Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom. Cramerovo pravilo

2. Rješavanje sustava jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sustava jednadžbi.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda koristi se za rješavanje sustava linearnih algebarske jednadžbe (SLAU).

Formule na primjeru sustava dviju jednadžbi s dvije varijable.
dano: Riješite sustav Cramerovom metodom

Što se tiče varijabli x I na.
Riješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava Izračun determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađimo vrijednosti varijabli:
I .
Primjer 1:
Riješite sustav jednadžbi:

u vezi s varijablama x I na.
Riješenje:


Zamijenimo prvi stupac u ovoj determinanti stupcem koeficijenata s desne strane sustava i pronađimo njegovu vrijednost:

Učinimo to slično djelovanje, zamjenjujući drugi stupac u prvoj determinanti:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
Odgovor:
Komentar: Ova metoda može riješiti sustave viših dimenzija.

Komentar: Ako se pokaže da se , ali ne može podijeliti s nulom, onda kažu da sustav nema jedinstveno rješenje. U tom slučaju sustav ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sustav jednadžbi:

u vezi s varijablama x I na.
Riješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava:

Rješavanje sustava metodom supstitucije.

Prva od jednadžbi sustava je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je preostala samo jedna jednadžba. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sustava bilo koji par vrijednosti varijabli međusobno povezanih jednakošću.
Opće rješenje bit će napisano na sljedeći način:
Pojedinačna rješenja mogu se odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove jednakosti veza.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
Odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sustav je nekompatibilan):

Riješite sustav jednadžbi:

Riješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava:

Cramerove formule se ne mogu koristiti. Riješimo ovaj sustav metodom supstitucije

Druga jednadžba sustava je jednakost koja nije istinita ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, budući da -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sustava nije istinita ni za jednu vrijednost varijabli, tada cijeli sustav nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja

Metode Kramer I Gauss- jedna od najpopularnijih metoda rješenja SLAU. Osim toga, u nekim slučajevima preporučljivo je koristiti posebne metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas ćemo pogledati rješenje pomoću Cramerove metode. Uostalom, rješenje sustava linearne jednadžbe Cramerova metoda vrlo je korisna vještina.

Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je sustav jednadžbi oblika:

Skup vrijednosti x , u kojem se jednadžbe sustava pretvaraju u identitete, nazivamo rješenjem sustava, a I b su realni koeficijenti. Jednostavan sustav koji se sastoji od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice može se riješiti u vašoj glavi ili izražavanjem jedne varijable kroz drugu. Ali u SLAE-u može postojati mnogo više od dvije varijable (xes), a ovdje jednostavne školske manipulacije nisu dovoljne. Što uraditi? Na primjer, riješite SLAE pomoću Cramerove metode!

Dakle, neka se sustav sastoji od n jednadžbe sa n nepoznato.

Takav sustav može se prepisati u matričnom obliku

Ovdje A – glavna matrica sustava, x I B , redom, matrice stupaca nepoznatih varijabli i slobodnih članova.

Rješavanje SLAE Cramerovom metodom

Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica je nesingularna), sustav se može riješiti pomoću Cramerove metode.

Prema Cramerovoj metodi, rješenje se nalazi pomoću formula:

Ovdje delta je determinanta glavne matrice, i delta x nth – determinanta dobivena iz determinante glavne matrice zamjenom n-tog stupca stupcem slobodnih članova.

To je cijela bit Cramer metode. Zamjena vrijednosti pronađenih pomoću gornjih formula x u željeni sustav, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Kako bismo vam pomogli da brže shvatite srž, navest ćemo primjer u nastavku. detaljno rješenje SLAE po Cramer metodi:

Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete razbijati SLAU-ove kao orahe. Štoviše, sada apsolutno nije potrebno proučavati bilježnicu, rješavati glomazne izračune i zapisivati ​​jezgru. Možete jednostavno riješiti SLAE koristeći Cramerovu metodu online, samo zamjenom koeficijenata u gotov obrazac. Probaj online kalkulator Rješenja koja koriste Cramerovu metodu mogu se pronaći, primjerice, na ovoj web stranici.

A ako se sustav pokaže tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se za pomoć možete obratiti našim autorima, npr. Ako postoji barem 100 nepoznanica u sustavu, sigurno ćemo to riješiti ispravno i na vrijeme!

Cramerova metoda temelji se na korištenju determinanti u rješavanju sustava linearnih jednadžbi. To značajno ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava onoliko linearnih jednadžbi koliko ima nepoznanica u svakoj jednadžbi. Ako determinanta sustava nije jednaka nuli, onda se Cramerova metoda može koristiti u rješenju, ali ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznanice naziva se determinanta sustava i označava se (delta).

Odrednice

dobivaju se zamjenom koeficijenata odgovarajućih nepoznanica slobodnim članovima:

;

.

Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava različita od nule, tada sustav linearnih jednadžbi ima jedno jedinstveno rješenje, a nepoznanica je jednaka omjeru determinanti. Nazivnik sadrži determinantu sustava, a brojnik determinantu dobivenu iz determinante sustava zamjenom koeficijenata te nepoznanice slobodnim članovima. Ovaj teorem vrijedi za sustav linearnih jednadžbi bilo kojeg reda.

Primjer 1. Riješite sustav linearnih jednadžbi:

Prema Cramerov teorem imamo:

Dakle, rješenje sustava (2):

online kalkulator, odlučna metoda Kramer.

Tri slučaja rješavanja sustava linearnih jednadžbi

Kao što je jasno iz Cramerov teorem, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje

(sustav je dosljedan i određen)

Drugi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja

(sustav je konzistentan i nesiguran)

** ,

oni. koeficijenti nepoznanica i slobodni članovi su proporcionalni.

Treći slučaj: sustav linearnih jednadžbi nema rješenja

(sustav je nedosljedan)

Dakle sustav m linearne jednadžbe sa n nazvane varijable nezglobni, ako ona nema niti jedno rješenje, i spojnica, ako ima barem jedno rješenje. Simultani sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje naziva se određeni, i više od jednog – neizvjestan.

Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom

Neka sustav bude dan

.

Na temelju Cramerovog teorema

………….
,

Gdje
-

sustavna odrednica. Ostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznato) slobodnim članovima:

Primjer 2.

.

Dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sustava.

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sustavu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:

.

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Pažljivo pogledajte sustav jednadžbi i determinantu sustava te ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednako nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, stoga je sustav određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznanice

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, rješenje sustava je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo zajedno rješavati sustave Cramerovom metodom

Kao što je već rečeno, ako je determinanta sustava jednaka nuli, a determinante nepoznanica nisu jednake nuli, sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Determinanta sustava jednaka je nuli, stoga je sustav linearnih jednadžbi ili nekonzistentan i određen, ili je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznanice

Determinante nepoznanica nisu jednake nuli, dakle sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima koji uključuju sustave linearnih jednadžbi postoje i oni u kojima se uz slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova predstavljaju broj, najčešće pravi. U praksi problemi pretraživanja dovode do takvih jednadžbi i sustava jednadžbi opća svojstva bilo kakve pojave ili objekte. Odnosno, jeste li izmislili koji novi materijal ili uređaj, a za opis njegovih svojstava, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj instance, potrebno je riješiti sustav linearnih jednadžbi, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable stoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednadžbi, varijabli i slova koja označavaju određeni realni broj.

Primjer 8. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Pronalaženje determinanti za nepoznanice

Razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice

Koristeći determinante 3. reda, rješenje takvog sustava može se napisati u istom obliku kao i za sustav dviju jednadžbi, tj.

(2.4)

ako je 0. Ovdje

Tamo je Cramerovo pravilo rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.

Primjer 2.3. Riješite sustav linearnih jednadžbi koristeći Cramerovo pravilo:

Riješenje . Određivanje determinante glavne matrice sustava

Budući da je 0, onda da bismo pronašli rješenje sustava možemo primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunamo još tri determinante:

Ispitivanje:

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno. 

Cramerova pravila izvedena za linearni sustavi 2. i 3. reda, sugeriraju da se ista pravila mogu formulirati za linearne sustave bilo kojeg reda. Stvarno se događa

Cramerov teorem. Kvadratni sustav linearnih jednadžbi s determinantom glavne matrice sustava različitom od nule (0) ima jedno i samo jedno rješenje i to se rješenje izračunava pomoću formula

(2.5)

Gdje  – determinanta glavne matrice,  ja – matrična determinanta, dobiven od glavnog, zamjenjujućijath column stupac slobodnih termina.

Imajte na umu da ako je =0, Cramerovo pravilo se ne primjenjuje. To znači da sustav ili nema rješenja ili ima beskonačno mnogo rješenja.

Nakon što smo formulirali Cramerov teorem, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.

2.4. Determinante n-tog reda

Dodatni manji M i J element a i J je determinanta dobivena iz zadanog brisanjem ja th linija i j th stupac. Algebarski komplement A i J element a i J minor ovog elementa uzet sa predznakom (–1) naziva se ja + j, tj. A i J = (–1) ja + j M i J .

Na primjer, pronađimo minore i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 kvalifikacija

Dobivamo



Koristeći koncept algebarskog komplementa možemo formulirati teorem proširenja determinanten-th poredak po redu ili stupcu.

Teorem 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju umnožaka svih elemenata određenog retka (ili stupca) s njihovim algebarskim komplementima:

(2.6)

Ovaj teorem je temelj jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja odrednice n redom preko bilo kojeg retka ili stupca, dobivamo n determinanti ( n–1) reda. Kako bismo imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati redak ili stupac koji ima najviše nula. U praksi se formula za proširenje determinante obično piše kao:

oni. algebarski dodaci se pišu eksplicitno u terminima minora.

Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako da ih prvo razvrstate u neki red ili stupac. Obično u takvim slučajevima odaberite stupac ili redak koji ima najviše nula. Odabrani redak ili stupac bit će označen strelicom.



2.5. Osnovna svojstva determinanti

Proširujući determinantu preko bilo kojeg retka ili stupca, dobivamo n determinanti ( n–1) reda. Zatim svaka od ovih determinanti ( n–1)-og reda također se može rastaviti na zbroj determinanti ( n–2) reda. Nastavljajući ovaj proces, može se doći do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, morat ćete izračunati zbroj dva člana, za determinante 3. reda - zbroj 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj članova naglo će se povećati kako se povećava red determinante. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično radno intenzivan zadatak, koji nadilazi mogućnosti čak i računala. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, korištenjem svojstava determinanti.

Svojstvo 1 . Determinanta se neće promijeniti ako se redovi i stupci u njoj zamijene, tj. prilikom transponiranja matrice:

.

Ovo svojstvo označava jednakost redaka i stupaca determinante. Drugim riječima, svaka tvrdnja o stupcima determinante vrijedi i za njezine retke i obrnuto.

Svojstvo 2 . Determinanta mijenja predznak kada se dva retka (stupca) zamijene.

Posljedica . Ako determinanta ima dva identična retka (stupca), onda je jednaka nuli.

Svojstvo 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem retku (stupcu) može se izbaciti iz predznaka determinante.

Na primjer,

Posljedica . Ako su svi elementi određenog retka (stupca) determinante jednaki nuli, onda je i sama determinanta jednaka nuli..

Svojstvo 4 . Determinanta se neće promijeniti ako se elementi jednog retka (stupca) dodaju elementima drugog retka (stupca), pomnoženi bilo kojim brojem.

Na primjer,

Svojstvo 5 . Determinanta umnoška matrica jednaka je umnošku determinanti matrica:

Neka sustav linearnih jednadžbi sadrži onoliko jednadžbi koliko je nezavisnih varijabli, tj. izgleda kao

Takvi sustavi linearnih jednadžbi nazivaju se kvadratni. Determinanta, sastavljena od koeficijenata za nezavisne varijable sustava (1.5), naziva se glavna determinanta sustava. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako glavna determinanta sadrži proizvoljan ( j th) stupac, zamijenite stupcem slobodnih uvjeta sustava (1.5), tada možete dobiti n pomoćni kvalifikatori:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnih sustava linearnih jednadžbi je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sustava (1.5) različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula:

(1.8)

Primjer 1.5. Riješite sustav jednadžbi Cramerovom metodom

.

Izračunajmo glavnu determinantu sustava:

Od D¹0 sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

Tako,

Akcije na matricama

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste pomnožili matricu s brojem, morate pomnožiti sve njezine elemente s tim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Zbrajanje matrice.

Ova operacija se uvodi samo za matrice istog reda.

Da bi se zbrojile dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija zbrajanja matrica ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj stupaca matrice A poklapa se s brojem redaka matrice U, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, kod množenja matrice A dimenzije m´ n na matricu U dimenzije n´ k dobijemo matricu S dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice S izračunato po sljedeće formule:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, umnožak matrica AB I B.A.:

Riješenje. 1) Da biste pronašli posao AB, trebate redove matrice A množenje stupcima matrice B:

2) Rad B.A. ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redaka matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrica A- 1 naziva se inverzom kvadratne matrice A, ako je jednakost zadovoljena:

gdje kroz ja označava matricu identiteta istog reda kao i matrica A:

.

Da bi kvadratna matrica imala inverz, potrebno je i dovoljno da joj determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi pomoću formule:

, (1.13)

Gdje A ij- algebarski dodaci elementima a ij matrice A(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice A nalaze se u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih stupaca).

Primjer 1.9. Nađi inverznu matricu A- 1 u matricu

.

Inverznu matricu nalazimo pomoću formule (1.13), koja za slučaj n= 3 ima oblik:

.

Pronađimo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Budući da je determinanta izvorne matrice različita od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske komplemente A ij:

Radi lakšeg lociranja inverzna matrica, smjestili smo algebarske dodatke recima izvorne matrice u odgovarajuće stupce.

Od dobivenih algebarskih zbrajanja sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Dakle, dobivamo inverznu matricu:

Kvadratni sustavi linearnih jednadžbi s glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti pomoću inverzne matrice. Da bismo to učinili, sustav (1.5) je napisan u matričnom obliku:

Gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) slijeva s A- 1, dobivamo rješenje sustava:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje kvadratnog sustava, trebate pronaći inverznu matricu glavne matrice sustava i pomnožiti je s desne strane s matricom stupca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješite sustav linearnih jednadžbi

pomoću inverzne matrice.

Riješenje. Napišimo sustav u matričnom obliku: ,

Gdje - glavna matrica sustava, - stupac nepoznanica i - stupac slobodnih članova. Budući da je glavna odrednica sustava , zatim glavna matrica sustava A ima inverznu matricu A-1 . Za pronalaženje inverzne matrice A-1 , izračunavamo algebarske komplemente svim elementima matrice A:

Od dobivenih brojeva ćemo sastaviti matricu (i algebarske dodatke redovima matrice A upisati u odgovarajuće stupce) i podijeliti s determinantom D. Dakle, dobili smo inverznu matricu:

Rješenje sustava nalazimo pomoću formule (1.15):

Tako,

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi običnom Jordanovom metodom eliminacije

Neka je zadan proizvoljan (ne nužno kvadratni) sustav linearnih jednadžbi:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sustava, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sustava (1.16). U općem slučaju sustav (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Također možda uopće nema rješenja.

Pri rješavanju ovakvih zadataka koristi se poznata školska metoda eliminacije nepoznanica, koja se naziva i obična Jordanova metoda eliminacije. Suština ovu metodu leži u činjenici da je u jednoj od jednadžbi sustava (1.16) jedna od varijabli izražena kroz druge varijable. Ta se varijabla zatim zamjenjuje u druge jednadžbe u sustavu. Rezultat je sustav koji sadrži jednu jednadžbu i jednu varijablu manje od izvornog sustava. Pamti se jednadžba iz koje je varijabla izražena.

Ovaj se proces ponavlja sve dok u sustavu ne ostane posljednja jednadžba. Kroz proces eliminiranja nepoznanica, neke jednadžbe mogu postati pravi identiteti, npr. Takve jednadžbe su isključene iz sustava, budući da su zadovoljene za bilo koju vrijednost varijabli i stoga ne utječu na rješenje sustava. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer), tada zaključujemo da sustav nema rješenja.

Ako se tijekom rješavanja ne pojave proturječne jednadžbe, tada se jedna od preostalih varijabli u njoj nalazi iz posljednje jednadžbe. Ako je u posljednjoj jednadžbi ostala samo jedna varijabla, ona se izražava brojem. Ako ostale varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, tada se one smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija tih parametara. Tada dolazi do takozvanog "obrnutog poteza". Pronađena varijabla zamjenjuje se u posljednju zapamćenu jednadžbu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memoriranu jednadžbu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorirane jednadžbe.

Kao rezultat toga dobivamo rješenje sustava. Ovo će rješenje biti jedinstveno ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a potom i sve ostale, ovise o parametrima, tada će sustav imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje vam omogućuju pronalaženje rješenja sustava ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sustava.

Primjer 1.11.

x

Nakon što je zapamtio prvu jednadžbu i dovođenjem sličnih članova u drugu i treću jednadžbu dolazimo do sustava:

Izrazimo se g iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednadžbu:

Sjetimo se druge jednadžbe, a iz prve nalazimo z:

Radeći unatrag, dosljedno nalazimo g I z. Da bismo to učinili, prvo zamijenimo u posljednju zapamćenu jednadžbu, odakle nalazimo g:

.

Zatim ćemo to zamijeniti u prvu zapamćenu jednadžbu gdje ga možemo naći x:

Problem 1.12. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminirajući nepoznanice:

. (1.17)

Riješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijenite ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Sjetimo se prve jednadžbe

U ovom sustavu prva i druga jednadžba proturječe jedna drugoj. Doista, izražavanje g , dobivamo da je 14 = 17. Ova jednakost ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli x, g, I z. Prema tome, sustav (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenja.

Pozivamo čitatelje da se sami uvjere da je glavna determinanta izvornog sustava (1.17) jednaka nuli.

Promotrimo sustav koji se od sustava (1.17) razlikuje samo jednim slobodnim članom.

Problem 1.13. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminirajući nepoznanice:

. (1.18)

Riješenje. Kao i prije, izražavamo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijenite ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Sjetimo se prve jednadžbe i prikazati slične članove u drugoj i trećoj jednadžbi. Dolazimo do sustava:

Izražavanje g iz prve jednadžbe i zamjenom u drugu jednadžbu , dobivamo identitet 14 = 14, koji ne utječe na rješenje sustava, pa se stoga može isključiti iz sustava.

U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatrat ćemo ga parametrom. Vjerujemo. Zatim

Zamijenimo g I z u prvu zapamćenu jednakost i pronađi x:

.

Dakle, sustav (1.18) ima beskonačan broj rješenja, a svako rješenje se može pronaći pomoću formula (1.19), odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Tako su rješenja sustava, na primjer, sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju opće (bilo koje) rješenje sustava (1.18). ).

U slučaju kada izvorni sustav (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, naznačena metoda obične Jordanove eliminacije čini se glomaznom. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za preračunavanje koeficijenata sustava u jednom koraku u opći pogled a rješenje problema formulirati u obliku posebnih Jordanovih tablica.

Neka je zadan sustav linearnih formi (jednadžbi):

, (1.20)
Gdje x j- nezavisne (tražene) varijable, a ij- konstantni koeficijenti
(ja = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni dijelovi sustava y i (ja = 1, 2,…, m) mogu biti varijable (ovisne) ili konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sustav eliminacijom nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, ubuduće nazvanu "jedan korak običnih Jordanovih eliminacija". Od proizvoljnih ( r th) jednakost izražavamo proizvoljnu varijablu ( xs) i zamijeniti u sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs koji se naziva rješavajući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobit ćemo sljedeći sustav:

. (1.21)

Iz s- jednakosti sustava (1.21), naknadno nalazimo varijablu xs(nakon što su pronađene preostale varijable). S-ti redak se pamti i naknadno isključuje iz sustava. Preostali sustav će sadržavati jednu jednadžbu i jednu manje nezavisne varijable od originalnog sustava.

Izračunajmo koeficijente dobivenog sustava (1.21) preko koeficijenata izvornog sustava (1.20). Počnimo s r th jednadžbe, koja nakon izražavanja varijable xs kroz preostale varijable to će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(ja¹ r) proizvoljne jednadžbe. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) xs V ja jednadžba sustava (1.20):

Nakon dovođenja sličnih uvjeta dobivamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobivamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sustava (1.21) (osim r jednadžba):

(1.25)
Transformacija sustava linearnih jednadžbi metodom obične Jordanove eliminacije prikazana je u obliku tablica (matrica). Ove tablice nazivaju se "jordanske tablice".

Stoga je problem (1.20) povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tablica 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
g 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a ja 1	a ja 2		a ij		a je		in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Jordanova tablica 1.1 sadrži lijevi zaglavni stupac u kojem su ispisani desni dijelovi sustava (1.20) i gornji zaglavni redak u kojem su ispisane nezavisne varijable.

Ostali elementi tablice čine glavnu matricu koeficijenata sustava (1.20). Ako pomnožite matricu A na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg naslovnog retka, dobivate matricu koja se sastoji od elemenata lijevog naslovnog stupca. To jest, u biti, Jordanova tablica je matrični oblik pisanja sustava linearnih jednadžbi: . Sustav (1.21) odgovara sljedećoj Jordanovoj tablici:

Tablica 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
g 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivni element a rs Istaknut ćemo ih masnim slovima. Podsjetimo se da za provedbu jednog koraka Jordanove eliminacije razlučni element mora biti različit od nule. Red tablice koji sadrži element omogućavanja naziva se redom omogućavanja. Stupac koji sadrži element enable naziva se stupac enable. Prilikom prelaska iz dane tablice u sljedeću tablicu, jedna varijabla ( xs) iz retka gornjeg zaglavlja tablice premješta se u lijevi stupac zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sustava ( y r) pomiče se iz lijevog glavnog stupca tablice u gornji glavni redak.

Opišimo algoritam za preračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tablice (1.1) u tablicu (1.2), koji proizlazi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Element razrješenja zamjenjuje se inverznim brojem:

2. Preostali elementi razlučujućeg niza dijele se na razlučujući element i mijenjaju predznak na suprotan:

3. Preostali elementi stupca rezolucije dijele se na element rezolucije:

4. Elementi koji nisu uključeni u dopušteni redak i dopušteni stupac ponovno se izračunavaju pomoću formula:

Posljednju formulu lako je zapamtiti ako primijetite da elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrižju ja-oh i r th linije i j th i s th stupaca (razlučujući redak, razlučujući stupac te redak i stupac na čijem se sjecištu nalazi preračunati element). Točnije, kod pamćenja formule možete koristiti sljedeći dijagram:

-21 -26 -13 -37

Prilikom izvođenja prvog koraka Jordanovih iznimaka, možete odabrati bilo koji element tablice 1.3 koji se nalazi u stupcima kao element za rješavanje x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu nula). Samo nemojte odabrati element za omogućavanje u zadnjem stupcu, jer trebate pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Na primjer, biramo koeficijent 1 s varijablom x 3 u trećem retku tablice 1.3 (element omogućavanja prikazan je podebljano). Kada prijeđete na tablicu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se s konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). U ovom slučaju varijabla x 3 se izražava kroz preostale varijable.

Niz x 3 (Tablica 1.4) može se, nakon prethodnog prisjećanja, isključiti iz Tablice 1.4. Treći stupac s nulom u gornjem retku naslova također je isključen iz tablice 1.4. Stvar je u tome da bez obzira na koeficijente danog stupca b i 3 svi odgovarajući članovi svake jednadžbe 0 b i 3 sustava bit će jednaka nuli. Stoga te koeficijente nije potrebno izračunavati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sjećajući se jedne od jednadžbi, dolazimo do sustava koji odgovara tablici 1.4 (s prekriženom crtom x 3). Odabir u tablici 1.4 kao razrješavajućeg elementa b 14 = -5, idite na tablicu 1.5. U tablici 1.5 zapamtite prvi redak i isključite ga iz tablice zajedno s četvrtim stupcem (s nulom na vrhu).

Tablica 1.5 Tablica 1.6

Iz posljednje tablice 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Dosljedno zamjenjujući već pronađene varijable u zapamćene retke, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Varijabilna x 5, mogu se dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sustava i pronašli njegovo opće rješenje:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Davanje parametra t različite vrijednosti, dobivamo beskonačan broj rješenja izvornog sustava. Tako je, na primjer, rješenje sustava sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).