Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe; primjeri rješenja. Rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Diferencijalna jednadžba (DE) - ovo je jednadžba,
gdje su nezavisne varijable, y je funkcija i su parcijalne derivacije.

Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima samo jednu nezavisnu varijablu, .

Parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima dvije ili više neovisnih varijabli.

Riječi "obične" i "parcijalne derivacije" mogu se izostaviti ako je jasno koja se jednadžba razmatra. U nastavku se razmatraju obične diferencijalne jednadžbe.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije.

Evo primjera jednadžbe prvog reda:

Evo primjera jednadžbe četvrtog reda:

Ponekad se diferencijalna jednadžba prvog reda piše u terminima diferencijala:

U ovom slučaju varijable x i y su jednake. To jest, nezavisna varijabla može biti x ili y. U prvom slučaju, y je funkcija od x. U drugom slučaju, x je funkcija od y. Ako je potrebno, ovu jednadžbu možemo svesti na oblik koji eksplicitno uključuje derivaciju y′.
Dijeljenjem ove jednadžbe s dx dobivamo:
.
Od i , Slijedi da
.

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Izvodnice elementarnih funkcija izražavaju se kroz elementarne funkcije. Integrali elementarnih funkcija često se ne izražavaju kroz elementarne funkcije. S diferencijalnim jednadžbama situacija je još gora. Kao rezultat rješenja možete dobiti:

• eksplicitna ovisnost funkcije o varijabli;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe je funkcija y = u (x), koji je definiran, n puta diferencijabilan, i .

• implicitna ovisnost u obliku jednadžbe tipa Φ (x, y) = 0 ili sustavi jednadžbi;

  Integral diferencijalne jednadžbe je rješenje diferencijalne jednadžbe koja ima implicitni oblik.

• ovisnost izražena kroz elementarne funkcije i integrale od njih;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe u kvadraturi - to je pronalaženje rješenja u obliku kombinacije elementarnih funkcija i njihovih integrala.

• rješenje se možda neće izraziti kroz elementarne funkcije.

Jer rješenje diferencijalne jednadžbe svodi na izračun integrala, tada rješenje uključuje skup konstanti C 1, C 2, C 3, ... C n. Broj konstanti jednak je redu jednadžbe. Parcijalni integral diferencijalne jednadžbe je opći integral za zadane vrijednosti konstanti C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Reference:
V.V. Stepanov, Tečaj diferencijalnih jednadžbi, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Ili su već riješeni s obzirom na derivaciju, ili se mogu riješiti s obzirom na derivaciju .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu x, koji je dan, može se pronaći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Dobivamo .

Ako pogledate svojstva neodređeni integral, tada nalazimo željeno opće rješenje:

y = F(x) + C,

Gdje F(x)- jedna od primitivnih funkcija f(x) između x, A S- proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da je u većini problema interval x ne ukazuju. To znači da se mora pronaći rješenje za sve. x, za koju i željenu funkciju g, a izvorna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početno stanje y(x 0) = y 0, zatim nakon izračuna općeg integrala y = F(x) + C, još je potrebno odrediti vrijednost konstante C = C 0, koristeći početni uvjet. Odnosno konstanta C = C 0 određena iz jednadžbe F(x 0) + C = y 0, a željeno parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C 0.

Pogledajmo primjer:

Pronađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe i provjerimo točnost rezultata. Nađimo posebno rješenje ove jednadžbe koje bi zadovoljilo početni uvjet.

Riješenje:

Nakon što integriramo zadanu diferencijalnu jednadžbu, dobivamo:

.

Uzmimo ovaj integral metodom integracije po dijelovima:

Da., je opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Kako bismo bili sigurni da je rezultat točan, napravimo provjeru. Da bismo to učinili, rješenje koje smo pronašli zamijenimo u zadanu jednadžbu:

.

Odnosno kada originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe točno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Preostaje izračunati određeno rješenje ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante S, pri čemu će vrijediti jednakost:

.

.

Zatim, zamjena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti za derivaciju dijeljenjem 2 strane jednadžbe s f(x). Ova će transformacija biti ekvivalentna ako f(x) ne pretvara se u nulu ni pod kojim okolnostima x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe x.

Postoje vjerojatne situacije kada, za neke vrijednosti argumenta x ∈ x funkcije f(x) I g(x) istovremeno postaju nula. Za slične vrijednosti x opće rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija g, koji je u njima definiran, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenata x ∈ x uvjet je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala x iz transformirane jednadžbe određuje se opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1.

Pronađimo opće rješenje za ODE: .

Riješenje.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da je funkcija prirodnog logaritma definirana za nenegativne vrijednosti argumenta, stoga je domena definiranja izraza ln(x+3) postoji interval x > -3 . To znači da navedena diferencijalna jednadžba ima smisla za x > -3 . Za ove vrijednosti argumenata, izraz x+3 ne nestaje, tako da ODE za izvod možete riješiti dijeljenjem 2 dijela s x + 3.

Dobivamo .

Zatim integriramo dobivenu diferencijalnu jednadžbu, riješenu s obzirom na derivaciju: . Da bismo uzeli ovaj integral, koristimo se metodom podvođenja pod diferencijalni predznak.

Često samo spomen diferencijalne jednadžbečini da se učenici osjećaju nelagodno. Zašto se ovo događa? Najčešće, jer pri proučavanju osnova materijala nastaje praznina u znanju, zbog čega daljnje proučavanje difura postaje jednostavno mučenje. Nije jasno što učiniti, kako se odlučiti, odakle početi?

Ipak, pokušat ćemo vam pokazati da difuri nisu tako teški kao što se čini.

Osnovni pojmovi teorije diferencijalnih jednadžbi

Iz škole znamo najjednostavnije jednadžbe u kojima treba pronaći nepoznati x. Zapravo diferencijalne jednadžbe samo malo drugačiji od njih – umjesto varijable x morate pronaći funkciju u njima y(x) , koji će jednadžbu pretvoriti u identitet.

D diferencijalne jednadžbe od velike su praktične važnosti. Ovo nije apstraktna matematika koja nema veze sa svijetom oko nas. Diferencijalne jednadžbe koriste se za opisivanje mnogih realnih prirodni procesi. Na primjer, titranje žice, gibanje harmonijskog oscilatora, pomoću diferencijalnih jednadžbi u problemima mehanike, pronaći brzinu i ubrzanje tijela. Također DU pronaći široka primjena u biologiji, kemiji, ekonomiji i mnogim drugim znanostima.

Diferencijalna jednadžba (DU) je jednadžba koja sadrži derivacije funkcije y(x), samu funkciju, nezavisne varijable i druge parametre u raznim kombinacijama.

Postoje mnoge vrste diferencijalnih jednadžbi: obične diferencijalne jednadžbe, linearne i nelinearne, homogene i nehomogene, diferencijalne jednadžbe prvog i višeg reda, parcijalne diferencijalne jednadžbe i tako dalje.

Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja je pretvara u identitet. Postoje opća i posebna rješenja daljinskog upravljača.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je opći skup rješenja koja pretvaraju jednadžbu u identitet. Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje koje zadovoljava dodatni uvjeti, navedeno na početku.

Red diferencijalne jednadžbe određen je najvišim redom njezinih izvodnica.

Obične diferencijalne jednadžbe

Obične diferencijalne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže jednu nezavisnu varijablu.

Razmotrimo najjednostavniju običnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda. Izgleda kao:

Takva se jednadžba može riješiti jednostavnim integriranjem njezine desne strane.

Primjeri takvih jednadžbi:

Odvojive jednadžbe

U opći pogled ova vrsta jednadžbe izgleda ovako:

Evo primjera:

Prilikom rješavanja takve jednadžbe morate razdvojiti varijable, dovodeći ih u oblik:

Nakon toga preostaje integrirati oba dijela i dobiti rješenje.

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Takve jednadžbe izgledaju ovako:

Ovdje su p(x) i q(x) neke funkcije nezavisne varijable, a y=y(x) je željena funkcija. Evo primjera takve jednadžbe:

Pri rješavanju takve jednadžbe najčešće se koriste metodom variranja proizvoljne konstante ili željenu funkciju prikazuju kao produkt dviju drugih funkcija y(x)=u(x)v(x).

Za rješavanje takvih jednadžbi potrebna je određena priprema i bit će ih prilično teško uzeti “na prvi pogled”.

Primjer rješavanja diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama

Dakle, pogledali smo najjednostavnije vrste daljinskog upravljanja. Sada pogledajmo rješenje jednog od njih. Neka ovo bude jednadžba sa separabilnim varijablama.

Prvo, prepišimo izvedenicu u poznatijem obliku:

Zatim podijelimo varijable, odnosno u jednom dijelu jednadžbe skupljamo sve "I", au drugom - "X":

Sada ostaje integrirati oba dijela:

Integriramo i dobivamo opće rješenje ove jednadžbe:

Naravno, rješavanje diferencijalnih jednadžbi svojevrsna je umjetnost. Morate biti u stanju razumjeti koja je to vrsta jednadžbe, i također naučiti vidjeti koje transformacije je potrebno napraviti s njom kako bi se došlo do jednog ili drugog oblika, da ne spominjemo samo sposobnost razlikovanja i integracije. A da biste uspjeli riješiti DE potrebna vam je praksa (kao i u svemu). A ako imate ovaj trenutak nemate vremena shvatiti kako se rješavaju diferencijalne jednadžbe, ili vam je Cauchyjev problem zapeo kao kost u grlu, ili ne znate, obratite se našim autorima. U kratkom roku ćemo Vam dostaviti gotovu i detaljno rješenje, čije detalje možete razumjeti u bilo koje vrijeme koje vam odgovara. U međuvremenu predlažemo da pogledate video na temu “Kako riješiti diferencijalne jednadžbe”:

Danas je jedna od najvažnijih vještina svakog stručnjaka sposobnost rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi– niti jedan aplikativni zadatak ne može bez toga, bilo da se radi o proračunu bilo kojeg fizičkog parametra ili modeliranju promjena kao rezultat usvojene makroekonomske politike. Ove jednadžbe također su važne za niz drugih znanosti, poput kemije, biologije, medicine itd. U nastavku ćemo dati primjer korištenja diferencijalnih jednadžbi u ekonomiji, ali prije toga ćemo ukratko govoriti o glavnim vrstama jednadžbi.

Diferencijalne jednadžbe - najjednostavnije vrste

Mudraci su rekli da su zakoni našeg svemira napisani matematičkim jezikom. Naravno, ima mnogo primjera u algebri različite jednadžbe, ali to su uglavnom edukativni primjeri koji nisu primjenjivi u praksi. Stvarno zanimljiva matematika počinje kada želimo opisati procese koji se odvijaju u stvaran život. Ali kako možemo odražavati faktor vremena koji upravlja stvarnim procesima - inflaciju, proizvodnju ili demografske pokazatelje?

Prisjetimo se jedne važne definicije iz kolegija matematike koja se tiče derivacije funkcije. Derivacija je brzina promjene funkcije, stoga nam može pomoći da odražavamo faktor vremena u jednadžbi.

Odnosno, stvaramo jednadžbu s funkcijom koja opisuje pokazatelj koji nas zanima i dodajemo derivaciju te funkcije u jednadžbu. Ovo je diferencijalna jednadžba. Sada prijeđimo na one najjednostavnije vrste diferencijalnih jednadžbi za lutke.

Najjednostavnija diferencijalna jednadžba ima oblik $y'(x)=f(x)$, gdje je $f(x)$ određena funkcija, a $y'(x)$ je derivacija ili stopa promjene željene funkcija. Može se riješiti običnom integracijom: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Drugi najjednostavniji tip naziva se diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama. Takva jednadžba izgleda ovako: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Vidi se da je zavisna varijabla $y$ također dio konstruirane funkcije. Jednadžba se može riješiti vrlo jednostavno - potrebno je "odvojiti varijable", odnosno dovesti je u oblik $y'(x)/g(y)=f(x)$ ili $dy/g(y) =f(x)dx$. Ostaje integrirati obje strane $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - to je rješenje diferencijalne jednadžbe separabilnog tipa.

Posljednji jednostavni tip je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Ima oblik $y’+p(x)y=q(x)$. Ovdje su $p(x)$ i $q(x)$ neke funkcije, a $y=y(x)$ je tražena funkcija. Za rješavanje takve jednadžbe koriste se posebne metode (Lagrangeova metoda varijacije proizvoljne konstante, Bernoullijeva metoda supstitucije).

Postoje složenije vrste jednadžbi - jednadžbe drugog, trećeg i općenito proizvoljnog reda, homogene i nehomogene jednadžbe, kao i sustavi diferencijalnih jednadžbi. Za njihovo rješavanje potrebna je prethodna priprema i iskustvo u rješavanju jednostavnijih problema.

Takozvane parcijalne diferencijalne jednadžbe od velike su važnosti za fiziku i, neočekivano, za financije. To znači da željena funkcija ovisi o više varijabli istovremeno. Na primjer, Black-Scholesova jednadžba iz područja financijskog inženjeringa opisuje vrijednost opcije (tip vrijednosni papiri) ovisno o njegovoj profitabilnosti, veličini plaćanja, kao i datumima početka i završetka plaćanja. Rješavanje parcijalne diferencijalne jednadžbe prilično je složeno i obično zahtijeva korištenje posebnih programa kao što su Matlab ili Maple.

Primjer primjene diferencijalne jednadžbe u ekonomiji

Navedimo, kao što smo obećali, jednostavan primjer rješavanja diferencijalne jednadžbe. Prvo, postavimo zadatak.

Za neko poduzeće funkcija graničnog prihoda od prodaje njegovih proizvoda ima oblik $MR=10-0,2q$. Ovdje je $MR$ granični prihod poduzeća, a $q$ je obujam proizvodnje. Moramo pronaći ukupni prihod.

Kao što vidite iz problema, ovo je primijenjeni primjer iz mikroekonomije. Mnoge tvrtke i poduzeća stalno se suočavaju s takvim izračunima tijekom svojih aktivnosti.

Počnimo s rješenjem. Kao što je poznato iz mikroekonomije, granični prihod je derivat ukupnog prihoda, a prihod je nula pri nultoj prodaji.

S matematičkog gledišta, problem se sveo na rješavanje diferencijalne jednadžbe $R’=10-0.2q$ pod uvjetom $R(0)=0$.

Integrirajmo jednadžbu uzimajući antiderivativna funkcija iz oba dijela, dobivamo opće rješenje: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Da biste pronašli konstantu $C$, prisjetite se uvjeta $R(0)=0$. Zamijenimo: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Dakle, C=0 i naša funkcija ukupnog prihoda ima oblik $R(q)=10q-0,1q^2$. Problem je riješen.

Ostali primjeri po različiti tipovi Daljinski upravljači se skupljaju na stranici: