Désignation des grandeurs en physique. Programme scolaire : qu'est-ce que n en physique

L'étude de la physique à l'école dure plusieurs années. Dans le même temps, les élèves sont confrontés au problème selon lequel les mêmes lettres représentent des quantités complètement différentes. Le plus souvent, ce fait concerne les lettres latines. Comment alors résoudre les problèmes ?

Il ne faut pas avoir peur d’une telle répétition. Les scientifiques ont essayé de les introduire dans la notation afin que des lettres identiques n'apparaissent pas dans la même formule. Le plus souvent, les étudiants rencontrent le latin n. Il peut être en minuscule ou en majuscule. Par conséquent, la question se pose logiquement de savoir ce qu'est n en physique, c'est-à-dire dans une certaine formule rencontrée par l'étudiant.

Que signifie la lettre majuscule N en physique ?

Le plus souvent, dans les cours scolaires, cela se produit lors des études de mécanique. Après tout, cela peut être immédiatement dans les significations spirituelles - puissance et force réaction normale les soutiens. Naturellement, ces concepts ne se chevauchent pas, car ils sont utilisés dans différentes sections de la mécanique et sont mesurés dans différentes unités. Par conséquent, vous devez toujours définir exactement ce qu’est n en physique.

La puissance est le taux de changement d’énergie dans un système. Il s'agit d'une quantité scalaire, c'est-à-dire juste un nombre. Son unité de mesure est le watt (W).

La force normale de réaction au sol est la force exercée sur le corps par le support ou la suspension. Sauf valeur numérique, il a une direction, c’est-à-dire que c’est une quantité vectorielle. De plus, il est toujours perpendiculaire à la surface sur laquelle il est réalisé. influence externe. L'unité de ce N est le newton (N).

Qu'est-ce que N en physique, en plus des grandeurs déjà indiquées ? Il pourrait être:

constante d'Avogadro ;

grossissement du dispositif optique;

concentration de la substance ;

Numéro Debye ;

puissance totale de rayonnement.

Que signifie la lettre minuscule n en physique ?

La liste des noms qui peuvent se cacher derrière est assez longue. La notation n en physique est utilisée pour les concepts suivants :

indice de réfraction, et il peut être absolu ou relatif ;

neutron - une particule élémentaire neutre dont la masse est légèrement supérieure à celle d'un proton ;

fréquence de rotation (utilisée pour remplacer la lettre grecque "nu", car elle est très similaire au latin "ve") - le nombre de répétitions de tours par unité de temps, mesuré en hertz (Hz).

Que signifie n en physique, outre les grandeurs déjà indiquées ? Il s'avère que derrière lui se cache le nombre quantique fondamental ( la physique quantique), la concentration et la constante de Loschmidt (physique moléculaire). À propos, lors du calcul de la concentration d'une substance, vous devez connaître la valeur, qui s'écrit également avec le latin « en ». Il sera discuté ci-dessous.

Quelle grandeur physique peut être désignée par n et N ?

Son nom vient du mot latin numerus, traduit par « nombre », « quantité ». Par conséquent, la réponse à la question de savoir ce que n signifie en physique est assez simple. Il s'agit du nombre d'objets, de corps, de particules - tout ce qui est discuté dans une certaine tâche.

De plus, la « quantité » est l’une des rares grandeurs physiques à ne pas avoir d’unité de mesure. C'est juste un numéro, sans nom. Par exemple, si le problème concerne 10 particules, alors n sera simplement égal à 10. Mais s'il s'avère que le « en » minuscule est déjà pris, alors vous devrez utiliser une lettre majuscule.

Formules contenant un N majuscule

Le premier d’entre eux détermine la puissance, qui est égale au rapport travail/temps :

En physique moléculaire, il existe une quantité chimique d’une substance. Désigné par la lettre grecque « nu ». Pour le compter, il faut diviser le nombre de particules par le nombre d'Avogadro :

À propos, la dernière valeur est également désignée par la lettre si populaire N. Seulement, elle a toujours un indice - A.

Pour déterminer la charge électrique, vous aurez besoin de la formule :

Une autre formule avec N en physique - fréquence d'oscillation. Pour le compter, il faut diviser leur nombre par le temps :

La lettre « fr » apparaît dans la formule pour la période de diffusion :

Formules contenant un n minuscule

Dans un cours de physique scolaire, cette lettre est le plus souvent associée à l'indice de réfraction d'une substance. Par conséquent, il est important de connaître les formules avec son application.

Ainsi, pour l'indice de réfraction absolu, la formule s'écrit comme suit :

Ici c est la vitesse de la lumière dans le vide, v est sa vitesse dans un milieu réfractif.

La formule de l'indice de réfraction relatif est un peu plus compliquée :

n 21 = v 1 : v 2 = n 2 : n 1,

où n 1 et n 2 sont les indices de réfraction absolus du premier et du deuxième milieu, v 1 et v 2 sont les vitesses de l'onde lumineuse dans ces substances.

Comment trouver n en physique ? Une formule nous y aidera, qui nécessite de connaître les angles d'incidence et de réfraction du faisceau, c'est-à-dire n 21 = sin α : sin γ.

À quoi est égal n en physique s’il s’agit de l’indice de réfraction ?

En règle générale, les tableaux donnent les valeurs des indices de réfraction absolus de diverses substances. N'oubliez pas que cette valeur dépend non seulement des propriétés du milieu, mais aussi de la longueur d'onde. Les valeurs du tableau de l'indice de réfraction sont données pour la plage optique.

Ainsi, il est devenu clair ce qu’est n en physique. Pour éviter toute question, il convient de considérer quelques exemples.

Tâche de puissance

№1. Pendant le labour, le tracteur tire la charrue uniformément. En même temps, il applique une force de 10 kN. Avec ce mouvement, il parcourt 1,2 km en 10 minutes. Il faut déterminer la puissance qu’il développe.

Conversion d'unités en SI. Vous pouvez commencer avec la force, 10 N est égal à 10 000 N. Ensuite, la distance : 1,2 × 1 000 = 1 200 m. Temps restant - 10 × 60 = 600 s.

Sélection de formules. Comme mentionné ci-dessus, N = A : t. Mais la tâche n’a aucun sens pour le travail. Pour la calculer, une autre formule est utile : A = F × S. La forme finale de la formule de la puissance ressemble à ceci : N = (F × S) : t.

Solution. Calculons d'abord le travail puis la puissance. Alors la première action donne 10 000 × 1 200 = 12 000 000 J. La deuxième action donne 12 000 000 : 600 = 20 000 W.

Répondre. La puissance du tracteur est de 20 000 W.

Problèmes d'indice de réfraction

№2. Indicateur absolu L'indice de réfraction du verre est de 1,5. La vitesse de propagation de la lumière dans le verre est inférieure à celle dans le vide. Vous devez déterminer combien de fois.

Il n'est pas nécessaire de convertir les données en SI.

Lors du choix des formules, vous devez vous concentrer sur celle-ci : n = c : v.

Solution. De cette formule, il ressort clairement que v = c : n. Cela signifie que la vitesse de la lumière dans le verre est égale à la vitesse de la lumière dans le vide divisée par l'indice de réfraction. C'est-à-dire qu'il diminue d'une fois et demie.

Répondre. La vitesse de propagation de la lumière dans le verre est 1,5 fois inférieure à celle dans le vide.

№3. Il y en a deux média transparent. La vitesse de la lumière dans le premier d’entre eux est de 225 000 km/s, dans le second elle est inférieure de 25 000 km/s. Un rayon de lumière passe du premier milieu au second. L'angle d'incidence α est de 30º. Calculez la valeur de l'angle de réfraction.

Dois-je convertir en SI ? Les vitesses sont données en unités non système. Cependant, une fois substitués dans les formules, ils seront réduits. Il n’est donc pas nécessaire de convertir les vitesses en m/s.

Sélection des formules nécessaires pour résoudre le problème. Vous devrez utiliser la loi de la réfraction de la lumière : n 21 = sin α : sin γ. Et aussi : n = с : v.

Solution. Dans la première formule, n 21 est le rapport des deux indices de réfraction des substances en question, c'est-à-dire n 2 et n 1. Si nous notons la deuxième formule indiquée pour le support proposé, nous obtenons ce qui suit : n 1 = c : v 1 et n 2 = c : v 2. Si l'on fait le rapport des deux dernières expressions, il s'avère que n 21 = v 1 : v 2. En le substituant dans la formule de la loi de la réfraction, nous pouvons dériver l'expression suivante pour le sinus de l'angle de réfraction : sin γ = sin α × (v 2 : v 1).

Nous substituons les valeurs des vitesses indiquées et du sinus de 30º (égal à 0,5) dans la formule, il s'avère que le sinus de l'angle de réfraction est égal à 0,44. D'après le tableau de Bradis, il s'avère que l'angle γ est égal à 26º.

Répondre. L'angle de réfraction est de 26º.

Tâches pour la période de circulation

№4. Les pales d'un moulin à vent tournent avec une période de 5 secondes. Calculez le nombre de tours de ces pales en 1 heure.

Il vous suffit de convertir le temps en unités SI pendant 1 heure. Ce sera égal à 3 600 secondes.

Sélection de formules. La période de rotation et le nombre de tours sont liés par la formule T = t : N.

Solution.À partir de la formule ci-dessus, le nombre de tours est déterminé par le rapport temps/période. Ainsi, N = 3600 : 5 = 720.

Répondre. Le nombre de tours des pales du broyeur est de 720.

№5. Une hélice d'avion tourne à une fréquence de 25 Hz. Combien de temps faudra-t-il à l’hélice pour faire 3 000 tours ?

Toutes les données sont fournies en SI, il n’est donc pas nécessaire de traduire quoi que ce soit.

Formule requise: fréquence ν = N : t. Il vous suffit d'en déduire la formule pour l'heure inconnue. C'est un diviseur, donc il est censé être trouvé en divisant N par ν.

Solution. Diviser 3 000 par 25 donne le nombre 120. Il sera mesuré en secondes.

Répondre. Une hélice d'avion fait 3000 tours en 120 s.

Résumons-le

Lorsqu'un élève rencontre une formule contenant n ou N dans un problème de physique, il a besoin traiter de deux points. La première est de savoir de quelle branche de la physique l’égalité est donnée. Cela peut ressortir clairement du titre du manuel, de l'ouvrage de référence ou des propos de l'enseignant. Ensuite, vous devez décider ce qui se cache derrière le « en » aux multiples facettes. De plus, le nom des unités de mesure y contribue, si, bien sûr, sa valeur est indiquée. Une autre option est également autorisée : regardez attentivement les lettres restantes de la formule. Peut-être qu’ils se révéleront familiers et donneront une indication sur le problème en question.

Construire des dessins n'est pas une tâche facile, mais sans cela monde moderne certainement pas. Après tout, pour fabriquer même l'objet le plus ordinaire (un petit boulon ou un écrou, une étagère pour livres, le dessin d'une nouvelle robe, etc.), vous devez d'abord effectuer les calculs appropriés et dessiner un dessin de l'objet. futur produit. Cependant, souvent, une personne le rédige et une autre personne produit quelque chose selon ce schéma.

Pour éviter toute confusion dans la compréhension de l'objet représenté et de ses paramètres, il est accepté dans le monde entier symboles longueur, largeur, hauteur et autres quantités utilisées dans la conception. Quels sont-ils? Découvrons-le.

Quantités

La superficie, la hauteur et d'autres désignations de même nature ne sont pas seulement des grandeurs physiques, mais aussi mathématiques.

Leur désignation par une seule lettre (utilisée par tous les pays) a été établie au milieu du XXe siècle par le Système international d'unités (SI) et est encore utilisée aujourd'hui. C'est pour cette raison que tous ces paramètres sont indiqués en latin, et non en lettres cyrilliques ou en écriture arabe. Afin de ne pas créer de difficultés individuelles, lors de l'élaboration de normes de documentation de conception dans la plupart pays modernes il a été décidé d'utiliser pratiquement les mêmes symboles que ceux utilisés en physique ou en géométrie.

Tout diplômé de l'école se souvient que selon qu'une figure (produit) bidimensionnelle ou tridimensionnelle est représentée sur le dessin, elle comporte un ensemble de paramètres de base. S'il y a deux dimensions, ce sont la largeur et la longueur, s'il y en a trois, la hauteur est également ajoutée.

Alors, commençons par découvrir comment indiquer correctement la longueur, la largeur et la hauteur dans les dessins.

Largeur

Comme mentionné ci-dessus, en mathématiques, la grandeur en question est l'une des trois dimensions spatiales de tout objet, à condition que ses mesures soient effectuées dans le sens transversal. Alors, pourquoi la largeur est-elle célèbre ? Il est désigné par la lettre « B ». Ceci est connu dans le monde entier. De plus, selon GOST, il est permis d'utiliser des lettres latines majuscules et minuscules. La question se pose souvent de savoir pourquoi cette lettre particulière a été choisie. Après tout, l'abréviation est généralement faite selon le premier grec ou nom anglais quantités. Dans ce cas, la largeur en anglais ressemblera à « width ».

Le point ici est probablement que ce paramètre est le plus large application avait à l'origine en géométrie. Dans cette science, lors de la description des figures, la longueur, la largeur et la hauteur sont souvent désignées par les lettres « a », « b », « c ». Selon cette tradition, lors du choix, la lettre « B » (ou « b ») était empruntée au système SI (bien que des symboles autres que géométriques aient commencé à être utilisés pour les deux autres dimensions).

La plupart pensent que cela a été fait pour ne pas confondre la largeur (désignée par la lettre « B »/« b ») avec le poids. Le fait est que ce dernier est parfois appelé « W » (abréviation du nom anglais poids), bien que l'utilisation d'autres lettres (« G » et « P ») soit également acceptable. Selon les normes internationales du système SI, la largeur est mesurée en mètres ou en multiples (multiples) de leurs unités. Il convient de noter qu'en géométrie, il est parfois également acceptable d'utiliser « w » pour désigner la largeur, mais en physique et dans d'autres sciences exactes Cette désignation n'est généralement pas utilisée.

Longueur

Comme déjà mentionné, en mathématiques, la longueur, la hauteur et la largeur sont trois dimensions spatiales. De plus, si la largeur est une dimension linéaire dans le sens transversal, alors la longueur est dans le sens longitudinal. En le considérant comme une quantité de physique, on peut comprendre que ce mot désigne une caractéristique numérique de la longueur des lignes.

DANS langue anglaise ce terme est appelé longueur. C'est pour cette raison que cette valeur est désignée par la lettre initiale majuscule ou minuscule du mot - «L». Comme la largeur, la longueur se mesure en mètres ou en leurs multiples (multiples).

Hauteur

La présence de cette valeur indique que nous devons faire face à un espace tridimensionnel plus complexe. Contrairement à la longueur et à la largeur, la hauteur caractérise numériquement la taille d'un objet dans le sens vertical.

En anglais, cela s'écrit « hauteur ». Par conséquent, selon les normes internationales, il est désigné par la lettre latine « H » / « h ». En plus de la hauteur, dans les dessins, cette lettre sert parfois également de désignation de profondeur. Hauteur, largeur et longueur - tous ces paramètres sont mesurés en mètres et leurs multiples et sous-multiples (kilomètres, centimètres, millimètres, etc.).

Rayon et diamètre

En plus des paramètres discutés, lors de l'élaboration de dessins, vous devez faire face à d'autres.

Par exemple, lorsqu'on travaille avec des cercles, il devient nécessaire de déterminer leur rayon. C'est le nom du segment qui relie deux points. Le premier d'entre eux est le centre. La seconde est située directement sur le cercle lui-même. En latin, ce mot ressemble à « rayon ». D’où le « R »/« r » minuscule ou majuscule.

Lorsque vous dessinez des cercles, en plus du rayon, vous devez souvent faire face à un phénomène proche de celui-ci : le diamètre. C'est aussi un segment de droite reliant deux points sur un cercle. Dans ce cas, il passe nécessairement par le centre.

Numériquement, le diamètre est égal à deux rayons. En anglais, ce mot s'écrit ainsi : "diamètre". D'où l'abréviation - grande ou petite lettre latine « D » / « d ». Souvent, le diamètre sur les dessins est indiqué à l'aide d'un cercle barré - « Ø ».

Bien qu'il s'agisse d'une abréviation courante, il convient de garder à l'esprit que GOST prévoit l'utilisation uniquement du latin « D » / « d ».

Épaisseur

La plupart d’entre nous se souviennent des cours de mathématiques à l’école. Même alors, les enseignants nous ont dit qu'il était d'usage d'utiliser la lettre latine « s » pour désigner une quantité telle que la superficie. Cependant, selon les normes généralement acceptées, un paramètre complètement différent est ainsi écrit dans les dessins : l'épaisseur.

Pourquoi donc? On sait que dans le cas de la hauteur, de la largeur, de la longueur, la désignation par lettres pourrait s'expliquer par leur écriture ou leur tradition. C'est juste que l'épaisseur en anglais ressemble à « épaisseur », et en latin, cela ressemble à « crassities ». On ne sait pas non plus pourquoi, contrairement à d’autres quantités, l’épaisseur ne peut être indiquée qu’en lettres minuscules. La notation « s » est également utilisée pour décrire l'épaisseur des pages, des parois, des nervures, etc.

Périmètre et superficie

Contrairement à toutes les grandeurs énumérées ci-dessus, le mot « périmètre » ne vient pas du latin ou de l’anglais, mais de langue grecque. Il est dérivé de « περιμετρέο » (« mesurer la circonférence »). Et aujourd'hui, ce terme a conservé son sens (la longueur totale des limites de la figure). Par la suite, le mot est entré dans la langue anglaise (« perimeter ») et a été enregistré dans le système SI sous la forme d'une abréviation avec la lettre « P ».

La surface est une quantité présentant une caractéristique quantitative figure géométrique ayant deux dimensions (longueur et largeur). Contrairement à tout ce qui précède, il est mesuré en mètres carrés(ainsi qu'en sous-multiples et multiples de ceux-ci). Quant à la lettre de désignation de la zone, en différentes régions c'est différent. Par exemple, en mathématiques, il s'agit de la lettre latine « S », familière à tous depuis l'enfance. Pourquoi il en est ainsi - aucune information.

Certaines personnes pensent, sans le savoir, que cela est dû à Orthographe anglaise les mots « carré ». Cependant, la zone mathématique y est « zone » et « carré » est la zone au sens architectural du terme. À propos, il convient de rappeler que « carré » est le nom de la figure géométrique « carré ». Vous devez donc être prudent lorsque vous étudiez des dessins en anglais. En raison de la traduction de « zone » dans certaines disciplines, la lettre « A » est utilisée comme désignation. Dans de rares cas, "F" est également utilisé, mais en physique, cette lettre représente une quantité appelée "force" ("fortis").

Autres abréviations courantes

Les désignations de hauteur, largeur, longueur, épaisseur, rayon et diamètre sont les plus couramment utilisées lors de l'élaboration de dessins. Cependant, d’autres quantités y sont également souvent présentes. Par exemple, "t" minuscule. En physique, cela signifie « température », mais selon GOST Système unifié documentation de conception, cette lettre est une étape (ressorts hélicoïdaux, etc.). Cependant, il n'est pas utilisé lorsqu'il s'agit d'engrenages et de filetages.

Les lettres majuscules et minuscules « A »/« a » (selon les mêmes normes) dans les dessins sont utilisées pour désigner non pas la zone, mais la distance centre à centre et centre à centre. En plus de diverses quantités, dans les dessins, il est souvent nécessaire d'indiquer les angles des tailles différentes. A cet effet, il est d'usage d'utiliser les lettres minuscules de l'alphabet grec. Les plus couramment utilisés sont « α », « β », « γ » et « δ ». Cependant, il est acceptable d’en utiliser d’autres.

Quelle norme définit la désignation par lettre de la longueur, de la largeur, de la hauteur, de la surface et d'autres quantités ?

Comme mentionné ci-dessus, afin qu'il n'y ait pas de malentendu lors de la lecture du dessin, les représentants différentes nations Des normes de lettrage communes ont été adoptées. En d’autres termes, si vous avez des doutes sur l’interprétation d’une abréviation particulière, consultez les GOST. De cette façon, vous apprendrez à indiquer correctement la hauteur, la largeur, la longueur, le diamètre, le rayon, etc.

Passant aux applications physiques de la dérivée, nous utiliserons des notations légèrement différentes de celles acceptées en physique.

Premièrement, la désignation des fonctions change. Concrètement, quelles caractéristiques allons-nous différencier ? Ces fonctions sont des grandeurs physiques qui dépendent du temps. Par exemple, la coordonnée d'un corps x(t) et sa vitesse v(t) peuvent être données par les formules :

(lire ¾ix avec un point¿).

Il existe une autre notation pour les dérivées, très courante en mathématiques et en physique :

(lire ¾de x par de te¿).

Arrêtons-nous plus en détail sur le sens de la notation (1.16). Le mathématicien l'entend de deux manières, soit comme limite :

ou sous forme de fraction dont le dénominateur est l'incrément de temps dt, et le numérateur est ce qu'on appelle le différentiel dx de la fonction x(t). Le concept de différentiel n'est pas compliqué, mais nous n'en discuterons pas maintenant ; cela vous attend dès votre première année.

Un physicien, non contraint par les exigences de rigueur mathématique, comprend la notation (1.16) de manière plus informelle. Soit dx le changement de coordonnée dans le temps dt. Prenons l'intervalle dt si petit que le rapport dx=dt soit proche de sa limite (1,17) avec une précision qui nous convient.

Et puis, dira le physicien, la dérivée de la coordonnée par rapport au temps est simplement une fraction dont le numérateur contient un changement suffisamment petit de la coordonnée dx, et le dénominateur une période de temps suffisamment petite dt pendant laquelle ce changement en coordination s'est produite.

Une compréhension aussi vague de la dérivée est typique du raisonnement en physique. De plus nous adhérons à ce niveau de rigueur physique.

La dérivée x(t) de la quantité physique x(t) est à nouveau fonction du temps, et cette fonction peut à nouveau être différenciée pour trouver la dérivée de la dérivée, ou la dérivée seconde de la fonction x(t). Voici une notation pour la dérivée seconde :

la dérivée seconde de la fonction x(t) est notée x (t)

(lire ¾ix avec deux points¿), mais en voici un autre :

la dérivée seconde de la fonction x(t) est notée dt 2

(lire ¾de deux x par de te carré¿ ou ¾de deux x par de te deux fois¿).

Revenons à l'exemple original (1.13) et calculons la dérivée de la coordonnée, et en même temps regardons l'utilisation conjointe des notations (1.15) et (1.16) :

x(t) = 1 + 12t 3t2 )

x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t :

(Le symbole de différenciation dt d avant la parenthèse est le même que le nombre premier derrière la parenthèse dans la notation précédente.)

Veuillez noter que la dérivée de la coordonnée s'est avérée être égale à la vitesse (1,14). Ce n'est pas une coïncidence. Le lien entre la dérivée de la coordonnée et la vitesse du corps sera clarifié dans la section suivante « Mouvement mécanique ».

1.1.7 Limite d'amplitude du vecteur

Les grandeurs physiques ne sont pas seulement scalaires, mais aussi vectorielles. En conséquence, nous nous intéressons souvent au taux de variation d’une quantité vectorielle, c’est-à-dire à la dérivée du vecteur. Cependant, avant de parler de dérivée, nous devons comprendre le concept de limite d’une quantité vectorielle.

Considérons la séquence de vecteurs ~u1 ; ~u2 ; ~u3 ; : : : Après avoir fait, si nécessaire, une translation parallèle, on ramène leurs origines à un point O (Fig. 1.5) :

Supposons que la séquence de points soit A1 ; A2 ; A3 ; : : : ¾s'écoule¿2 vers le point B :

lim An = B :

Notons ~v = OB. On dira alors que la suite de vecteurs bleus ~un tend vers le vecteur rouge ~v, ou que le vecteur ~v est la limite de la suite de vecteurs ~un :

~v = lim ~un :

2 Une compréhension intuitive de ce « flux entrant » est tout à fait suffisante, mais peut-être êtes-vous intéressé par une explication plus rigoureuse ? Alors voilà.

Laissez les choses se produire dans un avion. ¾Entrée¿ de la séquence A1 ; A2 ; A3 ; : : : au point B signifie ce qui suit : peu importe la taille du cercle avec un centre au point B que nous prenons, tous les points de la séquence, à partir d'un certain point, tomberont à l'intérieur de ce cercle. En d’autres termes, en dehors de tout cercle de centre B, il n’y a qu’un nombre fini de points dans notre séquence.

Et si cela se passait dans l'espace ? La définition de « affluer » est légèrement modifiée : il suffit de remplacer le mot « cercle » par le mot « balle ».

Supposons maintenant que les extrémités des vecteurs bleus de la Fig. 1.5 n'exécute pas un ensemble discret de valeurs, mais une courbe continue (par exemple, indiquée par une ligne pointillée). Ainsi, nous n’avons pas affaire à une séquence de vecteurs ~un, mais à un vecteur ~u(t), qui évolue dans le temps. C’est exactement ce dont nous avons besoin en physique !

L’explication supplémentaire est presque la même. Soit t tendant vers une certaine valeur t0. Si

dans ce cas, les extrémités des vecteurs ~u(t) se jettent dans un point B, alors on dit que le vecteur

~v = OB est la limite de la quantité vectorielle ~u(t) :

t!t0

1.1.8 Différenciation des vecteurs

Après avoir établi quelle est la limite d’une quantité vectorielle, nous sommes prêts à passer à l’étape suivante consistant à introduire le concept de dérivée d’un vecteur.

Supposons qu'il existe un vecteur ~u(t) en fonction du temps. Cela signifie que la longueur d'un vecteur donné et sa direction peuvent changer avec le temps.

Par analogie avec une fonction ordinaire (scalaire), la notion de changement (ou d'incrément) d'un vecteur est introduite. La variation du vecteur ~u au cours du temps t est une quantité vectorielle :

~u = ~u(t + t) ~u(t):

Veuillez noter que du côté droit de cette relation se trouve une différence vectorielle. Le changement du vecteur ~u est représenté sur la Fig. 1.6 (rappelez-vous que lors de la soustraction de vecteurs, nous ramenons leurs débuts à un point, connectons les extrémités et « piquons » avec une flèche le vecteur à partir duquel la soustraction est effectuée).

~u(t) ~u

Riz. 1.6. Changement de vecteur

Si l'intervalle de temps t est suffisamment petit, alors le vecteur ~u change peu pendant ce temps (en physique, selon au moins, ceci est toujours pris en compte). En conséquence, si à t ! 0 la relation~u= t tend vers une certaine limite, alors cette limite est appelée la dérivée du vecteur ~u :

Pour désigner la dérivée d'un vecteur, nous n'utiliserons pas de point en haut (car le symbole ~u_ n'a pas l'air très beau) et nous nous limiterons à la notation (1.18). Mais pour la dérivée d’un scalaire, nous utilisons bien sûr librement les deux notations.

Rappelons que d~u=dt est un symbole dérivé. Elle peut aussi être comprise comme une fraction dont le numérateur contient la différentielle du vecteur ~u, correspondant à l'intervalle de temps dt. Nous n’avons pas abordé ci-dessus la notion de différentielle, puisqu’elle n’est pas enseignée à l’école ; Nous ne discuterons pas non plus du différentiel ici.

Cependant, sur niveau physiqueà proprement parler, la dérivée d~u=dt peut être considérée comme une fraction dont le dénominateur contient un très petit intervalle de temps dt, et le numérateur contient la petite variation correspondante d~u du vecteur ~u. À un dt suffisamment petit, la valeur de cette fraction diffère de

la limite du côté droit de (1.18) est si petite que, compte tenu de la précision de mesure disponible, cette différence peut être négligée.

Cette compréhension physique (pas tout à fait stricte) de la dérivée nous sera tout à fait suffisante.

Les règles de différenciation des expressions vectorielles sont à bien des égards similaires aux règles de différenciation des scalaires. Nous n’avons besoin que des règles les plus simples.

1. Le facteur scalaire constant est soustrait du signe de la dérivée : si c = const, alors

d(c~u) = c d~u : dt dt

Nous utilisons cette règle dans la section ¾Momentum¿ lorsque la deuxième loi de Newton

2. Le multiplicateur vectoriel constant est soustrait du signe dérivé : si ~c = const, alors dt d (x(t)~c) = x(t)~c :

3. La dérivée de la somme des vecteurs est égale à la somme de leurs dérivées :

dt d (~u + ~v) =d~u dt +d~v dt :

Nous utiliserons les deux dernières règles à plusieurs reprises. Voyons comment ils fonctionnent dans la situation la plus importante de différenciation vectorielle en présence d'un système de coordonnées rectangulaires OXY Z dans l'espace (Fig. 1.7).

Riz. 1.7. Décomposition d'un vecteur en base

Comme on le sait, tout vecteur ~u peut être développé de manière unique dans la base de l'unité

vecteurs ~ ,~ ,~ : i j k

~u = ux je + uy j + uz k :

Ici ux, uy, uz sont des projections du vecteur ~u sur les axes de coordonnées. Ce sont aussi les coordonnées du vecteur ~u dans cette base.

Le vecteur ~u dans notre cas dépend du temps, ce qui signifie que ses coordonnées ux, uy, uz sont fonctions du temps :

Différencions cette égalité. Nous utilisons d’abord la règle pour différencier la somme :

Ainsi, si le vecteur ~u a des coordonnées (ux ; uy ; uz), alors les coordonnées de la dérivée d~u=dt sont des dérivées des coordonnées du vecteur ~u, à savoir (ux ; uy ; uz).

Compte tenu de l’importance particulière de la formule (1.20), nous donnerons une dérivation plus directe. Au temps t + t d’après (1.19) on a :

~u(t + t) = ux (t + t) je + uy (t + t) j + uz (t + t)k :

Écrivons le changement du vecteur ~u :

~u = ~u(t + t) ~u(t) =

Ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k ux (t) i + uy (t) j + uz (t)k =

Dans la limite à t ! 0 fractions ux = t, uy = t, uz = t sont respectivement transformées en dérivées ux, uy, uz, et on obtient à nouveau la relation (1.20) :

Ux je + uy j + uz k.