تعريف شبه المنحرف المنحني هو صيغة مساحته. تكامل محدد

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الكلمات المفتاحية: شبه منحرف متكامل، منحني الأضلاع، مساحة الأشكال التي يحدها الزنابق

المعدات: لوحة علامات، جهاز كمبيوتر، جهاز عرض للوسائط المتعددة

نوع الدرس: درس-محاضرة

أهداف الدرس:

• التعليمية: تشكيل ثقافة العمل العقلي، وخلق حالة من النجاح لكل طالب، وخلق الدافع الإيجابي للتعلم؛ تنمية القدرة على التحدث والاستماع للآخرين.
• التطوير: تكوين التفكير المستقل للطالب في تطبيق المعرفة في حالات مختلفةوالقدرة على التحليل واستخلاص النتائج، وتطوير المنطق، وتنمية القدرة على طرح الأسئلة بشكل صحيح والعثور على إجابات لها. تحسين تكوين المهارات الحسابية، وتطوير تفكير الطلاب أثناء إكمال المهام المقترحة، وتطوير الثقافة الخوارزمية.
• تعليمي: تكوين مفاهيم حول شبه منحرف منحني الأضلاع، حول التكامل، لإتقان مهارات حساب مساحات الأشكال المستوية

طريقة التدريس: توضيحية و توضيحية.

خلال الفصول الدراسية

تعلمنا في الدروس السابقة حساب مساحات الأشكال التي تكون حدودها عبارة عن خطوط مكسورة. في الرياضيات، هناك طرق تسمح لك بحساب مساحات الأشكال المحاطة بالمنحنيات. تسمى هذه الأشكال شبه منحرف منحني الأضلاع، ويتم حساب مساحتها باستخدام المشتقات العكسية.

شبه منحرف منحني ( شريحة 1)

شبه المنحرف المنحني هو شكل يحده الرسم البياني للدالة، ( ش.م.)، مستقيم س = أو س = بوالمحور السيني

أنواع مختلفة من شبه المنحرف المنحني ( الشريحة 2)

نحن نفكر أنواع مختلفةشبه منحرف منحني الأضلاع وملاحظة: يتحول أحد الخطوط إلى نقطة، ويلعب الخط دور وظيفة التحديد

مساحة شبه منحرف منحني (الشريحة 3)

إصلاح الطرف الأيسر من الفاصل الزمني أ،والصحيح Xسوف نتغير، أي أننا نحرك الجدار الأيمن لشبه المنحرف المنحني ونحصل على شكل متغير. مساحة شبه منحرف منحني متغير ويحدها الرسم البياني للدالة هي مشتق عكسي Fللوظيفة F

وعلى المقطع [ أ؛ ب] مساحة شبه منحرف منحني، تشكلت من قبل الوظيفة F،يساوي زيادة المشتق العكسي لهذه الوظيفة:

التمرين 1:

أوجد مساحة شبه منحرف منحني يحدها الرسم البياني للوظيفة: و(خ) = س 2ومستقيم ص = 0، س = 1، س = 2.

حل: ( وفقًا لشريحة الخوارزمية 3)

لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة والخطوط

دعونا نجد واحدة من وظائف المشتقات المضادة و(خ) = س 2 :

الاختبار الذاتي على الشريحة

أساسي

النظر في شبه منحرف منحني الخطوط المحددة بواسطة الوظيفة Fعلى المقطع [ أ؛ ب]. دعونا نقسم هذا الجزء إلى عدة أجزاء. سيتم تقسيم مساحة شبه المنحرف بالكامل إلى مجموع مساحات شبه المنحرف الأصغر حجمًا. ( الشريحة 5). يمكن اعتبار كل شبه منحرف تقريبًا مستطيلًا. مجموع مساحات هذه المستطيلات يعطي فكرة تقريبية عن كامل مساحة شبه المنحرف المنحني. أصغر نقوم بتقسيم الجزء [ أ؛ ب]، كلما قمنا بحساب المنطقة بشكل أكثر دقة.

دعونا نكتب هذه الحجج في شكل صيغ.

تقسيم القطعة [ أ؛ ب] إلى أجزاء n بالنقاط س 0 =أ، x1،...،xn = ب.طول ك-ذ للدلالة به س ك = س ك – س ك-1. دعونا نجعل المبلغ

هندسياً، يمثل هذا المجموع مساحة الشكل المظلل في الشكل ( ش.م.)

تسمى مجاميع النموذج مجاميع متكاملة للدالة F. (ش.م.)

تعطي المبالغ المتكاملة قيمة تقريبية للمنطقة. القيمة الدقيقةيتم الحصول عليها عن طريق المرور إلى الحد الأقصى. لنتخيل أننا نقوم بتحسين قسم المقطع [ أ؛ ب] بحيث تميل أطوال جميع القطع الصغيرة إلى الصفر. ثم مساحة الشكل المكون ستقترب من مساحة شبه المنحرف المنحني. يمكننا القول أن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي نهاية المجاميع التكاملية، SC.t. (ش.م.)أو متكامل، أي،

تعريف:

جزء لا يتجزأ من وظيفة و (خ)من أقبل بتسمى نهاية المجاميع التكاملية

= (ش.م.)

صيغة نيوتن-لايبنتز.

نتذكر أن نهاية المجاميع التكاملية تساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع، مما يعني أنه يمكننا كتابة:

SC.t. = (ش.م.)

من ناحية أخرى، يتم حساب مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة

إس كيه تي. (ش.م.)

وبمقارنة هذه الصيغ نحصل على:

= (ش.م.)

وتسمى هذه المساواة بصيغة نيوتن-لايبنتز.

ولتسهيل الحساب يتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

= = (ش.م.)

المهام: (ش.م.)

1. احسب التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز: ( تحقق من الشريحة 5)

2. قم بتكوين التكاملات حسب الرسم ( تحقق من الشريحة 6)

3. أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( الشريحة 7)

إيجاد مساحات الأشكال المستوية ( الشريحة 8)

كيف تجد مساحة الأشكال التي ليست شبه منحرفة منحنية؟

دعونا نعطي وظيفتين، الرسوم البيانية التي تراها على الشريحة . (ش.م.)أوجد مساحة الشكل المظلل . (ش.م.). هل الشكل المعني شبه منحرف منحني؟ كيف يمكنك العثور على مساحتها باستخدام خاصية جمع المساحة؟ خذ بعين الاعتبار شبه منحرفين منحنيين واطرح مساحة الآخر من مساحة أحدهما ( ش.م.)

لنقم بإنشاء خوارزمية للعثور على المنطقة باستخدام الرسوم المتحركة على الشريحة:

وظائف الرسم البياني

قم بإسقاط نقاط تقاطع الرسوم البيانية على المحور السيني

قم بتظليل الشكل الذي تم الحصول عليه عند تقاطع الرسوم البيانية

أوجد شبه المنحرف المنحني الأضلاع الذي يكون تقاطعه أو اتحاده هو الشكل الموضح.

احسب مساحة كل منهم

أوجد الفرق أو مجموع المساحات

المهمة الشفهية: كيفية الحصول على مساحة الشكل المظلل (أخبر باستخدام الرسوم المتحركة، الشريحة 8 و9)

الواجب البيتي: العمل بالملاحظات رقم 353 (أ)، رقم 364 (أ).

فهرس

الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 9-11 من المدرسة المسائية (المناوبة) / إد. ج.د. جلاسر. - م: التنوير، 1983.

باشماكوف م. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 بالمدرسة الثانوية / باشماكوف م. - م: التنوير، 1991.

باشماكوف م. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات. والأربعاء البروفيسور التعليم / م. باشماكوف. - م: الأكاديمية، 2010.

كولموغوروف أ.ن. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11. المؤسسات التعليمية / أ.ن.كولموغوروف. - م: التربية، 2010.

أوستروفسكي إس. كيفية تقديم عرض تقديمي للدرس؟ / S.L. أوستروفسكي. – م: 1 سبتمبر 2010.

مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي عدديا تكاملا محددا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. قلت في الصف أن التكامل المحدد هو رقم. والآن حان الوقت لذكر شيء آخر حقيقة مفيدة. من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المنطقة.

أي أن تكاملًا معينًا (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. على سبيل المثال، النظر في التكامل المحدد. يحدد التكامل منحنى معينًا على المستوى (يمكن رسمه دائمًا إذا رغبت في ذلك)، ويكون التكامل المحدد نفسه عدديًا يساوي المساحةشبه منحرف منحني المقابلة.

مثال 1

هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي الرسم. علاوة على ذلك، يجب أن يتم بناء الرسم بشكل صحيح.

عند إنشاء رسم، أوصي بالترتيب التالي: أولاً، من الأفضل إنشاء جميع الخطوط المستقيمة (إن وجدت) وعندها فقط – القطع المكافئة، القطع الزائدة، والرسوم البيانية للوظائف الأخرى. من المربح أكثر إنشاء الرسوم البيانية للوظائف بشكل نقطي، ويمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المواد المرجعية.

هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا لدرسنا - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم الرسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أقوم بتظليل شبه المنحرف المنحني، فمن الواضح هنا ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. ويستمر الحل هكذا:

في المقطع، يقع الرسم البياني للدالة فوق المحور، وبالتالي:

إجابة:

من يواجه صعوبات في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز ، راجع محاضرة التكامل المحدد. أمثلة على الحلول.

بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في في هذه الحالة"بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

مثال 2

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط، و، والمحور

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكاملوالإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني يقع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ومحاور الإحداثيات.

الحل: لنقم بالرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني يقع بالكامل تحت المحور، فيمكن العثور على مساحته باستخدام الصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طلب منك حل تكامل محدد بدون أي تكامل معنى هندسي، ثم يمكن أن يكون سلبيا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 4

البحث عن المنطقة شخصية مسطحة, يحدها خطوط , .

الحل: أولا تحتاج إلى رسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
ومن الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن.

إن بناء الخطوط نقطة تلو الأخرى أكثر ربحية وأسرع بكثير، وتصبح حدود التكامل واضحة "في حد ذاتها". تمت مناقشة تقنية البناء النقطي لمختلف الرسوم البيانية بالتفصيل في الرسوم البيانية المرجعية وخصائص الوظائف الأولية. ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:

أكرر أنه عند البناء بشكل نقطي، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل: إذا كانت بعض الوظائف المستمرة في مقطع ما أكبر من أو تساوي بعض الوظائف المستمرة، فيمكن العثور على مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - أعلى المحور أو أسفل المحور، وبشكل تقريبي، من المهم أي رسم بياني أعلى (بالنسبة إلى رسم بياني آخر) وأي رسم بياني أقل.

في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه

قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:

الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
على المقطع حسب الصيغة المقابلة:

إجابة:

وفي الحقيقة فإن الصيغة المدرسية لمنطقة شبه المنحرف المنحني في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصةالصيغ . بما أن المحور محدد بالمعادلة ويقع الرسم البياني للدالة أسفل المحور

والآن بعض الأمثلة للحل الخاص بك

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط .

عند حل المسائل التي تتضمن حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، تحدث أحيانًا حادثة مضحكة. تم الرسم بشكل صحيح، وكانت الحسابات صحيحة، ولكن بسبب الإهمال... تم العثور على مساحة الشكل الخطأ، وهذا هو بالضبط كيف أخطأ خادمك المتواضع عدة مرات. هنا حالة من الحياة الحقيقية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , , .

أولاً لنقم بالرسم:

الشكل الذي نحتاج إلى إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق (انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الشكل محدود!). لكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالبًا ما تحتاج إلى إيجاد مساحة الشكل المظلل أخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد في الجزء الموجود أعلى المحور رسم بياني لخط مستقيم؛

2) يوجد في المقطع الموجود فوق المحور رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:

إجابة:

مثال 8

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط،
لنعرض المعادلات في صورة "مدرسة" ونرسم نقطة بنقطة:

ومن الرسم يتضح أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": .
ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ما هو؟ ربما ؟ ولكن أين هو الضمان بأن الرسم تم بدقة تامة، فقد يتبين أن... أو الجذر. ماذا لو بنينا الرسم البياني بشكل غير صحيح؟

في مثل هذه الحالات، عليك قضاء وقت إضافي وتوضيح حدود التكامل تحليليا.

دعونا نجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك، نحل المعادلة:

لذلك، .

الحل الإضافي تافه، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات، والحسابات هنا ليست أبسط.

على الجزء ، وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

حسنًا، في ختام الدرس، دعونا نلقي نظرة على مهمتين أكثر صعوبة.

مثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , ,

الحل: لنرسم هذا الشكل في الرسم.

لرسم رسم نقطة بنقطة تحتاج إلى معرفتها مظهرالجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية)، وكذلك بعض قيم الجيب، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة)، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح بشكل أساسي.

لا توجد مشاكل مع حدود التكامل هنا، فهي تتبع مباشرة الشرط: يتغير "x" من صفر إلى "pi". دعونا نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع، يقع الرسم البياني للدالة فوق المحور، وبالتالي:

(1) يمكن رؤية كيفية تكامل الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في درس التكاملات من الدوال المثلثية. هذه تقنية نموذجية، حيث نقوم بقرص أحد الجيوب الأنفية.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الرئيسية في النموذج

(3) لنغير المتغير إذن:

مجالات التكامل الجديدة:

أي شخص سيء حقًا في عمليات الاستبدال، يرجى أخذ درس طريقة الاستبدال. تكامل غير محدد. بالنسبة لأولئك الذين ليس لديهم فكرة واضحة عن خوارزمية الاستبدال في التكامل المحدد، قم بزيارة صفحة التكامل المحدد. أمثلة على الحلول.

المهمة رقم 3. قم بعمل رسم وحساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط

تطبيق التكامل في حل المسائل التطبيقية

حساب المساحة

التكامل المحدد للدالة المستمرة غير السالبة f(x) يساوي عدديًا مساحة شبه منحرف منحني يحده المنحنى y = f(x) ومحور O x والخطوط المستقيمة x = a و x = ب. ووفقاً لهذا يتم كتابة معادلة المساحة على النحو التالي:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لحساب مساحات الأشكال المستوية.

المهمة رقم 1. احسب المساحة المحددة بالخطوط y = x 2 +1، y = 0، x = 0، x = 2.

حل.دعونا نبني الشكل الذي سيتعين علينا حساب مساحته.

y = x 2 + 1 هو قطع مكافئ يتم توجيه فروعه لأعلى، ويتم إزاحة القطع المكافئ لأعلى بمقدار وحدة واحدة بالنسبة إلى المحور O y (الشكل 1).

الشكل 1. رسم بياني للدالة y = x 2 + 1

المهمة رقم 2. احسب المساحة المحددة بالخطوط y = x 2 – 1، y = 0 في النطاق من 0 إلى 1.

حل.الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ من الفروع التي يتم توجيهها لأعلى، ويتم إزاحة القطع المكافئ بالنسبة إلى المحور O y لأسفل بمقدار وحدة واحدة (الشكل 2).

الشكل 2. رسم بياني للدالة y = x 2 – 1

المهمة رقم 3. قم بعمل رسم وحساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط

ص = 8 + 2س – س 2 و ص = 2س – 4.

حل.أول هذين الخطين عبارة عن قطع مكافئ تتجه فروعه إلى الأسفل، حيث أن معامل x 2 سلبي، والخط الثاني عبارة عن خط مستقيم يتقاطع مع محوري الإحداثيات.

لإنشاء القطع المكافئ، نجد إحداثيات رأسه: y’=2 – 2x; 2 – 2س = 0، س = 1 – حدود الرأس؛ y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 هو الإحداثي، N(1;9) هو الرأس.

الآن لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم من خلال حل نظام المعادلات:

مساواة الأطراف اليمنى في المعادلة التي يكون طرفاها الأيسر متساويين.

نحصل على 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 أو x 2 – 12 = 0، ومن هنا .

لذا، فإن النقاط هي نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم (الشكل 1).

الشكل 3 الرسوم البيانية للوظائف y = 8 + 2x – x 2 و y = 2x – 4

لنرسم خطًا مستقيمًا y = 2x – 4. ويمر بالنقاط (0;-4)، (2;0) على محاور الإحداثيات.

لإنشاء قطع مكافئ، يمكنك أيضًا استخدام نقاط تقاطعه مع المحور 0x، أي جذور المعادلة 8 + 2x – x 2 = 0 أو x 2 – 2x – 8 = 0. باستخدام نظرية فييتا، يكون الأمر سهلاً لإيجاد جذوره: x 1 = 2، x 2 = 4.

ويبين الشكل 3 شكلاً (القطعة المكافئة M 1 N M 2) يحدها هذه الخطوط.

الجزء الثاني من المشكلة هو إيجاد مساحة هذا الشكل. يمكن العثور على مساحتها باستخدام تكامل محدد وفقًا للصيغة .

تنطبق على هذا الشرط، نحصل على التكامل:

2 حساب حجم الجسم الدوراني

يتم حساب حجم الجسم الناتج من دوران المنحنى y = f(x) حول المحور O x بالصيغة:

عند الدوران حول المحور O، تبدو الصيغة كما يلي:

المهمة رقم 4. حدد حجم الجسم الناتج من دوران شبه منحرف منحني يحده خطوط مستقيمة x = 0 x = 3 ومنحني y = حول المحور O x.

حل.دعونا نرسم صورة (الشكل 4).

الشكل 4. رسم بياني للدالة y =

الحجم المطلوب هو

المهمة رقم 5. احسب حجم الجسم الناتج من دوران شبه منحرف منحني يحده المنحنى y = x 2 والخطين المستقيمين y = 0 و y = 4 حول المحور O y.

حل.لدينا:

راجع الأسئلة

كيفية إدراج الصيغ الرياضية على موقع على شبكة الانترنت؟

إذا كنت بحاجة إلى إضافة واحدة أو اثنتين من الصيغ الرياضية إلى صفحة ويب، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة على الموقع في شكل صور يتم إنشاؤها تلقائيًا بواسطة Wolfram Alpha . بالإضافة إلى البساطة، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين ظهور الموقع في محركات البحث. لقد كان يعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنه سيعمل إلى الأبد)، لكنه عفا عليه الزمن بالفعل من الناحية الأخلاقية.

إذا كنت تستخدم الصيغ الرياضية بانتظام على موقعك، فإنني أوصيك باستخدام MathJax - وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض الرموز الرياضية في متصفحات الويب باستخدام علامات MathML أو LaTeX أو ASCIMathML.

هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط، يمكنك توصيل البرنامج النصي MathJax بسرعة بموقعك على الويب، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم)؛ (2) قم بتنزيل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية - الأكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً - ستعمل على تسريع تحميل صفحات موقعك، وإذا أصبح خادم MathJax الأصلي غير متاح مؤقتًا لسبب ما، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. ورغم هذه المزايا إلا أنني اخترت الطريقة الأولى لأنها أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع مثالي، وفي 5 دقائق فقط ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خيارين للتعليمات البرمجية مأخوذة من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة الوثائق:

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية لصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.

يتم إنشاء أي فراكتل وفقًا لـ قاعدة معينة، والذي يتم تطبيقه بالتتابع لعدد غير محدود من المرات. كل مرة من هذا القبيل تسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة Menger بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي ذو الجانب 1 بواسطة مستويات موازية لوجهه إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه. والنتيجة هي مجموعة تتكون من المكعبات العشرين الأصغر المتبقية. وبفعل الشيء نفسه مع كل مكعب من هذه المكعبات، نحصل على مجموعة مكونة من 400 مكعب أصغر. مواصلة هذه العملية إلى ما لا نهاية، نحصل على اسفنجة Menger.

دعونا ننتقل إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. في هذا الدرس، سنلقي نظرة على المشكلة النموذجية والأكثر شيوعًا لحساب مساحة الشكل المستوي باستخدام تكامل محدد. وأخيرًا، دع كل من يبحث عن المعنى في الرياضيات العليا يجده. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية، سيتعين عليك تقريب قطعة أرض داشا باستخدام الدوال الأولية والعثور على مساحتها باستخدام تكامل محدد.

لإتقان المادة بنجاح، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي، يجب على الدمى أن يتعرفوا أولاً على درس هو.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات محددة في صفحة التكامل المحدد. أمثلة على الحلول. وبالتالي فإن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" تتضمن دائمًا إنشاء رسم قضايا الساعةستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم موجودة أيضًا. كحد أدنى، يجب أن تكون قادرًا على إنشاء خط مستقيم وقطع مكافئ وقطع زائد.

لنبدأ بشبه منحرف منحني. شبه المنحرف المنحني هو شكل مسطح يحده الرسم البياني لبعض الوظائف ذ = F(س)، المحور ثوروالخطوط س = أ; س = ب.

مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي عدديا تكاملا محددا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس التكامل المحدد من أمثلة الحلول التي ذكرنا أن التكامل المحدد هو عدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة مفيدة أخرى. من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المنطقة. أي أن تكاملًا معينًا (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. النظر في التكامل المحدد

متكامل

يحدد منحنى على المستوى (يمكن رسمه إذا رغبت في ذلك)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.

مثال 1

, , , .

هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأكثر أهميةالحلول - الرسم. علاوة على ذلك، يجب أن يتم بناء الرسم بشكل صحيح.

عند إنشاء رسم، أوصي بالترتيب التالي: أولاً، من الأفضل إنشاء جميع الخطوط المستقيمة (إن وجدت) وعندها فقط – القطع المكافئة، القطع الزائدة، والرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المواد المرجعية للرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا لدرسنا - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.

لنقم بالرسم (لاحظ أن المعادلة ذ= 0 يحدد المحور ثور):

لن نقوم بتظليل شبه المنحرف المنحني، فمن الواضح هنا ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. ويستمر الحل هكذا:

على المقطع [-2؛ 1] الرسم البياني الوظيفي ذ = س 2+2 تقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:

إجابة: .

من يواجه صعوبات في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز

,

راجع محاضرة التكامل المحدد . أمثلة على الحلول. بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، نحسب عدد الخلايا في الرسم "بالعين" - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

مثال 2

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط xy = 4, س = 2, س= 4 والمحور ثور.

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني يقع تحت المحور ثور?

مثال 3

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط ذ = السابق, س= 1 ومحاور الإحداثيات.

الحل: لنقم بالرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني يقع بالكامل تحت المحور ثور، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

.

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط ذ = 2س – س 2 , ذ = -س.

الحل: أولا تحتاج إلى رسم. عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، نحن مهتمون أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ ذ = 2س – س 2 ومستقيم ذ = -س. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل أ= 0، الحد الأعلى للتكامل ب= 3. غالبًا ما يكون بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع، وتصبح حدود التكامل واضحة "بنفسها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:

دعونا نكرر أنه عند البناء النقطي، غالبًا ما يتم تحديد حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:

إذا كان على الجزء [ أ; ب] بعض الوظائف المستمرة F(س) أكبر من أو يساوي بعض الوظائف المستمرة ز(س) ، فيمكن العثور على مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في المكان الذي يقع فيه الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور، ولكن المهم هو الرسم البياني الأعلى (بالنسبة إلى رسم بياني آخر) والذي هو أدناه.

في المثال قيد النظر، من الواضح أنه في المقطع يقع القطع المكافئ فوق الخط المستقيم، وبالتالي من 2 س – سيجب طرح 2 - س.

قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:

الرقم المطلوب محدود بقطع مكافئ ذ = 2س – س 2 في الأعلى ومستقيم ذ = -سأقل.

على الجزء 2 س – س 2 ≥ -س. وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة: .

وفي الواقع فإن الصيغة المدرسية لمساحة شبه المنحرف المنحني في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال رقم 3) هي حالة خاصة من الصيغة

.

لأن المحور ثورتعطى بواسطة المعادلة ذ= 0، والرسم البياني للوظيفة ز(س) يقع أسفل المحور ثور، الذي - التي

.

والآن بعض الأمثلة للحل الخاص بك

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

عند حل المسائل التي تتضمن حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، تحدث أحيانًا حادثة مضحكة. تم الرسم بشكل صحيح، وكانت الحسابات صحيحة، ولكن بسبب الإهمال... تم العثور على مساحة الشكل الخطأ.

مثال 7

أولاً لنقم بالرسم:

الشكل الذي نحتاج إلى إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق (انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الشكل محدود!). ولكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالبًا ما يقرر الأشخاص أنهم بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) على الجزء [-1؛ 1] فوق المحور ثوريقع الرسم البياني مباشرة ذ = س+1;

2) على قطعة فوق المحور ثوريقع الرسم البياني للقطع الزائد ذ = (2/س).

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:

إجابة:

مثال 8

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

دعونا نعرض المعادلات في صيغة "المدرسة".

وقم بعمل رسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": ب = 1.

ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ما هو؟

ربما، أ=(-1/3)؟ ولكن أين هو الضمان الذي يتم به الرسم بدقة مثالية، قد يكون ذلك جيدا أ=(-1/4). ماذا لو بنينا الرسم البياني بشكل غير صحيح؟

في مثل هذه الحالات، عليك قضاء وقت إضافي وتوضيح حدود التكامل تحليليا.

دعونا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية

للقيام بذلك، نحل المعادلة:

.

لذلك، أ=(-1/3).

الحل الآخر تافه. الشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات. الحسابات هنا ليست أبسط. على الجزء

, ,

وفقا للصيغة المناسبة:

إجابة:

في ختام الدرس، دعونا نلقي نظرة على مهمتين أكثر صعوبة.

مثال 9

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

الحل: لنرسم هذا الشكل في الرسم.

لإنشاء رسم نقطة بنقطة، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية. بشكل عام، من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية، وكذلك بعض قيم الجيب. يمكن العثور عليها في جدول قيم الدوال المثلثية. في بعض الحالات (على سبيل المثال، في هذه الحالة)، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح بشكل أساسي.

لا توجد مشاكل مع حدود التكامل هنا، فهي تتبع الشرط مباشرة:

- يتغير "x" من صفر إلى "pi". دعونا نتخذ قرارًا آخر:

على قطعة، الرسم البياني للدالة ذ= الخطيئة 3 ستقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:

(1) يمكنك أن ترى كيف يتم تكامل الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في درس تكاملات الدوال المثلثية. نحن نقرص جيبًا واحدًا.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الرئيسية في النموذج

(3) دعونا نغير المتغير ر=cos س، إذن: يقع فوق المحور، وبالتالي:

.

.

ملحوظة: انتبه إلى كيفية أخذ تكامل المماس في المكعب؛ يتم استخدام نتيجة طبيعية للنتيجة الرئيسية هنا الهوية المثلثية

.