Cercul numeric pe planul de coordonate. Integrala definita

30.09.2019

Cercul numeric este un cerc unitar ale cărui puncte corespund unor numere reale.

Un cerc unitar este un cerc cu raza 1.

Vedere generală a cercului numeric.

1) Raza sa este luată ca unitate de măsură.

2) Diametrele orizontale și verticale sunt împărțite cerc numeric cu patru sferturi (vezi poza). Ele sunt numite, respectiv, primul, al doilea, al treilea și al patrulea trimestru.

3) Diametrul orizontal este notat cu AC, cu A fiind punctul extrem din dreapta.
Diametrul vertical este desemnat BD, cu B fiind punctul cel mai înalt.
Respectiv:

primul sfert este arcul AB

al doilea sfert – arc BC

al treilea sfert – arc CD

al patrulea sfert – arc DA

4) Punctul de pornire al cercului numeric este punctul A.

Numărarea de-a lungul cercului numeric se poate face fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic.
Numărarea din punctul A se numește în sens invers acelor de ceasornic direcție pozitivă.
Se numește numărătoarea din punctul A în sensul acelor de ceasornic direcție negativă.

Cercul numeric activat plan de coordonate.

Centrul razei cercului numeric corespunde originii (numărul 0).

Diametrul orizontal corespunde axei X, verticală – axe y.

Punctul de pornire A al cercului numeric este pe axă Xși are coordonatele (1; 0).

ValoriXȘiyîn sferturi de cerc numeric:

Valorile de bază ale cercului numeric:

Numele și locațiile principalelor puncte de pe cercul numeric:

Cum să vă amintiți numele cercurilor numerice.

Există mai multe modele simple care vă vor ajuta să vă amintiți cu ușurință numele de bază ale cercului numeric.

Înainte de a începe, permiteți-ne să vă reamintim: numărarea se efectuează în sens pozitiv, adică din punctul A (2π) în sens invers acelor de ceasornic.

1) Să începem cu punctele extreme de pe axele de coordonate.

Punctul de pornire este 2π (punctul cel mai din dreapta pe axă X, egal cu 1).

După cum știți, 2π este circumferința unui cerc. Aceasta înseamnă că o jumătate de cerc este 1π sau π. Axă Xîmparte cercul exact în jumătate. În consecință, punctul cel mai din stânga pe axă X egal cu -1 se numește π.

Cel mai înalt punct de pe axă la, egal cu 1, împarte semicercul superior în jumătate. Aceasta înseamnă că dacă un semicerc este π, atunci jumătate de semicerc este π/2.

În același timp, π/2 este și un sfert de cerc. Să numărăm trei astfel de sferturi de la primul la al treilea - și vom ajunge la punctul cel mai de jos al axei la, egal cu -1. Dar dacă include trei sferturi, atunci numele său este 3π/2.

2) Acum să trecem la punctele rămase. Vă rugăm să rețineți: toate punctele opuse au același numărător - și acestea sunt puncte opuse față de axă la, atât relativ la centrul axelor, cât și relativ la axă X. Acest lucru ne va ajuta să le cunoaștem valorile punctuale fără a înghesui.

Trebuie doar să vă amintiți semnificația punctelor din primul trimestru: π/6, π/4 și π/3. Și apoi vom „vedea” câteva modele:

- Raportat la axa yîn punctele celui de-al doilea trimestru, opus punctelor primului trimestru, numerele din numărători sunt cu 1 mai mici decât mărimea numitorilor. De exemplu, luați punctul π/6. Punctul opus acestuia în raport cu axa la are de asemenea 6 la numitor și 5 la numărător (1 mai puțin). Adică numele acestui punct este: 5π/6. Punctul opus lui π/4 are și 4 la numitor și 3 la numărător (1 mai mic decât 4) - adică este un punct 3π/4.
Punctul opus lui π/3 are și 3 la numitor și 1 mai puțin la numărător: 2π/3.

Punctul opus punctului π/4 are și el 4 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult: 5π/4.
Punctul opus punctului π/3 are și el 3 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult: 4π/3.

- Relativ la axa X(al patrulea sfert) treaba este mai complicata. Aici trebuie să adăugați la valoarea numitorului un număr care este cu 1 mai mic - această sumă va fi egală cu partea numerică a numărătorului punctului opus. Să începem din nou cu π/6. Să adăugăm la valoarea numitorului egală cu 6 un număr care este cu 1 mai mic decât acest număr - adică 5. Se obține: 6 + 5 = 11. Aceasta înseamnă că este opus axei X punctul va avea 6 la numitor și 11 la numărător - adică 11π/6.

Punctul π/4. Adăugăm la valoarea numitorului un număr cu 1 mai mic: 4 + 3 = 7. Aceasta înseamnă că este opus axei X punctul are 4 la numitor și 7 la numărător - adică 7π/4.
Punctul π/3. Numitorul este 3. Adăugăm la 3 un număr mai mic cu unu - adică 2. Obținem 5. Aceasta înseamnă că punctul opus are 5 la numărător - și acesta este punctul 5π/3.

3) Un alt model pentru punctele punctelor mijlocii ale sferturilor. Este clar că numitorul lor este 4. Să fim atenți la numărători. Numătorul mijlocului primului trimestru este 1π (dar nu este obișnuit să scrieți 1). Numătorul mijlocului celui de-al doilea trimestru este 3π. Numătorul mijlocului celui de-al treilea trimestru este 5π. Numătorul mijlocului celui de-al patrulea trimestru este 7π. Se pare că numărătorii sferturilor din mijloc conțin primele patru numere impare în ordine crescătoare:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Acest lucru este, de asemenea, foarte simplu. Deoarece punctele de mijloc ale tuturor sferturilor au 4 la numitor, le știm deja nume complete: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Caracteristicile cercului numeric. Comparație cu dreapta numerică.

După cum știți, pe linia numerică, fiecărui punct îi corespunde un singur număr. De exemplu, dacă punctul A de pe o linie este egal cu 3, atunci nu mai poate fi egal cu niciun alt număr.

Este diferit pe cercul numeric pentru că este un cerc. De exemplu, pentru a ajunge de la punctul A al unui cerc la punctul M, o puteți face ca pe o linie dreaptă (trecând doar un arc), sau puteți ocoli un întreg cerc și apoi ajungeți la punctul M. Concluzie:

Fie punctul M egal cu un număr t. După cum știm, circumferința unui cerc este 2π. Aceasta înseamnă că putem scrie un punct pe un cerc t în două moduri: t sau t + 2π. Acestea sunt valori echivalente.
Adică t = t + 2π. Singura diferență este că în primul caz ați ajuns imediat la punctul M fără a face un cerc, iar în al doilea caz ați făcut un cerc, dar ați ajuns în același punct M. Puteți face două, trei sau două sute de astfel de cercuri . Dacă notăm numărul de cercuri prin literă k, atunci obținem o nouă expresie:
t = t + 2π k.

De aici formula:

Ecuația cercului numeric
(a doua ecuație este în secțiunea „Sinus, cosinus, tangent, cotangent”):

x 2 + y 2 = 1

Data: Lecția1
subiect: Cercul numeric pe o linie de coordonate

Obiective: introducerea conceptului de model de cerc numeric în sistemele de coordonate carteziene și curbilinii; dezvolta capacitatea de a găsi coordonate carteziene punctele cercului numeric și efectuați acțiunea inversă: cunoscând coordonatele carteziene ale punctului, determinați-l valoare numerica pe cercul numeric.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Explicarea noului material.

1. După ce am plasat cercul numeric în sistemul de coordonate carteziene, analizăm în detaliu proprietățile punctelor de pe cercul numeric situate în diferite sferturi de coordonate.

Pentru un punct M cerc numeric folosește notația M(t), dacă vorbim de coordonata curbilinie a unui punct M, sau înregistrare M (X;la), dacă vorbim de coordonatele carteziene ale unui punct.

2. Aflarea coordonatelor carteziene ale punctelor „bune” de pe cercul numeric. Este vorba despre trecerea de la record M(t) La M (X;la).

3. Găsirea semnelor coordonatelor punctelor „rele” de pe cercul numeric. Dacă, de exemplu, M(2) = M (X;la), Acea X 0; la 0. (şcolarii învaţă să identifice semne funcții trigonometrice de-a lungul sferturilor cercului numeric.)

1. Nr. 5.1 (a; b), Nr. 5.2 (a; b), Nr. 5.3 (a; b).

Acest grup sarcinile vizează dezvoltarea capacității de a găsi coordonatele carteziene ale punctelor „bune” pe cercul numeric.

Soluţie:

№ 5.1 (A).

2. Nr. 5.4 (a; b), Nr. 5.5 (a; b).

Acest grup de sarcini are ca scop dezvoltarea abilităților de a găsi coordonatele curbilinii ale unui punct folosind coordonatele carteziene ale acestuia.

Soluţie:

№ 5.5 (b).

3. Nr. 5.10 (a; b).

Acest exercițiu are ca scop dezvoltarea capacității de a găsi coordonatele carteziene ale punctelor „rele”.

V. Rezumatul lecției.

Întrebări pentru studenți:

– Ce este un model – un cerc numeric pe un plan de coordonate?

– Cum, cunoscând coordonatele curbilinii ale unui punct de pe cercul numeric, găsim coordonatele carteziene ale acestuia și invers?

Teme pentru acasă: Nr. 5.1 (c; d) – 5.5 (c; d), Nr. 5.10 (c; d).

Data: Lecția2
TEMA: Rezolvarea problemelor folosind modelul „cerc numeric pe planul de coordonate”.

Obiective: să continue dezvoltarea capacității de a trece de la coordonatele curbilinii ale unui punct dintr-un cerc numeric la coordonatele carteziene; dezvolta capacitatea de a găsi puncte pe cercul numeric ale căror coordonate satisfac o ecuație sau o inegalitate dată.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Lucru oral.

1. Numiți coordonatele curbilinii și carteziene ale punctelor de pe cercul numeric.

2. Comparați arcul de pe cerc și notația analitică a acestuia.

III. Explicarea noului material.

2. Aflarea punctelor pe cercul numeric ale cărui coordonate satisfac ecuația dată.

Să ne uităm la exemplele 2 și 3 cu p. 41–42 manuale.

Importanța acestui „joc” este evidentă: elevii se pregătesc să rezolve probleme simple ecuații trigonometrice tip Pentru a înțelege esența problemei, ar trebui în primul rând să-i învățați pe școlari să rezolve aceste ecuații folosind cercul numeric, fără a trece la formule gata făcute.

Când luăm în considerare un exemplu de găsire a unui punct cu o abscisă, atragem atenția elevilor asupra posibilității de a combina două serii de răspunsuri într-o singură formulă:

3. Aflarea punctelor pe cercul numeric ale cărui coordonate satisfac o inegalitate dată.

Să ne uităm la exemplele 4–7 de la p. 43–44 manuale. Rezolvând astfel de probleme, pregătim elevii să rezolve inegalități trigonometrice drăguț

După analizarea exemplelor, elevii pot formula în mod independent algoritm soluții la inegalitățile de tipul indicat:

1) de la modelul analitic trecem la modelul geometric - arc DOMNUL cerc numeric;

2) alcătuiesc nucleul evidenței analitice DOMNUL; pentru arcul pe care îl obținem

3) faceți o înregistrare generală:

IV. Formarea deprinderilor și abilităților.

grupa 1. Găsirea unui punct pe cercul numeric cu o coordonată care satisface o ecuație dată.

Nr. 5.6 (a; b) – Nr. 5.9 (a; b).

În procesul de lucru asupra acestor exerciții, exersăm execuția pas cu pas: înregistrarea miezului unui punct, înregistrarea analitică.

a 2-a grupă. Găsirea punctelor pe cercul numeric cu o coordonată care satisface o inegalitate dată.

Nr. 5.11 (a; b) – 5.14 (a; b).

Principala abilitate pe care școlarii trebuie să o dobândească atunci când efectuează aceste exerciții este întocmirea nucleului unei notații analitice a arcului.

V. Munca independentă.

Opțiune 1

1. Marcați un punct pe cercul numeric care corespunde unui număr dat și găsiți coordonatele carteziene ale acestuia:

2. Găsiți puncte pe cercul numeric cu o abscisă dată și notați ce numere t se potrivesc.

3. Marcați pe cercul numeric punctele cu o ordonată care satisface inegalitatea și notați, folosind inegalitatea dublă, care numere t se potrivesc.

Opțiune 2

1. Marcați un punct pe cercul numeric care corespunde unui număr dat și găsiți coordonatele carteziene ale acestuia:

2. Găsiți puncte pe cercul numeric cu o ordonată dată la= 0,5 și notează ce numere t se potrivesc.

3. Marcați pe cercul numărului punctele cu abscisă care satisfac inegalitatea și notați, folosind inegalitatea dublă, care numere t se potrivesc.

VI. Rezumatul lecției.

Întrebări pentru studenți:

– Cum să găsiți un punct pe un cerc a cărui abscisă satisface o ecuație dată?

– Cum să găsiți un punct pe un cerc a cărui ordonată satisface o ecuație dată?

– Denumiți algoritmul de rezolvare a inegalităților folosind cercul numeric.

Teme pentru acasă: Nr. 5.6 (c; d) – Nr. 5.9 (c; d),

Nr. 5.11 (c; d) – Nr. 5.14 (c; d).

Cercul numeric este un cerc unitar ale cărui puncte corespund unor numere reale.

Un cerc unitar este un cerc cu raza 1.

Vedere generală a cercului numeric.

1) Raza sa este luată ca unitate de măsură.

2) Diametrele orizontale și verticale împart cercul numeric în patru sferturi. Ele sunt numite, respectiv, primul, al doilea, al treilea și al patrulea trimestru.

3) Diametrul orizontal este notat cu AC, cu A fiind extrema dreapta punct.
Diametrul vertical este desemnat BD, cu B fiind punctul cel mai înalt.
Respectiv:

primul sfert este arcul AB

al doilea sfert - arc î.Hr

al treilea sfert - arc CD

al patrulea sfert - arc DA

4) Punctul de pornire al cercului numeric este punctul A.

Numărarea de-a lungul cercului numeric se poate face fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic.

Numărând de la punctul A împotrivaîn sensul acelor de ceasornic se numește direcție pozitivă.

Numărând de la punctul A De numit în sensul acelor de ceasornic direcție negativă.

Cercul numeric pe planul de coordonate.

Centrul razei cercului numeric corespunde originii (numărul 0).

Diametrul orizontal corespunde axei X, axa verticala y.

Punctul de plecare Un cerc numerictee-ul este pe axăXși are coordonatele (1; 0).

Numele și locațiile principalelor puncte de pe cercul numeric:

Cum să vă amintiți numele cercurilor numerice.

Există mai multe modele simple care vă vor ajuta să vă amintiți cu ușurință numele de bază ale cercului numeric.

Înainte de a începe, permiteți-ne să vă reamintim: numărarea se efectuează în sens pozitiv, adică din punctul A (2π) în sens invers acelor de ceasornic.

1) Să începem cu punctele extreme de pe axele de coordonate.

Punctul de pornire este 2π (punctul cel mai din dreapta pe axă X, egal cu 1).

Cel mai înalt punct de pe axă la, egal cu 1, împarte semicercul superior în jumătate. Aceasta înseamnă că dacă un semicerc este π, atunci jumătate de semicerc este π/2.

2) Acum să trecem la punctele rămase. Vă rugăm să rețineți: toate punctele opuse au același numitor- si acestea sunt puncte opuse si relativ la axa la, atât relativ la centrul axelor, cât și relativ la axă X. Acest lucru ne va ajuta să le cunoaștem valorile punctuale fără a înghesui.

Trebuie doar să vă amintiți semnificația punctelor din primul trimestru: π/6, π/4 și π/3. Și apoi vom „vedea” câteva modele:

- Relativ la axa la în punctele celui de-al doilea trimestru, opus punctelor primului trimestru, numerele din numărători sunt cu 1 mai mici decât mărimea numitorilor. De exemplu, luați punctul π/6. Punctul opus acestuia în raport cu axa la are de asemenea 6 la numitor și 5 la numărător (1 mai puțin). Adică numele acestui punct este: 5π/6. Punctul opus lui π/4 are și 4 la numitor și 3 la numărător (1 mai mic decât 4) - adică este un punct 3π/4.
Punctul opus lui π/3 are și 3 la numitor și 1 mai puțin la numărător: 2π/3.

- Raportat la centrul axelor de coordonate totul este invers: numerele din numărătorii punctelor opuse (în al treilea trimestru) sunt cu 1 mai mari decât valoarea numitorilor. Să luăm din nou punctul π/6. Punctul opus acestuia față de centru are și el 6 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult - adică este 7π/6.
Punctul opus punctului π/4 are și el 4 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult: 5π/4.
Punctul opus punctului π/3 are și el 3 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult: 4π/3.

3) Un alt model pentru punctele punctelor mijlocii ale sferturilor. Este clar că numitorul lor este 4. Să fim atenți la numărători. Numătorul mijlocului primului trimestru este 1π (dar nu este obișnuit să scrieți 1). Numătorul mijlocului celui de-al doilea trimestru este 3π. Numătorul mijlocului celui de-al treilea trimestru este 5π. Numătorul mijlocului celui de-al patrulea trimestru este 7π. Se pare că numărătorii sferturilor din mijloc conțin primele patru numere impare în ordine crescătoare:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Acest lucru este, de asemenea, foarte simplu. Deoarece punctele de mijloc ale tuturor sferturilor au 4 la numitor, știm deja numele lor complete: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Caracteristicile cercului numeric. Comparație cu dreapta numerică.

După cum știți, pe linia numerică, fiecărui punct îi corespunde un singur număr. De exemplu, dacă punctul A de pe o linie este egal cu 3, atunci nu mai poate fi egal cu niciun alt număr.

Fie punctul M egal cu un număr t. După cum știm, circumferința unui cerc este 2π. Aceasta înseamnă că putem scrie un punct pe un cerc t în două moduri: t sau t + 2π. Acestea sunt valori echivalente.
Adică t = t + 2π. Singura diferență este că în primul caz ați ajuns imediat la punctul M fără a face un cerc, iar în al doilea caz ați făcut un cerc, dar ați ajuns în același punct M. Puteți face două, trei sau două sute de astfel de cercuri . Dacă notăm numărul de cercuri prin literă n, atunci obținem o nouă expresie:
t = t + 2π n.

De aici formula:

Destul de mult timp este dedicat cercului numeric în clasa a 10-a. Acest lucru se datorează semnificației acestui obiect matematic pentru întregul curs de matematică.

Mare valoare pentru buna absorbtie materialul are alegerea corectă a mijloacelor didactice. Cele mai eficiente astfel de instrumente includ tutoriale video. ÎN În ultima vreme ating apogeul popularității. Prin urmare, autorul nu a rămas în urmă vremurilor și a dezvoltat un manual atât de minunat pentru a ajuta profesorii de matematică - o lecție video pe tema „Cercul numeric pe planul de coordonate”.

Această lecție durează 15:22 minute. Este practic timp maxim pe care un profesor îl poate cheltui pentru a explica în mod independent materialul pe tema. Deoarece este nevoie de atât de mult timp pentru a explica materialul nou, este necesar să selectați cele mai eficiente sarcini și exerciții pentru consolidare și, de asemenea, să selectați o altă lecție în care elevii vor rezolva sarcini pe această temă.

Lecția începe cu o imagine a unui cerc numeric într-un sistem de coordonate. Autorul construiește acest cerc și își explică acțiunile. Apoi autorul numește punctele de intersecție ale cercului numeric cu axele de coordonate. În cele ce urmează se explică ce coordonate vor avea punctele cercului în diferite sferturi.

După aceasta, autorul ne reamintește cum arată ecuația unui cerc. Iar ascultătorilor li se prezintă două modele care înfățișează câteva puncte de pe cerc. Datorită acestui fapt, în pasul următor autorul arată cum să găsească coordonatele punctelor de pe cerc corespunzătoare anumitor numere marcate pe șabloane. Aceasta produce un tabel de valori pentru variabilele x și y din ecuația unui cerc.

În continuare, ne propunem să luăm în considerare un exemplu în care este necesar să se determine coordonatele punctelor dintr-un cerc. Înainte de a începe rezolvarea exemplului, se introduce o remarcă care ajută la rezolvarea acestuia. Și apoi pe ecran apare o soluție completă, clar structurată și ilustrată. Există și tabele aici care fac mai ușor de înțeles esența exemplului.

Apoi sunt luate în considerare încă șase exemple, care consumă mai puțin timp decât primul, dar nu mai puțin importante și reflectă ideea principală a lecției. Aici soluțiile sunt prezentate integral, cu o poveste detaliată și elemente de claritate. Și anume, soluția conține desene care ilustrează progresul soluției și o notație matematică care formează alfabetizarea matematică a elevilor.

Profesorul se poate limita la exemplele discutate în lecție, dar acest lucru poate să nu fie suficient pentru o învățare de înaltă calitate a materialului. Prin urmare, alegerea sarcinilor de consolidat este pur și simplu extrem de importantă.

Lecția poate fi utilă nu numai pentru profesori, al căror timp este limitat în mod constant, ci și pentru elevi. Mai ales pentru cei care primesc educație în familie sau se angajează în autoeducație. Materialele pot fi folosite de acei elevi care au ratat o lecție pe această temă.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Tema lecției noastre este „CERCUL NUMERIC PE PLAN DE COORDONATE”

Suntem deja familiarizați cu sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy (x o y). În acest sistem de coordonate, vom poziționa cercul numeric astfel încât centrul cercului să fie aliniat cu originea coordonatelor, iar raza acestuia să fie luată ca un segment de scară.

Punctul de pornire A al cercului numeric este combinat cu un punct cu coordonatele (1;0), B - cu un punct (0;1), C - cu (-1;0) (minus unu, zero) și D - cu (0; - 1)(zero, minus unu).

(vezi figura 1)

Deoarece fiecare punct al cercului numeric are propriile coordonate în sistemul xOy (x o y), atunci pentru punctele primului trimestru yx este mai mare decât zero și y este mai mare decât zero;

Al doilea trimestru ICH mai putin de zeroși jocul este mai mare decât zero,

pentru punctele din al treilea trimestru ikx este mai mic decât zero și yk este mai mic decât zero,

iar pentru al patrulea trimestru ikx este mai mare decât zero și yk este mai mic decât zero

Pentru orice punct E (x;y) (cu coordonatele x, y) al cercului numeric, inegalitățile -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic decât sau egal cu unu; y este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic sau egal cu unu).

Reamintim că ecuația unui cerc de rază R cu centrul la origine are forma x 2 + y 2 = R 2 (x pătrat plus y pătrat este egal cu er pătrat). Și pentru cercul unitar R = 1, deci obținem x 2 + y 2 = 1

(x pătrat plus y pătrat este egal cu unu).

Să găsim coordonatele punctelor de pe cercul numeric, care sunt prezentate pe două scheme (vezi Fig. 2, 3)

Fie punctul E, care îi corespunde

(pi cu patru) - mijlocul primului trimestru prezentat în figură. Din punctul E coborâm perpendiculara EK pe dreapta OA și considerăm triunghiul OEK. Unghiul AOE =45 0, deoarece arcul AE este jumătate din arcul AB. Prin urmare, triunghiul OEK este un triunghi dreptunghic isoscel, pentru care OK = EC. Aceasta înseamnă că abscisa și ordonata punctului E sunt egale, adică. x este egal cu jocul. Pentru a găsi coordonatele punctului E, rezolvăm sistemul de ecuații: (x este egal cu y - prima ecuație a sistemului și x pătrat plus y pătrat este egal cu unu - a doua ecuație a sistemului). ecuația sistemului, în loc de x, înlocuim y, obținem 2y 2 = 1 (două y pătrat este egal cu unu), de unde y = = (y este egal cu unul împărțit la rădăcina a doi este egal cu rădăcina a doi împărțită la doi) (ordonata este pozitivă) Aceasta înseamnă că punctul E din sistemul de coordonate dreptunghiular are coordonatele (,) (rădăcina a doi împărțită la doi, rădăcina a doi împărțită la doi).

Raționând într-un mod similar, găsim coordonatele punctelor corespunzătoare altor numere din primul aspect și obținem: punctul corespunzător este cu coordonatele (- ,) (minus rădăcina a doi împărțită la doi, rădăcina a doi împărțită la doi) ; pentru - (- ,-) (minus rădăcina a doi împărțit la doi, minus rădăcina a doi împărțit la doi); pentru (șapte pi peste patru) (,)(rădăcina doi împărțit la doi, minus rădăcina doi împărțit la doi).

Fie punctul D să corespundă cu (Fig. 5). Să lăsăm perpendiculara de la DP(de pe) la OA și să luăm în considerare triunghiul ODP. Ipotenuza acestui triunghi OD este egală cu raza cercului unitar, adică unu, iar unghiul DOP este egal cu treizeci de grade, deoarece arcul AD = digi AB (a de este egal cu o treime a be), și arcul AB este egal cu nouăzeci de grade. Prin urmare, DP = (de pe este egal cu o jumătate O de este egal cu o jumătate) Deoarece piciorul situat opus unghiului de treizeci de grade este egal cu jumătate din ipotenuză, adică y = (y este egal cu o jumătate) . Aplicând teorema lui Pitagora, obținem OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe pătrat este egal cu o de pătrat minus de pe pătrat), dar OR = x (o pe este egal cu x). Aceasta înseamnă x 2 = OD 2 - DP 2 =

aceasta înseamnă x 2 = (x pătrat este egal cu trei sferturi) și x = (x este egal cu rădăcina de trei ori doi).

X este pozitiv, deoarece este in primul trimestru. Am descoperit că punctul D dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular are coordonatele (,) rădăcină a lui trei împărțite la doi, o jumătate.

Raționând într-un mod similar, vom găsi coordonatele punctelor corespunzătoare altor numere ale celui de-al doilea aspect și vom scrie toate datele obținute în tabele:

Să ne uităm la exemple.

EXEMPLUL 1. Aflați coordonatele punctelor de pe cercul numeric: a) C 1 ();

b) C2 (); c) C3 (41π); d) C4 (- 26π). (tse unu corespunzând la treizeci și cinci pi cu patru, tse doi corespunzând minus patruzeci și nouă pi cu trei, tse trei corespunzând la patruzeci și unu pi, tse patru corespunzând minus douăzeci și șase pi).

Soluţie. Să folosim afirmația obținută mai devreme: dacă punctul D al cercului numeric corespunde numărului t, atunci acesta corespunde oricărui număr de forma t + 2πk(te plus două vârfuri), unde ka este orice număr întreg, adică. kϵZ (ka aparține lui z).

a) Se obține = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (treizeci și cinci pi ori patru este egal cu treizeci și cinci ori patru, înmulțit cu pi este egal cu suma de opt și trei sferturi, înmulțit cu pi este egal trei pi cu patru plus produsul a doi pi cu patru).Aceasta înseamnă că numărul treizeci și cinci pi cu patru corespunde aceluiași punct din cercul numeric ca și numărul trei pi cu patru. Folosind Tabelul 1, obținem C 1 () = C 1 (- ;) .

b) Similar cu coordonatele C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Aceasta înseamnă că numărul

corespunde aceluiași punct de pe cercul numeric cu numărul. Și numărul corespunde aceluiași punct de pe cercul numeric ca și numărul

(afișați al doilea aspect și tabelul 2). Pentru un punct avem x = , y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Aceasta înseamnă că numărul 41π corespunde aceluiași punct de pe cercul numeric ca și numărul π - acesta este un punct cu coordonate (-1; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), adică numărul - 26π corespunde aceluiași punct de pe cercul numeric ca și numărul zero - acesta este un punct cu coordonate (1;0).

EXEMPLU 2. Găsiți puncte pe cercul numeric cu ordonata y =

Soluţie. Linia dreaptă y = intersectează cercul numeric în două puncte. Un punct corespunde unui număr, al doilea punct corespunde unui număr,

Prin urmare, obținem toate punctele adăugând o revoluție completă 2πk unde k arată câte rotații complete face punctul, adică. primim,

iar pentru orice număr toate numerele de forma + 2πk. Adesea în astfel de cazuri ei spun că au primit două serii de valori: + 2πk, + 2πk.

EXEMPLU 3. Găsiți puncte pe cercul numeric cu abscisă x = și notați căror numere t corespund.

Soluţie. Drept X= intersectează cercul numeric în două puncte. Un punct corespunde unui număr (vezi al doilea aspect),

și deci orice număr de forma + 2πk. Iar al doilea punct corespunde unui număr și, prin urmare, oricărui număr de forma + 2πk. Aceste două serii de valori pot fi acoperite într-o singură intrare: ± + 2πk (plus minus doi pi cu trei plus doi pi).

EXEMPLU 4. Găsiți puncte cu ordonată pe cercul numeric la> și notează căror numere t corespund.

Linia dreaptă y = intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Și inegalitatea y > corespunde punctelor arcului deschis MR, aceasta înseamnă arce fără capete (adică fără u), când se deplasează în jurul cercului în sens invers acelor de ceasornic. , începând din punctul M și terminând în punctul P. Aceasta înseamnă că nucleul notației analitice a arcului MR este inegalitatea< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

EXEMPLUL5. Găsiți punctele ordonate pe cercul numeric la < и записать, каким числам t они соответствуют.

Linia dreaptă y = intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Și inegalitatea y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

EXEMPLU 6. Găsiți puncte cu abscisă pe cercul numeric X> și notează căror numere t corespund.

Linia dreaptă x = intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Inegalitatea x > corespunde punctelor arcului deschis PM atunci când se deplasează de-a lungul cercului în sens invers acelor de ceasornic cu începutul în punctul P, care corespunde, și sfârșitul în punctul M, care corespunde. Aceasta înseamnă că nucleul notației analitice a arcului PM este inegalitatea< t <

(te este mai mare decât minus doi pi pe trei, dar mai mic de doi pi pe trei), iar notația analitică a arcului în sine are forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

EXEMPLU 7. Găsiți puncte cu abscisă pe cercul numeric X < и записать, каким числам t они соответствуют.

Linia dreaptă x = intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Inegalitatea x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te este mai mult de doi pi pe trei, dar mai mic de patru pi pe trei), iar notația analitică a arcului în sine are forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

În acest articol vom analiza în detaliu definiția cercului numeric, vom afla proprietatea sa principală și vom aranja numerele 1,2,3 etc. Aflați cum să marcați alte numere pe un cerc (inclusiv pi).

Cercul numeric numit cerc cu raza unitară ale cărui puncte corespund , aranjate după următoarele reguli:

1) Originea este în punctul extrem drept al cercului;

2) În sens invers acelor de ceasornic - sens pozitiv; în sensul acelor de ceasornic – negativ;

3) Dacă trasăm distanța \(t\) pe cerc în direcția pozitivă, atunci vom ajunge la un punct cu valoarea \(t\);

4) Dacă trasăm distanța \(t\) pe cerc în direcția negativă, atunci vom ajunge la un punct cu valoarea \(–t\).

De ce se numește cercul cerc numeric?
Pentru că are numere pe el. În acest fel, cercul este similar cu axa numerelor - pe cerc, ca și pe axă, există un punct specific pentru fiecare număr.

De ce știi ce este un cerc numeric?
Folosind cercul numeric, se determină valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor. Prin urmare, pentru a cunoaște trigonometria și a promova examenul de stat unificat cu peste 60 de puncte, trebuie să înțelegeți ce este un cerc numeric și cum să plasați puncte pe el.

Ce înseamnă cuvintele „...de raza unității...” în definiție?
Aceasta înseamnă că raza acestui cerc este egală cu \(1\). Și dacă construim un astfel de cerc cu centrul la origine, atunci se va intersecta cu axele în punctele \(1\) și \(-1\).

Nu trebuie să fie desenat mic; puteți modifica „dimensiunea” diviziunilor de-a lungul axelor, apoi imaginea va fi mai mare (vezi mai jos).

De ce raza este exact una? Acest lucru este mai convenabil, deoarece în acest caz, când se calculează circumferința folosind formula \(l=2πR\), obținem:

Lungimea cercului numeric este \(2π\) sau aproximativ \(6,28\).

Ce înseamnă „... ale căror puncte corespund numerelor reale”?
După cum am spus mai sus, pe cercul numeric pentru orice număr real va exista cu siguranță „locul” acestuia - un punct care corespunde acestui număr.

De ce să se determine originea și direcția pe cercul numeric?
Scopul principal al cercului numeric este de a determina în mod unic punctul său pentru fiecare număr. Dar cum puteți determina unde să puneți punctul dacă nu știți de unde să numărați și unde să vă mutați?

Aici este important să nu confundați originea pe linia de coordonate și pe cercul numeric - acestea sunt două sisteme de referință diferite! Și, de asemenea, nu confundați \(1\) pe axa \(x\) și \(0\) pe cerc - acestea sunt puncte pe diferite obiecte.

Care puncte corespund numerelor \(1\), \(2\), etc.?
Amintiți-vă, am presupus că cercul numeric are o rază de \(1\)? Acesta va fi segmentul nostru unitar (prin analogie cu axa numerelor), pe care îl vom reprezenta pe cerc.

Pentru a marca un punct pe cercul numeric corespunzător numărului 1, trebuie să mergeți de la 0 la o distanță egală cu raza în direcția pozitivă.

Pentru a marca un punct pe cerc corespunzător numărului \(2\), trebuie să parcurgeți o distanță egală cu două raze de la origine, astfel încât \(3\) să fie o distanță egală cu trei raze etc.

Când vă uitați la această imagine, este posibil să aveți 2 întrebări:
1. Ce se întâmplă când cercul „se termină” (adică facem o revoluție completă)?
Răspuns: să trecem la turul doi! Și când se termină al doilea, vom merge la al treilea și așa mai departe. Prin urmare, un număr infinit de numere poate fi trasat pe un cerc.

2. Unde vor fi numerele negative?
Răspuns: chiar acolo! Ele pot fi, de asemenea, aranjate, numărând de la zero numărul necesar de raze, dar acum în direcție negativă.

Din păcate, este dificil să notezi numere întregi pe cercul numeric. Acest lucru se datorează faptului că lungimea cercului numeric nu va fi egală cu un număr întreg: \(2π\). Și în locurile cele mai convenabile (în punctele de intersecție cu axele) vor exista și fracții, nu numere întregi

Articole similare: