المعادلات المثلثية المتباينات كيفية حلها. طرق حل المتباينات المثلثية
أبسط المتباينات المثلثية على الشكل sin x>a هي الأساس لحل المتباينات المثلثية الأكثر تعقيدًا.
دعونا نفكر في حل أبسط المتباينات المثلثية بالصيغة sin x>a على دائرة الوحدة.
1) عند 0
باستخدام الارتباط cosine-bun (كلاهما يبدأ بـ co-، وكلاهما "مستدير")، نتذكر أن جيب التمام هو x، على التوالي، وsine هو y. من هنا نبني رسمًا بيانيًا y=a - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور. إذا كانت المتباينة صارمة، يتم ثقب نقاط تقاطع دائرة الوحدة والخط المستقيم y=a، وإذا لم تكن المتباينة صارمة، فإننا نرسم فوق النقاط (ما مدى سهولة تذكر متى يتم ثقب نقطة ومتى فهو مظلل، انظر). إن الصعوبة الكبرى في حل أبسط المتباينات المثلثية ترجع إلى إيجاد نقاط تقاطع دائرة الوحدة والخط y=a بشكل صحيح.
من السهل العثور على النقطة الأولى - وهي arcsin a. نحدد المسار الذي ننتقل به من النقطة الأولى إلى الثانية. على السطر y=a sinx=a، أعلاه، فوق الخط، sin x>a، وتحته، تحت الخط، sin x
2) أ=0، أي الخطيئة x>0
في هذه الحالة، النقطة الأولى من الفترة هي 0، والثانية هي n.إلى طرفي الفترة، مع الأخذ في الاعتبار فترة الجيب، نضيف 2n.
3) بالنسبة لـ a=-1، يكون sinx>-1
في هذه الحالة، النقطة الأولى هي p/2، وللوصول إلى النقطة الثانية، نلتف حول الدائرة بأكملها عكس اتجاه عقارب الساعة. نصل إلى النقطة -p/2+2p=3p/2. لكي نأخذ في الاعتبار جميع الفترات التي تمثل حلولاً لهذه المتباينة، نضيف 2n إلى كلا الطرفين.
4) سينكس>-أ، عند 0
النقطة الأولى هي كالعادة arcsin(-a)=-arcsina. للوصول إلى النقطة الثانية، نسير في الاتجاه العلوي، أي في اتجاه زيادة الزاوية.
هذه المرة نتحرك إلى ما هو أبعد من n. كم من الوقت نحن ذاهبون؟ على أركسين x. وهذا يعني أن النقطة الثانية هي n+arcsin x. لماذا لا يوجد ناقص؟ لأن علامة الطرح -arcsin تعني الحركة في اتجاه عقارب الساعة، لكننا تحركنا عكس اتجاه عقارب الساعة. وأخيرًا، أضف 2pn إلى كل طرف من نهاية الفترة.
5) سينكس>أ، إذا كان أ>1.
تقع دائرة الوحدة بالكامل تحت الخط المستقيم y=a. ولا توجد نقطة واحدة فوق الخط المستقيم. لذلك لا توجد حلول.
6) sinx>-a، حيث a>1.
في هذه الحالة، دائرة الوحدة بأكملها تقع بالكامل فوق الخط المستقيم y=a. ولذلك فإن أي نقطة تحقق الشرط sinx>a. هذا يعني أن x هو أي رقم.
وهنا x هو أي رقم، حيث أن النقاط -n/2+2nn متضمنة في الحل، على عكس المتباينة الصارمة sinx>-1. ليست هناك حاجة لاستبعاد أي شيء.
النقطة الوحيدة في الدائرة التي تحقق هذا الشرط هي n/2. مع الأخذ بعين الاعتبار دورة الجيب، فإن حل هذه المتباينة هو مجموعة النقاط x=n/2+2n.
على سبيل المثال، حل المتراجحة sinx>-1/2:
طرق حل المتباينات المثلثية
ملاءمة. تاريخياً، أعطيت المعادلات المثلثية والمتباينات مكانة خاصة في المناهج المدرسية. يمكننا القول أن علم المثلثات هو أحد أهم أقسام الدورة المدرسية وعلوم الرياضيات بأكملها بشكل عام.
تحتل المعادلات المثلثية والمتباينات أحد الأماكن المركزية في مقرر الرياضيات بالمرحلة الثانوية سواء من حيث محتوى المادة التعليمية وطرق النشاط التعليمي والمعرفي التي يمكن وينبغي تكوينها أثناء دراستها وتطبيقها في حل أعداد كبيرة للمشاكل ذات الطبيعة النظرية والتطبيقية.
يؤدي حل المعادلات المثلثية والمتباينات إلى إنشاء المتطلبات الأساسية لتنظيم معرفة الطلاب المتعلقة بجميع المواد التعليمية في علم المثلثات (على سبيل المثال، خصائص الدوال المثلثية، وطرق تحويل التعبيرات المثلثية، وما إلى ذلك) ويجعل من الممكن إقامة اتصالات فعالة مع المواد المدروسة في الجبر (المعادلات، تكافؤ المعادلات، المتباينات، التحويلات المتماثلة للتعبيرات الجبرية، إلخ).
وبعبارة أخرى، فإن النظر في تقنيات حل المعادلات المثلثية والمتباينات ينطوي على نوع من نقل هذه المهارات إلى محتوى جديد.
إن أهمية النظرية وتطبيقاتها العديدة هي دليل على أهمية الموضوع المختار. وهذا بدوره يسمح لك بتحديد أهداف وغايات وموضوع البحث الخاص بالدورة التدريبية.
الغرض من الدراسة: تعميم الأنواع المتاحة من المتباينات المثلثية، والأساليب الأساسية والخاصة لحلها، واختيار مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية من قبل تلاميذ المدارس.
أهداف البحث:
1. بناء على تحليل الأدبيات المتاحة حول موضوع البحث، قم بتنظيم المادة.
2. توفير مجموعة من المهام اللازمة لدمج موضوع "المتباينات المثلثية".
موضوع الدراسة هي عدم المساواة المثلثية في دورة الرياضيات المدرسية.
موضوع الدراسة: أنواع المتباينات المثلثية وطرق حلها.
الأهمية النظرية هو تنظيم المواد.
أهمية عملية: تطبيق المعرفة النظرية في حل المشاكل. تحليل الطرق الشائعة الرئيسية لحل عدم المساواة المثلثية.
طرق البحث : تحليل الأدبيات العلمية، وتوليف وتعميم المعرفة المكتسبة، وتحليل حل المشكلات، والبحث عن الأساليب المثلى لحل عدم المساواة.
§1. أنواع المتباينات المثلثية والطرق الأساسية لحلها
1.1. أبسط المتباينات المثلثية
يُطلق على التعبيرين المثلثيين المتصلين بالعلامة أو > المتباينات المثلثية.
حل المتباينة المثلثية يعني إيجاد مجموعة قيم المجهولات المتضمنة في المتراجحة التي تتحقق بها المتراجحة.
يتم حل الجزء الرئيسي من المتباينات المثلثية عن طريق تقليلها إلى أبسط حل:
قد تكون هذه طريقة للتحليل وتغيير المتغير ( 
, 
إلخ)، حيث يتم حل المتباينة المعتادة أولاً، ومن ثم المتباينة في الشكل 
الخ، أو طرق أخرى.
يمكن حل أبسط المتباينات بطريقتين: استخدام دائرة الوحدة أو بيانياً.
يتركو(س
- واحدة من الوظائف المثلثية الأساسية. لحل عدم المساواة 
فيكفي أن تجد حلها في فترة واحدة، أي: على أي قطعة طولها يساوي دورة الدالةF
س
. ومن ثم سيتم إيجاد حل المتباينة الأصليةس
وكذلك تلك القيم التي تختلف عن تلك الموجودة بأي عدد صحيح من فترات الدالة. في هذه الحالة، من الملائم استخدام الطريقة الرسومية.
دعونا نعطي مثالا على خوارزمية لحل عدم المساواة 
(
) و 
.
خوارزمية لحل عدم المساواة (
).
1. صياغة تعريف جيب الرقمس على دائرة الوحدة
3. على المحور الإحداثي، حدد النقطة بالإحداثياتأ .
4. ارسم خطًا موازيًا لمحور الثور من خلال هذه النقطة وحدد نقاط تقاطعه مع الدائرة.
5. حدد قوسًا للدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات أقل منأ .
6. حدد اتجاه الجولة (عكس اتجاه عقارب الساعة) واكتب الإجابة عن طريق إضافة فترة الدالة إلى نهايات الفترة2πn
,
.
خوارزمية لحل عدم المساواة .
1. صياغة تعريف ظل الرقمس على دائرة الوحدة
2. ارسم دائرة الوحدة.
3. ارسم خطًا من المماسات وحدد نقطة بإحداثيات عليهاأ .
4. قم بتوصيل هذه النقطة بالأصل ووضع علامة على نقطة تقاطع القطعة الناتجة مع دائرة الوحدة.
5. حدد قوسًا من الدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات على خط المماس أقل منأ .
6. وضح اتجاه الاجتياز واكتب الإجابة مع مراعاة مجال تعريف الدالة مع إضافة نقطةن
,
(الرقم الموجود على يسار الإدخال دائمًا أقل من الرقم الموجود على اليمين).
يشار في الملحق إلى التفسير الرسومي لحلول أبسط المعادلات والصيغ لحل عدم المساواة بشكل عام (الملحقان 1 و 2).
مثال 1.
حل عدم المساواة 
.
ارسم خطًا مستقيمًا على دائرة الوحدة 
الذي يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين A و B .
كل المعانيذ
على الفاصل الزمني NM أكبر
، فإن جميع نقاط قوس AMB تلبي عدم المساواة هذا. في جميع زوايا الدوران، كبيرة 
، ولكن أصغر 
,
سوف تأخذ على قيم أكبر
(ولكن ليس أكثر من واحد).
رسم بياني 1
وبالتالي، فإن حل المتراجحة سيكون جميع القيم في الفترة 
، أي. 
. للحصول على جميع الحلول لهذه المتباينة، يكفي إضافة طرفي هذه الفترة 
، أين 
، أي. 
,
.
لاحظ أن القيم 
و 
هي جذور المعادلة 
,
أولئك. 
;
.
إجابة: 
, .
1.2. طريقة رسومية
من الناحية العملية، غالبًا ما تكون الطريقة الرسومية لحل المتباينات المثلثية مفيدة. دعونا نفكر في جوهر الطريقة باستخدام مثال عدم المساواة 
:
1. إذا كانت الحجة معقدة (تختلف عنX )، ثم استبدله بـر .
2. نبني في مستوى إحداثي واحدلعبة
الرسوم البيانية الوظيفية 
و 
.
3. نجد مثل هذانقطتين متجاورتين من تقاطع الرسوم البيانية، بينهاموجة جيبيةتقعأعلى
مستقيم . نجد حروف هذه النقاط.
4. اكتب متباينة مزدوجة للوسيطةر مع الأخذ في الاعتبار فترة جيب التمام (ر سيكون بين الإحداثيات الموجودة).
5. قم بإجراء استبدال عكسي (العودة إلى الوسيطة الأصلية) والتعبير عن القيمةX ومن المتباينة المزدوجة نكتب الإجابة على صورة فترة عددية.
مثال 2. حل عدم المساواة: .
عند حل المتباينات باستخدام الطريقة الرسومية، من الضروري إنشاء رسوم بيانية للدوال بأكبر قدر ممكن من الدقة. دعونا نحول عدم المساواة إلى النموذج:
دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحد 
و 
(الصورة 2).
الصورة 2
تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف عند النقطةأ
مع الإحداثيات 
; 
. ما بين أثنين 
نقاط الرسم البياني 
تحت نقاط الرسم البياني 
. وعندما قيم الوظيفة هي نفسها. لهذا في 
.
إجابة: 
.
1.3. الطريقة الجبرية
في كثير من الأحيان، يمكن اختزال المتباينة المثلثية الأصلية إلى متباينة جبرية (عقلانية أو غير عقلانية) من خلال استبدال مختار جيدًا. تتضمن هذه الطريقة تحويل المتباينة أو إدخال استبدال أو استبدال متغير.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة لتطبيق هذه الطريقة.
مثال 3.
التخفيض إلى أبسط شكل 
.
(تين. 3)
تين. 3
, 
.
إجابة: 
,
مثال 4. حل عدم المساواة:
أودز: 
, 
.
استخدام الصيغ: 
, 
لنكتب عدم المساواة في النموذج: 
.
أو الاعتقاد 
بعد التحولات البسيطة التي نحصل عليها
,
,
.
وبحل المتباينة الأخيرة باستخدام طريقة الفاصل نحصل على:
الشكل 4
، على التوالى 
. ثم من الشكل. 4 يتبع 
، أين 
.
الشكل 5
إجابة: 
, 
.
1.4. طريقة الفاصل
مخطط عام لحل المتباينات المثلثية باستخدام طريقة الفاصل:
عامل باستخدام الصيغ المثلثية.
أوجد نقاط الانقطاع والأصفار للدالة وضعها على الدائرة.
خذ أي نقطةل (ولكن لم يتم العثور عليه سابقًا) واكتشف علامة المنتج. إذا كان حاصل الضرب موجبًا، فضع نقطة خارج دائرة الوحدة على الشعاع المقابل للزاوية. وإلا ضع النقطة داخل الدائرة.
إذا حدثت نقطة ما عددًا زوجيًا من المرات، فإننا نسميها نقطة التعددية الزوجية، وإذا تكررت عددًا فرديًا من المرات، نسميها نقطة التعددية الفردية. ارسم الأقواس كما يلي: ابدأ من نقطةل فإذا كانت النقطة التي تليها ذات كثر فردي فإن القوس يقطع الدائرة عند هذه النقطة، وإذا كانت النقطة ذات كثرية زوجية فإنها لا تتقاطع.
الأقواس الموجودة خلف الدائرة هي فترات موجبة؛ يوجد داخل الدائرة مساحات سلبية.
مثال 5. حل عدم المساواة
, 
.
نقاط السلسلة الأولى: 
.
نقاط السلسلة الثانية: 
.
تتكرر كل نقطة عددًا فرديًا من المرات، أي أن جميع النقاط ذات تعدد فردي.
دعونا معرفة علامة المنتج في 
: . لنضع علامة على جميع النقاط الموجودة على دائرة الوحدة (الشكل 6):
أرز. 6
إجابة: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
مثال 6 . حل عدم المساواة.
حل:
دعونا نجد أصفار التعبير .
يستلمعبد اللطيفم :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
على قيم سلسلة دائرة الوحدةX
1
ممثلة بالنقاط 
. مسلسلX
2
يعطي نقاط 
. مسلسلX
3
نحصل على نقطتين 
. وأخيرا السلسلةX
4
سوف تمثل النقاط 
. لنرسم كل هذه النقاط على دائرة الوحدة، مع الإشارة إلى تعددها بين قوسين بجانب كل منها.
دعونا الآن الرقم 
سوف تكون متساوية. دعونا نجري تقديرًا بناءً على العلامة:
لذا، توقف تمامًاأ
يجب أن يتم اختياره على الشعاع الذي يشكل الزاوية 
مع شعاعأوه،
خارج دائرة الوحدة. (لاحظ أن الشعاع المساعدعن
أ
ليس من الضروري على الإطلاق تصويره في الرسم. نقطةأ
تم اختياره تقريبًا.)
الآن من هذه النقطةأ
ارسم خطًا متواصلًا متموجًا بالتسلسل لجميع النقاط المحددة. وفي نقاط ينتقل خطنا من منطقة إلى أخرى: إذا كان خارج دائرة الوحدة، فإنه يدخل داخلها. تقترب من النقطة 
، يعود الخط إلى المنطقة الداخلية، لأن تعدد هذه النقطة زوجي. وبالمثل عند هذه النقطة 
(مع التعدد الزوجي) يجب أن يتحول الخط إلى المنطقة الخارجية. لذلك، قمنا برسم صورة معينة كما هو موضح في الشكل. 7. يساعد على إبراز المناطق المرغوبة على دائرة الوحدة. يتم تمييزها بعلامة "+".
الشكل 7
الجواب النهائي:
ملحوظة. إذا كان الخط المتموج، بعد اجتياز جميع النقاط المحددة على دائرة الوحدة، لا يمكن إرجاعه إلى النقطةأ , دون عبور الدائرة في مكان "غير قانوني"، فهذا يعني أنه حدث خطأ في الحل، وهو فقدان عدد فردي من الجذور.
إجابة: .
§2. مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية
في عملية تطوير قدرة تلاميذ المدارس على حل عدم المساواة المثلثية، يمكن أيضا تمييز 3 مراحل.
1. الإعدادية،
2. تطوير القدرة على حل المتباينات المثلثية البسيطة.
3. إدخال المتباينات المثلثية بأنواعها الأخرى.
الغرض من المرحلة التحضيرية هو أنه من الضروري تنمية القدرة لدى أطفال المدارس على استخدام الدائرة المثلثية أو الرسم البياني لحل المتباينات، وهي:
القدرة على حل عدم المساواة البسيطة في النموذج ,
, ,
,
باستخدام خصائص وظائف الجيب وجيب التمام؛
القدرة على بناء متباينات مزدوجة لأقواس دائرة الأعداد أو لأقواس الرسوم البيانية للوظائف؛
القدرة على إجراء التحويلات المختلفة للتعبيرات المثلثية.
يوصى بتنفيذ هذه المرحلة في عملية تنظيم معرفة تلاميذ المدارس حول خصائص الدوال المثلثية. يمكن أن تكون الوسيلة الرئيسية هي المهام المقدمة للطلاب والتي يتم إجراؤها إما تحت إشراف المعلم أو بشكل مستقل، بالإضافة إلى المهارات التي تم تطويرها في حل المعادلات المثلثية.
فيما يلي أمثلة على هذه المهام:
1
. ضع علامة على نقطة على دائرة الوحدة 
، لو
.
2.
في أي ربع من المستوى الإحداثي تقع النقطة؟ ، لو 
يساوي: 
3.
ضع علامة على النقاط الموجودة على الدائرة المثلثية ، لو:
4. تحويل التعبير إلى الدوال المثلثيةأناأرباع.
أ) 
,
ب) 
,
الخامس) 
5. يتم إعطاء القوس MR.م - وسطأنا-الربع الرابع،ر - وسطثانياالربع الرابع. الحد من قيمة المتغيرر من أجل: (إنشاء متباينة مزدوجة) أ) قوس MR؛ ب) أقواس RM.
6. اكتب المتباينة المزدوجة للأقسام المحددة من الرسم البياني:
أرز. 1
7.
حل عدم المساواة 
, 
, 
, 
.
8. تحويل التعبير .
في المرحلة الثانية من تعلم حل المتباينات المثلثية، يمكننا تقديم التوصيات التالية المتعلقة بمنهجية تنظيم الأنشطة الطلابية. في هذه الحالة، من الضروري التركيز على مهارات الطلاب الحالية في العمل مع دائرة أو رسم بياني مثلثي، تم تشكيله أثناء حل أبسط المعادلات المثلثية.
أولاً، يمكن تحفيز ضرورة الحصول على طريقة عامة لحل أبسط المتباينات المثلثية عن طريق التحول، على سبيل المثال، إلى متباينة الشكل 
.
باستخدام المعرفة والمهارات المكتسبة في المرحلة الإعدادية، سيقوم الطلاب بإحضار عدم المساواة المقترحة إلى النموذج 
، ولكن قد تجد صعوبة في إيجاد مجموعة من الحلول للتفاوت الناتج، بسبب من المستحيل حلها فقط باستخدام خصائص دالة الجيب. يمكن تجنب هذه الصعوبة بالرجوع إلى الرسم التوضيحي المناسب (حل المعادلة بيانياً أو باستخدام دائرة الوحدة).
ثانيًا، يجب على المعلم لفت انتباه الطلاب إلى طرق مختلفة لإكمال المهمة، وإعطاء مثال مناسب لحل المتراجحة بيانيًا واستخدام دائرة مثلثية.
دعونا نفكر في الحلول التالية لعدم المساواة .
1. حل المتراجحة باستخدام دائرة الوحدة.
في الدرس الأول حول حل المتباينات المثلثية، سنقدم للطلاب خوارزمية حل مفصلة، والتي تعكس في عرض تقديمي خطوة بخطوة جميع المهارات الأساسية اللازمة لحل المتباينة.
الخطوة 1.لنرسم دائرة وحدة ونحدد نقطة على المحور الإحداثي 
وارسم خطًا مستقيمًا من خلاله موازيًا للمحور السيني. سيتقاطع هذا الخط مع دائرة الوحدة عند نقطتين. تمثل كل نقطة من هذه النقاط أرقامًا جيبها يساوي .
الخطوة 2.هذا الخط المستقيم يقسم الدائرة إلى قوسين. دعونا نختار الرقم الذي يصور الأرقام التي لها جيب أكبر من . وبطبيعة الحال، يقع هذا القوس فوق الخط المستقيم المرسوم.
أرز. 2
الخطوه 3.حدد أحد طرفي القوس المحدد. لنكتب أحد الأرقام التي تمثلها هذه النقطة من دائرة الوحدة 
.
الخطوة 4.من أجل تحديد الرقم المقابل للنهاية الثانية للقوس المحدد، فإننا "نسير" على طول هذا القوس من النهاية المسماة إلى الطرف الآخر. وفي الوقت نفسه، تذكر أنه عند التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن الأرقام التي سنمر بها تزيد (عند التحرك في الاتجاه المعاكس، ستنخفض الأرقام). لنكتب الرقم الموضح على دائرة الوحدة عند الطرف الثاني للقوس المحدد 
.
وهكذا نرى هذا التفاوت تحقق الأعداد التي تكون فيها المتراجحة صحيحة 
. لقد قمنا بحل المتباينة للأعداد الموجودة في نفس الفترة لدالة الجيب. ومن ثم، يمكن كتابة جميع حلول المتراجحة على الصورة 
يجب أن يُطلب من الطلاب فحص الرسم بعناية ومعرفة سبب كل الحلول للمتباينة يمكن كتابتها في النموذج 
, 
.
أرز. 3
من الضروري لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أنه عند حل عدم المساواة لوظيفة جيب التمام، نرسم خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور الإحداثي.
طريقة رسومية لحل عدم المساواة.
نحن نبني الرسوم البيانية 
و 
، بشرط 
.
أرز. 4
ثم نكتب المعادلة 
وقراره 
, 
, 
، وجدت باستخدام الصيغ 
, 
, 
.
(إعطاءن
القيم 0، 1، 2، نجد الجذور الثلاثة للمعادلة المجمعة). قيم 
هي ثلاث حروف متتابعة لنقاط تقاطع الرسوم البيانية و . ومن الواضح، دائما في الفترة الفاصلة 
عدم المساواة يحمل 
، وعلى الفاصل 
- عدم المساواة 
. نحن مهتمون بالحالة الأولى، ثم نضيف إلى طرفي هذه الفترة رقمًا يمثل أحد مضاعفات فترة الجيب، فنحصل على حل للمتباينة مثل: 
, .
أرز. 5
لخص. لحل عدم المساواة ، تحتاج إلى إنشاء المعادلة المقابلة وحلها. أوجد الجذور من الصيغة الناتجة 
و 
، واكتب الإجابة على عدم المساواة في النموذج: , .
ثالثًا، يتم تأكيد حقيقة مجموعة جذور المتباينة المثلثية المقابلة بوضوح شديد عند حلها بيانيًا.
أرز. 6
من الضروري أن نوضح للطلاب أن الدورة، التي هي حل المتراجحة، تتكرر خلال نفس الفترة، أي ما يعادل دورة الدالة المثلثية. يمكنك أيضًا التفكير في رسم توضيحي مماثل للرسم البياني لدالة الجيب.
رابعا، يُنصح بالعمل على تحديث تقنيات الطلاب لتحويل مجموع (الفرق) للدوال المثلثية إلى منتج، ولفت انتباه الطلاب إلى دور هذه التقنيات في حل المتباينات المثلثية.
يمكن تنظيم هذا العمل من خلال إكمال الطلاب بشكل مستقل للمهام التي يقترحها المعلم، والتي نسلط الضوء من بينها على ما يلي:
خامسا، يجب أن يطلب من الطلاب توضيح الحل لكل متباينة مثلثية بسيطة باستخدام رسم بياني أو دائرة مثلثية. يجب عليك بالتأكيد الانتباه إلى مدى ملاءمتها، خاصة استخدام الدائرة، لأنه عند حل المتباينات المثلثية، يكون الرسم التوضيحي المقابل بمثابة وسيلة مريحة للغاية لتسجيل مجموعة الحلول لمتباينة معينة
يُنصح بتعريف الطلاب بطرق حل المتباينات المثلثية التي ليست أبسطها وفقًا للمخطط التالي: التحول إلى متباينة مثلثية محددة التحول إلى المعادلة المثلثية المقابلة للبحث المشترك (المعلم - الطلاب) عن الحل ؛ النقل المستقل للمتباينات المثلثية الطريقة التي تم العثور عليها لمتباينات أخرى من نفس النوع.
من أجل تنظيم معرفة الطلاب حول علم المثلثات، نوصي باختيار مثل هذه المتباينات بشكل خاص، والتي يتطلب حلها تحويلات مختلفة يمكن تنفيذها في عملية حلها، وتركيز انتباه الطلاب على ميزاتها.
وعلى هذا النحو من عدم المساواة الإنتاجية يمكننا أن نقترح، على سبيل المثال، ما يلي:
وفي الختام، نعطي مثالا على مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية.
1. حل المتباينات:
2. حل المتباينات: 3. أوجد جميع الحلول للمتباينات: 4. أوجد جميع الحلول للمتباينات:أ) 
، استيفاء الشرط 
;
ب) 
، استيفاء الشرط 
.
5. أوجد جميع الحلول للمتباينات:
أ) ;
ب) ;
الخامس) 
;
ز) 
;
د) 
.
6. حل المتباينات:
أ) ;
ب) ;
الخامس) ؛
ز) 
;
د) ؛
ه) ؛
و) 
.
7. حل المتباينات:
أ) 
;
ب) ;
الخامس) ؛
ز) .
8. حل المتباينات:
أ) ;
ب) ;
الخامس) ؛
ز) 
;
د) 
;
ه) ؛
و) 
;
ح) .
يُنصح بتقديم المهمتين 6 و7 للطلاب الذين يدرسون الرياضيات بمستوى متقدم، والمهمة 8 للطلاب في الفصول ذات الدراسة المتقدمة للرياضيات.
§3. طرق خاصة لحل المتباينات المثلثية
الطرق الخاصة لحل المعادلات المثلثية - أي تلك الطرق التي لا يمكن استخدامها إلا لحل المعادلات المثلثية. تعتمد هذه الطرق على استخدام خصائص الدوال المثلثية، وكذلك على استخدام الصيغ والمتطابقات المثلثية المختلفة.
3.1. طريقة القطاع
دعونا نفكر في طريقة القطاع لحل المتباينات المثلثية. حل عدم المساواة في النموذج 
، أينص
(
س
)
وس
(
س
)
- الدوال المثلثية العقلانية (يتم تضمين الجيوب وجيب التمام والظلال وظل التمام بشكل عقلاني)، على غرار حل عدم المساواة العقلانية. من السهل حل المتباينات العقلانية باستخدام طريقة الفواصل الزمنية على خط الأعداد. نظيرتها لحل المتباينات المثلثية العقلانية هي طريقة القطاعات في الدائرة المثلثية، من أجلcom.sinx
وcom.cosx
(
) أو نصف دائرة مثلثية لtgx
وctgx
(
).
في طريقة الفاصل، كل عامل خطي من البسط والمقام من النموذج 
على محور العدد يتوافق مع نقطة 
، وعند المرور من هذه النقطة علامة التغييرات. في طريقة القطاع، كل عامل من النموذج 
، أين 
- إحدى الوظائفcom.sinx
أوcom.cosx
و 
، في الدائرة المثلثية هناك زاويتان متقابلتان 
و 
، والتي تقسم الدائرة إلى قطاعين. عند المرور و وظيفة علامة التغييرات.
ويجب تذكر ما يلي:
أ) عوامل النموذج 
و 
، أين 
، احتفظ بالعلامة لجميع القيم 
. يتم التخلص من عوامل البسط والمقام عن طريق تغيير (إذا 
) مع كل رفض من هذا القبيل، يتم عكس علامة عدم المساواة.
ب) عوامل النموذج 
و 
يتم التخلص منها أيضًا. علاوة على ذلك، إذا كانت هذه عوامل للمقام، فسيتم إضافة متباينات الشكل إلى نظام المتباينات المكافئ 
و 
. إذا كانت هذه عوامل البسط، فإنها في نظام القيود المكافئ تتوافق مع عدم المساواة و في حالة عدم المساواة الأولية الصارمة، والمساواة 
و 
في حالة عدم المساواة الأولية غير الصارمة. عند التخلص من المضاعف 
أو 
يتم عكس علامة عدم المساواة.
مثال 1.
حل المتباينات: أ) 
، ب) 
.
لدينا وظيفة ب). حل عدم المساواة لدينا،
3.2. طريقة الدائرة متحدة المركز
هذه الطريقة هي نظير لطريقة محاور الأعداد المتوازية لحل أنظمة عدم المساواة العقلانية.
دعونا نفكر في مثال لنظام عدم المساواة.
مثال 5.
حل نظام من المتباينات المثلثية البسيطة 
أولا، نحل كل متباينة على حدة (الشكل 5). في الزاوية اليمنى العليا من الشكل، سنشير إلى الوسيطة التي يتم النظر في الدائرة المثلثية لها.
الشكل 5
بعد ذلك، نبني نظامًا من الدوائر متحدة المركز للحجّةX . نرسم دائرة ونظللها حسب حل المتباينة الأولى، ثم نرسم دائرة نصف قطرها أكبر ونظللها حسب حل المتباينة الثانية، ثم نبني دائرة للمتباينة الثالثة ودائرة أساسية. نرسم الأشعة من مركز النظام عبر نهايات الأقواس بحيث تتقاطع مع جميع الدوائر. نشكل حلاً على الدائرة الأساسية (الشكل 6).
الشكل 6
إجابة:
, 
.
خاتمة
تم الانتهاء من جميع أهداف الدورة البحثية. المادة النظرية منظمة: يتم تقديم الأنواع الرئيسية من عدم المساواة المثلثية والطرق الرئيسية لحلها (الرسوم البيانية والجبرية وطريقة الفواصل الزمنية والقطاعات وطريقة الدوائر متحدة المركز). تم إعطاء مثال على حل عدم المساواة لكل طريقة. وأعقب الجزء النظري الجزء العملي. أنه يحتوي على مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية.
يمكن للطلاب استخدام هذه الدورات الدراسية للعمل المستقل. يمكن لأطفال المدارس التحقق من مستوى إتقان هذا الموضوع والتدرب على إكمال المهام ذات التعقيد المتفاوت.
بعد دراسة الأدبيات ذات الصلة حول هذه المسألة، يمكننا أن نستنتج بوضوح أن القدرة والمهارات اللازمة لحل عدم المساواة المثلثية في الدورة المدرسية للجبر والتحليل الأولي مهمة للغاية، والتي يتطلب تطويرها جهدًا كبيرًا من جانب مدرس الرياضيات.
لذلك، سيكون هذا العمل مفيدًا لمعلمي الرياضيات، لأنه يجعل من الممكن تنظيم تدريب الطلاب بشكل فعال حول موضوع "المتباينات المثلثية".
ويمكن مواصلة البحث من خلال توسيعه إلى العمل التأهيلي النهائي.
قائمة الأدب المستخدم
بوغومولوف، ن.ف. مجموعة من المشاكل في الرياضيات [نص] / ن.ف. بوجومولوف. – م: حبارى، 2009. – 206 ص.
فيجودسكي ، م.يا. دليل الرياضيات الابتدائية [النص] / M.Ya. فيجودسكي. – م: حبارى، 2006. – 509 ص.
زوربينكو ، إل.ن. الرياضيات في الأمثلة والمسائل [نص] / L.N. زوربينكو. – م: إنفرا-م، 2009. – 373 ص.
إيفانوف، أ. الرياضيات الابتدائية لأطفال المدارس والطلاب والمعلمين [النص] / O.A. إيفانوف. – م: MTsNMO، 2009. – 384 ص.
كارب، أ.ب. واجبات في الجبر وبدايات التحليل لتنظيم التكرار النهائي والشهادة في الصف الحادي عشر [نص] / أ.ب. الكارب. – م: التربية، 2005. – 79 ص.
كولانين، إ.د. 3000 مشكلة منافسة في الرياضيات [نص] / إ.د. كولانين. – م: مطبعة القزحية، 2007. – 624 ص.
ليبسون، ك.ل. مجموعة من المهام العملية في الرياضيات [النص] / ك.ل. ليبسون. – م: حبارى، 2010. – 182 ص.
الكوع، V. V. مشاكل المعلمات وحلولها. علم المثلثات: المعادلات والمتباينات والأنظمة. الصف العاشر [النص] / ف.ف. مِرفَق. – م: أركتي، 2008. – 64 ص.
مانوفا، أ.ن. الرياضيات. مدرس سريع للتحضير لامتحان الدولة الموحدة: طالب. دليل [نص] / أ.ن. مانوفا. – روستوف على نهر الدون: فينيكس، 2012. – 541 ص.
موردكوفيتش، أ.ج. الجبر وبداية التحليل الرياضي. 10-11 درجات. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام [نص] / أ.ج. موردكوفيتش. – م: مطبعة القزحية، 2009. – 201 ص.
نوفيكوف، أ. الدوال المثلثية والمعادلات والمتباينات [النص] / A.I. نوفيكوف. – م.: فيزماتليت، 2010. – 260 ص.
أوغانيسيان، ف.أ. طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية: المنهجية العامة. كتاب مدرسي دليل لطلاب الفيزياء - حصيرة. وهمية. رقم التعريف الشخصي. انست. [نص] / ف.أ. اوغانيسيان. – م: التربية، 2006. – 368 ص.
أولنيك، إس.إن. المعادلات والمتباينات. طرق الحل غير القياسية [نص] / S.N. أولنيك. – م: دار النشر المعملية، 1997. – 219 ص.
سيفريوكوف، ب.ف. المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية [نص] / ب.ف. سيفريوكوف. – م: التعليم العام، 2008. – 352 ص.
سيرجيف ، آي.إن. امتحان الدولة الموحد: 1000 مشكلة مع الإجابات والحلول في الرياضيات. جميع مهام المجموعة C [نص] / I.N. سيرجيف. – م: الامتحان 2012. – 301 ص.
سوبوليف، أ.ب. الرياضيات الابتدائية [النص] / أ.ب. سوبوليف. – ييكاتيرينبرج: المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي USTU-UPI، 2005. – 81 ص.
فينكو، إل إم. طريقة الفترات في حل المتباينات ودراسة الدوال [النص] / L.M. فينكو. – م: حبارى، 2005. – 124 ص.
فريدمان، إل. إم. الأسس النظرية لأساليب تدريس الرياضيات [النص] / ل.م. فريدمان. – م: دار الكتب “ليبروكوم”، 2009. – 248 ص.
المرفق 1
التفسير البياني لحلول عدم المساواة البسيطة
أرز. 1
أرز. 2
تين. 3
الشكل 4
الشكل 5
الشكل 6
الشكل 7
الشكل 8
الملحق 2
حلول للمتباينات البسيطة
مشروع الجبر "حل المتباينات المثلثية" أكملته طالبة الصف 10 "ب" كازاشكوفا يوليا المشرف: مدرس الرياضيات Kochakova N.N.
الهدف توحيد المواد المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" وإنشاء تذكير للطلاب للتحضير للامتحان القادم.
الأهداف: تلخيص المواد حول هذا الموضوع. تنظيم المعلومات الواردة. النظر في هذا الموضوع في امتحان الدولة الموحدة.
الملاءمة تكمن أهمية الموضوع الذي اخترته في حقيقة أن المهام المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" مدرجة في مهام امتحان الدولة الموحدة.
المتباينات المثلثية المتباينة هي علاقة تربط بين رقمين أو تعبيرين من خلال إحدى العلامات: (أكبر من)؛ ≥ (أكبر من أو يساوي). المتباينة المثلثية هي متباينة تتضمن دوال مثلثية.
المتباينات المثلثية يتم تقليل حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، كقاعدة عامة، إلى حل أبسط المتباينات بالشكل: sin x>a, sin x أ، كوس س أ، تيراغرام س أ،ctgx
خوارزمية لحل المتباينات المثلثية على محور يتوافق مع محور معين وظيفة المثلثية، لاحظ هذا قيمة عدديةهذه الوظيفة. ارسم خطًا عبر النقطة المحددة التي تتقاطع مع دائرة الوحدة. حدد نقاط تقاطع الخط والدائرة مع مراعاة علامة المتباينة الصارمة أو غير الصارمة. حدد قوس الدائرة التي تقع عليها حلول المتراجحة. تحديد قيم الزوايا عند نقطتي البداية والنهاية للقوس الدائري. اكتب حل المتراجحة مع مراعاة دورية الدالة المثلثية المعطاة.
صيغ لحل المتباينات المثلثية sinx >a; س (أركسين أ + 2πn؛ π- أركسين أ + 2πn). com.sinx أ؛ س (- أركوس أ + 2πن؛ أركوس أ + 2πن). com.cosxأ؛ س (arctg أ + πn ; + πn). tgx أ؛ س (πn ؛ القطب الشمالي + πn). ctgx
الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx >a
الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx >a الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx >a الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية ctgx >a
1. إذا كانت الحجة معقدة (تختلف عن X)، ثم استبدله بـ ر.
2. نحن نبني في واحد خطة تنسيق لعبةالرسوم البيانية الوظيفية ص = التكلفةو ص=أ.
3. نجد مثل هذا نقطتين متجاورتين من تقاطع الرسوم البيانية، الذي يقع بينهما فوق الخط المستقيم y=a. نجد حروف هذه النقاط.
4. اكتب متباينة مزدوجة للوسيطة رمع الأخذ في الاعتبار فترة جيب التمام ( رسيكون بين الإحداثيات الموجودة).
5. قم بإجراء استبدال عكسي (العودة إلى الوسيطة الأصلية) والتعبير عن القيمة Xومن المتباينة المزدوجة نكتب الإجابة على صورة فترة عددية.
مثال 1.
بعد ذلك، وفقًا للخوارزمية، نحدد قيم الوسيطة تلك ر، حيث يقع الجيوب الأنفية أعلى مستقيم. لنكتب هذه القيم على شكل متباينة مزدوجة، مع الأخذ في الاعتبار دورية دالة جيب التمام، ثم نعود إلى الوسيطة الأصلية X.
مثال 2.
اختيار نطاق من القيم ر، حيث يكون الجيوب الأنفية فوق الخط المستقيم.
نكتب القيم على شكل متباينة مزدوجة ر،استيفاء الشرط. ولا ننسى أن أصغر فترة من الدالة ص = التكلفةيساوي 2π. العودة إلى المتغير X، تبسيط جميع أجزاء المتباينة المزدوجة تدريجيًا.
نكتب الإجابة على صورة فترة عددية مغلقة، لأن المتباينة لم تكن صارمة.
مثال 3.
سنكون مهتمين بنطاق القيم ر، حيث تقع نقاط الجيوب الأنفية فوق الخط المستقيم.
قيم راكتبها على شكل متباينة مزدوجة، وأعد كتابة نفس القيم لها 2xوصريحة X. لنكتب الإجابة على شكل فاصل رقمي.
ومره اخرى معادلة التكلفة>أ.
لو التكلفة>أ, (-1≤أ≥1)، ثم - أركوس أ + 2πن< t < arccos a + 2πn, nєZ.
قم بتطبيق الصيغ لحل المتباينات المثلثية وستوفر الوقت في اختبار الامتحان.
و الأن معادلة
، والذي يجب عليك استخدامه في اختبار UNT أو امتحان الدولة الموحدة عند اتخاذ القرار عدم المساواة المثلثيةعطوف يكلف
لو يكلف , (-1≤أ≥1)، ثم أركوس أ + 2πن< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
قم بتطبيق هذه الصيغة لحل المتباينات التي تمت مناقشتها في هذه المقالة، وستحصل على الإجابة بشكل أسرع بكثير وبدون أي رسوم بيانية!
مع الأخذ بعين الاعتبار دورية دالة الجيب، نكتب متباينة مزدوجة لقيم الوسيطة ر، إرضاء عدم المساواة الأخيرة. دعنا نعود إلى المتغير الأصلي. دعونا نحول المتباينة المزدوجة الناتجة ونعبر عن المتغير X.لنكتب الإجابة على شكل فاصل زمني.
دعونا نحل عدم المساواة الثانية:
عند حل المتباينة الثانية، كان علينا تحويل الجانب الأيسر من هذه المتباينة باستخدام صيغة جيب الوسيطة المزدوجة للحصول على متباينة بالشكل: سينت≥a.بعد ذلك اتبعنا الخوارزمية.
نحل المتباينة الثالثة:
عزيزي الخريجين والمتقدمين! ضع في اعتبارك أن طرق حل المتباينات المثلثية، مثل الطريقة الرسومية المذكورة أعلاه، وربما تكون معروفة لك، طريقة الحل باستخدام وحدة دائرة مثلثية (دائرة مثلثية) قابلة للتطبيق فقط في المراحل الأولى من دراسة قسم علم المثلثات "حل المعادلات المثلثيةوعدم المساواة". أعتقد أنك ستتذكر أنك قمت أولاً بحل أبسط المعادلات المثلثية باستخدام الرسوم البيانية أو الدائرة. ومع ذلك، الآن لن تفكر في حل المعادلات المثلثية بهذه الطريقة. كيف يمكنك حلها؟ هذا صحيح، وفقا للصيغ. لذا، يجب حل المتباينات المثلثية باستخدام الصيغ، خاصة أثناء الاختبار ومتى كل دقيقة ثمينة. إذن، حل المتباينات الثلاثة في هذا الدرس باستخدام الصيغة المناسبة.
لو سينت>أحيث -1 أ≥1 إذن أركسين أ + 2πن< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
تعلم الصيغ!
وأخيرًا: هل تعلم أن الرياضيات تعريفات وقواعد وصيغ؟!
بالطبع تفعل! والأكثر فضولاً بعد أن درس هذا المقال وشاهد الفيديو صرخ: "كم من الوقت وصعب! هل هناك صيغة تسمح لك بحل هذه المتباينات دون أي رسوم بيانية أو دوائر؟ نعم، بالطبع هناك!
لحل متباينات النموذج: خطيئة (-1≤أ≥1) الصيغة صالحة:
— π — قوسسين أ + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
قم بتطبيقه على الأمثلة التي تمت مناقشتها وستحصل على الإجابة بشكل أسرع!
خاتمة: تعلم الصيغ والأصدقاء!
الصفحة 1 من 1 1
المتباينات هي علاقات على الشكل a › b، حيث a وb عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير واحد على الأقل. يمكن أن تكون عدم المساواة صارمة - ‹، › وغير صارمة - ≥، ≥.
المتباينات المثلثية هي تعبيرات بالشكل: F(x) › a، F(x) ‹ a، F(x) ≥ a، F(x) ≥ a، حيث يتم تمثيل F(x) بواحدة أو أكثر من الدوال المثلثية .
مثال على أبسط المتباينة المثلثية هو: sin x ‹ 1/2. من المعتاد حل مثل هذه المشكلات بيانيا، وقد تم تطوير طريقتين لهذا الغرض.
الطريقة الأولى - حل المتباينات عن طريق رسم دالة بيانيًا
للعثور على فترة تحقق شروط عدم المساواة sin x ‹ 1/2، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:
- على المحور الإحداثي، قم ببناء الشكل الجيبي y = sin x.
- على نفس المحور، ارسم رسمًا بيانيًا للوسيطة العددية للمتباينة، أي خط مستقيم يمر عبر النقطة ½ للإحداثي OY.
- ضع علامة على نقاط التقاطع بين الرسمين البيانيين.
- قم بتظليل الجزء الذي يمثل حل المثال.
عندما تكون العلامات الصارمة موجودة في التعبير، فإن نقاط التقاطع ليست حلولاً. بما أن أصغر فترة موجبة للجيب الجيبي هي 2π، فإننا نكتب الإجابة على النحو التالي:
إذا كانت علامات التعبير ليست صارمة، فيجب وضع الفاصل الزمني للحل بين قوسين مربعين - . يمكن أيضًا كتابة إجابة المشكلة على النحو التالي عدم المساواة: 
الطريقة الثانية - حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة
يمكن حل مشاكل مماثلة بسهولة باستخدام دائرة مثلثية. خوارزمية العثور على الإجابات بسيطة للغاية:
- تحتاج أولاً إلى رسم دائرة الوحدة.
- ثم عليك ملاحظة قيمة دالة القوس لحجة الجانب الأيمن من المتباينة على قوس الدائرة.
- من الضروري رسم خط مستقيم يمر عبر قيمة دالة القوس الموازية لمحور الإحداثي السيني (OX).
- بعد ذلك، كل ما تبقى هو اختيار قوس الدائرة، وهو مجموعة حلول المتباينة المثلثية.
- اكتب الإجابة في النموذج المطلوب.
دعونا نحلل مراحل الحل باستخدام مثال المتباينة sin x › 1/2. تم تحديد النقاط α و β على الدائرة - القيم
نقاط القوس الواقعة فوق α و β هي الفاصل الزمني لحل المتباينة المعطاة.
إذا كنت بحاجة إلى حل مثال لـ cos، فسيتم وضع قوس الإجابة بشكل متماثل على محور OX، وليس OY. يمكنك مراعاة الفرق بين فترات الحل لـ sin وcos في المخططات أدناه في النص.
تختلف الحلول الرسومية لمتباينات الظل وظل التمام عن كل من جيب التمام وجيب التمام. هذا يرجع إلى خصائص الوظائف.
ظل القوس القوسي وظل التمام هما مماسين لدائرة مثلثية، والحد الأدنى للفترة الإيجابية لكلا الدالتين هو π. لاستخدام الطريقة الثانية بسرعة وبشكل صحيح، عليك أن تتذكر على أي محور يتم رسم قيم sin وcos وtg وctg.
يعمل الظل المماس بالتوازي مع محور OY. إذا قمنا برسم قيمة arctan a على دائرة الوحدة، فستكون النقطة الثانية المطلوبة موجودة في الربع القطري. الزوايا
إنها نقاط توقف للدالة، حيث أن الرسم البياني يميل إليها، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
في حالة ظل التمام، يعمل الظل بالتوازي مع محور OX، وتنقطع الدالة عند النقطتين π و2π.
المتباينات المثلثية المعقدة
إذا تم تمثيل وسيطة دالة المتباينة ليس فقط بمتغير، ولكن بتعبير كامل يحتوي على مجهول، فإننا نتحدث عن متباينة معقدة. تختلف عملية وإجراءات حلها إلى حد ما عن الطرق الموضحة أعلاه. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للمتباينة التالية:
يتضمن الحل الرسومي بناء الجيوب الأنفية العادية y = sin x باستخدام قيم x المحددة بشكل تعسفي. لنحسب جدولًا بإحداثيات نقاط التحكم في الرسم البياني:
يجب أن تكون النتيجة منحنى جميل.
لجعل إيجاد الحل أسهل، دعونا نستبدل وسيطة الدالة المعقدة
