Exemple de atribuiri de inegalități trigonometrice. Inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora

Majoritatea studentilor inegalități trigonometrice ne-a plăcut. Dar în zadar. După cum spunea un personaj,

„Doar că nu știi să le gătești”

Deci, cum să „gătim” și cu ce să trimitem inegalitatea cu sine ne vom da seama în acest articol. Vom decide într-un mod simplu– folosind un cerc unitar.

Deci, în primul rând, avem nevoie de următorul algoritm.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților cu sinus:

1. pe axa sinusului trasăm numărul $a$ și trasăm o dreaptă paralelă cu axa cosinusului până când se intersectează cu cercul;
2. punctele de intersecție ale acestei drepte cu cercul vor fi umbrite dacă inegalitatea nu este strictă și nu umbrite dacă inegalitatea este strictă;
3. zona de soluție a inegalității va fi situată deasupra liniei și până la cerc dacă inegalitatea conține semnul „$>$”, iar sub linie și până la cerc dacă inegalitatea conține semnul „$<$”;
4. pentru a găsi punctele de intersecție, rezolvăm ecuația trigonometrică $\sin(x)=a$, obținem $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. punând $n=0$, găsim primul punct de intersecție (este situat fie în primul, fie în al patrulea trimestru);
6. pentru a găsi al doilea punct, ne uităm în ce direcție trecem prin zonă până la al doilea punct de intersecție: dacă în direcție pozitivă, atunci ar trebui să luăm $n=1$, iar dacă în direcție negativă, atunci $n=- 1$;
7. ca răspuns, intervalul se notează de la punctul de intersecție mai mic $+ 2\pi n$ la cel mai mare $+ 2\pi n$.

Limitarea algoritmului

Important: d algoritm dat nu funcționează pentru inegalitățile de forma $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Cazuri speciale la rezolvarea inegalităților cu sinus

De asemenea, este important să rețineți următoarele cazuri, care sunt mult mai convenabile de rezolvat logic fără a utiliza algoritmul de mai sus.

Caz special 1. Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)\leq 1.$

Datorită faptului că gama de valori functie trigonometrica$y=\sin(x)$ nu este mai mare decât modulo $1$, atunci partea stanga inegalităților la orice$x$ din domeniul definiției (și domeniul definiției sinusului este toate numerele reale) nu este mai mare de $1$. Și, prin urmare, în răspuns scriem: $x \in R$.

Consecinţă:

$\sin(x)\geq -1.$

Cazul special 2. Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)< 1.$

Aplicând argumente similare cazului special 1, aflăm că partea stângă a inegalității este mai mică de $1$ pentru toți $x \in R$, cu excepția punctelor care sunt soluții la ecuația $\sin(x) = 1$. Rezolvând această ecuație, vom avea:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Și, prin urmare, în răspuns scriem: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Consecinţă: inegalitatea se rezolvă în mod similar

$\sin(x) > -1.$

Exemple de rezolvare a inegalităților folosind un algoritm.

Exemplul 1: Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Să marchem coordonata $\frac(1)(2)$ pe axa sinusoială.
2. Să desenăm o dreaptă paralelă cu axa cosinusului și care trece prin acest punct.
3. Să marchem punctele de intersecție. Ele vor fi umbrite pentru că inegalitatea nu este strictă.
4. Semnul de inegalitate este $\geq$, ceea ce înseamnă că pictăm zona de deasupra liniei, adică. semicerc mai mic.
5. Găsim primul punct de intersecție. Pentru a face acest lucru, transformăm inegalitatea în egalitate și o rezolvăm: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Setăm în continuare $n=0$ și găsim primul punct de intersecție: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Găsim al doilea punct. Zona noastră merge în direcția pozitivă din primul punct, ceea ce înseamnă că setăm $n$ egal cu $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Astfel, soluția va lua forma:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Exemplul 2: Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Să marchem coordonata $-\frac(1)(2)$ pe axa sinusului și să trasăm o dreaptă paralelă cu axa cosinusului și care trece prin acest punct. Să marchem punctele de intersecție. Nu vor fi umbrite, deoarece inegalitatea este strictă. Semnul de inegalitate $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

În plus, presupunând $n=0$, găsim primul punct de intersecție: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Zona noastră merge în direcția negativă din primul punct, ceea ce înseamnă că setăm $n$ egal cu $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Deci, soluția acestei inegalități va fi intervalul:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Acest exemplu nu poate fi rezolvat imediat folosind un algoritm. Mai întâi trebuie să-l transformi. Facem exact ceea ce am face cu o ecuație, dar nu uitați de semn. Împărțirea sau înmulțirea cu un număr negativ îl inversează!

Deci, să mutăm tot ce nu conține o funcție trigonometrică în partea dreaptă. Primim:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Să împărțim părțile din stânga și din dreapta la $-2$ (nu uitați de semn!). Vom avea:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Din nou avem o inegalitate pe care nu o putem rezolva folosind un algoritm. Dar aici este suficient să schimbi variabila:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Obținem o inegalitate trigonometrică care poate fi rezolvată folosind algoritmul:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Această inegalitate a fost rezolvată în Exemplul 1, deci să împrumutăm răspunsul de acolo:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Cu toate acestea, decizia nu s-a încheiat încă. Trebuie să ne întoarcem la variabila inițială.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Să ne imaginăm intervalul ca un sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

În partea stângă a sistemului există o expresie ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), care aparține intervalului. Limita stângă a intervalului este responsabilă pentru prima inegalitate, iar limita dreaptă este responsabilă pentru a doua. Mai mult, parantezele joacă un rol important: dacă paranteza este pătrată, atunci inegalitatea va fi relaxată, iar dacă este rotundă, atunci va fi strictă. sarcina noastră este să obținem $x$ în stânga în ambele inegalităţi.

Să mutăm $\frac(\pi)(6)$ din partea stângă în partea dreaptă, obținem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Simplificand, vom avea:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Înmulțind părțile stânga și dreaptă cu $4$, obținem:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Asamblând sistemul în interval, obținem răspunsul:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

Ministerul Educației al Republicii Belarus

Instituție educațională

„Universitatea de Stat Gomel

numit după Francysk Skaryna"

Facultatea de Matematică

Departamentul de Algebră și Geometrie

Acceptat pentru apărare

Cap Departamentul Shemetkov L.A.

Ecuații trigonometrice și inegalități

Lucrări de curs

Executor testamentar:

elev al grupei M-51

CM. Gorsky

Conducător științific Ph.D.-M.Sc.,

Lector superior

V.G. Safonov

Gomel 2008

INTRODUCERE

METODE DE BAZĂ PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR TRIGONOMETRICE

Factorizarea

Rezolvarea ecuațiilor prin conversia produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule cu trei argumente

Înmulțirea cu o funcție trigonometrică

ECUAȚII TRIGONOMETRICE NE-STANDARD

INEGALITATI TRIGONOMETRICE

SELECTAREA RĂDĂCINILOR

SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ

CONCLUZIE

LISTA SURSELOR UTILIZATE

În antichitate, trigonometria a apărut în legătură cu nevoile astronomiei, topografiei și construcțiilor, adică era de natură pur geometrică și reprezenta în principal<<исчисление хорд>>. De-a lungul timpului, unele momente analitice au început să se intercaleze în ea. În prima jumătate a secolului al XVIII-lea a avut loc o schimbare bruscă, după care trigonometria a luat o nouă direcție și a trecut spre analiza matematică. În acest moment relațiile trigonometrice au început să fie considerate funcții.

Ecuațiile trigonometrice sunt unul dintre cele mai dificile subiecte dintr-un curs de matematică școlar. Ecuațiile trigonometrice apar la rezolvarea problemelor din planimetrie, stereometrie, astronomie, fizică și alte domenii. Ecuațiile și inegalitățile trigonometrice se găsesc între sarcinile de testare centralizate an de an.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile trigonometrice și ecuațiile algebrice este că ecuațiile algebrice au un număr finit de rădăcini, în timp ce ecuațiile trigonometrice au un număr infinit, ceea ce complică foarte mult selecția rădăcinilor. O altă trăsătură specifică a ecuațiilor trigonometrice este forma non-unica de scriere a răspunsului.

Această teză este dedicată metodelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice.

Teza este formată din 6 secțiuni.

Prima secțiune oferă informații teoretice de bază: definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unele argumente; exprimarea funcțiilor trigonometrice în termenii altor funcții trigonometrice, ceea ce este foarte important pentru transformarea expresiilor trigonometrice, în special a celor care conțin funcții trigonometrice inverse; Pe lângă formulele trigonometrice de bază, binecunoscute din cursul școlar, sunt date formule care simplifică expresiile care conțin funcții trigonometrice inverse.

A doua secțiune prezintă metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Sunt luate în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice elementare, metoda factorizării și metodele de reducere a ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice. Datorită faptului că soluțiile ecuațiilor trigonometrice pot fi scrise în mai multe moduri, iar forma acestor soluții nu permite să se determine imediat dacă aceste soluții sunt identice sau diferite, ceea ce poate<<сбить с толку>> la rezolvarea testelor se are in vedere schema generala de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice si se considera in detaliu transformarea grupurilor de solutii generale a ecuatiilor trigonometrice.

A treia secțiune examinează ecuațiile trigonometrice non-standard, ale căror soluții se bazează pe abordarea funcțională.

A patra secțiune discută inegalitățile trigonometrice. Sunt discutate în detaliu metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare, atât pe cercul unitar, cât și prin metoda grafică. Este descris procesul de rezolvare a inegalităților trigonometrice neelementare prin inegalități elementare și metoda intervalelor, deja binecunoscută școlarilor.

Secțiunea a cincea prezintă cele mai dificile sarcini: atunci când este necesar nu numai să se rezolve o ecuație trigonometrică, ci și să se selecteze rădăcini din rădăcinile găsite care îndeplinesc o anumită condiție. Această secțiune oferă soluții pentru sarcinile tipice de selecție a rădăcinilor. Informațiile teoretice necesare pentru selectarea rădăcinilor sunt date: împărțirea unei mulțimi de numere întregi în submulțimi disjunse, rezolvarea ecuațiilor în numere întregi (diafantine).

A șasea secțiune prezintă sarcini pentru soluție independentă, prezentate sub forma unui test. Cele 20 de sarcini de testare conțin cele mai dificile sarcini care pot fi întâlnite în timpul testării centralizate.

Ecuații trigonometrice elementare

Ecuațiile trigonometrice elementare sunt ecuații de forma , unde --- una dintre funcțiile trigonometrice: , , , .

Ecuațiile trigonometrice elementare au un număr infinit de rădăcini. De exemplu, următoarele valori satisfac ecuația: , , , etc. Formula generală prin care se găsesc toate rădăcinile ecuației, unde , este următoarea:

Aici poate lua orice valori întregi, fiecare dintre ele corespunde unei rădăcini specifice a ecuației; în această formulă (precum şi în alte formule prin care se rezolvă ecuaţii trigonometrice elementare) se numesc parametru. De obicei, ei scriu , subliniind astfel că parametrul poate accepta orice valori întregi.

Soluțiile ecuației , unde , se găsesc prin formula

Ecuația se rezolvă folosind formula

iar ecuația este după formula

Să notăm mai ales câteva cazuri speciale de ecuații trigonometrice elementare, când soluția poate fi scrisă fără a folosi formule generale:

La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, perioada funcțiilor trigonometrice joacă un rol important. Prin urmare, prezentăm două teoreme utile:

Teorema Dacă --- perioada principală a funcției, atunci numărul este perioada principală a funcției.

Perioadele funcțiilor și se spune că sunt comensurabile dacă există numere naturale și că .

Teorema Dacă funcțiile periodice și , au proporționale și , atunci au o perioadă comună, care este perioada funcțiilor , , .

Teorema afirmă că perioada funcției , , , este și nu este neapărat perioada principală. De exemplu, perioada principală a funcțiilor și --- , și perioada principală a produsului lor --- .

Introducerea unui argument auxiliar

Prin modul standard de transformare a expresiilor formei este următoarea tehnică: fie --- unghiul dat de egalităţi , . Pentru oricare, un astfel de unghi există. Prin urmare . Dacă , sau , , , în alte cazuri.

Schema de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice

Schema de bază pe care o vom urma atunci când rezolvăm ecuațiile trigonometrice este următoarea:

rezolvarea unei ecuații date se reduce la rezolvarea ecuațiilor elementare. Rezolvare înseamnă: transformări, factorizare, înlocuire de necunoscute. Principiul călăuzitor este să nu-ți pierzi rădăcinile. Aceasta înseamnă că atunci când trecem la următoarea(e) ecuație(e), nu ne este frică de apariția unor rădăcini suplimentare (străine), ci ne pasă doar ca fiecare ecuație ulterioară a „lanțului” nostru (sau un set de ecuații în cazul ramificării). ) este o consecință a celei precedente. O metodă posibilă pentru selectarea rădăcinilor este testarea. Să observăm imediat că, în cazul ecuațiilor trigonometrice, dificultățile asociate cu selectarea rădăcinilor și verificarea, de regulă, cresc brusc în comparație cu ecuațiile algebrice. La urma urmei, trebuie să verificăm serii formate dintr-un număr infinit de termeni.

Mențiune specială trebuie făcută pentru înlocuirea necunoscutelor la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. În cele mai multe cazuri, după înlocuirea necesară, se obține o ecuație algebrică. Mai mult, ecuațiile nu sunt atât de rare încât, deși sunt trigonometrice în aparență, în esență nu sunt așa, deoarece după primul pas - schimbarea variabilelor - se transformă în algebrice, iar revenirea la trigonometrie are loc numai după etapa de rezolvare elementară. ecuații trigonometrice.

Permiteți-ne să vă reamintim încă o dată: înlocuirea necunoscutului ar trebui făcută cu prima ocazie; ecuația rezultată după înlocuire trebuie rezolvată până la sfârșit, inclusiv etapa de selectare a rădăcinilor și abia apoi revenită la necunoscutul inițial.

Una dintre caracteristicile ecuațiilor trigonometrice este că răspunsul poate fi scris, în multe cazuri, într-o varietate de moduri. Chiar și pentru a rezolva ecuația raspunsul poate fi scris astfel:

1) sub forma a doua serii: , , ;

2) în formă standard, care este o combinație a seriei de mai sus: , ;

3) pentru că , atunci răspunsul poate fi scris sub formă , . (În cele ce urmează, prezența parametrului , , sau în înregistrarea răspunsului înseamnă automat că acest parametru acceptă toate valorile întregi posibile. Vor fi specificate excepții.)

Evident, cele trei cazuri enumerate nu epuizează toate posibilitățile de scriere a răspunsului la ecuația luată în considerare (există la infinit de multe).

De exemplu, când egalitatea este adevărată . Prin urmare, în primele două cazuri, dacă , putem înlocui cu .

De obicei, răspunsul este scris pe baza punctului 2. Este util să ne amintim următoarea recomandare: dacă munca nu se termină cu rezolvarea ecuației, este încă necesar să se efectueze cercetări și să selecteze rădăcini, atunci cea mai convenabilă formă de înregistrare este indicat la punctul 1. (O recomandare similară ar trebui făcută pentru ecuație.)

Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează ceea ce s-a spus.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Cea mai evidentă cale este următoarea. Această ecuație se descompune în două: și . Rezolvând fiecare dintre ele și combinând răspunsurile obținute, găsim .

Altă cale. Din , atunci, înlocuirea și utilizarea formulelor de reducere a gradului. După mici transformări obținem , de unde .

La prima vedere, a doua formulă nu are avantaje speciale față de prima. Totuși, dacă luăm, de exemplu, atunci se dovedește că, i.e. ecuația are o soluție, în timp ce prima metodă ne conduce la răspuns . „Vezi” și dovedește egalitatea nu asa de usor.

Răspuns. .

Conversia și combinarea grupurilor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice

Vom lua în considerare o progresie aritmetică care se extinde la infinit în ambele direcții. Membrii acestei progresii pot fi împărțiți în două grupuri de membri, situate la dreapta și la stânga unui anumit membru numit membru central sau zero al progresiei.

Fixând unul dintre termenii unei progresii infinite cu un număr zero, va trebui să efectuăm o numerotare dublă pentru toți termenii rămași: pozitiv pentru termenii aflați în dreapta și negativ pentru termenii aflați în stânga zero.

În general, dacă diferența de progresie este termenul zero, formula pentru orice (al-lea) termen al unei progresii aritmetice infinite este:

Transformări de formule pentru orice termen al unei progresii aritmetice infinite

1. Dacă adăugați sau scădeți diferența de progresie la termenul zero, atunci progresia nu se va modifica, ci doar termenul zero se va muta, adică. Numerotarea membrilor se va modifica.

2. Dacă coeficientul unei valori variabile este înmulțit cu , atunci aceasta va avea ca rezultat doar o rearanjare a grupurilor de membri din dreapta și din stânga.

3. Dacă termeni succesivi ai unei progresii infinite

de exemplu, , , ..., , faceți termenii centrali ai progresiilor cu aceeași diferență egali cu:

apoi o progresie și o serie de progresii exprimă aceleași numere.

Exemplu Rândul poate fi înlocuit cu următoarele trei rânduri: , , .

4. Dacă progresiile infinite cu aceeași diferență au ca termeni centrali numere care formează o progresie aritmetică cu diferență, atunci aceste serii pot fi înlocuite cu o progresie cu diferență și cu un termen central egal cu oricare dintre termenii centrali ai acestor progresii, adică Dacă

apoi aceste progresii sunt combinate într-una singură:

Exemplu ... ambele sunt combinate într-un singur grup, deoarece .

Pentru a transforma grupurile care au soluții comune în grupuri care nu au soluții comune, aceste grupuri sunt descompuse în grupuri cu o perioadă comună, iar apoi se încearcă unirea grupurilor rezultate, excluzându-le pe cele repetate.

Factorizarea

Metoda de factorizare este următoarea: dacă

apoi fiecare soluție a ecuației

este soluția unui set de ecuații

Afirmația inversă este, în general, falsă: nu orice soluție a populației este o soluție a ecuației. Acest lucru se explică prin faptul că soluțiile ecuațiilor individuale pot să nu fie incluse în domeniul de definire al funcției.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Folosind identitatea trigonometrică de bază, reprezentăm ecuația sub formă

Răspuns. ; .

Transformarea sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Aplicând formula, obținem ecuația echivalentă

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.ÎN în acest caz,, înainte de a aplica formulele pentru suma funcțiilor trigonometrice, ar trebui să utilizați formula de reducere . Ca rezultat, obținem ecuația echivalentă

Răspuns. , .

Rezolvarea ecuațiilor prin conversia produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă

La rezolvarea unui număr de ecuații se folosesc formule.

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie.

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem o ecuație echivalentă:

Răspuns. .

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule de reducere

Atunci când se rezolvă o gamă largă de ecuații trigonometrice, formulele joacă un rol cheie.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem o ecuație echivalentă.

Răspuns. ; .

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule cu trei argumente

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem ecuația

Răspuns. ; .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Aplicând formulele de reducere a gradului obținem: . Aplicand obtinem:

Răspuns. ; .

Egalitatea funcțiilor trigonometrice cu același nume

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să transformăm ecuația.

Răspuns. .

Exemplu Se știe că și satisface ecuația

Găsiți suma.

Soluţie. Din ecuație rezultă că

Răspuns. .

Să luăm în considerare sumele formei

Aceste sume pot fi convertite într-un produs prin înmulțirea și împărțirea lor la, apoi obținem

Această tehnică poate fi folosită pentru a rezolva unele ecuații trigonometrice, dar trebuie avut în vedere că, în consecință, pot apărea rădăcini străine. Să rezumam aceste formule:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Se poate observa că mulțimea este o soluție a ecuației inițiale. Prin urmare, înmulțirea părților stânga și dreaptă ale ecuației cu nu va duce la apariția unor rădăcini suplimentare.

Avem .

Răspuns. ; .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să înmulțim părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu și să aplicăm formulele de conversie a produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă, obținem

Această ecuație este echivalentă cu combinația a două ecuații și , unde și .

Deoarece rădăcinile ecuației nu sunt rădăcinile ecuației, ar trebui să excludem . Aceasta înseamnă că în set este necesar să se excludă .

Răspuns.Și , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să transformăm expresia:

Ecuația se va scrie astfel:

Răspuns. .

Reducerea ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice

Reductibil la pătrat

Dacă ecuația este de forma

apoi înlocuirea o duce la pătrat, din moment ce () Și.

Dacă în locul termenului există , atunci înlocuirea necesară va fi .

Ecuația

se reduce la o ecuație pătratică

prezentare ca . Este ușor de verificat acela pentru care , nu sunt rădăcini ale ecuației, iar făcând substituția , ecuația se reduce la una pătratică.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să o mutam în partea stângă, să o înlocuim cu , și să o exprimăm prin și .

După simplificări obținem: . Împărțiți termen cu termen și faceți înlocuirea:

Revenind la , găsim .

Ecuații omogene în raport cu ,

Luați în considerare o ecuație de formă

unde , , , ..., , sunt numere reale. În fiecare termen din partea stângă a ecuației, gradele monomiilor sunt egale, adică suma gradelor de sinus și cosinus este aceeași și egală. Această ecuație se numește omogen relativ la și , iar numărul este numit indicator de omogenitate .

Este clar că dacă , atunci ecuația va lua forma:

ale căror soluții sunt valorile la care , adică numerele , . A doua ecuație scrisă între paranteze este și ea omogenă, dar gradele sunt cu 1 mai mici.

Dacă , atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației.

Când obținem: , iar partea stângă a ecuației (1) ia valoarea .

Deci, pentru , și , prin urmare putem împărți ambele părți ale ecuației la . Ca rezultat, obținem ecuația:

care, prin substituție, poate fi ușor redusă la algebric:

Ecuații omogene cu indice de omogenitate 1. Când avem ecuația .

Dacă , atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația , , de unde , .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație este omogenă de gradul I. Împărțim ambele părți la obținem: , , , .

Răspuns. .

Exemplu Când obținem o ecuație omogenă de formă

Soluţie.

Dacă , atunci împărțim ambele părți ale ecuației la , obținem ecuația , care poate fi ușor redus la pătrat prin substituție: . Dacă , atunci ecuația are rădăcini reale , . Ecuația inițială va avea două grupe de soluții: , , .

Dacă , atunci ecuația nu are soluții.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație este omogenă de gradul doi. Împărțim ambele părți ale ecuației la , obținem: . Fie , atunci , , . , , ; . . .

Răspuns. .

Ecuația se reduce la o ecuație de formă

Pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți identitatea

În special, ecuația este redusă la omogenă dacă o înlocuim cu , atunci obținem o ecuație echivalentă:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să transformăm ecuația într-una omogenă:

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu , obținem ecuația:

Fie , atunci ajungem la ecuația pătratică: , , , , .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să pătram ambele părți ale ecuației, ținând cont că au valori pozitive: , ,

Lasă să fie, apoi primim , , .

Răspuns. .

Ecuații rezolvate folosind identități

Este util să cunoașteți următoarele formule:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Folosind, primim

Răspuns.

Oferim nu formulele în sine, ci o metodă de derivare a acestora:

prin urmare,

La fel, .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să transformăm expresia:

Ecuația se va scrie astfel:

Acceptând, primim. , . Prin urmare

Răspuns. .

Substituție trigonometrică universală

Ecuația trigonometrică a formei

unde --- o funcție rațională cu ajutorul formulelor - , precum și cu ajutorul formulelor - poate fi redusă la o ecuație rațională în raport cu argumentele , , , , după care ecuația poate fi redusă la un rațional algebric ecuație cu privire la utilizarea formulelor de substituție trigonometrică universală

Trebuie remarcat faptul că utilizarea formulelor poate duce la o îngustare a OD a ecuației inițiale, deoarece nu este definită la puncte, deci în astfel de cazuri este necesar să se verifice dacă unghiurile sunt rădăcinile ecuației originale. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Conform condiţiilor sarcinii. Aplicând formulele și făcând substituția, obținem

de unde si deci .

Ecuații de formă

Ecuațiile de forma , unde --- un polinom, sunt rezolvate folosind modificări de necunoscute

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Făcând înlocuirea și ținând cont de asta, obținem

Unde , . --- rădăcină străină, deoarece . Rădăcinile ecuației sunt .

Utilizarea limitărilor caracteristicilor

În practica testării centralizate, nu este atât de rar să întâlnim ecuații a căror soluție se bazează pe funcțiile limitate și . De exemplu:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Deoarece , , atunci partea stângă nu depășește și este egală cu , dacă

Pentru a găsi valori care satisfac ambele ecuații, procedăm după cum urmează. Să rezolvăm una dintre ele, apoi dintre valorile găsite le vom selecta pe cele care o satisfac pe cealaltă.

Să începem cu al doilea: , . Apoi , .

Este clar că numai pentru numere pare vor exista .

Răspuns. .

O altă idee se realizează prin rezolvarea următoarei ecuații:

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să folosim proprietatea funcției exponențiale: , .

Adăugând aceste inegalități termen cu termen avem:

Prin urmare, partea stângă a acestei ecuații este egală dacă și numai dacă sunt îndeplinite două egalități:

adică poate prelua valorile , , , sau poate prelua valorile , .

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie., . Prin urmare, .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Să notăm , apoi din definiția funcției trigonometrice inverse pe care o avem Și .

Deoarece, atunci inegalitatea rezultă din ecuație, i.e. . De când și , atunci și . Totuși, de aceea.

Dacă și, atunci. Întrucât s-a stabilit anterior că , atunci .

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Gama de valori acceptabile ale ecuației este .

Mai întâi arătăm că funcția

Pentru oricare, poate lua doar valori pozitive.

Să ne imaginăm funcția astfel: .

Din moment ce , atunci are loc, i.e. .

Prin urmare, pentru a demonstra inegalitatea, este necesar să se arate că . În acest scop, să cubăm ambele părți ale acestei inegalități

Inegalitatea numerică rezultată indică faptul că . Dacă luăm în considerare și faptul că , atunci partea stângă a ecuației este nenegativă.

Să ne uităm acum la partea dreaptă a ecuației.

Deoarece , Acea

Cu toate acestea, se știe că . Rezultă că, i.e. partea dreaptă a ecuaţiei nu depăşeşte . S-a dovedit anterior că partea stângă a ecuației este nenegativă, astfel încât egalitatea în poate avea loc numai dacă ambele părți sunt egale, iar acest lucru este posibil numai dacă .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Să notăm și . Aplicând inegalitatea Cauci-Bunyakovsky, obținem . Rezultă că . Pe de altă parte, există . Prin urmare, ecuația nu are rădăcini.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să rescriem ecuația ca:

Răspuns. .

Metode funcționale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și combinate

Nu orice ecuație ca rezultat al transformărilor poate fi redusă la o ecuație de una sau alta formă standard, pentru care există o metodă specifică de soluție. În astfel de cazuri, se dovedește a fi util să folosiți astfel de proprietăți ale funcțiilor și ca monotonitate, mărginire, paritate, periodicitate etc. Deci, dacă una dintre funcții scade și a doua crește pe interval, atunci dacă ecuația are o rădăcină pe acest interval, această rădăcină este unică și apoi, de exemplu, poate fi găsită prin selecție. Dacă funcția este mărginită deasupra și , iar funcția este mărginită mai jos și , atunci ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Să transformăm ecuația inițială în formă

și rezolvați-l ca un pătratic relativ la . Atunci primim,

Să rezolvăm prima ecuație a populației. Ținând cont de natura limitată a funcției, ajungem la concluzia că ecuația poate avea doar rădăcină pe segment. Pe acest interval funcția crește, iar funcția scade. Prin urmare, dacă această ecuație are o rădăcină, atunci este unică. Găsim prin selecție.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Lasă și , atunci ecuația originală poate fi scrisă ca o ecuație funcțională. Deoarece funcția este impară, atunci . În acest caz, obținem ecuația.

Deoarece , și este monotonă pe , ecuația este echivalentă cu ecuația, i.e. , care are o singură rădăcină.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Pe baza teoremei derivatei unei funcții complexe, este clar că funcția descrescătoare (funcție descrescătoare, crescândă, descrescătoare). Din aceasta este clar că funcția definite pe , descrescătoare. Prin urmare, această ecuație are cel mult o rădăcină. Deoarece , Acea

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să considerăm ecuația pe trei intervale.

a) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația. Care nu are solutii pe interval, pentru ca , , A . Pe interval, ecuația originală, de asemenea, nu are rădăcini, deoarece , A .

b) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

ale căror rădăcini din interval sunt numerele , , , .

c) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

Care nu are soluții asupra intervalului, deoarece , și . Pe interval, ecuația nu are nicio soluție, deoarece , , A .

Răspuns. , , , .

Metoda simetriei

Metoda simetriei este convenabilă de utilizat atunci când formularea sarcinii necesită soluția unică a unei ecuații, inegalități, sistem etc. sau o indicație exactă a numărului de soluții. În acest caz, orice simetrie a expresiilor date ar trebui detectată.

De asemenea, este necesar să se țină cont de varietatea diferitelor tipuri posibile de simetrie.

La fel de importantă este respectarea strictă a etapelor logice în raționamentul cu simetrie.

De obicei, simetria ne permite să stabilim doar condițiile necesare și apoi trebuie să verificăm suficiența acestora.

Exemplu Găsiți toate valorile parametrului pentru care ecuația are o soluție unică.

Soluţie. Rețineți că și sunt funcții pare, deci partea stângă a ecuației este o funcție pară.

Aceasta înseamnă că dacă există o soluție pentru ecuație, atunci există și o soluție pentru ecuație. Dacă este singura soluție a ecuației, atunci necesar , .

Vom selecta posibil valori, necesitând ca aceasta să fie rădăcina ecuației.

Să observăm imediat că alte valori nu pot satisface condițiile problemei.

Dar nu se știe încă dacă toți cei selectați îndeplinesc într-adevăr condițiile sarcinii.

Adecvarea.

1), ecuația va lua forma .

2), ecuația va lua forma:

Este evident că, pentru toată lumea și . Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu sistemul:

Astfel, am demonstrat că pentru , ecuația are o soluție unică.

Răspuns. .

Soluție cu explorare a funcției

Exemplu Demonstrați că toate soluțiile ecuației

Numere întregi.

Soluţie. Perioada principală a ecuației originale este . Prin urmare, examinăm mai întâi această ecuație pe interval.

Să transformăm ecuația în forma:

Folosind un microcalculator obținem:

Dacă , atunci din egalitățile anterioare obținem:

După ce am rezolvat ecuația rezultată, obținem: .

Calculele efectuate fac posibilă presupunerea că rădăcinile ecuației aparținând segmentului sunt , și .

Testarea directă confirmă această ipoteză. Astfel, s-a dovedit că rădăcinile ecuației sunt doar numere întregi , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să găsim perioada principală a ecuației. Funcția are o perioadă de bază egală cu . Perioada principală a funcției este . Cel mai mic multiplu comun al lui și este egal cu . Prin urmare, perioada principală a ecuației este . Lăsa .

Evident, este o soluție a ecuației. Pe interval. Funcția este negativă. Prin urmare, alte rădăcini ale ecuației ar trebui căutate numai pe intervalele x și .

Folosind un microcalculator, găsim mai întâi valorile aproximative ale rădăcinilor ecuației. Pentru a face acest lucru, alcătuim un tabel cu valorile funcției pe intervalele si ; adică pe intervalele şi .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Din tabel sunt ușor de deslușit următoarele ipoteze: rădăcinile ecuației aparținând segmentului sunt numerele: ; ; . Testarea directă confirmă această ipoteză.

Răspuns. ; ; .

Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

La rezolvarea inegalităților trigonometrice de forma , unde este una dintre funcțiile trigonometrice, este convenabil să folosiți un cerc trigonometric pentru a reprezenta cât mai clar soluțiile inegalității și a scrie răspunsul. Principala metodă de rezolvare a inegalităților trigonometrice este reducerea acestora la cele mai simple inegalități de tip. Să ne uităm la un exemplu despre cum să rezolvăm astfel de inegalități.

Exemplu Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să desenăm un cerc trigonometric și să marchem pe el punctele pentru care ordonata depășește .

Soluția la această inegalitate va fi . De asemenea, este clar că dacă un anumit număr diferă de orice număr din intervalul specificat prin , atunci va fi, de asemenea, nu mai mic de . Prin urmare, trebuie doar să adăugați la capetele segmentului de soluție găsită. În cele din urmă, constatăm că soluțiile la inegalitatea inițială vor fi toate .

Răspuns. .

Pentru a rezolva inegalitățile cu tangentă și cotangentă, este util conceptul unei linii de tangente și cotangente. Acestea sunt liniile drepte și, respectiv (în figura (1) și (2)), tangente la cercul trigonometric.

Este ușor de observat că dacă construim o rază cu originea la originea coordonatelor, făcând un unghi cu direcția pozitivă a axei absciselor, atunci lungimea segmentului de la punctul până la punctul de intersecție al acestei raze cu linia tangentă este exact egală cu tangenta unghiului pe care această rază îl face cu axa absciselor. O observație similară are loc pentru cotangentă.

Exemplu Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să notăm , atunci inegalitatea va lua cea mai simplă formă: . Să considerăm un interval de lungime egal cu cea mai mică perioadă pozitivă (LPP) a tangentei. Pe acest segment, folosind dreapta tangentelor, stabilim ca . Să ne amintim acum ce trebuie adăugat deoarece funcțiile NPP. Asa de, . Revenind la variabilă, obținem că.

Răspuns. .

Este convenabil să se rezolve inegalitățile cu funcții trigonometrice inverse folosind grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice

Rețineți că dacă este o funcție periodică, atunci pentru a rezolva inegalitatea este necesar să găsiți soluția acesteia pe un segment a cărui lungime este egală cu perioada funcției. Toate soluțiile la inegalitatea inițială vor consta din valorile găsite, precum și din toate cele care diferă de cele găsite prin orice număr întreg de perioade ale funcției.

Să luăm în considerare soluția inegalității ().

Din moment ce , atunci inegalitatea nu are soluții. Dacă , atunci mulțimea soluțiilor inegalității este mulțimea tuturor numerelor reale.

Lăsa . Funcția sinus are cea mai mică perioadă pozitivă, astfel încât inegalitatea poate fi rezolvată mai întâi pe un segment de lungime, de exemplu, pe segment. Construim grafice ale funcțiilor și (). sunt date de inegalități de forma: și, de unde,

În această lucrare au fost luate în considerare metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, atât simple, cât și la nivel olimpic. Au fost luate în considerare principalele metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, atât specifice --- caracteristice doar pentru ecuațiile și inegalitățile trigonometrice --- cât și metodele funcționale generale de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților în raport cu ecuațiile trigonometrice.

Teza oferă informații teoretice de bază: definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; exprimarea funcțiilor trigonometrice în termenii altor funcții trigonometrice, ceea ce este foarte important pentru transformarea expresiilor trigonometrice, în special a celor care conțin funcții trigonometrice inverse; Pe lângă formulele trigonometrice de bază, binecunoscute din cursul școlar, sunt date formule care simplifică expresiile care conțin funcții trigonometrice inverse. Sunt luate în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice elementare, metoda factorizării și metodele de reducere a ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice. Datorită faptului că soluțiile ecuațiilor trigonometrice pot fi scrise în mai multe moduri, iar forma acestor soluții nu permite să se determine imediat dacă aceste soluții sunt identice sau diferite, se ia în considerare o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și transformarea a grupurilor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice este considerată în detaliu. Sunt discutate în detaliu metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare, atât pe cercul unitar, cât și prin metoda grafică. Este descris procesul de rezolvare a inegalităților trigonometrice neelementare prin inegalități elementare și metoda intervalelor, deja binecunoscută școlarilor. Sunt oferite soluții la sarcinile tipice pentru selectarea rădăcinilor. Informațiile teoretice necesare pentru selectarea rădăcinilor sunt date: împărțirea unei mulțimi de numere întregi în submulțimi disjunse, rezolvarea ecuațiilor în numere întregi (diafantine).

Rezultatele acestei teze pot fi folosite ca material educațional în pregătirea lucrărilor de curs și a tezelor, în pregătirea opțiunilor pentru școlari, iar lucrarea poate fi folosită și în pregătirea elevilor pentru examenele de admitere și testarea centralizată.

Vygodsky Ya.Ya., Manual de matematică elementară. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Matematica la examenul oral / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., ecuații/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.

Litvinenko V.N., Atelier de matematică elementară / Litvinenko V.N. --- M.: Educație, 1991.

Sharygin I.F., Curs opțional de matematică: rezolvarea de probleme / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Educație, 1991.

Bardushkin V., Ecuații trigonometrice. Selectarea rădăcinii/B. Bardushkin, A. Prokofiev.// Matematică, nr. 12, 2005 p. 23--27.

Vasilevsky A.B., Teme de lucru extracurricular la matematică/Vasilevsky A.B. --- Mn.: Asveta Poporului. 1988. --- 176 p.

Sapunov P. I., Transformarea și unirea grupelor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice / Sapunov P. I. // Educația matematică, numărul 3, 1935.

Borodin P., Trigonometrie. Materiale ale examenelor de admitere la Universitatea de Stat din Moscova [text]/P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematică nr. 1, 2005 p. 36--48.

Samusenko A.V., Matematică: greșeli tipice ale solicitanților: Manual de referință / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Liceu, 1991.

Azarov A.I., Metode funcționale și grafice pentru rezolvarea problemelor de examinare / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.

1.5 Inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora

1.5.1 Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple

Majoritatea autorilor manualelor moderne de matematică sugerează să începeți să luați în considerare acest subiect prin rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice. Principiul rezolvării celor mai simple inegalități trigonometrice se bazează pe cunoștințele și abilitățile de a determina pe un cerc trigonometric valorile nu numai ale principalelor unghiuri trigonometrice, ci și ale altor valori.

Între timp, rezolvarea inegalităților de forma , , , poate fi efectuată astfel: mai întâi găsim un interval () pe care această inegalitate este satisfăcută și apoi notăm răspunsul final adăugând la capetele intervalului găsit a număr care este un multiplu al perioadei sinusului sau cosinusului: ( ). În acest caz, valoarea este ușor de găsit, deoarece sau . Căutarea sensului se bazează pe intuiția elevilor, capacitatea lor de a observa egalitatea arcelor sau a segmentelor, profitând de simetria părților individuale ale graficului sinus sau cosinus. Și acest lucru depășește uneori capacitățile unui număr destul de mare de studenți. Pentru a depăși dificultățile remarcate, manualele în ultimii ani au folosit abordări diferite pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice simple, dar acest lucru nu a dus la nicio îmbunătățire a rezultatelor învățării.

De câțiva ani, am folosit cu succes formule pentru rădăcinile ecuațiilor corespunzătoare pentru a găsi soluții la inegalitățile trigonometrice.

Studiem acest subiect în felul următor:

1. Construim grafice și y = a, presupunând că .

Apoi notăm ecuația și soluția ei. Dând n 0; 1; 2, găsim cele trei rădăcini ale ecuației compilate: . Valorile sunt abscisa a trei puncte consecutive de intersecție ale graficelor și y = a. Este evident că inegalitatea este valabilă întotdeauna pentru intervalul (), iar inegalitatea este valabilă întotdeauna pentru intervalul ().

Adunând la capetele acestor intervale un număr care este un multiplu al perioadei sinusului, în primul caz obținem o soluție a inegalității sub forma: ; iar în al doilea caz, o soluție a inegalității sub forma:

Numai în contrast cu sinusul din formulă, care este o soluție a ecuației, pentru n = 0 obținem două rădăcini, iar a treia rădăcină pentru n = 1 sub forma . Și din nou, sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor și . În intervalul () inegalitatea este valabilă, în intervalul () inegalitatea

Acum nu este greu să notăm soluțiile la inegalități și . În primul caz obținem: ;

iar în al doilea: .

Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea sau, trebuie să creați ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Din formula rezultată, găsiți rădăcinile lui și și scrieți răspunsul la inegalitate sub forma: .

La rezolvarea inegalităților , din formula pentru rădăcinile ecuației corespunzătoare găsim rădăcinile și , și scriem răspunsul la inegalitate sub forma: .

Această tehnică vă permite să învățați toți elevii cum să rezolve inegalitățile trigonometrice, deoarece Această tehnică se bazează în întregime pe abilitățile pe care elevii le au o stăpânire puternică. Acestea sunt abilitățile de a rezolva probleme simple și de a găsi valoarea unei variabile folosind o formulă. În plus, devine complet inutilă rezolvarea cu atenție a unui număr mare de exerciții sub îndrumarea unui profesor pentru a demonstra tot felul de tehnici de raționament în funcție de semnul inegalității, valoarea modulului numărului a și semnul acestuia. . Iar procesul de rezolvare a inegalității în sine devine scurt și, ceea ce este foarte important, uniform.

Un alt avantaj al acestei metode este că vă permite să rezolvați cu ușurință inegalitățile chiar și atunci când partea dreaptă nu este o valoare de tabel de sinus sau cosinus.

Să demonstrăm acest lucru cu un exemplu specific. Să presupunem că trebuie să rezolvăm o inegalitate. Să creăm ecuația corespunzătoare și să o rezolvăm:

Să găsim valorile și .

Când n = 1

Când n = 2

Scriem răspunsul final la această inegalitate:

În exemplul considerat de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice, poate exista un singur dezavantaj - prezența unei anumite cantități de formalism. Dar dacă totul este evaluat numai din aceste poziții, atunci va fi posibil să se acuze formulele rădăcinilor ecuației pătratice și toate formulele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și multe altele de formalism.

Deși metoda propusă ocupă un loc demn în formarea deprinderilor de rezolvare a inegalităților trigonometrice, importanța și caracteristicile altor metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice nu pot fi subestimate. Acestea includ metoda intervalului.

Să luăm în considerare esența lui.

Set editat de A.G. Mordkovich, deși nu ar trebui să ignorați nici restul manualelor. § 3. Metodologia de predare a temei „Funcții trigonometrice” în cursul de algebră și începuturi de analiză În studiul funcțiilor trigonometrice la școală se pot distinge două etape principale: ü Cunoașterea inițială cu funcțiile trigonometrice...

În realizarea cercetării au fost rezolvate următoarele sarcini: 1) Au fost analizate manualele actuale de algebră și începuturile analizei matematice pentru a identifica metodele prezentate în acestea de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților iraționale. Analiza ne permite să tragem următoarele concluzii: ·în gimnaziu se acordă o atenție insuficientă metodelor de rezolvare a diverselor ecuații iraționale, în principal...

Cele mai simple inegalități trigonometrice de forma sin x>a stau la baza rezolvării inegalităților trigonometrice mai complexe.

Să luăm în considerare rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice de forma sin x>a pe cercul unitar.

1) la 0

Folosind asocierea cosinus-bun (ambele încep cu co-, ambele sunt „rotunde”), ne amintim că cosinus este x, respectiv sinus este y. De aici construim un grafic y=a - o linie dreaptă paralelă cu axa bou. Dacă inegalitatea este strictă, punctele de intersecție ale cercului unitar și dreapta y=a sunt perforate, dacă inegalitatea nu este strictă, pictăm peste puncte (cât de ușor este să ne amintim când este perforat un punct și când este umbrită, vezi). Cea mai mare dificultate în rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice este cauzată de găsirea corectă a punctelor de intersecție a cercului unitar și a dreptei y=a.

Primul punct este ușor de găsit - este arcsin a. Stabilim calea pe care mergem de la primul punct la al doilea. Pe linia y=a sinx=a, deasupra, deasupra liniei, sin x>a, iar dedesubt, sub linie, sin x a, avem nevoie de calea de sus. Astfel, de la primul punct, arcsin a, până la al doilea, mergem în sens invers acelor de ceasornic, adică în direcția de creștere a unghiului. Nu ajungem la punct. Cât de mult ne dor? Pe arcsin a. Deoarece nu am ajuns la n, atunci al doilea punct este mai mic decât n, ceea ce înseamnă că pentru a-l găsi, trebuie să scădem arcsina din n. Soluția inegalității sin x>a în acest caz este intervalul de la arcsin a la n-arcsin a. Deoarece perioada sinusului este 2n, pentru a lua în considerare toate soluțiile inegalității (și există un număr infinit de astfel de intervale), adăugăm 2n la fiecare capăt al intervalului, unde n este un număr întreg (n aparține la Z).

2) a=0, adică sin x>0

În acest caz, primul punct al intervalului este 0, al doilea este n. La ambele capete ale intervalului, ținând cont de perioada sinusului, adăugăm 2n.

3) pentru a=-1, adică sinx>-1

În acest caz, primul punct este p/2, iar pentru a ajunge la al doilea, ocolim întregul cerc în sens invers acelor de ceasornic. Ajungem la punctul -p/2+2p=3p/2. Pentru a lua în considerare toate intervalele care sunt soluții la această inegalitate, adăugăm 2n la ambele capete.

4) sinx>-a, la 0

Primul punct este, ca de obicei, arcsin(-a)=-arcsina. Pentru a ajunge la al doilea punct, mergem pe calea superioară, adică în direcția de creștere a unghiului.

De data aceasta trecem dincolo de n. Cât mai mergem? Pe arcsin x. Aceasta înseamnă că al doilea punct este n+arcsin x. De ce nu există minus? Pentru că minusul din notația -arcsin a înseamnă mișcare în sensul acelor de ceasornic, dar am mers în sens invers acelor de ceasornic. Și, în final, adăugați 2pn la fiecare capăt al intervalului.

5) sinx>a, dacă a>1.

Cercul unitar se află în întregime sub linia dreaptă y=a. Nu există niciun punct deasupra liniei drepte. Deci nu există soluții.

6) sinx>-a, unde a>1.

În acest caz, întregul cerc unitar se află în întregime deasupra liniei drepte y=a. Prin urmare, orice punct satisface condiția sinx>a. Aceasta înseamnă că x este orice număr.

Și aici x este orice număr, deoarece punctele -n/2+2nn sunt incluse în soluție, în contrast cu inegalitatea strictă sinx>-1. Nu este nevoie să excludeți nimic.

Singurul punct de pe cerc satisfăcător această condiție, este p/2. Ținând cont de perioada sinusului, soluția acestei inegalități este mulțimea punctelor x=n/2+2n.

De exemplu, rezolvați inegalitatea sinx>-1/2:

Inegalitățile sunt relații de forma a › b, unde a și b sunt expresii care conțin cel puțin o variabilă. Inegalitățile pot fi stricte - ‹, › și nestrictive - ≥, ≤.

Inegalitățile trigonometrice sunt expresii de forma: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, în care F(x) este reprezentată de una sau mai multe funcții trigonometrice .

Un exemplu de cea mai simplă inegalitate trigonometrică este: sin x ‹ 1/2. Se obișnuiește să se rezolve astfel de probleme grafic; au fost dezvoltate două metode pentru aceasta.

Metoda 1 - Rezolvarea inegalităților prin reprezentarea grafică a unei funcții

Pentru a găsi un interval care îndeplinește condițiile inegalității sin x ‹ 1/2, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Pe axa de coordonate, construiți o sinusoidă y = sin x.
2. Pe aceeași axă, desenați un grafic al argumentului numeric al inegalității, adică o dreaptă care trece prin punctul ½ al ordonatei OY.
3. Marcați punctele de intersecție ale celor două grafice.
4. Umbriți segmentul care este soluția pentru exemplu.

Atunci când într-o expresie sunt prezente semne stricte, punctele de intersecție nu sunt soluții. Deoarece cea mai mică perioadă pozitivă a unei sinusoide este 2π, scriem răspunsul după cum urmează:

Dacă semnele expresiei nu sunt stricte, atunci intervalul de soluție trebuie inclus între paranteze drepte - . Răspunsul la problemă poate fi scris și ca următoarea inegalitate:

Metoda 2 - Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

Probleme similare pot fi rezolvate cu ușurință folosind un cerc trigonometric. Algoritmul pentru găsirea răspunsurilor este foarte simplu:

1. Mai întâi trebuie să desenați un cerc unitar.
2. Apoi trebuie să rețineți valoarea funcției arc a argumentului din partea dreaptă a inegalității pe arcul de cerc.
3. Este necesar să se tragă o linie dreaptă care trece prin valoarea funcției arc paralelă cu axa absciselor (OX).
4. După aceea, tot ce rămâne este să selectați arcul de cerc, care este setul de soluții la inegalitatea trigonometrică.
5. Notează răspunsul în forma cerută.

Să analizăm etapele soluției folosind exemplul inegalității sin x › 1/2. Punctele α și β sunt marcate pe cerc - valori

Punctele arcului situat deasupra α și β sunt intervalul de rezolvare a inegalității date.

Dacă trebuie să rezolvați un exemplu pentru cos, atunci arcul de răspuns va fi situat simetric față de axa OX, nu OY. Puteți lua în considerare diferența dintre intervalele de soluție pentru sin și cos în diagramele de mai jos din text.

Soluțiile grafice pentru inegalitățile tangente și cotangente vor diferi atât de sinus, cât și de cosinus. Acest lucru se datorează proprietăților funcțiilor.

Arctangente și arccotangente sunt tangente la un cerc trigonometric, iar perioada minimă pozitivă pentru ambele funcții este π. Pentru a utiliza rapid și corect a doua metodă, trebuie să vă amintiți pe ce axă sunt reprezentate valorile sin, cos, tg și ctg.

Tangenta tangentă este paralelă cu axa OY. Dacă trasăm valoarea arctanului a pe cercul unitar, atunci al doilea punct necesar va fi situat în sfertul diagonalei. Unghiuri

Sunt puncte de întrerupere pentru funcție, deoarece graficul tinde spre ele, dar nu ajunge niciodată la ele.

În cazul cotangentei, tangenta este paralelă cu axa OX, iar funcția este întreruptă în punctele π și 2π.

Inegalități trigonometrice complexe

Dacă argumentul funcției de inegalitate este reprezentat nu doar de o variabilă, ci de o întreagă expresie care conține o necunoscută, atunci vorbim de o inegalitate complexă. Procesul și procedura de rezolvare sunt oarecum diferite de metodele descrise mai sus. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la următoarea inegalitate:

Soluția grafică implică construirea unei sinusoide obișnuite y = sin x folosind valori ale lui x alese arbitrar. Să calculăm un tabel cu coordonatele pentru punctele de control ale graficului:

Rezultatul ar trebui să fie o curbă frumoasă.

Pentru a ușura găsirea unei soluții, să înlocuim argumentul funcției complexe