll:

„Közvetlen mozgás” - elemi transzformációk segítségével hozza a lineáris algebrai egyenletrendszer kiterjesztett mátrixát „háromszög” lépésformába: a kiterjesztett mátrix főátló alatti elemei nullával egyenlőek (felülről lefelé mozgás). Például ehhez a típushoz:

Ehhez hajtsa végre a következő lépéseket:

1) Tekintsük egy lineáris algebrai egyenletrendszer első egyenletét, és x 1 együtthatója egyenlő K-val. A második, harmadik stb. az egyenleteket a következőképpen alakítjuk át: minden egyenletet (az ismeretlenek együtthatói, beleértve a szabad tagokat is) elosztjuk az egyenletekben szereplő ismeretlen x 1 együtthatójával, és megszorozzuk K-val. Ezután az elsőt kivonjuk a második egyenlet (ismeretlenek és szabad tagok együtthatói). A második egyenletben szereplő x 1-re a 0 együtthatót kapjuk. A harmadik transzformált egyenletből kivonjuk az első egyenletet, amíg az első kivételével minden egyenlet ismeretlen x 1 együtthatója 0 lesz.

2) Térjünk át a következő egyenletre. Legyen ez a második egyenlet és az x 2 együtthatója egyenlő M-mel. Az összes „alsó” egyenletet a fent leírtak szerint járjuk el. Így az ismeretlen x 2 „alatt” minden egyenletben nullák lesznek.

3) Lépjen tovább a következő egyenletre, és így tovább, amíg egy utolsó ismeretlen és a transzformált szabad tag marad.

A Gauss-módszer „fordított mozgása” egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása (az „alulról felfelé” lépés). Az utolsó „alsó” egyenletből egy első megoldást kapunk - az ismeretlen x n-t. Ehhez megoldjuk az A * x n = B elemi egyenletet. A fenti példában x 3 = 4. A talált értéket behelyettesítjük a „felső” következő egyenletbe, és a következő ismeretlenre vonatkoztatva oldjuk meg. Például x 2 – 4 = 1, azaz. x 2 = 5. És így tovább, amíg meg nem találjuk az összes ismeretlent.

Példa.

Oldjuk meg a lineáris egyenletrendszert Gauss-módszerrel, ahogy egyes szerzők tanácsolják:

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Csináljuk:
1 lépés . Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.

Most a bal felső sarokban van a „mínusz egy”, ami nagyon jól áll nekünk. Bárki, aki +1-et szeretne kapni, végrehajthat egy további műveletet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa előjelét).

2. lépés . Az első sort 5-tel szorozva a második sorhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz adtuk.

3. lépés . Az első sort –1-gyel szorozták, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.

4. lépés . A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva 2-vel.

5. lépés . A harmadik sort 3-mal osztották.

A számítási hibára utaló jel (ritkábban elírás) „rossz” eredmény. Vagyis ha valami (0 0 11 |23)-hoz hasonlót kaptunk alább, és ennek megfelelően 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy hiba történt az elemi alatt. átalakulások.

Tegyük meg fordítva: a példák tervezésénél magát a rendszert gyakran nem írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. Emlékeztetlek, a fordított lépés alulról felfelé működik. Ebben a példában az eredmény egy ajándék volt:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, tehát x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Válasz:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Oldjuk meg ugyanezt a rendszert a javasolt algoritmussal. Kapunk

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

A második egyenletet elosztjuk 5-tel, a harmadikat 3-mal.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

A második és a harmadik egyenletet 4-gyel megszorozva kapjuk:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vonjuk ki az első egyenletet a második és a harmadik egyenletből, így kapjuk:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Osszuk el a harmadik egyenletet 0,64-gyel:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Szorozzuk meg a harmadik egyenletet 0,4-gyel

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Kivonva a másodikat a harmadik egyenletből, egy „lépcsős” kiterjesztett mátrixot kapunk:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Így a számítások során felhalmozott hiba miatt x 3 = 0,96 vagy megközelítőleg 1 kapunk.

x 2 = 3 és x 1 = –1.

Így megoldva soha nem fog összezavarodni a számításokban és a számítási hibák ellenére megkapja az eredményt.

Ez a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldási módja könnyen programozható, és nem veszi figyelembe az ismeretlenek együtthatóinak sajátosságait, mert a gyakorlatban (a gazdasági és műszaki számításokban) nem egész együtthatókkal kell számolni.

Sok sikert! Találkozunk az osztályban! Oktató.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a cikkben a módszert lineáris egyenletrendszerek (SLAE) megoldási módszerének tekintjük. A módszer analitikus, azaz lehetővé teszi megoldási algoritmus beírását Általános nézet, majd helyettesítsd be az ott található konkrét példákból származó értékeket. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg nekik.

Mit jelent Gauss-módszerrel megoldani?

Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket a Így néz ki. Vegyük a rendszert:

Az együtthatók táblázat formájában, a szabad kifejezések pedig külön oszlopban a jobb oldalon. A szabad kifejezéseket tartalmazó oszlop a kényelem kedvéért el van különítve, az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.

Ezután az együtthatókkal rendelkező fő mátrixot egy felső háromszög alakúra kell redukálni. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak úgy kell kinéznie, hogy a bal alsó része csak nullákat tartalmazzon:

Ezután, ha az új mátrixot egyenletrendszerként újra felírja, észreveszi, hogy az utolsó sorban már szerepel az egyik gyök értéke, amelyet aztán behelyettesítünk a fenti egyenletbe, egy másik gyökér található, és így tovább.

Ez leginkább a Gauss-módszer szerinti megoldás leírása általános vázlat. Mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelenül sok van belőlük? Ezen és sok más kérdés megválaszolásához külön figyelembe kell venni a Gauss-módszer megoldásában használt összes elemet.

Mátrixok, tulajdonságaik

A mátrixban nincs rejtett jelentés. Ez egyszerű kényelmes módja adatok rögzítése a velük végzett későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.

A mátrix mindig téglalap alakú, mert kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy háromszög alakú mátrix megalkotásán múlik, egy téglalap jelenik meg a bejegyzésben, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. Lehet, hogy a nullákat nem írják le, de beleértettek.

A mátrixnak van mérete. A „szélessége” a sorok száma (m), a „hossza” az oszlopok száma (n). Ekkor az A mátrix méretét (a latin nagybetűket szokták jelölni) A m×n-ként jelöljük. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, és m=n a sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sor- és oszlopszámaival: a xy ; x - sorszám, változások, y - oszlopszám, változások.

B nem a döntés lényege. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, de a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebb lesz összezavarodni benne.

Döntő

A mátrixnak is van determinánsa. Ez nagyon fontos jellemzője. Nem kell most kideríteni a jelentését, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondja, hogy a mátrix mely tulajdonságait határozza meg. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja az átlók segítségével. A mátrixba képzeletbeli átlókat rajzolnak; az mindegyiken elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - pluszjellel, balra lejtéssel - mínusz előjellel.

Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kijelölt oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek új négyzetmátrixot alkotnak. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nem nulla szám, akkor az eredeti téglalap alakú mátrix alap-molljának nevezzük.

Mielőtt elkezdené egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldását, nem árt kiszámolni a determinánst. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a mátrixnak vagy végtelen sok megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell menni, és megtudni a mátrix rangját.

Rendszerbesorolás

Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determináns maximális sorrendje (ha emlékszünk az alap-mollra, akkor azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja az alap-moll sorrendje).

A ranggal kapcsolatos helyzet alapján az SLAE a következőkre osztható:

Közös. U A közös rendszerekben a fő mátrix rangja (amely csak együtthatókból áll) egybeesik a kiterjesztett mátrix rangjával (szabad tagok oszlopával). Az ilyen rendszereknek van megoldása, de nem feltétlenül egy, ezért a csuklórendszereket a következőkre osztják:
- bizonyos- egyetlen megoldással. Bizonyos rendszerekben a mátrix rangja és az ismeretlenek száma (vagy az oszlopok száma, ami ugyanaz) egyenlő;
- határozatlan - végtelen számú megoldással. Az ilyen rendszerekben a mátrixok rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.
Összeegyeztethetetlen. U Az ilyen rendszerekben a fő és a kiterjesztett mátrixok rangsorai nem esnek egybe. Az inkompatibilis rendszereknek nincs megoldása.

A Gauss-módszer azért jó, mert a megoldás során vagy egyértelmû bizonyítást kapunk a rendszer inkonzisztenciájáról (anélkül, hogy nagy mátrixok determinánsait számolnánk), vagy egy végtelen számú megoldású rendszerre általános formájú megoldást kaphatunk.

Elemi átalakulások

Mielőtt közvetlenül a rendszer megoldásához kezdene, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a megadott elemi transzformációk egy része csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:

A vonalak átrendezése. Nyilvánvaló, hogy ha megváltoztatja az egyenletek sorrendjét a rendszerrekordban, az semmilyen módon nem befolyásolja a megoldást. Következésképpen ennek a rendszernek a mátrixában a sorok is felcserélhetők, természetesen nem feledkezve meg a szabad kifejezések oszlopáról.
Egy karakterlánc összes elemének megszorzása egy bizonyos együtthatóval. Nagyon hasznos! Használható rövidítésre nagy számok a mátrixban, vagy távolítsa el a nullákat. Sok döntés, mint általában, nem változik, de a további műveletek kényelmesebbé válnak. A lényeg az, hogy az együttható nem egyenlő nullával.
Sorok eltávolítása arányos tényezőkkel. Ez részben az előző bekezdésből következik. Ha egy mátrixban két vagy több sor arányos együtthatóval rendelkezik, akkor az egyik sort az arányossági együtthatóval szorozva/osztva két (vagy ismételten több) teljesen azonos sort kapunk, és a feleslegeseket eltávolíthatjuk, így marad. csak egy.
Nulla vonal eltávolítása. Ha a transzformáció során valahol olyan sort kapunk, amelyben minden elem, beleértve a szabad tagot is, nulla, akkor az ilyen sort nullának nevezhetjük és kidobhatjuk a mátrixból.
Egy sor elemeihez hozzáadjuk a másik sor elemeit (a megfelelő oszlopokban), megszorozva egy bizonyos együtthatóval. A legnyilvánvalóbb és legfontosabb átalakulás. Érdemes részletesebben foglalkozni vele.

Tényezővel szorzott karakterlánc hozzáadása

A könnyebb érthetőség érdekében érdemes ezt a folyamatot lépésről lépésre lebontani. Két sort vettünk a mátrixból:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt a másodikhoz, meg kell szorozni a "-2" együtthatóval.

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, és az első változatlan marad.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Megjegyzendő, hogy a szorzási együtthatót úgy is meg lehet választani, hogy két sor összeadása következtében az új sor egyik eleme nullával egyenlő. Következésképpen lehetséges egy egyenlet egy olyan rendszerben, ahol eggyel kevesebb ismeretlen lesz. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és egy olyan egyenletet kapunk, amely kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nullára fordítja az összes, az eredeti alatti sor egy együtthatóját, akkor a lépcsőkhöz hasonlóan lemehet a mátrix legaljára, és kaphat egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának nevezzük.

Általában

Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. A következőképpen írhatod:

A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy szabad kifejezéseket tartalmazó oszlopot, és az egyszerűség kedvéért egy sor választja el őket.

a mátrix első sorát megszorozzuk a k = (-a 21 /a 11) együtthatóval;
a mátrix első módosított sora és második sora hozzáadásra kerül;
a második sor helyett az előző bekezdésből származó összeadás eredménye kerül be a mátrixba;
most az első együttható az új második sorban a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a 21 elemet 31-re cseréljük. Ezután minden megismétlődik egy 41, ... egy m1-re. Az eredmény egy mátrix, ahol a sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania, a második sortól kezdve:

együttható k = (-a 32 /a 22);
a második módosított sor hozzáadódik az „aktuális” sorhoz;
az összeadás eredménye behelyettesítésre kerül a harmadik, negyedik és így tovább sorban, miközben az első és a második változatlan marad;
a mátrix soraiban az első két elem már egyenlő nullával.

Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k = (-a m,m-1 /a mm) együttható meg nem jelenik. Ez azt jelenti, hogy be utoljára az algoritmust csak az alsó egyenletre végeztük el. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sorban ott van az a mn × x n = b m egyenlőség. Ismert az együttható és a szabad tag, ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x n = b m /a mn. Az eredményül kapott gyöket behelyettesítjük a felső sorba, hogy megtaláljuk x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyökér, és miután elérte a rendszer „tetejét”, sok megoldást találhat. Ez lesz az egyetlen.

Amikor nincsenek megoldások

Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet 0 = b. Nincs megoldása. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.

Amikor végtelen számú megoldás létezik

Előfordulhat, hogy az adott háromszögmátrixban nincsenek olyan sorok, amelyekben az egyenlet egy együttható eleme és egy szabad tagja lenne. Csak olyan sorok vannak, amelyek átírva két vagy több változót tartalmazó egyenletnek tűnnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?

A mátrix összes változója alap és szabad változókra van felosztva. Az alapvetőek azok, amelyek a lépésmátrixban a sorok „szélén” állnak. A többi ingyenes. Az általános megoldásban az alapváltozókat szabadon keresztül írjuk.

A kényelem kedvéért a mátrixot először visszaírják egy egyenletrendszerbe. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ezután a többi egyenletben, ahol lehetséges, az alapváltozó helyett a rá kapott kifejezést helyettesítjük. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejezésre kerül, és így tovább, amíg minden alapváltozó szabad változós kifejezésként fel nem íródik. Ez a SLAE általános megoldása.

Megtalálható a rendszer alapmegoldása is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd ehhez konkrét eset kiszámítja az alapváltozók értékeit. Végtelen számú konkrét megoldás adható.

Megoldás konkrét példákkal

Itt van egy egyenletrendszer.

A kényelem érdekében jobb, ha azonnal létrehozza a mátrixát

Ismeretes, hogy Gauss-módszerrel megoldva az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor a műveletek után a fennmaradó sorok első elemei nullára fordulnak. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz az első sor helyett a második sort tenni.

második sor: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

harmadik sor: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Most, hogy ne keveredjen össze, fel kell írnia egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen mátrix bizonyos műveletek segítségével kényelmesebbé tehető az észleléshez. Például eltávolíthatja az összes „mínuszt” a második sorból, ha minden elemet „-1”-gyel megszoroz.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Ezután lerövidítheti a sort ezzel a számmal, minden elemet megszorozva "-1/3"-mal (mínusz - ugyanakkor, hogy eltávolítsa negatív értékeket).

Sokkal szebben néz ki. Most egyedül kell hagynunk az első sort, és dolgozni a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan együtthatóval, hogy az a 32 elem nullával egyenlő legyen.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ha egyes transzformációk során a válasz nem egész szám, akkor ajánlott a számítások pontosságának megőrzése a kilépéshez „ahogy van”, formában közönséges tört, és csak ezután, a válaszok beérkezése után döntse el, hogy kerekíti-e, és átváltja-e egy másik rögzítési formára)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

A mátrix újra új értékekkel íródik.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Mint látható, a kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért a rendszer további, Gauss-módszerrel történő átalakítása nem szükséges. Amit itt megtehet, az az, hogy eltávolítja a "-1/7" általános együtthatót a harmadik sorból.

Most minden gyönyörű. Nincs más hátra, mint a mátrix újraírása egyenletrendszer formájában, és a gyökök kiszámítása

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtaláljuk, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezzük. A (3) egyenlet tartalmazza a z értéket:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk x-et:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Jogunk van egy ilyen rendszert együttesnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A választ a következő formában írjuk:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Példa egy bizonytalan rendszerre

Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer bizonytalan, vagyis végtelen sok megoldás található rá.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Már a rendszer megjelenése is riasztó, mert az ismeretlenek száma n = 5, és a rendszermátrix rangja már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m = 4, azaz a determinánsnégyzet legnagyobb sorrendje 4. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik, és meg kell keresni az általános megjelenését. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.

Először, mint általában, egy kiterjesztett mátrixot állítanak össze.

Második sor: együttható k = (-a 21 /a 11) = -3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ha az első sor elemeit egymás után megszorozzuk az egyes együtthatóikkal, és hozzáadjuk a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:

Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában azonos, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a maradékot pedig megszorozzuk a „-1” együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét két azonos sorból hagyjunk egyet.

Az eredmény egy ilyen mátrix. Bár a rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapvető változókat - az a 11 = 1 és a 22 = 1 együtthatónál állókat, illetve a szabadokat - a többit.

A második egyenletben csak egy alapváltozó van - x 2. Ez azt jelenti, hogy onnantól az x 3 , x 4 , x 5 változókon keresztül írva kifejezhető, amelyek szabadok.

A kapott kifejezést behelyettesítjük az első egyenletbe.

Az eredmény egy egyenlet, amelyben az egyetlen alapváltozó x 1. Tegyük meg vele ugyanazt, mint az x 2-vel.

Minden alapváltozó, amelyből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is felírhatjuk a választ.

Megadhatja a rendszer egyik konkrét megoldását is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor ez lesz a válasz:

16, 23, 0, 0, 0.

Példa a nem együttműködő rendszerre

Az inkompatibilis egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása a leggyorsabb. Azonnal véget ér, amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása. Vagyis a gyökerek kiszámításának szakasza, amely meglehetősen hosszú és fárasztó, megszűnik. A következő rendszert veszik figyelembe:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Szokás szerint a mátrix összeállítása:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

És lépésenkénti formára redukálódik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Az első transzformáció után a harmadik sor a forma egyenletét tartalmazza

megoldás nélkül. Következésképpen a rendszer inkonzisztens, és a válasz az üres halmaz lesz.

A módszer előnyei és hátrányai

Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg az SLAE-k papíron egy tollal, akkor az ebben a cikkben tárgyalt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Sokkal nehezebb összezavarodni az elemi transzformációkban, mintha kézzel kellene keresni egy determinánst vagy valami trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy az ilyen programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek - determináns, minor, inverz és így tovább - kiszámításához. Ha pedig biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga számítja ki, és nem hibázik, akkor célszerűbb a mátrix módszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek alkalmazása a determinánsok és inverz mátrixok kiszámításával kezdődik és végződik. .

Alkalmazás

Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, programozásban használható. De mivel a cikk „a bábuknak” szóló útmutatónak tekinti magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt SLAE-ket. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), szorzás számmal, mátrixok szorzása (bizonyos megkötésekkel is), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása és ami a legfontosabb , a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy inkompatibilitása.

A Gauss-módszer meghatározása és leírása

A lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló Gauss-transzformációs módszer (más néven ismeretlen változók egyenletből vagy mátrixból történő szekvenciális eltávolításának módszere) egy klasszikus módszer algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására. Ezt a klasszikus módszert olyan problémák megoldására is használják, mint például a megszerzés inverz mátrixokés a mátrix rangjának meghatározása.

A Gauss-módszerrel végzett transzformáció abból áll, hogy apró (elemi) szekvenciális változtatásokat hajtanak végre egy lineáris algebrai egyenletrendszeren, ami a változók eltávolításához vezet felülről lefelé, egy új háromszög alakú egyenletrendszer kialakításával, amely ekvivalens az eredetivel. egy.

1. definíció

A megoldásnak ezt a részét hívják előrehaladott Gauss-megoldásnak, mivel az egész folyamat fentről lefelé halad.

Miután az eredeti egyenletrendszert háromszög alakúra redukáltuk, a rendszer összes változója alulról felfelé található (azaz az első talált változók pontosan a rendszer vagy mátrix utolsó sorain találhatók). A megoldás ezen részét a Gauss-megoldás inverzeként is ismerik. Algoritmusa a következő: először az egyenletrendszer vagy mátrix aljához legközelebb eső változókat számítják ki, majd a kapott értékeket magasabbra helyettesítik, és így egy másik változót találnak, és így tovább.

A Gauss-módszer algoritmusának leírása

Az egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő általános megoldásának műveletsora abból áll, hogy az SLAE alapján felváltva alkalmazzuk az előre és hátra ütéseket a mátrixra. Legyen a kezdeti egyenletrendszer a következő:

$\begin(esetek) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(esetek)$

Az SLAE Gauss-módszerrel történő megoldásához fel kell írni az eredeti egyenletrendszert mátrix formájában:

$A = \begin(pmátrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmátrix)$, $b =\begin(pmátrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Az $A$ mátrixot főmátrixnak nevezzük, és a sorrendben felírt változók együtthatóit reprezentálja, a $b$ mátrixot pedig a szabad tagok oszlopának nevezzük. Az $A$ mátrixot, amelyet egy sávon keresztül írunk egy szabad kifejezések oszlopával, kiterjesztett mátrixnak nevezzük:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Most elemi transzformációkat használva az egyenletrendszeren (vagy a mátrixon, mivel ez kényelmesebb), a következő alakra kell hozni:

$\begin(esetek) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(esetek)$ (1)

Az (1) transzformált egyenletrendszer együtthatóiból kapott mátrixot lépésmátrixnak nevezzük, a lépésmátrixok általában így néznek ki:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Ezeket a mátrixokat a következő tulajdonságok jellemzik:

Minden nulla sora nem nulla sorok után következik
Ha egy $k$ számú mátrix egy sora nem nulla, akkor ugyanennek a mátrixnak az előző sorában kevesebb nulla van, mint ebben a $k$ sorszámú sorában.

A lépésmátrix megszerzése után be kell cserélni a kapott változókat a fennmaradó egyenletekre (a végétől kezdve), és meg kell szerezni a változók fennmaradó értékeit.

Alapszabályok és megengedett transzformációk a Gauss-módszer használatakor

Amikor ezzel a módszerrel egyszerűsít egy mátrixot vagy egyenletrendszert, csak elemi transzformációkat kell használnia.

Az ilyen transzformációkat olyan műveleteknek tekintjük, amelyek egy mátrixra vagy egyenletrendszerre alkalmazhatók anélkül, hogy megváltoztatnák a jelentését:

több sor átrendezése,
a mátrix egyik sorából egy másik sor hozzáadása vagy kivonása,
egy karakterlánc szorzása vagy osztása egy nullával nem egyenlő konstanssal,
a rendszer kiszámítása és egyszerűsítése során kapott, csak nullákból álló sort törölni kell,
El kell távolítania a szükségtelen arányos vonalakat is, és a rendszer számára az egyetlen olyan együtthatót kell kiválasztania, amely alkalmasabb és kényelmesebb a további számításokhoz.

Minden elemi transzformáció reverzibilis.

A lineáris egyenletek egyszerű Gauss-transzformációk módszerével történő megoldása során felmerülő három fő eset elemzése

Három eset fordul elő, amikor a Gauss-módszert használják rendszerek megoldására:

Ha egy rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása
Az egyenletrendszernek van megoldása és egyedi, és a mátrixban a nullától eltérő sorok és oszlopok száma megegyezik egymással.
A rendszernek van egy bizonyos mennyisége vagy készlete lehetséges megoldások, és a benne lévő sorok száma kisebb, mint az oszlopok száma.

Egy inkonzisztens rendszerű megoldás eredménye

Ennél az opciónál a megoldáskor mátrix egyenlet A Gauss-módszert az jellemzi, hogy az egyenlőség teljesítésének lehetetlenségével kap valamilyen vonalat. Ezért, ha legalább egy hibás egyenlőség előfordul, a kapott és az eredeti rendszereknek nincs megoldása, függetlenül a bennük lévő többi egyenlettől. Példa inkonzisztens mátrixra:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Az utolsó sorban egy lehetetlen egyenlőség keletkezett: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Egyenletrendszer, amelynek csak egy megoldása van

Ezeknek a rendszereknek a lépésmátrixsá redukálása és a nullákkal rendelkező sorok eltávolítása után ugyanannyi sor és oszlop van a fő mátrixban. Itt legegyszerűbb példa ilyen rendszer:

$\begin(esetek) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(esetek)$

Írjuk fel mátrix formájában:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Ahhoz, hogy a második sor első celláját nullára hozzuk, a felső sort megszorozzuk $-2$-tal és kivonjuk a mátrix alsó sorából, a felső sort pedig eredeti formájában hagyjuk, ennek eredményeként a következőt kapjuk :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Ez a példa felírható rendszerként:

$\begin(esetek) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(esetek)$

Az alsó egyenlet a következő értéket adja a $x$-hoz: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Helyettesítsük be ezt az értéket a felső egyenletbe: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, így kapjuk: $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Egy rendszer sok lehetséges megoldással

Ezt a rendszert a benne lévő oszlopok számánál kisebb számú jelentős sor jellemzi (a fő mátrix sorait vesszük figyelembe).

Egy ilyen rendszerben a változókat két típusra osztják: alap és ingyenes. Egy ilyen rendszer átalakításánál a benne található fő változókat a bal oldali területen kell hagyni az „=” jelig, a többi változót pedig át kell vinni a jobb oldal egyenlőség.

Egy ilyen rendszernek csak egy bizonyos általános megoldása van.

Elemezzük a következő egyenletrendszert:

$\begin(esetek) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(esetek)$

Írjuk fel mátrix formájában:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

A mi feladatunk, hogy általános megoldást találjunk a rendszerre. Ennél a mátrixnál a bázisváltozók $y_1$ és $y_3$ lesznek ($y_1$ esetén - mivel ez az első, $y_3$ esetén pedig - a nullák után található).

Alapváltozónak pontosan azokat választjuk, amelyek a sorban az elsők, és nem egyenlők nullával.

A többi változót szabadnak nevezzük, az alapváltozókat rajtuk kell kifejeznünk.

Az úgynevezett fordított lökettel alulról felfelé elemezzük a rendszert, ehhez először a rendszer alsó sorából adjuk meg a $y_3$ kifejezést:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Most behelyettesítjük a kifejezett $y_3$-t a $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ rendszer felső egyenletébe: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

A $y_1$ $y_2$ és $y_4$ szabad változókkal fejezzük ki:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

A megoldás kész.

1. példa

Oldja meg a slough-t Gauss-módszerrel. Példák. Példa egy 3:3 mátrix által adott lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására

$\begin(esetek) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(esetek)$

Írjuk fel a rendszerünket egy kiterjesztett mátrix formájában:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Most a kényelem és a praktikum kedvéért át kell alakítani a mátrixot úgy, hogy az 1$ a legkülső oszlop felső sarkában legyen.

Ehhez az 1. sorhoz hozzá kell adni a középső sort, megszorozva $-1$-tal, és magát a középső sort úgy kell írni, ahogy van, kiderül:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(tömb)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(tömb) $

Szorozzuk meg a felső és az utolsó sort $-1$-al, és cseréljük fel az utolsó és középső sort is:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

És ossza el az utolsó sort 3 dollárral:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

A következő, az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapjuk:

$\begin(esetek) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(esetek)$

A felső egyenletből kifejezzük $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.

2. példa

Példa egy 4:4-es mátrix segítségével definiált rendszer Gauss-módszerrel történő megoldására

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Az elején felcseréljük az utána következő felső sorokat, hogy 1$-t kapjunk a bal felső sarokban:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Most szorozza meg a felső sort $-2 $-al, és adja hozzá a 2. és 3. A 4.-hez hozzáadjuk az 1. sort, megszorozva $-3$-tal:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Most a 3. sorhoz hozzáadjuk a 2. sort szorozva $4$-tal, a 4. sorhoz pedig a 2. sort szorozva $-1$-tal.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

A 2-es sort megszorozzuk $-1$-tal, a 4-es sort pedig elosztjuk $3$-ral, és lecseréljük a 3-ast.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 és 10 \\ \end(array)$

Most hozzáadjuk az utolsó sorhoz az utolsó előtti egységet, megszorozva $-5$-tal.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Megoldjuk a kapott egyenletrendszert:

$\begin(esetek) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(esetek)$

Legyen a rendszer adott, ∆≠0. (1)
Gauss módszer egy módszer az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésére.

A Gauss-módszer lényege, hogy az (1)-et egy háromszögmátrixú rendszerré alakítjuk, amelyből aztán szekvenciálisan (fordítva) megkapjuk az összes ismeretlen értékeit. Tekintsük az egyik számítási sémát. Ezt az áramkört egyosztós áramkörnek nevezzük. Tehát nézzük ezt a diagramot. Legyen egy 11 ≠0 (vezető elem) ossza el az első egyenletet 11-gyel. Kapunk
(2)
A (2) egyenlet segítségével könnyen kiküszöbölhető az x 1 ismeretlenek a rendszer fennmaradó egyenleteiből (ehhez elegendő minden egyenletből kivonni a (2) egyenletet, amelyet előzőleg megszoroztunk az x 1 megfelelő együtthatójával) , azaz első lépésben megkapjuk
.
Más szóval, az 1. lépésben a következő sorok minden eleme a másodiktól kezdve egyenlő az eredeti elem és az első oszlopra és az első (transzformált) sorra való „vetítésének” szorzata közötti különbséggel.
Ezt követően az első egyenletet magára hagyva hasonló transzformációt végzünk az első lépésben kapott rendszer többi egyenletein: kiválasztjuk közülük a vezető elemet tartalmazó egyenletet, és ennek segítségével kizárjuk a maradékból x 2-t. egyenletek (2. lépés).
N lépés után (1) helyett egy ekvivalens rendszert kapunk
(3)
Így az első szakaszban egy háromszögrendszert kapunk (3). Ezt a szakaszt előre löketnek nevezik.
A második szakaszban (fordítva) a (3)-ból egymás után megtaláljuk az x n, x n -1, ..., x 1 értékeket.
Jelöljük a kapott megoldást x 0-val. Ekkor a különbség ε=b-A x 0 maradéknak nevezzük.
Ha ε=0, akkor az x 0 talált megoldás helyes.

A Gauss-módszerrel végzett számításokat két lépésben hajtják végre:

Az első szakaszt forward módszernek nevezzük. Az első szakaszban az eredeti rendszert háromszög alakúra alakítják.
A második szakaszt fordított löketnek nevezik. A második lépésben az eredetivel egyenértékű háromszögrendszert oldanak meg.

Az a 11, a 22, ... együtthatókat vezető elemeknek nevezzük.
Minden lépésben a vezető elemet nullától eltérőnek feltételeztük. Ha ez nem így van, akkor bármely más elem használható vezető elemként, mintha átrendezné a rendszer egyenleteit.

A Gauss-módszer célja

A Gauss-módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására tervezték. Közvetlen megoldási módszerekre utal.

A Gauss-módszer típusai

Klasszikus Gauss-módszer;
A Gauss-módszer módosításai. A Gauss-módszer egyik módosítása egy séma a fő elem kiválasztásával. A Gauss-módszer jellemzője a főelem kiválasztásával az egyenletek olyan átrendezése, hogy a k-edik lépésben a vezető elem a k-adik oszlop legnagyobb eleme legyen.
Jordano-Gauss módszer;

A különbség a Jordano-Gauss módszer és a klasszikus között Gauss módszer A téglalapszabály alkalmazásából áll, amikor a megoldás keresésének iránya a főátló mentén történik (transzformáció az azonosságmátrixba). A Gauss-módszerben a megoldáskeresés iránya az oszlopok mentén történik (transzformáció háromszögmátrixú rendszerré).
Illusztráljuk a különbséget Jordano-Gauss módszer a Gauss-módszerből példákkal.

Példa a Gauss-módszert alkalmazó megoldásra
Oldjuk meg a rendszert:

A számítás megkönnyítése érdekében cseréljük fel a sorokat:

Szorozzuk meg a 2. sort (2-vel). Adja hozzá a 3. sort a 2. sorhoz

Szorozd meg a 2. sort (-1)-gyel. Adja hozzá a 2. sort az 1-hez

Az 1. sorból x 3-at fejezünk ki:
A 2. sorból x 2-t fejezünk ki:
A 3. sorból x 1-et fejezünk ki:

Példa a Jordano-Gauss módszert alkalmazó megoldásra
Oldjuk meg ugyanezt a SLAE-t Jordano-Gauss módszerrel.

Sorrendben kiválasztjuk az RE feloldóelemet, amely a mátrix főátlóján fekszik.
A felbontás elem egyenlő (1).

NE = DK - (A*B)/RE
RE - felbontó elem (1), A és B - mátrixelemek, amelyek téglalapot alkotnak STE és RE elemekkel.
Mutassuk be az egyes elemek számítását táblázat formájában:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

A feloldó elem egyenlő (3).
A feloldó elem helyére 1-et kapunk, magába az oszlopba pedig nullákat írunk.
A mátrix összes többi elemét, beleértve a B oszlop elemeit is, a téglalapszabály határozza meg.
Ehhez négy olyan számot választunk ki, amelyek a téglalap csúcsaiban helyezkednek el, és mindig tartalmazzák az RE feloldóelemet.

x 1	x 2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

A felbontás eleme (-4).
A feloldó elem helyére 1-et kapunk, magába az oszlopba pedig nullákat írunk.
A mátrix összes többi elemét, beleértve a B oszlop elemeit is, a téglalapszabály határozza meg.
Ehhez négy olyan számot választunk ki, amelyek a téglalap csúcsaiban helyezkednek el, és mindig tartalmazzák az RE feloldóelemet.
Mutassuk be az egyes elemek számítását táblázat formájában:

x 1	x 2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Válasz: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

A Gauss-módszer megvalósítása

A Gauss-módszert számos programozási nyelven implementálják, különösen: Pascal, C++, php, Delphi, és van a Gauss-módszer online megvalósítása is.

Gauss módszerrel

A Gauss-módszer alkalmazása a játékelméletben

A játékelméletben a játékos maximális optimális stratégiájának megtalálásakor egy egyenletrendszert állítanak össze, amelyet a Gauss-módszerrel oldanak meg.

Gauss-módszer alkalmazása differenciálegyenletek megoldásában

Egy differenciálegyenlet parciális megoldásának megtalálásához először az írott parciális megoldáshoz (y=f(A,B,C,D)) keressünk megfelelő fokú deriváltokat, amelyeket behelyettesítünk az eredeti egyenletbe. Következő megtalálni A,B,C,D változók egyenletrendszert állítanak össze és oldanak meg a Gauss-módszerrel.

A Jordano-Gauss módszer alkalmazása a lineáris programozásban

A lineáris programozásban, különösen a szimplex módszerben, a Jordano-Gauss módszert használó téglalapszabályt használják a szimplex tábla átalakítására minden iterációnál.

Itt ingyenesen megoldhat egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszer online nagy méretek komplex számokban igen részletes megoldással. Számológépünk a szokásos határozott és határozatlan lineáris egyenletrendszereket is meg tudja oldani online a Gauss-módszerrel, amelynek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válaszban néhány változó függőségét más, szabadon keresztül kapja meg. A Gauss-megoldás segítségével online is ellenőrizheti az egyenletrendszer konzisztenciáját.

A módszerről

Lineáris egyenletrendszer megoldása során online módszer Gauss a következő lépéseket hajtja végre.

Felírjuk a kiterjesztett mátrixot.
Valójában a megoldás a Gauss-módszer előre és hátra lépéseire oszlik. A Gauss-módszer közvetlen megközelítése a mátrix redukciója lépcsőzetes formára. A Gauss-módszer fordítottja a mátrix redukálása speciális lépcsőzetes formára. De a gyakorlatban kényelmesebb azonnal nullázni azt, ami a kérdéses elem felett és alatt is található. Számológépünk pontosan ezt a módszert használja.
Fontos megjegyezni, hogy a Gauss-módszerrel történő megoldásnál a mátrixban legalább egy nulla sor jelenléte NEM nullával jobb oldal(szabad tagok oszlopa) a rendszer inkompatibilitását jelzi. Megoldás lineáris rendszer ebben az esetben nem létezik.

A Gauss-algoritmus online működésének legjobb megértéséhez írjon be egy példát, válassza ki a "nagyon részletes megoldás", és keresse meg a megoldását az interneten.

Hasonló cikkek: