Kung para sa bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, pagkakasunod-sunod ng numero— function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag unang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 2 — ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag nth term mga pagkakasunod-sunod , at isang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkatabing miyembro isang n At isang n +1 miyembro ng pagkakasunud-sunod isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), A isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, kailangan mong tukuyin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay tinukoy gamit nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino ng numerical sequence ay itinatag tulad ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli , kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan , kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag bumababa , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — pagbaba ng pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa habang tumataas ang bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - isang tiyak na numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga termino ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at ang pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k + a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng pantay na espasyong miyembro ng arithmetic progression na ito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n Ang mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding termino at ang bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

• Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

Geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - isang tiyak na numero.

Kaya, ang ratio ng kasunod na termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng geometric progression.

Upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n Ang ika-apat na termino ay matatagpuan gamit ang formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang geometric progression kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

Patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa nais na pahayag. ◄

Tandaan na n Ang ika-kataga ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang sinumang nakaraang miyembro b k , kung saan ito ay sapat na upang gamitin ang formula

b n = b k · qn - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang termino ng isang geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga termino ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

• Ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-usad ay papalit-palit: ang mga termino nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda sa unang termino nito, at ang mga terminong may even na numero ay may kabaligtaran na tanda. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Si Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad tinatawag na walang katapusang geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Akma ito sa okasyon

1 < q< 0 .

Sa gayong denominator, ang pagkakasunud-sunod ay papalit-palit. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang bilang kung saan lumalapit ang kabuuan ng mga una nang walang limitasyon n mga miyembro ng isang pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Arithmetic at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay sa isa't isa. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Iyon

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric progression na may denominator q , Iyon

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Arithmetic progression pangalanan ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero (mga tuntunin ng isang pag-unlad)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtukoy sa hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula

Mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika

1) Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nauna at susunod na mga miyembro ng progression.

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng mga katabing odd (even) terms ng isang progression ay katumbas ng term na nasa pagitan ng mga ito, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Gamit ang pahayag na ito, napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat mo ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula gamit ang formula

Alalahaning mabuti ang pormula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika; ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at kadalasang matatagpuan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit isang bahagi ng pagkakasunud-sunod simula sa kth na miyembro nito, kakailanganin mo sumusunod na pormula mga halaga

4) Ang praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4;7;...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon na mayroon tayo

Tukuyin natin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang isang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng denominator at isa sa mga termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad

Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad

at ang kabuuan ng unang 100

Ang halaga ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic kung:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solusyon:

Isulat natin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga termino sa kabuuan

Nagsasagawa kami ng mga pagpapasimple

at lutasin ang quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan, ang numero 8 lamang ang umaangkop sa mga kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1+3+5+...+x=307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Anong uri ng pag-unlad ito?

Bago lumipat sa tanong (kung paano mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa sa kung ano ang pinag-uusapan natin.

Anumang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, kapag isinalin sa wikang matematika, ay nasa anyo:

Narito ang i ay ang serial number ng elemento ng row a i. Kaya, sa pag-alam lamang ng isang panimulang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.

Madaling maipakita na para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng nth elemento sa pagkakasunud-sunod, dapat mong idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.

Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula

Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simple espesyal na kaso. Dahil sa pag-unlad ng mga natural na numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa progression (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, pagsama-samahin ang lahat ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod na isa sa pamamagitan ng parehong halaga d = 1, pagkatapos ay pairwise summation ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. Talaga:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento ng serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), makakarating ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.

Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang isama ang lahat ng mga elemento sa isang hilera; ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n , pati na rin ang kabuuang bilang n mga tuntunin.

Ito ay pinaniniwalaan na si Gauss ang unang nag-isip ng pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa isang naibigay na problema. guro sa paaralan gawain: buuin ang unang 100 integer.

Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula

Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ang mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga problema ay kinakailangan na magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?

Ang pinakamadaling paraan upang sagutin ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa m-th hanggang sa n-th. Upang malutas ang problema, dapat mong katawanin ang ibinigay na segment mula m hanggang n ng progression bilang bago serye ng numero. Sa ganyan ika-m-ika na representasyon ang terminong a m ang magiging una, at ang isang n ay mabibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Halimbawa ng paggamit ng mga formula

Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.

Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga termino nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:

Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na termino ng pag-unlad. Iyon pala:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa dulo ng ibinigay algebraic progression, at alam din kung anong mga numero sa row ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa halagang nakuha sa nakaraang talata. Ito ay lalabas:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: hanapin muna ang kabuuan ng unang 12 elemento sa pamamagitan ng karaniwang pormula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong halaga.

Ang paksang ito ay madalas na tila kumplikado at hindi maintindihan. Mga indeks ng titik nth term progressions, progression differences - lahat ng ito ay kahit papaano ay nakakalito, oo... Alamin natin ang kahulugan ng arithmetic progression at lahat ay gagaling kaagad.)

Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Mayroon ka bang anumang mga pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.

Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Maaari mo bang i-extend ang seryeng ito? Anong mga numero ang susunod na darating, pagkatapos ng lima? Lahat... uh..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na susunod ang mga numerong 6, 7, 8, 9, atbp.

Gawin nating kumplikado ang gawain. Binibigyan kita ng hindi natapos na serye ng mga numero:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Magagawa mong mahuli ang pattern, pahabain ang serye, at pangalan ikapito numero ng hilera?

Kung napagtanto mo na ang numerong ito ay 20, binabati kita! Hindi lang ikaw ang naramdaman pangunahing puntos pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo naisip ito, basahin mo.

Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)

Unang mahalagang punto.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagguhit ng mga graph at lahat ng iyon... Ngunit dito namin pinahaba ang serye, hanapin ang bilang ng serye...

ayos lang. Ang mga pag-unlad lamang ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at partikular na gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)

Pangalawang pangunahing punto.

Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.

Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anumang numero ang kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay mas tatlo kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ang sandaling ito ang nagbibigay sa amin ng pagkakataong maunawaan ang pattern at kalkulahin ang mga kasunod na numero.

Pangatlong pangunahing punto.

Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo... Ngunit ito ay napaka, napakahalaga. Narito siya: Ang bawat numero ng pag-unlad ay nasa lugar nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, atbp. Kung ihalo mo ang mga ito nang random, mawawala ang pattern. Mawawala din ang pag-unlad ng aritmetika. Ang natitira ay isang serye na lamang ng mga numero.

Iyon ang buong punto.

Siyempre, sa bagong paksa lalabas ang mga bagong termino at pagtatalaga. Kailangan mo silang kilalanin. Kung hindi, hindi mo mauunawaan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:

Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.

Nakaka-inspire?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas simple. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at pagtatalaga. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.

Ang dami na ito ay tinatawag . Tingnan natin ang konseptong ito nang mas detalyado.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa nauna.

Isa mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay sa pamamagitan ng pagdaragdag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang numero.

Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng serye, kailangan mo una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag Upang pang-apat, mabuti, atbp.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika Maaaring positibo, pagkatapos ang bawat numero sa serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Dito nakuha ang bawat numero sa pamamagitan ng pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.

Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo, pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.

Halimbawa:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Dito rin nakuha ang bawat numero sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nauna, ngunit na negatibong numero, -5.

Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang naitutulong nito upang mag-navigate sa desisyon, makita ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.

Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang numero sa serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)

Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kumuha kami ng anumang numero sa serye na gusto namin, halimbawa, 11. Ibinabawas namin ito nakaraang numero mga. 8:

Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, ang pagkakaiba ay tatlo.

Maaari mong kunin ito anumang numero ng pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil ang pinakaunang numero walang nauna.)

Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Idagdag natin ang 3 sa ikalimang numero - makuha natin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Idagdag natin ang tatlo sa ikaanim na numero, makuha natin ang ikapitong numero - dalawampu.

Tukuyin natin d para sa pababang pag-unlad ng aritmetika:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pumili ng anumang numero ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, anumang numero.

Iba pang mga termino at pagtatalaga.

Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.

Ang bawat miyembro ng pag-unlad may sariling numero. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang termino, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero ng mga numero- mahigpit sa pagkakasunud-sunod!

Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat numero sa isang serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, ang titik ay karaniwang ginagamit a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng isang index sa kanang ibaba. Nagsusulat kami ng mga terminong pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ito ang unang numero, a 3- pangatlo, atbp. Walang magarbong. Ang seryeng ito ay maaaring maisulat nang maikli tulad nito: (isang n).

Nangyayari ang mga pag-unlad may hangganan at walang katapusan.

Ultimate ang pag-unlad ay may limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.

Walang hanggan progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)

Maaari mong isulat ang huling pag-unlad sa pamamagitan ng isang seryeng tulad nito, lahat ng mga termino at isang tuldok sa dulo:

isang 1, isang 2, isang 3, isang 4, isang 5.

O tulad nito, kung maraming miyembro:

isang 1, isang 2, ... isang 14, isang 15.

Sa maikling entry kailangan mong ipahiwatig din ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:

(a n), n = 20

Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.

Ngayon ay maaari mong lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Mga halimbawa ng mga gawain sa pag-unlad ng aritmetika.

Tingnan natin ang gawaing ibinigay sa itaas nang detalyado:

1. Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.

Isinasalin namin ang gawain sa naiintindihang wika. Ang isang walang katapusang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Ang pagkakaiba sa pag-unlad ay kilala: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad na ito.

Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa mga kondisyon ng problema. Ang unang anim na termino, kung saan ang pangalawang termino ay lima:

isang 1, 5, isang 3, isang 4, isang 5, isang 6,....

a 3 = a 2 + d

Palitan sa pagpapahayag a 2 = 5 At d = -2.5. Huwag kalimutan ang tungkol sa minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ang ikatlong termino ay naging mas maliit kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo value, na nangangahulugang ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Binibilang namin ang ikaapat na termino ng aming serye:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

isang 5 = a 4 + d

isang 5=0+(-2,5)= - 2,5

isang 6 = isang 5 + d

isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang ikaanim ay kinakalkula. Ang resulta ay ang sumusunod na serye:

isang 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Ito ay nananatiling hanapin ang unang termino a 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic d hindi dapat idagdag sa a 2, A alisin:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ayan yun. Sagot sa takdang-aralin:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Sa pagpasa, nais kong tandaan na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugan lamang ng paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad ayon sa naunang (katabing) numero. Titingnan namin ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad sa ibaba.

Isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.

Tandaan:

Kung alam natin ang kahit isang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap natin ang anumang termino ng pag-unlad na ito.

naaalala mo ba Ang simpleng konklusyon na ito ay nagpapahintulot sa iyo na malutas ang karamihan sa mga problema ng kurso sa paaralan sa paksang ito. Lahat ng gawain ay umiikot tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang arithmetic progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng progression. Lahat.

Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa mismong pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.

Bilang halimbawa, tingnan natin ang ilang tanyag na gawain sa paksang ito.

2. Isulat ang finite arithmetic progression bilang isang serye kung n=5, d = 0.4, at a 1 = 3.6.

Simple lang ang lahat dito. Naibigay na ang lahat. Kailangan mong tandaan kung paano binibilang ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, bilangin ang mga ito, at isulat ang mga ito. Maipapayo na huwag palampasin ang mga salita sa mga kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Para hindi na mabilang hanggang sa maging ganap kang asul ang mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa progression na ito:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Ito ay nananatiling isulat ang sagot:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Isa pang gawain:

3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm... Sinong nakakaalam? Paano matukoy ang isang bagay?

Paano-paano... Isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito doon o wala! Binibilang namin:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ngayon malinaw na kitang-kita na pito pa lang kami nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nahulog sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.

Sagot: hindi.

At narito ang isang problema batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:

4. Ilang magkakasunod na termino ng pag-unlad ng arithmetic ay nakasulat:

...; 15; X; 9; 6; ...

Narito ang isang serye na isinulat na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang posible para malaman mula sa seryeng ito? Ano ang tatlong pangunahing parameter?

Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.

Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "pare-pareho" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba ang nasa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron ako! Ang mga ito ay 9 at 6. Samakatuwid, maaari nating kalkulahin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic! Ibawas sa anim dati numero, i.e. siyam:

May mga natitira na lamang. Anong numero ang magiging nauna para sa X? labinlima. Nangangahulugan ito na ang X ay madaling mahanap sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Idagdag ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa 15:

Iyon lang. Sagot: x=12

Kami mismo ang nagresolba ng mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga problemang ito ay hindi batay sa mga formula. Puro upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika.) Nagsusulat lang kami ng isang serye ng mga numero at titik, tingnan at alamin ito.

5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.

6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng miyembrong ito.

7. Ito ay kilala na sa arithmetic progression a 2 = 4; a 5 = 15.1. Maghanap ng 3.

8. Ilang magkakasunod na termino ng pag-unlad ng arithmetic ay nakasulat:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng titik x.

9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, pantay na tumataas ang bilis ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/oras.

10. Ito ay kilala na sa arithmetic progression a 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.

Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Magagawa mong makabisado ang pag-unlad ng aritmetika sa mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.

Hindi ba naging maayos ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga problemang ito ay inayos nang paisa-isa.) At, siyempre, isang simpleng praktikal na pamamaraan ang inilarawan na agad na nagha-highlight ng solusyon sa mga naturang gawain nang malinaw, malinaw, sa isang sulyap!

Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan ng tren ay may dalawang problema na madalas na natitisod ng mga tao. Ang isa ay puro sa mga tuntunin ng pag-unlad, at ang pangalawa ay pangkalahatan para sa anumang mga problema sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.

Sa araling ito, tiningnan natin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, lahat ay malulutas.

Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng isang hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa tutorial na ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas kumplikado ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong ay papalitan natin "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" ang problema ay lalala nang husto.)

At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:

Isang arithmetic progression (a n) ang ibinibigay. Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.

Kaya ano, magdadagdag ba tayo ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Kaya mo bang magpakamatay!?

Kaya mo.) Kung hindi mo alam simpleng formula, na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang ito ay nalutas doon. Sa isang minuto.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-katawagan ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa isang mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "arithmetic" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na proporsyon, na pinag-aralan ng mga sinaunang Griyego.

Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng numero, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at itinalaga.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-termino nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari naming idagdag ang numero ng pag-unlad sa nakaraang halaga hanggang sa maabot namin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-termino ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi kinakailangan na idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang halaga ng ika-katawagan ng pag-unlad ng arithmetic na ito:


Sa ibang salita:

Subukang hanapin ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng aritmetika sa ganitong paraan.

Nakalkula mo ba? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang paraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dalhin natin ito pangkalahatang anyo at makuha namin:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng aritmetika na pag-unlad na binubuo ng ang mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang magiging numero ng arithmetic progression na ito kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika-katawagan ng pag-unlad ng aritmetika na ito sa iyong sarili.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin natin ang problema - makukuha natin ang ari-arian ng pag-unlad ng aritmetika.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at simulan ang pagbibilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, ah, kung gayon:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre oo, at iyon ang susubukan naming ilabas ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, ang pormula para sa paghahanap nito ay alam natin - ito ang parehong pormula na nakuha natin sa simula:
, Pagkatapos:

• ang nakaraang termino ng pag-unlad ay:
• ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Ibuod natin ang nakaraan at kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad:

Lumalabas na ang kabuuan ng nakaraan at kasunod na mga termino ng pag-unlad ay ang dobleng halaga ng termino ng pag-unlad na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang termino ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin ayon sa.

Ayun, pareho kami ng number. I-secure natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, hindi ito mahirap.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss...

Noong 9 na taong gulang si Carl Gauss, isang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral sa ibang mga klase, ay nagtalaga ng sumusunod na gawain sa klase: "Kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang) kasama." Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) makalipas ang isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mo ring mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong pag-unlad ng aritmetika na binubuo ng mga -th na termino: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga terminong ito ng pag-unlad ng aritmetika. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung ang gawain ay nangangailangan ng paghahanap ng kabuuan ng mga termino nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Nasubukan mo na ba? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, ilang mga pares ang mayroon sa kabuuan sa pag-unlad na ibinigay sa amin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay, at ang magkatulad na mga pares ay pantay, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan ang formula ng ika-katawagan sa sum formula.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang itinanong kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang katumbas ng kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Yan ba ang napagdesisyunan mo?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito. mga matalinong tao ginamit nang buo ang mga katangian ng pag-unlad ng arithmetic.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking construction project noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid... Makikita sa larawan ang isang gilid nito.

Nasaan ang pag-unlad dito, sabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Bakit hindi isang arithmetic progression? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbibilang habang ginagalaw ang iyong daliri sa monitor, naaalala mo ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

SA sa kasong ito Ang pag-unlad ay ganito ang hitsura: .
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (kalkulahin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nakuha ko? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pagsasanay

Mga gawain:

1. Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses gagawa ng squats si Masha sa isang linggo kung nag-squats siya sa unang training session?
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga log, isinalansan ng mga logger ang mga ito sa paraang ang bawat tuktok na layer ay naglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang pundasyon ng masonerya ay troso?

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng aritmetika. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Sa dalawang linggo, dapat mag-squats si Masha isang beses sa isang araw.

2. Unang odd na numero, huling numero.
   Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, suriin natin ang katotohanang ito gamit ang pormula para sa paghahanap ng ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Palitan natin ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay pantay.

3. Alalahanin natin ang problema tungkol sa mga pyramids. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos ay sa kabuuan mayroong isang grupo ng mga layer, iyon ay.
   I-substitute natin ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Isa-isahin natin

1. - isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas o bumaba.
2. Paghahanap ng formula Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan ang bilang ng mga numero sa pagpapatuloy.
4. Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa kanila hangga't gusto mo. Ngunit lagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, ibig sabihin, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isang kakaiba. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang bilang na may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-katawagan ng pagkakasunod-sunod ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba ay). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang isang pormula na paulit-ulit kung saan, upang malaman ang ika-apat na termino, kailangan mong malaman ang nauna o ilang mga nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-taon ng pag-unlad gamit ang formula na ito, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan mo. Pagkatapos:

Well, malinaw na ba ngayon kung ano ang formula?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. Alin? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama ba? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-n na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? Narito kung ano:

(Ito ang dahilan kung bakit ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng sunud-sunod na mga termino ng pag-unlad).

Kaya, ang formula:

Kung gayon ang ika-daang termino ay katumbas ng:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares sa kabuuan? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dobleng digit na mga numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat kasunod na numero ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga numero na interesado kami sa pagbuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Formula ng ika-taning na termino para sa pag-unlad na ito:

Ilang termino ang mayroon sa pag-unlad kung lahat sila ay kailangang dalawang-digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng mas maraming metro kaysa sa nakaraang araw. Ilang kabuuang kilometro ang kanyang tatakbuhin sa isang linggo kung tinakbo niya ang km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay naglalakbay ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nakaraang araw. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng kanyang paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Dito ibinigay: , dapat matagpuan.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
   Kalkulahin natin ang landas na nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay: . Hanapin: .
   Hindi ito maaaring maging mas simple:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas () at bumababa ().

Halimbawa:

Formula para sa paghahanap ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

ay nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng termino ng isang progression kung kilala ang mga katabing termino nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.