Exemples de matrice inverse du troisième ordre avec solution. matrice inverse

Trouvez la définition de chaque matrice 2x2. Chaque élément de n'importe quelle matrice, y compris une matrice transposée, est associé à une matrice 2x2 correspondante. Pour trouver une matrice 2x2 qui correspond à un élément spécifique, rayez la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve l'élément donné, c'est-à-dire que vous devez rayer cinq éléments de la matrice 3x3 d'origine. Quatre éléments resteront non croisés, qui sont des éléments de la matrice 2x2 correspondante.

• Par exemple, pour trouver une matrice 2x2 pour l'élément situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la première colonne, rayez les cinq éléments qui se trouvent dans la deuxième ligne et la première colonne. Les quatre éléments restants sont des éléments de la matrice 2x2 correspondante.
• Trouvez le déterminant de chaque matrice 2x2. Pour ce faire, soustrayez le produit des éléments de la diagonale secondaire du produit des éléments de la diagonale principale (voir figure).
• Des informations détaillées sur les matrices 2x2 correspondant à des éléments spécifiques d'une matrice 3x3 peuvent être trouvées sur Internet.

Créez une matrice de cofacteurs.Écrivez les résultats obtenus précédemment sous la forme d'une nouvelle matrice de cofacteurs. Pour ce faire, écrivez le déterminant trouvé de chaque matrice 2x2 où se trouvait l'élément correspondant de la matrice 3x3. Par exemple, si vous envisagez une matrice 2x2 pour l'élément (1,1), écrivez son déterminant en position (1,1). Modifiez ensuite les signes des éléments correspondants selon un certain schéma, illustré sur la figure.

• Schéma de changement de signe : le signe du premier élément de la première ligne ne change pas ; le signe du deuxième élément de la première ligne est inversé ; le signe du troisième élément de la première ligne ne change pas, et ainsi ligne par ligne. Veuillez noter que les signes « + » et « - » qui apparaissent dans le schéma (voir figure) n'indiquent pas que l'élément correspondant sera positif ou négatif. DANS dans ce cas le signe « + » indique que le signe de l'élément ne change pas, et le signe « - » indique un changement de signe de l'élément.
• Des informations détaillées sur les matrices de cofacteurs sont disponibles sur Internet.
• De cette façon, vous retrouverez la matrice adjointe de la matrice d’origine. On l'appelle parfois une matrice conjuguée complexe. Une telle matrice est notée adj(M).

Divisez chaque élément de la matrice adjointe par son déterminant. Le déterminant de la matrice M a été calculé au tout début pour vérifier que la matrice inverse existe. Divisez maintenant chaque élément de la matrice adjointe par ce déterminant. Écrivez le résultat de chaque opération de division là où se trouve l'élément correspondant. De cette façon, vous retrouverez la matrice inverse de celle d’origine.

• Le déterminant de la matrice qui est représenté sur la figure est 1. Ainsi, ici la matrice adjointe est la matrice inverse (car lorsqu'un nombre est divisé par 1, il ne change pas).
• Dans certaines sources, l'opération de division est remplacée par l'opération de multiplication par 1/det(M). Cependant, le résultat final ne change pas.

Écrivez la matrice inverse.Écrivez les éléments situés sur la moitié droite de la grande matrice comme une matrice distincte, qui est la matrice inverse.

Entrez la matrice originale dans la mémoire de la calculatrice. Pour ce faire, cliquez sur le bouton Matrice, si disponible. Pour une calculatrice Texas Instruments, vous devrez peut-être appuyer sur les boutons 2e et Matrice.

Sélectionnez le menu Modifier. Faites-le à l'aide des boutons fléchés ou du bouton de fonction approprié situé en haut du clavier de la calculatrice (l'emplacement du bouton varie selon le modèle de calculatrice).

Entrez la notation matricielle. La plupart des calculatrices graphiques peuvent fonctionner avec 3 à 10 matrices, qui peuvent être désignées lettres A-J. En règle générale, il suffit de sélectionner [A] pour désigner la matrice d'origine. Appuyez ensuite sur le bouton Entrée.

Entrez la taille de la matrice. Cet article parle des matrices 3x3. Mais les calculatrices graphiques peuvent fonctionner avec des matrices grandes tailles. Entrez le nombre de lignes, appuyez sur Entrée, puis entrez le nombre de colonnes et appuyez à nouveau sur Entrée.

Entrez chaque élément de la matrice. Une matrice s'affichera sur l'écran de la calculatrice. Si vous avez déjà saisi une matrice dans la calculatrice, elle apparaîtra à l'écran. Le curseur mettra en surbrillance le premier élément de la matrice. Entrez la valeur du premier élément et appuyez sur Entrée. Le curseur se déplacera automatiquement vers l'élément suivant de la matrice.

Façons de trouver matrice inverse, . Considérons une matrice carrée

Notons Δ =det A.

La matrice carrée A est appelée non dégénéré, ou pas spécial, si son déterminant est non nul, et dégénérer, ou spécial, SiΔ = 0.

Une matrice carrée B est une matrice carrée A du même ordre si leur produit est A B = B A = E, où E est la matrice identité du même ordre que les matrices A et B.

Théorème . Pour que la matrice A ait une matrice inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro.

La matrice inverse de la matrice A, notée A- 1, donc B = A - 1 et est calculé par la formule

, (1)

où A i j sont des compléments algébriques des éléments a i j de la matrice A..

Le calcul de A -1 à l'aide de la formule (1) pour les matrices d'ordre élevé demande beaucoup de travail, donc en pratique, il est pratique de trouver A -1 en utilisant la méthode des transformations élémentaires (ET). Toute matrice non singulière A peut être réduite à la matrice identité E en appliquant uniquement les colonnes (ou uniquement les lignes) à la matrice identité Si les transformations parfaites sur la matrice A sont appliquées dans le même ordre à la matrice identité E, le résultat sera une matrice inverse. Il est pratique d’effectuer simultanément EP sur les matrices A et E, en écrivant les deux matrices côte à côte sur une ligne. Notons encore une fois que lors de la recherche de la forme canonique d'une matrice, pour la retrouver, on peut utiliser des transformations de lignes et de colonnes. Si vous avez besoin de trouver l'inverse d'une matrice, vous devez utiliser uniquement des lignes ou uniquement des colonnes pendant le processus de transformation.

Exemple 2.10. Pour matrice trouver A -1 .

Solution.On trouve d’abord le déterminant de la matrice A
Cela signifie que la matrice inverse existe et on peut la trouver en utilisant la formule : , où A i j (i,j=1,2,3) sont des additions algébriques d'éléments a i j de la matrice d'origine.

Où .

Exemple 2.11. En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouvez A -1 pour la matrice : A = .

Solution.On affecte à la matrice originale de droite une matrice identité du même ordre : . En utilisant des transformations élémentaires des colonnes, nous réduirons la « moitié » gauche à celle de l’unité, en effectuant simultanément exactement les mêmes transformations sur la matrice de droite.
Pour ce faire, échangez la première et la deuxième colonne : ~ . À la troisième colonne, nous ajoutons la première, et à la seconde - la première, multipliée par -2 : . De la première colonne, nous soustrayons la deuxième doublée et de la troisième - la deuxième multipliée par 6 ; . Ajoutons la troisième colonne à la première et à la deuxième : . Multipliez la dernière colonne par -1 : . La matrice carrée obtenue à droite de la barre verticale est la matrice inverse de la matrice donnée A. Ainsi,
.

Pour toute matrice non singulière A il existe une unique matrice A -1 telle que

A*A -1 =A -1 *A = E,

où E est la matrice identité des mêmes ordres que A. La matrice A -1 est appelée l'inverse de la matrice A.

Au cas où quelqu'un aurait oublié, dans la matrice identité, à l'exception de la diagonale remplie de uns, toutes les autres positions sont remplies de zéros, un exemple de matrice identité :

Trouver la matrice inverse à l'aide de la méthode de la matrice adjointe

La matrice inverse est définie par la formule :

où A ij - éléments a ij.

Ceux. Pour calculer la matrice inverse, vous devez calculer le déterminant de cette matrice. Trouvez ensuite les compléments algébriques de tous ses éléments et composez-en une nouvelle matrice. Ensuite, vous devez transporter cette matrice. Et divisez chaque élément de la nouvelle matrice par le déterminant de la matrice d'origine.

Regardons quelques exemples.

Trouver A -1 pour une matrice

Solution. Trouvons A -1 en utilisant la méthode de la matrice adjointe. On a det A = 2. Trouvons les compléments algébriques des éléments de la matrice A. Dans ce cas, les compléments algébriques des éléments de la matrice seront les éléments correspondants de la matrice elle-même, pris avec un signe conformément à la formule

On a A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. On forme la matrice adjointe

On transporte la matrice A* :

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :

On a:

En utilisant la méthode de la matrice adjointe, trouvez A -1 si

Solution. Tout d’abord, nous calculons la définition de cette matrice pour vérifier l’existence de la matrice inverse. Nous avons

Ici, nous avons ajouté aux éléments de la deuxième ligne les éléments de la troisième ligne, préalablement multipliés par (-1), puis avons développé le déterminant de la deuxième ligne. Puisque la définition de cette matrice est non nulle, sa matrice inverse existe. Pour construire la matrice adjointe, on trouve les compléments algébriques des éléments de cette matrice. Nous avons

D'après la formule

matrice de transport A* :

Alors selon la formule

Trouver la matrice inverse par la méthode des transformations élémentaires

En plus de la méthode de recherche de la matrice inverse, qui découle de la formule (méthode de la matrice adjointe), il existe une méthode de recherche de la matrice inverse, appelée méthode des transformations élémentaires.

Transformations matricielles élémentaires

Les transformations suivantes sont appelées transformations matricielles élémentaires :

1) réarrangement des lignes (colonnes) ;

2) multiplier une ligne (colonne) par un nombre autre que zéro ;

3) ajouter aux éléments d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne), préalablement multipliés par un certain nombre.

Pour trouver la matrice A -1, on construit une matrice rectangulaire B = (A|E) d'ordres (n; 2n), en attribuant à la matrice A de droite la matrice identité E par une ligne de séparation :

Regardons un exemple.

En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouver A -1 si

Solution. On forme la matrice B :

Notons les lignes de la matrice B par α 1, α 2, α 3. Effectuons les transformations suivantes sur les lignes de la matrice B.

Ce sujet est l’un des plus détestés parmi les étudiants. Les qualificatifs sont probablement pires.

L’astuce, c’est que la notion même d’élément inverse (et je ne parle pas seulement de matrices) nous renvoie à l’opération de multiplication. Même dans programme scolaire les multiplications comptent opération complexe, et la multiplication matricielle est généralement un sujet distinct, auquel j'ai consacré tout un paragraphe et un didacticiel vidéo.

Aujourd'hui, nous n'entrerons pas dans les détails des calculs matriciels. Rappelons simplement : comment les matrices sont désignées, comment elles sont multipliées et ce qui en découle.

Revue : Multiplication matricielle

Tout d’abord, mettons-nous d’accord sur la notation. Une matrice $A$ de taille $\left[ m\times n \right]$ est simplement un tableau de nombres avec exactement $m$ lignes et $n$ colonnes :

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Pour éviter de mélanger accidentellement des lignes et des colonnes (croyez-moi, lors d'un examen, vous pouvez confondre un un avec deux, sans parler de certaines lignes), il suffit de regarder l'image :

Ce qui se passe? Si vous placez le système de coordonnées standard $OXY$ dans le coin supérieur gauche et orientez les axes de manière à ce qu'ils couvrent toute la matrice, alors chaque cellule de cette matrice peut être associée de manière unique aux coordonnées $\left(x;y \right)$ - ce sera le numéro de ligne et le numéro de colonne.

Pourquoi le système de coordonnées est-il placé dans le coin supérieur gauche ? Oui, car c'est à partir de là que l'on commence à lire n'importe quel texte. C'est très facile à retenir.

Pourquoi l'axe $x$ est-il dirigé vers le bas et non vers la droite ? Encore une fois, c'est simple : prenez un système de coordonnées standard (l'axe $x$ va vers la droite, l'axe $y$ monte) et faites-le pivoter pour qu'il recouvre la matrice. Il s'agit d'une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre - nous voyons son résultat sur l'image.

En général, nous avons compris comment déterminer les indices des éléments matriciels. Voyons maintenant la multiplication.

Définition. Les matrices $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$, lorsque le nombre de colonnes de la première coïncide avec le nombre de lignes de la seconde, sont appelé cohérent.

Exactement dans cet ordre. On peut être confus et dire que les matrices $A$ et $B$ forment une paire ordonnée $\left(A;B \right)$ : si elles sont cohérentes dans cet ordre, alors il n'est pas du tout nécessaire que $B $ et $A$ ceux-là. la paire $\left(B;A \right)$ est également cohérente.

Seules les matrices correspondantes peuvent être multipliées.

Définition. Le produit des matrices appariées $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$ est la nouvelle matrice $C=\left[ m\times k \right] ]$ , dont les éléments $((c)_(ij))$ sont calculés selon la formule :

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Autrement dit : pour obtenir l'élément $((c)_(ij))$ de la matrice $C=A\cdot B$, il faut prendre la ligne $i$ de la première matrice, la $j$ -ème colonne de la deuxième matrice, puis multipliez par paires les éléments de cette ligne et de cette colonne. Additionnez les résultats.

Oui, c’est une définition tellement dure. Plusieurs faits en découlent immédiatement :

1. La multiplication matricielle, d'une manière générale, est non commutative : $A\cdot B\ne B\cdot A$ ;
2. Cependant, la multiplication est associative : $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Et même de manière distributive : $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Et encore une fois de manière distributive : $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

La distributivité de la multiplication a dû être décrite séparément pour les facteurs de somme gauche et droit précisément en raison de la non-commutativité de l'opération de multiplication.

S'il s'avère que $A\cdot B=B\cdot A$, ces matrices sont dites commutatives.

Parmi toutes les matrices qui y sont multipliées par quelque chose, il y en a des spéciales - celles qui, multipliées par n'importe quelle matrice $A$, donnent à nouveau $A$ :

Définition. Une matrice $E$ est appelée identité si $A\cdot E=A$ ou $E\cdot A=A$. Dans le cas d'une matrice carrée $A$ on peut écrire :

La matrice d'identité est un invité fréquent dans la résolution équations matricielles. Et en général, un invité fréquent dans le monde des matrices :)

Et à cause de ce $E$, quelqu'un a inventé toutes les absurdités qui seront écrites ensuite.

Qu'est-ce qu'une matrice inverse

Étant donné que la multiplication matricielle est une opération très laborieuse (il faut multiplier un tas de lignes et de colonnes), le concept de matrice inverse s'avère également n'être pas des plus triviaux. Et nécessitant quelques explications.

Définition clé

Eh bien, il est temps de connaître la vérité.

Définition. Une matrice $B$ est appelée l'inverse d'une matrice $A$ si

La matrice inverse est notée $((A)^(-1))$ (à ne pas confondre avec le degré !), la définition peut donc être réécrite comme suit :

Il semblerait que tout soit extrêmement simple et clair. Mais lorsqu’on analyse cette définition, plusieurs questions se posent immédiatement :

1. Une matrice inverse existe-t-elle toujours ? Et si ce n’est pas toujours le cas, comment déterminer : quand il existe et quand il n’existe pas ?
2. Et qui a dit qu’il existait exactement une telle matrice ? Et si pour une matrice initiale $A$ il y avait toute une foule d'inverses ?
3. A quoi ressemblent tous ces « revers » ? Et comment, exactement, devrions-nous les compter ?

Quant aux algorithmes de calcul, nous en reparlerons un peu plus tard. Mais nous répondrons maintenant aux questions restantes. Formulons-les sous forme d'énoncés-lemmes séparés.

Propriétés de base

Commençons par comment la matrice $A$ devrait, en principe, ressembler pour que $((A)^(-1))$ existe pour elle. Nous allons maintenant nous assurer que ces deux matrices doivent être carrées et de même taille : $\left[ n\times n \right]$.

Lemme 1. Étant donné une matrice $A$ et son inverse $((A)^(-1))$. Alors ces deux matrices sont carrées et du même ordre $n$.

Preuve. C'est simple. Soit la matrice $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Puisque le produit $A\cdot ((A)^(-1))=E$ existe par définition, les matrices $A$ et $((A)^(-1))$ sont cohérentes dans l'ordre indiqué :

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( aligner)\]

C'est une conséquence directe de l'algorithme de multiplication matricielle : les coefficients $n$ et $a$ sont « de transit » et doivent être égaux.

Parallèlement, la multiplication inverse est également définie : $((A)^(-1))\cdot A=E$, donc les matrices $((A)^(-1))$ et $A$ sont également cohérent dans l'ordre spécifié :

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( aligner)\]

Ainsi, sans perte de généralité, on peut supposer que $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cependant, selon la définition de $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, donc les tailles des matrices coïncident strictement :

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Il s'avère donc que les trois matrices - $A$, $((A)^(-1))$ et $E$ - sont des matrices carrées de taille $\left[ n\times n \right]$. Le lemme est prouvé.

Eh bien, c'est déjà bien. On voit que seules les matrices carrées sont inversibles. Assurons-nous maintenant que la matrice inverse est toujours la même.

Lemme 2. Étant donné une matrice $A$ et son inverse $((A)^(-1))$. Alors cette matrice inverse est la seule.

Preuve. Allons-y par contradiction : que la matrice $A$ ait au moins deux inverses - $B$ et $C$. Alors, selon la définition, les égalités suivantes sont vraies :

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \fin(aligner)\]

Du lemme 1, nous concluons que les quatre matrices - $A$, $B$, $C$ et $E$ - sont des carrés du même ordre : $\left[ n\times n \right]$. Le produit est donc défini :

Puisque la multiplication matricielle est associative (mais pas commutative !), on peut écrire :

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \fin(aligner)\]

Nous avons seulement reçu variante possible: deux instances de la matrice inverse sont égales. Le lemme est prouvé.

Les arguments ci-dessus répètent presque mot pour mot la preuve de l'unicité de l'élément inverse pour tous les nombres réels $b\ne 0$. Le seul ajout significatif est la prise en compte de la dimension des matrices.

Cependant, nous ne savons toujours pas si chaque matrice carrée est inversible. Ici, un déterminant vient à notre aide - ceci caractéristique clé pour toutes les matrices carrées.

Lemme 3. Étant donné une matrice $A$. Si sa matrice inverse $((A)^(-1))$ existe, alors le déterminant de la matrice d'origine est différent de zéro :

\[\gauche| A\droit|\ne 0\]

Preuve. Nous savons déjà que $A$ et $((A)^(-1))$ sont des matrices carrées de taille $\left[ n\times n \right]$. Ainsi, pour chacun d’eux on peut calculer le déterminant : $\left| A\right|$ et $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Or, le déterminant d’un produit est égal au produit des déterminants :

\[\gauche| A\cdot B \right|=\left| Un \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| Un \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

Mais selon la définition, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, et le déterminant de $E$ est toujours égal à 1, donc

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \gauche| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\droit|; \\ & \gauche| Un \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \fin(aligner)\]

Le produit de deux nombres n’est égal à un que si chacun de ces nombres est non nul :

\[\gauche| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Il s'avère donc que $\left| Un \right|\ne 0$. Le lemme est prouvé.

En fait, cette exigence est tout à fait logique. Nous allons maintenant analyser l'algorithme pour trouver la matrice inverse - et il deviendra tout à fait clair pourquoi, avec un déterminant nul, aucune matrice inverse ne peut en principe exister.

Mais d’abord, formulons une définition « auxiliaire » :

Définition. Une matrice singulière est une matrice carrée de taille $\left[ n\times n \right]$ dont le déterminant est nul.

Ainsi, on peut affirmer que toute matrice inversible est non singulière.

Comment trouver l'inverse d'une matrice

Nous allons maintenant considérer un algorithme universel pour trouver des matrices inverses. En général, il existe deux algorithmes généralement acceptés, et nous considérerons également le second aujourd'hui.

Celui qui sera discuté maintenant est très efficace pour les matrices de taille $\left[ 2\times 2 \right]$ et - partiellement - de taille $\left[ 3\times 3 \right]$. Mais à partir de la taille $\left[ 4\times 4 \right]$ il vaut mieux ne pas l'utiliser. Pourquoi - maintenant vous comprendrez tout vous-même.

Ajouts algébriques

Sois prêt. Maintenant, il y aura de la douleur. Non, ne vous inquiétez pas : une belle infirmière en jupe, bas avec dentelle ne viendra pas vers vous et vous fera une injection dans la fesse. Tout est bien plus prosaïque : les ajouts algébriques et Sa Majesté la « Matrice de l'Union » viennent à vous.

Commençons par l'essentiel. Soit une matrice carrée de taille $A=\left[ n\times n \right]$, dont les éléments sont appelés $((a)_(ij))$. Ensuite, pour chacun de ces éléments, nous pouvons définir un complément algébrique :

Définition. Complément algébrique $((A)_(ij))$ à l'élément $((a)_(ij))$ situé dans la $i$ème ligne et la $j$ème colonne de la matrice $A=\left[ n \times n \right]$ est une construction de la forme

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Où $M_(ij)^(*)$ est le déterminant de la matrice obtenue à partir du $A$ original en supprimant la même $i$ème ligne et la même $j$ème colonne.

Encore. Le complément algébrique d'un élément matriciel de coordonnées $\left(i;j \right)$ est noté $((A)_(ij))$ et est calculé selon le schéma :

1. Tout d'abord, nous supprimons la ligne $i$ et la $j$-ème colonne de la matrice d'origine. On obtient une nouvelle matrice carrée, et on note son déterminant par $M_(ij)^(*)$.
2. Ensuite, nous multiplions ce déterminant par $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - au début, cette expression peut sembler époustouflante, mais en substance, nous trouvons simplement le signe devant $M_(ij)^(*) $.
3. Nous comptons et obtenons un nombre précis. Ceux. l'addition algébrique est précisément un nombre, et non une nouvelle matrice, etc.

La matrice $M_(ij)^(*)$ elle-même est appelée un mineur supplémentaire à l'élément $((a)_(ij))$. Et en ce sens, la définition ci-dessus d'un complément algébrique est un cas particulier d'une définition plus complexe - ce que nous avons examiné dans la leçon sur le déterminant.

Note importante. En fait, en mathématiques « adultes », les additions algébriques sont définies comme suit :

1. Nous prenons $k$ lignes et $k$ colonnes dans une matrice carrée. A leur intersection on obtient une matrice de taille $\left[ k\times k \right]$ - son déterminant est appelé mineur d'ordre $k$ et est noté $((M)_(k))$.
2. Ensuite, nous barrons ces $k$ lignes et $k$ colonnes « sélectionnées ». Encore une fois, vous obtenez une matrice carrée - son déterminant est appelé mineur supplémentaire et est noté $M_(k)^(*)$.
3. Multipliez $M_(k)^(*)$ par $((\left(-1 \right))^(t))$, où $t$ est (attention maintenant !) la somme des nombres de toutes les lignes sélectionnées et des colonnes. Ce sera l’addition algébrique.

Regardez la troisième étape : il y a en fait une somme de 2 000 $ de termes ! Une autre chose est que pour $k=1$ nous n'obtiendrons que 2 termes - ce seront les mêmes $i+j$ - les "coordonnées" de l'élément $((a)_(ij))$ pour lequel nous sommes à la recherche d'un complément algébrique.

Nous utilisons donc aujourd’hui une définition légèrement simplifiée. Mais comme nous le verrons plus tard, ce sera largement suffisant. La chose suivante est bien plus importante :

Définition. La matrice alliée $S$ à la matrice carrée $A=\left[ n\times n \right]$ est une nouvelle matrice de taille $\left[ n\times n \right]$, qui est obtenue à partir de $A$ en remplaçant $(( a)_(ij))$ par des additions algébriques $((A)_(ij))$ :

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\fin(matrice) \right]\]

La première pensée qui surgit au moment de réaliser cette définition est « combien faudra-t-il compter ! Détendez-vous : il faudra compter, mais pas tant que ça :)

Eh bien, tout cela est très bien, mais pourquoi est-ce nécessaire ? Mais pourquoi.

Théorème principal

Revenons un peu en arrière. Rappelez-vous, dans le lemme 3, il a été dit que la matrice inversible $A$ est toujours non singulière (c'est-à-dire que son déterminant est non nul : $\left| A \right|\ne 0$).

Ainsi, l'inverse est également vrai : si la matrice $A$ n'est pas singulière, alors elle est toujours inversible. Et il existe même un système de recherche pour $((A)^(-1))$. Vérifiez-le:

Théorème de la matrice inverse. Soit une matrice carrée $A=\left[ n\times n \right]$, et son déterminant est différent de zéro : $\left| Un \right|\ne 0$. Alors la matrice inverse $((A)^(-1))$ existe et est calculée par la formule :

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Et maintenant, tout est pareil, mais avec une écriture lisible. Pour trouver la matrice inverse, il vous faut :

1. Calculer le déterminant $\left| Un \right|$ et assurez-vous qu'il est différent de zéro.
2. Construire la matrice d'union $S$, c'est-à-dire comptez 100500 additions algébriques $((A)_(ij))$ et placez-les à la place $((a)_(ij))$.
3. Transposez cette matrice $S$, puis multipliez-la par un nombre $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

C'est tout! La matrice inverse $((A)^(-1))$ a été trouvée. Regardons des exemples :

\[\gauche[ \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right]\]

Solution. Vérifions la réversibilité. Calculons le déterminant :

\[\gauche| A\droite|=\gauche| \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Le déterminant est différent de zéro. Cela signifie que la matrice est inversible. Créons une matrice d'union :

Calculons les additions algébriques :

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \droite|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\droite|=3. \\ \fin(aligner)\]

Attention : les déterminants |2|, |5|, |1| et |3| sont des déterminants de matrices de taille $\left[ 1\times 1 \right]$, et non des modules. Ceux. si les qualificatifs incluaient nombres négatifs, il n’est pas nécessaire de supprimer le « moins ».

Au total, notre matrice syndicale ressemble à ceci :

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tableau)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK, c'est fini maintenant. Le problème est résolu.

Répondre. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Tâche. Trouvez la matrice inverse :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Solution. On calcule à nouveau le déterminant :

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Le déterminant est différent de zéro : la matrice est inversible. Mais maintenant, ça va être vraiment difficile : il faudra compter jusqu'à 9 (neuf, enfoiré !) additions algébriques. Et chacun d'eux contiendra le déterminant $\left[ 2\times 2 \right]$. A volé:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrice) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrice) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrice) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrice) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrice) \right|=2; \\ \fin(matrice)\]

En bref, la matrice syndicale ressemblera à ceci :

La matrice inverse sera donc :

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrice) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(tableau) \right]\]

C'est ça. Voici la réponse.

Répondre. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Comme vous pouvez le constater, à la fin de chaque exemple nous avons effectué une vérification. À cet égard, une remarque importante :

Ne soyez pas paresseux pour vérifier. Multipliez la matrice d'origine par la matrice inverse trouvée - vous devriez obtenir $E$.

Effectuer cette vérification est beaucoup plus simple et plus rapide que de rechercher une erreur dans d'autres calculs lorsque, par exemple, vous résolvez une équation matricielle.

Manière alternative

Comme je l'ai dit, le théorème de la matrice inverse fonctionne très bien pour les tailles $\left[ 2\times 2 \right]$ et $\left[ 3\times 3 \right]$ (en ce dernier cas- n'est plus si "merveilleux"), mais pour les matrices de grande taille, la tristesse commence.

Mais ne vous inquiétez pas : il existe un algorithme alternatif avec lequel vous pouvez facilement trouver l'inverse même pour la matrice $\left[ 10\times 10 \right]$. Mais, comme cela arrive souvent, pour considérer cet algorithme, nous avons besoin d’une petite introduction théorique.

Transformations élémentaires

Parmi toutes les transformations matricielles possibles, il en existe plusieurs spéciales - elles sont appelées élémentaires. Il existe exactement trois transformations de ce type :

1. Multiplication. Vous pouvez prendre la $i$ème ligne (colonne) et la multiplier par n'importe quel nombre $k\ne 0$ ;
2. Ajout. Ajoutez à la $i$-ième ligne (colonne) n'importe quelle autre $j$-ième ligne (colonne) multipliée par n'importe quel nombre $k\ne 0$ (vous pouvez, bien sûr, faire $k=0$, mais quel est le point ? Rien ne changera).
3. Réarrangement. Prenez les $i$ième et $j$ième lignes (colonnes) et échangez leurs places.

Pourquoi ces transformations sont dites élémentaires (pour les grandes matrices, elles n'ont pas l'air si élémentaires) et pourquoi il n'y en a que trois - ces questions dépassent le cadre de la leçon d'aujourd'hui. Nous n’entrerons donc pas dans les détails.

Une autre chose est importante : il faut effectuer toutes ces perversions sur la matrice adjointe. Oui, oui : vous avez bien entendu. Il y aura maintenant une définition supplémentaire - la dernière de la leçon d'aujourd'hui.

Matrice adjointe

À l'école, vous avez sûrement résolu des systèmes d'équations en utilisant la méthode d'addition. Eh bien, soustrayez-en une autre d'une ligne, multipliez une ligne par un nombre - c'est tout.

Donc : désormais tout sera pareil, mais d'une manière « adulte ». Prêt?

Définition. Soit une matrice $A=\left[ n\times n \right]$ et une matrice d'identité $E$ de même taille $n$. Alors la matrice adjointe $\left[ A\left| Très bien. \right]$ est une nouvelle matrice de taille $\left[ n\times 2n \right]$ qui ressemble à ceci :

\[\gauche[ A\gauche| Très bien. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Bref, on prend la matrice $A$, à droite on lui attribue la matrice d'identité $E$ de la taille requise, on les sépare par une barre verticale pour la beauté - ici vous avez l'adjoint :)

Quel est le piège? Voici quoi :

Théorème. Soit la matrice $A$ inversible. Considérons la matrice adjointe $\left[ A\left| Très bien. \droite]$. Si vous utilisez conversions de chaînes élémentaires amenez-le sous la forme $\left[ E\left| Brillant. \right]$, c'est-à-dire en multipliant, soustrayant et réorganisant les lignes pour obtenir de $A$ la matrice $E$ de droite, alors la matrice $B$ obtenue à gauche est l'inverse de $A$ :

\[\gauche[ A\gauche| Très bien. \right]\to \left[ E\left| Brillant. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

C'est si simple! En bref, l'algorithme pour trouver la matrice inverse ressemble à ceci :

1. Écrivez la matrice adjointe $\left[ A\left| Très bien. \droite]$;
2. Effectuez des conversions de chaînes élémentaires jusqu'à ce que $E$ apparaisse à la place de $A$ ;
3. Bien sûr, quelque chose apparaîtra également sur la gauche : une certaine matrice $B$. Ce sera le contraire ;
4. PROFIT!:)

Bien sûr, c’est beaucoup plus facile à dire qu’à faire. Regardons donc quelques exemples : pour les tailles $\left[ 3\times 3 \right]$ et $\left[ 4\times 4 \right]$.

Tâche. Trouvez la matrice inverse :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Solution. On crée la matrice adjointe :

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(tableau) \right]\]

Puisque la dernière colonne de la matrice d'origine est remplie de un, soustrayez la première ligne du reste :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(tableau) \right]\begin(matrice) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Il n'y a plus d'unités, à l'exception de la première ligne. Mais nous n’y touchons pas, sinon les unités nouvellement supprimées commenceront à « se multiplier » dans la troisième colonne.

Mais nous pouvons soustraire deux fois la deuxième ligne de la dernière - nous en obtenons une dans le coin inférieur gauche :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(tableau) \right]\begin(matrice) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nous pouvons maintenant soustraire la dernière ligne de la première et deux fois de la seconde - de cette façon, nous « remettons à zéro » la première colonne :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\fin(tableau) \right]\begin(matrice) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ à \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Multipliez la deuxième ligne par −1, puis soustrayez-la 6 fois de la première et ajoutez 1 fois à la dernière :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tableau) \right]\begin(matrice) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Il ne reste plus qu'à intervertir les lignes 1 et 3 :

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(tableau) \right]\]

Prêt! À droite se trouve la matrice inverse requise.

Répondre. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Tâche. Trouvez la matrice inverse :

\[\left[ \begin(matrice) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\fin(matrice) \right]\]

Solution. On compose à nouveau l'adjoint :

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(tableau) \right]\]

Pleurons un peu, soyons tristes de tout ce que nous devons compter maintenant... et commençons à compter. Tout d’abord, mettons à zéro la première colonne en soustrayant la ligne 1 des lignes 2 et 3 :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(tableau) \right]\begin(matrice) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nous voyons trop de « contre » dans les lignes 2 à 4. Multipliez les trois lignes par −1, puis brûlez la troisième colonne en soustrayant la ligne 3 du reste :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(tableau) \right]\begin(matrice) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \gauche| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \gauche| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (tableau) \right]\begin(matrice) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Il est maintenant temps de « frire » la dernière colonne de la matrice d'origine : soustrayez la ligne 4 du reste :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(tableau ) \right]\begin(matrice) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Lancer final : « brûler » la deuxième colonne en soustrayant la ligne 2 des lignes 1 et 3 :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\fin( tableau) \right]\begin(matrice) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Et encore une fois la matrice d'identité est à gauche, ce qui signifie que l'inverse est à droite :)

Répondre. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

Continuons la conversation sur les actions avec des matrices. À savoir, au cours de l'étude de cette conférence, vous apprendrez comment trouver la matrice inverse. Apprendre. Même si les mathématiques sont difficiles.

Qu'est-ce qu'une matrice inverse ? Ici, nous pouvons faire une analogie avec les nombres inverses : considérons, par exemple, le nombre optimiste 5 et son nombre inverse. Le produit de ces nombres est égal à un : . Tout est pareil avec les matrices ! Le produit d'une matrice et de sa matrice inverse est égal à – matrice d'identité, qui est l'analogue matriciel de l'unité numérique. Cependant, commençons par commencer : résolvons d’abord le problème important. question pratique, à savoir, nous apprendrons comment trouver cette matrice très inverse.

Que faut-il savoir et pouvoir faire pour trouver la matrice inverse ? Vous devez pouvoir décider qualificatifs. Vous devez comprendre ce que c'est matrice et être capable d'effectuer certaines actions avec eux.

Il existe deux méthodes principales pour trouver la matrice inverse :
en utilisant ajouts algébriques Et utiliser des transformations élémentaires.

Aujourd'hui, nous allons étudier la première méthode, la plus simple.

Commençons par le plus terrible et le plus incompréhensible. Considérons carré matrice. La matrice inverse peut être trouvée par la formule suivante :

Où est le déterminant de la matrice, est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Le concept de matrice inverse n'existe que pour les matrices carrées, matrices « deux par deux », « trois par trois », etc.

Désignations: Comme vous l'avez peut-être déjà remarqué, la matrice inverse est désignée par un exposant

Commençons par le cas le plus simple : une matrice deux par deux. Le plus souvent, bien sûr, « trois par trois » est requis, mais je recommande néanmoins fortement d'étudier une tâche plus simple afin de maîtriser principe général solutions.

Exemple:

Trouver l'inverse d'une matrice

Décidons. Il est pratique de décomposer la séquence d’actions point par point.

1) On trouve d’abord le déterminant de la matrice.

Si votre compréhension de cette action n'est pas bonne, lisez le matériel Comment calculer le déterminant ?

Important! Si le déterminant de la matrice est égal à ZÉRO– matrice inverse N'EXISTE PAS.

Dans l'exemple considéré, il s'est avéré que tout est en ordre.

2) Trouver la matrice des mineurs.

Pour résoudre notre problème, il n'est pas nécessaire de savoir ce qu'est un mineur, cependant, il convient de lire l'article Comment calculer le déterminant.

La matrice des mineurs a les mêmes dimensions que la matrice, c'est-à-dire dans ce cas.
Il ne reste plus qu'à trouver quatre nombres et à les mettre à la place des astérisques.

Revenons à notre matrice
Regardons d'abord l'élément en haut à gauche :

Comment le trouver mineure?
Et cela se fait ainsi : rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément :

Le nombre restant est mineure de cet élément , que nous écrivons dans notre matrice des mineurs :

Considérons l'élément de matrice suivant :

Rayez mentalement la ligne et la colonne dans lesquelles cet élément apparaît :

Il ne reste que le mineur de cet élément, que nous écrivons dans notre matrice :

De même, on considère les éléments de la deuxième rangée et on retrouve leurs mineurs :


Prêt.

C'est simple. Dans la matrice des mineurs dont vous avez besoin CHANGER LES SIGNES deux chiffres :

Ce sont les chiffres que j'ai encerclés !

– matrice d'additions algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Et juste...

4) Trouver la matrice transposée des additions algébriques.

– matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

5) Réponse.

Rappelons notre formule
Tout a été trouvé !

La matrice inverse est donc :

Il vaut mieux laisser la réponse telle quelle. PAS BESOIN divisez chaque élément de la matrice par 2, puisque le résultat est des nombres fractionnaires. Cette nuance est abordée plus en détail dans le même article. Actions avec des matrices.

Comment vérifier la solution ?

Vous devez effectuer une multiplication matricielle ou

Examen:

Reçu déjà mentionné matrice d'identité est une matrice avec des uns par diagonale principale et des zéros à d'autres endroits.

Ainsi, la matrice inverse est trouvée correctement.

Si vous réalisez l’action, le résultat sera également une matrice d’identité. C'est l'un des rares cas où la multiplication matricielle est permutable, plus des informations détaillées peut être trouvé dans l'article Propriétés des opérations sur les matrices. Expressions matricielles. Notez également que lors du contrôle, la constante (fraction) est avancée et traitée à la toute fin - après la multiplication matricielle. Il s'agit d'une technique standard.

Passons à un cas plus courant en pratique : la matrice trois par trois :

Exemple:

Trouver l'inverse d'une matrice

L’algorithme est exactement le même que pour le cas « deux par deux ».

On retrouve la matrice inverse à l'aide de la formule : , où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

1) Trouver le déterminant de la matrice.

Ici le déterminant est révélé sur la première ligne.

N'oubliez pas non plus que, ce qui signifie que tout va bien - la matrice inverse existe.

2) Trouver la matrice des mineurs.

La matrice des mineurs a une dimension de « trois par trois » , et nous devons trouver neuf nombres.

Je vais examiner de plus près quelques mineurs :

Considérons l'élément de matrice suivant :

Rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément :

Nous écrivons les quatre nombres restants dans le déterminant « deux par deux ».

Ce déterminant deux par deux et est le mineur de cet élément. Il faut calculer :


Ça y est, le mineur a été retrouvé, on l'écrit dans notre matrice des mineurs :

Comme vous l’avez probablement deviné, vous devez calculer neuf déterminants deux par deux. Le processus, bien sûr, est fastidieux, mais le cas n'est pas le plus grave, il peut être pire.

Eh bien, pour consolider – trouver un autre mineur dans les images :

Essayez de calculer vous-même les mineurs restants.

Résultat final:
– matrice des mineurs des éléments correspondants de la matrice.

Le fait que tous les mineurs se soient révélés négatifs est purement un accident.

3) Trouver la matrice des additions algébriques.

Dans la matrice des mineurs il faut CHANGER LES SIGNES strictement pour les éléments suivants :

Dans ce cas:

Nous n'envisageons pas de trouver la matrice inverse d'une matrice « quatre par quatre », puisque seul un enseignant sadique peut confier une telle tâche (pour que l'élève calcule un déterminant « quatre par quatre » et 16 déterminants « trois par trois »). Dans ma pratique, il n'y a eu qu'un seul cas de ce type, et le client travail d'essai payé assez cher mon tourment =).

Dans un certain nombre de manuels et de manuels, vous pouvez trouver une approche légèrement différente pour trouver la matrice inverse, mais je recommande d'utiliser l'algorithme de solution décrit ci-dessus. Pourquoi? Parce que le risque de confusion dans les calculs et les signes est bien moindre.