Travaillons avec équations du second degré. Ce sont des équations très populaires ! Dans le très vue générale l'équation quadratique ressemble à ceci :

Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Comment décider équations du second degré? Si vous avez devant vous une équation quadratique sous cette forme, alors tout est simple. Rappelez-vous le mot magique discriminant . Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! Son utilisation est simple et sans problème. Ainsi, la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe de la racine est celle discriminant. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c C'est la formule que nous calculons. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, pour la première équation UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est tout.

Quels cas sont possibles en utilisant cette formule ? Il n'y a que trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Alors vous avez une solution. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais cela joue un rôle dans les inégalités, où nous étudierons la question plus en détail.

3. Le discriminant est négatif. D'un nombre négatif Racine carrée non extrait. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Tout est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici une = -6 ; b = -5 ; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs diminuera fortement. On écrit donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essaie. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d’inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont nous nous souvenions. Ou alors ils ont appris, ce qui est aussi une bonne chose. Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Avez-vous compris cela mot-clé Ici - attentivement ?

Cependant, les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Ce équations quadratiques incomplètes . Ils peuvent également être résolus par un discriminant. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune discrimination. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il de cela ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x = 0, ou x = 4

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser un discriminant.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers côté droit. On a:

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x = +3 et x = -3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous. Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernière chose l'équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur. Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Il y aura de moins en moins d'erreurs.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par un dénominateur commun comme décrit dans section précédente. Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Il est la.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On a:

C'est tout! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l'aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Équations fractionnaires. ODZ.

Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. Resté dernière vue – équations fractionnaires. Ou ils sont aussi appelés beaucoup plus respectablement - équations rationnelles fractionnaires. C'est le même.

Équations fractionnaires.

Comme leur nom l’indique, ces équations contiennent nécessairement des fractions. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur. Au moins dans un. Par exemple:

Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs sont seulement Nombres, ce sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d’abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation se transforme le plus souvent en linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5=5 ou une expression incorrecte, comme 7=2. Mais cela arrive rarement. Je le mentionnerai ci-dessous.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer les mêmes transformations identiques.

Nous devons multiplier l’équation entière par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra immédiatement plus facile. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Il faut résoudre l'équation :

Comme enseigné dans classes juniors? Nous mettons tout de côté, nous l'amenons à dénominateur commun etc. Oublie comment rêve horrible! C'est ce que vous devez faire lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions. Ou alors vous travaillez avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en substance, par un dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?

Du côté gauche, réduire le dénominateur nécessite de multiplier par x+2. Et à droite, il faut multiplier par 2. Cela signifie que l'équation doit être multipliée par 2(x+2). Multiplier:

Il s'agit d'une multiplication courante de fractions, mais je vais la décrire en détail :

Veuillez noter que je n'ouvre pas encore le support (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :

Sur le côté gauche il se contracte entièrement (x+2), et à droite 2. C'est ce qu'il fallait ! Après réduction on obtient linéaire l'équation:

Et tout le monde peut résoudre cette équation ! x = 2.

Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :

Si l'on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x/ 1, on peut écrire :

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment : les fractions.

On voit que pour réduire le dénominateur par X, il faut multiplier la fraction par (x-2). Et quelques-uns ne nous gênent pas. Eh bien, multiplions. Tous côté gauche Et tous côté droit:

Encore des parenthèses (x-2) Je ne le révèle pas. Je travaille avec le support dans son ensemble comme s'il s'agissait d'un seul numéro ! Cela doit toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.

Avec un sentiment de profonde satisfaction, nous réduisons (x-2) et on obtient une équation sans aucune fraction, avec une règle !

Ouvrons maintenant les parenthèses :

Nous en apportons des similaires, déplaçons tout vers la gauche et obtenons :

Équation quadratique classique. Mais le moins à venir n’est pas bon. Vous pouvez toujours vous en débarrasser en multipliant ou en divisant par -1. Mais si vous regardez bien l’exemple, vous remarquerez qu’il est préférable de diviser cette équation par -2 ! D'un seul coup, le moins disparaîtra et les cotes deviendront plus attractives ! Divisez par -2. Sur le côté gauche - terme par terme, et à droite - divisez simplement zéro par -2, zéro et nous obtenons :

Nous résolvons par le discriminant et vérifions en utilisant le théorème de Vieta. On a x = 1 et x = 3. Deux racines.

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, l'équation après la transformation est devenue linéaire, mais ici elle devient quadratique. Il arrive qu'après s'être débarrassé des fractions, tous les X soient réduits. Il reste quelque chose, comme 5=5. Cela signifie que x peut être n'importe quoi. Quoi qu’il en soit, il sera quand même réduit. Et cela s’avère être la pure vérité, 5=5. Mais après s’être débarrassé des fractions, cela peut s’avérer complètement faux, comme 2=7. Et cela signifie que aucune solution! Tout X s’avère faux.

Réalisé voie principale solutions équations fractionnaires? C'est simple et logique. On change l’expression originale pour que tout ce qu’on n’aime pas disparaisse. Ou alors ça interfère. DANS dans ce cas ce sont des fractions. Nous ferons de même avec toutes sortes de exemples complexes avec des logarithmes, des sinus et d'autres horreurs. Nous Toujours Débarrassons-nous de tout cela.

Cependant, nous devons modifier l'expression originale dans le sens souhaité. selon les règles, oui... Dont la maîtrise est la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques. Nous le maîtrisons donc.

Nous allons maintenant apprendre à contourner l'un des principales embuscades à l'examen d'État unifié! Mais d’abord, voyons si vous tombez dans le piège ou non ?

Regardons un exemple simple :

L'affaire est déjà familière, on multiplie les deux côtés par (x-2), on a:

Je te le rappelle, entre parenthèses (x-2) Nous travaillons comme avec une seule expression intégrale !

Ici je n'en ai plus écrit un dans les dénominateurs, c'est indigne... Et je n'ai pas mis de parenthèses dans les dénominateurs, sauf pour x-2 il n’y a rien, il n’est pas nécessaire de dessiner. Raccourcissons :

Ouvrez les parenthèses, déplacez le tout vers la gauche et donnez-en des similaires :

On résout, vérifie, on obtient deux racines. x = 2 Et x = 3. Super.

Supposons que le devoir demande d'écrire la racine, ou leur somme s'il y a plus d'une racine. Qu'allons-nous écrire ?

Si vous décidez que la réponse est 5, vous ont été pris en embuscade. Et la tâche ne vous sera pas créditée. Ils ont travaillé en vain... La bonne réponse est 3.

Quel est le problème?! Et vous essayez de faire une vérification. Remplacez les valeurs de l'inconnu par original exemple. Et si à x = 3 tout va grandir à merveille, on obtient 9 = 9, puis quand x = 2 Ce sera une division par zéro ! Ce que vous ne pouvez absolument pas faire. Moyens x = 2 n'est pas une solution et n'est pas pris en compte dans la réponse. C'est ce qu'on appelle la racine étrangère ou supplémentaire. Nous le rejetons simplement. La racine finale est une. x = 3.

Comment ça?! – J'entends des exclamations indignées. On nous a appris qu'une équation peut être multipliée par une expression ! C'est une transformation identique !

Oui, identique. Sous une petite condition - l'expression par laquelle on multiplie (divise) - différent de zéro. UN x-2à x = 2 est égal à zéro ! Donc tout est juste.

Et maintenant, que puis-je faire ?! Ne pas multiplier par expression ? Dois-je vérifier à chaque fois ? Encore une fois, ce n'est pas clair !

Calmement! Ne pas paniquer!

Dans cette situation difficile, trois lettres magiques nous sauveront. Je sais ce que tu penses. Droite! Ce ODZ . Domaine des valeurs acceptables.

Poursuivant le sujet « Résolution d'équations », le contenu de cet article vous présentera les équations quadratiques.

Regardons tout en détail : l'essence et l'enregistrement de l'équation quadratique, définissons les termes associés, analysons le schéma de résolution incomplète et équations complètes, familiarisons-nous avec la formule des racines et du discriminant, établissons des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr nous donnerons une solution visuelle à des exemples pratiques.

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Équation quadratique, ses types

Définition 1

Équation quadratique est une équation écrite sous la forme une x 2 + b x + c = 0, Où X– variable, a , b et c– quelques chiffres, tandis que un n'est pas nul.

Souvent, les équations quadratiques sont également appelées équations du deuxième degré, car, par essence, une équation quadratique est équation algébrique second degré.

Donnons un exemple pour illustrer la définition donnée : 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Ce sont des équations quadratiques.

Définition 2

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, tandis que le coefficient un est appelé le premier, ou senior, ou coefficient à x 2, b - le deuxième coefficient, ou coefficient à X, UN c appelé membre gratuit.

Par exemple, dans l'équation quadratique 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 le coefficient principal est 6, le deuxième coefficient est − 2 , et le terme libre est égal à − 11 . Faisons attention au fait que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, alors une forme abrégée du formulaire est utilisée 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, mais non 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Précisons également cet aspect : si les coefficients un et/ou bégal 1 ou − 1 , alors ils peuvent ne pas participer explicitement à l'écriture de l'équation quadratique, ce qui s'explique par les particularités de l'écriture des coefficients numériques indiqués. Par exemple, dans l'équation quadratique oui 2 − oui + 7 = 0 le coefficient principal est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations quadratiques réduites et non réduites

Sur la base de la valeur du premier coefficient, les équations quadratiques sont divisées en réduites et non réduites.

Définition 3

Équation quadratique réduite est une équation quadratique dont le coefficient dominant est 1. Pour les autres valeurs du coefficient dominant, l'équation quadratique n'est pas réduite.

Donnons des exemples : les équations quadratiques x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sont réduites, dans chacune desquelles le coefficient dominant est 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- équation quadratique non réduite, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation quadratique non réduite peut être convertie en une équation réduite en divisant les deux côtés par le premier coefficient (transformation équivalente). L’équation transformée aura les mêmes racines que l’équation non réduite donnée ou n’aura aucune racine du tout.

Considération exemple concret nous permettra de démontrer clairement le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation quadratique réduite.

Exemple 1

Étant donné l'équation 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Il est nécessaire de convertir l’équation originale sous sa forme réduite.

Solution

Selon le schéma ci-dessus, nous divisons les deux côtés de l'équation originale par le coefficient dominant 6. On obtient alors : (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, et c'est la même chose que : (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 et plus loin: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0. D'ici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Ainsi, une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Répondre: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Passons à la définition d'une équation quadratique. Nous y avons précisé que une ≠ 0. Une condition similaire est nécessaire pour l'équation une x 2 + b x + c = 0était précisément carré, puisqu'à une = 0 il se transforme essentiellement en équation linéaire bx + c = 0.

Dans le cas où les coefficients b Et c sont égaux à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et conjointement), l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition 4

Équation quadratique incomplète- une telle équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, où au moins un des coefficients b Et c(ou les deux) est nul.

Équation quadratique complète– une équation quadratique dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro.

Voyons pourquoi les types d'équations quadratiques reçoivent exactement ces noms.

Lorsque b = 0, l'équation quadratique prend la forme une x 2 + 0 x + c = 0, ce qui équivaut à une x 2 + c = 0. À c = 0 l'équation quadratique s'écrit une x 2 + b x + 0 = 0, ce qui est équivalent une x 2 + b x = 0. À b = 0 Et c = 0 l'équation prendra la forme une x 2 = 0. Les équations que nous avons obtenues diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs côtés gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ni les deux. En fait, c’est ce fait qui a donné le nom à ce type d’équation – incomplète.

Par exemple, x 2 + 3 x + 4 = 0 et − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sont des équations quadratiques complètes ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0 ; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

La définition donnée ci-dessus permet de distinguer les types d'équations quadratiques incomplètes suivants :

• une x 2 = 0, cette équation correspond aux coefficients b = 0 et c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 à b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 à c = 0.

Considérons séquentiellement la solution de chaque type d'équation quadratique incomplète.

Solution de l'équation a x 2 =0

Comme mentionné ci-dessus, cette équation correspond aux coefficients b Et c, égal à zéro. L'équation une x 2 = 0 peut être converti en une équation équivalente x2 = 0, que nous obtenons en divisant les deux côtés de l'équation originale par le nombre un, différent de zéro. Le fait évident est que la racine de l’équation x2 = 0 c'est zéro parce que 0 2 = 0 . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique par les propriétés du degré : pour tout nombre p, n'est pas égal à zéro, l'inégalité est vraie p2 > 0, d'où il résulte que lorsque p ≠ 0égalité p2 = 0 ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour l'équation quadratique incomplète a x 2 = 0, il existe une racine unique x = 0.

Exemple 2

Par exemple, résolvons une équation quadratique incomplète − 3 x 2 = 0. C'est équivalent à l'équation x2 = 0, sa seule racine est x = 0, alors l'équation d'origine a une seule racine - zéro.

En bref, la solution s'écrit comme suit :

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Résoudre l'équation a x 2 + c = 0

Vient ensuite la solution d'équations quadratiques incomplètes, où b = 0, c ≠ 0, c'est-à-dire des équations de la forme une x 2 + c = 0. Transformons cette équation en déplaçant un terme d'un côté à l'autre de l'équation, en changeant le signe pour le signe opposé et en divisant les deux côtés de l'équation par un nombre qui n'est pas égal à zéro :

• transfert c du membre de droite, ce qui donne l'équation une x 2 = − c;
• diviser les deux côtés de l'équation par un, on se retrouve avec x = - c a .

Nos transformations sont équivalentes ; par conséquent, l'équation résultante est également équivalente à l'originale, et ce fait permet de tirer des conclusions sur les racines de l'équation. D'où sont les valeurs un Et c la valeur de l'expression - c a dépend : elle peut avoir un signe moins (par exemple, si une = 1 Et c = 2, alors - c a = - 2 1 = - 2) ou un signe plus (par exemple, si une = − 2 Et c = 6, alors - c a = - 6 - 2 = 3); ce n'est pas nul parce que c ≠ 0. Arrêtons-nous plus en détail sur les situations où - c a< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p l'égalité p 2 = - c a ne peut pas être vraie.

Tout est différent lorsque - c a > 0 : rappelez-vous la racine carrée, et il deviendra évident que la racine de l'équation x 2 = - c a sera le nombre - c a, puisque - c a 2 = - c a. Il n'est pas difficile de comprendre que le nombre - - c a est aussi la racine de l'équation x 2 = - c a : en effet, - - c a 2 = - c a.

L'équation n'aura pas d'autres racines. Nous pouvons le démontrer en utilisant la méthode de la contradiction. Pour commencer, définissons les notations pour les racines trouvées ci-dessus comme x1 Et −x1. Supposons que l'équation x 2 = - c a ait aussi une racine x2, qui est différent des racines x1 Et −x1. Nous savons qu'en substituant dans l'équation X ses racines, nous transformons l’équation en une juste égalité numérique.

Pour x1 Et −x1 on écrit : x 1 2 = - c a , et pour x2- x 2 2 = - c une . Sur la base des propriétés des égalités numériques, nous soustrayons une égalité correcte terme par terme à une autre, ce qui nous donnera : X 1 2 − X 2 2 = 0. Nous utilisons les propriétés des opérations avec des nombres pour réécrire la dernière égalité sous la forme (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un des nombres est nul. De ce qui précède, il résulte que x 1 − x 2 = 0 et/ou x1 + x2 = 0, ce qui est pareil x2 = x1 et/ou X 2 = − X 1. Une contradiction évidente est apparue, car au début il a été convenu que la racine de l'équation x2 diffère de x1 Et −x1. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas de racines autres que x = - c a et x = - - c a.

Résumons tous les arguments ci-dessus.

Définition 6

Équation quadratique incomplète une x 2 + c = 0 est équivalent à l'équation x 2 = - c a, qui :

• n'aura pas de racines en - c a< 0 ;
• aura deux racines x = - c a et x = - - c a pour - c a > 0.

Donnons des exemples de résolution des équations une x 2 + c = 0.

Exemple 3

Étant donné une équation quadratique 9x2 + 7 = 0. Il faut trouver une solution.

Solution

Déplaçons le terme libre vers la droite de l'équation, l'équation prendra alors la forme 9 x 2 = − 7.
Divisons les deux côtés de l'équation résultante par 9 , on arrive à x 2 = - 7 9 . Sur le côté droit, nous voyons un nombre avec un signe moins, ce qui signifie : l'équation donnée n'a pas de racine. Alors l'équation quadratique incomplète originale 9x2 + 7 = 0 n'aura pas de racines.

Répondre: l'équation 9x2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Exemple 4

L'équation doit être résolue −x2 + 36 = 0.

Solution

Déplaçons 36 vers la droite : −x2 = −36.
Divisons les deux parties par − 1 , on a x2 = 36. Sur le côté droit se trouve un nombre positif, à partir duquel nous pouvons conclure que x = 36 ou x = - 36 .
Extrayons la racine et notons le résultat final : équation quadratique incomplète −x2 + 36 = 0 a deux racines x=6 ou x = − 6.

Répondre: x=6 ou x = − 6.

Solution de l'équation a x 2 +b x=0

Analysons le troisième type d'équations quadratiques incomplètes, lorsque c = 0. Trouver une solution à une équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0, nous utiliserons la méthode de factorisation. Factorisons le polynôme qui se trouve du côté gauche de l'équation, en prenant le facteur commun entre parenthèses X. Cette étape permettra de transformer l'équation quadratique incomplète originale en son équivalent x (une x + b) = 0. Et cette équation, à son tour, équivaut à un ensemble d’équations x = 0 Et une x + b = 0. L'équation une x + b = 0 linéaire, et sa racine : x = − b une.

Définition 7

Ainsi, l'équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0 aura deux racines x = 0 Et x = − b une.

Renforçons le matériel avec un exemple.

Exemple 5

Il faut trouver une solution à l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solution

Nous allons le retirer X en dehors des parenthèses, nous obtenons l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Cette équation est équivalente aux équations x = 0 et 2 3 x - 2 2 7 = 0. Vous devez maintenant résoudre l'équation linéaire résultante : 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Écrivez brièvement la solution de l’équation comme suit :

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Répondre: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formule pour les racines d'une équation quadratique

Pour trouver des solutions aux équations quadratiques, il existe une formule racine :

Définition 8

x = - b ± D 2 · a, où ré = b 2 − 4 une c– ce qu'on appelle le discriminant d'une équation quadratique.

Écrire x = - b ± D 2 · a signifie essentiellement que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Il serait utile de comprendre comment cette formule a été dérivée et comment l'appliquer.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Soyons confrontés à la tâche de résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0. Effectuons un certain nombre de transformations équivalentes :

• diviser les deux côtés de l'équation par un nombre un, différent de zéro, on obtient l'équation quadratique suivante : x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Sélectionnons le carré complet sur le côté gauche de l'équation résultante :
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + Californie
  Après cela, l'équation prendra la forme : x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0 ;
• Il est maintenant possible de déplacer les deux derniers termes vers la droite, en changeant le signe en sens inverse, après quoi nous obtenons : x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Enfin, on transforme l'expression écrite à droite de la dernière égalité :
  b 2 · une 2 - c une = b 2 4 · une 2 - c une = b 2 4 · une 2 - 4 · une · c 4 · une 2 = b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 .

Ainsi, nous arrivons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , équivalente à l'équation originale une x 2 + b x + c = 0.

Nous avons examiné la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (résolution d'équations quadratiques incomplètes). L'expérience déjà acquise permet de tirer une conclusion concernant les racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 :

• avec b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• lorsque b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'équation est x + b 2 · a 2 = 0, alors x + b 2 · a = 0.

De là, la seule racine x = - b 2 · a est évidente ;

• pour b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ce qui suit sera vrai : x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ce qui est identique à x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 , c'est-à-dire l'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence de racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (et donc l'équation originale) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 écrit sur le côté droit. Et le signe de cette expression est donné par le signe du numérateur (dénominateur 4 et 2 sera toujours positif), c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 − 4 une c. Cette expression b 2 − 4 une c le nom est donné - le discriminant de l'équation quadratique et la lettre D est définie comme sa désignation. Ici, vous pouvez écrire l'essence du discriminant - en fonction de sa valeur et de son signe, ils peuvent conclure si l'équation quadratique aura de vraies racines et, si oui, quel est le nombre de racines - une ou deux.

Revenons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Réécrivons-le en utilisant la notation discriminante : x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulons à nouveau nos conclusions :

Définition 9

• à D< 0 l'équation n'a pas de véritables racines ;
• à D=0 l'équation a une racine unique x = - b 2 · a ;
• à D > 0 l'équation a deux racines : x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Sur la base des propriétés des radicaux, ces racines peuvent s'écrire sous la forme : x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. Et, lorsque nous ouvrons les modules et ramenons les fractions à un dénominateur commun, nous obtenons : x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement a été la dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique :

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculé par la formule ré = b 2 − 4 une c.

Ces formules permettent de déterminer les deux racines réelles lorsque le discriminant est supérieur à zéro. Lorsque le discriminant est nul, l’application des deux formules donnera la même racine comme seule solution à l’équation quadratique. Dans le cas où le discriminant est négatif, si l’on essaie d’utiliser la formule de la racine quadratique, nous serons confrontés à la nécessité de prendre la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui nous fera sortir du cadre des nombres réels. À discriminant négatif Autrement dit, l'équation quadratique n'aura pas de racines réelles, mais une paire de racines conjuguées complexes est possible, déterminées par les mêmes formules de racines que celles que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

Il est possible de résoudre une équation quadratique en utilisant immédiatement la formule de la racine, mais cela se fait généralement lorsqu'il est nécessaire de trouver des racines complexes.

Dans la majorité des cas, cela signifie généralement rechercher non pas des racines complexes, mais réelles d'une équation quadratique. Ensuite, il est optimal, avant d'utiliser les formules pour les racines d'une équation quadratique, de déterminer d'abord le discriminant et de s'assurer qu'il n'est pas négatif (sinon nous conclurons que l'équation n'a pas de racines réelles), puis de procéder au calcul du valeur des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet de formuler un algorithme de résolution d'une équation quadratique.

Définition 10

Pour résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, nécessaire:

• selon la formule ré = b 2 − 4 une c trouver la valeur discriminante ;
• en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pour D = 0, trouvez la racine unique de l'équation en utilisant la formule x = - b 2 · a ;
• pour D > 0, déterminez deux racines réelles de l'équation quadratique en utilisant la formule x = - b ± D 2 · a.

Notez que lorsque le discriminant est nul, vous pouvez utiliser la formule x = - b ± D 2 · a, cela donnera le même résultat que la formule x = - b 2 · a.

Regardons des exemples.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Donnons des solutions à des exemples pour différentes valeurs du discriminant.

Exemple 6

Nous devons trouver les racines de l'équation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solution

Notons les coefficients numériques de l'équation quadratique : a = 1, b = 2 et c = − 6. Ensuite, nous procédons selon l'algorithme, c'est-à-dire Commençons par calculer le discriminant, auquel on substituera les coefficients a, b Et c dans la formule discriminante : D = b 2 − 4 · une · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Nous obtenons donc D > 0, ce qui signifie que l’équation originale aura deux racines réelles.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine x = - b ± D 2 · a et, en remplaçant les valeurs correspondantes, nous obtenons : x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifions l'expression résultante en retirant le facteur du signe racine puis en réduisant la fraction :

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Répondre: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemple 7

Besoin de résoudre une équation quadratique − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solution

Définissons le discriminant : D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Avec cette valeur du discriminant, l'équation originale n'aura qu'une seule racine, déterminée par la formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Répondre: x = 3,5.

Exemple 8

L'équation doit être résolue 5 ans 2 + 6 ans + 2 = 0

Solution

Les coefficients numériques de cette équation seront : a = 5, b = 6 et c = 2. Nous utilisons ces valeurs pour trouver le discriminant : D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Le discriminant calculé est négatif, donc l’équation quadratique originale n’a pas de véritables racines.

Dans le cas où la tâche consiste à indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule racine en effectuant des actions avec des nombres complexes :

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 je 10 ou x = - 6 - 2 je 10,

x = - 3 5 + 1 5 · je ou x = - 3 5 - 1 5 · je.

Répondre: il n'y a pas de véritables racines ; les racines complexes sont les suivantes : - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

DANS programme scolaire Il n'y a pas d'exigence standard pour rechercher des racines complexes, par conséquent, si lors de la solution le discriminant est déterminé comme négatif, la réponse est immédiatement écrite qu'il n'y a pas de racines réelles.

Formule racine pour même les seconds coefficients

La formule racine x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions à des équations quadratiques à coefficient pair pour x ( ou avec un coefficient de la forme 2 · n, par exemple 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Montrons comment cette formule est dérivée.

Soyons confrontés à la tâche de trouver une solution à l'équation quadratique a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . On procède selon l'algorithme : on détermine le discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), puis on utilise la formule racine :

x = - 2 n ± D 2 une, x = - 2 n ± 4 n 2 - une c 2 une, x = - 2 n ± 2 n 2 - une c 2 une, x = - n ± n 2 - une · c une .

Soit l'expression n 2 − a · c notée D 1 (parfois elle est notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le deuxième coefficient 2 · n prendra la forme :

x = - n ± D 1 a, où D 1 = n 2 − a · c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Autrement dit, D 1 est le quart du discriminant. Évidemment, le signe de D 1 est le même que le signe de D, ce qui signifie que le signe de D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence de racines d'une équation quadratique.

Définition 11

Ainsi, pour trouver une solution à une équation quadratique de deuxième coefficient 2 n, il faut :

• trouver D 1 = n 2 − a · c ;
• à J 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• lorsque D 1 = 0, déterminez la seule racine de l'équation en utilisant la formule x = - n a ;
• pour D 1 > 0, déterminez deux racines réelles en utilisant la formule x = - n ± D 1 a.

Exemple 9

Il faut résoudre l'équation quadratique 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième coefficient de l'équation donnée par 2 · (− 3) . Ensuite, nous réécrivons l'équation quadratique donnée sous la forme 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, où a = 5, n = − 3 et c = − 32.

Calculons la quatrième partie du discriminant : D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. La valeur résultante est positive, ce qui signifie que l’équation a deux racines réelles. Déterminons-les à l'aide de la formule racine correspondante :

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Il serait possible d'effectuer des calculs en utilisant la formule habituelle des racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas la solution serait plus lourde.

Répondre: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplifier la forme des équations quadratiques

Parfois, il est possible d'optimiser la forme de l'équation originale, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, l’équation quadratique 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 est clairement plus pratique à résoudre que 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Le plus souvent, la simplification de la forme d'une équation quadratique est réalisée en multipliant ou en divisant ses deux côtés par un certain nombre. Par exemple, nous avons montré ci-dessus une représentation simplifiée de l’équation 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenue en divisant les deux côtés par 100.

Une telle transformation est possible lorsque les coefficients de l'équation quadratique ne sont pas mutuellement nombres premiers. Ensuite, nous divisons généralement les deux côtés de l'équation par le plus grand diviseur commun des valeurs absolues de ses coefficients.

A titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Déterminons le PGCD des valeurs absolues de ses coefficients : PGCD (12, 42, 48) = PGCD(PGCD (12, 42), 48) = PGCD (6, 48) = 6. Divisons les deux côtés de l'équation quadratique originale par 6 et obtenons l'équation quadratique équivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

En multipliant les deux côtés d’une équation quadratique, vous vous débarrassez généralement des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, ils sont multipliés par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation quadratique 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 est multipliée par LCM (6, 3, 1) = 6, alors elle s'écrira en plus sous forme simple X 2 + 4 X − 18 = 0 .

Enfin, notons que l'on supprime presque toujours le moins du premier coefficient d'une équation quadratique en changeant les signes de chaque terme de l'équation, ce qui est obtenu en multipliant (ou en divisant) les deux côtés par − 1. Par exemple, à partir de l'équation quadratique − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, vous pouvez passer à sa version simplifiée 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relation entre racines et coefficients

La formule des racines des équations quadratiques, déjà connue de nous, x = - b ± D 2 · a, exprime les racines de l'équation à travers ses coefficients numériques. Sur la base de cette formule, nous avons la possibilité de préciser d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables sont le théorème de Vieta :

x 1 + x 2 = - b a et x 2 = c a.

En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est le deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, en regardant la forme de l’équation quadratique 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est 7 3 et que le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d’autres liens entre les racines et les coefficients d’une équation quadratique. Par exemple, la somme des carrés des racines d'une équation quadratique peut être exprimée en termes de coefficients :

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Premier niveau

Équations du second degré. Guide complet (2019)

Dans le terme « équation quadratique », le mot clé est « quadratique ». Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x à la puissance troisième (ou supérieure).

La solution de nombreuses équations revient à résoudre des équations quadratiques.

Apprenons à déterminer qu'il s'agit d'une équation quadratique et non d'une autre équation.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Déplaçons tout vers la gauche et classons les termes par ordre décroissant des puissances de X

Nous pouvons désormais affirmer avec certitude que cette équation est quadratique !

Exemple 2.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Cette équation, bien qu’elle y figurait à l’origine, n’est pas quadratique !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Effrayant? Les quatrième et deuxième degrés... Cependant, si nous effectuons un remplacement, nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Cela semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, c'est réduit - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquelles des équations suivantes sont quadratiques et lesquelles ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

1. carré;
2. carré;
3. pas carré;
4. pas carré;
5. pas carré;
6. carré;
7. pas carré;
8. carré.

Les mathématiciens divisent classiquement toutes les équations quadratiques dans les types suivants :

• Équations quadratiques complètes- des équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que le terme libre c, ne sont pas égaux à zéro (comme dans l'exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation du premier exemple est non seulement complète, mais aussi réduite !)

• Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :

  Ils sont incomplets car il leur manque certains éléments. Mais l'équation doit toujours contenir x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus une équation quadratique, mais une autre équation.

Pourquoi ont-ils proposé une telle division ? Il semblerait qu’il y ait un X au carré, et d’accord. Cette division est déterminée par les méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d’abord, concentrons-nous sur la résolution d’équations quadratiques incomplètes – elles sont beaucoup plus simples !

Il existe des types d'équations quadratiques incomplètes :

1. , dans cette équation le coefficient est égal.
2. , dans cette équation le terme libre est égal à.
3. , dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

1. je. Puisque nous savons prendre la racine carrée, exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler que cela ne peut pas être moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il ne reste plus qu'à extraire la racine des côtés gauche et droit. Après tout, vous vous souvenez comment extraire les racines ?

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Oh! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour de telles équations sans racines, les mathématiciens ont proposé une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s’écrire ainsi :

Répondre:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Ainsi,

Cette équation a deux racines.

Répondre:

Le type le plus simple d’équations quadratiques incomplètes (même si elles sont toutes simples, n’est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Nous renoncerons ici aux exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple : l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l’équation a une racine. Attention particulière avancez d'un pas. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, l’équation est complète.

Solutions à différents types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ? Mais le discriminant peut être négatif. Ce qu'il faut faire? Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

• Si, alors l'équation a des racines :
• Si alors l’équation a racines identiques, mais essentiellement une racine :

  Ces racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi différents nombres de racines sont-ils possibles ? Tournons-nous vers sens géométriqueéquation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, . Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis). Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

Répondre: .

Répondre:

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple n°2 :

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit simplement de changer les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module le plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple n°5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie que d’après au moins, l’une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines. Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seul le théorème de Vieta :

Solutions aux tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données. Vous devez donc d’abord donner une équation. Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez-la d’une autre manière (par exemple, par le biais d’un discriminant). Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Super. Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Tâche 4.

Le membre libre est négatif. Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ? Et le fait est que les racines auront des signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Laissez-moi résumer :

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous la forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 2 :

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ? C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
• s'il existe un terme libre, l'équation a la forme : ,
• si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Mettons l'équation sous forme standard : ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet

Les problèmes d'équations quadratiques sont étudiés à la fois dans le cadre des programmes scolaires et dans les universités. Il s'agit d'équations de la forme a*x^2 + b*x + c = 0, où X- variable, a, b, c – constantes ; un<>0 . La tâche consiste à trouver les racines de l’équation.

Signification géométrique de l'équation quadratique

Le graphique d'une fonction représentée par une équation quadratique est une parabole. Les solutions (racines) d'une équation quadratique sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (x). Il s’ensuit qu’il y a trois cas possibles :
1) la parabole n'a pas de points d'intersection avec l'axe des abscisses. Cela signifie qu'il se trouve dans le plan supérieur avec les branches vers le haut ou dans le plan inférieur avec les branches vers le bas. Dans de tels cas, l’équation quadratique n’a pas de racines réelles (elle a deux racines complexes).

2) la parabole a un point d'intersection avec l'axe Ox. Un tel point est appelé sommet de la parabole et l'équation quadratique y acquiert sa valeur minimale ou maximale. Dans ce cas, l’équation quadratique a une racine réelle (ou deux racines identiques).

3) Dernier cas en pratique c'est plus intéressant - il y a deux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Cela signifie qu’il y a deux vraies racines de l’équation.

Sur la base de l'analyse des coefficients des puissances des variables, des conclusions intéressantes peuvent être tirées sur l'emplacement de la parabole.

1) Si le coefficient a est supérieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ; s’il est négatif, les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

2) Si le coefficient b est supérieur à zéro, alors le sommet de la parabole se situe dans le demi-plan gauche si l'on prend Sens négatif- puis à droite.

Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique

Transférons la constante de l'équation quadratique

pour le signe égal, on obtient l'expression

Multipliez les deux côtés par 4a

Pour obtenir un carré complet à gauche, ajoutez b^2 des deux côtés et effectuez la transformation

De là, nous trouvons

Formule pour le discriminant et les racines d'une équation quadratique

Le discriminant est la valeur de l'expression radicale. Si elle est positive, alors l'équation a deux racines réelles, calculées par la formule Lorsque le discriminant est nul, l'équation quadratique a une solution (deux racines coïncidentes), qui peut être facilement obtenue à partir de la formule ci-dessus pour D = 0. Lorsque le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de racines réelles. Cependant, les solutions de l'équation quadratique se trouvent dans le plan complexe et leur valeur est calculée à l'aide de la formule

Théorème de Vieta

Considérons deux racines d'une équation quadratique et construisons une équation quadratique sur leur base. Le théorème de Vieta lui-même découle facilement de la notation : si nous avons une équation quadratique de la forme alors la somme de ses racines est égale au coefficient p pris de signe opposé, et le produit des racines de l'équation est égal au terme libre q. La représentation formelle de ce qui précède ressemblera à Si dans une équation classique la constante a est différente de zéro, alors vous devez diviser l'équation entière par elle, puis appliquer le théorème de Vieta.

Calendrier d'équation quadratique de factorisation

Laissez la tâche se définir : factoriser une équation quadratique. Pour ce faire, nous résolvons d’abord l’équation (trouver les racines). Ensuite, nous substituons les racines trouvées dans la formule d'expansion de l'équation quadratique. Cela résoudra le problème.

Problèmes d'équation quadratique

Tache 1. Trouver les racines d'une équation quadratique

x^2-26x+120=0 .

Solution : notez les coefficients et remplacez-les dans la formule discriminante

Racine de valeur donnée est égal à 14, il est facile à trouver avec une calculatrice, ou à se rappeler quand utilisation fréquente, cependant, pour plus de commodité, à la fin de l'article, je vous donnerai une liste de carrés de nombres que l'on peut souvent rencontrer dans de tels problèmes.
Nous substituons la valeur trouvée dans la formule racine

et nous obtenons

Tâche 2. Résous l'équation

2x2 +x-3=0.

Solution : Nous avons une équation quadratique complète, écrivons les coefficients et trouvons le discriminant


En utilisant des formules connues, nous trouvons les racines de l'équation quadratique

Tâche 3. Résous l'équation

9x2 -12x+4=0.

Solution : Nous avons une équation quadratique complète. Déterminer le discriminant

Nous avons un cas où les racines coïncident. Trouvez les valeurs des racines à l'aide de la formule

Tâche 4. Résous l'équation

x^2+x-6=0 .

Solution : Dans les cas où il existe de petits coefficients pour x, il est conseillé d’appliquer le théorème de Vieta. Par sa condition on obtient deux équations

A partir de la deuxième condition on constate que le produit doit être égal à -6. Cela signifie que l’une des racines est négative. Nous avons la paire de solutions possibles suivante (-3;2), (3;-2) . Compte tenu de la première condition, nous rejetons la deuxième paire de solutions.
Les racines de l'équation sont égales

Problème 5. Trouver les longueurs des côtés d'un rectangle si son périmètre est de 18 cm et son aire est de 77 cm 2.

Solution : La moitié du périmètre d’un rectangle est égale à la somme de ses côtés adjacents. Notons x comme le plus grand côté, puis 18-x est son plus petit côté. L'aire du rectangle est égale au produit de ces longueurs :
x(18-x)=77;
ou
x2 -18x+77=0.
Trouvons le discriminant de l'équation

Calculer les racines de l'équation

Si x=11, Que 18 = 7, l'inverse est également vrai (si x=7, alors 21's=9).

Problème 6. Factoriser l'équation quadratique 10x 2 -11x+3=0.

Solution : Calculons les racines de l'équation, pour cela on trouve le discriminant

Nous substituons la valeur trouvée dans la formule racine et calculons

Nous appliquons la formule de décomposition d'une équation quadratique par racines

En ouvrant les parenthèses, nous obtenons une identité.

Équation quadratique avec paramètre

Exemple 1. À quelles valeurs de paramètres UN , l'équation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 a-t-elle une racine ?

Solution : Par substitution directe de la valeur a=3 on voit qu'elle n'a pas de solution. Ensuite, nous utiliserons le fait qu’avec un discriminant nul l’équation a une racine de multiplicité 2. Écrivons le discriminant

Simplifions-le et assimilons-le à zéro

Nous avons obtenu une équation quadratique relative au paramètre a, dont la solution peut être facilement obtenue à l’aide du théorème de Vieta. La somme des racines est 7 et leur produit est 12. Par simple recherche on établit que les nombres 3,4 seront les racines de l'équation. Puisque nous avons déjà rejeté la solution a=3 au début des calculs, la seule correcte sera - une=4. Ainsi, pour a=4, l’équation a une racine.

Exemple 2. À quelles valeurs de paramètres UN , l'équation une(une+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 a plus d'une racine ?

Solution : Considérons d'abord les points singuliers, ce seront les valeurs a=0 et a=-3. Lorsque a=0, l'équation sera simplifiée sous la forme 6x-9=0 ; x=3/2 et il y aura une racine. Pour a= -3 on obtient l'identité 0=0.
Calculons le discriminant

et trouver la valeur de a à laquelle il est positif

De la première condition on obtient a>3. Pour le second, on retrouve le discriminant et les racines de l'équation


Définissons les intervalles où la fonction prend valeurs positives. En substituant le point a=0 on obtient 3>0 . Ainsi, en dehors de l’intervalle (-3;1/3) la fonction est négative. N'oublie pas le point une = 0, qui devrait être exclu car l’équation originale contient une racine.
En conséquence, nous obtenons deux intervalles qui satisfont aux conditions du problème

Il y aura de nombreuses tâches similaires dans la pratique, essayez de comprendre les tâches vous-même et n'oubliez pas de prendre en compte les conditions qui s'excluent mutuellement. Étudiez bien les formules de résolution d'équations quadratiques, elles sont souvent nécessaires dans les calculs de divers problèmes et sciences.

Lycée rural Kopyevskaya

10 façons de résoudre des équations quadratiques

Responsable : Patrikeeva Galina Anatolyevna,

professeur de mathématiques

village de Kopevo, 2007

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques

1.3 Équations quadratiques en Inde

1.4 Équations quadratiques d'al-Khorezmi

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles

1.6 À propos du théorème de Vieta

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Conclusion

Littérature

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens.

En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes ne contiennent pas la notion de nombre négatif et méthodes générales résoudre des équations quadratiques.

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques.

L'Arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 11."Trouver deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"

Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10 + x, l'autre est moins, c'est-à-dire 10. La différence entre eux 2x .

D'où l'équation :

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

D'ici x = 2. L'un des nombres requis est égal à 12 , autre 8 . Solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, nous arriverons alors à une solution à l'équation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).

1.3 Équations quadratiques en Inde

Les problèmes liés aux équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), décrit règle générale solutions d'équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients, sauf UN, peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. L'un des vieux livres indiens dit ce qui suit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi homme instruitéclipser la gloire d’autrui dans les assemblées populaires en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

Problème 13.

« Un troupeau de singes fringants, et douze le long des vignes...

Les autorités, après avoir mangé, se sont amusées. Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...

Il y en a sur la place, partie 8. Combien y avait-il de singes ?

Je m'amusais dans la clairière. Dis-moi, dans ce pack ?

La solution de Bhaskara indique qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs (Fig. 3).

L'équation correspondant au problème 13 est :

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara écrit sous couvert :

x2 - 64x = -768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation au carré, ajoute aux deux côtés 32 2 , puis on obtient :

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x-32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Équations quadratiques dans al-Khorezmi

Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c = b X.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire hache 2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ah = s.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c = b X.

5) « Les carrés et les racines sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ah 2 + bx = art.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = hache 2 .

Pour al-Khorezmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabala. Bien entendu, ses décisions ne coïncident pas complètement avec les nôtres. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type

al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans des problèmes pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis de preuves géométriques.

Problème 14.« Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine" (impliquant la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5 , vous en obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVIIIe bb

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant dans les pays islamiques que dans La Grèce ancienne, se distingue à la fois par l'exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques résoudre des problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

La règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduite à une seule forme canonique :

x2 + bx = c,

pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient b , Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible chez Viète, mais Viète ne reconnaissait que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

1.6 À propos du théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + D, multiplié par UN - UN 2 , équivaut à BD, Que UNéquivaut à DANS et égal D ».

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que UN, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre X), les voyelles DANS, D- coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l’algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : s’il y a

(un + b )x - x 2 = un B ,

x 2 - (un + b )x + une b = 0,

x 1 = une, x 2 = b .

Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viète a établi l'uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin d'être look moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l’algèbre. Des équations quadratiques sont trouvées large application lors de la résolution d'équations et d'inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques depuis l’école (8e année) jusqu’à l’obtention du diplôme.