قاعدة حل خوارزمية المتباينات المثلثية البسيطة. حل المتباينات المثلثية البسيطة

مشروع الجبر "الحل" المتباينات المثلثية» أكملته طالبة في الصف العاشر "ب" Kazachkova Yulia المشرف: مدرس الرياضيات Kochakova N.N.

الهدف توحيد المواد المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" وإنشاء تذكير للطلاب للتحضير للامتحان القادم.

الأهداف: تلخيص المواد حول هذا الموضوع. تنظيم المعلومات الواردة. يعتبر هذا الموضوعفي امتحان الدولة الموحدة.

الملاءمة تكمن أهمية الموضوع الذي اخترته في حقيقة أن المهام المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" مدرجة في مهام امتحان الدولة الموحدة.

المتباينات المثلثية المتباينة هي علاقة تربط بين رقمين أو تعبيرين من خلال إحدى العلامات: (أكبر من)؛ ≥ (أكبر من أو يساوي). المتباينة المثلثية هي متباينة تحتوي على الدوال المثلثية.

المتباينات المثلثية يتم تقليل حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، كقاعدة عامة، إلى حل أبسط المتباينات بالشكل: sin x>a, sin x أ، كوس س أ، تيراغرام س أ،ctgx

خوارزمية حل المتباينات المثلثية على المحور المقابل لدالة مثلثية معينة، ضع علامة على هذا قيمة عدديةهذه الوظيفة. ارسم خطًا عبر النقطة المحددة التي تتقاطع مع دائرة الوحدة. حدد نقاط تقاطع الخط والدائرة مع مراعاة علامة المتباينة الصارمة أو غير الصارمة. حدد قوس الدائرة التي تقع عليها حلول المتراجحة. تحديد قيم الزوايا عند نقطتي البداية والنهاية للقوس الدائري. اكتب حل المتباينة مع مراعاة دورية الدالة المثلثية المعطاة.

صيغ لحل المتباينات المثلثية sinx >a; س (أركسين أ + 2πn؛ π- أركسين أ + 2πn). com.sinx أ؛ س (- أركوس أ + 2πن؛ أركوس أ + 2πن). com.cosxأ؛ س (arctg أ + πn ; + πn). tgx أ؛ س (πn ؛ القطب الشمالي + πn). ctgx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية ctgx >a

الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية ctgx

طرق حل المتباينات المثلثية حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الأعداد؛ حل المتباينات المثلثية باستخدام الرسم البياني للدالة. :

حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الأعداد مثال 1:: الإجابة:

حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الأعداد المثال الأول: الإجابة:

حل المتباينات المثلثية باستخدام الرسم البياني للدالة مثال: الإجابة:

نتيجة العمل، قمت بتعزيز معرفتي حول موضوع "حل المتباينات المثلثية". تنظيم المعلومات الواردة حول هذا الموضوع لسهولة الإدراك: تطوير خوارزمية لحل عدم المساواة المثلثية؛ أوجز حلين. أمثلة موضحة للحلول. :

نتيجة العمل مرفقة أيضًا بمشروعي كمنتج نهائي "مذكرة للطلاب الذين يستعدون لامتحان الجبر". مستند مايكروسوفت أوفيس وورد (2). دوكإكس:

الأدب المستخدم كتاب الجبر المدرسي للصف العاشر "الجبر وبدايات التحليل" الذي حرره أ.ن.كولموغوروف http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http://www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

عند حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، يتم اختزالها إلى أبسط المتباينات بالشكل cos(t)>a, sint(t)=a وما شابه ذلك. وقد تم بالفعل حل أبسط المتباينات. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لطرق حل المتباينات المثلثية البسيطة.

مثال 1. حل المتراجحة sin(t) > = -1/2.

ارسم دائرة الوحدة. بما أن sin(t) بحكم التعريف هي الإحداثي y، فإننا نحدد النقطة y = -1/2 على محور Oy. ونرسم خطًا مستقيمًا من خلاله، موازية للمحورأوه. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

سيكون حل هذه المتباينة هو جميع نقاط دائرة الوحدة الواقعة فوق هذه النقاط. بمعنى آخر، سيكون الحل هو القوس l. والآن من الضروري الإشارة إلى الشروط التي بموجبها ستنتمي النقطة التعسفية إلى القوس l.

يقع Pt1 في نصف الدائرة الأيمن، وإحداثيته هو -1/2، ثم t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. لوصف النقطة Pt1، يمكنك كتابة الصيغة التالية:
t2 = بي - أركسين (-1/2) = 7*بي/6. ونتيجة لذلك، نحصل على عدم المساواة التالية ل:

نحن نحافظ على عدم المساواة. وبما أن دالة الجيب دورية، فهذا يعني أن الحلول ستتكرر كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الإجابة: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

مثال 2.حل عدم المساواة cos(t).<1/2.

دعونا نرسم دائرة الوحدة. نظرًا لأن cos(t) هو الإحداثي x، وفقًا للتعريف، فإننا نحدد النقطة x = 1/2 على الرسم البياني على محور الثور.
نرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقطة موازيًا لمحور أوي. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

الحلول ستكون جميع نقاط دائرة الوحدة التي تنتمي إلى القوس l. لنوجد النقطتين t1 وt2.

t1 = أركوس(1/2) = بي/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

حصلنا على عدم المساواة لـ t: pi/3

نظرًا لأن جيب التمام هو دالة دورية، فسيتم تكرار الحلول كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الجواب: بي / 3 + 2 * بي * ن

مثال 3.حل المتباينة tg(t)< = 1.

فترة الظل تساوي باي. دعونا نجد الحلول التي تنتمي إلى المجال (-pi/2;pi/2) نصف الدائرة الأيمن. بعد ذلك، باستخدام دورية المماس، نكتب جميع حلول هذه المتباينة. لنرسم دائرة وحدة ونضع عليها خط مماسات.

إذا كان t هو حل للمتراجحة، فإن إحداثي النقطة T = tg(t) يجب أن يكون أقل من أو يساوي 1. مجموعة هذه النقاط ستشكل الشعاع AT. مجموعة النقاط Pt التي تتوافق مع نقاط هذا الشعاع هي القوس l. علاوة على ذلك، فإن النقطة P(-pi/2) لا تنتمي إلى هذا القوس.

خلال الدرس العملي، سنكرر الأنواع الرئيسية من المهام من موضوع "علم المثلثات"، بالإضافة إلى تحليل المشكلات ذات التعقيد المتزايد والنظر في أمثلة لحل المتباينات المثلثية المختلفة وأنظمتها.

سيساعدك هذا الدرس على الاستعداد لأحد أنواع المهام B5 وB7 وC1 وC3.

لنبدأ بمراجعة الأنواع الرئيسية للمهام التي تناولناها في موضوع "علم المثلثات" وحل العديد من المسائل غير القياسية.

المهمة رقم 1. تحويل الزوايا إلى راديان ودرجات: أ) ؛ ب) .

أ) لنستخدم صيغة تحويل الدرجات إلى راديان

دعنا نستبدل القيمة المحددة فيه.

ب) تطبيق صيغة تحويل الراديان إلى درجات

دعونا نقوم بالاستبدال .

إجابة. أ) ؛ ب) .

المهمة رقم 2. احسب: أ) ؛ ب) .

أ) بما أن الزاوية تتجاوز الجدول بكثير، فسنقوم بتصغيرها عن طريق طرح فترة الجيب. لأن يتم الإشارة إلى الزاوية بالراديان، ثم سنعتبر الفترة .

ب) ب في هذه الحالةالوضع مشابه. وبما أن الزاوية يشار إليها بالدرجات، فإننا سنعتبر فترة الظل .

الزاوية الناتجة، على الرغم من أنها أصغر من الفترة، إلا أنها أكبر، مما يعني أنها لم تعد تشير إلى الجزء الرئيسي، ولكن إلى الجزء الممتد من الجدول. لكي لا تقوم بتدريب ذاكرتك مرة أخرى عن طريق حفظ الجدول الموسع لقيم الدالة المثلثية، فلنطرح فترة الظل مرة أخرى:

لقد استفدنا من غرابة دالة الظل.

إجابة. أ) 1؛ ب) .

المهمة رقم 3. احسب ، لو .

دعونا نختصر التعبير بأكمله إلى ظلال عن طريق قسمة بسط ومقام الكسر على . وفي الوقت نفسه، لا يمكننا أن نخاف من ذلك، لأنه وفي هذه الحالة، لن تكون قيمة الظل موجودة.

المهمة رقم 4. تبسيط التعبير.

يتم تحويل التعبيرات المحددة باستخدام صيغ التخفيض. لقد تمت كتابتها بشكل غير عادي باستخدام الدرجات. يمثل التعبير الأول عمومًا رقمًا. دعونا نبسط جميع الدوال المثلثية واحدة تلو الأخرى:

لأن ، ثم تتغير الوظيفة إلى وظيفة مشتركة، أي. إلى ظل التمام، وتقع الزاوية في الربع الثاني، الذي يكون للظل الأصلي إشارة سالبة.

لنفس الأسباب كما في التعبير السابق، تتغير الوظيفة إلى وظيفة مشتركة، أي. إلى ظل التمام، وتقع الزاوية في الربع الأول، الذي يكون للظل الأصلي إشارة موجبة.

دعنا نستبدل كل شيء في تعبير مبسط:

المشكلة رقم 5. تبسيط التعبير.

دعونا نكتب ظل الزاوية المزدوجة باستخدام الصيغة المناسبة ونبسط التعبير:

الهوية الأخيرة هي إحدى صيغ الاستبدال العالمية لجيب التمام.

المشكلة رقم 6. احسب.

الشيء الرئيسي هو عدم ارتكاب الخطأ القياسي المتمثل في عدم إعطاء الإجابة التي يساويها التعبير. لا يمكنك استخدام الخاصية الأساسية لظل قوسي طالما أن هناك عاملًا على صورة اثنين بجواره. للتخلص منه، سنكتب التعبير وفقًا لصيغة ظل الزاوية المزدوجة، مع التعامل مع كوسيطة عادية.

الآن يمكننا تطبيق الخاصية الأساسية لظل القوس، وتذكر أنه لا توجد قيود على نتيجته العددية.

المشكلة رقم 7. حل المعادلة.

عند حل معادلة كسرية تساوي صفر، يُشار دائمًا إلى أن البسط يساوي صفرًا، لكن المقام ليس كذلك، لأن لا يمكنك القسمة على صفر.

المعادلة الأولى هي حالة خاصة من أبسط معادلة يمكن حلها باستخدام الدائرة المثلثية. تذكر هذا الحل بنفسك. يتم حل المتباينة الثانية كأبسط معادلة باستخدام الصيغة العامة لجذور المماس، ولكن فقط مع الإشارة غير المتساوية.

كما نرى، عائلة واحدة من الجذور تستبعد عائلة أخرى من نفس النوع من الجذور التي لا تحقق المعادلة. أولئك. لا توجد جذور.

إجابة. لا توجد جذور.

المشكلة رقم 8. حل المعادلة.

دعونا نلاحظ على الفور أنه يمكننا إخراج العامل المشترك ودعونا نفعل ذلك:

تم اختصار المعادلة إلى أحد الصور القياسية، حيث يكون حاصل ضرب عدة عوامل يساوي صفرًا. نحن نعلم بالفعل أنه في هذه الحالة، أحدهما يساوي صفرًا، أو الآخر، أو الثالث. لنكتب ذلك على شكل مجموعة من المعادلات:

المعادلتان الأوليتان هما حالات خاصة من أبسط المعادلات، وقد واجهنا معادلات مماثلة عدة مرات، لذلك سنشير على الفور إلى حلولها. نقوم بتبسيط المعادلة الثالثة إلى دالة واحدة باستخدام صيغة جيب الزاوية المزدوجة.

دعونا نحل المعادلة الأخيرة بشكل منفصل:

هذه المعادلة ليس لها جذور، لأن قيمة الجيب لا يمكن أن تتجاوز .

وبالتالي فإن الحل هو فقط العائلتان الأوليتان من الجذور، ويمكن دمجهما في عائلة واحدة، وهو ما يسهل إظهاره على الدائرة المثلثية:

هذه عائلة من كل النصفين، أي.

دعنا ننتقل إلى حل المتباينات المثلثية. أولاً، سنقوم بتحليل طريقة حل المثال دون استخدام صيغ للحلول العامة، ولكن باستخدام الدائرة المثلثية.

المشكلة رقم 9. حل عدم المساواة.

دعونا نرسم خطًا مساعدًا على الدائرة المثلثية المقابلة لقيمة الجيب التي تساوي، ونظهر مدى الزوايا التي تحقق المتراجحة.

من المهم جدًا أن نفهم بالضبط كيفية الإشارة إلى الفاصل الزمني الناتج للزوايا، أي. ما هي بدايته وما هي نهايته. ستكون بداية الفاصل الزمني هي الزاوية المقابلة للنقطة التي سندخلها في بداية الفاصل إذا تحركنا عكس اتجاه عقارب الساعة. في حالتنا، هذه هي النقطة التي على اليسار، لأن التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة وتمرير النقطة الصحيحة، على العكس من ذلك، نترك النطاق المطلوب من الزوايا. وبالتالي فإن النقطة الصحيحة تتوافق مع نهاية الفجوة.

والآن علينا أن نفهم زوايا بداية ونهاية فترة حلول المتباينة. الخطأ النموذجي هو الإشارة فورًا إلى أن النقطة اليمنى تتوافق مع الزاوية اليسرى وإعطاء الإجابة. هذا ليس صحيحا! يرجى ملاحظة أننا قمنا للتو بتحديد الفاصل الزمني المقابل للجزء العلوي من الدائرة، على الرغم من أننا مهتمون بالجزء السفلي، بمعنى آخر، قمنا بخلط بداية ونهاية الفاصل الزمني للحل الذي نحتاجه.

لكي يبدأ الفاصل من زاوية النقطة اليمنى وينتهي بزاوية النقطة اليسرى، يجب أن تكون الزاوية المحددة الأولى أقل من الثانية. للقيام بذلك، سيتعين علينا قياس زاوية النقطة القائمة في الاتجاه السلبي للمرجع، أي. في اتجاه عقارب الساعة وسوف يكون مساويا ل . ثم نبدأ بالتحرك منه في اتجاه عقارب الساعة الموجب، وسنصل إلى النقطة اليمنى بعد النقطة اليسرى ونحصل على قيمة الزاوية لها. الآن بداية فترة الزوايا أقل من نهايتها، ويمكننا أن نكتب فترة الحلول دون مراعاة الفترة:

مع الأخذ في الاعتبار أن هذه الفترات سوف تتكرر لعدد لا حصر له من المرات بعد أي عدد صحيح من الدورات، نحصل على حل عام مع الأخذ في الاعتبار فترة الجيب:

نضع قوسين لأن المتباينة صارمة، ونختار النقاط الموجودة على الدائرة التي تتوافق مع طرفي الفترة.

قارن الإجابة التي تتلقاها بصيغة الحل العام التي قدمناها في المحاضرة.

إجابة. .

هذه الطريقة مفيدة لفهم مصدر صيغ الحلول العامة لأبسط متباينات المثلثات. بالإضافة إلى ذلك، من المفيد لأولئك الذين هم كسالى جدًا أن يتعلموا كل هذه الصيغ المرهقة. ومع ذلك، فإن الطريقة نفسها ليست سهلة أيضًا، فاختر طريقة الحل الأكثر ملاءمة لك.

لحل المتباينات المثلثية، يمكنك أيضًا استخدام الرسوم البيانية للدوال التي تم بناء خط مساعد عليها، على غرار الطريقة الموضحة باستخدام دائرة الوحدة. إذا كنت مهتما، فحاول معرفة هذا النهج للحل بنفسك. فيما يلي سوف نستخدم الصيغ العامة لحل المتباينات المثلثية البسيطة.

المشكلة رقم 10. حل عدم المساواة.

دعونا نستخدم صيغة الحل العام، مع الأخذ في الاعتبار أن المتباينة ليست صارمة:

في حالتنا نحصل على:

إجابة.

المشكلة رقم 11. حل عدم المساواة.

دعونا نستخدم صيغة الحل العامة للمتباينة الصارمة المقابلة:

إجابة. .

المشكلة رقم 12. حل المتباينات: أ) ؛ ب) .

في هذه المتباينات، ليست هناك حاجة للتسرع في استخدام صيغ للحلول العامة أو الدائرة المثلثية، يكفي أن نتذكر ببساطة نطاق قيم الجيب وجيب التمام.

أ) منذ ، فإن عدم المساواة ليس له معنى. ولذلك، لا توجد حلول.

ب) لأن وبالمثل، فإن جيب أي وسيطة يفي دائمًا بالمتباينة المحددة في الشرط. ولذلك، فإن جميع القيم الحقيقية للوسيطة تلبي عدم المساواة.

إجابة. أ) لا توجد حلول؛ ب) .

المشكلة 13. حل عدم المساواة .

1.5 المتباينات المثلثية وطرق حلها

1.5.1 حل المتباينات المثلثية البسيطة

يقترح معظم مؤلفي كتب الرياضيات الحديثة البدء في النظر في هذا الموضوع من خلال حل أبسط المتباينات المثلثية. يعتمد مبدأ حل أبسط المتباينات المثلثية على المعرفة والمهارات اللازمة لتحديد قيم ليس فقط الزوايا المثلثية الرئيسية على دائرة مثلثية، ولكن أيضًا القيم الأخرى.

وفي الوقت نفسه ، يمكن تنفيذ حل المتباينات في النموذج ، ، ، على النحو التالي: أولاً نجد فترة ما () تتحقق فيها هذه المتباينة ، ثم نكتب الإجابة النهائية بإضافة إلى نهايات الفترة التي تم العثور عليها أ الرقم الذي يمثل مضاعف فترة الجيب أو جيب التمام: ( ). في هذه الحالة، من السهل العثور على القيمة، لأنه أو . يعتمد البحث عن المعنى على حدس الطلاب، وقدرتهم على ملاحظة تساوي الأقواس أو الأجزاء، مع الاستفادة من تماثل الأجزاء الفردية من الرسم البياني الجيب أو جيب التمام. وهذا في بعض الأحيان يتجاوز قدرات عدد كبير جدًا من الطلاب. ومن أجل التغلب على الصعوبات الملحوظة، استخدمت الكتب المدرسية في السنوات الأخيرة أساليب مختلفة لحل المتباينات المثلثية البسيطة، ولكن هذا لم يؤدي إلى أي تحسن في نتائج التعلم.

لعدة سنوات، نجحنا في استخدام صيغ جذور المعادلات المقابلة لإيجاد حلول للمتباينات المثلثية.

وندرس هذا الموضوع على النحو التالي:

1. نقوم ببناء الرسوم البيانية و y = a، على افتراض أن .

ثم نكتب المعادلة وحلها. إعطاء ن 0؛ 1؛ 2 نجد الجذور الثلاثة للمعادلة المجمعة: . القيم هي حدود ثلاث نقاط متتالية من تقاطع الرسوم البيانية و y = a. من الواضح أن المتباينة تظل دائمًا على الفترة ()، والمتباينة تظل دائمًا على الفترة ().

بإضافة إلى نهايات هذه الفترات رقم يمثل مضاعفًا لفترة الجيب، في الحالة الأولى نحصل على حل للمتباينة في النموذج: ؛ وفي الحالة الثانية حل المتراجحة في الشكل:

فقط على النقيض من جيب الزاوية من الصيغة، وهو حل للمعادلة، بالنسبة لـ n = 0 نحصل على جذرين، والجذر الثالث لـ n = 1 في النموذج . ومرة أخرى، فهي عبارة عن ثلاثة حروف متتابعة لنقاط تقاطع الرسوم البيانية و . في الفاصل الزمني () يستمر عدم المساواة، في الفاصل الزمني () عدم المساواة

الآن ليس من الصعب كتابة الحلول للمتباينات و. في الحالة الأولى نحصل على: ;

وفي الثاني : .

لخص. لحل عدم المساواة أو، تحتاج إلى إنشاء المعادلة المقابلة وحلها. من الصيغة الناتجة، ابحث عن جذور و، واكتب إجابة المتباينة في الصورة: .

عند حل المتباينات، من صيغة جذور المعادلة المقابلة نجد الجذور و، ونكتب إجابة المتراجحة في الصورة: .

تتيح لك هذه التقنية تعليم جميع الطلاب كيفية حل المتباينات المثلثية، لأن تعتمد هذه التقنية بشكل كامل على المهارات التي يتقنها الطلاب بشدة. هذه هي المهارات اللازمة لحل المسائل البسيطة وإيجاد قيمة المتغير باستخدام الصيغة. بالإضافة إلى ذلك، يصبح من غير الضروري على الإطلاق حل عدد كبير من التمارين بعناية تحت إشراف المعلم من أجل إظهار جميع أنواع تقنيات التفكير اعتمادًا على علامة عدم المساواة، وقيمة معامل الرقم أ وإشارته . وتصبح عملية حل عدم المساواة في حد ذاتها مختصرة وموحدة، وهو أمر مهم للغاية.

ميزة أخرى لهذه الطريقة هي أنها تسمح لك بحل المتباينات بسهولة حتى عندما لا يكون الجانب الأيمن قيمة جدولية لجيب الجيب أو جيب التمام.

دعونا نوضح ذلك بمثال محدد. لنفترض أننا بحاجة إلى حل عدم المساواة. لنقم بإنشاء المعادلة المقابلة وحلها:

دعونا نجد قيم و .

عندما ن = 1

عندما ن = 2

نكتب الإجابة النهائية على هذا عدم المساواة:

في المثال المدروس لحل أبسط المتباينات المثلثية، قد يكون هناك عيب واحد فقط - وجود قدر معين من الشكليات. ولكن إذا تم تقييم كل شيء فقط من هذه المواقف، فسيكون من الممكن إلقاء اللوم على صيغ جذور المعادلة التربيعية، وجميع الصيغ لحل المعادلات المثلثية، وأكثر من ذلك بكثير، في الشكليات.

على الرغم من أن الطريقة المقترحة تحتل مكانة جيدة في تكوين المهارات في حل المتباينات المثلثية، إلا أنه لا يمكن التقليل من أهمية وميزات الطرق الأخرى لحل المتباينات المثلثية. وتشمل هذه الطريقة الفاصلة.

دعونا نفكر في جوهرها.

تم تحرير المجموعة بواسطة أ.ج. موردكوفيتش، على الرغم من أنه لا ينبغي عليك تجاهل بقية الكتب المدرسية أيضًا. § 3. منهجية تدريس موضوع “الدوال المثلثية” في مقرر الجبر وبدايات التحليل في دراسة الدوال المثلثية في المدرسة يمكن تمييز مرحلتين أساسيتين: ü التعرف الأولي على الدوال المثلثية...

وفي إجراء البحث تم حل المهام التالية: 1) تم تحليل كتب الجبر الحالية وبدايات التحليل الرياضي للتعرف على الطرق المقدمة فيها لحل المعادلات غير المنطقية والمتباينات. يتيح لنا التحليل استخلاص الاستنتاجات التالية: · في المدرسة الثانوية، يتم إيلاء اهتمام غير كاف لطرق حل المعادلات غير المنطقية المختلفة، وخاصة...

طرق حل المتباينات المثلثية

ملاءمة. تاريخياً، أعطيت المعادلات المثلثية والمتباينات مكانة خاصة في المناهج المدرسية. يمكننا القول أن علم المثلثات هو أحد أهم أقسام الدورة المدرسية وعلوم الرياضيات بأكملها بشكل عام.

تحتل المعادلات المثلثية والمتباينات أحد الأماكن المركزية في مقرر الرياضيات بالمرحلة الثانوية سواء من حيث محتوى المادة التعليمية وطرق النشاط التعليمي والمعرفي التي يمكن وينبغي تكوينها أثناء دراستها وتطبيقها في حل أعداد كبيرة للمشاكل ذات الطبيعة النظرية والتطبيقية.

يؤدي حل المعادلات المثلثية والمتباينات إلى إنشاء المتطلبات الأساسية لتنظيم معرفة الطلاب المتعلقة بجميع المواد التعليمية في علم المثلثات (على سبيل المثال، خصائص الدوال المثلثية، وطرق تحويل التعبيرات المثلثية، وما إلى ذلك) ويجعل من الممكن إقامة اتصالات فعالة مع المواد المدروسة في الجبر (المعادلات، تكافؤ المعادلات، المتباينات، التحويلات المتماثلة للتعبيرات الجبرية، إلخ).

وبعبارة أخرى، فإن النظر في تقنيات حل المعادلات المثلثية والمتباينات ينطوي على نوع من نقل هذه المهارات إلى محتوى جديد.

إن أهمية النظرية وتطبيقاتها العديدة هي دليل على أهمية الموضوع المختار. وهذا بدوره يسمح لك بتحديد أهداف وغايات وموضوع البحث الخاص بالدورة التدريبية.

الغرض من الدراسة: تعميم الأنواع المتاحة من المتباينات المثلثية، والأساليب الأساسية والخاصة لحلها، واختيار مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية من قبل تلاميذ المدارس.

أهداف البحث:

1. بناء على تحليل الأدبيات المتاحة حول موضوع البحث، قم بتنظيم المادة.

2. توفير مجموعة من المهام اللازمة لدمج موضوع "المتباينات المثلثية".

موضوع الدراسة هي عدم المساواة المثلثية في دورة الرياضيات المدرسية.

موضوع الدراسة: أنواع المتباينات المثلثية وطرق حلها.

الأهمية النظرية هو تنظيم المواد.

أهمية عملية: تطبيق المعرفة النظرية في حل المشاكل. تحليل الطرق الشائعة الرئيسية لحل عدم المساواة المثلثية.

طرق البحث : تحليل الأدبيات العلمية، وتوليف وتعميم المعرفة المكتسبة، وتحليل حل المشكلات، والبحث عن الأساليب المثلى لحل عدم المساواة.

§1. أنواع المتباينات المثلثية والطرق الأساسية لحلها

1.1. أبسط المتباينات المثلثية

يُطلق على التعبيرين المثلثيين المتصلين بالعلامة أو > المتباينات المثلثية.

حل المتباينة المثلثية يعني إيجاد مجموعة قيم المجهولات المتضمنة في المتراجحة التي تتحقق بها المتراجحة.

يتم حل الجزء الرئيسي من المتباينات المثلثية عن طريق تقليلها إلى أبسط حل:

قد تكون هذه طريقة للتحليل وتغيير المتغير (
,
إلخ)، حيث يتم حل المتباينة المعتادة أولاً، ومن ثم المتباينة في الشكل
الخ، أو طرق أخرى.

يمكن حل أبسط المتباينات بطريقتين: استخدام دائرة الوحدة أو بيانياً.

يتركو(س  - واحدة من الوظائف المثلثية الأساسية. لحل عدم المساواة
فيكفي أن تجد حلها في فترة واحدة، أي: على أي قطعة طولها يساوي دورة الدالةF  س  . ومن ثم سيتم إيجاد حل المتباينة الأصليةس وكذلك تلك القيم التي تختلف عن تلك الموجودة بأي عدد صحيح من فترات الدالة. في هذه الحالة، من الملائم استخدام الطريقة الرسومية.

دعونا نعطي مثالا على خوارزمية لحل عدم المساواة
(
) و
.

خوارزمية لحل عدم المساواة
(
).

1. صياغة تعريف جيب الرقمس على دائرة الوحدة.

3. على المحور الإحداثي، حدد النقطة بالإحداثياتأ .

4. ارسم خطًا موازيًا لمحور الثور من خلال هذه النقطة وحدد نقاط تقاطعه مع الدائرة.

5. حدد قوسًا للدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات أقل منأ .

6. حدد اتجاه الجولة (عكس اتجاه عقارب الساعة) واكتب الإجابة عن طريق إضافة فترة الدالة إلى نهايات الفترة2πn ,
.

خوارزمية لحل عدم المساواة
.

1. صياغة تعريف ظل الرقمس على دائرة الوحدة.

2. ارسم دائرة الوحدة.

3. ارسم خطًا من المماسات وحدد نقطة بإحداثيات عليهاأ .

4. قم بتوصيل هذه النقطة بالأصل ووضع علامة على نقطة تقاطع القطعة الناتجة مع دائرة الوحدة.

5. حدد قوسًا من الدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات على خط المماس أقل منأ .

6. وضح اتجاه الاجتياز واكتب الإجابة مع مراعاة مجال تعريف الدالة مع إضافة نقطةن ,
(الرقم الموجود على يسار الإدخال دائمًا أقل من الرقم الموجود على اليمين).

يشار في الملحق إلى التفسير الرسومي لحلول أبسط المعادلات والصيغ لحل عدم المساواة بشكل عام (الملحقان 1 و 2).

مثال 1. حل عدم المساواة
.

ارسم خطًا مستقيمًا على دائرة الوحدة
الذي يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين A و B .

كل المعانيذ على الفاصل الزمني NM أكبر ، فإن جميع نقاط قوس AMB تلبي عدم المساواة هذا. في جميع زوايا الدوران، كبيرة ، ولكن أصغر ,
سوف تأخذ على قيم أكبر (ولكن ليس أكثر من واحد).

رسم بياني 1

وبالتالي، فإن حل المتراجحة سيكون جميع القيم في الفترة
، أي.
. للحصول على جميع الحلول لهذه المتباينة، يكفي إضافة طرفي هذه الفترة
، أين
، أي.
,
. لاحظ أن القيم
و
هي جذور المعادلة
,

أولئك.
;
.

إجابة:
,
.

1.2. طريقة رسومية

من الناحية العملية، غالبًا ما تكون الطريقة الرسومية لحل المتباينات المثلثية مفيدة. دعونا نفكر في جوهر الطريقة باستخدام مثال عدم المساواة
:

1. إذا كانت الحجة معقدة (تختلف عنX )، ثم استبدله بـر .

2. نبني في مستوى إحداثي واحدلعبة الرسوم البيانية الوظيفية
و
.

3. نجد مثل هذانقطتين متجاورتين من تقاطع الرسوم البيانية، بينهاموجة جيبيةتقعأعلى مستقيم
. نجد حروف هذه النقاط.

4. اكتب متباينة مزدوجة للوسيطةر مع الأخذ في الاعتبار فترة جيب التمام (ر سيكون بين الإحداثيات الموجودة).

5. قم بإجراء استبدال عكسي (العودة إلى الوسيطة الأصلية) والتعبير عن القيمةX ومن المتباينة المزدوجة نكتب الإجابة على صورة فترة عددية.

مثال 2. حل عدم المساواة: .

عند حل المتباينات باستخدام الطريقة الرسومية، من الضروري إنشاء رسوم بيانية للدوال بأكبر قدر ممكن من الدقة. دعونا نحول عدم المساواة إلى النموذج:

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحد
و
(الصورة 2).

الصورة 2

تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف عند النقطةأ مع الإحداثيات
;
. ما بين أثنين
نقاط الرسم البياني
تحت نقاط الرسم البياني
. وعندما
قيم الوظيفة هي نفسها. لهذا
في
.

إجابة:
.

1.3. الطريقة الجبرية

في كثير من الأحيان، يمكن اختزال المتباينة المثلثية الأصلية إلى متباينة جبرية (عقلانية أو غير عقلانية) من خلال استبدال مختار جيدًا. تتضمن هذه الطريقة تحويل المتباينة أو إدخال استبدال أو استبدال متغير.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة لتطبيق هذه الطريقة.

مثال 3. التخفيض إلى أبسط شكل
.

(تين. 3)

تين. 3

,
.

إجابة:
,

مثال 4. حل عدم المساواة:

أودز:
,
.

استخدام الصيغ:
,

لنكتب عدم المساواة في النموذج:
.

أو الاعتقاد
بعد التحولات البسيطة التي نحصل عليها

,

,

.

وبحل المتباينة الأخيرة باستخدام طريقة الفاصل نحصل على:

الشكل 4

، على التوالى
. ثم من الشكل. 4 يتبع
، أين
.

الشكل 5

إجابة:
,
.

1.4. طريقة الفاصل

مخطط عام لحل المتباينات المثلثية باستخدام طريقة الفاصل:

عامل باستخدام الصيغ المثلثية.

أوجد نقاط الانقطاع والأصفار للدالة وضعها على الدائرة.

خذ أي نقطةل (ولكن لم يتم العثور عليه سابقًا) واكتشف علامة المنتج. إذا كان حاصل الضرب موجبًا، فضع نقطة خارج دائرة الوحدة على الشعاع المقابل للزاوية. وإلا ضع النقطة داخل الدائرة.

إذا حدثت نقطة ما عددًا زوجيًا من المرات، فإننا نسميها نقطة التعددية الزوجية، وإذا تكررت عددًا فرديًا من المرات، نسميها نقطة التعددية الفردية. ارسم الأقواس كما يلي: ابدأ من نقطةل فإذا كانت النقطة التي تليها ذات كثر فردي فإن القوس يقطع الدائرة عند هذه النقطة، وإذا كانت النقطة ذات كثرية زوجية فإنها لا تتقاطع.

الأقواس الموجودة خلف الدائرة هي فترات موجبة؛ يوجد داخل الدائرة مساحات سلبية.

مثال 5. حل عدم المساواة

,
.

نقاط السلسلة الأولى:
.

نقاط السلسلة الثانية:
.

تتكرر كل نقطة عددًا فرديًا من المرات، أي أن جميع النقاط ذات تعدد فردي.

دعونا معرفة علامة المنتج في
: . لنضع علامة على جميع النقاط الموجودة على دائرة الوحدة (الشكل 6):

أرز. 6

إجابة:
,
;
,
;
,
.

مثال 6 . حل عدم المساواة.

حل:

دعونا نجد أصفار التعبير .

يستلمعبد اللطيفم :

,
;

,
;

,
;

,
;

على قيم سلسلة دائرة الوحدةX 1 ممثلة بالنقاط
. مسلسلX 2 يعطي نقاط
. مسلسلX 3 نحصل على نقطتين
. وأخيرا السلسلةX 4 سوف تمثل النقاط
. لنرسم كل هذه النقاط على دائرة الوحدة، مع الإشارة إلى تعددها بين قوسين بجانب كل منها.

دعونا الآن الرقم سوف تكون متساوية. دعونا نجري تقديرًا بناءً على العلامة:

لذا، توقف تمامًاأ يجب أن يتم اختياره على الشعاع الذي يشكل الزاوية مع شعاعأوه، خارج دائرة الوحدة. (لاحظ أن الشعاع المساعدعن أ ليس من الضروري على الإطلاق تصويره في الصورة. نقطةأ تم اختياره تقريبًا.)

الآن من هذه النقطةأ ارسم خطًا متواصلًا متموجًا بالتسلسل لجميع النقاط المحددة. وفي نقاط
ينتقل خطنا من منطقة إلى أخرى: إذا كان خارج دائرة الوحدة، فإنه يدخل داخلها. تقترب من النقطة ، يعود الخط إلى المنطقة الداخلية، لأن تعدد هذه النقطة زوجي. وبالمثل عند هذه النقطة (مع التعدد الزوجي) يجب أن يتحول الخط إلى المنطقة الخارجية. لذلك، قمنا برسم صورة معينة كما هو موضح في الشكل. 7. يساعد على إبراز المناطق المرغوبة على دائرة الوحدة. يتم تمييزها بعلامة "+".

الشكل 7

الجواب النهائي:

ملحوظة. إذا كان الخط المتموج، بعد الالتفاف حول جميع النقاط المحددة على دائرة الوحدة، لا يمكن إرجاعه إلى النقطةأ , دون عبور الدائرة في مكان "غير قانوني"، فهذا يعني أنه حدث خطأ في الحل، وهو فقدان عدد فردي من الجذور.

إجابة: .

§2. مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية

في عملية تطوير قدرة تلاميذ المدارس على حل عدم المساواة المثلثية، يمكن أيضا تمييز 3 مراحل.

1. الإعدادية،

2. تطوير القدرة على حل المتباينات المثلثية البسيطة.

3. إدخال المتباينات المثلثية بأنواعها الأخرى.

الغرض من المرحلة التحضيرية هو أنه من الضروري تنمية القدرة لدى أطفال المدارس على استخدام الدائرة المثلثية أو الرسم البياني لحل المتباينات، وهي:

القدرة على حل عدم المساواة البسيطة في النموذج
,
,
,
, باستخدام خصائص وظائف الجيب وجيب التمام؛

القدرة على بناء المتباينات المزدوجة للأقواس دائرة الرقمأو لأقواس الرسوم البيانية الوظيفية؛

القدرة على إجراء التحويلات المختلفة للتعبيرات المثلثية.

يوصى بتنفيذ هذه المرحلة في عملية تنظيم معرفة تلاميذ المدارس حول خصائص الدوال المثلثية. يمكن أن تكون الوسيلة الرئيسية هي المهام المقدمة للطلاب والتي يتم إجراؤها إما تحت إشراف المعلم أو بشكل مستقل، بالإضافة إلى المهارات التي تم تطويرها في حل المعادلات المثلثية.

فيما يلي أمثلة على هذه المهام:

1 . ضع علامة على نقطة على دائرة الوحدة ، لو

.

2. في أي ربع من المستوى الإحداثي تقع النقطة؟ ، لو يساوي:

3. ضع علامة على النقاط الموجودة على الدائرة المثلثية ، لو:

4. تحويل التعبير إلى الدوال المثلثيةأناأرباع.

أ)
, ب)
, الخامس)

5. يتم إعطاء قوس MR.م - وسطأنا-الربع الرابع،ر - وسطثانياالربع الرابع. الحد من قيمة المتغيرر من أجل: (إنشاء متباينة مزدوجة) أ) قوس MR؛ ب) أقواس RM.

6. اكتب المتباينة المزدوجة للأقسام المحددة من الرسم البياني:

أرز. 1

7. حل عدم المساواة
,
,
,
.

8. تحويل التعبير .

في المرحلة الثانية من تعلم حل المتباينات المثلثية، يمكننا تقديم التوصيات التالية المتعلقة بمنهجية تنظيم الأنشطة الطلابية. في هذه الحالة، من الضروري التركيز على مهارات الطلاب الحالية في العمل مع دائرة أو رسم بياني مثلثي، تم تشكيله أثناء حل أبسط المعادلات المثلثية.

أولاً، يمكن تحفيز ضرورة الحصول على طريقة عامة لحل أبسط المتباينات المثلثية عن طريق التحول، على سبيل المثال، إلى متباينة الشكل
. باستخدام المعرفة والمهارات المكتسبة في المرحلة الإعدادية، سيقوم الطلاب بإحضار عدم المساواة المقترحة إلى النموذج
، ولكن قد تجد صعوبة في إيجاد مجموعة من الحلول للتفاوت الناتج، بسبب من المستحيل حلها فقط باستخدام خصائص دالة الجيب. يمكن تجنب هذه الصعوبة بالرجوع إلى الرسم التوضيحي المناسب (حل المعادلة بيانياً أو باستخدام دائرة الوحدة).

ثانيًا، يجب على المعلم لفت انتباه الطلاب إلى طرق مختلفة لإكمال المهمة، وإعطاء مثال مناسب لحل المتراجحة بيانيًا واستخدام دائرة مثلثية.

دعونا نفكر في الحلول التالية لعدم المساواة
.

1. حل المتراجحة باستخدام دائرة الوحدة.

في الدرس الأول حول حل المتباينات المثلثية، سنقدم للطلاب خوارزمية حل مفصلة، ​​والتي تعكس في عرض تقديمي خطوة بخطوة جميع المهارات الأساسية اللازمة لحل المتباينة.

الخطوة 1.لنرسم دائرة وحدة ونحدد نقطة على المحور الإحداثي وارسم خطًا مستقيمًا من خلاله موازيًا للمحور السيني. سيتقاطع هذا الخط مع دائرة الوحدة عند نقطتين. تمثل كل نقطة من هذه النقاط أرقامًا جيبها يساوي .

الخطوة 2.هذا الخط المستقيم يقسم الدائرة إلى قوسين. دعونا نختار الرقم الذي يصور الأرقام التي لها جيب أكبر من . وبطبيعة الحال، يقع هذا القوس فوق الخط المستقيم المرسوم.

أرز. 2

الخطوه 3.حدد أحد طرفي القوس المحدد. لنكتب أحد الأرقام التي تمثلها هذه النقطة من دائرة الوحدة .

الخطوة 4.من أجل تحديد الرقم المقابل للنهاية الثانية للقوس المحدد، فإننا "نسير" على طول هذا القوس من النهاية المسماة إلى الطرف الآخر. وفي الوقت نفسه، تذكر أنه عند التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن الأرقام التي سنمر بها تزيد (عند التحرك في الاتجاه المعاكس، ستنخفض الأرقام). لنكتب الرقم الموضح على دائرة الوحدة عند الطرف الثاني للقوس المحدد .

وهكذا نرى هذا التفاوت
تحقق الأعداد التي تكون فيها المتراجحة صحيحة
. لقد قمنا بحل المتباينة للأعداد الموجودة في نفس الفترة لدالة الجيب. ومن ثم، يمكن كتابة جميع حلول المتراجحة على الصورة

يجب أن يُطلب من الطلاب فحص الرسم بعناية ومعرفة سبب كل الحلول للمتباينة
يمكن كتابتها في النموذج
,
.

أرز. 3

من الضروري لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أنه عند حل عدم المساواة لوظيفة جيب التمام، نرسم خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور الإحداثي.

طريقة رسومية لحل عدم المساواة.

نحن نبني الرسوم البيانية
و
، بشرط
.

أرز. 4

ثم نكتب المعادلة
وقراره
,
,
، وجدت باستخدام الصيغ
,
,
.

(إعطاءن القيم 0، 1، 2، نجد الجذور الثلاثة للمعادلة المجمعة). قيم
هي ثلاث حروف متتابعة لنقاط تقاطع الرسوم البيانية
و
. ومن الواضح، دائما في الفترة الفاصلة
عدم المساواة يحمل
، وعلى الفاصل
- عدم المساواة
. نحن مهتمون بالحالة الأولى، ثم نضيف إلى طرفي هذه الفترة رقمًا يمثل أحد مضاعفات فترة الجيب، فنحصل على حل للمتباينة
مثل:
,
.

أرز. 5

لخص. لحل عدم المساواة
، تحتاج إلى إنشاء المعادلة المقابلة وحلها. أوجد الجذور من الصيغة الناتجة و ، واكتب الإجابة على عدم المساواة في النموذج: ,
.

ثالثًا، يتم تأكيد حقيقة مجموعة جذور المتباينة المثلثية المقابلة بوضوح شديد عند حلها بيانيًا.

أرز. 6

من الضروري أن نوضح للطلاب أن الدورة، التي هي حل المتراجحة، تتكرر خلال نفس الفترة، أي ما يعادل دورة الدالة المثلثية. يمكنك أيضًا التفكير في رسم توضيحي مماثل للرسم البياني لدالة الجيب.

رابعا، يُنصح بالعمل على تحديث تقنيات الطلاب لتحويل مجموع (الفرق) للدوال المثلثية إلى منتج، ولفت انتباه الطلاب إلى دور هذه التقنيات في حل المتباينات المثلثية.

يمكن تنظيم هذا العمل من خلال إكمال الطلاب بشكل مستقل للمهام التي يقترحها المعلم، والتي نسلط الضوء من بينها على ما يلي:

خامسا، يجب أن يطلب من الطلاب توضيح الحل لكل متباينة مثلثية بسيطة باستخدام رسم بياني أو دائرة مثلثية. يجب عليك بالتأكيد الانتباه إلى مدى ملاءمتها، خاصة فيما يتعلق باستخدام الدائرة، لأنه عند حل المتباينات المثلثية، يكون الرسم التوضيحي المقابل بمثابة وسيلة مريحة للغاية لتسجيل مجموعة الحلول لمتباينة معينة

من المستحسن تعريف الطلاب بطرق حل المتباينات المثلثية التي ليست أبسطها وفق المخطط التالي: التحول إلى متباينة مثلثية محددة التحول إلى المعادلة المثلثية المقابلة للبحث المشترك (المعلم - الطلاب) عن حل نقل مستقل للمتباينة المثلثية تم العثور على طريقة لمتباينات أخرى من نفس النوع.

من أجل تنظيم معرفة الطلاب حول علم المثلثات، نوصي باختيار مثل هذه المتباينات بشكل خاص، والتي يتطلب حلها تحويلات مختلفة يمكن تنفيذها في عملية حلها، وتركيز انتباه الطلاب على ميزاتها.

وعلى هذا النحو من عدم المساواة الإنتاجية يمكننا أن نقترح، على سبيل المثال، ما يلي:

وفي الختام، نعطي مثالا على مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية.

1. حل المتباينات:

2. حل المتباينات: 3. أوجد جميع الحلول للمتباينات: 4. أوجد جميع الحلول للمتباينات:

أ)
، استيفاء الشرط
;

ب)
، استيفاء الشرط
.

5. أوجد جميع الحلول للمتباينات:

أ) ;

ب) ;

الخامس)
;

ز)
;

د)
.

6. حل المتباينات:

أ) ;

ب) ;

الخامس) ؛

ز)
;

د) ؛

ه) ؛

و)
.

7. حل المتباينات:

أ)
;

ب) ;

الخامس) ؛

ز) .

8. حل المتباينات:

أ) ;

ب) ;

الخامس) ؛

ز)
;

د)
;

ه) ؛

و)
;

ح) .

يُنصح بتقديم المهمتين 6 و7 للطلاب الذين يدرسون الرياضيات بمستوى متقدم، والمهمة 8 للطلاب في الفصول ذات الدراسة المتقدمة للرياضيات.

§3. طرق خاصة لحل المتباينات المثلثية

الطرق الخاصة لحل المعادلات المثلثية - أي تلك الطرق التي لا يمكن استخدامها إلا لحل المعادلات المثلثية. تعتمد هذه الطرق على استخدام خصائص الدوال المثلثية، وكذلك على استخدام الصيغ والمتطابقات المثلثية المختلفة.

3.1. طريقة القطاع

دعونا نفكر في طريقة القطاع لحل المتباينات المثلثية. حل عدم المساواة في النموذج

، أينص ( س ) وس ( س ) - الدوال المثلثية العقلانية (يتم تضمين الجيوب وجيب التمام والظلال وظل التمام بشكل عقلاني)، على غرار حل عدم المساواة العقلانية. من السهل حل المتباينات العقلانية باستخدام طريقة الفواصل الزمنية على خط الأعداد. نظيرتها لحل المتباينات المثلثية العقلانية هي طريقة القطاعات في الدائرة المثلثية، من أجلcom.sinx وcom.cosx (
) أو نصف دائرة مثلثية لtgx وctgx (
).

في طريقة الفاصل، كل عامل خطي من البسط والمقام من النموذج
على محور العدد يتوافق مع نقطة ، وعند المرور من هذه النقطة
علامة التغييرات. في طريقة القطاع، كل عامل من النموذج
، أين
- إحدى الوظائفcom.sinx أوcom.cosx و
، في الدائرة المثلثية هناك زاويتان متقابلتان و
، والتي تقسم الدائرة إلى قطاعين. عند المرور و وظيفة
علامة التغييرات.

ويجب تذكر ما يلي:

أ) عوامل النموذج
و
، أين
، احتفظ بالعلامة لجميع القيم . يتم التخلص من عوامل البسط والمقام عن طريق تغيير (إذا
) مع كل رفض من هذا القبيل، يتم عكس علامة عدم المساواة.

ب) عوامل النموذج
و
يتم التخلص منها أيضًا. علاوة على ذلك، إذا كانت هذه عوامل للمقام، فسيتم إضافة متباينات الشكل إلى نظام المتباينات المكافئ
و
. إذا كانت هذه عوامل البسط، فإنها في نظام القيود المكافئ تتوافق مع عدم المساواة
و
في حالة عدم المساواة الأولية الصارمة، والمساواة
و
في حالة عدم المساواة الأولية غير الصارمة. عند التخلص من المضاعف
أو
يتم عكس علامة عدم المساواة.

مثال 1. حل المتباينات: أ)
، ب)
. لدينا وظيفة ب). حل عدم المساواة لدينا،

3.2. طريقة الدائرة متحدة المركز

هذه الطريقة هي نظير لطريقة محاور الأعداد المتوازية لحل أنظمة عدم المساواة العقلانية.

دعونا نفكر في مثال لنظام عدم المساواة.

مثال 5. حل نظام من المتباينات المثلثية البسيطة

أولا، نحل كل متباينة على حدة (الشكل 5). في الزاوية اليمنى العليا من الشكل، سنشير إلى الوسيطة التي يتم النظر في الدائرة المثلثية لها.

الشكل 5

بعد ذلك، نبني نظامًا من الدوائر متحدة المركز للحجّةX . نرسم دائرة ونظللها حسب حل المتباينة الأولى، ثم نرسم دائرة نصف قطرها أكبر ونظللها حسب حل المتباينة الثانية، ثم نبني دائرة للمتباينة الثالثة ودائرة أساسية. نرسم الأشعة من مركز النظام عبر نهايات الأقواس بحيث تتقاطع مع جميع الدوائر. نشكل حلاً على الدائرة الأساسية (الشكل 6).

الشكل 6

إجابة:
,
.

خاتمة

تم الانتهاء من جميع أهداف الدورة البحثية. المادة النظرية منظمة: يتم تقديم الأنواع الرئيسية من عدم المساواة المثلثية والطرق الرئيسية لحلها (الرسوم البيانية والجبرية وطريقة الفواصل الزمنية والقطاعات وطريقة الدوائر متحدة المركز). تم إعطاء مثال على حل عدم المساواة لكل طريقة. وأعقب الجزء النظري الجزء العملي. أنه يحتوي على مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية.

يمكن للطلاب استخدام هذه الدورات الدراسية للعمل المستقل. يمكن لأطفال المدارس التحقق من مستوى إتقان هذا الموضوع والتدرب على إكمال المهام ذات التعقيد المتفاوت.

بعد دراسة الأدبيات ذات الصلة حول هذه المسألة، يمكننا أن نستنتج بوضوح أن القدرة والمهارات اللازمة لحل عدم المساواة المثلثية في الدورة المدرسية للجبر والتحليل الأولي مهمة للغاية، والتي يتطلب تطويرها جهدًا كبيرًا من جانب مدرس الرياضيات.

لذلك، سيكون هذا العمل مفيدًا لمعلمي الرياضيات، لأنه يجعل من الممكن تنظيم تدريب الطلاب بشكل فعال حول موضوع "المتباينات المثلثية".

ويمكن مواصلة البحث من خلال توسيعه إلى العمل التأهيلي النهائي.

قائمة الأدب المستخدم

بوغومولوف، ن.ف. مجموعة من المشاكل في الرياضيات [نص] / ن.ف. بوجومولوف. – م: حبارى، 2009. – 206 ص.

فيجودسكي ، م.يا. دليل الرياضيات الابتدائية [النص] / M.Ya. فيجودسكي. – م: حبارى، 2006. – 509 ص.

زوربينكو ، إل.ن. الرياضيات في الأمثلة والمسائل [نص] / L.N. زوربينكو. – م: إنفرا-م، 2009. – 373 ص.

إيفانوف، أ. الرياضيات الابتدائية لأطفال المدارس والطلاب والمعلمين [النص] / O.A. إيفانوف. – م: MTsNMO، 2009. – 384 ص.

كارب، أ.ب. واجبات في الجبر وبدايات التحليل لتنظيم التكرار النهائي والشهادة في الصف الحادي عشر [نص] / أ.ب. الكارب. – م: التربية، 2005. – 79 ص.

كولانين، إ.د. 3000 مشكلة منافسة في الرياضيات [نص] / إ.د. كولانين. – م: مطبعة القزحية، 2007. – 624 ص.

ليبسون، ك.ل. مجموعة من المهام العملية في الرياضيات [النص] / ك.ل. ليبسون. – م: حبارى، 2010. – 182 ص.

الكوع، V. V. مشاكل المعلمات وحلولها. علم المثلثات: المعادلات والمتباينات والأنظمة. الصف العاشر [النص] / ف.ف. مِرفَق. – م: أركتي، 2008. – 64 ص.

مانوفا، أ.ن. الرياضيات. مدرس سريع للتحضير لامتحان الدولة الموحدة: طالب. دليل [نص] / أ.ن. مانوفا. – روستوف على نهر الدون: فينيكس، 2012. – 541 ص.

موردكوفيتش، أ.ج. الجبر وبداية التحليل الرياضي. 10-11 درجات. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام [نص] / أ.ج. موردكوفيتش. – م: مطبعة القزحية، 2009. – 201 ص.

نوفيكوف، أ. الدوال المثلثية والمعادلات والمتباينات [النص] / A.I. نوفيكوف. – م.: فيزماتليت، 2010. – 260 ص.

أوغانيسيان، ف.أ. طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية: المنهجية العامة. كتاب مدرسي دليل لطلاب الفيزياء - حصيرة. وهمية. رقم التعريف الشخصي. انست. [نص] / ف.أ. اوغانيسيان. – م: التربية، 2006. – 368 ص.

أولنيك، إس.إن. المعادلات والمتباينات. طرق الحل غير القياسية [نص] / S.N. أولنيك. – م: دار النشر المعملية، 1997. – 219 ص.

سيفريوكوف، ب.ف. المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية [نص] / ب.ف. سيفريوكوف. – م: التعليم العام، 2008. – 352 ص.

سيرجيف، آي.إن. امتحان الدولة الموحد: 1000 مشكلة مع الإجابات والحلول في الرياضيات. جميع مهام المجموعة C [نص] / I.N. سيرجيف. – م: الامتحان 2012. – 301 ص.

سوبوليف، أ.ب. الرياضيات الابتدائية [النص] / أ.ب. سوبوليف. – ييكاتيرينبرج: المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي USTU-UPI، 2005. – 81 ص.

فينكو، إل إم. طريقة الفترات في حل المتباينات ودراسة الدوال [النص] / L.M. فينكو. – م: حبارى، 2005. – 124 ص.

فريدمان، إل. إم. الأسس النظرية لأساليب تدريس الرياضيات [النص] / ل.م. فريدمان. – م: دار الكتب “ليبروكوم”، 2009. – 248 ص.

المرفق 1

التفسير البياني لحلول عدم المساواة البسيطة

أرز. 1

أرز. 2

تين. 3

الشكل 4

الشكل 5

الشكل 6

الشكل 7

الشكل 8

الملحق 2

حلول للمتباينات البسيطة