Kuwadrado na ugat. Detalyadong teorya na may mga halimbawa

Pamagat: Independent at pagsubok na gawain sa algebra at geometry para sa grade 8.

Ang manwal ay naglalaman ng independiyente at pagsubok na gawain sa lahat ng pinakamahalagang paksa ng kursong algebra at geometry sa ika-8 baitang.

Ang mga gawa ay binubuo ng 6 na pagpipilian ng tatlong antas ng kahirapan. Ang mga materyal na didactic ay inilaan para sa pag-aayos ng magkakaibang independiyenteng gawain ng mga mag-aaral.

NILALAMAN
ALGEBRA 4
C-1 Mga makatwirang ekspresyon. Pagbawas ng mga Fraction 4
C-2 Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction 5
K-1 Rational fractions. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction 7
C-3 Multiplikasyon at paghahati ng mga fraction. Pagtaas ng isang fraction sa kapangyarihan ng 10
C-4 Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon 12
C-5 Inverse proportionality at ang graph nito 14
K-2 Rational fractions 16
C-6 Arithmetic square root 18
C-7 Equation x2 = a. Function y = y[x 20
C-8 Square root ng isang produkto, fraction, kapangyarihan ng 22
K-3 Arithmetic square root at mga katangian nito 24
C-9 Pagdaragdag at pagbabawas ng multiplier sa square roots 27
C-10 Pag-convert ng mga expression na naglalaman ng square roots 28
K-4 Paglalapat ng mga katangian ng arithmetic square root 30
S-11 Hindi kumpletong quadratic equation 32
S-12 Formula para sa mga ugat ng quadratic equation 33
C-13 Paglutas ng mga problema gamit ang mga quadratic equation. Teorem ni Vieta 34
K-5 Quadratic Equation 36
S-14 Fractional rational equation 38
P-15 Paglalapat ng mga fractional rational equation. Paglutas ng problema 39
K-6 Fractional rational equation 40
C-16 Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ng numero 43
K-7 Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga katangian 44
S-17 Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable 47
S-18 Mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay 48
K-8 Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable 50
C-19 Degree na may negatibong indicator 52
K-9 Degree na may integral score na 54
K-10 Taunang pagsusulit 56
GEOMETRY (Ayon kay Pogorelov) 58
C-1 Mga katangian at katangian ng paralelogram." 58
C-2 Parihaba. Rhombus. Square 60
K-1 Paralelogram 62
C-3 Teorem ni Thales. Gitnang linya ng tatsulok 63
S-4 Trapezoid. Midline ng trapezoid 66
K-2 Trapezoid. Mga gitnang linya ng isang tatsulok at trapezoid....68
C-5 Pythagorean Theorem 70
C-6 Theorem inverse to the Pythagorean theorem. Perpendikular at pahilig 71
C-7 Hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok 73
K-3 Pythagorean Theorem 74
C-8 Paglutas ng mga tamang tatsulok 76
C-9 Mga katangian ng trigonometric function 78
K-4 Right triangle (pangkalahatang pagsubok) 80
C-10 Coordinates ng gitna ng segment. Distansya sa pagitan ng mga puntos. Circle Equation 82
S-11 Equation ng isang tuwid na linya 84
K-5 Cartesian coordinate 86
S-12 Movement at mga katangian nito. Central at axial symmetry. Lumiko sa 88
S-13. Parallel transfer 90
S-14 Konsepto ng vector. Pagkakapantay-pantay ng mga vector 92
C-15 Mga aksyon na may mga vector sa coordinate form. Mga collinear na vector 94
S-16 Mga aksyon na may mga vector sa geometric na anyo 95
C-17 Dot product 98
K-6 Vectors 99
K-7 Taunang pagsusulit 102
GEOMETRY (Ayon kay Atanasyan) 104
C-1 Mga katangian at katangian ng isang paralelogram 104
C-2 Parihaba. Rhombus. Square 106
K-1 Quadrangles 108
C-3 Lugar ng isang parihaba, parisukat 109
C-4 Lugar ng paralelogram, rhombus, tatsulok 111
S-5 Trapezoid area 113
C-6 Pythagorean Theorem 114
K-2 Squares. Pythagorean Theorem 116
C-7 Pagpapasiya ng mga katulad na tatsulok. Property ng angle bisector ng isang triangle 118
S-8 Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok 120
K-3 Pagkakatulad ng mga tatsulok 122
C-9 Paglalapat ng pagkakatulad sa paglutas ng problema 124
C-10 Mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok 126
K-4 Paglalapat ng pagkakatulad sa paglutas ng problema. Mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok 128
C-11 Padaplis sa bilog 130
C-12 Mga gitnang at inscribed na anggulo 132
C-13 Theorem sa produkto ng mga segment ng intersecting chord. Kapansin-pansin na mga punto ng tatsulok 134
C-14 Inscribed at circumscribed circles 136
K-5 Circle 137
S-15 Pagdaragdag at pagbabawas ng mga vector 139
C-16 Pagpaparami ng vector sa numerong 141
S-17 Gitnang linya ng trapezoid 142
K-6 Vectors. Paglalapat ng mga vector sa paglutas ng problema 144
K-7 Taunang pagsusulit 146
MGA SAGOT 148
PANITIKAN 157

PAUNANG-TAO .
1. Ang isang medyo maliit na libro ay naglalaman ng kumpletong hanay ng mga pagsusulit (kabilang ang mga huling pagsusulit) para sa buong kursong algebra at geometry sa ika-8 baitang, na ginagawa itong sapat upang bumili ng isang hanay ng mga aklat bawat klase.
Ang mga pagsusulit ay idinisenyo para sa isang aralin, independiyenteng trabaho - para sa 20-35 minuto, depende sa paksa. Para sa kadalian ng paggamit ng aklat, ang pamagat ng bawat independyente at pagsubok na gawain ay nagpapakita ng paksa nito.

2. Ang koleksyon ay nagbibigay-daan para sa magkakaibang kontrol ng kaalaman, dahil ang mga gawain ay ibinahagi sa tatlong antas ng pagiging kumplikado A, B at C. Ang Antas A ay tumutugma sa ipinag-uutos na mga kinakailangan ng programa, B - isang average na antas ng pagiging kumplikado, ang mga gawain ng antas C ay inilaan para sa mga mag-aaral na nagpapakita ng mas mataas na interes sa matematika, at para din sa paggamit sa mga klase, paaralan, gymnasium at lyceum na may malalim na pag-aaral ng matematika. Para sa bawat antas mayroong 2 katumbas na opsyon na matatagpuan sa tabi ng isa't isa (tulad ng karaniwang nakasulat sa pisara), kaya ang isang libro sa desk ay sapat na para sa aralin.

I-download ang e-book nang libre sa isang maginhawang format, panoorin at basahin:
I-download ang aklat na Independent at test work sa algebra at geometry para sa grade 8. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, mabilis at libreng pag-download.

• Independent at pagsubok sa geometry para sa grade 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Independent at pagsubok sa algebra at geometry para sa grade 9. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Independent at pagsubok sa algebra at geometry, grade 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

Napatingin ulit ako sa karatula... And, let's go!

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

Saglit lang. ito, na nangangahulugang maaari naming isulat ito tulad nito:

Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:

Ang mga ugat ba ng mga resultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Walang problema - narito ang ilang mga halimbawa:

Paano kung walang dalawa, ngunit mas maraming multiplier? Pareho! Ang formula para sa pagpaparami ng mga ugat ay gumagana sa anumang bilang ng mga kadahilanan:

Ngayon ay ganap sa iyong sarili:

Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay upang malaman ang talahanayan ng pagpaparami!

Dibisyon ng ugat

Inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay lumipat tayo sa pag-aari ng paghahati.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:

Ibig sabihin ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Well, tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

Iyon lang ang agham. Narito ang isang halimbawa:

Ang lahat ay hindi kasing-kinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit, tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.

Paano kung makita mo ang expression na ito:

Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran na direksyon:

At narito ang isang halimbawa:

Maaari mo ring makita ang expression na ito:

Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong matandaan kung paano isalin ang mga fraction (kung hindi mo naaalala, tingnan ang paksa at bumalik!). Naaalala mo ba? Ngayon magdesisyon tayo!

Sigurado ako na nakaya mo ang lahat, ngayon subukan nating itaas ang mga ugat sa mga antas.

Exponentiation

Ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.

Kaya, kung i-square natin ang isang numero na ang square root ay katumbas, ano ang makukuha natin?

Aba, syempre,!

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Simple lang diba? Paano kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!

Sundin ang parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may mga degree.

Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging malinaw sa iyo.

Halimbawa, narito ang isang expression:

Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng mga exponents at i-factor ang lahat:

Ang lahat ay tila malinaw dito, ngunit paano i-extract ang ugat ng isang numero sa isang kapangyarihan? Narito, halimbawa, ito:

Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:

Well, malinaw na ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang mga halimbawa sa iyong sarili:

At narito ang mga sagot:

Pagpasok sa ilalim ng tanda ng ugat

Ano ang hindi natin natutunang gawin sa mga ugat! Ang natitira na lang ay ang pagsasanay sa pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!

Ito ay talagang madali!

Sabihin nating mayroon tayong nakasulat na numero

Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang tatlo sa ilalim ng ugat, remembering na ang tatlo ay ang square root ng!

Bakit kailangan natin ang mga ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:

Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawa ba nitong mas madali ang buhay? Para sa akin, tama na! Tanging Dapat nating tandaan na maaari lamang tayong magpasok ng mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.

Lutasin ang halimbawang ito sa iyong sarili -
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:

Magaling! Nagawa mong ipasok ang numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang bagay na pantay na mahalaga - tingnan natin kung paano ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root!

Paghahambing ng mga ugat

Bakit kailangan nating matutong ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root?

Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahabang ekspresyong nakatagpo sa pagsusulit, nakakatanggap tayo ng hindi makatwiran na sagot (tandaan kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)

Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At narito ang problema ay lumitaw: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito, paano mo maiisip kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas mababa? Ayan yun!

Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?

Hindi mo masasabi kaagad. Well, gamitin natin ang disassembled property ng pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign?

Pagkatapos ay magpatuloy:

Well, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo!

Yung. kung, kung gayon, .

Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon. At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!

Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero

Bago ito, nagpasok kami ng isang multiplier sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lang i-factor ito sa mga factor at i-extract ang iyong na-extract!

Posibleng kumuha ng ibang landas at palawakin sa iba pang mga salik:

Hindi masama, tama? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya ayon sa gusto mo.

Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang problema tulad nito:

Huwag tayong matakot, ngunit kumilos! I-decompose natin ang bawat salik sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na salik:

Ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Wala ito sa pagsusulit):

Ito na ba ang wakas? Huwag tayong huminto sa kalagitnaan!

Yun nga lang, hindi naman nakakatakot diba?

Nangyari? Magaling, tama iyan!

Ngayon subukan ang halimbawang ito:

Ngunit ang halimbawa ay isang matigas na mani na pumutok, kaya't hindi mo agad maisip kung paano ito lapitan. Pero, siyempre, kakayanin natin.

Well, simulan natin ang factoring? Tandaan natin kaagad na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang mga palatandaan ng divisibility):

Ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):

Well, gumana ba ito? Magaling, tama iyan!

Isa-isahin natin

1. Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng.
   .
2. Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
3. Mga katangian ng isang arithmetic root:
4. Kapag inihambing ang mga square root, kinakailangang tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo.

Kumusta ang square root? Malinaw ang lahat?

Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang anumang pagkabahala ang lahat ng kailangan mong malaman sa pagsusulit tungkol sa square root.

Ikaw na. Sumulat sa amin kung ang paksang ito ay mahirap para sa iyo o hindi.

May bago ka bang natutunan o malinaw na ba ang lahat?

Sumulat sa mga komento at good luck sa iyong mga pagsusulit!

\(\sqrt(a)=b\), kung \(b^2=a\), kung saan \(a≥0,b≥0\)

Mga halimbawa:

\(\sqrt(49)=7\), mula noong \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), mula noong \(0.2^2=0.04\)

Paano kunin ang square root ng isang numero?

Upang kunin ang square root ng isang numero, kailangan mong tanungin ang iyong sarili ng tanong: anong numero na squared ang magbibigay ng expression sa ilalim ng ugat?

Halimbawa. I-extract ang ugat: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Anong numerong squared ang magbibigay ng \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Anong numerong squared ang magbibigay ng \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Anong numerong squared ang magbibigay ng \(0.0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Anong numerong squared ang magbibigay ng \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Upang masagot ang tanong, kailangan mong i-convert ito sa mali.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Magkomento: Bagama't \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), sagutin din ang mga tanong na tanong, ngunit hindi sila isinasaalang-alang, dahil ang square root ay palaging positibo.

Ang pangunahing pag-aari ng ugat

Tulad ng alam mo, sa matematika, anumang aksyon ay may kabaligtaran. Ang pagdaragdag ay may pagbabawas, ang pagpaparami ay may dibisyon. Ang kabaligtaran ng pag-squaring ay ang pagkuha ng square root. Samakatuwid, ang mga pagkilos na ito ay nagbabayad sa bawat isa:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ito ang pangunahing pag-aari ng ugat, na kadalasang ginagamit (kabilang ang OGE)

Halimbawa . (assignment mula sa OGE). Hanapin ang halaga ng expression na \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Solusyon :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Halimbawa . (assignment mula sa OGE). Hanapin ang halaga ng expression na \((\sqrt(85)-1)^2\)

Solusyon:

Siyempre, kapag nagtatrabaho sa square roots, kailangan mong gumamit ng iba.

Halimbawa . (assignment mula sa OGE). Hanapin ang halaga ng expression na \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Solusyon:

Sagot: \(220\)

4 na alituntunin na laging nakakalimutan ng mga tao

Ang ugat ay hindi palaging kinukuha

Halimbawa: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\), atbp. – hindi laging posible ang pag-extract ng ugat ng isang numero at normal lang iyon!

Root ng isang numero, isang numero din

Hindi na kailangang tratuhin ang \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), sa anumang espesyal na paraan. Ito ay mga numero, ngunit hindi mga integer, oo, ngunit hindi lahat ng bagay sa ating mundo ay sinusukat sa mga integer.

Ang ugat ay kinuha lamang mula sa mga di-negatibong numero

Samakatuwid, sa mga aklat-aralin hindi mo makikita ang mga naturang entry \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), atbp.

Sa artikulong ito titingnan natin ang pangunahing katangian ng mga ugat. Magsimula tayo sa mga katangian ng arithmetic square root, ibigay ang kanilang mga formulation at magbigay ng mga patunay. Pagkatapos nito, haharapin natin ang mga katangian ng arithmetic root ng nth degree.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng square root

Sa talatang ito ay haharapin natin ang sumusunod na pangunahing katangian ng arithmetic square root:

Sa bawat nakasulat na pagkakapantay-pantay, ang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring ipagpalit, halimbawa, ang pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang . Sa ganitong "reverse" form, ang mga katangian ng arithmetic square root ay inilapat kapag nagpapasimple ng mga expression kasingdalas ng nasa "direktang" form.

Ang patunay ng unang dalawang katangian ay batay sa kahulugan ng arithmetic square root at sa . At upang bigyang-katwiran ang huling pag-aari ng arithmetic square root, kailangan mong tandaan.

Kaya magsimula tayo sa patunay ng arithmetic square root property ng produkto ng dalawang di-negatibong numero: . Upang gawin ito, ayon sa kahulugan ng isang arithmetic square root, ito ay sapat na upang ipakita na ito ay isang hindi negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng a·b. Gawin natin. Ang halaga ng isang expression ay hindi negatibo bilang produkto ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng kapangyarihan ng produkto ng dalawang numero ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay , at dahil sa kahulugan ng arithmetic square root at , pagkatapos .

Parehong napatunayan na ang arithmetic square root ng produkto ng k non-negative na salik a 1 , a 2 , ..., a k ay katumbas ng produkto ng arithmetic square roots ng mga salik na ito. Talaga, . Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na .

Magbigay tayo ng mga halimbawa: at.

Ngayon patunayan natin ari-arian ng arithmetic square root ng quotient: . Ang pag-aari ng isang quotient sa isang natural na antas ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay , A , at mayroong hindi negatibong numero. Ito ang patunay.

Halimbawa, at .

Oras na para ayusin ito katangian ng arithmetic square root ng square ng isang numero, sa anyo ng pagkakapantay-pantay ito ay nakasulat bilang . Upang patunayan ito, isaalang-alang ang dalawang kaso: para sa a≥0 at para sa a<0 .

Malinaw, para sa a≥0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Madali ring makita iyon para sa a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 at (−a) 2 =a 2 . kaya, , na kung ano ang kailangang patunayan.

Narito ang ilang halimbawa: At .

Ang napatunayang pag-aari ng square root ay nagbibigay-daan sa amin na bigyang-katwiran ang sumusunod na resulta, kung saan ang a ay anumang tunay na numero, at m ay anumang . Sa katunayan, ang pag-aari ng pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan ay nagpapahintulot sa amin na palitan ang kapangyarihan a 2 m ng expression (a m) 2, pagkatapos .

Hal, At .

Mga katangian ng nth root

Una, ilista natin ang pangunahing katangian ng nth ugat:

Ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto kung ang kanilang kaliwa at kanang bahagi ay ipinagpalit. Madalas ding ginagamit ang mga ito sa form na ito, pangunahin kapag pinapasimple at binabago ang mga expression.

Ang patunay ng lahat ng inihayag na katangian ng ugat ay batay sa kahulugan ng arithmetic root ng ika-n degree, sa mga katangian ng degree at sa kahulugan ng modulus ng isang numero. Patunayan natin sila sa pagkakasunud-sunod ng priority.

Magsimula tayo sa patunay katangian ng nth root ng isang produkto . Para sa di-negatibong a at b, ang halaga ng expression ay hindi rin negatibo, tulad ng produkto ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng isang produkto sa natural na kapangyarihan ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang arithmetic root ng nth degree at, samakatuwid, . Ito ay nagpapatunay sa pag-aari ng ugat na isinasaalang-alang.

Ang pag-aari na ito ay napatunayan nang katulad para sa produkto ng k mga kadahilanan: para sa mga hindi negatibong numero a 1, a 2, …, a n, At .

Narito ang mga halimbawa ng paggamit ng property ng nth root ng isang produkto: At .

Patunayan natin ari-arian ng ugat ng isang quotient. Kapag a≥0 at b>0 ang kundisyon ay nasiyahan, at .

Ipakita natin ang mga halimbawa: At .

Mag-move on na tayo. Patunayan natin ari-arian ng nth root ng isang numero sa nth power. Ibig sabihin, papatunayan natin iyan para sa anumang tunay at natural na m. Para sa a≥0 mayroon tayo at , na nagpapatunay sa pagkakapantay-pantay , at sa pagkakapantay-pantay malinaw naman. Kapag a<0 имеем и (ang huling paglipat ay wasto dahil sa pag-aari ng isang degree na may pantay na exponent), na nagpapatunay ng pagkakapantay-pantay , at ay totoo dahil sa ang katunayan na kapag pinag-uusapan ang ugat ng kakaibang antas ay tinanggap namin para sa anumang di-negatibong numero c.

Narito ang mga halimbawa ng paggamit ng parsed root property: at .

Nagpapatuloy kami sa patunay ng pag-aari ng ugat ng ugat. Pagpalitin natin ang kanan at kaliwang panig, ibig sabihin, patunayan natin ang bisa ng pagkakapantay-pantay, na mangangahulugan ng bisa ng orihinal na pagkakapantay-pantay. Para sa isang hindi negatibong numero a, ang ugat ng form ay isang hindi negatibong numero. Ang pag-alala sa pag-aari ng pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan, at gamit ang kahulugan ng isang ugat, maaari tayong sumulat ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay ng anyo . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng ugat ng ugat na isinasaalang-alang.

Ang pag-aari ng isang ugat ng isang ugat ng isang ugat, atbp. ay pinatunayan sa katulad na paraan. Talaga, .

Halimbawa, At .

Patunayan natin ang mga sumusunod root exponent contraction property. Upang gawin ito, sa bisa ng kahulugan ng isang ugat, sapat na upang ipakita na mayroong isang di-negatibong numero na, kapag itinaas sa kapangyarihan n·m, ay katumbas ng isang m. Gawin natin. Malinaw na kung ang numero a ay hindi negatibo, ang ika-na ugat ng numero a ay isang hindi negatibong numero. Kung saan , na kumukumpleto sa patunay.

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng parsed root property: .

Patunayan natin ang sumusunod na pag-aari - ang pag-aari ng isang ugat ng isang antas ng anyo . Malinaw, kapag a≥0 ang degree ay isang hindi negatibong numero. Bukod dito, ang ika-n na kapangyarihan nito ay katumbas ng isang m, sa katunayan, . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng degree na isinasaalang-alang.

Halimbawa, .

Mag-move on na tayo. Patunayan natin na para sa anumang positibong numero a at b kung saan ang kondisyon ay natutugunan , ibig sabihin, a≥b. At ito ay sumasalungat sa kondisyon a

Bilang halimbawa, ibigay natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay .

Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huling pag-aari ng nth root. Patunayan muna natin ang unang bahagi ng property na ito, ibig sabihin, patunayan natin iyon para sa m>n at 0 . Pagkatapos, dahil sa mga katangian ng isang degree na may natural na exponent, ang hindi pagkakapantay-pantay , ibig sabihin, a n ≤a m . At ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay para sa m>n at 0

Katulad nito, sa pamamagitan ng kontradiksyon ay napatunayan na para sa m>n at a>1 ang kondisyon ay nasiyahan.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng napatunayang root property sa mga partikular na numero. Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay at totoo.

Bibliograpiya.