Care este suma tuturor unghiurilor unui paralelogram. Cum să găsiți unghiul ascuțit al unui paralelogram

CADAGONE.

§43. PARALELOGRAM.

1. Definiția unui paralelogram.

Dacă intersectăm o pereche de drepte paralele cu o altă pereche de drepte paralele, obținem un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.

În patrulaterele ABC și EFNM (Fig. 224) ВD || AC și AB || CD;
EF || MN și EM || FN.

Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi se numește paralelogram.

2. Proprietăţile unui paralelogram.

Teorema. Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.

Să existe un paralelogram ABC (Fig. 225), în care AB || CD și AC || ВD.

Trebuie să demonstrați că diagonala o împarte în două triunghiuri egale.

Să desenăm diagonala CB în paralelogramul ABC. Să demonstrăm asta /\ CAB= /\ СДВ.

Latura NE este comună acestor triunghiuri; / ABC = / BCD, ca unghiuri transversale interne cu AB și CD paralele și CB secante; / DIA = / СВD, de asemenea, ca și unghiurile transversale interne cu AC și ВD paralele și CB secante (§ 38).

De aici /\ CAB = /\ СДВ.

În același mod, se poate demonstra că diagonala AD va împărți paralelogramul în două triunghiuri egale ACD și ABD.

Consecințe. 1 . Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale între ele.

/ A = / D, aceasta rezultă din egalitatea triunghiurilor CAB și CDB.
De asemenea / C = / ÎN.

2. Opus laturile paralelogramului sunt egali unul cu altul.

AB = CD și AC = BD, deoarece acestea sunt laturile triunghiurilor egale și se află opuse unghiurilor egale.

Teorema 2. Diagonalele unui paralelogram sunt împărțite în jumătate în punctul de intersecție.

Fie BC și AD diagonalele paralelogramului ABC (Fig. 226). Să demonstrăm că AO = OD și CO = OB.

Pentru a face acest lucru, comparați o pereche de triunghiuri opuse, de exemplu /\ AOB și /\ COD.

În aceste triunghiuri AB = CD, ca laturile opuse ale unui paralelogram;
/ 1 = / 2, ca unghiuri interioare situate transversal cu paralele AB și CD și secante AD;
/ 3 = / 4 din același motiv, întrucât AB || CD și CB sunt secantele lor (§ 38).

Rezultă că /\ AOB = /\ COD. Si in triunghiuri egale Laturile egale se află opuse unghiurilor egale. Prin urmare, AO = OD și CO = OB.

Teorema 3. Suma unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului este egală cu 2 d .

Demonstrează-l singur.

3. Semne ale unui paralelogram.

Teorema. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Fie în patrulaterul ABC (Desen 227) AB = CD și AC = BD. Să demonstrăm că în această condiție AB || CD și AC || ВD, adică patrulaterul АВDC este un paralelogram.
Să conectăm cu un segment vreo două vârfuri opuse ale acestui patrulater, de exemplu C și B. Patrulaterul ABCD este împărțit în două triunghiuri egale: /\ CAB și /\ СДВ. De fapt, au aceeași latură CB, AB = CD și AC = BD conform condiției. Astfel, trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altuia, prin urmare /\ CAB = /\ СДВ.

În triunghiuri egale, unghiurile egale se află opuse laturilor egale, deci
/ 1 = / 2 și / 3 = / 4.

Unghiurile 1 și 2 sunt unghiuri interne situate transversal la intersecția dreptelor AB și CD ale dreptei CB. Prin urmare AB || CD.

În același mod, unghiurile 3 și 4 sunt unghiuri interne situate transversal la intersecția dreptelor CA și BD ale dreptei CB, prin urmare, CA || ВD (§ 35).

Astfel, laturile opuse ale patrulaterului ABCD sunt paralele în perechi, prin urmare, este un paralelogram, ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 2. Dacă două laturi opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Fie AB = CD în patrulater ABCD și AB || CD. Să demonstrăm că în aceste condiţii patrulaterul ABC este un paralelogram (Fig. 228).

Să conectăm vârfurile C și B cu un segment CB. Datorită paralelismului dreptelor AB și CD, unghiurile 1 și 2, ca unghiuri interne situate transversal, sunt egale (§ 38).
Atunci triunghiul CAB este egal cu triunghiul CDB, deoarece au o latură comună CB,
AB = CD conform condiţiilor teoremei şi / 1 = / 2 conform dovedit. Egalitatea acestor triunghiuri implică egalitatea unghiurilor 3 și 4, deoarece ele se află opuse laturi egale în triunghiuri egale.

Dar unghiurile 3 și 4 sunt unghiuri transversale interne formate prin intersecția dreptelor AC și BD ale dreptei CB, prin urmare, AC || ВD (§ 35), adică un patrulater
ABC este un paralelogram.

Exerciții.

1. Demonstrați că dacă diagonalele unui patrulater în punctul de intersecție reciprocă sunt împărțite la jumătate, atunci acest patrulater este un paralelogram.

2. Demonstrați că un patrulater a cărui sumă colțurile interne adiacent la fiecare dintre cele două laturi adiacente este egal cu 2 d, există un paralelogram.

3. Construiți un paralelogram folosind două laturi și unghiul dintre ele:

a) folosind paralelismul laturilor opuse ale unui paralelogram;
b) folosind egalitatea laturilor opuse ale unui paralelogram.

4. Construiți un paralelogram folosind două laturi adiacente și o diagonală.

5. Construiți un paralelogram folosind cele două diagonale ale sale și unghiul dintre ele.

6. Construiți un paralelogram folosind latura și două diagonale.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, adică. se află pe linii paralele

Proprietățile unui paralelogram:
Teorema 22. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
Dovada. În paralelogramul ABCD desenăm o diagonală AC. Triunghiurile ACD și ACB sunt congruente, având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale. adiacent acestuia: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (ca unghiuri transversale cu drepte paralele AD și BC). Aceasta înseamnă că AB = CD și BC = AD, ca laturile corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc. Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă, de asemenea, că unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor sunt egale:
Teorema 23. Unghiurile opuse ale paralelogramului sunt egale: ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D.
Egalitatea primei perechi provine din egalitatea triunghiurilor ABD și CBD, iar a doua - ABC și ACD.
Teorema 24. Unghiurile adiacente ale unui paralelogram, de ex. unghiurile adiacente unei laturi se adaugă până la 180 de grade.
Acest lucru se datorează faptului că sunt unghiuri interioare unilaterale.
Teorema 25. Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul lor de intersecție.
Dovada. Luați în considerare triunghiurile BOC și AOD. Conform primei proprietăți AD=BC ∠ OAD=∠ OCB și ∠ ODA=∠ OBC situat transversal pentru drepte paralele AD și BC. Prin urmare, triunghiurile BOC și AOD sunt egale în laturi și unghiuri adiacente. Aceasta înseamnă BO=OD și AO=OS, ca laturile corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc.

Semne ale unui paralelogram
Teorema 26. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și respectiv CD egale (Fig. 2). Să desenăm diagonala AC. Triunghiurile ABC și ACD sunt egale pe trei laturi. Atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și, prin urmare, AB este paralel cu CD. Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și ACB.
Teorema 27. Dacă unghiuri opuse patrulaterele sunt egale în perechi, atunci este un paralelogram.
Fie ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D. Deoarece ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, atunci ∠ A+∠ B=180 o iar laturile AD și BC sunt paralele (pe baza paralelismului dreptelor). Vom demonstra, de asemenea, paralelismul laturilor AB și CD și vom concluziona că ABCD este un paralelogram prin definiție.
Teorema 28. Dacă colțurile adiacente ale unui patrulater, de ex. Unghiurile adiacente unei laturi se adună până la 180 de grade, apoi este un paralelogram.
Dacă unghiurile interioare unilaterale se adună până la 180 de grade, atunci liniile drepte sunt paralele. Deci AB este paralel cu CD și BC este paralel cu AD. Un patrulater se dovedește a fi un paralelogram prin definiție.
Teorema 29. Dacă diagonalele unui patrulater se bisectează în punctul de intersecție, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada. Dacă AO = OC, BO = OD, atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca având unghiuri egale (verticale) la vârful O, închise între perechi de laturi egale. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt de asemenea egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform criteriului 1.
Teorema 30. Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.
Fie laturile AB și CD ale patrulaterului ABCD să fie paralele și egale. Să desenăm diagonalele AC și BD. Din paralelismul acestor drepte rezultă că unghiurile transversale ABO = CDO și BAO = OCD sunt egale. Triunghiurile ABO și CDO sunt egale în laturi și unghiuri adiacente. Prin urmare AO=OS, VO=ОD, i.e. Diagonalele sunt împărțite la jumătate de punctul de intersecție și patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform criteriului 4.

În geometrie sunt luate în considerare cazuri speciale de paralelograme.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, adică se află pe linii paralele (Fig. 1).

Teorema 1. Despre proprietățile laturilor și unghiurilor unui paralelogram.Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, unghiurile opuse sunt egale, iar suma unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului este de 180°.

Dovada. În acest paralelogram ABCD desenăm o diagonală AC și obținem două triunghiuri ABC și ADC (Fig. 2).

Aceste triunghiuri sunt egale, deoarece ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (unghiuri transversale pentru drepte paralele), iar latura AC este comună. Din egalitatea Δ ABC = Δ ADC rezultă că AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Suma unghiurilor adiacente unei laturi, de exemplu unghiurile A și D, este egală cu 180° ca unilateral pentru linii paralele. Teorema a fost demonstrată.

Cometariu. Egalitatea laturilor opuse ale unui paralelogram înseamnă că segmentele de paralele tăiate de paralele sunt egale.

Corolarul 1. Dacă două drepte sunt paralele, atunci toate punctele de pe o dreaptă sunt la aceeași distanță de cealaltă dreaptă.

Dovada. Într-adevăr, să fie un || b (Fig. 3).

Să desenăm perpendicularele BA și CD pe dreapta a din vreo două puncte B și C ale liniei b. Din moment ce AB || CD, atunci figura ABCD este un paralelogram și, prin urmare, AB = CD.

Distanța dintre două drepte paralele este distanța de la un punct arbitrar de pe una dintre linii la cealaltă dreaptă.

Conform celor dovedite, este egală cu lungimea perpendicularei trase dintr-un punct al uneia dintre drepte paralele la cealaltă dreaptă.

Exemplul 1. Perimetrul paralelogramului este de 122 cm.Una dintre laturile sale este cu 25 cm mai mare decât cealaltă.Aflați laturile paralelogramului.

Soluţie. După teorema 1, laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale. Să notăm o parte a paralelogramului cu x și cealaltă cu y. Apoi, prin condiția $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rezolvând acest sistem, obținem x = 43, y = 18 Astfel, laturile paralelogramului sunt de 18, 43, 18 și 43 cm.

Exemplul 2.

Soluţie. Fie că Figura 4 îndeplinește condițiile problemei.

Notăm AB cu x și BC cu y. Conform condiției, perimetrul paralelogramului este de 10 cm, adică 2(x + y) = 10, sau x + y = 5. Perimetrul triunghiului ABD este de 8 cm. Și deoarece AB + AD = x + y = 5 apoi BD = 8 - 5 = 3. Deci BD = 3 cm.

Exemplul 3. Aflați unghiurile paralelogramului, știind că unul dintre ele este cu 50° mai mare decât celălalt.

Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.

Să notăm gradul de măsură a unghiului A cu x. Atunci măsura gradului unghiului D este x + 50°.

Unghiurile BAD și ADC sunt unghiuri interioare unilaterale cu drepte paralele AB și DC și secante AD. Apoi suma acestor unghiuri numite va fi 180°, adică.
x + x + 50° = 180° sau x = 65°. Astfel, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Exemplul 4. Laturile paralelogramului sunt de 4,5 dm și 1,2 dm. O bisectoare este trasată de la vârful unui unghi ascuțit. În ce părți împarte latura mai mare a paralelogramului?

Soluţie. Fie că Figura 6 îndeplinește condițiile problemei.

AE este bisectoarea unui unghi ascuțit al unui paralelogram. Prin urmare, ∠ 1 = ∠ 2.

Problema 1. Unul dintre unghiurile paralelogramului este de 65°. Aflați unghiurile rămase ale paralelogramului.

∠C =∠A = 65° ca unghiuri opuse ale unui paralelogram.

∠A +∠B = 180° ca unghiuri adiacente unei laturi a unui paralelogram.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° ca unghiuri opuse ale unui paralelogram.

Răspuns: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Sarcina 2. Suma a două unghiuri ale unui paralelogram este de 220°. Aflați unghiurile paralelogramului.

Deoarece un paralelogram are 2 unghiuri ascuțite egale și 2 unghiuri obtuze egale, ni se dă suma a două unghiuri obtuze, adică. ∠B +∠D = 220°. Atunci ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° ca unghiuri adiacente unei laturi a unui paralelogram, deci ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Atunci ∠C =∠A = 70°.

Răspuns: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Sarcina 3. Unul dintre unghiurile unui paralelogram este de 3 ori mai mare decât celălalt. Aflați unghiurile paralelogramului.

Fie ∠A =x. Atunci ∠B = 3x. Știind că suma unghiurilor unui paralelogram adiacent uneia dintre laturile sale este de 180°, vom crea o ecuație.

x = 180 : 4;

Se obține: ∠A = x = 45° și ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale, prin urmare,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Răspuns: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Sarcina 4. Demonstrați că dacă un patrulater are două laturi paralele și egale, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dovada.

Să desenăm diagonala BD și să luăm în considerare Δ ADB și Δ CBD.

AD = BC după condiție. Partea BD este comună. ∠1 = ∠2 ca interior încrucișat cu drepte paralele (prin condiție) AD și BC și secante BD. Prin urmare, Δ ADB = Δ CBD pe două laturi și unghiul dintre ele (primul semn al egalității triunghiurilor). În triunghiurile congruente, unghiurile corespunzătoare sunt egale, ceea ce înseamnă ∠3 =∠4. Și aceste unghiuri sunt unghiuri interne situate transversal cu linii drepte AB și CD și secante BD. Aceasta înseamnă că liniile AB și CD sunt paralele. Astfel, în acest patrulater ABCD, laturile opuse sunt paralele în perechi, prin urmare, prin definiție, ABCD este un paralelogram, ceea ce trebuia demonstrat.

Sarcina 5. Cele două laturi ale unui paralelogram sunt în raportul 2 : 5, iar perimetrul este de 3,5 m. Aflați laturile paralelogramului.

∙ (AB + AD).

Să notăm o parte cu x. atunci AB = 2x, AD = 5x metri. Știind că perimetrul paralelogramului este de 3,5 m, creăm ecuația:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

O parte are 0,25 m. Atunci AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Examinare.

Perimetrul paralelogramului P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Deoarece laturile opuse ale paralelogramului sunt egale, atunci CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Răspuns: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Un paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt paralele în perechi.

Un paralelogram are toate proprietățile patrulaterelor, dar în plus le are și pe ale sale trăsături distinctive. Cunoscându-le, putem găsi cu ușurință atât laturile, cât și unghiurile unui paralelogram.

Proprietățile unui paralelogram

1. Suma unghiurilor din orice paralelogram, ca în orice patrulater, este de 360°.
2. Liniile mediane ale paralelogramului și diagonalele sale se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acesta. Acest punct este de obicei numit centrul de simetrie al paralelogramului.
3. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt întotdeauna egale.
4. De asemenea, această cifră are întotdeauna unghiuri opuse egale.
5. Suma unghiurilor care sunt adiacente oricăreia dintre laturile unui paralelogram este întotdeauna 180°.
6. Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor celor două laturi adiacente ale acestuia. Aceasta este exprimată prin formula:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), unde d 1 și d 2 sunt diagonale, a și b sunt laturi adiacente.
7. Cosinusul unui unghi obtuz este întotdeauna mai mic decât zero.

Cum să găsiți unghiurile unui paralelogram dat folosind aceste proprietăți în practică? Și ce alte formule ne pot ajuta în acest sens? Să ne uităm la sarcini specifice care necesită: găsirea unghiurilor unui paralelogram.

Aflarea unghiurilor unui paralelogram

Cazul 1. Este cunoscută măsura unui unghi obtuz, trebuie să găsim un unghi ascuțit.

Exemplu: În paralelogramul ABCD, unghiul A este de 120°. Aflați măsura unghiurilor rămase.

Soluţie: Folosind proprietatea nr. 5, putem găsi măsura unghiului B adiacent unghiului dat în sarcină. Acesta va fi egal cu:

• 180°-120°= 60°

Și acum, folosind proprietatea nr. 4, determinăm că cele două unghiuri rămase C și D sunt opuse unghiurilor pe care le-am găsit deja. Unghiul C este opus unghiului A, unghiul D este opus unghiului B. Prin urmare, sunt egali în perechi.

• Răspuns: B = 60°, C = 120°, D=60°

Cazul 2. Se cunosc lungimile laturilor și diagonalelor

În acest caz, trebuie să folosim teorema cosinusului.

Mai întâi putem calcula cosinusul unghiului de care avem nevoie folosind formula și apoi folosind masa speciala găsiți cu ce este egal unghiul în sine.

Pentru un unghi ascuțit formula este:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), unde
• a este unghiul ascuțit dorit,
• A și B sunt laturile paralelogramului,
• d - diagonală mai mică

Pentru un unghi obtuz, formula se modifică ușor:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), unde
• ß este un unghi obtuz,
• A și B sunt laturi
• D - diagonala mare

Exemplu: trebuie să găsiți un unghi ascuțit al unui paralelogram ale cărui laturi sunt de 6 cm și 3 cm, iar diagonala mai mică este de 5,2 cm

Înlocuiți valorile în formulă pentru a găsi un unghi ascuțit:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Din tabel aflăm că unghiul dorit este de 60°.