Katetov este egal cu pătratul ipotenuzei. Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

27.09.2019

Teorema lui Pitagora este cea mai importantă afirmație a geometriei. Teorema se formulează astfel: aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale.

Descoperirea acestei afirmații este de obicei atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (sec. VI î.Hr.). Dar un studiu al tăblițelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii chiar și ale manuscriselor mai vechi) a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu un mileniu înaintea lui. Meritul lui Pitagora a fost că a descoperit demonstrația acestei teoreme.

Este probabil că faptul enunțat în teorema lui Pitagora a fost stabilit pentru prima dată pentru triunghiuri dreptunghiulare isoscele. Priviți doar mozaicul de triunghiuri negre și deschise, prezentat în Fig. 1, pentru a verifica validitatea teoremei pentru un triunghi: un pătrat construit pe ipotenuză conține 4 triunghiuri, iar un pătrat care conține 2 triunghiuri este construit pe fiecare latură. Pentru a demonstra cazul general din India antică, au folosit două metode: într-un pătrat cu o latură, au înfățișat patru triunghiuri dreptunghiulare cu picioare de lungimi și (Fig. 2, a și 2, b), după care au scris un cuvânt „ Uite!" Și într-adevăr, privind aceste desene, vedem că în stânga există o figură fără triunghiuri, constând din două pătrate cu laturi și, în consecință, aria sa este egală cu , iar în dreapta este un pătrat cu o latură - aria sa este egală cu . Aceasta înseamnă că aceasta constituie afirmația teoremei lui Pitagora.

Cu toate acestea, timp de două mii de ani, nu a fost folosită această dovadă vizuală, ci o dovadă mai complexă inventată de Euclid, care se află în celebra sa carte „Elementele” (vezi Euclid și „Elementele sale”), Euclid a coborât înălțimea de sus unghi drept pe ipotenuză și a demonstrat că continuarea ei împarte pătratul construit pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe catete (Fig. 3). Desenul folosit pentru a demonstra această teoremă se numește în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Astăzi, sunt cunoscute câteva zeci de dovezi diferite ale teoremei lui Pitagora. Unele dintre ele se bazează pe împărțirea pătratelor, în care un pătrat construit pe ipotenuză este format din părți incluse în compartimentele de pătrate construite pe picioare; altele - pe complement la cifre egale; a treia - pe faptul că înălțimea coborâtă de la vârful unui unghi drept la ipotenuză împarte un triunghi dreptunghic în două triunghiuri asemănătoare acestuia.

Teorema lui Pitagora stă la baza majorității calculelor geometrice. Chiar și în Babilonul Antic, a fost folosit pentru a calcula lungimea înălțimii unui triunghi isoscel din lungimile bazei și ale laturii, săgeata unui segment din diametrul cercului și lungimea coardei și a stabilit relațiile. între elementele unor poligoane regulate. Folosind teorema lui Pitagora, demonstrăm generalizarea acesteia, ceea ce ne permite să calculăm lungimea laturii aflate opus unui unghi ascuțit sau obtuz:

Din această generalizare rezultă că prezența unui unghi drept în este nu numai suficientă, ci și o condiție necesară pentru ca egalitatea să fie satisfăcută. Din formula (1) rezultă relația între lungimile diagonalelor și laturilor unui paralelogram, cu ajutorul căruia este ușor de găsit lungimea medianei unui triunghi din lungimile laturilor sale.

Pe baza teoremei lui Pitagora, se derivă o formulă care exprimă aria oricărui triunghi prin lungimile laturilor sale (vezi formula lui Heron). Desigur, teorema lui Pitagora a fost folosită și pentru a rezolva diverse probleme practice.

În loc de pătrate, puteți construi orice figuri similare (triunghiuri echilaterale, semicercuri etc.) pe laturile unui triunghi dreptunghic. În acest caz, aria figurii construite pe ipotenuză este egală cu suma ariilor figurilor construite pe picioare. O altă generalizare este asociată cu trecerea de la plan la spațiu. Se formulează astfel: pătratul lungimii diagonale a unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia (lungime, lățime și înălțime). O teoremă similară este adevărată în cazurile multidimensionale și chiar infinit-dimensionale.

Teorema lui Pitagora există doar în geometria euclidiană. Nu apare nici în geometria Lobachevsky, nici în alte geometrii non-euclidiene. Nu există un analog al teoremei lui Pitagora asupra sferei. Două meridiane formând un unghi de 90° și ecuatorul leagă pe o sferă un triunghi sferic echilateral, toate cele trei unghiuri fiind unghiuri drepte. Pentru el, nu ca într-un avion.

Folosind teorema lui Pitagora, calculați distanța dintre puncte și plan de coordonate conform formulei

După ce a fost descoperită teorema lui Pitagora, a apărut întrebarea cum să găsim toate tripletele numerelor naturale care pot fi laturile triunghiurilor dreptunghic (vezi ultima teoremă a lui Fermat). Ele au fost descoperite de pitagoreeni, dar unele metode generale de găsire a unor astfel de triplete de numere erau deja cunoscute de babilonieni. Una dintre tăblițele cuneiforme conține 15 tripleți. Printre acestea se numără triplete formate din numere atât de mari încât nu se poate pune problema găsirii lor prin selecție.

fosa hipocratică

Luna hipocratice sunt figuri delimitate de arcele a două cercuri și, în plus, astfel încât, folosind razele și lungimea coardei comune a acestor cercuri, folosind o busolă și o riglă, se pot construi pătrate de dimensiuni egale cu ele.

Din generalizarea teoremei lui Pitagora la semicercuri, rezultă că suma ariilor bulgărilor roz prezentate în figura din stânga este egală cu aria triunghiului albastru. Prin urmare, dacă luați un triunghi dreptunghic isoscel, veți obține două găuri, aria fiecăruia dintre ele va fi egală cu jumătate din aria triunghiului. Încercând să rezolve problema pătrarii unui cerc (vezi Problemele clasice ale antichității), matematicianul grec antic Hipocrate (secolul al V-lea î.Hr.) a mai găsit câteva găuri, ale căror zone sunt exprimate în termeni de zone ale figurilor rectilinii.

O listă completă a lunulelor hipomarginale a fost obținută abia în secolele XIX-XX. datorită utilizării metodelor teoriei Galois.

teorema lui Pitagora: Suma suprafețelor pătratelor care se sprijină pe picioare ( AȘi b), egal cu aria pătratului construit pe ipotenuză ( c).

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b :

A 2 + b 2 = c 2

Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară; nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dovada

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de diversitate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezi, construită direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la Cși notează-i baza prin H. Triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC la două colţuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC. Prin introducerea notaţiei

primim

Ce este echivalent

Adunând totul, obținem

Dovezi folosind metoda zonei

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietăți ale ariei, a căror demonstrație este mai complexă decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementare

Să aranjam patru triunghiuri dreptunghiulare egale, așa cum se arată în figura 1.
Patraunghi cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a doi colțuri ascuțite 90°, iar unghiul desfășurat este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor a patru triunghiuri și două interne. pătrate.

Q.E.D.

Dovezi prin echivalență

Dovadă elegantă folosind permutarea

Un exemplu de astfel de demonstrație este prezentat în desenul din dreapta, unde un pătrat construit pe ipotenuză este rearanjat în două pătrate construite pe catete.

Dovada lui Euclid

Desen pentru demonstrația lui Euclid

Ilustrație pentru demonstrația lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete și apoi ariile lui pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale.

Să ne uităm la desenul din stânga. Pe el am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s de la vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK. Pentru a face acest lucru, vom folosi o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca dreptunghiul dat este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Egalitatea este evidentă, triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK,AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar.

Astfel, am demonstrat că aria unui pătrat construit pe ipotenuză este compusă din ariile pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare de animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Să considerăm desenul, după cum se vede din simetrie, un segment Ceu taie pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiuri ABCȘi JHeu egale în construcţie). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea figurilor umbrite CAJeu Și GDAB . Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas în demonstrație este lăsat cititorului.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Privind desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale CuȘi A(folosind asemănarea triunghiului):

Dovada prin metoda infinitezimală

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți

Prin integrarea acestei ecuații și folosind condiții inițiale, primim

c 2 = A 2 + b 2 + constantă.

Astfel ajungem la răspunsul dorit

c 2 = A 2 + b 2 .

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică din formula finală apare datorită proporționalitate liniarăîntre laturile triunghiului și creșteri, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din creșterea diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în în acest caz, picior b). Atunci pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Dacă în loc de pătrate construim alte figuri similare pe laturi, atunci următoarea generalizare a teoremei lui Pitagora este adevărată: Într-un triunghi dreptunghic, suma ariilor figurilor similare construite pe laturi este egală cu aria figurii construite pe ipotenuză.În special:
- Suma ariilor triunghiurilor regulate construite pe catete este egală cu aria unui triunghi regulat construit pe ipotenuză.
- Suma ariilor semicercurilor construite pe picioare (ca și pe diametru) este egală cu aria semicercurilor construite pe ipotenuză. Acest exemplu este folosit pentru a demonstra proprietățile figurilor mărginite de arcele a două cercuri și numite lunule hipocratice.

Poveste

Chu-pei 500–200 î.Hr. În stânga este inscripția: suma pătratelor lungimilor înălțimii și bazei este pătratul lungimii ipotenuzei.

Cartea antică chineză Chu-pei vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5: Aceeași carte oferă un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

Cantor (cel mai mare istoric german al matematicii) crede că egalitatea 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e., pe vremea regelui Amenemhat I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „trăgătorii de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta harpedonaptienilor că metoda lor de construcție devine de prisos dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene înfățișând atelierul unui tâmplar.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e., se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană, iar pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (matematician olandez) a ajuns la următoarea concluzie:

Literatură

In rusa

Skopets Z. A. Miniaturi geometrice. M., 1990
Elensky Shch. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961
Van der Waerden B.L. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. M., 1959
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. M., 1982
W. Litzman, „Teorema lui Pitagora” M., 1960.
- Un site despre teorema lui Pitagora cu un număr mare de dovezi, material preluat din cartea lui V. Litzmann, număr mare desenele sunt prezentate sub forma unor fișiere grafice separate.
Teorema lui Pitagora și capitolul triplelor lui Pitagora din cartea lui D. V. Anosov „O privire asupra matematicii și ceva din ea”
Despre teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia G. Glaser, academician al Academiei Ruse de Educație, Moscova

În limba engleză

Teorema lui Pitagora la WolframMathWorld
Cut-The-Knot, secțiune despre teorema lui Pitagora, aproximativ 70 de dovezi și informații suplimentare extinse (engleză)

Fundația Wikimedia. 2010.

(conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonaptes, sau „trăgători de frânghii”, au construit unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m de un capăt și 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta harpedonaptienilor că metoda lor de construcție devine de prisos dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene care înfățișează un atelier de tâmplărie.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e. , se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană și, pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (un matematician olandez) a concluzionat că există o mare probabilitate ca teorema asupra pătratului ipotenuzei era cunoscută în India deja în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

Formulări

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu , iar lungimile catetelor cu și:

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dovada

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezi, construită direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

primim

Ce este echivalent

Adunând totul, obținem

, ceea ce trebuia dovedit

Dovezi folosind metoda zonei

Dovada prin echicomplementare

Să aranjam patru triunghiuri dreptunghiulare egale, așa cum se arată în figura 1.
Patraunghi cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor celor patru triunghiuri și zona pătratului interior.

Q.E.D.

Dovada lui Euclid

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Această egalitate este evidentă: triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK, AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Să luăm în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul taie pătratul în două părți identice (deoarece triunghiurile sunt egale în construcție).

Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului, vedem egalitatea figurilor umbrite și.

Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor mici (construite pe picioare) și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului mare (construit pe ipotenuză) plus aria triunghiului original. Astfel, jumătate din suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu jumătate din aria pătratului mare și, prin urmare, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Privind desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale CuȘi A(folosind asemănarea triunghiului):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

Astfel ajungem la răspunsul dorit

După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz picior). Atunci pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

Generalizare pentru triunghiuri similare, aria formelor verzi A + B = aria albastrului C

Teorema lui Pitagora folosind triunghiuri dreptunghiulare similare

Euclid a generalizat teorema lui Pitagora în lucrarea sa Începuturile, extinzând ariile pătratelor de pe laturi la zonele figurilor geometrice similare:

Dacă construim figuri geometrice similare (vezi geometria euclidiană) pe laturile unui triunghi dreptunghic, atunci suma celor două figuri mai mici va fi egală cu aria figurii mai mari.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A, BȘi C construit pe laturi cu lungime A, bȘi c, avem:

Dar, conform teoremei lui Pitagora, A 2 + b 2 = c 2 atunci A + B = C.

Dimpotrivă, dacă putem demonstra asta A + B = C pentru trei figuri geometrice similare fără a folosi teorema lui Pitagora, atunci putem demonstra teorema însăși, mișcându-se în direcția opusă. De exemplu, triunghiul central de pornire poate fi reutilizat ca triunghi C pe ipotenuză și două triunghiuri dreptunghice asemănătoare ( AȘi B), construite pe celelalte două laturi, care se formează prin împărțirea triunghiului central la înălțimea acestuia. Suma ariilor celor două triunghiuri mai mici este atunci în mod evident egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C iar, efectuând demonstrația anterioară în ordine inversă, obținem teorema lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este caz special Mai mult teorema generala cosinus, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

unde θ este unghiul dintre laturi AȘi b.

Dacă θ este de 90 de grade atunci cos θ = 0 și formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghiul liber

La orice colț selectat al unui triunghi arbitrar cu laturi a, b, cînscrie un triunghi isoscel în aşa fel încât unghiuri egale la baza sa θ a fost egal cu unghiul selectat. Să presupunem că unghiul selectat θ este situat opus laturii desemnate c. Ca rezultat, am obținut triunghiul ABD cu unghiul θ, care este situat opus laturii A si petreceri r. Al doilea triunghi este format din unghiul θ, care este situat opus laturii b si petreceri Cu lungime s, așa cum se arată în imagine. Thabit Ibn Qurra a susținut că laturile acestor trei triunghiuri sunt legate după cum urmează:

Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel devine mai mică și cele două laturi r și s se suprapun din ce în ce mai puțin. Când θ = π/2, ADB devine un triunghi dreptunghic, r + s = cși obținem teorema inițială a lui Pitagora.

Să luăm în considerare unul dintre argumente. Triunghiul ABC are aceleași unghiuri ca și triunghiul ABD, dar în ordine inversă. (Cele două triunghiuri au un unghi comun la vârful B, ambele au un unghi θ și au, de asemenea, același al treilea unghi, pe baza sumei unghiurilor triunghiului) Prin urmare, ABC este similar cu reflexia ABD a triunghiului DBA, ca prezentată în figura de jos. Să scriem relația dintre laturile opuse și cele adiacente unghiului θ,

De asemenea, o reflectare a unui alt triunghi,

Să înmulțim fracțiile și să adunăm aceste două rapoarte:

Q.E.D.

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare prin paralelograme

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare,
zonă verde plot = suprafata albastru

Dovada tezei că în figura de mai sus

Să facem o generalizare suplimentară pentru triunghiuri nedrepte, folosind paralelograme pe trei laturi în loc de pătrate. (pătratele sunt un caz special.) Figura de sus arată că, pentru un triunghi ascuțit, aria paralelogramului de pe latura lungă este egală cu suma paralelogramelor de pe celelalte două laturi, cu condiția ca paralelogramul de pe partea lungă. latura este construită așa cum se arată în figură (dimensiunile indicate de săgeți sunt aceleași și determină laturile paralelogramului inferior). Această înlocuire a pătratelor cu paralelograme are o asemănare clară cu teorema inițială a lui Pitagora, despre care se crede că a fost formulată de Pappus din Alexandria în anul 4 d.Hr. e.

Figura de jos arată progresul dovezii. Să ne uităm la partea stângă a triunghiului. Paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă ca și partea stângă a paralelogramului albastru deoarece au aceeași bază b si inaltime h. În plus, paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă cu paralelogramul verde din stânga din imaginea de sus, deoarece au o bază comună (partea stângă sus a triunghiului) și o înălțime comună perpendiculară pe acea parte a triunghiului. Folosind un raționament similar pentru partea dreaptă a triunghiului, vom demonstra că paralelogramul inferior are aceeași zonă cu cele două paralelograme verzi.

Numere complexe

Teorema lui Pitagora este folosită pentru a afla distanța dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate carteziene, iar această teoremă este valabilă pentru toate coordonatele adevărate: distanța s intre doua puncte ( a, b) Și ( CD) egal

Nu există probleme cu formula dacă numerele complexe sunt tratate ca vectori cu componente reale X + eu y = (X, y). . De exemplu, distanța s intre 0 + 1 iși 1 + 0 i calculat ca modulul vectorului (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), sau

Cu toate acestea, pentru operațiile cu vectori cu coordonate complexe, este necesar să se facă unele îmbunătățiri la formula lui Pitagora. Distanța dintre punctele cu numere complexe ( A, b) Și ( c, d); A, b, c, Și d toate complexe, formulăm folosind valori absolute. Distanţă s bazată pe diferența vectorială (A − c, b − d) în următoarea formă: lasă diferenţa A − c = p+i q, Unde p- o parte reală a diferenței, q este partea imaginară și i = √(−1). La fel, lasă b − d = r+i s. Apoi:

unde este numărul conjugat complex pentru . De exemplu, distanța dintre puncte (A, b) = (0, 1) Și (c, d) = (i, 0) , să calculăm diferența (A − c, b − d) = (−i, 1) iar rezultatul ar fi 0 dacă nu s-ar folosi conjugate complexe. Prin urmare, folosind formula îmbunătățită, obținem

Modulul este definit după cum urmează:

Stereometrie

O generalizare semnificativă a teoremei lui Pitagora pentru spațiul tridimensional este teorema lui de Goy, numită după J.-P. de Gois: dacă un tetraedru are un unghi drept (ca într-un cub), atunci pătratul ariei feței opus unghiului drept este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Această concluzie poate fi rezumată ca „ n Teorema lui Pitagora dimensională":

Teorema lui Pitagora în spațiul tridimensional raportează diagonala AD de trei laturi.

O altă generalizare: Teorema lui Pitagora poate fi aplicată stereometriei în următoarea formă. Luați în considerare un paralelipiped dreptunghic așa cum se arată în figură. Să aflăm lungimea diagonalei BD folosind teorema lui Pitagora:

unde cele trei laturi formează un triunghi dreptunghic. Folosim diagonala orizontală BD și muchia verticală AB pentru a găsi lungimea diagonalei AD, pentru aceasta folosim din nou teorema lui Pitagora:

sau, dacă scriem totul într-o singură ecuație:

Acest rezultat este o expresie tridimensională pentru determinarea mărimii vectorului v(diagonala AD), exprimată în termenii componentelor sale perpendiculare ( v k ) (trei laturi reciproc perpendiculare):

Această ecuație poate fi considerată ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru spațiul multidimensional. Cu toate acestea, rezultatul nu este de fapt altceva decât aplicarea repetată a teoremei lui Pitagora la o succesiune de triunghiuri dreptunghiulare în planuri succesiv perpendiculare.

Spațiu vectorial

În cazul unui sistem ortogonal de vectori, există o egalitate, care se mai numește și teorema lui Pitagora:

Dacă - acestea sunt proiecții ale vectorului pe axele de coordonate, atunci această formulă coincide cu distanța euclidiană - și înseamnă că lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor componentelor sale.

Analogul acestei egalități în cazul unui sistem infinit de vectori se numește egalitatea lui Parseval.

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și, de fapt, nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană, în forma în care este scrisă mai sus. (Adică teorema lui Pitagora se dovedește a fi un fel de echivalent cu postulatul de paralelism al lui Euclid) Cu alte cuvinte, în geometria non-euclidiană relația dintre laturile unui triunghi va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (să zicem A, bȘi c), care limitează octantul (partea a opta) a sferei unității, au lungimea de π/2, ceea ce contrazice teorema lui Pitagora, deoarece A 2 + b 2 ≠ c 2 .

Să considerăm aici două cazuri de geometrie non-euclidiană - geometria sferică și hiperbolică; în ambele cazuri, ca și pentru spațiul euclidian pentru triunghiuri dreptunghic, rezultatul, care înlocuiește teorema lui Pitagora, decurge din teorema cosinusului.

Totuși, teorema lui Pitagora rămâne valabilă pentru geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea, să spunem A+B = C. Atunci relația dintre laturi arată astfel: suma ariilor cercurilor cu diametre AȘi b egal cu aria unui cerc cu diametru c.

Geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R(de exemplu, dacă unghiul γ dintr-un triunghi este drept) cu laturile A, b, c Relația dintre părți va arăta astfel:

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special teorema cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

unde γ este unghiul al cărui vârf este opus laturii c.

Unde g ij numit tensor metric. Poate fi o funcție de poziție. Astfel de spații curbe includ geometria riemanniană ca exemplu general. Această formulare este, de asemenea, potrivită pentru spațiul euclidian atunci când se utilizează coordonate curbilinie. De exemplu, pentru coordonatele polare:

Opera de artă vectorială

Teorema lui Pitagora conectează două expresii pentru mărimea unui produs vectorial. O abordare a definirii unui produs încrucișat necesită ca acesta să satisfacă ecuația:

Această formulă folosește produsul punctual. Partea dreapta ecuația se numește determinant Gram pentru AȘi b, care este egală cu aria paralelogramului format din acești doi vectori. Pe baza acestei cerințe, precum și a cerinței ca produsul vectorial să fie perpendicular pe componentele sale AȘi b rezultă că, cu excepția cazurilor banale din spațiul 0 și 1-dimensional, produsul încrucișat este definit doar în trei și șapte dimensiuni. Folosim definiția unghiului în n-spațiu dimensional:

Această proprietate a unui produs încrucișat dă magnitudinea acestuia după cum urmează:

Prin fundamentale identitate trigonometrică Pitagora obținem o altă formă de a-i scrie valoarea:

O abordare alternativă pentru definirea unui produs încrucișat este utilizarea unei expresii pentru magnitudinea acestuia. Apoi, raționând în ordine inversă, obținem o legătură cu produsul scalar:

Vezi si

Note

Subiect de istorie: teorema lui Pitagora în matematica babiloniană
( , p. 351) p. 351
( , Vol I, p. 144)
O discuție a faptelor istorice este dată în (, P. 351) P. 351
Kurt Von Fritz (apr. 1945). „Descoperirea incomensurabilității de către Hippasus din Metapontum”. Analele matematicii, seria a doua(Analele matematicii) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, „Povestea cu noduri”, M., Mir, 1985, p. 7
Asger Aaboe Episoade din istoria timpurie a matematicii. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Propunerea Python de Elisha Scott Loomis
a lui Euclid Elemente: Cartea VI, Propunerea VI 31: „În triunghiuri dreptunghiulare, figura de pe latura care subtinde unghiul drept este egală cu figurile similare și descrise în mod similar de pe laturile care conțin unghiul drept.”
Lawrence S. Leff lucrare citată. - Seria educațională a lui Barron.- P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...generalizarea teoremei lui Pitagora // Momente mari în matematică (înainte de 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (nume complet Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.Hr.) a fost un medic care trăia la Bagdad care a scris mult despre Elementele lui Euclid și alte subiecte matematice.
Aydin Sayili (mar. 1960). „Generalizarea teoremei lui Pitagora a lui Thâbit ibn Qurra”. Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Exercițiul 2.10 (ii) // Lucrare citată. - P. 62. - ISBN 0821844032
Pentru detaliile unei astfel de construcții, vezi George Jennings Figura 1.32: Teorema generalizată a lui Pitagora // Geometrie modernă cu aplicații: cu 150 de figuri. - al 3-lea. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Articol C: Normă pentru un arbitrar n-tuple ... // O introducere în analiză . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vezi și paginile 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometrie diferențială modernă a curbelor și suprafețelor cu Mathematica. - al 3-lea. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Analiza matriceală. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking lucrare citată. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
Eric W. Weisstein CRC enciclopedie concisă de matematică. - al 2-lea. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
Alexander R. Pruss

Geometria nu este o știință simplă. Poate fi util atât pentru programa școlară cât și pentru viata reala. Cunoașterea multor formule și teoreme va simplifica calculele geometrice. Una dintre cele mai figuri simpleîn geometrie este un triunghi. Una dintre varietățile de triunghiuri, echilaterale, are propriile sale caracteristici.

Caracteristicile unui triunghi echilateral

Prin definiție, un triunghi este un poliedru care are trei unghiuri și trei laturi. Aceasta este o figură bidimensională plată, proprietățile sale sunt studiate în liceu. Pe baza tipului de unghi, există triunghiuri acute, obtuze și dreptunghiulare. Un triunghi dreptunghic este o figură geometrică în care unul dintre unghiuri este de 90º. Un astfel de triunghi are două catete (creează un unghi drept) și o ipotenuză (este opus unghiului drept). În funcție de ce cantități sunt cunoscute, sunt trei moduri simple Calculați ipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Prima modalitate este de a găsi ipotenuza unui triunghi dreptunghic. teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este cea mai veche modalitate de a calcula oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Sună așa: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Astfel, pentru a calcula ipotenuza, ar trebui să derivăm Rădăcină pătrată din suma a două catete la pătrat. Pentru claritate, sunt date formule și o diagramă.

A doua cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 marimi cunoscute: cateta si unghiul adiacent

Una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic afirmă că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este echivalent cu cosinusul unghiului dintre acest catet și ipotenuză. Să numim unghiului cunoscut nouă α. Acum, datorită definiției binecunoscute, puteți formula cu ușurință o formulă pentru calcularea ipotenuzei: Hipotenuză = catet/cos(α)

A treia cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 marimi cunoscute: cateta si unghiul opus

Dacă se cunoaște unghiul opus, este posibil să se utilizeze din nou proprietățile unui triunghi dreptunghic. Raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza este echivalent cu sinusul unghiului opus. Să numim din nou unghiul cunoscut α. Acum, pentru calcule, vom folosi o formulă ușor diferită:
Hipotenuză = catenă/sin (α)

Exemple care să vă ajute să înțelegeți formulele

Pentru o înțelegere mai profundă a fiecăreia dintre formule, ar trebui să luați în considerare exemple ilustrative. Deci, să presupunem că vi se oferă un triunghi dreptunghic, unde există următoarele date:

Picior – 8 cm.
Unghiul adiacent cosα1 este 0,8.
Unghiul opus sinα2 este 0,8.

Conform teoremei lui Pitagora: Hipotenuza = rădăcina pătrată a lui (36+64) = 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul adiacent: 8/0,8 = 10 cm.
Dupa marimea piciorului si unghiul opus: 8/0,8 = 10 cm.

Odată ce ați înțeles formula, puteți calcula cu ușurință ipotenuza cu orice date.

Video: Teorema lui Pitagora

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând știința naturii la analiză, o abordare practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate nu vei ajunge departe în „regina tuturor științelor” - oamenii știu asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și în același timp încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare- numai în astfel de condiţii se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri includ ceea ce cunoaștem astăzi ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie incitantă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilarii cu ochelari groși, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu aparține paternului lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Ceea ce se știe este că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că problemele despre un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhat I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian „Sulva Sutra” și în vechea lucrare chineză „ Zhou-bi suan jin”.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Acest lucru este confirmat de aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi. În acest sens, nicio altă teoremă nu poate concura cu ea. Printre autorii celebri de dovezi îi putem aminti pe Leonardo da Vinci și pe cel de-al XX-lea președinte american James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau sunt într-un fel legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare mai întâi acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să stabiliți condiții ideale: triunghiul să fie nu numai dreptunghic, ci și isoscel. Există motive să credem că tocmai acest tip de triunghi l-au considerat inițial matematicienii antici.

Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC inițial. Și pe laturile AB și BC este construit un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza numeroaselor glume și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Cel mai faimos este probabil „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi considerată o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru triunghiuri asemănătoare cu cele din Figura 1. Rezultă două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariei pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghice egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Notând toate acestea, avem: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Deschideți parantezele, efectuați toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 +b 2 = a 2 +b 2. În acest caz, zona înscrisă în Fig. 3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c 2. Acestea. a 2 +b 2 =c 2– ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Dovada indiană antică în sine a fost descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”) și ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și abilităților de observare ale studenților și adepților: „ Uite!"

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Să notăm latura pătratului mare, cunoscută și sub denumirea de ipotenuză, Cu. Să numim catetele triunghiului AȘi b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula pentru aria unui pătrat S=c 2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și ariile tuturor celor patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula suprafața unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți primi formula teoremei lui Pitagora c 2 =a 2 +b 2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Fig. 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, mutați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „scaunul miresei”. (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Te vei asigura că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.

Aceste construcții au permis matematicienilor chinezi antici și nouă, urmându-le, să ajungem la concluzia că c 2 =a 2 +b 2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora folosind geometria. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 = AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care egal cu piciorul AB. Coborâți perpendiculara ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDȘi AC sunt egale. Uneste punctele EȘi ÎN, și EȘi CUși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am încercat-o deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin însumarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei, ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDȘi BC=SE– acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

În același timp, este evident că UN PAT- Acesta este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca sumă de segmente ACȘi CD.

Să notăm ambele moduri de a calcula aria unei figuri, punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscute nouă și descrise mai sus pentru a simplifica partea dreapta intrari: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Acum să deschidem parantezele și să transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am finalizat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 = AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuatii diferentiale, stereometria etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Turnând lichid, puteți demonstra egalitatea suprafețelor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau deloc studiată în programa școlară. Între timp, el este foarte interesant și are mare importanțăîn geometrie. Triplele pitagorice sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Înțelegerea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Acesta este numele numerelor naturale colectate în grupuri de trei, dintre care suma pătratelor a două este egală cu al treilea număr la pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
nu primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu, care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în probleme considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de tripleți pitagoreici: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora este folosită nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

Mai întâi despre construcție: teorema lui Pitagora se găsește în ea aplicare largăîn sarcini de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la o fereastră romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului major poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și prin b: r=b/4. În această problemă ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este doar utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat printr-o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior reprezintă raza b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii la b, va prezentam altele asemanatoare pentru a obtine 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pentru un acoperiș în două frontoane. Stabiliți cât de înalt este turnul comunicatii mobile Este necesar ca semnalul să ajungă într-o anumită zonă populată. Și chiar instalați un brad de Crăciun în mod durabil în piața orașului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.

În literatură, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și în timpul nostru. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli sau dispute.

Cel mai înțelept când îți atinge privirea
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, sacrificați, mint -
Un cadou de întoarcere de la norocosul Pitagora.

De atunci taurii au urlă disperați:
A alarmat pentru totdeauna tribul taurului
Evenimentul menționat aici.

Li se pare că timpul este pe cale să vină,
Și vor fi sacrificați din nou
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Evgeny Veltistov, în cartea sa „Aventurile electronice”, a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și încă o jumătate de capitol la povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni o lege fundamentală și chiar o religie pentru o singură lume. A trăi acolo ar fi mult mai ușor, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Și în cartea „The Adventures of Electronics”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratar, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Tocmai acest zbor creator de gândire dă naștere teoremei lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi variate. Te ajută să depășești granițele familiarului și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7” - 11” (A.V. Pogorelov), dar și alte moduri interesante de a demonstra celebra teoremă. Și vedeți, de asemenea, exemple despre cum poate fi aplicată teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să vă calificați pentru scoruri mai mari la lecțiile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să înțelegeți modul în care matematică știință interesantă. Asigurați-vă că exemple concrete că există întotdeauna un loc pentru creativitate în ea. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să explorați în mod independent și să faceți descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Scrie-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Articole similare: