Pagkakaiba-iba ng random variable na formula. Pagkakaiba at karaniwang paglihis

.

Sa kabaligtaran, kung ay isang di-negatibo a.e. gumana tulad na , pagkatapos ay mayroong isang ganap na tuluy-tuloy na sukatan ng probabilidad sa ganoong ito ay ang density nito.

Pinapalitan ang panukala sa integral ng Lebesgue:

,

nasaan ang anumang function ng Borel na maaaring isama kaugnay ng sukatan ng posibilidad.

Dispersion, mga uri at katangian ng dispersion Ang konsepto ng dispersion

Pagkalat sa mga istatistika ay kasing average karaniwang lihis mga indibidwal na halaga ng katangian na naka-squad mula sa arithmetic mean. Depende sa paunang data, natutukoy ito gamit ang simple at weighted variance formula:

1. Simpleng pagkakaiba-iba(para sa hindi nakagrupong data) ay kinakalkula gamit ang formula:

2. Natimbang na pagkakaiba-iba (para sa serye ng variation):

kung saan ang n ay frequency (reatability ng factor X)

Isang halimbawa ng paghahanap ng pagkakaiba

Ang pahinang ito ay naglalarawan ng isang karaniwang halimbawa ng paghahanap ng pagkakaiba, maaari mo ring tingnan ang iba pang mga problema para sa paghahanap nito

Halimbawa 1. Pagpapasiya ng pangkat, average ng grupo, intergroup at kabuuang pagkakaiba

Halimbawa 2. Paghahanap ng variance at coefficient ng variation sa isang grouping table

Halimbawa 3. Paghahanap ng variance sa isang discrete series

Halimbawa 4. Ang sumusunod na data ay magagamit para sa isang grupo ng 20 mga mag-aaral sa sulat. Kinakailangan na bumuo ng isang serye ng pagitan ng pamamahagi ng katangian, kalkulahin ang average na halaga ng katangian at pag-aralan ang pagpapakalat nito

Bumuo tayo ng interval grouping. Tukuyin natin ang hanay ng pagitan gamit ang formula:

kung saan ang X max ay ang pinakamataas na halaga ng katangian ng pagpapangkat; X min – pinakamababang halaga ng katangian ng pagpapangkat; n – bilang ng mga pagitan:

Tinatanggap namin ang n=5. Ang hakbang ay: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

Gumawa tayo ng interval grouping

Para sa karagdagang mga kalkulasyon, bubuo kami ng isang auxiliary table:

X"i – ang gitna ng agwat. (halimbawa, ang gitna ng agwat 159 – 165.6 = 162.3)

Tinutukoy namin ang average na taas ng mga mag-aaral gamit ang weighted arithmetic average formula:

Tukuyin natin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula:

Ang formula ay maaaring mabago tulad nito:

Mula sa formula na ito ay sinusundan iyon ang pagkakaiba ay katumbas ng ang pagkakaiba sa pagitan ng average ng mga parisukat ng mga pagpipilian at ang parisukat at ang average.

Pagpapakalat sa serye ng variation na may pantay na pagitan gamit ang paraan ng mga sandali ay maaaring kalkulahin sa sumusunod na paraan gamit ang pangalawang pag-aari ng pagpapakalat (paghahati sa lahat ng mga pagpipilian sa halaga ng pagitan). Pagtukoy sa pagkakaiba-iba, kinakalkula gamit ang paraan ng mga sandali, gamit ang sumusunod na formula ay hindi gaanong matrabaho:

kung saan ang i ay ang halaga ng pagitan; Ang A ay isang maginoo na zero, kung saan ito ay maginhawa upang gamitin ang gitna ng agwat na may pinakamataas na dalas; m1 ay ang parisukat ng unang pagkakasunud-sunod sandali; m2 - sandali ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Alternatibong pagkakaiba-iba ng katangian (kung sa isang istatistikal na populasyon ang isang katangian ay nagbabago sa paraang mayroon lamang dalawang magkaparehong eksklusibong mga opsyon, kung gayon ang gayong pagkakaiba-iba ay tinatawag na alternatibo) ay maaaring kalkulahin gamit ang pormula:

Ang pagpapalit ng q = 1- p sa dispersion formula na ito, nakukuha natin ang:

Mga uri ng pagkakaiba-iba

Kabuuang pagkakaiba sinusukat ang pagkakaiba-iba ng isang katangian sa buong populasyon sa kabuuan sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng salik na nagdudulot ng pagkakaiba-iba na ito. Ito ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga paglihis ng mga indibidwal na halaga ng isang katangiang x mula sa pangkalahatang mean na halaga ng x at maaaring tukuyin bilang simpleng pagkakaiba o timbang na pagkakaiba.

Pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat nagpapakilala ng random na pagkakaiba-iba, i.e. bahagi ng pagkakaiba-iba na dahil sa impluwensya ng hindi nabilang na mga salik at hindi nakadepende sa kadahilanan-katangian na nagiging batayan ng pangkat. Ang nasabing dispersion ay katumbas ng mean square ng mga deviations ng mga indibidwal na value ng attribute sa loob ng group X mula sa arithmetic mean ng grupo at maaaring kalkulahin bilang simpleng dispersion o bilang weighted dispersion.

kaya, mga hakbang sa pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat pagkakaiba-iba ng isang katangian sa loob ng isang pangkat at tinutukoy ng formula:

kung saan ang xi ay ang average ng grupo; ni ay ang bilang ng mga yunit sa pangkat.

Halimbawa, ang mga pagkakaiba-iba ng intragroup na kailangang matukoy sa gawain ng pag-aaral ng impluwensya ng mga kwalipikasyon ng mga manggagawa sa antas ng produktibidad ng paggawa sa isang workshop ay nagpapakita ng mga pagkakaiba-iba sa output sa bawat grupo na sanhi ng lahat ng posibleng mga kadahilanan (teknikal na kondisyon ng kagamitan, pagkakaroon ng mga kasangkapan at materyales, edad ng mga manggagawa, lakas ng paggawa, atbp.), maliban sa mga pagkakaiba sa kategorya ng kwalipikasyon (sa loob ng isang grupo ang lahat ng mga manggagawa ay may parehong mga kwalipikasyon).

Ang average ng mga pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat ay nagpapakita ng random na pagkakaiba-iba, iyon ay, ang bahagi ng pagkakaiba-iba na naganap sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng iba pang mga kadahilanan, maliban sa kadahilanan ng pangkat. Kinakalkula ito gamit ang formula:

pagkakaiba-iba sa pagitan ng pangkat nailalarawan ang sistematikong pagkakaiba-iba ng nagresultang katangian, na dahil sa impluwensya ng factor-attribute na bumubuo sa batayan ng grupo. Ito ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga paglihis ng ibig sabihin ng pangkat mula sa pangkalahatang mean. Kinakalkula ang pagkakaiba-iba ng intergroup gamit ang formula:

Gayunpaman, ang katangiang ito lamang ay hindi sapat para sa pananaliksik. random variable. Isipin natin ang dalawang shooters na bumaril sa isang target. Saktong bumaril ang isa at tumama malapit sa gitna, habang ang isa... ay nagsasaya lang at hindi man lang naglalayon. Pero ang nakakatuwa ay siya karaniwan ang resulta ay eksaktong kapareho ng unang tagabaril! Ang sitwasyong ito ay karaniwang inilalarawan ng mga sumusunod na random na variable:

Ang "sniper" na inaasahan sa matematika ay katumbas ng , gayunpaman, para sa "kawili-wiling tao": – ito ay zero din!

Kaya, mayroong pangangailangan upang mabilang kung gaano kalayo nakakalat bullet (random variable values) na nauugnay sa gitna ng target (mathematical expectation). mabuti at nakakalat isinalin mula sa Latin ay walang ibang paraan kundi pagpapakalat .

Tingnan natin kung paano natutukoy ang numerical na katangiang ito gamit ang isa sa mga halimbawa mula sa unang bahagi ng aralin:

Doon ay natagpuan namin ang isang nakakabigo na pag-asa sa matematika ng larong ito, at ngayon kailangan naming kalkulahin ang pagkakaiba nito, na ipinapahiwatig ng sa pamamagitan ng .

Alamin natin kung gaano kalayo ang "nakakalat" ng mga panalo/talo sa average na halaga. Malinaw, para dito kailangan nating kalkulahin pagkakaiba sa pagitan random variable na mga halaga at siya inaasahan sa matematika:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Ngayon ay tila kailangan mong ibuod ang mga resulta, ngunit ang paraang ito ay hindi angkop - sa kadahilanang ang pagbabagu-bago sa kaliwa ay kanselahin ang isa't isa nang may mga pagbabago sa kanan. Kaya, halimbawa, isang "amateur" na tagabaril (halimbawa sa itaas) ang mga pagkakaiba ay magiging , at kapag idinagdag ay magbibigay sila ng zero, kaya hindi kami makakakuha ng anumang pagtatantya ng pagpapakalat ng kanyang pagbaril.

Upang malutas ang problemang ito maaari mong isaalang-alang mga module mga pagkakaiba, ngunit para sa mga teknikal na kadahilanan ang diskarte ay nag-ugat kapag ang mga ito ay kuwadrado. Ito ay mas maginhawa upang bumalangkas ng solusyon sa isang talahanayan:

At dito nagmamakaawa na kalkulahin weighted average ang halaga ng mga squared deviations. Ano ito? Ito ay sa kanila inaasahang halaga, na isang sukatan ng pagkakalat:

– kahulugan mga pagkakaiba-iba. Mula sa kahulugan ay agad na malinaw na hindi maaaring negatibo ang pagkakaiba- tandaan para sa pagsasanay!

Tandaan natin kung paano hanapin ang inaasahang halaga. I-multiply ang mga squared differences sa mga katumbas na probabilities (Pagpapatuloy ng talahanayan):
- sa makasagisag na pagsasalita, ito ay "puwersa ng traksyon",
at ibuod ang mga resulta:

Hindi mo ba naisip na kumpara sa mga napanalunan, ang resulta ay napakalaki? Iyan ay tama - ginawa namin itong kuwadrado, at upang bumalik sa dimensyon ng aming laro, kailangan naming i-extract Kuwadrado na ugat. Ang dami na ito ay tinatawag karaniwang lihis at tinutukoy ng letrang Griyego na "sigma":

Ang halagang ito ay tinatawag minsan karaniwang lihis .

Ano ang kahulugan nito? Kung lumihis tayo mula sa inaasahan sa matematika sa kaliwa at kanan sa pamamagitan ng karaniwang paglihis:

– kung gayon ang pinaka-malamang na mga halaga ng random na variable ay magiging "puro" sa pagitan na ito. Kung ano talaga ang aming naobserbahan:

Gayunpaman, nangyayari na kapag pinag-aaralan ang scattering ang isa ay halos palaging gumagana sa konsepto ng dispersion. Alamin natin kung ano ang ibig sabihin nito kaugnay ng mga laro. Kung sa kaso ng mga arrow ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa "katumpakan" ng mga hit na nauugnay sa gitna ng target, kung gayon narito ang pagpapakalat ng dalawang bagay:

Una, malinaw na habang tumataas ang mga taya, tumataas din ang dispersion. Kaya, halimbawa, kung tataas tayo ng 10 beses, ang inaasahan sa matematika ay tataas ng 10 beses, at ang pagkakaiba ay tataas ng 100 beses (dahil ito ay isang quadratic na dami). Ngunit tandaan na ang mga patakaran ng laro mismo ay hindi nagbago! Ang mga rate lang ang nagbago, halos magsalita, bago tayo tumaya ng 10 rubles, ngayon ay 100 na.

Ang pangalawa, mas kawili-wiling punto ay ang pagkakaiba-iba ay nagpapakilala sa estilo ng paglalaro. Ayusin sa isip ang mga taya sa laro sa ilang tiyak na antas, at tingnan natin kung ano:

Ang isang mababang pagkakaiba ng laro ay isang maingat na laro. Ang manlalaro ay may posibilidad na pumili ng pinaka-maaasahang mga scheme, kung saan hindi siya matatalo/manalo ng sobra sa isang pagkakataon. Halimbawa, ang pula/itim na sistema sa roulette (tingnan ang halimbawa 4 ng artikulo Mga random na variable) .

Mataas na pagkakaiba ng laro. Madalas siyang tinatawag nagpapakalat laro. Ito ay isang adventurous o agresibong istilo ng paglalaro, kung saan pinipili ng manlalaro ang mga scheme ng "adrenaline". Alalahanin man lang natin "Martingale", kung saan ang mga halagang nakataya ay mga order ng magnitude na mas malaki kaysa sa "tahimik" na laro ng nakaraang punto.

Ang sitwasyon sa poker ay nagpapahiwatig: may mga tinatawag na masikip mga manlalaro na may posibilidad na maging maingat at "nanginginig" sa kanilang mga pondo sa paglalaro (bankroll). Hindi nakakagulat, ang kanilang bankroll ay hindi nagbabago nang malaki (mababa ang pagkakaiba-iba). Sa kabaligtaran, kung ang isang manlalaro ay may mataas na pagkakaiba, kung gayon siya ay isang aggressor. Madalas siyang nakipagsapalaran, gumagawa ng malalaking taya at maaaring masira ang isang malaking bangko o matalo sa magkapira-piraso.

Ang parehong bagay ay nangyayari sa Forex, at iba pa - maraming mga halimbawa.

Bukod dito, sa lahat ng pagkakataon ay hindi mahalaga kung ang laro ay nilalaro para sa mga pennies o libu-libong dolyar. Ang bawat antas ay may mababang at mataas na dispersion na mga manlalaro. Buweno, tulad ng naaalala natin, ang karaniwang panalo ay "responsable" inaasahang halaga.

Marahil ay napansin mo na ang paghahanap ng pagkakaiba ay isang mahaba at maingat na proseso. Ngunit ang matematika ay mapagbigay:

Formula para sa paghahanap ng pagkakaiba

Direktang hinango ang formula na ito mula sa kahulugan ng pagkakaiba, at agad naming ginamit ito. Kokopyahin ko ang sign sa aming laro sa itaas:

at ang natagpuang mathematical expectation.

Kalkulahin natin ang pagkakaiba sa pangalawang paraan. Una, hanapin natin ang mathematical expectation - ang parisukat ng random variable. Sa pamamagitan ng pagpapasiya ng inaasahan sa matematika:

SA sa kasong ito:

Kaya, ayon sa formula:

Sabi nga nila, feel the difference. At sa pagsasagawa, siyempre, mas mahusay na gamitin ang formula (maliban kung ang kundisyon ay nangangailangan ng iba).

Kabisado namin ang pamamaraan ng paglutas at pagdidisenyo:

Halimbawa 6

Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation nito.

Ang gawaing ito ay matatagpuan sa lahat ng dako, at, bilang isang panuntunan, napupunta nang walang makabuluhang kahulugan.
Maaari mong isipin ang ilang mga bombilya na may mga numero na lumiliwanag sa isang baliw na may ilang mga posibilidad :)

Solusyon: Ito ay maginhawa upang ibuod ang mga pangunahing kalkulasyon sa isang talahanayan. Una, isinusulat namin ang paunang data sa dalawang nangungunang linya. Pagkatapos ay kinakalkula namin ang mga produkto, pagkatapos at sa wakas ang mga kabuuan sa kanang hanay:

Actually, halos handa na ang lahat. Ang pangatlong linya ay nagpapakita ng isang handa na pag-asa sa matematika: .

Kinakalkula namin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula:

At sa wakas, ang karaniwang paglihis:
– Sa personal, karaniwan kong iniikot sa 2 decimal na lugar.

Ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring isagawa sa isang calculator, o kahit na mas mahusay - sa Excel:

Mahirap magkamali dito :)

Sagot:

Ang mga nagnanais ay mas pasimplehin ang kanilang buhay at samantalahin ang aking calculator (demo), na hindi lamang agad na malulutas ang problemang ito, ngunit bumuo din pampakay na graphics (malapit na tayong makarating doon). Ang programa ay maaaring download mula sa library– kung nag-download ka ng kahit isa materyal na pang-edukasyon, o kumuha ibang paraan. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

Ang ilang mga gawain upang malutas sa iyong sarili:

Halimbawa 7

Kalkulahin ang pagkakaiba ng random variable sa nakaraang halimbawa sa pamamagitan ng kahulugan.

At isang katulad na halimbawa:

Halimbawa 8

Ang isang discrete random variable ay tinukoy ng batas ng pamamahagi nito:

Oo, ang mga random na variable na halaga ay maaaring malaki (halimbawa mula sa totoong trabaho), at dito, kung maaari, gamitin ang Excel. Bilang, sa pamamagitan ng paraan, sa Halimbawa 7 - ito ay mas mabilis, mas maaasahan at mas kasiya-siya.

Mga solusyon at sagot sa ibaba ng pahina.

Upang tapusin ang ika-2 bahagi ng aralin, titingnan natin ang isa pang karaniwang problema, maaaring sabihin ng isang maliit na palaisipan:

Halimbawa 9

Ang isang discrete random variable ay maaaring tumagal lamang ng dalawang halaga: at , at . Ang posibilidad, mathematical na inaasahan at pagkakaiba ay kilala.

Solusyon: Magsimula tayo sa hindi kilalang posibilidad. Dahil ang isang random na variable ay maaaring tumagal lamang ng dalawang halaga, ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaukulang kaganapan ay:

at simula noon .

Ang natitira na lang ay maghanap..., madaling sabihin :) Pero oh well, eto na. Sa pamamagitan ng kahulugan ng inaasahan sa matematika:
- palitan ang mga kilalang dami:

– at wala nang mapipiga sa equation na ito, maliban na maaari mong muling isulat ito sa karaniwang direksyon:

o:

Sa tingin ko maaari mong hulaan ang mga susunod na hakbang. Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

Mga desimal- ito, siyempre, ay isang kumpletong kahihiyan; i-multiply ang parehong equation sa 10:

at hatiin sa 2:

Mas maganda iyan. Mula sa 1st equation ipinapahayag namin:
(ito ang mas madaling paraan)– palitan sa 2nd equation:

Nagtatayo kami parisukat at gumawa ng mga pagpapasimple:

Multiply sa:

Ang resulta ay quadratic equation, nakita namin ang diskriminasyon nito:
- Malaki!

at nakakakuha kami ng dalawang solusyon:

1) kung , Iyon ;

2) kung , Yung .

Ang kundisyon ay natutugunan ng unang pares ng mga halaga. SA mataas na posibilidad lahat ay tama, ngunit, gayunpaman, isulat natin ang batas sa pamamahagi:

at magsagawa ng tseke, ibig sabihin, hanapin ang inaasahan:

Kung ang populasyon ay nahahati sa mga pangkat ayon sa katangiang pinag-aaralan, kung gayon ang mga sumusunod na uri ng pagkakaiba ay maaaring kalkulahin para sa populasyon na ito: kabuuan, pangkat (sa loob ng pangkat), average ng pangkat (average ng loob ng pangkat), intergroup.

Sa una, kinakalkula nito ang coefficient of determination, na nagpapakita kung anong bahagi ng kabuuang variation ng trait na pinag-aaralan ang intergroup variation, i.e. dahil sa katangian ng pagpapangkat:

Ang relasyon sa empirikal na ugnayan ay nagpapakilala sa pagiging malapit ng koneksyon sa pagitan ng pagpapangkat (factorial) at mga katangian ng pagganap.

Ang empirical correlation ratio ay maaaring tumagal ng mga halaga mula 0 hanggang 1.

Upang masuri ang lapit ng koneksyon batay sa empirical correlation ratio, maaari mong gamitin ang Chaddock relations:

Halimbawa 4. Ang sumusunod na data ay makukuha sa pagganap ng trabaho sa pamamagitan ng disenyo at mga organisasyon ng survey iba't ibang hugis ari-arian:

tukuyin:

1) kabuuang pagkakaiba;

2) mga pagkakaiba-iba ng pangkat;

3) ang average ng mga pagkakaiba-iba ng pangkat;

4) pagkakaiba sa pagitan ng pangkat;

5) kabuuang pagkakaiba batay sa panuntunan para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba;

6) koepisyent ng determinasyon at ratio ng empirikal na ugnayan.

Gumawa ng mga konklusyon.

Solusyon:

1. Tukuyin natin average na dami pagganap ng trabaho ng mga negosyo ng dalawang anyo ng pagmamay-ari:

Kalkulahin natin ang kabuuang pagkakaiba:

2. Tukuyin ang mga average ng grupo:

milyong rubles;

milyong rubles

Mga pagkakaiba-iba ng pangkat:

;

3. Kalkulahin ang average ng mga pagkakaiba-iba ng pangkat:

4. Tukuyin natin ang pagkakaiba-iba ng intergroup:

5. Kalkulahin ang kabuuang pagkakaiba-iba batay sa panuntunan para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba-iba:

6. Tukuyin natin ang koepisyent ng determinasyon:

.

Kaya, ang dami ng trabaho na isinagawa ng mga organisasyon ng disenyo at survey ay nakasalalay sa 22% sa anyo ng pagmamay-ari ng mga negosyo.

Ang empirical correlation ratio ay kinakalkula gamit ang formula

.

Ang halaga ng kinakalkula na tagapagpahiwatig ay nagpapahiwatig na ang pag-asa ng dami ng trabaho sa anyo ng pagmamay-ari ng negosyo ay maliit.

Halimbawa 5. Bilang resulta ng isang survey ng teknolohikal na disiplina ng mga lugar ng produksyon, ang mga sumusunod na data ay nakuha:

Tukuyin ang koepisyent ng pagpapasiya

Ang pagkakaiba-iba ay isang sukatan ng pagpapakalat na naglalarawan ng paghahambing na paglihis sa pagitan ng mga halaga ng data at ang ibig sabihin. Ito ang pinaka ginagamit na sukatan ng dispersion sa mga istatistika, na kinakalkula sa pamamagitan ng pagsusuma at pag-square ng paglihis ng bawat halaga ng data mula sa mean. Ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba ay ibinigay sa ibaba:

s 2 - sample na pagkakaiba-iba;

x av—mean ng sample;

n — laki ng sample (bilang ng mga halaga ng data),

(x i – x avg) ay ang paglihis mula sa average na halaga para sa bawat halaga ng set ng data.

Upang mas maunawaan ang formula, tingnan natin ang isang halimbawa. Hindi talaga ako mahilig magluto, kaya bihira kong gawin ito. Gayunpaman, upang hindi magutom, paminsan-minsan ay kailangan kong pumunta sa kalan upang ipatupad ang plano ng pagbabad sa aking katawan ng mga protina, taba at carbohydrates. Ipinapakita ng set ng data sa ibaba kung gaano karaming beses nagluluto si Renat bawat buwan:

Ang unang hakbang sa pagkalkula ng pagkakaiba ay upang matukoy ang sample mean, na sa aming halimbawa ay 7.8 beses bawat buwan. Ang natitirang mga kalkulasyon ay maaaring gawing mas madali gamit ang sumusunod na talahanayan.

Ang huling yugto ng pagkalkula ng pagkakaiba ay ganito ang hitsura:

Para sa mga gustong gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang sabay-sabay, ang equation ay magiging ganito:

Gamit ang paraan ng raw count (halimbawa ng pagluluto)

Marami pa mabisang paraan pagkalkula ng pagkakaiba, na kilala bilang "raw counting" na paraan. Kahit na ang equation ay maaaring mukhang medyo mahirap sa unang tingin, ito ay talagang hindi na nakakatakot. Maaari mong tiyakin ito, at pagkatapos ay magpasya kung aling paraan ang pinakagusto mo.

ay ang kabuuan ng bawat halaga ng data pagkatapos i-squaring,

ay ang parisukat ng kabuuan ng lahat ng mga halaga ng data.

Huwag masiraan ng isip ngayon. Ilagay natin ang lahat ng ito sa isang talahanayan at makikita mo na mayroong mas kaunting mga kalkulasyon dito kaysa sa nakaraang halimbawa.

Tulad ng nakikita mo, ang resulta ay pareho sa paggamit ng nakaraang pamamaraan. Mga kalamangan ang pamamaraang ito nagiging maliwanag habang lumalaki ang laki ng sample (n).

Pagkalkula ng pagkakaiba-iba sa Excel

Tulad ng malamang na nahulaan mo na, ang Excel ay may formula na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang pagkakaiba-iba. Bukod dito, simula sa Excel 2010, makakahanap ka ng 4 na uri ng variance formula:

1) VARIANCE.V – Ibinabalik ang variance ng sample. Binabalewala ang mga halaga at teksto ng Boolean.

2) DISP.G - Ibinabalik ang pagkakaiba ng populasyon. Binabalewala ang mga halaga at teksto ng Boolean.

3) VARIANCE - Ibinabalik ang variance ng sample, na isinasaalang-alang ang mga halaga ng Boolean at text.

4) VARIANCE - Ibinabalik ang pagkakaiba ng populasyon, na isinasaalang-alang ang lohikal at mga halaga ng teksto.

Una, unawain natin ang pagkakaiba ng sample at populasyon. Ang layunin ng mga deskriptibong istatistika ay ang buod o ipakita ang data sa paraang nagbibigay ng mabilis na impormasyon. malaking larawan, kumbaga, isang pagsusuri. Nagbibigay-daan sa iyo ang statistic inference na gumawa ng mga inferences tungkol sa isang populasyon batay sa isang sample ng data mula sa populasyon na iyon. Kinakatawan ng populasyon ang lahat ng posibleng resulta o sukat na interesado sa atin. Ang sample ay isang subset ng isang populasyon.

Halimbawa, interesado kami sa isang pangkat ng mga mag-aaral mula sa isa sa mga unibersidad sa Russia at kailangan naming matukoy ang average na marka ng grupo. Maaari naming kalkulahin ang average na pagganap ng mga mag-aaral, at pagkatapos ay ang resultang figure ay magiging isang parameter, dahil ang buong populasyon ay kasangkot sa aming mga kalkulasyon. Gayunpaman, kung gusto nating kalkulahin ang GPA ng lahat ng mga mag-aaral sa ating bansa, ang grupong ito ang magiging sample natin.

Ang pagkakaiba sa formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba sa pagitan ng isang sample at isang populasyon ay ang denominator. Kung saan para sa sample ito ay magiging katumbas ng (n-1), at para sa pangkalahatang populasyon lamang n.

Ngayon tingnan natin ang mga function para sa pagkalkula ng pagkakaiba-iba sa mga pagtatapos A, ang paglalarawan kung saan nagsasaad na ang teksto at lohikal na mga halaga ay isinasaalang-alang sa pagkalkula. Sa kasong ito, kapag kinakalkula ang pagkakaiba-iba ng isang tiyak na array ng data, kung saan wala mga numerong halaga Bibigyang-kahulugan ng Excel ang teksto at maling mga halaga ng Boolean bilang katumbas ng 0, at ang mga tunay na halaga ng Boolean ay katumbas ng 1.

Kaya, kung mayroon kang array ng data, hindi magiging mahirap ang pagkalkula ng pagkakaiba nito gamit ang isa sa mga function ng Excel na nakalista sa itaas.

Ang teorya ng probabilidad ay isang espesyal na sangay ng matematika na pinag-aaralan lamang ng mga mag-aaral ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Gusto mo ba ng mga kalkulasyon at mga formula? Hindi ka ba natatakot sa mga prospect na makilala ang normal na distribution, ensemble entropy, mathematical expectation at dispersion ng isang discrete random variable? Kung gayon ang paksang ito ay magiging lubhang kawili-wili sa iyo. Kilalanin natin ang ilan sa pinakamahalagang pangunahing konsepto ng sangay ng agham na ito.

Tandaan natin ang mga pangunahing kaalaman

Kahit na pinakamaalala mo mga simpleng konsepto teorya ng posibilidad, huwag pabayaan ang mga unang talata ng artikulo. Ang punto ay na kung walang malinaw na pag-unawa sa mga pangunahing kaalaman, hindi mo magagawang gamitin ang mga formula na tinalakay sa ibaba.

Kaya, ang ilang random na kaganapan ay nangyayari, ang ilang mga eksperimento. Bilang resulta ng mga aksyon na aming gagawin, maaari kaming makakuha ng ilang mga resulta - ang ilan sa mga ito ay nangyayari nang mas madalas, ang iba ay mas madalas. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng aktwal na nakuha na mga resulta ng isang uri sa kabuuang bilang maaari. Ang pag-alam lamang sa klasikal na kahulugan ng konseptong ito ay maaari mong simulan na pag-aralan ang matematikal na inaasahan at pagpapakalat ng tuluy-tuloy na mga random na variable.

Katamtaman

Bumalik sa paaralan, sa panahon ng mga aralin sa matematika, nagsimula kang magtrabaho sa arithmetic mean. Ang konseptong ito ay malawakang ginagamit sa teorya ng posibilidad, at samakatuwid ay hindi maaaring balewalain. Ang pangunahing bagay para sa amin ay sa sandaling ito ay na makakatagpo natin ito sa mga formula para sa mathematical na inaasahan at pagpapakalat ng isang random na variable.

Mayroon kaming isang pagkakasunud-sunod ng mga numero at nais na mahanap ang arithmetic mean. Ang kailangan lang sa atin ay buuin ang lahat ng magagamit at hatiin sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod. Magkaroon tayo ng mga numero mula 1 hanggang 9. Ang kabuuan ng mga elemento ay magiging katumbas ng 45, at hahatiin natin ang halagang ito sa 9. Sagot: - 5.

Pagpapakalat

Sa mga pang-agham na termino, ang pagpapakalat ay ang average na parisukat ng mga paglihis ng nakuha na mga halaga ng isang katangian mula sa arithmetic mean. Ito ay tinutukoy ng isang malaking Latin na letrang D. Ano ang kailangan upang makalkula ito? Para sa bawat elemento ng sequence, kinakalkula namin ang pagkakaiba sa pagitan ng umiiral na numero at ng arithmetic mean at parisukat ito. Magkakaroon ng eksaktong bilang ng maraming mga halaga na maaaring magkaroon ng mga resulta para sa kaganapan na aming isinasaalang-alang. Susunod, ibubuod namin ang lahat ng natanggap at hatiin sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod. Kung mayroon tayong limang posibleng resulta, hatiin sa lima.

Ang dispersion ay mayroon ding mga katangian na kailangang tandaan upang magamit sa paglutas ng mga problema. Halimbawa, kapag dinadagdagan ang isang random na variable ng X beses, ang variance ay tumataas ng X squared times (ibig sabihin, X*X). Hindi siya nangyayari mas mababa sa zero at hindi nakasalalay sa paglilipat ng mga halaga sa pamamagitan ng pantay na halaga pataas o pababa. Bukod pa rito, para sa mga independiyenteng pagsubok, ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba.

Ngayon ay tiyak na kailangan nating isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagkakaiba ng isang discrete random variable at ang mathematical na inaasahan.

Sabihin nating nagpatakbo kami ng 21 eksperimento at nakakuha ng 7 magkakaibang resulta. Inobserbahan namin ang bawat isa sa kanila ng 1, 2, 2, 3, 4, 4 at 5 beses, ayon sa pagkakabanggit. Ano ang magiging katumbas ng pagkakaiba?

Una, kalkulahin natin ang arithmetic mean: ang kabuuan ng mga elemento, siyempre, ay 21. Hatiin ito sa 7, pagkuha ng 3. Ngayon ibawas ang 3 mula sa bawat numero sa orihinal na pagkakasunod-sunod, parisukat ang bawat halaga, at idagdag ang mga resulta nang sama-sama. Ang resulta ay 12. Ngayon ang kailangan lang nating gawin ay hatiin ang numero sa bilang ng mga elemento, at, tila, iyon lang. Ngunit mayroong isang catch! Pag-usapan natin ito.

Pagdepende sa bilang ng mga eksperimento

Lumalabas na kapag kinakalkula ang pagkakaiba, ang denominator ay maaaring maglaman ng isa sa dalawang numero: alinman sa N o N-1. Narito ang N ay ang bilang ng mga eksperimento na isinagawa o ang bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod (na kung saan ay mahalagang parehong bagay). Ano ang nakasalalay dito?

Kung ang bilang ng mga pagsubok ay sinusukat sa daan-daan, dapat nating ilagay ang N sa denominator. Kung sa mga yunit, pagkatapos ay N-1. Nagpasya ang mga siyentipiko na iguhit ang hangganan na medyo simbolikong: ngayon ay dumaan ito sa numero 30. Kung nagsagawa kami ng mas mababa sa 30 mga eksperimento, pagkatapos ay hahatiin namin ang halaga sa N-1, at kung higit pa, pagkatapos ay sa N.

Gawain

Bumalik tayo sa ating halimbawa ng paglutas sa problema ng variance at mathematical expectation. Nakakuha kami ng intermediate number 12, na kailangang hatiin ng N o N-1. Dahil nagsagawa kami ng 21 eksperimento, na mas mababa sa 30, pipiliin namin ang pangalawang opsyon. Kaya ang sagot ay: ang pagkakaiba ay 12/2 = 2.

Inaasahang halaga

Lumipat tayo sa pangalawang konsepto, na dapat nating isaalang-alang sa artikulong ito. Ang inaasahan sa matematika ay ang resulta ng pagdaragdag ng lahat ng posibleng resulta na pinarami ng mga katumbas na probabilidad. Mahalagang maunawaan na ang nakuha na halaga, pati na rin ang resulta ng pagkalkula ng pagkakaiba, ay nakuha nang isang beses lamang para sa buong problema, gaano man karaming mga resulta ang isinasaalang-alang dito.

Ang pormula para sa pag-asa sa matematika ay medyo simple: kinukuha namin ang kinalabasan, i-multiply ito sa posibilidad nito, idagdag ang pareho para sa pangalawa, pangatlong resulta, atbp. Lahat ng nauugnay sa konseptong ito ay hindi mahirap kalkulahin. Halimbawa, ang kabuuan ng inaasahang halaga ay katumbas ng inaasahang halaga ng kabuuan. Ang parehong ay totoo para sa trabaho. ganyan mga simpleng operasyon Hindi lahat ng dami sa probability theory ay nagpapahintulot sa iyo na gawin ito. Kunin natin ang problema at kalkulahin ang kahulugan ng dalawang konsepto na pinag-aralan natin nang sabay-sabay. At saka, ginulo kami ng teorya - oras na para magsanay.

Isa pang halimbawa

Nagpatakbo kami ng 50 pagsubok at nakakuha ng 10 uri ng mga resulta - mga numero mula 0 hanggang 9 - na lumalabas sa iba't ibang porsyento. Ito ay, ayon sa pagkakabanggit: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Alalahanin na upang makakuha ng mga probabilidad, kailangan mong hatiin ang mga halaga ng porsyento sa pamamagitan ng 100. Kaya, makakakuha tayo ng 0.02; 0.1, atbp. Magpakita tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng problema para sa pagkakaiba ng isang random na variable at ang inaasahan sa matematika.

Kinakalkula namin ang arithmetic mean gamit ang formula na naaalala namin mula sa elementarya: 50/10 = 5.

Ngayon, i-convert natin ang mga probabilidad sa bilang ng mga resulta "sa piraso" para mas madaling mabilang. Nakukuha namin ang 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 at 9. Mula sa bawat halaga na nakuha, ibinabawas namin ang arithmetic mean, pagkatapos ay i-square namin ang bawat resulta na nakuha. Tingnan kung paano ito gawin gamit ang unang elemento bilang isang halimbawa: 1 - 5 = (-4). Susunod: (-4) * (-4) = 16. Para sa iba pang value, gawin ang mga operasyong ito nang mag-isa. Kung ginawa mo nang tama ang lahat, pagkatapos ay idagdag ang lahat ng ito makakakuha ka ng 90.

Ipagpatuloy natin ang pagkalkula ng pagkakaiba at inaasahang halaga sa pamamagitan ng paghahati ng 90 sa N. Bakit natin pipiliin ang N kaysa sa N-1? Tama, dahil ang bilang ng mga eksperimento na ginawa ay lumampas sa 30. Kaya: 90/10 = 9. Nakuha namin ang pagkakaiba. Kung nakakuha ka ng ibang numero, huwag mawalan ng pag-asa. Malamang, nakagawa ka ng isang simpleng pagkakamali sa mga kalkulasyon. I-double check kung ano ang iyong isinulat, at ang lahat ay malamang na mahuhulog sa lugar.

Panghuli, tandaan ang formula para sa mathematical na inaasahan. Hindi namin ibibigay ang lahat ng mga kalkulasyon, magsusulat lamang kami ng isang sagot na maaari mong suriin pagkatapos makumpleto ang lahat ng kinakailangang mga pamamaraan. Ang inaasahang halaga ay magiging 5.48. Alalahanin lamang natin kung paano magsagawa ng mga operasyon, gamit ang mga unang elemento bilang isang halimbawa: 0*0.02 + 1*0.1... at iba pa. Gaya ng nakikita mo, pinaparami lang namin ang halaga ng kinalabasan sa posibilidad nito.

paglihis

Ang isa pang konsepto na malapit na nauugnay sa dispersion at mathematical expectation ay standard deviation. Ito ay tinutukoy ng alinman sa mga Latin na titik sd, o ng maliit na titik na Griyego na "sigma". Ang konseptong ito ay nagpapakita kung gaano sa average ang mga halaga ay lumihis mula sa gitnang tampok. Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mong kalkulahin ang square root ng variance.

Kung mag-plot ka ng normal na distribution graph at gusto mong makita ang squared deviation nang direkta dito, maaari itong gawin sa ilang yugto. Dalhin ang kalahati ng imahe sa kaliwa o kanan ng mode (central value), gumuhit ng patayo sa pahalang na axis upang ang mga lugar ng mga resultang figure ay pantay. Ang laki ng segment sa pagitan ng gitna ng distribution at ang resultang projection papunta pahalang na axis at kakatawan sa standard deviation.

Software

Tulad ng makikita mula sa mga paglalarawan ng mga pormula at mga halimbawang ipinakita, ang pagkalkula ng pagkakaiba at pag-asa sa matematika ay hindi ang pinakasimpleng pamamaraan mula sa isang aritmetika na pananaw. Upang hindi mag-aksaya ng oras, makatuwirang gamitin ang programang ginagamit sa mas mataas na edukasyon institusyong pang-edukasyon- ito ay tinatawag na "R". Mayroon itong mga function na nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula ang mga halaga para sa maraming mga konsepto mula sa mga istatistika at teorya ng posibilidad.

Halimbawa, tinukoy mo ang isang vector ng mga halaga. Ginagawa ito tulad ng sumusunod: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Sa wakas

Ang pagpapakalat at pag-asa sa matematika ay wala kung saan mahirap kalkulahin ang anumang bagay sa hinaharap. Sa pangunahing kurso ng mga lektura sa mga unibersidad, tinalakay na ang mga ito sa mga unang buwan ng pag-aaral ng paksa. Ito ay tiyak na dahil sa kakulangan ng pag-unawa sa mga simpleng konsepto na ito at ang kawalan ng kakayahan na kalkulahin ang mga ito kung kaya't maraming mga mag-aaral ang agad na nagsisimulang mahuli sa programa at kalaunan ay tumanggap ng masamang mga marka sa pagtatapos ng sesyon, na nag-aalis sa kanila ng mga scholarship.

Magsanay nang hindi bababa sa isang linggo, kalahating oras sa isang araw, paglutas ng mga gawain na katulad ng ipinakita sa artikulong ito. Pagkatapos, sa anumang pagsubok sa teorya ng posibilidad, magagawa mong makayanan ang mga halimbawa nang walang mga ekstrang tip at cheat sheet.